（理论物理专业论文）数差操作相及其特征函数和wigner函数.pdf

2 0 0 5 年中国科技大学硕士学位论文 摘要 本文基于h r a d i l l - - n f m 提出的操作相算符，讨论了数差态和相态在相 互转换时产生的端点问题；提出了数差一操作相的特征函数，并引入 振词苤遏擞差态表象对其进行讨论，可以方便的得到其对应的w i g n e r 函数和w i g n e r 算符，同时还计算了广义w i g n e r 函数的边缘分布。 关键词：位相算符，数差一操作相，特征函数，w i g n e r 函数 ! ! 堕笙主里型垫盔堂堡主堂堡笙塞 坚 a b s 订a c t b a s e do nt h eo p e r a t i o n a lp h a s eo p e r a t o ri n t r o d u c e db yh r a d i l a n dn o h ，f o u g e r e sa n dm a n d e l ：w ed i s c u s st h ee n d p o i n ta m b i g u o u si n t h em u t u a lt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nt h en u m b e r - d i f f e r e n c es t a t ea n dt h e p h a s e s t a t ec o r r e s p o n d i n gt ot h eo p e r a t i o n a lp h a s eo p e r a t o r ；i n t r o d u c et h e c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o ni nt h es e n s eo f n u r n b e rd i f f e r e n c e - o p e r a t i o n a l p h a s e ，a n d w e e m p l o y t h ec o r r e l a t e d a m p l i t u d e - n u m b e r - d i f f e r e n c es t a t e r e p r e s e n t a t i o n t oc a l c u l a t ei t i tr e s u l t si nt h ef o r mo ft h ec o r r e s p o n d i n g w i g n e r f u n c t i o na n dw i g n e r o p e r a t o r t h em a r g i n a l d i s t r i b u t i o n so ft h e g e n e r a l i z e dw i g n e r f u n c t i o na r eb r i e f l yd i s c u s s e d k e yw o r d s ：p h a s eo p e r a t o r , n u m b e rd i f f e r e n t o p e r a t i o n a lp h a s e ，c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ，w i g n e rf u n c t i o n 2 0 0 5 年中国科技大学硕士学位论文 序言 本文共分四章：第一章：主要介绍纠缠态理论。第二章：w i g n e r 函数，w i g n e r 算符出发，讨论了利用特征函数将密度函数主方程转化 为c 数下的福克一普朗克方程求解的方法。第三章：主要阐述了与位 相算符相关的一些理论，介绍了位相算符的几种重要的定义，讨论了 在角动量表象下位相算符的表示，并且从h r a d i l - - n f m 定义的操作位 相算符出发，考虑了数差态和相态之间相互转化时产生的端点问题， 并给出了解决的方法。在第四章中，重点讨论了数差一操作相的特征 函数和与操作相有关的广义数差w i g n e r 函数，并且就一些具体的态矢 给出了求解w i g n e r 函数的过程。 第1 章、纠缠态 纠缠态( e n t a n g l e ds t a t e ) 是近年来在量子力学文献中经常出现 的一个i , ：i t e 。从历史上讲，纠缠态概念最早是在著名的 “s c h r o t l i n g ej 猫态”和“e p r ( b i n s t e i o _ p o 旺l o l s k y - - r o s e n ) 佯 谬”两篇文章中提出来的。s c h r o d i n g e r 一文所讨论的理想试验中给 出的猫态就是一个纠缠态。e p r 佯谬一问中给出的二粒子体系的波 函数也是一个纠缠态。纠缠态促进了人们对量子力学的基本概念有 了更深刻的理解，而且纠缠态概念已经展现其广泛的应用前景。 1 1 分离变量纠缠态 以口旋为i 2 的二粒子体系的目旋态为例。对于单个粒子，它的 自旋态可；, 4 j , j i l ) ：j 个 和| - = 1 ) ：i 上) 。对于二粒子体系的自旋态，在角 动量耦合理论中，通常采用角动量耦合表象与非耦合表象来描述。 所i l t l - 耦合表象是以两粒子体系( a 和b ) 的自旋力学量完全集 v 的1 个共同的本征态为基矢的表象，即 _ ，? 萨引护b 参 f i 1 ) i ) ，i 一告) 舻l 告) ； ，i 一) 。 一告 。 它们都是两个单粒子自旋态的直积形式，都不是纠缠态。 所谓角动量耦合表象，是以自旋力学量完全集( s 2 s 二) 的共同本征态 f s = 。一”) 为基矢的表象，记为p 。， 。：l 。、，= n ( s + ) p q ，s = o 1 ： 彳= 1 - 1 一x j j ：弋2 1 ； ( i 2 ) 。称为自旋单态，p 。，( m = 0 ，1 ) 称为自旋三重态，用非耦合表象高 的基矢来展开，可表示成， 鼢m 5 爿m 柏 2 爿h 川扒m ( 1 3 ) = m ；1 个) 。 妒。= l 扒1 山) 。 从波函数的形式上看，和p l 。是纠缠态，而护l i 和p 。并非纠缠态。 通常把后两者进行等权重( 同相或反相) 叠加，以构成两粒子体系 的另外两个纠缠态。这样，两个自旋为1 2 的粒子的4 个自旋纠缠 态( 最大纠缠) 可以表示如下 协抄h m 乒m ( 1 4 ) ) 2 扭m m r 州州m 习十嚣l ：t i z 称丛jb e l i 基。 1 2 连续变量纠缠态 历史上，e p r 在证明量子论必定或是违反定域因果性原理、或是 不完备的结论时，曾给出这样的论据：两个粒子的未知分别由x ，和 x ：给出，动量分别由p 。和p ：给出。虽然海森伯不确定原理意昧着 同时测量x 。和p ，的精确值时不可能的，但是它允许我们精确的测 量动量之和l 。+ p 2 以及两个粒子的间距q i q 2 。二者满足对易关 系 阮一y ，) + 曼】= 0 这里我们讨论二者共同的本征态是什么。 在双模f o c k 空问中我们引入态 ，) = e x p 一i i l ，7 i 二+ ，7 “i - - 1 * ( i ；+ “i c ，： i 。) ( 1 5 ) 分别用和吐作用于i f ) 上给出 进而得到 利用变换 f ，j ，7 ) = ( ，+ c ，；) j ，7 ，c ，：f 手) = 一( ，7 + 一q + ) i ，7 ) ( 1 6 ) ( c ，l r e ) i ，7 ) = ，i ，7 ) ( c ，! 一e l i + ) | ，) = 一，i ，7 ) x ：些) ：竺 2f f 2 i 因此可以看出i ，) k s 是( x ，一x ! ) 和( 鼻+ 最) 的共同本征态。 ( 。l 一肖! ) f ，7 = 2 ，7 i | ，7 ) ( 一十e ) = 拒，7 1 注意到f 0 0 ) 0 0 i = ：e x p ( _ c ，i c ，。一“) ：可以证明的完备性 宰”忙辟= e x - h 2 + 7 a i - - l l * l l m i 叫+ i * 0 1 - - i l a 2 + g i l a 2 = ：e 、p ( + - ( 2 ) ( c ，；一“i ) + qc + c ，i + ( 1 2 一c ，i q c l r ，； ： = 1 再考虑的正交性( ，77 。利用( 1 7 ) 有 2 孚d o ) = 争小_ y 丁a - + x r ( 2 2 ) w e ) 7 i 给m 一种对应规则( 常被用于路径积分) 。舢) h ) = e 芸。( ) 半) ( 2 3 ) 为了找出i i ( x ，j ) 同h ( x ，p ) 的明显关系，用坐标表缘的完备 一陛，骨r 得 ，_ ，( 、咖胁胁f 争卜学 2 击妇灿桫”ix + 了i i ) ( 。一詈| 记 c ，r 7j 工+ 昙) ( 工一昙j = ( 、，p ) = + ( - 、p ) 为w i g n e l 算符，则w e y l 对应简写为 h ( x ，) ：fl 出。拗o ，p ) 卜叫) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 它表明1 1 ( x p ) 与h ( x ，p ) 对应通过一个积分核( w i g n c i 算 符) 相联系。( 2 5 ) 式是w i g n e r 算符的坐标表象。而w i g n c r 算 符对态矢一) 的平均值被定义为w i g n e r 函数。实际上w i g l l e i 函数 吲科学技术犬学硕1 学位沦文 起初是由量子统计分布的意义来引进的。由于在量子力学中不可能 同时精确的测定一个粒子的位置和动量，要定义一个( x ，p ) 相空 问巾的分布函数并将其解释为概率密度是困难的。而w i g n e r 在 1 9 3 2 年定义了一个函数，其形式上类似于经典概率密度。对个密 度算符p 构造 ，r 7 ( r p ) = f p 【一十兰r 一兰j e x p ( 一。，r ，卉x ，力 ( 2 7 ) 它满足 f f f 乍，p ) c & = p ( p ) f ( 圳。l 加= p ( x ) ( 2 8 ) p ( x ) 和p ( p ) 分别代表发现粒子处在x 和动量为p 的概率，那么 w ( x ，1 1 ) 就被称为w i g n e r 函数。当1 3 是纯态密度算符9 = l * ) ( l 时， 含时的w i g n e l 函数为 h ，= 辟l - q u t i 卜卦，卜引9 ， = ( f | 卜，p ) i l ) 式中a f 、，) 由( 2 5 ) 给出。 2 2 特征函数 我们在讨论系统有能量损失的辐射场的量子化及辐射场与原 子系统作用时，通常采用热库理论，即将光场或原子或光场与原子 看成系统，并将该系统能量的损失认为是与外界作用的结果，这作 用外界比较大，但对其状态一般不加细致研究，只认为其自由度远 比系统多，因此称为热库。处理热库与系统的互作用，通常我们在 相互作用表象或薛定谔表象中，将整个体系的密度算符方程对热库 变数求迹，给出系统约化密度算符主方程，将热库变数消去，然后 叶l 国科学技术大学硕士学位硷文 利用密度算符的准几率表示，将主方程转化为c 数的福克一普朗克 方程，最后求解。 2 2 1 密度矩阵主方程 考虑系统哈密顿量为h 。热库哈密顿量为h r ，热库是一个大自 由度系统，它可以是大量谐振子系统，也可以是大量二能级原子系 统，一般主方程推导与具体热库模型无关，系统与热库问存在弱作 用，其哈密顿量为矿，则总哈密顿量为 i i = h 、+ hr + i 取声，( ，) 是相互作用表象中系统与热库总的密度算符，在相互作用表 象中，运动方程为 掣= 如( ，) p r ( ，) ( 对热库变数求迹，给出系统的约化密度算符为 p ( ，) = 碥( f ) ( 2 1i ) 假定初始系统与热库无关联，取 n ( 0 ) = ，) ( o ) 风 ( 2 1 2 ) 其中p 。是热库的密度算符，将方程( 2 2 ) 积分得到 一( 忙柙) 一寺“叭以( ( 2 1 3 ) 取迹得到 ，( ，) 2 尸( o ) 一去f c n ，n j 一 f ( ，i ) ，p ，( | ) ( 2 1 4 ) 利用递推法可得到一级、二级近似，若i 7 ( ，) 满足矾( f ( ，) 胁) = ( ) 则约 化密度矩阵满足方程 嘉胁n 。e v ( ) l m 咖p ，( ) ( 2 j5 ) 中困科学技术大学硕1 学位论文 此即系统密度算符的主万程。 对于相互作用表象中，阻尼谐振子系统，该方程可以表示为 等2 + 1 ) ( 2 a p a - a a 声- p a + a ) + 兰m + ( 矿耐) ( 2 1 6 ) + 冬1 ，( ! c ，+ pc ，一c ，+ c ，+ p 一户( f + ( ，+ ) 十m + ( 2 ( 7 尸( i - - l i g ! p p ，) 如果振子受到其他作用h ，则可以得到薛定谔表象中的主方程 等= 一静川一1 + 扣+ 1 1 1 2 ( i 田l 叩叫c ，1 + 冬a 7 ( 2 p c ，一( w + ，) 一p 口f f + ) 一等 ，( 2c ，+ p a - a + d ，) 一，。) ( 2 1 7 ) 一兰 ，( 2 f7 ，) f ，一a a p p ，“) 2 2 2 特征函数的引入 对于密度算符主方程的求解我们大致可以分两种情况：当系统在稳 定平衡州。，可以利用光子数表象给出密度矩阵o ：当热库不i f 衡或 由于附加作用引起对角项与非对角项耦合时，就不宜用光子数表 象。这时必须利用相干态展开，将算符方程改变为c 数的微分方 程。在很多情况下我们可以通过w i g e n r 表示将算符主方程转变为 c 数的l ? o k k e r p l a n c k 方程。在这些情况下，利用特征函数会更容 易得到结果 z ( ，7 ) = 乃 r 4 。4 “p = n ( d ，p ( 2 1 8 ) 其对时问求导可表示为 掣珊f d 鲁 a ，j功i t 国科学技术大学硕j j 学位论文 h 海鹏 利用算符g l a t n b e r 公式，可写出 得到 类似的可以写出 利用d 的反正规排序表示 可以得到 将这些用于主方程 d = e i 7 i 。1 1 7 e q + r ， 旦d ：一旦- d + d a ，7 2 矿d ：f 旦+ 巫 d。，t d ：f 旦斗生1 la ，7 2j 从一一斋j d ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 等= ；( m ) ( 2 0 p o - ( f o p 叫，+ c 。+ 三( 2 ( i p e l - - c l e f p - - p r i e l + ) 十告1 ( 2 0 p c i + 一( ，+ f ，+ 尸一p ( f + ( ，+ ) + 7 m5 ( 2 ( ，) c l - - ( i ( 1 p p ，) 可以给出特征函数方程7 ( 2 2 5 ) 笫i2 负 d d 、，j，、 6 一v 一 一a 一， 一 0 一西 叩一2 ，。，l，l = = n d “ z 旦却 ： 一唏撕 吖 y 一2 叩 z c， ，lll 7 ：州 殄万上： ! ! 坐! 坐! 旦尘重型堂茎查查兰婴! ：羔生堡兰一型堡：坠 相应的w i g n e l - 函数可以从上式的傅立叶变换得到，由 f f ( a ) 2p1 “z ( o j _ ? 7 。z ( ，7 ) ( ，匆= 一蛲嘉( m 7 + 蜘) 幽 ：一型 。毗。aa a ( 2 2 6 ) p ”一嘉z ( 叩) 幽，。老舻1 ) 寿删叩 = 老协) 熹( c _ f l f - q a 一， 缸洲( 口) 一a l l , ：上f 旦口+ 三口b = 2 口+ 1 口l p 研一2 l a a a 甜 、( 2 2 7 ) + 批豢謦十：( v + 割嘉卜 参考文献： 、w e ) lh z p h y s 1 9 8 7 ，4 6 ：1 1 2 1 、w i g u e i e ，p h y s r e v 1 9 3 2 ，4 0 ：7 4 9 1 3 1 、范洪义，量子力学表象与变换论，上海交通大学出版社，1 9 9 7 1 4 1 、范洪义，量子力学纠缠态表象及应用，上海交通大学出版社， 2 0 0 l 1 5 l 、萨晋m i ，斯考莱mo ，兰姆w e ，激光物理学，科学出版 社，1 9 8 2 1 6 i 、w a i i sdf ，m i l b m ngj ，q u a n f t l i l lo p t i c ss i n i n gv e , l a g ，b e r l i n 1 9 9 4 第1 3 砸 塑竖竺! 旦 尘旦型堂些查查三兰! ：i ：! i ：竺堡壅 塑塑塑 7 1 、g n i d i n e vgw q u a n t u mn o i s e ，s p r i n g e rv e r l a g ，b e r l i n1 9 9 i 笫1 4 页 中国科学技术大学硕士学位论文 第3 章位相算符及其相关理论 探讨相干态在谐振子位势下的时间演化，由薛定谔方程知，t 时刻的 相干态为 旧r = e - i n t l h 旧唧 - f ( n + a + 舭旧= e 晋旧“) ( 3 1 ) 由此给出坐标的期望值( 令z = 1z ie ”) ( = 川，归2 去c 。s 妇一扫) ( 3 2 ) 与经典谐振子解 g 等 l ，2 c 。s 陋埘e = 面p 2 + 2 限s ， 相比较可见 e 斗h o e iz 1 2 = ( z i h iz ) 一( o i h io ) ，h = 口+ 口+ 去 ( 3 4 ) 即在z = l z ie ”中，l z l 与经典谐振子的振幅相对应，而幅角口与经典振 子的初相对应。因此，模相同而相因子不同的两个相干态 旧) = iz ie 幌) 与iz ：) = | z lp 慨) ( 3 5 ) 对应于初相不同的两个经典谐振子。这表明有必要引入位相算符来 反映各种态的相位特性。 3 1s u s s k i n d - - g l o g o w e r 位相算符 经过狄拉克与s u s s k i n d - - g l o g o w e r 的工作，位相算符定义为 g 译：一! , e - 坤：!( 3 6 ) “n + 1q n + 1 尽管由上面的定义，我们可以得到e 城e “，= 1 ，但是 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文胡海鹏 e - i # p 坤= 1 一lo ) ( 0 陋i 将其作用在粒子数态i ” 上，则有 唧洄m ) - ( 州”揶_ 1 ) = 嚣。) 和 e x p ( 一i o ) i n = d + ( n + 1 ) 。1 ”i n ) ： n + 1 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 可见指数算符不为零的矩阵元是 ( h l e x p ( 印) i n ) = 1 ( 3 1 0 、 ( n + l i e x p ( 一i o ) l ，1 ) = 1 并不满足关系式 = ( - ，l a l f ) ( 3 1 1 ) 所以他们并不是厄米算符，因此他们不能作为位相算符，然而可以 借助这两个算符来定义另一对算符，即 c 。s 妒2 p ( 徊) + e x p ( 却豳佗( 3 1 2 ) s i n 伊= e x p ( 劬) 一e x p ( 一f p ) ，2 f 他们满足关系式 ( ”l 。0 8 pjn - 1 2 ( n - 1 l 0 0 8 o l ”) 2 1 ，2 ( 3 1 3 ) ( h is i n o ih - 1 = - ( n - i is i n o ih ) = 一1 2 可见这一对新的算符是厄米的。粒子数算符n 与位相算符c o s o ，s i n 分别满足对易关系 黔0 8 叼一如m 妒 ( 3 1 4 ) n ，s i n o 】= i c o s o 由不确定原理可以导出 c 。s 妒圭i ( s i n 妒) i ( 3 1 5 ) 心i n o k 扣唧) j 第1 6 页 中国科学技术大学硕士学位论文 将其在粒子态表象中展开，得到结果 p 译= lh ) ( h 一1 1 ，e 一扣= i n ) ( h + 1 i ， ( 3 1 6 ) 对相干态可以导出 ( z ，小。s ) 书旧s ( 耐叫薹器e 咔| 2 ( 3 1 7 ) 即位相算符c o s ( o 的相干态平均值与相位c o s 妇一目) 成正比，这正是我 们所希望得到的结果。 当汗1 ，即平均光子数很大时，可以得到 亿小唧h 忙c o s c 删卅 一卉扣弘卜 和 c z ，r lc 。s 2 妒lz ，r ，= c 。s 2 ( r 一口) 一：兰! 罢薹等 cs ，9 ， ( z ，f lc o s 2 妒) = c o s 2 ( f 一口) 一。二i 一 ( 3 1 9 ) 由上两式，我们可以知道位相的不确定度 a c o s t p = s i n ( c o t - o ) 2 z i ，l z l 2 1 ( 3 2 0 ) 又因为= l z i ，因此c o s 庐= l s i n 陋一口) ，可见相干态是位相算符 厶 和粒子数算符的最小不确定态。 值得指出的是，上面引入的相位算符彼此不对易，因此相位这个 物理量在这里由这两个厄米算符来间接描述。而不能给出与经典相 位直接对应的相位算符。 3 2 p e g g - - b a r n e t t 位相算符 相对于上一节中定义的s g 位相算符，p e g g 和b a r n e t t 引入位相算 符的定义则能更直接的描述位相这个物理量。 中国科学技术大学硕士学位论文 考虑到相位态可以表示为粒子数态的叠加态。 的光场相位态为 i ) = ( s + 1 ) 。”e x p ( 加) 1 ”) 其中的值为 定义个正交完备 ( 3 2 1 ) = + 2 ，r m ( s + 1 )( m = 0 ，1 2 s ) ( 3 2 2 ) 这里为一参考相位。可见新的相位态是( s + 1 ) 个粒子数态的叠加 态，也就是说相位态由粒子数态矢集张开的( s + 1 ) 维h i l b e r t 空间 表示，每个粒子数态具有的相对权重为e x p ( 折) 。于是，位相算符 可以表示为 巾= 1 ) ( l ( 3 2 3 ) m = 0 显然它是厄米算符，并且满足本征方程 中1 ) = l ) ( 3 2 4 ) 可见由上式定义的算符。是具有本征态1 ) ，且本征值为相位的 厄米位相算符。虽然位相本征态i ) 是由有限的( s + 1 ) 维h i l b e r t 空间定义，但最后s 将趋于无穷，所以位相本征态集 f ) 和粒子数 态集0 砧 _ 一样，也可以构成一组描述光场的完各基。任何描述光场 的态矢均可以在这一本征基中展开。下面考虑位相算符。与粒子数 算符的对易关系，由( 3 2 1 ) 可以将算符1 ) ( l 表示为 l ( 行l( 3 2 5 ) h n 代入位相算符的定义可以得到位相算符的表达式 中国科学技术大学硕士学位论文胡海鹏 5 + 雨s , r s + 熹善 + ls + i = ( 3 2 6 ) 这样位相算符中就用( s + 1 ) 维的粒子数态纠展开，同样，粒子数 = 疗l ”) p = - - i 1 一( s + 1 ) i ， v l ) f 2 ( 3 3 1 ) 其中l ，( 甲l ) 1 2 是系统在态矢中相位为的概率。作变换 1 ，( 甲i ) 1 2 = 2 z p ( q a o ) ( s + 1 ) ( 3 3 2 ) 这里p ( ) 为概率密度，0 + 1 ) 2 窟则表示系统的态密度。于是，在极 ，( 、壬，l ，】、壬，) ，= 一f 1 2 丌尸( ) ( 3 3 3 ) 第1 9 页 中国科学技术丈学硕士学位论文 胡海鹏 这种情况下，对于一个物理系统而言，当测量其位相和粒子数时， 他们的不确定度满足 k n e o - + t l 一2 n p ( c p o ) l ( 3 3 4 ) 上式表明，粒子数一相位不确定关系依赖于参考相位，也就是说 依赖于相位本征值范围的选择，因此物理上总可以选择适当的取值 范围，使得p ( ) 2 l j m ， ( 3 3 7 ) 那么我们考虑：能否找到相应的角动量系统的相位算符，满足 e 坩l ，) 刮，m i 0 一以一j ) p 1 ”i j ，) = i j ，州+ 1 ) ( 1 一以，) f 3 3 8 ) 其实我们可以令 叫“k 南i 叩；赤i 限3 9 ) l + 2 +，11 0 、 矿叫2 丽i1 叩赤1n 2 + j n i + 其中n 。= a i + a 。利用式( 3 3 7 ) 及式( 3 3 9 ) ，易证 中国科学技术大学硕士学位论文 叫 嘲2 赢上赢i 工哟 2 赢了j 亏i i 亍_ ，j + 1 ) 一m ( 肌一d i ，m d( 3 _ 4 0 ) = i ，h 一1 ) ( 1 一氏，j ) 同理可得 8 - s g 朋卜赢。赤，帕 2 了志赤历而i 加+ 1 ) ( 3 4 1 ) = 1 ，m + 1 ) ( 1 一，) 可知e v 满足式( 3 4 8 ) 。由角动量算符的基本对易关系，可知 ：，1 2 赢v 一，1 赢一( 3 m ) ，：，e 。”】= e 。 同样。“r 也不厄米，借鉴对s - g 算符的改写方法，仿照式( 1 2 ) n 以构 造 c o s n = i 1 ( p 扣+ p 一) ，s i n g = ( p 一窖一”) ( 3 4 3 ) 根据( 3 4 2 ) 3 1 1 ( 3 4 3 ) 式 可推导对易关系如下 ，：，c o s y 】_ 一s i n i n ，【，s i n y = i c o s i n ，( 3 4 4 ) 可见经此变换后，所得的y 具有位相算符的性质。同样根据不确定 原理的一般理论可知有以下不确定关系 ：a c o s n 寺i ( s i n n ) f ，：a s i n 9 2 寺i ( c o s e ) i ， ( 3 4 5 ) 以上讨论表明，在角动量的s c h w i n g e r 玻色表示理论中，可以找到 位相算符c o s p , 。以下我们可以求他的本征态，他显然可以用角动量 态i ，m 的完备集来展开，l j ，m ) 所满足的完备性是 1 - ，m ) ( ， 1 ( 3 4 6 ) 由上式易知 ”= i j , m - 1 ) ( j ，m l ； 1 = o m = 一j + l e 。= l j , m + 1 ) ( ，m i ； 2 0 0 5 年中国科学技术大学硕士学位论文胡海鹏 可以记c o s w 的本征态为jc o s 妒) 相应的本征值记为旯记满足本征方程 c o s yl c o s q ) = 兄lc o sp ) 将完备性关系( 3 4 6 ) 式带入本征方程可得 + e - a 废lj m ) ( j m ic o s 妒) j = o 一 = c 加ij ：，m 一1 + c 加i ，r e + l 。o ：2 一： “2 一 ( 3 4 8 ) ， 、， = 2 2 c 加i j m ) 由上式可以得到c i 。的递推式 q 。+ 】+ c j 。一1 = 2 c j ，m ， q _ ，= 2 2 , c j ( 3 4 9 ) c i “= 2 a c h 从物理需要出发，可取本征值2 = c o s l f ，0 oin 上，会将 其消灭，从而确定其没有本征态的问题，他们并未像上一种方法一 样采用s g 算符的组合，而是引入了新的一项，使所对应的位相算 符可以表示成循环矩阵的形式，以满足对厄米性的要求。他们所定 义的相差算符满足 d l ；= e 1 2 l ( 2 + 1 ) ， ，1 1 、 考虑，由于 盘，n 】= a n n a = 口，a + 口 = 口+ 口一口+ a a 拳 口，a + a = a a n = ( n + 1 ) ( 3 5 4 ) a f ( j ) = f ( n + 1 ) a 易知 中国科学技术大学硕士学位论文胡海鹏 e t 。、厅孑丽志2a ，n ；志2 了i j 南“，n ；了i j 亏；i 亏 ( 3 5 5 ) 可见此种定义，与前面所定义的位相算符基本相同，但由于同时在 式两边乘以下兰，导致方程有可能丢根，其中e 。，满足 1 ( 2 + 1 ) ” e 一l + 2 - o f 3 5 6 ) e 1 2 ，( | 1 一n 2 ) 2 1 = e 1 2 、7 此时利用式( 3 3 5 ) 的定义，可将式( 3 5 3 ) 改写为 j 一= e 1 2 ，+ ，( 3 5 7 ) 将方程的解可以分为两部分，即解可以写作e 。押= e i v + l ，( e w 见( 2 4 ) 式) 其中l 满足 工，+ i ，一= 0( 3 5 8 ) 这里选择循环相作为l l = e 咖“”1 ，) ( j ，一，l( 3 5 9 ) 西，是任意算符，此时 e 。：n = m 1 ) ( ，聊l 押“”i ，) ( ，一ji ( 3 6 0 ) 易知忙：“。) + e ：o ”= 艺i ，肌) u ，- j + 1 l j j 张成的空间中展开可以写作( 此时j 取 定值) 第2 4 页 o 0 o 1 o o l ；o o 1 o ；o o o oo删 p 中国科学技术大学硕士学位论文 丸= i n 础= ( 2 + 1 ) 1 吼e x p i ( k - n ) o i ，n ) ( j ，k 1 ( 3 7 0 ) 作如下定义 lo m ) = ( 2 ，+ 1 ) 。1 ”e x p - i ( n + j ) 口， l ，n ， 一7 f 3 7 1 ) 2 n m 、7 o m 一2 j + l p 。 则有 o = i l n e ：；】= ( 2 - ，+ 1 ) 。o me x p i ( k - n ) o 。】| ，n ) ( 工k l = o m 限) ( 臼。1 ”，2 一“2 一 ( 3 7 2 ) 验证相态满足正交性 ( 口，1 0 。) = 屯。 并且【以 本征方程 庐口i 疗。) = o mi o m ) ，e 0 i o m ) = e 。“i 目。( 3 7 3 ) 因此同样可知e 0 的本征态是 i 以) = ( 2 + 1 ) 。”e x p - i ( n + ，) o m l ，”) ( 3 7 4 ) 一j 本征值吼= 丢署= 卅 令n = n + j ，n n 1 _ j n ，将上式改写为f o c k 空问展开式 i o m ) - 赤互毋1 卜一k ( 3 7 5 ) 即与式( 3 6 5 ) 的结果相同，可见两种方法解出的本征态是相同的。但 是进一步观察l u i s 提出的e 并不满足对易式【三：，e 妒】- 一e 2 ，实际 带入可知 工：，e = 一l ，m - 1 ) ( j ，ml + 2 j e ”l ，烈，一_ ，l ( 3 7 6 ) 从这一点看出该种方法定义的相位算符，其对易性质并不完美。 3 4h a r d i l - - n f m 操作相算符 中国科学技术大学硕士学位论文 9 0 年代初，n o h ，f o u g e r e s 和m a n d l 引进了“操作”相算符，其目 的时根据实验方案与操作的具体情况来定义相算符。他们认为，实 际测定光场的位相时，总是涉及到两个场的位相差( 即相对值) ， 例如一个差拍实验装置通常给出的是相差的余弦或正弦值，具体实 验构想如下图所示：两数入射光( 在端口1 与2 ) 由分束器进行混 合，在干涉仪输出端i = 1 计数出射光子，计数器是d 3 ，d 4 ，d 5 与d 6 ，借助 于插在干涉仪的一个臂内的一个9 0 度的移相器，从同时测得的光子 数n 3 ，n a ，n 5 和n 6 ，就可以得到进入输出端口1 与2 的光束的相差的余 弦和正弦值。注意在分束器b s ，进入的a 1 是信号模，a ，o 代表真空； 而在分束器b s ：进入一个相干态a 2 作为参考模，a 2 0 也代表真空。 n f m 发现图中所示的实验方案最终导致定义一个相算符是： 丽萧p l o 4 2 m l ( 3 7 7 ) k + ) 2 + 0 。一) 2 f 17 7 、 胪去g ，一n 班= ) 从理论上来分析，它恰好与用经典变数x 与p 构成的平面上所定义 的 c o s 口= 1 ： ，e 融+ e 一。= 2 c o s c c( 3 7 8 ) _ x 2 + p 一致，其中x 与p 分别分解为x = x 。+ x 。，p = p + p ，。现在量子化 c o s 盘，引入玻色算符g ，n + 与( 6 b + ) ，则可得量子化后的相的余弦值是 x口+ 口+ + 6 + 6 +1 d + + 6口+ 6 + 面审p2 丽2 4 再b 萧+ b 菰a b 焉a + b 一2 i 丽丽b + 而丽b l x 2 + 2口+ 口+ + 1 ，r d + + 6 1 f d + + 1，阿d + + 6 1 f 以+ + 1i = 甄厨+ 藤 量去( 8 坤+ p 一。) ( 37 8 ) 第2 6 页 中国科学技术大学硕士学位论文 这里自然的引入了一个新的双模相算符的定义： e = 露。：羼 ( 3 7 9 ) 由于a + 6 + 和a + + 6 互为厄米共厄，而且又对易，它们可以放在一个根 号内。考虑该相算符与双模粒子数差算符d 的对易关系，我们可以 得到 e 一”，d _ _ e - i o ，r d ，e 。 = e 一。 ( 3 8 0 ) 3 5 数差态与相态相互转换中的端点问题 基于上一节中讨论，我们知道数差算符d 和相角算符式一对共 厄算符。二者的本征态分别为数差态和相态，我们发现了当二者相 互转换时，会在端点处出现问题。 3 5 1 问题提出 如果我们要考虑数差与操作相之间纠缠特性时，需要构造一个 新的纠缠态，将( 3 7 9 ) 定义的相算符矿直接作用在孪生光子态 h 妒( 和；) “旧上， i | 口，”) = ( e ”) 4i n ，n ) ( 3 8 1 ) 这里q 是整数。因为 d ，( 口。+ a ；) ( 口j + a ：) = 0 ，可以得到 d , e i q e 。 = 咄神， d e 。 玎。 ( 3 8 2 ) 因此i i g ，n ) 是双模数差算符的本征态。可以证明 y 。：。z l lq ，露 是一个双模f o c k 空问中的新表象。定义与之对应的位相 算符的本征态 峨2 击互麟p ( 一删m o 8 4 ) 第2 7 页 2 0 0 5 年 中国科学技术大学硕士学位论文 胡海鹏 我们有 晓5 去互。x p ( 一q 垆) 1