（机械设计及理论专业论文）热轧高强度无缝钢管热处理过程的数值模拟.pdf

天津理l ：大学硕士研究生论文 摘要 高强度无缝钢管以其优越的性能被广泛地应用于高压、易腐蚀的环境下，其市场需 求量逐年增加。为了提高无缝钢管性能，以适应越来越苛刻的工作环境，对无缝钢管性 能的研究已成为当今研究的热门课题之一。实验研究证明，无缝钢管在热处理过程中产 生的残余应力会明显降低无缝钢管的性能，控制它的残余应力水平是提高无缝钢管性能 的重要手段。本文以大型非线性有限元分析软件m s c m a r c 为平台，对无缝钢管在热 处理过程中产生的残余应力进行研究。 本文首先以热力学定律为基础，考虑材料性能参数随温度变化以及相交潜热等因素 的影响，对高强度无缝钢管淬火和回火的温度场进行数值模拟，得出了与实际情况相吻 合的结论，为进一步研究淬火和回火应力场建立了基础；其次，运用增量理论及相应的 弹塑性本构方程，并假设材料在塑性区满足p r a n d t l r e u s s 塑性流动法则，考虑材料非线 性、相变塑性等因素，模拟计算了高强度无缝钢管在淬火和回火过程中的周向应力以及 最终形成的残余应力，经过与实测值相比较，得出了与实际情况相吻合的结论，为进一 步研究热处理工艺参数对淬火和回火过程的影响建立了理论分析模型；最后，应用本文 建立的理论分析模型分别研究了加热温度和冷却率对淬火和回火应力场的影响。 本文以大型非线性有限元分析软件m s c m a r e 为平台，对高强度无缝钢管的淬火和 回火过程进行了计算机仿真与参数研究，为实现淬火过程的智能化控制建立了一定的基 础 关键词：高强度无缝钢管数值模拟淬火回火周向残余应力 天津理i ：大学硕士研究生论文 a b s t r a c t t h eh j 【g h - s t r e n g t hs e a m l e s s p i p e s a r e w i d e l y u s e di nt h eh i g l i p r e s s u r e a n d c o r r o s i o n r e s i s t a n c ef i e l d s t h eq u a n t i t yt h a tm a r k e tr e q u i r e si si n c r e a s i n gg r e a t l ye v e r yy e a r i no r d e rt oa d a p tt ot h er i g o r o u so p e r a t i n ge n v i r o n m e n t ，t h es t u d yo fi m p r o v i n gt h es e a m l e s s p i p e sp e r f o r m a n c eb e c o m e so n eo ft h eh o t t e s tr e s e a r c ht o p i c sn o w t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o wt h a tt h er e s i d u a ls t r e s sr e d u c e so b v i o u s l yt h ep e r f o r m a n c eo fs e a m l e s sp i p e s c o n t r o l l i n gt h er e s i d u a l s t r e s si sa ni m p o r t a n tm e t h o dt oi m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo f s e a m l e s sp i p e s t h i sp a p e rc a r r i e so u ta ni n v e s t i g a t i o na b o u tt h er e s i d u a ls t r e s so ft h e s e a m l e s sp i p ed u r i n gt h eq u e n c h i n gp r o c e s sb a s e do nl a r g e - s c a l en o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n t s o f t w a r e - m s c m a r c f i r s t l y , t h ef a c t o r si n c l u d i n gt h et e m p e r a t u r e - d e p e n d e n tp r o p e r t i e so fm a t e r i a la n dt h e p h a s ec h a n g ea r et a k e ni n t oa c c o u n ti nt h i sp a p e r , a n dt h ec o m p u t e rs i m u l a t i o nm o d e lo ft h e t e m p e r a t u r ef i e l do fq u e n c h i n ga n dt e m p e ri s e s t a b l i s h e db a s e do nt h el a wo ft h ef i r s t t h e r m o d y n a m i c s t h e r e s u l t so fs i m u l a t i o n , w h i c ha r eb a s i c a l l yc o n s i s t e n tw i t ht h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t s , a r eb a s ef o rf u r t h e rs t u d y i n gt h es t r e s sf i e l do fq u e n c h i n ga n dt e m p e r s e c o n d l y , u s i n gt h ei n c r e m e n t a lt h e o r ya n dc o r r e s p o n d i n ge l a s t i c - p l a s t i c i t y c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s , a s s u m i n gt h a t t h em a t e r i a lm e e t st h ep r a n d t l - r e u s sp l a s t i cf l o wl a wa n d c o n s i d e r i n gt h ef a c t o r ss u c ha s n o n l i n e a rm a t e r i a la n dp h a s et r a n s f o r m a t i o np l a s t i c i t y , t h e c i r c u m f e r e n c es t r e s sa n dt h er e s i d u a ls t r e s so fq u e n c h i n ga n dt e m p e ra r ec a l c u l a t e d t h e r e s u l t so fs i m u l a t i o na l ec o n s i s t e n tw i t ht h ev a l u em e a s u r e d t h ep r o p o s e dm o d e li sa n a n a l y t i cm o d e lf o rf u r t h e rs t u d y i n gt h ee f f e c to fh e a tt r e a t m e n tp a r a m e t e rd u r i n gt h ep r o c e s s q u e n c h i n ga n dl e m p o r f i n a l l y , t h ep a p e rc a r r i e so u ta ni n v e s t i g a t i o na b o u tt h ee f f e c to ft h e h e a t i n gt e m p e r a t u r ea n dt h ec o o l i n gr a t eo nt h es t r e s sf i e l d so fq u e n c h i n ga n dt e m p e rw i t ht h e s a m em e t h o d t h i sp a p e rh a ss i m u l a t e dt h ep r o c e s so fq u e n c h i n ga n dt e m p e rf o rh i g h s t r e n g t h s e a m l e s sp i p e sa n dc a r r i e do u ta ni n v e s t i g a t i o ni nt h ep a r a m e t e r , a n dt h er e s u l t sa r eab a s ef o r f u r t h e rs t u d y i n gm a t h e m a t i c a lm o d e la n di n t e l l i g e n t l yc o n t r o l l i n gt h ep r o c e s so fq u e n c h i n g a n d t e m p e r k e yw o r d s ：h i g h s t r e n g t hs e a m l e s sp i p e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n , q u e n c h i n g , t e m p e r , c i r e u m f e r e n c er e s i d u a ls t r e s s 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 叁盗墨墨盘至 或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：每扒斌签字目期：刁年，月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨盗堡墨盘至有关保留、使用学位论文 的规定。特授权墨盗垄兰盘鲎 可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编， 以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复本和电子 文件。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：甙试武 导师签名： 彦 签字日期：；o o y 年j 月，6 日 致类 签每且瓤：劲a 年la “q 第一章绪论 第一章绪论 无缝钢管是一种经济断面钢材，在原油开采和加工、管道输送、机械制造、锅炉制 造以及大型场馆建设等方面得到广泛应用。目前，受国际原油价格暴涨和我国国民经济 高速发展的影响，其需求量迅速增加，而且对其质量的要求也越来越高。近年来，为了 适应市场对无缝钢管需求数量不断增长和对品种质量越来越高的变化要求，我国无缝钢 管生产企业均加大了技术改造的力度，引进了多套先进的轧管生产机组，全国的无缝钢 管轧制生产设备超过了2 0 0 台套，实际产能已超过了1 2 0 0 万吨。例如，我国2 0 0 5 年的 产量达到1 0 4 7 万吨，成为全球无缝钢管生产第一大国，接近全球无缝钢管产量的4 0 。 我国无缝钢管在品种发展方面，最典型的产品是油井管，而与油井管生产发展紧密 相关的是鞍钢、成都、包钢、宝钢和天津钢管等5 家无缝钢管生产厂。这些企业以生产 专用无缝钢管和大口径无缝钢管为主，总产量超过了全国总产量的一半，生产技术水平 和集中度也都比较高，它们是我国无缝钢管生产的主力军、国家队“司近十几年来，我 国无缝钢管在品种结构上的矛盾已逐步得到解决，但部分高端的高性能无缝钢管产品仍 需进口，并且随着电力、造船、化学和能源工业的加快发展，使石油开采和锅炉等使用 的高性能无缝钢管产品市场空间不断扩大，因此，无缝钢管制造企业面临着机遇和挑战 睁l o ) 。提高无缝钢管性能除提高材料本身的性质外，控制它的残余应力水平也是非常必 要的手段理论和实验研究证明，无缝钢管在热处理过程中产生的残余应力会明显降低 无缝钢管的性能，而且影响残余应力的因素很多如果采用实验方法研究残余应力产生 的原因和控制方法，需要耗费大量的人力和物力。为此，本项目采用数值模拟方法研究 在无缝钢管热处理过程中所产生的残余应力，分析在不同热处理工艺制度下的残余应力 变化规律，探讨无缝钢管的最佳热处理工艺制度，以达到减小无缝钢管残余应力的目的， 从而获得最佳的无缝钢管的性能。 1 1 热处理模拟研究概述 热处理过程是将固态金属加热到一定温度，并在这个温度保持一定时间后，以一定 的冷却方式将金属冷却到规定的温度，从而改变金属的内部组织获得预期性能的工艺过 程。热处理不仅可以改善钢的加工工艺性能，更重要的是可以改善其使用性能，特别是 显著的提高钢的机械性能，并延长其使用寿命“在热处理过程中，金属试件的内部会 发生十分复杂的物理现象，如瞬态温度场的变化、组织的转变、力学性能的改变以及残 余应力的产生等自2 0 世纪7 0 年代以来，由于计算机技术的迅速发展，热处理过程的 数值模拟也随之成为一个举世关注的研究领域，对于一些与热处理相关的学科，如数值 计算方法、计算传热学、热弹塑性理论、相交动力学、计算流体力学等在国内外都开展 了较为深入的研究，从而为热处理过程的计算机模拟和仿真技术的发展奠定了坚实的基 础1 ”1 热处理过程的数值模拟技术始于2 0 世纪6 0 年代末至7 0 年代初，而后得到迅速发 展。1 9 7 8 年瑞典学者i - l i d e n w a l l ”1 计算了渗碳钢的淬火残余应力，在计算时使用了叠加 法则，这一法则最初用于根据等温转变的孕育期来预测连续冷却时的转变温度，它将连 第一章绪论 续冷却离散成每一小时间段的阶梯冷却，借助虚拟时间的概念成功地解决了如何利用 1 r r 曲线预测连续冷却过程组织转变量的问题。后来日本的梅本( u m e m o t o ) 对f e - 0 2 c 、 f c - 0 4 3 c 合金的铁素体、法国的f c m a n d e s 对x c 8 0 合金的珠光体也进行了类似的研究， 验证了该离散原则的可行性“”。8 0 年代，奥地利的r a m m c r s t o f f e r 对淬火过程进行了热 弹塑性分析，并研究彼勒等向强化和随动强化、蠕变、相变塑性等对模拟结果的影响， 发现相变塑性对应力影响较大，而蠕变影响较小可以忽略；日本的t i n o u e 对淬火和回 火过程进行了持续、系统的物理模拟研究和数值模拟研究，他们开发的热处理数值模拟 软件“h e a t s ”可对中小型零件的水淬、渗碳淬火、感应淬火等进行数值模拟，并得到实 际测试结果的验证嗍。法国的d e n i s 。”则在马氏体淬火过程的热力学分析和内应力计算 中全面考虑了相交塑性和内应力对马氏体转交动力学的影响，描述了它们对残余应力的 影响，并与实际测定的应力状态进行了对比。1 9 8 4 年5 月2 3 2 5 日在瑞典的l i n g k o p i n g 大学召开了第一届金属材料热处理内应力计算会议，1 7 个国家的近百名学者参加会议， 并发表了大量有价值的文献，将研究工作推向高潮，此后每两年召开一次这样的国际会 议，使研究工作不断向深入和实用化发展。 我国开展热处理数值模拟的研究工作起步较晚，首先是一些访问学者和留学生在国 外留学时开展了这方面的研究工作，进入8 0 年代，国内一些大专院校和科研单位及企 业才陆续开展这方面的研究工作。1 9 9 6 年出版的有关热处理数值模拟专著，是我国学 者刘庄等自舳年代以来进行淬火过程的数值模拟研究工作的经验和成果的总结。，2 0 0 0 年，上海交通大学举办的第一届热加工过程数学模型与计算机模型国际会议是一次热处 理过程计算机模拟界的盛会，会议共发表国内外论文5 3 篇，基本展示了当前国际上热 处理计算机模拟领域的科研与应用水平，同时也说明我国在这一研究领域中取得了飞速 的发展，与国际先进水平的差距正在缩短删 目前，我国在热处理的基础理论研究和某些热处理新工艺、新技术研究方面，与工 业发达国家的差距不大，并且随着计算机的应用及其计算机性能的提高，热处理过程计 算机数值模拟得到了快速的发展和应用，模拟所用的软件有a b a q u s ，a n s y s ，m a r c 等通用有限元软件，以及日本的h e a r t s 、美国的d e f o r m h t 、瑞典的t r a s t 、中国 清华大学的n s h t 、上海交通大学的s j t u c a r b c a d 等专业软件计算机模拟技术是发 展材料学与工程技术的桥梁，它有赖于计算传热学、相变动力学、热弹塑性力学、数值 计算等学科的发展，它不仅为热处理的计算机模拟研究与应用提供了坚实的基础，同时 又促进了热处理模拟技术的迅速发展模拟技术不但能够显示任何时刻工件内任意截面 上的温度场、组织场、应力场，能使操作者观察到各种物理场随时间推移的情况，也可 以显示出用户所感兴趣的任何点上的温度、应力、组织随时间的变化曲线，这样就为热 处理工作者提供了一个虚拟现实的环境，或者说进行虚拟试验的工具。 目前，普遍采用比较成熟的有限元法，求解控制方程，模拟淬火和回火过程的变化， 所使用的有限元软件有a d l n a 、a n s y s 、m a r c 等，多数的模拟结果都得到了实验测 试数据的支持，取得了令人满意的效果。 尽管如此，对淬火过程进行数值模拟仍存在很多需要解决的问题，原因在于淬火是 一个工件温度场、应力场、组织场、淬火介质流场耦合的过程，但是关于这一耦合过程 2 第一章绪论 尚缺乏成熟的定量统一理论，一般认为它们之间的耦合过程可表示如下： 姐盯 图卜1 介质流场和温度场与工件温度场和组织场及应力场之间的相互作用 图中蛔表示这几种物理场之间的相互作用：淬火介质流场、温度场对淬火工 件温度场的作用和影响：淬火槽内介质流场和温度场通过影响工件与淬火介质的换热系 数影响工件的温度场；淬火工件的温度场又会对淬火介质的流场和温度场产生影响； 淬火工件温度场对工件组织转变的作用和影响：不同的转变温度对应不同的组织； 淬火工件组织场对工件温度场的作用和影响：工件组织转变时会产生相变潜热，从 而影响淬火工件温度场：淬火工件组织转变对应力场，应变场的作用和影响：工件 组织转变引起体积的改变，因为工件内部各部分温度分布和变化不均匀，引起工件内部 各部分的组织转变量不同，各部分的膨胀量也不同，所以在工件内部就会产生组织应力 和应变；淬火工件应力场、应变场反过来对组织转变又有一定影响：如在应力作用 下工件会改变等温转变时间和终了转交时问以及会产生相变塑性等；淬火工件内部 温度场对应力场、应变场的作用和影响：由于工件内部各部分温度分布不均匀，温度引 起各部分变形不同，因而会产生热应力和热应变；淬火工件应力场和应变场也会对 工件温度场产生影响：在热应力作用下工件发生变形，产生变形功，其中大部分要转化 为热能，从而影响工件的温度分布”“1 用计算机模拟回火过程的大量研究，主要集中在回火过程组织变化规律和回火规范 对材料性能影响方面。大家公认回火会减少或消除残余应力，但它是如何降低残余应力 的，各种因素与残余应力的定量关系如何，却因回火过程的复杂很少见报道。目前，已 有众多研究者对回火相交进行了定性分析，但作定量分析较少，以致目前还难于建立完 整的回火过程相交模型，一般认为回火应力变化的影响因素及应力变化过程如图1 2 所 示。 3 第一章绪论 图1 - 2 回火过程应力变化影响因素及应力变化过程 另外，是化学成分的影响。例如，化学成分会影响到奥氏体化的温度，并且会影响 到淬透性等，这些主要是通过影响工件的组织场而产生作用的近年来，人们把研究的 重点放在组织转变方面，一方面积极研究应力应变对相变的影响机理及结果；另一方面 试图得到一些较为通用的模型，利用已有的c c t 相图和1 r r 相图，使需要测量的参数尽 可能的少。 当代科学技术发展的方向之一是多学科的交叉结合，淬火变形与残余应力问题也涉 及到传热学、弹塑性力学、相变动力学、相变热力学和流体力学等学科的交叉结合而 数值模拟有利于促进多学科的交叉结合，但是如果没有实验数据支持，其模拟结果往往 是令人难以信服的，因此用实验来验证模拟结果仍然是不可缺少的 1 2 课题的来源及意义 本课题来源于天津市应用基础研究( 重点) 项目“提高热轧高强度无缝钢管性能的 机理研究”( 项目编号：0 4 3 8 0 4 0 1 1 ) ，本人承担该项目中的模拟热轧高强度无缝钢管热 处理工序中产生的残余应力和热处理工艺参数对残余应力影响的研究内容 目前，高强度无缝钢管在日本、美国、俄罗斯、英国及德国等先进国家的使用相当 普通。在国内，滇黔桂油田、塔里木油田、塔西南油田、四川油田及中原油田等油田和 上海锅炉厂、哈尔滨锅炉厂及东方汽轮机制造厂等动力设备制造企业所使用的高强度无 4 第一章绪论 缝钢管的服役条件更加苛刻、更加复杂，对高强度无缝钢管的性能提出了越来越高的要 求。由于国内在理论研究和实际生产能力方面的欠缺，我国不得不从日本、美国及德国 等厂家进口高强度无缝钢管，每年大约进口3 0 多万吨。高强度无缝钢管的开发生产已 成为国内钢管行业势在必行的高科技产业。 本课题研究内容是生产制造热轧高强度无缝钢管的基础性问题，课题的研究将促进 我国高技术含量的高强度无缝钢管国产化、专业化，提高产品质量，促进产品结构调整， 解决高强度无缝钢管在高压、腐蚀环境下容易早期损坏的问题。 1 3 课题的主要研究内容及创新点 本文的主要研究内容是： ( 1 ) 采用数值模拟的方法，分析热轧高强度无缝钢管淬火时钢管的内外表面冷却强 度以及钢管的表面与内部冷却速度不同所产生的残余应力。 ( 2 ) 采用数值模拟的方法，定量研究热轧高强度无缝钢管在不同加热温度和冷却速 度的情况下淬火残余应力的变化规律，以确定最佳淬火工艺制度。 ( 3 ) 采用数值模拟的方法，研究经过淬火的热轧高强度无缝钢管在回火后残余应力 的变化情况，分析使用与淬火相同的模拟方法得出的结果的准确性。 ( 4 ) 采用数值模拟的方法，定量研究热轧高强度无缝钢管在不同加热温度和冷却速 度的情况下回火残余应力的变化规律，以确定回火工艺制度。 本课题的创新之处； ( 1 ) 采用数值模拟的方法，建立垂直于轴线横截面的二维有限元模型，模拟长管状 工件热处理过程 ( 2 ) 采用数值模拟的方法计算热轧高强度无缝钢管在淬火和回火过程中，不同参数 下热处理残余应力的变化情况，定量分析淬火和回火工艺参数对管体残余应力的影响。 5 第二章有限元法简介 第二章有限元法简介 2 1 有限元法概述 有限元法是近几十年发展起来的一种数值计算方法，它是根据变分原理求解数学物 理问题的一种算法。有关有限元理论的第一批论文发表于2 0 世纪5 0 年代中期，涉及固 体力学领域。在至今不过短短几十年里，伴随着电子计算机的应用与普及，有限元方法 飞速的发展起来，并使许多部门的设计、计算方法发生了巨大的变革。从2 0 世纪6 0 年 代开始，这一方法就已广泛的应用于宇航、飞机、船舶、一般机械、大型建筑、水利工 程、石油化工等部门的设计计算中，近年来又被应用于解决热传导、流体力学、电磁场 等非应力分析领域，并取得了很好的效果。 古典的近似算法是采用有限差分法和变分法。有限差分法以微分方程和相应的边界 条件为依据，将区域离散为许多正方形或长方形小网格，并将差分的概念应用于小网格 的范围，即近似以差分、差商代替微分、微商，从而建立起有限个差分方程组( 代数方 程) 以代替微分方程及其边界条件，以数值解代替解析解；变分法是数学上研究泛函求 极值的一种方法，它是寻求级数形式的近似解析解。把满足边界条件的试解函数代入相 应的泛函，于是对泛函求极值就转化为对多元函数求极值，最后归结为求解线性代数方 程组，最终得到微分方程边值问题的近似解析解，这样就将难以求解的微分方程边值问 题转化为对相应的泛函求极值问题，这就是古典变分法。 虽然有限差分法和变分法都可以将复杂的微分方程和边界条件问题转化为简单的 代数方程和边界条件问题，但有限差分法仅适用于正方形、矩形等网格格式，当边界条 件或边界几何形状较为复杂时，就会使计算的准确性受到影响，甚至无法进行计算；而 古典变分法没有对网格剖分，得到的是对全域的近似解析解，但前提是存在相应的泛函 以及自变量函数必须满足整个求解域及其边界条件，事实是，与微分方程边值问题相对 应的一些泛函迄今尚未找到，有些则可能无对应的泛函，因此古典变分法仍然不能满足 具有复杂结构和复杂边界条件的工程实际问题的需要。 在1 9 4 3 年，c o u r a n t 第一次尝试应用定义在三角形区域上的分段连续函数与最小位 能原理相结合，求解s t v e n a n t 扭转问题此后，些数学家、物理学家及工程师因 各种原因都涉足过有限单元的概念。1 9 6 0 年以后，随着电子计算机的广泛应用和发展， 有限单元法的发展速度才显著加快。 有限元法吸收有限差分法中剖分的合理性，将连续体离散成有限单元的集合体，将 连续分布的物理特性参数化为用有限离散结点的参数表示出来，所不同的是有限元法利 、用离散化的概念直接对求解域进行剖分处理，省略了有限差分法中先建立微分方程的步 骤，同时选取任意三角形作为基本单元，以取代有限差分法的方形、矩形，因此可适合 于曲线边界，可改善计算的准确性；有限元法吸收了古典变分法中将试解函数代入泛函 并对区域进行积分的合理性，所不同的是在有限元法中，积分是在每一个基本单元的小 范围内进行的，因此试解函数也只定义在每个单元的范围内，这就避免了古典变分中试 解函数及积分均定义在整个区域而无法求解的困难局面 6 第二章有限元法简介 2 2 变分原理 2 2 ，泛函 在数学中函数的概念是众所周知的。泛函与函数的区别在于函数的自变量是数，而 泛函的自变量是函数。所以简单说泛函就是函数的函数。 例如：x 为自变量，y 为应变量，那么函数可表示为 y y 【x )( 2 1 ) 如果j 又是y 的函数，那么泛函j 可表示为 j - j ( y ) 一j 【y ( x ) 】 ( 2 2 ) 2 2 2 变分法 研究函数的极值问题用的是微分学，研究泛函极值的方法是变分法。泛函的极值问 题就是要求出使泛函取得最大值或最小值的函数。 研究函数y = y ( x ) 在一点的性态用的是微分，其中包括自变量的微分d x 和函数的微 分d y ，函数的微分可写为 d v a y ( x + a x e j。 d 1 - o 其中，s 为任意小的正数 类似的，研究泛函在一点的性态用变分自变函数y - y ( x ) 的变分记为岛，泛函的 变分记为母母的定义为 国。业垃! ：蝴 a i - o ( 2 - 3 ) 其中，为任意小的正数 由高等数学可知，可微函数y = y ( x ) 在x x o 处取极值的必要条件是该点处d y = 0 ，即 塑虹! ：垒j o a i 曲 对于有变分的泛函j = j 【y ( x ) 1 来说，在y - y o ( x ) 上达到极值的必要条件是在该曲线上 有母。0 ，即 a j y o ( x ) + e i o a f j , - o 可见泛函取极值的条件与函数取极值的条件是类似的，但它们之间有本质的差别。 函数的极值条件为自变量在某点处的增量a x o 时函数将以一定的方式趋于零，即 7 第二章有限元法简介 y y ( x 。+ x ) 一y ( x 。) 一o ；而泛函取极值的条件为自交函数y y ( x ) 在某处的变分匆 一0 时，泛函以某种方式趋于零。 2 3 加权余量法 加权余量法简称为权余法，是有限元法的数学基础。它是指如何把微分方程式转变 为有限元法的基本计算公式。 下面简略说明加权余量法的基本思想。 设有如下的常微分方程和边界条件： 乩( x ) 】- 一万d 2 y + y + 1 0 1 ( 2 - 5 ) y ( o ) 一y ( 1 ) 0i 如果用精确解歹( x ) 代入式( 2 5 ) ，显然能够满足 d 侈( x ) j - 0 ( 2 6 ) 对于很多的微分方程来说，多( x ) 是很难找到的，所以退一步来寻找它的近似解 ，( x ) 显然，把近似解代入式( 2 5 ) 是不能满足的，即 吣( x ) 】- o ( x ) ( 2 7 ) 式中，q ( x ) 称为余量或误差残量。 一般箩( x ) 取某个初等函数的多项式。例如，取 亨( x ) 一c 。( x x 2 ) + c ：( x x 3 ) + c ，( x x 4 ) + ( 2 8 ) 首先应使式( 2 8 ) 满足式( 2 - 5 ) 中的边界条件，即分别用x = o 或x = l 代入式( 2 8 ) 时， 都能得到y ( o ) - y ( 1 ) - 0 ，然后余量q ( x ) 的值必须受到限制，即促使它尽可能地小，以 此作为确定式( 2 8 ) 中常数c 1 ，c 2 ，的条件。要使q ( x ) = 0 的条件在区域内处处满足是 很困难的，但使嗽) 在区域内的平均值等于零则是可以傲到的，即 缸q ( x 皿- 0 ( 2 。9 ) 式中，r 为积分区域。 由于r - 0 ，故得 或 篆0 正d 眵( x 眦- i ( 2 1 0 ) 8 第二章有限元法简介 将多项式，( x ) 代入式( 2 1 0 ) ，不难解出这个积分式，从而求得式( 2 8 ) 中的系数c 。 为了提高精度，希望式( 2 _ 8 ) 是一个多项式，因此式( 2 1 0 ) 是- - 个方程组，这样就提 出了加权余量法的概念。即把式( 2 1 0 ) 改写为 正w i q ( x 舡- 0 或 j ：w ：d p ( x 冲x 一0 ( i t l ，2 ，n ) 化- 1 1 ) 式中，w i 称为加权函数。 显然，式( 2 1 1 ) 是一个方程组。w i 可以有不同的选取方法，就出现了不同的加权余 量方法，其中由于采用伽辽金( g a l e r k i 神法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，因此 在用加权余量法建立有限元格式时几乎毫无例外地采用伽辽金法，而且当存在相应的泛 函时，伽辽金法与变分法往往导致同样的结果。 对于式( 2 8 ) 中给出的试探函数亨( x ) ，如果取 w i 。要( i 1 ，孙，n ) ( 2 1 2 ) a c ， 、 把式( 2 - 1 2 ) 4 弋a 式( 2 1 1 ) ，就可得到 个代数方程来确定厅个待定系数，这就是g a l e r k i n 法。 设q ( x ) 为离散误差，则最小二乘原理规定了取： 垂。善q 2 o - 1 ，2 ，m ) ( 2 - 1 3 ) 的最小值作为平均误差为最小的准则。q ( x ) 为连续型误差，相应于式( 2 - 1 3 ) n - 以写出 中一j ：q 2 ( x ) d 】【 ( 2 。1 4 ) 式中，r 一整个区域 o ( x ) - - 余量 q ( x ) 既是x 的函数，又是式( 2 8 ) 中试探函数中待定系数c i 的函数。为了得到式( 2 - 1 4 ) 中中的最小值，可取 堕，o 8 c i 即 j ：z q ( x ) 挚- 。 或者写成式( 2 1 1 ) 的相同形式 9 第二章有限元法简介 则得 上w i q ( x ) d x = 0 w i - 型a c , ( i = 1 ，2 ，n ) 式( 2 - 1 5 ) 就是最小二乘法中权函数的定义。 2 4 有限元法的基本流程 ( 2 - 1 5 ) 有限元法可以分为线弹性有限元法和非线性有限元法，不管哪一类，它的分析过程 都可以分为以下五步： ( 1 ) 结构离散化：所谓的结构离散化就是指将待分析的单元型式划分成有限个单元 体，把单元的一些指定点设为连接相邻单元的节点，以单元的集合体来代替原结构。 ( 2 ) 确定位移模式：完成结构的离散化之后必须对单元中的位移分布做出合理的假 设，也就是假设单元中任一点的位移可用节点待定位移的一个合理、简单的坐标函数来 表示，这一坐标函数就是位移函数。 ( 3 ) 分析单元特性：单元的位移模式确定之后，可以对单元做以下三个方面的工作： 首先，利用几何方程将单元中任一点的应变用待定节点位移来表示；其次，利用物理方 程导出节点位移表示的单元应力矩阵方程；最后，利用虚位移或最小势能原理建立刚度 方程。 ( 4 ) 集成所有的单元特性，建立整个结构的节点平衡方程：完成了前三步之后，就 可以建立整个结构的节点平衡方程。 ( 5 ) 解方程组和计算结果输出：由于整体刚度矩阵的高阶、带状、稀疏和对称的特 性，在有限元的发展过程中，研究建立了许多不同的存储方式和相应的计算方法，利用 它们可以解出全部未知位移对于非线性问题，还要通过一系列的步骤逐步修改刚度矩 阵或载荷列阵，用相应的算法才能求出，求出位移后，可以进一步计算应力，并用数表 或图形的方式输出整理后的结果 综上所述，有限元的分析过程概括地讲大体分为前处理、分析、后处理三大步骤。 在对高强度无缝钢管的淬火过程进行计算机模拟时，首先要建立淬火工件的几何模型， 然后进行网格划分，确定单元类型，输入边界条件和初始条件，再输入与求解有关的材 料的物理性质，以上过程属于前处理；接下来提交问题，进行求解分析；最后进入后处 理输出计算结果。用计算机来进行模拟计算的基本流程如图2 1 所示。 1 0 第二二章有限元法简介 图2 - 1 有限元计算的流程 1 1 第二章有限元法简介 2 5 m s o m a r c 有限元分析软件简介 有限元分析软件包m a r c 是m a r ca n a l y s i sr e s e a r c hc o r p o r a t i o n ( 简称m a r c ) 的研发产品，但此公司己于1 9 9 9 年5 月被m s c s o f t w a r e 公司收购而成为m s c m a r c 。 m s c m a r c 是功能齐全的高级非线性有限元软件，具有极强的结构分析能力，可以 处理各种线性和非线性结构的计算分析问题，包括线性非线性静力分析、模态分析、 动力响应分析等。对非结构的场问题，如包含对流、辐射、相变潜热等复杂边界条件的 非线性传热问题的温度场以及流场、电场、磁场，也提供了相应的分析求解能力。它提 供了丰富的结构单元、连续单元和特殊单元的单元库。m s c m a r c 的结构分析材料库提 供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材料等多种线性和非线性复杂材料行为的 材料模型。 m s c m a r c 软件作为一个处理高度非线性场问题的通用有限元软件，提供了广泛的 热传导分析功能。根据传热问题类型和边界条件的不同，可将热传导问题分类，例如与 时间无关的稳态传热，与时间有关的瞬态传热；材料参数和边界条件不随温度变化的线 性热传导，材料参数和边界条件对温度敏感的非线性传热( 如相变潜热，辐射，强追对 流等) ；以及包含温度影响的多种场耦合问题，如温度场与变形相互作用的热一机耦合， 温度场与流体运动相互作用的流一热偶合，温度场、流场和结构位移场相互作用的流一 热一固耦合等等。对于上述类型，m a r c 均有很好的解决方案。 实际的热传导严格来讲都是一个瞬态变化过程由于材料惯性的影响，只有当热边 界条件不再变化并经过足够长的时间以后，温度场才能达到稳态对于稳态温度分布、 中等非线性的稳态传热( 如导热系数随温度变化) 经过几次迭代便能求解：对于高度非 线性的稳态热传导( 如潜热、辐射) 等，需要经过较多次的迭代才能收敛到正确解。另 一种求解高度非线性稳态热传导的有效方法是按瞬态非线性热传导问题处理，逐个增量 步迭代收敛，直到稳态解达到为止；瞬态传热分析采用后差分的时间积分获得温度的递 推求解关系；对热传导率、比热、薄膜系数随温度变化的非线性分析，需要在每个递推 时间增量步内经过迭代求解，采用c r a n k n i c o l s o n 外推法和线性内插法确定材料性质的 近似温度。瞬态分析时间步长的选取既可以是由用户定义的固定等步长或变步长，也可 以是自适应的时间步长控制方案，且设定全场温度上限或下限值检查，自动控制瞬态温 度场分析。自适应时间步长控制适宜用户允许的每个增量步最大的温度变化量为约束条 件，确定当前增量步的时间步长，并预测下一增量的步长大小自适应的时间步长控制 保证了在温度剧变阶段能以足够小时间步长捕捉精确的温度变化，而在温度变化较缓或 接近稳态时以较大时间步长加快完成传热分析 对于瞬态传热分析，应定义均布或非均布的初始温度场。m a r c 软件定义初始温 度场的方式有三种：第一种是直接输入节点温度值；第二种是从用m a r c 完成的传热 分析的计算结果文件中，直接读取温度结果作为初始温度；第三种是通过用户子程序的 方式定义结构各处的初始温度分布稳态传热分析并不需要定义初始温度场，但对于非 线性的稳态传热分析，定义一个与温度场计算结果较为接近的初始温度场，可用作温度 场迭代求解的初次猜测值，有助于提高收敛性。定义温度场分析的边界条件在m a r c 中有四种方式；第一类是给定温度；第二类是给定热流强度，包括集中热流、表面热流 第二章有限元法简介 和体积热流；第三类是给定表面对流边界的对流边界系数和环境温度；第四类是给定表 面热辐射边界。对于强迫对流传热分析，还需定义速度场。由此，描述依赖于温度或其 它状态变量的复杂非线性热边界也变得非常方便”。 对于非线性有限元问题，按照引起的原因，多种非线性问题大致可分为以下三类： 几何非线性；材料非线性；非线性边界条件或载荷。与线性问题相比的不同主要有以下 方面：非线性问题的方程是非线性的，因此一般需要进行迭代求解：非线性问题不能采 用叠加原理；非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。这些原因使非线性问题的求 解过程比线性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。因此，非线性有限元程序 不仅需要做复杂的算式和有效的数据管理，而且必须包含合理的逻辑来指导求解过程。 这些问题在m a r c 中都可以得到很好的解决。 第三章温度场的数值模拟 第三章温度场的数值模拟 热处理过程中最重要的一个物理量就是温度，它是进行各种场研究的基础。对温度 场的计算必须将三维问题、瞬态问题、相变潜热问题、热物性等考虑在内，而所有这些 问题的存在，都会导致大量的非线性问题的产生，而非线性问题是计算机模拟计算中的 一个难点。温度场中的非线性主要来自换热系数、相变过程中释放的相交潜热、材料的 物性参数。 3 1 传热学基本原理 热处理过程的温度场计算，是在一定的初始条件和边界条件下，计算工件内部的热 传导问题。热量从一个物体传到另一个物体，或者从物体的这一部分传到另一部份是由 于存在着温度差，所以温度差是产生热量传递的内在原因。热量传递的三种基本方式为： 热传导、对流和热辐射，它们既可以单独存在，也可以同时发生。 导热基本定律是由法国数学物理学家傅立叶于1 8 2 2 年提出的。傅立叶在实验基础 上，对均匀的各向同性物体中发生的稳态导热现象作了科学的总结，用一个简单的数学 式子把物体各部温度场和热流密度联系起来， q 一一a g r a d t0 - 1 1 式( 3 - 1 ) 称为傅立叶导热定律的数学表达式。 在直角坐标系下，三维非稳态导热微分方程的一般形式为嗍： 肛芸- 去( a 罢) + 专( a 考) + 圭( a 兰) + 垂( 3 - 2 ) 其中，d 、c 、中及f 各为微元体的密度、比热容、单位时问内单位体积中内热源的生成 热及时间。 在圆柱坐标系下，导热微分方程式的一般形式嘲： 伊嚣- 杀f 知型a r j + 专专p 嚣) + 壹( a 兰) + 垂 。 伊磊。i i 加一| + 7 石i a 面j + 云i 瓦j + q 仔习 针对具体问题，首先要建立数学模型，其实质就是尽可能地将传热问题的数学方程 简化。 为了使导热微分方程唯一被确定，需要给出已知具体问题的初始和边界条件，统称 为定解条件。初始条件是过程开始时物体整个区域中所具有的温度值，用公式表示为： 或 1 1 。- o 一瓦 1 司矿妒( x ，y ( 3 4 ) 式中，乃为已知常数，表示物体的初始温度是均匀的：妒( x ，y ) 为已知函数，表示物体的 初始温度是不均匀的。 1 4 第三章温度场的数值模拟 一般的边界条件共分为三类： 第一类边界条件是指物体边界上的温度函数为已知，用公式表示为： 卅，一l 或 卅，- t ( x ，y ，t ) 式中，r 为物体边界，r 的方向是逆时针方向； 面温度的函数( 随时间为之而变) 。 ( 3 - 5 ) l 为已知壁面温度；t ( x ，y t ) 为已知壁 第二类边界条件是指物体边界上的热流密度面为已知。由于面的方向就是边界面外 法线i i 的方向，用公式表示为： 式中，q 2 为已知热流密度；g ( x ，y , 0 为已知热流密度函数。 第三类边界条件是指与物体相接触的流体介质的温度t ，和换热系数口为已知，对传 热问题就是在物体某一边界上，辐射与对流换热条件已知。用公式表示为： - k 矧，却刊， ( 3 忉 口和b 可以是常数，也可以是某种随时间和位置而变化的函数。 3 2 温度场的有限元模型 3 2 1 温度场有限元方程的建立 从描述传热分析的微分方程和边界条件中导出其有限元求解方程的方法有