（运筹学与控制论专业论文）bpn的迷向常数及其渐近性质.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要分支，而迷向体则是凸体几何的主要研究对 象之一迷向体作为几何断层学的研究对象之一，在体视学、机器入学中的几何探 索、仿晶学和信息论等领域有着广泛的应用 本硕士论文以名空间单位球露的迷向常数三助及其渐近性质为主要研究内 容，并且对霹截面体积估计做了一定的研究本文共分四章 首先介绍了凸体几何的发展历史和研究现状，以及国内外数学工作者在凸体方 面和迷向体方面所取得的主要研究成果其次介绍了我们所做的一些工作 第二章，给出了迷向体迷向常数的不同表达形式及迷向常数的上下界估计 第三章，计算了名空间单位球曰的迷向常数和单形的迷向常数，并研究了 曰的迷向常数l s g , 的渐近性质 第四章，给出了迷向体的截面性质以及b o u r g a i n 问题与截面问题的关系，然后 研究了叼截面体积估计 关键词：单位球，迷向常数，渐近性质，截面体积 a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r ya n di s o t r o p i cb o d i e s a r eo n eo fm a i ns t u d yo b j e c t so fc o n v e xg e o m e t r y t h ei s o t r o p i cc o i i v e 。xb o d i e s ，a s as t u d y i n go b j e c ti ng e o m e t r i ct o m o g r a p h y , h a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si ns t e r e o l o g y , g e o m e t r i cp r o b i n gi nr o b o t i c s ，c r y s t a l l o g r a p h ya n di n f o r m a t i o nt h e o r y i s ) t r o p i cc o n s t a n to f 邱a n di t sa s y m p t o t i cp r o p e r t i e sa r et h em a i no b j e c t si nt h i s m a s t e rd i s s e r t a t i o n i na d d i t i o n ，e s t i m a t e sf o rt h ev o l u m eo fs e c t i o n so fb ；a r ed i s c u s s e d t h ep a p e rf a i l si n t of o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eh i s t o r yo fc o n v e xg e o m e t r ya n dt h ep r e s e n tr e s e a r c h e sa sw e l l a st h ei m p o r t a n ta c h i e v e m e n t si nt h ef i e l do fc o n v e xg e o m e t r ya n di s o t r o p i cb o d i e sb yt h e m a t h e m a t i c i a n sa l lo v e rt h ew o r l da r ei n t r o d u c e d t h e n ，s o m er e s u l t sa r ee s t a b l i s h e d i nc h a p t e r2 ，t h ee x p r e s s i o n so fi s o t r o p i cc o n s t a n ta r ec o n c l u d e da n dt h ee s t i m a t i o n f o rb o t ht h eu p p e rb o u n da n dt h el o w e rb o u n do fi s o t r o p i cc o n s t a n ta r ei n v e s t i g a t e d i nc h a p t e r3 ，t h ei s o t r o p i cc o n s t a n t so f 露o f 譬a n dt h es i m p l e xa r ec a l c u l a t e d ， t h e n ，t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so f 工叼，t h ei s o t r o p i cc o n s t a n t so f 霹，a r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r4 ，t h es l i c i n gp r o p e r t i e so nt h ei s o t r o p i cc o n v e xb o d i e sa r eg i v e na n d t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eb o u r g a i n sp r o b l e ma n dt h es l i c i n gp r o b l e ma r ei n v e s t i g a t e d f u r t h e r m o r e ，e s t i m a t e sf o rt h ev o l u m eo fs e c t i o n so f 娣a r e d i s c u s s e d k e y w o r d s ：u n i t b a l l ，i s o t r o p i cc o n s t a n t ，a s y m p t o t i cp r o p e r t i e s ，v o l u m eo fs e c t i o n s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名： 取秀 日期： 2 0 0 8 0 6 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 授毫 导师签名： 第一章绪论 在本章中首先介绍本论文所属学科的发展历史、研究现状和主要代表人物，以 及我国数学工作者在凸体方面所取得的主要研究成果其次介绍本硕士论文研究的 主要问题，并说明论文的结构安排 1 1 学科综述 本硕士论文的选题源自于导师何斌吾教授主持的国家自然科学基金项目t “超 球截函数与b o u r g a i n 问题”( 批准号： 1 0 6 7 1 1 1 9 ) 它的研究对象是迷向体，属于 凸体几何这个领域 凸体几何是1 9 世纪下半叶萌芽、上世纪初形成、上世纪末蓬勃发展起来的一 门以凸体( r ”中具有非空内点的凸的紧子集) 为主要研究对象的现代几何学科在 上世纪，它通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) 或凸分析( c o n v e xa n a l y s i s ) ，主要 应用于数学规划，优化问题等领域。1 9 世纪下半叶，h b r u n n 和h 。m i n k o w s k i 对 凸体几何的早期发展做了大量开创性的工作，是凸体几何的两位杰出的奠基者 b r u n n m i n k o w s k i 理论是凸体几何学的经典内容，其核心部分是b r u n n m i n k o w s k i 基 本不等式和混合体积理论，它与许多重要数学分支都有联系2 0 世纪3 0 年代， 前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 、t b o n n e s e n 和w f c n c h e l 引进凸体的混合表 面积测度的概念2 0 世纪8 0 年代，e l u t w a k 引入对偶混合体积的概念，以j e a n b o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何学派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度 量性质，取得突破性进展国内，2 0 世纪8 0 年代。杨路教授、张景中院士借用距 离几何方法和计算机辅助证明，在凸体几何的高维几何不等式与几何极值、初等图 形的嵌入等方面作了许多开创性的工作 8 7 ，8 8 ，8 9 ，9 5 】，获得了国际数学界的广瑟好 评9 0 年代，冷岗松教授取得了一系列有意义的结果，4 6 ，4 7 ，鹌】，其中彻底解决 了单纯形内的最大超平行体的体积估计问题这些都进一步丰富了凸体理论，并由 此解决了许多长期未能取得进展的重要课题，也使得对凸体理论的研究空前繁荣， 其中最引人注目的是它与泛函分析结合的产物一b a n a c h 空间的局部理论，这被认 为是现代国际数学研究的主流方向之一 凸体几何以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础，但又不同于 微分几何、代数几何、几何拓扑等现代几何学，有其独特的研究对象和研究方法 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 它所研究的内容涉及面广泛，既是基础理论，又与实际应用密切联系，极具应用价 值；它既可以用其它的数学理论作工具，又能以自身的理论、方法和结果反过来服 务于其它分支及实际凸体几何可分为组合理论和度量理论两部分，组合理论主要 研究几何体( 如多胞形) 的组合关系，讨论它们的面数、顶点数、棱数等的数量关 系；度量理论主要研究几何体的度量性质，如几何体的构形、体积、表面积、宽度、 角度、投影等下面就凸体几何度量理论中的一些主要的研究方向做一个概述 经典的b r u n n m i n k o w s k i 理论起源于1 8 8 7 年h b r u n n 的论文 1 2 】和h m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分【6 4 ，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著i s 】收集了当 时已出版的主要结果它作为一个经典的数学分支，通常被称为凸几何，主要是由 s t e i n e r 8 1 ，8 2 1 ，b r u n n 【1 2 ，1 3 ，m i n k o w s l 【i 【6 4 ，6 5 ，a l e k s a n d r o v 【1 ，2 1 ，h a d w i g e rf 3 5 ， p e t t y 【6 7 ，6 8 ，6 9 ，7 0 ，7 1 1 和s c h n e i d e r 【7 8 ，7 9 】等著名数学家逐渐发展起来的一个学 科它的主要内容包括t 等周问题 6 8 ，6 9 ，7 6 1 ，混合体积理论【1 2 ，1 3 ，6 4 ，6 5 1 ，表面积 测度【1 ，4 9 】，投影体理论和均质积分【2 6 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 4 ，7 0 】最核心的定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式：设a 和b 是时中的紧集，则 v ( ( 1 一a ) a + a b ) i ( 1 一a ) y ( a ) 素+ a y ( b ) 吉，v a 【o ，1 】 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n m i n k o w s k i 理论的基石最经典的参考书 是r s c h n e i d e r 的专著i i c o n v c xb o d i e s ：t h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y ) ) ( c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，1 9 9 3 ) 和a c t h o m p s o n ， ) ( c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，1 9 9 6 ) b r u n n - m i n k o w s k i 理论巧妙地把欧氏空间中的向量加( 通常称为m m k o w s m 加) 和体 积联系起来，使得它渗透到各个数学领域它是处理各类涉及体积、表面积，宽 度等度量关系难题的有力工具经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论的第一位代表人物是 h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 4 6 - 1 9 0 9 ) ，他的主要贡献是在b r u n n 的基础上，证明了b r u n n - m i n k o w s k i 不等式和被称为m i n k o w s k i 存在定理的凸体构造性定理阻，6 5 】经典 的b r u n n - m i n k o w s k i 理论的第二位代表人物是俄罗斯数学家a l e k s a n d e rd a n i l o v i c h a l e k s a n d r o v ，他对经典理论的主要贡献是建立了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和找到 了一种研究椭圆型偏微分方程新的几何方法【2 】此外还有h b u s e m a n n 【1 4 ，1 5 ，1 6 ， 1 7 ，1 8 1 ，w f e n c h e l ，b j e s s e n ，h l w y ，等等 1 9 7 5 年，e l u t w a k 建立了对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，它的基本理论是对偶 混合体积【5 5 】 1， v ( m 1 ，) = 三 p m t ( u ) p m ( u ) d u nj ， n 一1 的理论相对于经典b r u n n m i n k o w s k i 理论的m i n k o w s l d 和，它用径向和，相对于 2 0 d 8 上海大学硕士学位论文 3 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的支撑函数，它用径向函数，相对于经典理论研究凸体 的投影，它研究星体的截面 2 0 世纪8 0 年代，该理论空前繁荣，并解决了一系列 经典理论未解决的问题 2 2 ，2 3 ，2 4 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，9 0 ，9 1 】这方面的代表人物除创立人e l u t w a k 【5 6 ，5 7 1 外，还有p r g o o d e y 【2 9 ，e l g r i n b e r g 3 1 】，h g r o e m e r 3 2 】，p m g r u b e r 【3 3 ，3 4 】和华裔数学家张高勇阳，9 1 ，9 2 ，9 3 ，9 4 1 作为经典理论和对偶理论的综合与应用，几何断层学主要研究几何体( 主要是 凸体和星体) 的重构问题，即如何从未知几何体的x 射线、截面及投影重构几何体 的问题，它是医学上b 超、x - 射线、c t ( 核磁共振) 技术的数学基础，它是凸体几 何与医学c t 及体视学、几何刺探等的交叉学科当今世界上对几何断层学的研究 可分为两大群体，一是以r j g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完全理论研究者，他们 获得了一大批令人羡慕的成果， 1 9 9 5 年，r j g a r d n e r 教授综合了这方面的所有 成果，撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y r 【2 5 】；二是由于几何断层学有很强的实际 应用背景，以m i t 大学计算机与电子工程系的a l a nw i u s k y 为代表的应用研究者， 自8 0 年代以来，一直致力于计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层学在计 算机上的应用 b a n a c h 空间的局部理论是凸几何与泛函分析结合的最引人注目的产物，它已成 为现代国际数学研究的一个活跃领域或主流方向此理论源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证 法，并在后继的论文中运用球面调和分析对维空间的凸体证明了类似的不等式 随后， h m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了3 一维常宽凸体的有趣特征， 由此开辟了运用球面调和分析研究几何的方法，此方法具有很强的生命力 j e a n b o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸体渐近理论的研究， 在凸体逼近研究中获得了大量深刻的结果 6 1 ，6 2 1 ，他们合作的一篇关于凸体的逆 b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名论文【9 】是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一论文 p i s i e rf 7 翻，l i n d e n s t r a u s s 5 0 1 等在该领域也作出了创造性的贡献它区别于经典的泛 函分析理论，主要研究两个不同的主题：n 一维赋范空间的几何量当n 趋于无穷时 的情形；无穷维赋范空间与它的有限维子空间的关系b o u r g a n 问题是b a n a c h 空 间局部理论中最主要的公开问题，研究凸体迷向常数上界的b o u r g a i n 问题是当前 国际几何泛函分析领域的热点问题之一，近年来许多数学家( 包括何斌吾教授) 作 了大量的工作 积分几何的研究与几何概率问题始终紧密相关，因此积分几何的方法在凸体 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 几何和几何概率的研究中具有十分重要的作用，该领域的研究也越来越受到国际 数学界的重视，欧美等国均有一批高水平的数学家从事该领域的研究在欧洲，以 j b o u r g a i n ( 1 9 9 4 年度菲尔兹奖获得者) 和v d m i l m a n 等人的工作，使几何分析方法 在偏微分方程、概率论等领域得到广泛的应用2 0 世纪4 0 年代，陈省身教授和 a w e i l 教授将局部紧群上的不变测度的观念纳入积分几何，从而形成齐性空间理论 结构的积分几何，对这门学科的进一步发展作出了极为卓越的贡献吴大任是我国 最早从事积分几何方面研究的数学家之一，他第个对椭圆空间的积分几何作系统 的研究，获得了运动基本公式等重要结果，他证明了关于欧氏平面和空间中的凸体 弦幂积分的一系列不等式，并由此导出一些关于几何概率和几何中值不等式任德 麟在积分几何、随机几何和凸体论的研究中取得了丰硕成果 7 4 ，7 s ，( 积分几何学 引论是我国目前唯一积分几何专著，同时被国际同行广泛引用 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究源于距离几何中的构形问题，几何体 的度量性质、嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题一直是几何分析研究 的个充满活力的方向著名数学家杨路教授及张景中院士做出了系统的、创造的 成就尤其是2 0 世纪8 0 年代在单形不等式与极值问题、初等图形的嵌入问题等方 面作出了开创性的工作，独创了证明不等式或涉及不等式的几何定理的非常强有力 的方法，至今仍被国际同行广泛引用，影响深远【8 8 ，8 9 ，9 5 】宗传明 9 6 1 在几何分析 和离散几何中的球堆积与密码方面有着突出贡献，得到了国际学术界的重视和高度 评价 1 2研究的主要问题及所得结果 本硕士论文以名空间单位球霹的迷向常数及其渐近性质为重点研究内容， 并且对蝣截面体积估计做了一定的研究 设k 是舻中个体积为1 质心在原点( 即b ( k ) = k f ( x ) d x = 0 ) 的凸体( 具 有非空内点的凸的紧子集) 个熟知的事实是【6 3 】：存在唯一的线性变换m ，具 有d e tm = 1 ，使得对任意的单位向量u 铲，有 ( z ，u ) 2 d x = l 莨 j 通常把数l k 称为k 的迷向常数，若变换m 是单位映射，则称为迷向体，或者 称k 处于迷向位置关于凸体的迷向位置或迷向体的各种研究是b a n a c h 空间局部 理论( 现代几何分析) 中的重要课题之一，它与凸几何中的超平面猜想( h y p e r p l a n e 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 5 c o n j e c t u r e ) ，单形猜想( s i m p l e xc o n j e c t u r e ) ，力学中的惯量椭球及各种优化问题密切 相关。近年来，许多数学家对迷向体的研究做了大量的工作【3 ，9 ，1 0 ，2 7 ，3 6 ，3 7 ，5 s 。 本文第二章首先给出凸体的几个迷向条件、凸体迷向位置的存在唯一性及迷向体迷 向常数的不同表达形式，随后给出迷向常数的上下界估计式 一个关于迷向体的被称为b o u r g a i n 问题的未被解决的重要问题是：是否存在 通用常数c ，使得l k c 对任意有限维空间中的任意凸体都成立? 对此问题的肯定 回答有许多有趣的推论此问题目前最好的估计是最近由j b o u r g a i n 证明的l k 1 4 ( 3 ) ( 2 0 0 8 ) ，2 6 0 - 2 6 4 ( 二) 给出了迷向体的截面性质以及b o u r g a i n 问题与截面问题的关系，然后研究 了霹截面体积估计，得到如下结果 ( 1 ) 令n n ，几2 ，p 【1 ，2 】及e 为舯的n 一1 维子空间，则 i e n 霹 二二l l 霹协 ( 2 ) 令n n ，n 2 ，p 【1 ，2 】及e 为r “的k 维子空间，且1 k 孚，则 i e n 娣倭i 霹赢 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文6 ( 3 ) 令1 p 2 ，n n ，且k = ( z l ，x 2 ) r n r n ；i i z l i i ；+ i l z 2 l i ；1 ) ，贝0 对所 有r 2 n 中k 维子空间，1sk52 n ，有 l1 i e n k 恬2i k i 磊 ( 4 ) 令e 是r “中任意k 维子空间，1 k n ，0 p 0 ， 对任意的y r 竹，都有 厶( 刎) 2 d x = a 2 舻， ( 2 2 1 ) 则称k 为迷向体 通常称等式( 2 2 1 ) 为凸体k 是迷向体的充要条件，简称等式( 2 2 1 ) 为凸体k 的 迷向条件，q 称为k 的迷向常数 在关于迷向体的研究中，各种判定条件，即判定凸体是否为迷向体的条件，在 不同的课题研究中效用是不同的下面给出判定凸体是否为迷向体的四个条件的等 价性 定理2 1 凸体k 的迷向条件( 2 2 1 ) 等价于下面三个等式： ( 1 ) t ，( z ，t ) 2 d x = 口2 ，vt 酽一1 ， ( 2 2 2 ) j k 。 俐设z 1 ，x 2 ，z 。为z 对应于某组标准正交基的坐标，对任意的i ，j = 1 ，2 ，n ， 有 厶x i x j d x = a 2 5 0 ( 2 2 3 ) 俐对任意的t l ( r n ) ，有 厶( z ，t z ) d = = q 2 ( t r t ) ( 2 2 4 ) 这里t r t 是线性变换z 的矩阵的迹 注 陈巧云等在 1 9 】中给出了判定凸体k 是否为迷向体的上述4 个条件等价 性的证明 设k 是质量中心在原点的凸体，t v l ( n ) ，t k 称为k 的个位置，若t k 是迷向的，则称r k 为k 的迷向位置 定理2 2 设k 是r n 中一个体积为j 质量中心在原点的凸体，则存在一个可 逆线性变换t g l ( n ) ，使得t k 是迷向的。 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 定理2 3 设k 是r n 一个体积为j 质量中心在原点的凸体，定义 b ( k ) = i n f 二k 2 出：t e s l ( n ) ) ( 2 2 5 ) 尬是k 的一个迷向位置的充要条件是。 例2 d x = b ( k ) 若硷，鲍是k 的两个迷向位置，旯l j 存在正交变换扩，使配= u ( k 1 ) 注1在相差个正交变换意义下，凸体的迷向位置是唯一的 注2龚海萍等在【2 8 ) 中证明了上述两个定理，即凸体迷向位置的存在性与唯 性 由定理2 3 司以得剑 定义2 2 2对于舻中质量中心在原点的凸体k ，常数 l 女= 1 n m 讯 0 ，都有 m p ( k ) = m p ( t k + u ) ( 2 2 1 0 ) 证明 m v ( t k + t | ) = ( 厅南二k 扣上k + 。i ( z 。，z 。+ 。胪如。+ 。如。) 。 = ( 网0 f k l c o ( t z l , , t 砷) i p 卵i + 1 d 铀翰) 刍 = ( 蒜嘉o f ki 毗m 1 ) j 一州z 。) ； = ( 蒜嘉o f k c o ( x l , x n + l 胪r 咖) ； = r a p ( k ) 引理2 2 2 对任意的p 0 ，有 m p ( k ) 脚( 叨) ( 2 2 1 1 ) 当且仅当k 为椭球时取等号 引理2 2 3 如果t g l ( n ) ，且p 0 ，则有 昂( t k ) = s n ( k ) ( 2 2 1 2 ) 定理2 4 设k 是r n 中一个体积为1 质心在原点的凸体，则对任意的p 1 ， 有 昂( k ) 脚( k ) + 1 ) 昂( k ) ，( 2 2 1 3 ) 证明 先证左边不等式对任意的z k ，定义 昂( k ；z ) = ( 厶f k i c o ( z a ，z 。胪d x n 出) 5 由于k 是r n 中个体积为1 质心在原点的凸体，所以有 鄙( k ) = 昂( k 0 ) = 厶l i c o ( o 忍，z n ) i p 如n 如- = 厶厶l ( 上础，钆，z n ) i p 妇， 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 1 厶六厶i c d ( z ，z - ，z n ) i p 如如n 如t = g s ；p ( k ；z ) 出= 哗( k ) 再证右边不等式取z l ，z 忆+ 1 k ，则有 于是 i c d ( ，茁州) l 2 寺i d e t ( 毫1 一，+ 1 ) i = 刍f 薹d 台t c 牙- ，甸一- ，6 ，而+ ，牙。+ - ，l 芝扣婚”啊乩6 m ，m ) l i c d ( o ，毛：i j ) 1 唧( 聊：( 厶厶l ，+ ，妒蛾+ 。如，) 5 ( 二厶( 薹l c 。，z 。：t j ，1 ) p d z 。+ 。d z 。) 5 s n 著+ l ( o 加：洲础- ) ； = 伽+ 1 ) 昂( k ) 注 在上，若固定巧，歹i ，x ihd e t ( x a ，z n ) ，定义函数 ：k _ r ，则 函数 是线性函数从而可得下面的定理 定理2 5设k 是r 竹中一个体积为1 质心在原点的凸体，则 ( k ) c n s l ( k ) ，( 2 2 1 4 ) 其中c ( c 0 ) 是个绝对常数 在r n 上固定个标准正交基，矩阵的元记为m ( k ) ，则 m ( k ) l i j = ik x i x j d x 矩阵m = ( 厶x i x j d x ) 竹。称为凸体k 的惯量矩阵由定理2 1 可知，凸体k 是 迷向的充要条件是k 的惯量矩阵为数量矩阵由矩阵m 所确定的椭球称为凸体k 的b i n e t 椭球凸体k 迷向的充要条件是k 的b i n e t 椭球相似于单位球 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 引理2 2 4设k 是r t 。中一个体积为1 质心在原点的凸体，则 s i ( k ) = d e t r ( m ( k ) ) ， ( 2 2 1 5 ) 其中m 为k 的惯量矩阵 证明 由定义得 霹( k ) = 厶厶i c d ( o ，钆，z 珏) 1 2 如缸如， 令毛= ( 甄z f ) ，j = 1 ，n ，于是得 ( 叫2 s i ( k ) = 上厶i d e 啦z ，z n ) 1 2 如n 出- 将行列式展开可得 c 删2 鹾c k ，= 厶厶( 莩白垂吒邢，) ( 军b 垂吒坤，) 如。如 = 厶厶( 荨眯，垂吒邓一州t ，) d z 。出- = 五厶( 嘉e 妒鱼氏州瓤“c 娟，) 如z = 篆重( 厶甄如) = n ! d e t ( m ( k ) ) 注1设k 是r n 中个体积为1 质量中心在原点的凸体，若t s l ( n ) ，则 d e t ( m ( t k ) ) = d e t ( m ( k ) ) ( 2 2 1 6 ) 注2若选取t 使得r k 是迷向的，则m ( t k ) = l 灸，因此有 d e t ( m ( k ) ) = l 翟 ( 2 2 1 7 ) 这就证明了下面的定理 定理2 6 设k 是r n 中一个体积为1 质心在原点的凸体，则 l 帮= n ! 簧( k ) ( 2 2 1 8 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 3 2 3 迷向常数的界 迷向常数l k 的下界早在1 9 1 8 年被b l a s c h e 找到【6 ，7 】更精确的，关于l k 的 下确界有； 定理2 7 对于r n 中任意一个迷向体k ，有 l k l 骘之c ， ( 2 3 1 9 ) 其中c ( c 0 ) 是绝对常数 证明若r n = 砉，则i 霹f = l ，且磅是迷向的 假设k 是迷向体，易知，在k r 。唧上 ，在，。b 譬k 上h r n ，于是 礼l 玉= i z l 2 d x = 厶露2 如+ 上h 嘤i z l 2 如 。矿2dx+lzijknr j r n b 2 2 k 2 如 。珊 = i x l 2 d x o 露 = n l 筋 设p 9 ”1 ，z = 阳，通过计舁口j 碍 l 岛= 去厶b 牙2 如 ：lr t 2t n - z d t d 8 nj s 一1j o = 去箍扩 = 篙c 2 ， 其中c ( c 0 ) 是绝对常数，从而得l k2l 霹c 一 关于迷向体的被称为b o u r g a i n 问题的著名公开问题是，是否存在通用常数c ， 使得l k 0 ) 有v 丽c 、，佤即三c 、，佤- 记r ( k ) = m a x l = l lz k 为凸体的k 的半径迷向凸体k 的迷向常数l 耳 与r ( k ) 之间有如下的关系： 定理2 9设k 为迷向凸体，则有 筹组警( 2 3 2 1 ) 注当k 为对称时，k 的体积比不超过v 伍，因此有l k c 、伍；当k 为非对 称时，k 的体积比不超过t t ，因此有l k e f t ，其中c 是一个通用常数 j b o u r g a i n 【1 0 给出了对称凸体迷向常数上界估计 定理2 1 0设k 为r n 中关于原点对称的凸体，则有： l k l o g ( n + 1 ) ( 2 3 2 2 ) 注g p a o u r i s 6 6 1 证明了上述结果对于非对称凸体也成立 b k l a r t a g 4 0 】研究凸体的摄动问题得到了凸体迷向常数的一个新的上界估计 定理2 1 1设k 为r n 中关于原点对称的凸体，则有： l k c n i ( 2 3 2 3 ) 其中c 是一个通用常数 对于一些特殊的凸体， b o u r g a i n 问题的答案是肯定的对一些类，诸如无条 件体( u n c o n d i t i o n a lb o d i e s ) ，带体( m n o i d s ) ，带体的极体或具有有限体积比体的极体 等，答案是肯定的 何斌吾和冷岗松 3 6 ，3 7 1 2 0 0 3 年研究b o u r g a i n 问题时引进了球截面函数的概 念，得到了一类凸体迷向常数的有界性 定理2 1 2设k 是r n 中一个质心在原点体积为l ，且r l 霹ck c r 2 与譬( r l2 1 1 2 ，r 2 何2 ) 的凸体，工，j ( 是它的迷向常数，则 箱蛐去 仁3 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 5 左边的等号成立当且仅当k 是一个质心在原点体积为1 的椭球，右边的等号成立 当且仅当k 是一个质心在原点体积为l 的超立方体或它的正交变换象 定理2 1 3设k 是一个质心在原点体积为1 的凸体，l k 是它的迷向常数 如果至少存在一个单位向量 i t 铲- 1 使得h k ( u ) 1 2 ，h g ( - u ) s1 2 ，则 l k 疠( 2 3 2 5 ) 等号成立当且仅当k 是一个质心在原点体积为1 的超立方体或它的正交变换象 通过计算可知 ， u 一去 r ( 1 + ) 咖 l 砑2 了莉2 了帝 由s t i r l i n g 公式有： r ( 1 + 詈) 一瓜叫2 ( 扩蝴， 因此有 ， l l 叼- 丽萧 最近，e l u t w a k ，d y a n g 和g z h a n g 在文 5 9 】中引进了一个关于凸体k 的 新的椭球f 一2 k ，并引进了k 的对偶迷向体和对偶迷向常数的概念他们证明了下 面的定理 定理2 1 4 设k 是一个包含原点为内点且关于原点对称的凸体，l 是它的 对偶迷向常数，则 去l 夤u ：1 2 ， ( 2 3 2 6 ) 左边的等号成立当且仅当k 是一个超平行体，右边的等号成立当且仅当k 是一个 椭球 明显地，不等式( 2 3 2 4 ) 与( 2 3 2 6 ) 具有一定的对偶性 何斌吾，冷岗松又猜测在对称几何体中以超立方体的迷向常数为最大，在非对 称几何体中以单形的迷向常数为最大 谢富生等【8 6 】研究了关于超立方体内随机单形的两个仿射不变量m 2 ( k ) ，s 2 ( k ) 的渐近性质，并得到了质心在原点体积为1 的超平行体的迷向常数工k 定理2 1 5 设超平行体p n 的质心在原点，且i r i = 1 ，则l p n = 去 吴力荣等障j 计算了在三维空间中所有正多面体的迷向常数，即正四面体、正 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 6 六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体的迷向常数，相应的l p , 、l p 6 、l 厢、 l p l ：、三砌表示其所对应的迷向常数，得到下面的结论 定理2 1 6 l b l p 2 0 l j ) 1 2 l j ) 8 l ，b l p , ， 这里l 雕表示三维球的迷向常数，具体数值为。 0 2 7 7 4 2 9 1 7 0 2 7 8 9 5 9 5 8 0 2 7 9 5 1 4 6 8 0 2 8 7 3 1 1 9 9 ，0 。2 8 8 6 7 5 1 3 0 3 2 2 4 9 6 8 0 文中进一步证实了在对称几何体中以超立方体的迷向常数为最大，在非对称几 何体中以单形的迷向常数为最大这个猜测是正确的 单形猜想对于任意的舻中的凸体k ，有 m t ( k ) m 1 ( 晶) ，( 2 3 2 7 ) 其中& 为r “中的一个单形 单形猜想当扎= 2 时成立 定理2 1 7若单形猜想成立，则对于r n 中质心在原点的凸体k ，有 l k c ， ( 2 3 2 8 ) 即b o u r g a i n 问题成立 证明考虑单形 & = x e r n ：- 击如s 斋喜x i 击 则& = ( n ! ) 1 加鼠体积为1 ，质量中心在原点通过计算有 l 致序出= 蹁希 踹 3 伪， 因为m ( k ) 是对称且正定的，所以由h 剖i a m a r d 不等式可得 蛾，= 华= 等s 刍( 踹) 住刍 若是r 羁中迷向的凸体，则有m l ( k ) m 1 ( 爵) ，由定理2 5 及引理2 2 4 有 l 爱= 佗! s 叠( k ) 、n ! c n s l ( k ) 俪c n m l ( k ) s 俪矿仇1 ( ) 丽，( n - i - 1 ) s l ( s ) 丽矿( n + 1 ) 昆( ) ( n - i - 1 ) 矿 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 7 从而推得 即b o u r g a i n 问题成立- 第三章睇的迷向常数及其渐近性质 在本章中，我们证明了当1 p o o 时，赋范空间鳄中的单位球田是迷向的 凸体，并计算了哪( 1 p ) 的迷向常数以及r ”中单形的迷向常数，进一步得 到了当n 一和p _ o o 时霹的迷向常数的渐近性质 首先给出本章中用到的一些记号记n 维的欧氏空间为r “；名的范数为i i z l l p = ( i = 1 1 p ) ；1 ，z r ”；毋中的单位球为露= 【z r n i i 圳p 1 ) ，l p ；够的体 积为i 娣i ；露的迷向常数为l 叼 3 1名空间中的单位球睇的迷向常数 本文中，我们利用露的体积l 够| 和i 、函数来计算纬的迷向常数公式在该 公式的计算中，我们将用到如下事实。 引理3 1 1 俐若k 是一个质量中心在原点的凸体，且对任意的方向口伊， 有k ( z ，p ) 2 出= c ，c 为常数，则k 为迷向的凸体，且有 女2 赤胁妒虮 ( 3 _ ) 引理3 1 2p 彰 名空间中的单位球霹的体积公式 吲= 哿 ( 3 1 2 ) 引理3 1 3 ，