（计算数学专业论文）大气重力波的数值模拟和波谱分析.pdf

摘要 计算流体力学是计算数学中的一个非常重要的分支，自从有了计算机以后计算 流体力学得到了长足发展。它已经成了解决包括气象、交通、建筑、桥梁、航空航天 以及生命科学等多领域中流体力学问题的强有力工具，而大气重力波现在已经成为 气象学的主要研究方向之一。大气运动的控制方程为n a v i e r s t o k e s 方程组。由于一 般的n a v i e r - s t o k e s 方程组的精确解无法获得，我们只能寻求数值模拟。 在第一章我们简单介绍了一下大气重力波的概念，产生机制和研究意义。第二 章我们首先考虑在剪切外力和对流不稳定共同影响的背景流场，利用数值方法得到 了大气运动的控制方程的解，并考察了流场的发展情况。然后我们通过谱分析，得 到了剪切外力的波动频率和所产生的重力波频率的关系。第三章我们研究了对流不 稳定作用对其产生的重力波的影响，得出了不同的对流频率与重力波频率的关系。 在这一章的最后我们还比较了剪切作用和对流作用对重力波的影响程度。最后一章 我们给出了一个总结和将来的工作。 关键词：n a i v e r - s t o k e s 方程，数值模拟，谱分析，剪切外力，对流不稳定 a b s tr a c t c o m p u t i n gf l u i dd y n a m i c si sas i g n i f i c a n tp a r to fc o m p u t i n gm a t h e m a t i c s i td e v e l o p e dg r e a t l ys i n c et h ew i d e l yu s eo fc o m p u t e 。i th a v es o l v e dm a n yf l u i d m e c h a n i cp r o b l e m sf r o mm e t e o r o l o g y , t r a f f i cs c i e n c e ，a r c h i t e c t u r es c i e n c e ，b r i d g e s c i e n c ea n da v i a t i o ns c i e n c e a n da t m o s p h e r eg r a v i t yw a v e si sn o wap a r to fm a i n - s t r e a mm e t e o r o l o g y t h em o v eo fa t m o s p h e r ei sc o n t r o l l e db yn a i v e r s t o k e se q u a - t i o n s ，b u tt h ea n a l y t i cs o l u t i o nc a nn o tb eo b t a i n e de a s i l yn o w s ow et u r nt o n u m e r i c a ls o l u t i o n i nc h a p t e r l ，w ei n t r o d u c e da t m o s p h e r eg r a v i t yw a v e si n c l u d ei t sc o n c e p t i o n ， m e c h a n i s ma n dr e s e a r c hs i g n i f i c a n c e i nc h a p t e r 2 ，w ef i r s tc o n s i d e rf l u i df i e l du n - d e rt h ec o n d i t i o no fs h e a r s t r a t i f i e da n du n s t a b l ec o n v e c t i o n ，a n dg e ti t ss o l u t i o n n u m e r i c a l l y t h e nw ef i n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es h e a r - s t r a t i f i e df r e q u e n c y a n dt h er e l a t e dg r a v i t yw a v e sf r e q u e n c yb ys p e c t r a la n a l y s i sm e t h o d s i nt h et h i r d c h a p t e r ，w eg e tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eu n s t a b l ec o n v e c t i o nf r e q u e n c ya n dt h e a s s o c i a t e dg r a v i t yw a v e sf r e q u e n c ys i m i l a r l y i na d d i t i o n ，w ec o m p a r e dt h ef o r c e de l - f e c tt h es h e a ra n dt h ec o n v e c t i o nt ot h eg r a 、= d t yw a v e s w ee n dt h i st h e s i sw i t ha s h o r tc h a p t e ro fc o n c l u s i o n sa n df u t u r ew o r k s k e yw o r d s ：n a i v e r - s t o k e sq u a t i o n s ，n u m e r i c a ls o l u t i o n ，s p e c t r a la n a l y s i s ，s h e a r - s t r a t i f i e d ，u n s t a b l ec o n 、, e c t i o n 插图目录 1 1b e l a n d ( 1 9 9 3 ) 根据气球测量法得出的b r u n t v a i s s l i 频率 3 2 1 a 图为b e d a r d 等人1 9 8 6 年得到的一种射流分布，点是观测值，实线是数值拟合结 果，b 图是我们选择的高斯型射流模型 1 2 2 2 此图为c a s e l 在时间t 内4 个时刻的流场图像。箭头表示速度矢量，颜色等高线表 示位势温度。箭头的长度表示速度的大小，越长表示越大；颜色越深表是位势 温度越大，t = 1 0 0 0 0 s 。横坐标表示水平方向平均划分网格，垂直方向是7 - 1 7 公 里的平均划分网格( 下图同) 。 ，1 5 2 3 此图为c a s e l 的水平速度分布图：左图为t t 2 时的水平速度等高线图，右图 为t = t 时的水平速度等高线图。颜色越深表示速度越大。 1 6 2 4此图为c a s e l 在整个计算时间内各二阶统计量在垂直方向的积分值：实线表示u s 吼 ( 厂( u 心) 妇) ，虚线表示v s u m ( ，( u 心) 西) ，点表示p t s u m ( ( 2 ) 匆) ，横坐标表示时 r - j ( s ) ，纵坐标表示二阶统计量( m 2 s 2 1 0 3 ) 。 1 7 2 5 此图为c a s e l 在t 时间内的竖直方向速度和位势温度的物理分布( y = 1 6 k m ) ：左 图为速度v 的分布情况，右图为位势温度。横轴为时间变量，纵轴为水平方向 距离。1 8 2 6 此图为c a s e l 的竖直速度的谱分解图像。其其中k 为波数( m 1 ) ，伪频率( s - 1 ) 。 1 9 2 7 此图为c a s e 2 在t 时间内的竖直方向速度和位势温度的物理分布( y = 1 6 k m ) ：左 图为速度v ? 的分布情况，右图为位势温度。横轴为时间变量，纵轴为水平方向 距离。 ，2 0 2 8 此图为c a s e 2 的竖直速度的谱分解图像。其中k 为波数( m 一1 ) ，伪频率( s _ 1 ) 。 2 1 2 9 此图为c a s e 3 的竖直速度的物理图像和谱分解图像。左图为y = 1 6 k m 处的竖直速 度v 的剖面图，右图为相应的谱分布图像。其中k 为波数( m q ) ，伪频率( s 。) 。2 2 2 1 0 此图为c a s e 4 的竖直速度的物理图像和谱分解图像。左图为y = 1 6 k m 处的竖直 速度v 的剖面图，右图为相应的谱分布图像。其中k 为波数( 竹1 - 1 ) ，f 为频率( s - 1 ) 。 2 3 3 1 此图为c a s e 5 在时间t 内4 个时刻的流场图像。箭头表示速度矢量，颜色等高线表 示位势温度。箭头的长度表示速度的大小，越长表示越大；颜色越深表是位势 温度越大，t = 1 0 0 0 0 s 。横坐标表示水平方向平均划分网格，垂直方向是1 7 公 里的平均划分网格。2 5 2 0 0 9 年中国科学技术大学硕士学位论文 插图目录 第v 页 插图目录 3 。2此图为c a s e 5 在整个计算时间内各二阶统计量在垂直方向的积分值：实线表示u s u m ( r ( t 心) 咖) ，虚线表示v s u m ( f ( v 彪) d y ) ，点表示p t s u m ( ，( 俨) 句) ，横坐标表示时间( s ) ， 纵坐标表示二阶统计量( 1 2 s 2x1 0 _ 3 ) 。 2 6 3 3 此图为c a s e 5 的竖直速度的物理图像和谱分解图像。左图为y = 1 6 k m 处的竖直速 度v 的剖面图，右图为相应的谱分布图像。其中k 为波数( m 一1 ) ，伪频率( s - 1 ) 。2 7 3 4 此图为c a s e 6 的竖直速度的物理图像和谱分解图像。左图为y = 1 6 k m 处的竖直速 度v 的剖面图，右图为相应的谱分布图像。其中k 为波数( m - 1 ) ，伪频率( s - 1 ) 。 2 7 3 5 此图为c a s e 7 的竖直速度的物理图像和谱分解图像。左图为y = 1 6 k m 处的竖直速 度v 的剖面图，右图为相应的谱分布图像。其中k 为波数( m 1 ) ，伪频率( s “) 。 2 8 3 6 此图为竖直速度的物理图像和谱分解图像。从上到下依次对应着c a s e 8 、c a s e 9 和c a s e l o ， 每一层的左图为y = 1 6 k i n 处的竖直速度v 的剖面图，右图为相应的谱分布图像。 其中k 为波数( m 一1 ) ，f 为频率( s o ) 。 3 0 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：。名龛支之签字日期：2 弓哮厶盈盟一 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签字日期：丝驾龟墨量! 璺 导师签名： 签字日期：矽! 皇：重： 、， 一 。 一 一，盟 (h、一引选 保人泛一象 彳糍 第一章绪论 大气重力波是中层大气中最重要也是最普遍的动力学过程之一，重力波在中层 大气中的传播会导致大气不同层区之间能量和动量的交换和耦合，在全球中高层大 气能量收支平衡中占有重要地位。当不考虑大气重力波时，理论计算的全球大气动 力学结构与观测存在很大差异，所以在研究大气动力学过程中，重力波的贡献是不 可缺少的因素。 1 1 大气重力波介绍 1 1 1重力波的概念 从重力波这个术语的字面理解，重力波应该是重力作为流体微团偏离其平衡位 置的回复力，但实际上流体微团受到的浮力才是真正的回复力【1 。在这里我们考虑 位于z 。高度，处于平衡状态的质量为m 寸的流体微团，令该微团有个从名处向上的小 位移6 孑。假设在移动过程中流体微团没有和周围环境发生混合，并且该过程是绝热 的，也就是说在流体微团的表面没有热量交换。作用在流体微团上的浮力r 可以表 示为： r = 一夕( 唧一m 。) 三( 1 1 1 ) 其中是被该微团取代的空气微团的质量，9 是重力加速度，由牛顿第二定律，我 们有 佛掣：一9 ( 一m 口) ( 1 1 2 ) 佛1 矿。一9 【一m 口) 【l l z ) 我们假设替换和被替换的空气微团的体积不变，并且其受到的压强就是周围环境的 压强。由理想气体状态方程 p = p 触( 1 1 3 ) ，其中r 是气体常数，r = 2 8 7 j k g k - 1 综上可以得出 掣警一t o 死- r , - ( 1 ) ，p 。是背景空气的密度，咒、弓分别是背景和流体微团的温度。将l 、耳展开到一阶 倒数，即： t o ( 磊俐= 而+ 科0 1 5 l 2 0 0 9 年 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 1 1 大气重力波介绍 t p ( z , + 5 z m + 乳 ( 1 1 6 ) ，其中死是在平衡位置磊处的温度。把( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 带入( 1 1 4 ) 并且注意到由于 位置的改变引起的温度的改变是很微小的，也就是说： 掣：一鲁( ，孕一票k (118)dt 2 死、以 、叫 由一喝a z = 9 勺= r ，其中勺是等压比热，r 是绝热温度垂直梯度。类似地我 们可以令- o t u o z = 7 d 于是方程( 1 1 8 ) 写成： 掣：一鲁( r 一) 如 ( “9 ) 一= 一一i i 一吖i f ，z l m i 出2z r旭厂“r 叫 另一方面位势温度日= 瓦( i o 口o o ，1 r c p , 以及静力学方程塞= 一册可以推出： 丝=去(鲁+昙)=等(11100o z ， 一一= 一一+ 一l = 一 l 死沈勺 瓦 7 将( 1 1 1 0 ) 带入( 1 1 9 ) 得到如下结果： 掣= 一旦0 鼢 ( 1 1 1 1 ) = 一n z - i 1i - d t 2如 r 一7 这就是垂直方向谐波振动的方程。于是这种简单的垂直方向的振动就可以有如下形 式的解： 5 z ( t ) = a e + b e 一。，( 1 1 1 2 ) 其中= v 旦日琵0 0 ，当是实的时，就是该微团振动的频率，有时也被称为b 7 t 疵一 y 觇s 苞拖频奉。当是虚数的时候，也且p a o o z o ；t g 是这并不意味着波动的频 率就是b r u n t y 谢s 2 l f 画频率事实上b r u n t y 舐s 矾a 频率是重力波垂直传播的最 大频率。通常重力波不是在垂直方向上传播的，而是与垂直方向有一个夹角，我们 可以假设给流体微团一个6 的位移，其平衡位置处于与水平面成口角的平面上。可以 以上述过程类似的推导，得到此时的波动为： 6 s = a e 7 。+ b e 一“，( 1 1 1 4 ) 其中7 = ；爱s i n 2 纠1 仁= s i n z ，如果p = o ，此时运动是水平方向的并且没有波 动，因为n 7 = o ，可以看出波动的频率范围是0 到，频率大小取决于波动与水平方 向的夹角口。b r u n t y 觇s 甜a 频率在对流层和平流层的分布大致如下图所示： ，。一 1 1 2 线性模型 我们关于大气重力波的几乎所有知识都是从线性理论得来。线性理论更易于 理解。线性理论最重要的假设是将一些物理量，比如g ，分解成背景状态量钧和扰动 量q 。，扰动量不影响背景量，并且忽略粘性和地球自转。既然扰动量很小，其乘积量 也会很小，可以忽略，再假设背景状态是稳定的，水平方向是均匀的，于是可以认 为背景流场为平均流场，但在垂直方向仍然有变化。扰动量通常是由湍流、密度涌 j | | | | | | | | j | | | | e | | | | | | | 2 0 0 9 年 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第4 页 1 1 大气重力波介绍 流以及热柱等机制造成。线性理论为我们提供了一种理解大部分波的有效的一阶估 计，其简洁性给我们提供了关于波的进程和观测结果的一个可以理解的解释f 1 】。 下面我们来考虑线性重力波的波方程。二维无旋无粘流的欧拉方程组，在b o u s s - i n e s q 近似下可以写成： 瓦o u + u 瓦o u + 叫塞= 一三p 塑o x ( 。1 1 1 5 )瓦+ u 瓦+ 叫瓦。二 ) 等+ 乱筹+ 枷7 抛z = 一三塞一g 1 。1 1 1 6 ) 瓦+ 乱瓦+ 枷2 一；赢一 赛+ 警- o ( 1 1 1 7 ) a z 。a z 。 、。 瓷+ u 塞+ 塞= o ( 1 l 1 8 ) 瓦+ u 瓦+ 瓦2 u 【1 1 方程( 1 1 1 5 ) 和( 1 1 1 6 ) 分别是x 和z 方向的动量方程，方程( 1 1 1 7 ) 是连续性方 程，方程( 1 1 1 8 ) 县热量方稃。鞋们根椐 q ( x ，z ，t ) = q o ( z ) + q l ( x ，z ，t )( 1 1 1 9 ) 将刀程组线住化，兵甲q o ( z ) 是稳定的水平方同均匀的背景值，q 1 ( o ，之，t ) 是一阶扰动 项。同时我们假设背景流场保存静力学平衡，并且令 ( t 三，p z ，p ，铆- ) = ( 磊( z ) ，声( z ) ，多( z ) ，西( z ) ) e “k z u 旬 ( 1 1 2 。) 则方程组变为： 卅比棚御+ 西警一三p o 坳 ( 1 1 2 1 ) 嘞州蜥= 一去窆一互p 0 9 ( 1 忱2 ) t 施+ 夏w = o ( 1 1 2 3 ) u ，二 一讪卢+ i 让o k z + 训_ j d p 歹o = o ( 1 1 2 4 ) 我们定义本征频率q 为q = u u o k ，其物理意义为随流体流动的观察者观测到的波 频率，而u 则是按照固定的参照系观测到的频率。此时水平方向相速度为 岛：罢+ 坳：口+ u o ( 1 1 2 5 ) 岛2i + 坳2 口+ () 2 0 0 9 年中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 第一章绪论1 1 大气重力波介绍 于是我们得到所谓的极化方程： i q 豇一伽d u o ：l 硒 d z r h o o i q 面：三掌+ 互夕 p oupo i k 5 + 掣：0 i q 西+ 面p 枷n 2 ：0 ( 1 1 2 6 ) ( 1 1 2 7 ) ( 1 1 2 8 ) ( 1 1 2 9 ) 解关于面的极化方程得到如f 关系： 一d2+；1石dpo西d面+警+鲁警+孬k石1石dpo石duodz2一七2 卜= 。 ( 1 1 3 0 ) pd zd z lq 2 。qd z 2qp od zd z 。l 一 、7 假设吉粤= 一瓦1 ，并令一个新变量西，西= e j ( 1 2 风) 出面= e z 2 h t z ) 于是得到所谓 t a y l o r g o l d s t e i n j y 程： 碧+ 冈y 2 + 三岳一面1 “卜= 。 ( 1 坞， 在上述方程中我们为了简化，用c 代替了岛中括号中的第一次项为浮力项，第二项 为曲率项，第三项为剪切项，第四项没有一个特殊的名字，其值通常在对流层底部 f i t 4 , ，最后一项被称为非静力学项，如果垂直方向的扰动处于静力学平衡，则这一 项不会出现。垂直方向的速度扰动为： 州邓卸矿2 “k 刊) 嘶) ( 蕊) 。b 叫 ( 1 1 3 2 ) x 寸- 3 ：t a y l o r g o l d s t e i n 方程( 1 1 3 1 ) ，我们可以考察两种简单情形的解。 1 ) 没有背景风场，n 为常数，波长远小于风，此时t a y l o t g o l d s t e i n 方程( 1 1 3 1 ) 妫： 碧+ 警埘卜 坞3 ， d z 2iu 2 “l 。 、 7 其一般解为： 0 ( z ) = a e i m 2 + b e 一m 。( 1 1 3 4 ) ，其中m 为垂直波数，由m 2 = k 2l 等一1l 决定，解此式可以得到色散关系如下： u = 士萨丽k n ( 1 1 - 3 5 ) 2 0 0 9 年 中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 第一章绪论 1 1 1 大气重力波介绍 这一色散关系几乎是重力波的线性理论中最重要最基本的结论了，因为它将波的角 频率和其波结构以及大气的物理特征联系在一起了。这样我们可以写出( 1 1 3 3 ) 的 物理空间的解： 钮l ( z ，z ，t ) = a e 2 2 日l ( b + ”珏一“+ b e ：2 皿e i ( k x 一班一u ”f 1 1 3 6 ) 其中a 项代表解的正项，垂直方向的相速度为c ：= 景，解的b 项代表负方向分支，乞= 一兹我们由色散关系可以得到； 五 ， u = ( k 2 + m 2 ) l 2 2n c o s ( 1 1 3 7 ) 其中了是波矢量与水平方向的夹角。由此可以看出波的频率不会超过n 。当口：o n ， 流体微团是在垂直方向振动，水平方向传播；p = ，r 2 时，流体微团在水平方向振 动，垂直方向传播，一般情况下流体就是在介于这两种状态下运动。同时我们可以 考虑这种情形的群速度： 2 ( k 2 + m 2 ) 3 2 n m k 加g2 一( k 2 + m 2 ) 3 2 2 ) 背景风场是常数u 0 。此时t a y l o r g o l d s t e i n 方程是： 碧+ 警“卜= o 其垂直波数为： m = 尚搿 1 2 或者： u 叫士 筹 l 2 ，有此可以推出相速度和群速度： 。 岛：u o + _ nc 。s p =u。一k+一ncz c o sp = u o 一十一 m 2 钍92u 。+ 丽网 = 一景( 岛咱) 3 切g2 一而( 岛一u o ) 。 ( 1 1 4 3 ) ( 1 1 4 4 ) ( 1 1 4 5 ) ( 1 1 4 6 ) 、l，、l， 8 9 3 3 l l 1 l ，i，i、 0 1 2 4 4 4 1 1 1 1 1 l 2 0 0 9 盔 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 1 2 重力泼的产生机制 六七十年代，人们用线性理论对重力波进行了广泛的研究，得到了许多极有价 值的结论，但随着实验观测的增多，人们发现许多观测结果很难从线性重力波理论 得到合理的解释。由于大气密度随高度指数减少，波的扰动速度随高度指数增长， 因此，非线性过程对重力波在中高层大气中的传播影响不容忽视。从八十年代开始， 随着计算机技术的发展，数值模拟方法用于研究重力波的非线性传播【2 1 。 1 2重力波的产生机制 目前从理论、数值计算和观察研究上总结出重力波产生可以有多种不同机制， 其中最主要的有以下几种：热对流，地形，地转作用或非平衡流的调整，波破碎和 非线性外力，包括风剪切作用。其中热对流导致大部分赤道地区的重力波；地形作 用主要是指由于山地阻碍而产生重力波；地转作用和非平衡流调整盛行在中纬度地 区。下面分别简单介绍几种机制。 1 2 1 对流机制 尽管人们很早就知道对流能够激发重力波，但是直到最近才有观察和模型开始 描述这种机制。对流机制可以产生多种相速度，多种频率，多种尺度的重力波。低 频波可以在距离对流源水平方向很远的中层大气中观察到，这就使得与云或者其他 对流的表征因子的相互关系变得非常复杂；在对流层项通常能够观察到对流源引起 的重力波 2 5 】，f 1 3 】， 15 】 f 1 4 k 关于对流机制下的重力波的模型研究对我们理解这 种现象非常有帮助。虽然由随时间变化的潜热释放引起的对流，进而与剪切的相互 作用方式都还没有彻底搞清楚，但是已经提出了以下3 中简单的对流重力波生成机 制：( 1 ) 单纯的热源作用，( 2 ) 一种“障碍”或者说是“瞬时山”效应，( 3 ) 一种“机 械振子 效应。 对于单纯没有剪切的对流作用产生的重力波，a l e x a n d e r 等人发现其垂直方向 的波长竟然惊奇的近似相等【l7 1 ，f 1 8 1 ，f 1 9 1 。b e r g - m a n 等人利用热带地区的云图估 计出该模型下行星波、低频长波波长，并且g a i c i a 等人发现这种波可以扩展到中间 层 2 0 1 ， 2 1 】。在这些研究中涉及的线性理论对于热带地区的行星波不再起作用，但 是其振幅一般情况比相应的非线性模型大f 2 2 1 。从这些云数据中导出的重力波动量 通量目前还是未知的。这种机制的观测证据由m c l a n d r e s s 等人2 0 0 0 年给出，尽管其 相对于其他机制的重要性还没有定量的描述f 2 3 1 。单纯的热对流被期望产生各向同 性的波，而各向异性的波被认为主要在具有背景风的过滤作用下产生。 2 0 0 9 年 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第8 页 1 2 重力波的产生机制 障碍效应首先c l a r k 等人1 9 8 6 年在研究边界层对流产生的对流层顶重力短波 中提出的，而且他们的研究思想在理解对流引起的中间层长波重力波也是非常有效 果的 2 4 】。障碍效应可以理解为一种类型的地形波，对流热改变了随对流源移动的 稳定层底部的等熵线形状，c l a r k 还发现在稳定层的项部单纯对流热源和障碍效应 都可以产生重力波，只不过障碍效应产生的波振幅更大。p f i s t e r 等人1 9 9 3 年用一个 线性模型显示地模拟了这种机制，通过平流层航天器观测发现了上述结果的证据， 并且描述了时间依赖的障碍效应如何影响产生的重力波相速度f 2 5 】。障碍效应的观 测证据由v i n c e n t 等人2 0 0 0 年给出。这种机制通常倾向于产生各向异性的，相对于对 流障碍，传播方向和风场相反的重力波【1 6 l 。 f o v e u 等人1 9 9 2 年描述“振子效应”是一种周期性和局部的动量源项产生频率 与振子频率一致的重力波f 2 6 1 。这种机制与随时间以固定频率波动的热源项没有什 么本质区别。l a n e 等人2 0 0 1 年提出了类似的3 维模型，这个模型在一些假设下，其导 源区域包含了很少或者没有剪切外力。在他们的概念模型中，微团以局部对流层浮 力频率在中性浮力水平上振动，这就限制了这种机制在对流层顶高于n 分布最小值 的高度只能产生非常高频率的重力波。对于这种振子机制，其各向异性是由背景风 以一种类似于障碍效应的方式引起f 2 7 1 。 总之，由于很强的局部剪切、垂直分布和潜热的时间依赖，这三种已经提出的 简单机制无疑都是很重要的。在现实中，这三种机制不是分开的，而是耦合在一起 的。但是，对于某一类观测到的现象，往往某种机制能够在很大程度上解释这类现 象，例如，垂直方向的重力长波通常就是与深度潜热对流联系在一起的。 1 2 2 剪切机制 由剪切不稳定激发的重力波已经研究了很多年，但是却是众多机制中定量分析 做的最少的一个。这其中一个主要的困难在于说明这样一种现象：远离剪切层的重 力波在时间上与最快速度增长的k h 不稳定性竞相增长。这就使得线性模型关于不 稳定增长率依赖于水平方向的波数的论断难以成立。利用k h 和传播模型之间的一 种非线性相互作用，f r i t t s 等人能够解释快速激发的重力波( 2 9 1 ) 。这种“包层”式 辐射本质上是一种“包裹”式运动激发的重力波，并伴随着一系列k h 巨浪在水平方 向有限范围的剪切不稳定层共同演化。b u h l e r 等人研究了一种由于k h 的有限延展 造成的混合层瓦解而激发的重力波，并且断言这种机制在更高高度的动量传输中不 能忽略( f 3 0 1 ) 。s c i n o c c a 等人重新检验了了空间局部k h 巨浪的非线性辐射，断言 “包层 式辐射是重力波的一种可行生成机制，并且很有可能是中间层动量预算的 2 0 0 9 垒 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 5 1 2 重力泼的产生机制 重要引子( f 3 1 】) 。 假设“包层”式辐射是主导的剪切辐射机制，我们可以推出其特征水平尺度 在1 0 到1 0 0 倍的k h 波长或者几十公里，其水平相速度与不稳定的剪切层中的平局风 速具有相当的水平。然而，一些观测数据显示某种不稳定层的线性模式有可能被激 发【3 2 】。在这种情况下，重力波的尺度由剪切流的特征决定并倾向于大于k h 波长。 1 2 3 地形机制 地形波的研究是重力波产生的众多机制中最多的一个。这主要是由于大尺度的 地形特征，如山地，产生的重力波能够将能量和平均流场的水平动量由底层大气传 送到大气的中间或者高层，在那里能量和动量得以沉积下来。山地波相对于其他波 的重要性，主要在于山地波的能量和动量的沉积是大气全球环流极为重要的因素。 几乎所有的地形都能够产生重力波，波谱范围与地形宽度范围相近。在过去三十 年时间里对山地波的研究贯穿理论、模拟和观测，至此，理想的二维模型被用于理 解2 维地形拓扑产生的非线性波动力学，对于3 维地形拓扑也有越来越多的定性研究 和测量，产生了关于山地波的尺度、振幅以及动量通量的估计。垂直传播的重力波 的水平波长有数十公里和数百公里，而其振幅分别各不相同，跨度很大【5 】 【6 】 【7 】 ，( 8 ，( 9 。d o m b r a c k 等人通过对s c a n d i n a v i a 地区的3 维中尺度模拟，得出其波结构 图，展现了大尺度的热量结构，这种结构被认为能引发极地平流层云和臭氧缺失【8 】。 但是，这类模拟没有捕获到时常观测到的小尺度地形拓扑的相应结构。 动量通量同样跨度很大，在对流层项和平流层底部从0 1 到数几单位m 2 s ，这 是基于原位置飞行器和雷达测量以及大尺度的山地剖面压力分布。动量通量同时 更倾向于与更小水平尺度的波联系在一起，这种波在垂直方向传播由于其垂直方向 的速度分量很大。n a s t r o m 等人推断出最大的动量通量的水平波长在1 0 1 0 0 公里之 间【1 1 ， 6 】( 1 0 。 全球大气抽样项目以及近期越来越多的飞行器观测都可以估计出跨过租糙或 平滑地形的山地波较其他类型波的统计重要性。不考虑其他源项，山地地形波的水 平速度方差和温度方差大概是平原和海洋这样的地形波的2 3 倍，是没有明显气象 源地区的5 倍f 6 1 。由于这种波的重要性，很多学者都试图对这种效应的大尺度模型 进行参数化研究。 b a c m e i s t e r 等人发现在适当高度的中层大气，山地波的主要尺度在1 0 - 1 0 0 公里 左右，相速度接近0 ，垂直波长由波传播平面的局部统计稳定性和平均风场决定f 3 3 】。 而且，他们还认为这种山地波可能是由某一带状区域的一部分的平均波导力造成的， 2 0 0 9 焦 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第l o 页 5 1 3 剪切对流的研究意义 虽然他们的论断是建立在l i n d z e n - 型的参数化预测下，有赖于进一步的观测数据的 证明。 如上所述，重力波的作用机制很多也很复杂，本文主要讨论非线性剪切风场和 对流不稳定因素共同作用下产生的重力波。 1 3 剪切一对流的研究意义 本文主要是考虑剪切和对流共同作用下的流场，其产生的重力波有很实际的应 用背景：一方面剪切分层流能够很好的模拟真实的大气，特别是对流层顶，因为在 对流层顶大气的剪切分层现象很明显；另一方面，对流特别是深度对流，可以将湍 流带到平流层，引起光湍流，光湍流对于大气的折射率等物理特性有很大影响，并 且对流可以将对流层的气溶胶带入平流层，从而影响平流层的物质能量。现实中剪 切一对流的两个重要例子是：热带或者中纬度的对流和对流层项射流的相遇，另一个 就是赤道潜流和海洋上部对流相遇的情形。剪切对流机制很好的模拟了这两种物 理情况。 1 4 本章小结 在本章中我们对大气重力波给出了一些简单的介绍，包括其概念，简单的线性 模型，以及线性模型在两种特殊情况下的解，并指出线性模型的局限性。进一步我 们总结了重力波产生的几种主要机制，以及相应的一些结果。本文主要考虑剪切一对 流机制下的重力波，在第二、第三章中，我们分别考虑剪切外力波动和对流不稳定 波动对大气重力波波谱的影响。最后一章给出全文的总结和未来研究方向。 第二章剪切外力对重力波频率的作用 在这章中，我们主要研究在对流的背景下，剪切外力的频率对重力波频率的 影响。 2 1 控制方程 f 警+ u v u = 一箬+ i v 2 u + i i v 謦+ + u u v v e v ：= 艽- v 篝。e + + v v e 2 y + 夕多e e r ( 2 1 1 ) 1 謦+ u v e = 艽v 2 e + e p 7 iv u = 0 其中汐，y 分别是水平和垂直方向的速度分量，u = ( 以y ) ，p 是压强，e 是位势 温度，定义为： 0 = 毛( 育r r ) 蓐 ( 2 1 2 ) f j l 、 r e r 参考位势温度；，仡，p ，夕分别是分子粘性系数，分子扩散率，热力学膨胀系数( 约 为：o 尺) ，重力加速度。【，是外力项，由此外力项我们可以确定流体流动的基本流 场，也就是能够产生一种持续射流的模型。为什么选择这种类型的函数形式，主要 是这种形状的函数和现实中的一种典型射流非常吻合，如图( 2 1 ) 所示。 在我们的模拟中，外力风被设置为高斯型函数： i i u ( 可) = e - ( 口( y v o ) l l ) 2( 2 1 3 ) 通过修改a ，l 的值，由修改外力的作用宽度，可以控制射流的宽度和强度。在我们的 模拟中，我们保持长度尺度不变，l l p l = 5 0 0 m ，q = 2 0 作为常数。n u 在y o = 1 4 k i n 处取得最大值，而实际的对流层顶在y ( 1 4 + 0 5 ) k m 处。n 。是为了产生一个对流源 项而设置的，我们给参考位势温度一个修正，使其呈指数型，以生成一个热不稳定 层，其具体形式在下一节中给出。 l l 2 0 0 9 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第二章剪切外力对重力波频率的作用 5 2 2 数值方法 言 = 毛 圭 w i n ds p e e d ( 仇f j 图2 1 ：a 图为b e d a r d 等人1 9 8 6 年得到的一种射流分布，点是观测值，实线是数值拟合结果，b 图 是我们选择的高斯型射流模型 2 2 数值方法 我们对所有的瞬时变量进行如下分解： 忙 = 【，6 ( y ) + ( u ) ( y ，t ) + u 7 ( z ，y ，t ) = u 7 ( z ，秽，t ) = 0 兄+ 0 b ( 磐) + e ( z ，夕，t ) ( 2 2 1 ) = o n + e 6 ( y ) + ( 口) ( y ，t ) + p 7 ( z ，y ，t ) = r ( 可) + p ) ( y ，t ) + p l ( z ，y ，) 其中大写字母表示背景状态变量，小写字母表示扰动项，7 表示振动分量。本文中( - ( 表 示水平方向取平均值。由此分解可以分别得出平均流场和扰动流场( 湍流场) 对于 基本流场，2 ，w ，0 ，p 均为零，并且流场只依赖于箩，控制方程归结为： 令： 等= 。 【，。( ，。 孥：卵e 。2 9 p 口6 d n e 一一k 等 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 性缶等= c ( 1 + 去) 皿2 固 2 0 0 9 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章剪切外力对重力波频率的作用 第1 3 页 2 2 数值方法 背景位势温度场的不稳定性可以产生一个对流不稳定层【3 5 ，由此我们能够确定n e ，n ；为b - r u n t v a i s a l a 颇率。给定这些条件，我们就可以确定基态流场( 既，0 ，p b ，o b ) ，代入控 制方程我们可以得到关于( 口，w 7 ，户，6 ) 的方程 + u 鹎产= 一譬+ y v 2 驴 ! 赣一絮v 2 v + 9 的 ( 2 2 6 ) + u 喾= k v 2 6 r 一叫 通过下面的方法可以求解出( 驴，口7 ，p ，6 ) ，其中口= ( u ) + 缸7 ，户= ( p ) + p ，e = ( 口) 4 - p 7 然后取水平方向的平均值，得到( ( u ) ，0 ，妇) ，( 臼) ) ，两者只差就是扰动场( 湍 流) ：，, u t 矿，0 ，) 计算区域：是水平方向5 0 公里，垂直方向3 公里一3 0 公里； 网格精度：网格是2 5 6 x1 0 2 4 ，水平方向均匀网格，垂直方向是自适应网格；在射流核 心区域，也就是对流层项部网格很稠密，两侧网格稀疏。这样中心区域就可以得到 充分的计算，而两边不需要和中心区域一样的精度。 边界条件：水平方向周期边界条件，在垂直方向的底部和顶部设置海绵层，以吸收 反射波。具体是这样做的：所有的变量在计算区域的顶部和底部都渐进趋于零，底 部海绵层的范围是计算区域的底部到= 7 k m 处，顶部海绵层的范围是y = 1 7 k m 处 到计算区域项部。 计算方法：垂直方向的网格是不均匀的，我们将网格变换到一个均匀的计算区域 上( 一1 y 7 1 ) ，利用有限差分方法计算垂直方向的微分和积分。水平方向是均匀 的，变量是周期的，能够通过傅立叶变换计算。时间离散利用分数步法：第一步计 算非线性项和浮力项；第二步计算粘性项；第三步计算压力项。计算非线性项的垂 直方向导数的时候直接利用物理空间上的插值方法： ( 3 ，7 ) = 之也( 3 ，) ， 一1sy 7s1 ( 2 2 7 ) i = 0 这里的 是某变量在第j 个子区域的值，n 是插值的阶数，函数晚( 可7 ) 是l a g r a n g e 插值 函数。局部点可7 的选择g a u s s l o b a t t o - l e g e n d r e 点。用隐式方法计算粘性项，即欧拉 后差法。 卵一如一如的如 一uu一矿o + + + = 巩巩巩v 虿型砖 + + + + 帕瓦纠酉弱一巩打一缸 ，ll_-，、li_il 2 0 0 9 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 4 页 第二章剪切外力对重力波频率的作用5 2 3 剪切风力波动对重力波频率的影响 2 3 剪切风力波动对重力波频率的影响 2 3 1流场特征 首先我们考虑背景风场不随时间变化的剪切对流流场( c a s e l ) ，我们使用上述 方法对其模拟，在流场达到准静态平衡状态以后，对其垂直方向速度扰动进行谱分 析。关于准静态平衡状态：即一阶统计量关于时间几乎没有变化，整体二阶统计量 如方差有小幅波动( 波动幅度小于百分之五) 。耳p f ( u 化) d y ，f ( u 心) d y ，f o 眩) d y ( 分别 记为u s u m ，v s u m ，p t s u m ) 的相对浮动很小，准静态平衡状态是谢君棵等人在 3 4 】中 提出的，是用以标志湍流达到稳定状态的方法之一。首先我们来看一下我们模拟出 的流场( 图2 2 ) ： ， 从图2 2 我们可以清楚底看到流场的演变过程，t = 0 时，我们可以看清背景风的 分布，即在我们计算区域的中央( 大约1 4 + 0 5 k m 处) ，只有水平方向的速度，并且 是从左向右运动，从t = 0 时刻的流场图，我们可以发现在计算区域中央偏下有一个 温度不稳定层，这就是对流源区，大约在1 2 - 1 3 k m 之间。从t = 0 时刻到t = t 3 的时候， 流场变得混乱没有章法，起伏不定，变化剧烈，无论是速度场还是温度场都很不稳 定，这就是所谓的湍流；从t = t 3 至u t = 2 t 3 时流场已经逐渐趋于稳定了，但这两个 时刻的起伏还是比较大，相对于t = t 3 时刻，t = 2 t 3 时刻流场变得缓和，不是那么 剧烈了，湍流已经趋于稳定了；从t = 2 t 3 要j t = t ，由这两幅图比较，流场并没有什 么特别大的变化，无论是速度场还是温度场，在整个区域都趋于稳定了。说明湍流 已经到达某种平衡状态了。下图是流场关于水平方向速度等高线的图像( 图2 3 ) ： 我们知道0 时刻速度场的分布只是在计算区域的中央的狭长一小段，但t = t 2 时， 水平速度已经扩展到大部分区域，只是并不稳定，至u t - - t 是水平速度已经达到稳 定分布，并且区域比初始时刻有所扩大，我们注意到初始时刻水平速度的最大值 是