（材料物理与化学专业论文）电子自旋轨道能谱研究.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得塞邀盘堂或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：墨俊生 签字日期：2 0 0 7 年4 月25 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解童熊盍堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权塞邀去堂可以将学位论文的全部或部分内客编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：墨堡生导师签名：查壬 签字日期：2 0 0 7 年4 月2 5 日签字日期：2 0 0 7 年4 月2 6 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：电话： 通讯地址：邮编： 摘要 摘要 本篇论文对于半导体异结质中的自旋轨道耦合作用，而导致的自旋能谱分裂提 供了一个理论研究方法。当体系翻转对称性被破坏，而导致k r a m e r s 简并被解除。 我们主要集中讨论了异结质中两类不同的反对称，结构反转不对称s i a ，特别体反 转不对称b i a 。这些效应在一类所谓的6 1a 材料系统d p ：a i s b g a s bi n i s 被研究。 半导体多层结构异结质是不对称的，而导致子带分裂被称为r a s h b a 效应。 从1 9 9 0 年d a t t a y 阳d a s 提出利用自旋轨道耦合效应制造自旋的场效应管开始， 自旋电子学开始注重半导体中的自旋一轨道耦合的研究。文章研究在二维自由电子 的体系中有自旋一轨道耦合存在的情况下的能谱结构。先是回顾这么多年来自旋电 子学中自旋一轨道耦合的研究情况，然后介绍我们所做的工作，以及工作中存在的 问题，包括一些特殊势( 环状势) 的能谱结构的求解。 第一章描述二维电子气体的性质，这个是基础的而且很成熟的部分。因为低维 的半导体器件都是对二维电子气体做一些限制或者外加电磁场来进行测量，所以有 必要做一些准备。 第二章这一章开始讨论自旋一轨道耦合，由于我们所研究的系统有这个效应， 所以要把这一效应描述清楚。 第三章从这里开始描述自旋的输运性质。关于电子自旋输运的讨论，目前在自 旋电子学中很流行，其中我们主要讨论了二维电子自旋输运问题。 第四章这一章中，我们研究不同的限制势中，电子的能谱结构，其中有我们的 一些研究工作，主要集中在抛物线势这种特殊的形式上。 第五章这一章中，我们对自旋电子学中存在的问题提出了一些回看法，有些概 念还有待于发展，有些还需要进一步研究。 关键词：r a s h b a 效应，二维电子系统自旋输运自旋极化自旋流自旋能谱结构，自旋分裂 a b s t r a c t a b s t r a c t t h eb o l ko ft h i st h e s i sd e s c r i b e sat h e o r e t i c a ls t u d yo ft h es p i ns p l i t t i n gt h a tt a k e s p l a c ei nt h ee l e c t r o n i cb a n ds t r u c t u r eo fs e m i c o n d u c t o rh e t e r os t r u c t u r e sw h e na $ o u r o eo f i n v e r s i o na s y m m e t r yi sp r e s e n td u et ot h eb r e a k d o w no ft h ec o n d i t i o n sf o rk r a m e r s d e g e n e r a c y i np a r t i c u l a r , t h i sw o r kf o c u s e so nt h ee f f e c ti nt h eb a n d so fh e r e t os t r u c t u r e s o ft w od i f f e r e n ts o u r c e so fa s y m m e t r y ；n a m e l y , s t r u c t u r a li n v e r s i o na s y m m e t r y ( s i r ) a n d b u l ki n v e r s i o na s y m m e t r y ( b i a ) i np a a i c u l a r , t h e s ee f f e c t sa r es t u d i e di ns t r u c t u r e sb u i l t f r o m m a t e r i a l s b e l o n g i n g t o t h es o c a l l e d 6 1 as y s t e m ：a l s b ，g a s ba n d i n a s t h e s p l i t t i n go ft h ec o n d u c t i o ns u b b a n d sw h e nt h es e q u e n c eo ft h el a y e r sm a k i n gah e t e r o s t r u c t u r ei sn o ts y m m e t r i c ( s l a ) i sc a l l e dt h er a s h b ae f f e c t s i n c ed a t t aa n dd a s p r o v i d e dt h ec o n c e p tt h a tc a nu s e t h ee f f e c to f s p i n - o r b i t i n t e r a c t i o no ne l e c t r o n st om a k ef e tb a s e do ns p i n ，s p i n t r o n i c ss t u d i e sh a v ee m p l o y e d s p i n - o r b i ti n t e r a c t i o ni ns e m i c o n d u c t o r t h ee n e r g ys t r u c t u r ei n2 d e gi np r e s e n c eo ft h e e f f e c to fr a s h b as p i n - o r b i tc o u p l i n gi n t e r a c t i o nh a sb e e ns t u d i e di nt h i st h e s i s f i r s t l yw e h a v er e v i e w e dt h ep r o g r e s so fs p i n - o r b i ti n t e r a c t i o ni ns p i n t r o n i c aa n dt h e ni n t r o d u c e d o u rw o r ki nt h i sr e a l ma n dt h ep r o b l e me x i s t e di n c l u d i n gt h ee n e r g yi ns p e c i a l p o t e n t i a l ( c i r c l ep o t e n t i a lw e l l ) 1 c h a p t e ri t h i sc h a p t e rh a sm a i n l yd e s c r i b e dt h ep r o p e r t i e si n2 d e g t h i si s f u n d a m e n t a la n dh a sb e e ns t u d i e db yo t h e r ss u c c e s s f u l l yi nd e t a i l s b e c a u s el o w d i m e n s i o n a ls e m i c o n d u c t o rd e v i c e sm e a s u r e m e n ti n2 d e gm u s ts o m ec o n f i n e do r b a s e do ne l e c t r o n i ca n dm a g n e t i cf i e l d ，t h i sp r e p a r a t i o ni sn e c e s s a r y 2 c h a p t e r1 1w ed i s c u st h es p i n o r b i tc o u p l i n g w em u s td e s c r i b e st h ee f f e c tc l e a r l y b e c a u s eo u rs t u d i e ss y s t e me x i s t e dt h ee f f e c t 3 c h a p t e ri l l w es t u d i e dt h et r a n s p o r td e p e n d e n to ns p i no r b i tc o u p l i n g d i s c u s s i o ni ns p i nt r a n s p o r ti sp r e v a l e n t w eh a v ea n a l y s e s2 d e g t r a n s p o r t 4 c h a p t e ri v t h ee n e r g ya n dt h es h r o d i n g e re q u a t i o nh a sb e e ns t u d i e d o u r w o r ke m p h a s i st h ep a r a b o l i cp o t e n t i a l 5 c h a p t e rv t h e r ei ss o m ep r o b l e mw h i c hs h o u l db es t u d i e di ns p i n t r o n i c sa n d s o m ec o n c e p t i o na b o u ts p i nw h i c hs h o u l db ed e v e l o p e da n db es t u d i e df u r t h e rm o r e k e yw o r d s ：r a s h b ae f f e c t ；t w od i m e n s i o n a le l e c t r o n i cg a s ；s p i nt r a n s p o r t ：s p i n 2 a b s t r a c t p o l a r i z a t i o n ；s p i nc u r r e n t ；t h es p l i t t i n go ft h ee n e r g yb a n d s 3 电子自旋轨道能谱研究 1 1 引言 第一章低维电子体系 导体器件制造工艺的发展使得大量的低维半导体器件成为现实，其中二维电子 气体的性质引起了广泛的兴趣【1 】，因为以二维电子气体作为基础可以制造各种介观 半导体器件。我们在这里所说的二维电子气体指的是电子在某一方向受到限制，形 成不同的能带，同时可以在二维平面自由的运动的电子体系。当这样的限制很强时， 电子在这个维上的能级量子化的很明显，不同子带之间的跃迁几率很小，低温情况 下，电子占据最低能级的概率远大于占据其它子带的概率。二维电子气体的实现常 见的方法之一是利用不同搀杂的半导体形成的异质节( h e t e r o s t r u c t u 怕) ，常见的 如在g a a s a i g a a s 接口，从而形成量子阱，这样限制在量子阱中的电子形成准二维 的电子系统，如图1 1 所示。在这样的基础上，可以对二维电子体系做进一步的限制， 可以形成量子线、量子点接触和量子点等介观器件。当电子的相干长度和介观器件 的尺寸相当时，器件中的电子呈现丰富的量子特征和输运性质【2 。3 ，4 】，这些输运性 质使得制造各种介观的量子器件成为可能，所以研究介观的输运性质是相当热门的 问题。二维电子气体系统中有很多典型的效应如量子霍耳效应【4 ，5 ，6 ( q u a n t u m h a l le f f e c t ) ，磁阻振荡等。如果迸一步限制，在量子线中有量子化的电导，在量子 点中有库仑阻塞等现象。二维电子气体系统中单电子近似是常用的。不考虑电子之 间的相互作用，所有的质量都是有效质量。 图1 1 ：在不同半导体g a a s a i g a a s 接口形成二维电子气体的示意图，图形来源于文献【4 】 4 第一章低维电子体系 1 2 二维电子气体 二维电子气，就是在电子气体系上任何一维加以限制，通常采用无限深势阱， 体系i 拘h a m i l t o n i a n 可以表达成： 。日- 蓝2 m + 堕2 m + 区2 m + 矿。朋z ) 、， 在z 方向上加一个无限深势阱，势可以写成 y 0 ，y ，力一o ，一 l 。 1 3 准一维情形 1 3 1 两种典型的限制形式 订10 ) 似1 1 ) 现在考虑在二维的系统中做一个限制，形成准一维的系统，中央的系统也称为 电子波导。可以解析求解的两种典型的限制是无限深势阱和抛物线型的势阱。实际 的限制势阱不是这种简单的情形，但是用这样的模型得到的定性的结果和实验符合 的相当好。在我们的问题中我们考虑加入抛物线型的限制势阱，同样写出 h a m i l t o n i a n 日。等+ 堕2 + 三研毋z ( 1 12 )m2锄 ” 、。 是可以解析求解的1 7 ，8 】，获得本征值 e - 。+ ) 意+ 矿 ( 1 13 ) 7 电子自旋轨道能谱研究 本征解是平面坡和谐搌子坡函数的乘积。 另外一种典型的限制形式是无限深势阱，这样的约束形成一个电子波导管。波 函数可以写成两部分的乘积，一部分对应于驻波解，输运方向上是自由的平面波解。 对应的一维的h a m i l t o n i a n 可以写成 日嬖+ 堕+ y o ，y ) (114)22 i ，lm一7 俐一 三，麓， 这里的f 0 是势阱的宽度。本征态是 俐一挣s m l - _ - ， 本征能量解为： 啦) 一五n 2 h 2 f 4 2 + i h 2 k , 2 上面的两种限制势在很多定性的结论上是一样的，所以一般理论计算只考虑某一种 情形。准一维系统最典型的特点是电导的量子化，这个是由准一维系统的能谱性质 决定的。同时还有磁阻振荡存在阴 1 3 2 边缘态 如果这样的准一维系统加上垂直所在面一个磁场，那么会有所谓“边缘态” ( e d g es t a t e ) 的存在。这个问题的半经典理解是由于完整的螺旋轨道在边界被破 坏，能级以及相应的输运性质受到影响f 3 ，4 】。图1 2 是从文献【4 】中引用的，这个描 述了不同的区域的经典轨迹。 日：蓝2 m + 生2 m 翌+ 1 2 啼： 1 ，5 ) v - ， 这个h a m i l t o n i a n 可以简化成 8 第一章低维电子体系 日卫2 m + f ，一爿竖2 m + 三2 耐卿2 ( 1 1 6 ) i珊。j 、7 式1 1 6 中的h a m i l t o n i a n 的本征方程是可以解析求解的【7 ，8 】，本征值是 - ( 厅妒+ 降) 等 切 其中工竺! 孚，杂化频率：。+ 西本征波函数为： 小一 - 赤蔫以( 等h 警) 删 这里的匕一j ；乙和l a n d a u 能级相比较区别在于能级的差别a m 是轨道频率 和限制势的频率的杂化，并且动能部分相差一个因子( 1 一哆1 。 鬻1 3 ：瞧麓釉辍邋巾稳之嗣翁荚系瓣。鬻夺擞勃线匏上激钟窆鹣努藏4 母粼 分。举瓣豹轨避衽翻量：爨绶浚冢漓楚了。鞠瓣豹醚域楚经熬豹攀髓戳雾逛域。 翻巾霞靛潮r 一个运动蠢翔，塞鞴上磁个肖晦搿f f 输运潮鼯洙自于文黻1 4 l 磁场中的电子运动轨道是圆弧，电子的位置用b ，y ) 表示，圆弧中心用坐标 伍，y ) 标记a 它们之间的简单关系是工= 工+ 薏，y4 y 一毒这个轨道的半径是 t i 巨己7 西，如果这个系统的宽度是，那么电子是否和边缘有碰撞就由下面的公 式来决定。 9 电子自旋轨道能谱研究 仁土f 一嚣 图1 2 就显示了电子运动的轨道中心和能量之间的关系。 第二章自旋一轨道耦台 2 1 引言 第二章自旋一轨道耦合 电子的自旋一轨道耦合( s p i n o r b i tc o u p l i n g ) 是d i r a c 方程的非相对论近似引入 h a m i l t o n i a n 6 p 【9 1 。在半导体中，有两种主要的耦合形式：r a s h b a 1 0 型的和 d r e s s e l h a u s 11 1 型的。我们在这篇文章里讨论的是对应于块材中的r a s h b a 型的藕 合( r s c o ) ，它来源于反型异质节的内部所产生的局域电场。在窄带半导体中，典 型的是在如。c a o i t a s i n 。：c 口。血的反型异质节半导体材料中，r s c o 占- 主要的作 用，本篇论文所采用的数据来自于文献【12 1 。 近年来人们希望能够像控制电子的电荷一样控制电子的自旋，自旋电子学 ( s p i n t r o n i c s ) 1 4 ，1 5 l 开始兴起，控制电子自旋的各种效应都引起了很大的关注。自 旋一轨道耦合效应自然引起了很多人的兴趣，因为这一效应是利用电场控制电子自 旋的途径之- 1 6 1 。 r a s h b a 效应是三维的自旋一轨道耦合退化到二维的具体形式，三维的自旋一 轨道耦合的表达式是v y f ) 侈x 孑) ，由于二维电子气体的势能变化在垂直平面的方 向变化剧烈，其啥密顿量的表达式为 疗。一睾t p 多) 一睾瓴卢，一t 成) ( 2 1 ) 疗厅 其中a 。是和材料有关以及外加电场都有关的r a s h b a 耦合系数。实验上可以通 过控制电场可以来调节材料的r a s h b a 系数 1 2 ，1 3 2 2r a s h b ah a m i l t o n i a n 的性质 自由的二维电子气体在考虑r a s h b a 作用的情况下i 的h a m i l t o n i a n 是 h 6 一h o + 膏r ( 2 2 ) 昏篮2 m + 丢 1 1 电子自旋轨道能谱研究 疗一或+ 玩- 嘉+ 丢+ 警p 属一吼j ，) 该h a m ；n i a n 在自由的情况下是可以严格求解的。其本征值 耶) - 等t 种 这里的七一、j i 可是二维的波矢。相应的波函数可以写成。 咻加万1 唧t 缸，y 嵇) 小万1e 冲o b 嵋y 犯。，) ( 2 5 ) 这里8 一a r d 卸e 鬈) 是和动量相关的一个相位。能谱可以在图2 1 中看到，在 某一能量取截面，可以看到自旋始终和电子的运动方向垂直，内外的同心圆上的自 旋手征属性是相反的。如果系统退化到一维，那么不同的手征对应于不同的自旋取 p y 一yn 厂y丫羁 烩 人k 少 黼2 1 ：有r 础b a 娥艘聃翱曲二壤电予藏统豹辘缓和矗旋扦i 关豹_ 孕键瓣牲，鹈彤 零甜于文献l 蠲 由于r a s h b a 作用，f e r m i 能级和r a s h b a 系数相关，这样不同的分支的占有数发 生变化。在某一确定的f e r m i 能级坼，不同的分支的f e r m i 波矢分别为 第二章自旋一轨道耦合 睇= 干等 ( 2 6 ) 这样的结果使得原来的l a n d a u 能级分裂，并且不同分支的简并度不同，因此 s d h 振荡会有相应的变化。 2 3 磁场作用下的二维电子气 考虑在垂至于二维平面z y 加的磁场云一眨，垂直的磁场能够形成l a n d a u 为 ，e b x 、 詹鲁单+ 外( 胪对叫僖舻l 影响和r a s h b a 项对自旋的影响是不同的。z e e m a n 项的影响和传导电子的动量是无 关的，对于不同的自旋能量有一个间隔g p 。i 直，这里g + 是有效的g 因子。 这个h a m i n o n i a n 是可以解析求解的【1 8 ，2 6 ，这里考虑到对易关系k ，_ , v j - o ， 以告 - 冀 ， 嚣告卜鞫 磊一扣 叶争照卜 ( 2 9 ) ( 2 1o ) 电子自旋轨道能谱研究 本征波函数是 钆川一躲辩” 川 这里a 一1 分别表示两支不同自旋的解，万一一a ， 酲 ( 2 12 ) 当 - 0 时，只可能有a 一1 的态，而且6 j 一1 酲- 0 。 有磁场存在的二维系统的态密度和磁场相关。如果考虑r a s h b a 效应对简并的 解除，那么可以得到和自旋相关! 的s d h 振荡的效应【3 3 】。二维电子气体的磁阻在温 度t 一0 时，磁导的表达式可以写成【3 2 。3 3 】 。咖扣卜等q 锄 这里的r 是由于杂质7 1 起的能级展宽，这里假设为不依赖于能级常数矸对 应的是和白旋相关的能级，就是方程( 2 9 ) 和( 2 1o ) 的结果，廓是f e r m i 能级。 在量子化的磁场条件下kt c d o j p 。可以近似为 几一螽专一2 ，汜 这样实验上可以通过改变f e r m i u m ，可以得到p 。随睇关系。f e r m i 宥毪每j 恿 过一个l a n d a u 能级对应一个极大值，在俩个l a n d a u 能级之间会对应一个极小值。 这里的l a n d a u 能级的自旋简并由于r a s h b a 效应被解除，所以可以利用这个现象来 测量r a s h b a 的耦合系数。文献 1 2 1 利用这样的方法测量了在不同门电压的r a s h b a 系数。 2 。4 准一维情形 用抛物线势阱或者无限深势阱来限制二维电子气体，准一维的有r a s h b a 作用 的电子系统的输运性质有很多讨论【2 3 ，2 4 ，2 5 ，文献 2 7 j 考虑了存在平面内磁场的 系统的输运性质，同时这样的系统中有自旋进动存在【2 2 j 我们可以得到准一维的电 1 4 第二章自旋一轨道耦合 子系统，在有r a s h b a 效应的情况f ，h a m i l t o n i a n 可以写成 宙矗+ y ) + 笔+ 鲁p ，一巳以) 5 ) 由于b ，日j - o , h c y 是好量子数，同时限制势形成分立的子带( s u b b a n d s ) 波 函数有这样的形式 妒o ，y ，一( 乏：耋器) e 屯7 仁，q r a s h b a 效应可以解除七0 的态的自旋简并，为了方便计算，我们仍然采用抛 物线的势阱。约束的势具有谐振子的形式，此时的约化l 拘h a m i l t o n i a n 可以写成这样 的形式， 豆一嘉+ 主研币2 + 丢+ 警k p ，一q 以) 7 ) 2 m2 ”2 m 自7 ”“ 这个h a m i l t o n i a n 对应i 拘s c h r o d i n g e r 方程不能够解析的求解。但是可以应用数 值的方法把该h a m i l t o n i a n 对角化得到能谱。 现在继续考虑方程( 2 1 7 ) 中h a m | t o n l a n 的性质。由于日。的本征解有无穷，所 以我们做数值的对角化的过程中需要做截断近似。在考虑比较低的几个能级的情况 下，这样的截断带来的误差是很小的。图2 2 给出了一维的r a s h b a 系统 电子自旋轨道能谱研究 圈2 2 ：准一雅的 i s s h b a 系统的缆游，r i | b a 系数f o ，k = o ，5 的能谱，从能谱中可以看出，r a s h b a 效应使得不同的能级发生交叉，但并没 有解除了屯t 0 的自旋简并 2 5 自旋场效应管 1 9 9 0 年，d a t t a 和d a sf 1 9 提出了利用r a s h b a 效应设计自旋场效应管引起了 人们对r a s h b a 类型的自旋一轨道耦合的兴趣，后来不断的有人提出设想利用自旋一 轨道耦合来操纵电子的自旋来制造自旋电子器件。这个方法是利用光学的偏振和电 子的极化做类比得到的。 在这里为了描述的方便，把二维系统看成在x z 平面，) ，方向是限制二维电 子的方向，在这个方向是可以改变偏压来控制r a s h b a 系数，并设定输运方向是石方 向。系统h a m i l t o n i n a n 是 日：笔堡+ 芒坚+ 。( 吒t 一吒也) ( 2 18 ) u 首先考虑七，一0 而t 。_ 0 的简单情形，这样不同自旋极化分支的能级会发生和 霄“量茁 第二章自旋一轨道耦合 t 相关的劈裂，此时的h a m i l t o n i a n 的本征解可以直接求解。t 一笔争一a 。k ( 2 19 ) 儿等帆k 、 删 由于输运的电子是f e r m i 面附近的电子有贡献，而相同的f e r m i 能级的不同自 旋的电子的波矢不同，在经过一段距离l 之后，电子的相位会有一个改变 a 口- 一t ：) - 丁2 m a r l ( 2 2 1 ) 这个相位和r a s h b a 系数是相关的，所以可以通过控制r a s h b a 系数来控制输 出的电子的自旋。 ， 现在开始考可以实现的系统，在z 方向加上限制势y 0 ) 上进行限制，以得到自 旋场效应管。系统的h a m i l t o n i a n 是： 日=貅一卦础，删 a 一面 ( 2 2 2 ) 把r a s h b a 效应看成微扰，那么1 段设已知口。一0 是的本征方程是 日。l n , k l 一卜等卜) 其中是子带的本征能量，满足方程 ( 一嘉参帅，p 删 仁2 哪 以上面的这组本征解作为完全基来计算r a s h b a 项日。一a 。o ：k ，一吒j ：) 的矩 阵元可以得到 如，k ，a i 日。i n ，k ，a ) ta a 。6 。6 。r j ，a 吲m ，d 一一警如帅) d “ ( 2 2 5 ) 这里的a 4 - 分别表示自旋激化沿：的方向。 彬 以 旦赴 叫 r、lii， 哦生护 一 亿r 竺加 电子自旋轨道能谱研究 如果y ( z ) 带来的量子化使得子带。能级之间的差别很大，那么方程( 2 2 5 ) 中的矩 阵元就可以忽略，这个等效的要求势阱的宽度满足w 。羔，此时能量本征解是 g r i n m f 。+ i h 2 k 2 + a a 女 ( 2 2 6 ) 不同自旋对应的相位差是一一塑豢止。这样的结果和( 2 2 1 ) 是一样的a 所以 在有r a s h b a 效应的电子波导管中可以实现对电子自旋的控制。 第三章自旋相关输运 3 1 引言 第三章自旋相关输运 自旋电子学 1 4 ，15 】的目的是要能够像利用电子的电荷那样利用电子的自旋， 产生和控制相应的自旋流是一个重要的研究。自旋的取向可以影响块材料的磁学性 质，同样自旋极化也引起注意。 在二维的情形下，自旋一轨道耦合效应能够产生内察的自旋h a l l 效应1 2 8 】，但 是在有无序的杂质散射的情况下，自旋h a l l 效应会消失 3 0 ，3 1 。 我们考察了有磁场的准一维r a s h b a 系统的性质，由于磁场存在的准一维系统 中有l o r e n t z 力的作用，材料中流的分布是一个有趣的研究，而r a s h b a 使得自旋的 分布成为可能，所以材料中会有自旋流的分布，文献【2 1 】研究了在强r a s h b a 耦合 的系统中的自旋分布效应，文献【2 0 l 考虑了不同自旋分量的分布随波矢的变化。我 们加上横向电场，尝试看h a l l 效应，但是总的电流和自旋流仍然为0 。 3 2 自旋流 3 2 1 自旋流定义 自旋流是和电流相对应的定义，定义的方法有几种，一种利用自旋的动力学方 程来定义，另外一种是自旋随电子的运动而输运，本文中采用后一种定义 1 7 ，2 6 。 由于自旋和电子的速度算子都是矢量，所以自旋流是一个张量算子。 0 ；委k 吒+ 吒毛】 ( 3 1 ) 我们可以用这样的自旋流定义来计算自旋流的某一分量，a 和6 - - j - 以是置y 或 z 。如自旋吼分量沿y 方向的自旋流分量就是- ，；。要k 哆+ t 】。 在二维的系统中，这样的自旋流可以导致和外加电场成正比的自旋流，就是常 数的自旋h a l l 电导。下面对这一结论做一个推导。 电子自旋轨道能谱研究 3 2 2 自旋霍耳效应 在二维体系中，电导的张量定义是 防仁引纠 ( 3 2 ) 其中非对角项对应的是h a l i 电导，在b - 0 的情况f ，一口# e 如果考虑 自旋i 拘h a l l 效应同样需要引入张量的自旋电导( s p i nc o n d u c t a n c e ) 盼体a - 销) ， 同样在电场只有e 分量时，j ；- e ，这里0 , ，i 是第f 个自旋分量的旋h a l l 系数。下面采用文献【2 9 】中提到的方法来推导二维体系s h c ，得到的结果和【2 8 】相 同。 自旋h a l l 现象能够发生必须考虑自旋相关的势能部分，现在我们开始考虑这个 二维的系统，电场的方向垂至于电子的输运方向。 詹一竺v ：+ 出+ k 旷， 34)2m 7 考虑r a s h b a 类型的耦合h a m i l t o n i a n 可以写成 日一一笔v 2 + 阜nk p ，一q n 】+ 出 ( 3 。5 ) 堋 不加电场的情况下是可以求得两支本征值 铲等+ a 铷 ( 3 6 ) 。i 言卜i p 崩j 同时求得本征解 水卜砉( 一n 沁：啦) 一) 这里的a 是为了归一化引入的面积。仅仅考虑电场作为微扰的一阶修正，可以 得到一阶修正的波函数 第三章自旋相关输运 i f ) - 嘤( 砷+ 哗f ) 3 8 ) 我们可以计算出一阶微扰的波函数 咖一磊唑糕斗荆一等噼h 研 这里用半经典的线性响应方法定义自旋流e r ；一艺 ) 。胙。) ( 3 10 ) 这里 佛) 。一( 扩) 防i 扩) ) ( 3 1 1 ) 用方程3 1 ) 中定义可以得到 。一鲁晚 f ( e 。) 是分布函数，由于这里讨论的是由波函数的修正引起的自旋流，所以分 布函数修正带来的流不考虑。 现在可以利用以上的结果计算本征的自旋h a l l 流 ，；- 一p 皇4 1 m 幽a r k 3 w 一。i ；, = l 妒等) 一一善瓮孙：) 附? ) + 尝研h 2 k 2 a e e o ) - ( 3 ，3 ) ；锄e e 口h 。2 趴( ；善，一磊，) 等 a 一+ 1 和a 一一1 两支本征解的态密度是不同的，分别是 。婴+ 慨七 4 ) n 暑l i + 口 ( 3 14 ) 孥。塑+ a ( 3 1 5 ) 掀m “。 对于某一f e r m i 能级，不同分支的f e 帅i 波矢的差鼍以由方程( 2 1 j ) 可以得到 k ；- k ；等 6 ) 电子自旋轨道能谱研究 在二维系统中 乏- 孬a 话敬雕，- 专蠹d 8 ：x 舔 、孔 由于在相同的f e r m 面下，不同分支的f e r m i 动量不同，上面的积分区间对不 同的分支有区别。最后可以得到结果 、 羔陪墨。净 戤 -堡4ma三睁咐，鲁r 4 。2 一婶，。k ) 石 这个系统的自旋h a 系数是盯二一e 8 7 r 。从上面的计算可以得出结论，在现行 的自旋流的定义下，线性响应的自旋霍耳系数是一个不依赖于自旋一轨道耦合的常 数。而且这个h a l l 效应是由于纯粹的系统具有的r a s h b a 效应引起的，# 1 - 界- 没有磁场 的作用，所以这样的自旋h a l l 效应又称为内察自旋h a l l 效应( i n t r i n s i cs p i nh a l l e f f e c t ) 。r a s h b a 类型系统的内禀自旋h a l l 效应的h a l l 电导在有杂质存在的情况下， 如果考虑杂质的顶点修正，这一效应会消失，即使这样的杂质是极其稀薄的，这样 的结论是不物理的。但是即使考虑杂质的影响，r a s h b a 系统中，非内禀的自旋h a l l 效应仍然存在。这个是由于外磁场能够形成l a n d a u 能, 级【2 6 】。 3 3 有磁场的准一维系统 3 3 1 理论模型 但是在一维体系，有杂质存在的情况下，自旋h a l i 效应可能仍然存在，这个是 由于边缘态的原因。准一维体系的边缘态的他输运性质有的文章已经有研究，这篇 文章中使用的是无限深势阱的限制。我们为了方便求解应用谐振子势阱，这个模型 i 拘h a m i l t o n i a n 是 膏。等+ 掣佤鼬一慨，钟 第三章自旋相关输运 这里仅仅引入z e e m 卸项，在具体的计算中让g = 0 ，不考虑这一效应。露。是 r a s h b a 耦合项 昏警p ( 胪；寸叫 口r 是r 鹳h b a 耦合参数。考虑到，的对易性，总的波函数可以写成 v 0 ，y ) - p q 7 z g ) ( 3 2 0 ) 由本征方程肺扛，) ，) 一删扛，y ) ，我们可以写出函数z 扛) 满足的方程 取g ) 一姒b ) ( 3 2 1 ) - 等效h a m i l t o n i a nh h 。蓝+ 睦型帆哪脚价出( 3 2 2 ) 2 m 2 m 1 、。 。 方程( 3 2 2 ) 中的h a m i l t o n i a n 是不可以对角化的，我们把它分成两部分，一部分 是对角的h 。，另外一部分是非对角的h ，一h 。+ e e x h 。岳+ 【! ! 二三； ! 1 1 + y 。+ g 画厅 p 2 。， 为了计算的方便，这里的限制势采用谐振子势形式y g ) 一互1 州2 2 2 。所以h 。的 本征值和本征函数可以写出来。 耻( n 妒+ 降) 等一 这里盯= 1 。h 。的本征解是可以解析的写成： 。g ) = 丸皓k 。 。 ( 3 2 4 ) 这里表示自旋在z 方向投影的两个本征解，五2 ( z 。( o ) ；丸皓) 是谐 振子波函数 删一赤蔫咄) c x p ( 一訇 ) 电子自旋轨道能谱研究 这里无量纲戮如线_ 一警 - 岳 用这组本征解作为基矢来计算h a m j l t o n j 钔非对角部分h ，的矩阵元， 讣二( v 纠呷，卜出 我们可以把h 。改写成矩阵的形式 h l - 扣掷+ 剖 n 拂一剖 或者可以写成 亭；击缸+ 五+ ) ，喜一击仁一五+ ) 经过计算我们得到了需要的矩阵元： ( 蝼毗( ，一豺卢( 1 彳k k 畎一+ 筇悟州舢伽+ 筇怿胁 嗽叫每一厣。1 】 ( h ，嚣- - e e x 。一一a e e l 。纯f 。) 这里的参数是口生，声。，万仃，同时引入表示电场的无量纲参数 ml 州叫 堡。 巾出 d 一出 堕o 1_-j0 堡。 + ， 船 ， + d 一出 壳 ，。r 堑 第三章自旋相关输运 口要堕。这里的非对角矩阵元使得相邻能级的态或者同一能级不同自旋的态之间 厅( - o n 有跃迁。 图3 1 ：( a ) 系统的能谱( b ) 相应的和自旋相关的态密度以及总的态密度。两张图的参数是一 样的，磁场生：o 5 r a s h b a 系数善；o 2 5 ，电场为o ，图形来自文献【3 4 l n j o f 3 3 2 能谱和态密度 通过数值的方法对角化h a m i l t o n i a n 我们可以得到能谱和态密度。进而研究磁 场对能谱的影响。从计算的结果我们可以看到磁场的存在解除了丸- o 处的简并， 结果见图3 2 。 电子自旋轨道能谱研究 图3 2 ：k ，一0 条件下的能量随磁场的变化，这里r a s h b a 系数i t o - 0 2 5 ，横向电场e 一0 a 舻 图形来自文献1 3 4l 由于磁场对能谱的影响，磁导随磁场的变化在文献【2 3 】中有计算。由于本征解已 经用数值的方法得到，这样态密度以及和自旋相关的态密度都可以诗算出来。考虑 子带的指标m 和动量好量子数七。，能量为e 的本征方程写成 厦g k 即- e = j ， g k q ( 3 2 7 ) ，& ) 可以写成正交基谚皓k 。的线性叠加 乜。 g ) 一n 。，蛾皓) r ( 3 2 8 ) 对于某一本征能量为e ，波矢为。的本征态，由归一化条件可以得到 r 击诚 g k g ) zs i a l , 。 1 2t 1 ( 3 2 9 ) 波函数可以分成两部分，即自旋下标取+ 1 和一1 对应的部分，分别表示为 z b ) 一芝n “丸皓kz b ) 一芝。卜丸皓k 一 把不同的部分分别做内积，就可以得到和自旋相关的几率密度。向上自旋的几 率密度的表达式是 。 p ： a ，蛾矗g ) 砧，仁) z 芝h 1 2 ( 3 3 0 ) 第三章自旋相关输运 向下的分量可以同样的方法得到p ： 一k 1 2 ；1 一以与。这样分开的好处是可以 得到和自旋相关的态密度。t ( s ) 和。( e ) ，。，( s ) ：羔专掣 芝t ( s ) 去善l 。p k 以 ( 3 3 1 ) 同样可以定义d ( ) 。根据以上的定义，用数值的方法可以计算出态密度随能 量的变化。在数值计算中用求和代替积分，用有限的差分代替微分，得到图3