（水文学及水资源专业论文）随机汇流模型及基于随机理论确定nash模型参数的研究.pdf

摘要 摘要 讨论分析了汇流系统存在的各种随机因素，认为汇流过程是一个既受确定性 因素影响，又受到随机性因素影响的随机过程。 应用随机微分方程理论建立了输入具有高斯白噪声过程的n a s h 汇流模型， 采用解析解法和数值解法分别求解该随机微分方程。模型的参数也具有随机性， 据此，建立了模型输入为确定性、参数为随机性的随机汇流模型，用两种方法对 其进行求解，一种是应用l i o u v i l l e 定理得到出流过程满足的概率密度；另一种 是对入流为单位入流、模型参数分别服从正态分布和g a m m a 分布，解得随机s 曲线。提供的算例表明，对于随机汇流模型，不仅可以给出均值出流过程，而且 同时可以给出其方差过程。 对于线性随机汇流系统，由于其输入、输出和瞬时单位线的各阶矩之间存在 一定理论关系，据此，导出了入流为白噪声和马尔可夫噪声时出流过程自相关函 数与n a s h 模型参数之间的关系，从而可以仅根据出流资料确定n a s h 模型参数。 对沿渡河流域的流域汇流和襄阳一皇庄河道汇流进行验证的结果表明，对于河道 汇流，将入流作为马尔可夫噪声得到的n a s h 模型参数比较合理，而对于流域汇 流，则将入流作为白噪声得到的n a s h 模型参数比较合理。这一结论与河段入流 过程和暴雨过程的随机结构的特性是基本吻合的。 关键字：随机汇流系统；随机微分方程；伊藤方程；概率密度；n a s h 模型；马 尔可夫噪声 a b s t r a c t a b s t r a c t a l ls t o c h a s t i cf a c t o r si nt h ef l o wc o n c e n t r a t i o ns y s t e ma r ed i s c u s s e d t h ef l o w c o n c e n t r a t i o np r o c e s si s t h o u g h t a sas t o c h a s t i c p r o c e s s i n f l u e n c e d b y b o t h d e t e r m i n i s t i cf a c t o r sa n ds t o c h a s t i cf a c t o r s n a s hf l o wc o n c e n t r a t i o nm o d e lw i t hg a u s s i a nw h i t en o i s ep r o c e s si sb u i l tb y s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h e i ra n a l y t i ca n dn u m e r i c a ls o l u t i o na r eg i v e n t ot h es t o c h a s t i cc h a r a c t e r so fm o d e lp a r a m e t e r s ，t h es t o c h a s t i cf l o wc o n c e n t r a t i o n m o d e lw i t hd e t e r m i n i s t i ci n p u ta n ds t o c h a s t i cp a r a m e t e r si sb u i l t t w os o l v i n g m e t h o d sa r e g i v e nf o ri t o n ei sg e t t i n gt h ep d fo fd i s c h a r g ep r o c e s s e su s i n g l i o u v i l l el a w ；t h eo t h e ri sg e t t i n gt h es t o c h a s t i csc u r v eu n d e rt h ec o n d i t i o no fu n i t i n p u ta n dm o d e lp a r a m e t e r so b e y i n gn o r m a ld i s t r i b u t i o na n dg a m m ad i s t r i b u t i o n t h e c o m p u t i n gc a s e ss h o wt h a tb o t ht h em e a nd i s c h a r g ep r o c e s sa n dv a r i a n c ep r o c e s sc a n b eg i v e nf o rt h es t o c h a s t i cf l o wc o n c e n t r a t i o nm o d e l a sf o rt h el i n e a rs t o c h a s t i cf l o wc o n c e n t r a t i o ns y s t e m ，t h e r ea r es o m et h e o r y r e l a t i o n sa m o n ga l lm o m e n t so fi n p u t ，o u t p u ta n di n s t a n t a n e o u su n i t h y d r o g r a p h a c c o r d i n gt ot h i s ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na u t o - c o r r e l a t i o nf u n c t i o no fd i s c h a r g e p r o c e s sw i t hw h i t en o i s ei n p u ta n dm a r k o vn o i s ei n p u ta n dn a s hm o d e lp a r a m e t e r s c a nb eo b t a i n e d ，a n dn a s hm o d e lp a r a m e t e r sc a nb eg o t t e no n l yb a s e do nd i s c h a r g e d a t a t h ee x a m i n a t i o ni ny a n d u h eb a s i na n dx i a n g y a n g h u a n g z h u a n gr e a c hs h o w t h a tn a s hm o d e lp a r a m e t e r so fc h a n n e lc o n c e n t r a t i o na r em o r er e a s o n a b l ew h e ni n p u t p r o c e s si sm a r k o vn o i s ea n dn a s hm o d e lp a r a m e t e r so fb a s i nc o n c e n t r a t i o na r em o r e r e a s o n a b l ew h e ni n p u tp r o c e s si sw h i t en o i s e t h i sc o n c l u s i o ni sc o i n c i d e n tw i t ht h e s t o c h a s t i cs t r u c t u r ec h a r a c t e r so fr e a c hi n f l o wp r o c e s s e sa n ds t o r mp r o c e s s e s k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cf l o wc o n c e n t r a t i o ns y s t e m ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； i t oe q u a t i o n ；p r o b a b i l i t yd e n s i t y ；n a s hm o d e l ；m a r k o vn o i s e 闩u舌 1 厶j l 一 刖吾 汇流是径流形成过程中的一种重要水文现象，是流域内净雨转化成出口断面 流量和河道中洪水波运动的物理过程。汇流过程是一个十分复杂的过程，人们至 今还很难掌握影响汇流过程的全部因素。目前广泛应用的汇流计算模型通常认为 输入和模型结构及参数都是确定性的，即对于一个汇流系统来说，其系统响应是 唯一的，这显然是一种简化和近似。 在实际上，汇流形成规律既有确定性的一面，又有随机性的一面，为此，引 入了随机微分方程理论和随机系统的概念，来对汇流过程进行数学描述和分析。 这种将一种现象的确定性和随机性统一考虑的思路比仅作为确定性问题来解更符 合汇流现象的本质。 本论文借助于随机微分方程理论和随机系统概念，一是分别建立了具有随机 输入和模型参数为随机情况下的汇流模型，二是导出了汇流系统输入为白噪声和 马尔可夫噪声情况下，出流过程自相关函数与n a s h 模型参数之间的关系。前者可 以得到同时给出汇流模型的均值输出过程及其方差，后者则提供了一个仅依据实 测出流资料确定n a s h 模型参数的方法。 本论文主要创新点： ( 1 ) 具有随机输入的n a s h 汇流模型的建立。 通过对汇流系统随机性的分析，认为系统的输入具有一定的随机性。因此， 就系统输入为随机性，模型参数为确定性的情况建立了随机汇流模型。该模型是 以确定性的线性汇流模型为基础，在入流具有白噪声的情况下，建立了具有随机 输入的随机微分方程。通过求解该随机微分方程，得到汇流系统出流过程的数学 期望和均方差。 ( 2 ) 参数为随机性的n a s h 汇流模型的研究。 由于模型结构存在一定的不合理性，即使输入是确定性的，模型的参数也具 有随机性。因此，把模型参数考虑成随机变量更为合理。据此，建立了模型输入 为确定性、参数为随机性的随机汇流模型。用两种方法对有随机参数的汇流模型 进行求解：一种是应用l i o u v i l l e 定理求解参数为随机的随机微分方程，得到出流 日u舌 过程满足的概率密度，然后通过其概率密度得到出流过程的均值和均方差；另一 种是假设入流为单位入流，则可得到出流过程的解析解，即s 曲线，根据随机变 量口的随机特性就可确定出流过程的统计特性。假设随机变量口分别服从正态分 布和g a m m a 分布，就可得到随机s 曲线的均值和方差的表达式，把入流过程处理 成由单位入流给出的近似表达式，从而得到出流过程的均值和均方差。 ( 3 ) 确定n a s h 模型参数的相关函数法的提出。 对于线性时不变汇流系统，入流过程的自相关函数、出流过程的自相关函数、 入流出流的互相关函数与汇流曲线之间存在着一定的理论关系，根据这种关系， 假设入流过程为白噪声和马尔可夫噪声，导出了出流自相关函数与n a s h 模型参数 之间的关系式，从而可以依据出口断面流量资料来确定n a s h 模型参数。该方法用 于汉江襄阳一皇庄河段和长江三峡区间沿渡河流域，得到了令人满意的结果。结 果还表明，对于河道汇流，将入流作为马尔可夫噪声得到的n a s h 模型参数比较合 理，而对于流域汇流，则将入流作为白噪声得到的n a s h 模型参数比较合理。 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：2 0 0 6 年3 月日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：2 0 0 6 年3 月日 第一章绪论 1 1 研究的目的和意义 第一章绪论 揭示并模拟流域出口断面或河道上任一断面流量过程线的形成规律是汇流研 究的根本问题。大量的实测资料表明，在汇流过程中，存在着许多难以预测和 控制的随机性因素。它是一个十分复杂的过程，人们至今还不能确切掌握影响汇 流过程的全部因素，即使将来，随着人们认识世界水平的提高及手段的改进，也 不可能完全做到这一点。汇流形成规律显然既有确定性的一面，又有随机性的一 面。具体的说，由于降雨时空分布和下垫面特性的时空分布都表现出不同程度的 随机性，人们对汇流机理尚不能确切掌握。因此，汇流系统的输入及其结构和参 数均具有一定的随机性。但目前广泛应用的汇流计算模型通常认为降雨输入和模 型结构及参数都是确定性的，即对于一个汇流系统来说，其系统响应是唯一的， 而将其与实际发生的系统响应的差值视为误差来考虑，例如作实时校正等。这种 汇流计算方法没有从本质上考虑汇流过程的随机性，是不完全符合实际情况的。 应该用随机性的观点代替完全确定性的观点来对汇流过程进行描述和分析。当用 随机性观点描述这种带有随机性质的汇流过程时，将会导出包含有随机元素的微 分方程，即随机微分方程。以概率论和微分方程为基础的随机微分方程，其研究 对象是随机过程，给出的解是随机过程或者某些统计特征值。这种方法综合了各 种随机因素对汇流的影响，统一处理了包括在一种物理过程内的确定性规律部分 和随机性规律部分，具有明显的合理性。因此，借助于随机微分方程这一新的建 模手段可以同时提供汇流模型的计算结果和模型产生的随机误差。这样建立起来 的汇流模型将更具科学性。 对于一个具有随机性的线性汇流系统，即线性随机汇流系统，其输入、输出 和系统核函数，即汇流曲线的统计特性之间存在一定的函数关系，而汇流曲线中 的参数又与其统计特征值之间存在一定的函数关系，这就为仅具备流域出e l 断面 或河段下断面流量过程资料，但可以得知降雨或上断面流量统计特性的情况，提 供一个确定模型参数的方法。我国广大的干旱、半干旱的内陆地区，环境条件复 杂，人烟稀少。许多流域虽然在其出流断面处设有流量站，但在流域上很难布设 河海大学博士论文随机汇流模型及基于随机理论确定n a s h 模型参数的研究 足够数量的雨量站点，造成雨量资料缺乏或不足。因此，仅依据出口断面流量资 料来确定汇流参数就具有现实意义。这是一类具有新意的确定汇流模型参数的途 径，不仅对干旱、半干旱的内陆边远地区的水文计算和水资源评价有重要的实际 意义，而且对汇流理论也是一种贡献。 1 2 国内外研究进展 汇流理论是从1 9 世纪后期逐渐发展起来的，并在2 0 世纪3 0 - 6 0 年代取得了 重大的突破乜引。1 9 世纪以前，人们对汇流现象仅有感官认识或只能作简单定量 的分析。1 9 世纪，以牛顿力学为基础的古典科学得到了极大的发展。在物理科学 领域中，以牛顿力学为基础，统一了声学、光学、电磁学和热力学，在水科学领 域中，基于牛顿力学，于1 8 5 6 年提出了渗流运动规律的d a r c y 定律，于1 8 7 1 年 提出了描述明渠缓变不稳定流运动规律的圣维南基本微分方程组，前者为土壤水 和地下水动力学奠定了基础；后者为研究河道及坡面洪水运动和流域汇流奠定了 基础0 。1 4 1 。 经过1 0 0 多年的发展，汇流理论与计算方法的研究主要沿着以下三个方向发 展： ( 1 ) 物理方向 这是专指从物质运动来探讨汇流过程物理规律的研究方向。根据这一方向建 立起来的汇流模型的主要特点是只要已知地形、地貌特征资料和水力特征资料即 可求出其中包含的各项参数。 正如许多物质的运动都具有粒子性和波动性一样，水的运动也具有这样的二 重性。利用水流运动的粒子性处理汇流问题，就是考察流域出口断面在某一时刻 的流量是由哪些水质点组成的，是怎样组成的；利用水流运动的波动性处理汇流 问题，就是考察传播流量在传播场中的运动规律，即这种运动是如何受物质不灭 定律和z 日、匕l - , 量、动量守恒定律的控制的，据此可导出水动力学的解析解或数值解。 圣维南( s t v e n a n t ) 方程组是波流量传播规律的数学描述，因此，所有基于圣 维南方程组求解的汇流计算方法都属于用“波动性”来处理汇流问题的；最早日本 学者速水颂一郎于1 9 5 1 年提出了以圣维南方程组为基础的扩散波模型。此后， d o o g e 、c u n g e 、p r i c e 和k o u s s i s 等都作过一些理论上的讨论n 5 。1 8 3 。河海大学芮 第一章绪论 孝芳教授导得扩散系数与特征河长之间的关系，提供了按水文资料确定扩散系数 的方法，并且讨论了扩散波的坦化特征和基于线性扩散模型解析解的计算方法， 对解析解的可用性给出了实例证明n 9 1 。 流域地貌瞬时单位线理论是以水的“粒子性”寻找水质点等待时间的概率密度 函数来解释汇流过程的瞳25 l 。最早，路斯( r o s s ) n 们试图用等流时线概念处理水 质点尺度与水质点流达时间两个问题，但成果并不令人满意。这种方法考虑了一 些影响汇流的基本因素，如汇流速度、流域面积和形状等，但他没考虑流域的调 节作用。1 9 6 9 年，苏康( s u r k a n ) 乜6 3 设想把流域按矩形网格划分成许多单元，每 个单元包含的水体作为一个“水质点”，并分别考虑他们的流达时间，这种确定水 质点尺度和流达时间的方法比等流时线概念前进了一步。1 9 7 8 年，b o y d 乜”建立了 汇流模型参数与分叉比、河长比、面积比等地貌参数之间的经验关系。1 9 7 9 年， 罗得里古兹依得布( r o d r i g u e z i t u r b e ) 等人瞳鲫将瞬时单位线( i u h ) 与流域地 貌参数联系在一起，首先提出了地貌瞬时单位线的概念( g i u h ) ；1 9 8 0 年g u p a t 等人心蚰又作了重要补充，进一步完善了地貌单位线理论( g u h ) ，他们把大量质 点随机运动的马尔可夫过程理论和统计物理学研究方法引入了流域汇流研究，把 流域视为随机实验的对象，为从理论上导出流域汇流模型参数与流域及河长的地 形、地貌特征之间的内在关系提供了可能性口0 32 。后来，r o d r i g u e z i t u r b e 口3 3 等 和w a n g 们等拓展了g i u h 理论，在假设河道单元为运动波的前提下，考虑了河网 流速随流量的非线性变化。 8 0 年代，t r o u t m a n 等人提出了地形单位线( t o p o l o g i c a li u h ) b 5 37 l ，实际 上是结合近代定量地貌学理论的等流时线方法的推广，目的是推求时间一面积曲 线。根据地貌瞬时单位线理论，w a n gct ，g u p t auk e t c 口们探索了流域汇流的非 线性机理，g e o r g a k a k o sap 和k a b o u risjc 3 8 处理了包括地表径流和地下径流 在内的流域汇流问题，r i n a l d o e t c 口叩提出了流域汇流受控于地貌扩散和水动力 扩散的新观点。2 0 0 2 年芮孝芳教授根据流域汇流地貌扩散和动力扩散作用的结 果，利用河道响应函数描述水动力扩散，利用宽度函数描述地貌扩散，导出了流 域瞬时地貌单位线的表达式h 0 。 ( 2 ) 系统分析方向 由系统分析途径建立的汇流模型通常有概念性模型和“黑箱模型”之分。 “黑箱”模型参数的识别依赖于实测的入、出流资料，它不需要知道系统的内 河海大学博士论文随机汇流模型及基于随机理论确定n a s h 模型参数的研究 部结构信息，在输入和输出时间序列之间的数学关系不用物理规则导出，这个系 统的输入时间序列是流域上的平均降雨，输出的是一个或几个线性水库串联的全 部出流过程。而所建立起来的概念性模型，目前也主要依据实测入、出流资料来 率定参数。 系统概念的引入是由于流域汇流的复杂性，不得不对其进行概化，以便建立 可以推算的流域汇流数学模型。无论是坡面汇流、河渠中汇流和流域汇流还有地 下水汇流等问题均可作为一个系统，入流过程( 净雨过程) 可看作汇流的一个输 入过程，而出口断面的流量过程就为汇流系统的输出过程，即系统的响应，而系 统的作用就是流域的调蓄作用( 图1 1 ) ，整个流域汇流过程看作一个汇流系统。 汇流系统的内部作用可以是线性的、非线性的、时变的、时不变的微分方程，也 可以是线性的、非线性的、时变的、时不变的差分方程n 卜4 6 1 。 兰一 图1 1 流域汇流系统 近代在汇流理论中引入系统概念和系统分析方法，最早可追溯到1 9 3 2 年 l k s h e r m a n 提出的单位线的概念。1 9 3 4 年，左贺( z o c h ) n 7 1 建立了线性水库和 瞬时单位线的概念。1 9 3 8 年麦克锡( g t m a c a r t y ) 提出了马斯京根流量演算 法。该法因在美国m u s k n i n g i n 河上做流量演算而得名。1 9 4 5 年，c l a r k 使用面 积一时间曲线与单一线性水库串联系统来模拟流域汇流乜1 。1 9 5 8 年，爱尔兰水文 学家j e n a s h n 8 侧和j c d o o g e 饽明确地将系统概念引入流域汇流，提出了用一 系列串联水库来模拟汇流构成流域动力系统。1 9 6 0 年，d o o g e 提出了一般性流域 汇流单位线，相继提出时变水文系统概念和各种流域非线性汇流理论和计算方 法。1 9 6 1 年，j 阿莫罗契等人也开始用系统分析方法来处理汇流问题畸，他们把 流域看作一个系统，将降雨过程，( f ) 作为系统的输入，系统的输出为出1 ：3 断面的 流量过程q ( t ) 。他们根据系统的输入和输出资料来推求系统的作用，而并不探讨 输入形成输出的物理机制。 这种用系统的观点来研究汇流单位线是近代水文学的一个重要成就，已经是 各国水文学家真正有意识的应用系统理论观点来探求汇流理论和计算方法的开 始。基于系统分析方法求解的汇流模型在我国水文预报的实践中已得到越来越广 第一章绪论 泛的应用，如总径流线性响应模型( t l r ) ，约束线性系统模型( c l s ) ，线性扰动 模型( l p m ) 等2 1 。 ( 3 ) 随机水文模拟方向 由这一方向建立起来的汇流模型的显著特点是可以根据入、出流过程的统计 资料特性来确定模型参数，或对入流过程是随机性的，而模型参数是确定性的汇 流系统，确定其出流过程的随机结构特性，或对入流是确定性的，但模型参数具 有随机性结构的汇流系统，确定其出流过程的随机结构特性。与前两种研究途径 相比，该研究方向更具有新意。 水的物质结构即不同于固体，也不同于气体，即非严密有序又非完全随机， 而是一种松散的结构关系，分析力学不能精确支配它，统计力学也不能精确描述 它。因此，水在物质结构上的这种特殊性，必然要求在探讨其运动规律时使确定 性研究方法和随机性研究方法有机结合，相互补充3 。5 引。 7 0 年代以来，随机水文学发展成为水文科学的一个分支陌9 6 0 1 ，主要研究时间 序列分析、卡尔曼滤波理论和蒙特卡洛方法在水文学中的应用哺。卡尔曼滤波等 理论被引入到水文学领域，在一定程度上提高了水文预报的预报精度。就广义而 言，这些模型属于随机模型的范畴，随机理论的应用和随机模型的建立是卡尔曼 滤波实时预报的关键之一。从这个意义上说，随机模型在近代水文预报中同样占 有重要的地位哺引。 1 9 7 1 年，q u i m p o 3 峙旨出“参数水文学”与“随机水文学”存在着某种联系。 芮孝芳教授就汇流系统的入流为白噪声过程时，推导出n a s h 模型的参数以和k 与 汇流系统出流过程的相关函数的关系式畸引。这就寻找出当入流为白噪声过程时汇 流模型参数与汇流系统与出流过程随机结构特性之间的关系，这种情况下，只依 据汇流系统的出流资料就能确定汇流模型参数。 瞬时单位线一直是广泛应用在降雨径流预测中的设计工具，它的求得是流域 上复杂降雨径流过程的简化哺5 。73 1 。由于模型中条件的简化和水文数据的随机性， 导致了瞬时单位线的不确定性h 引。对于一个汇流系统，输入过程本身是一个不确 定性的过程，对此许多学者对其进行了讨论并提出了一些处理不确定的方法口5 。 8 0 3 。1 9 7 0 年陋卜9 0 1 许多学者把随机的方法引入到了概念性模型。概念性瞬时单位线 的随机性分析的最新发展是随机微分方程理论的应用归h5 。最早 m o r a n ，b e r n i e r ，q u i m p o ，w e i s s ，u n n y 和k a r m e s h u ，u n n y ，k o c h ，b o d o 睛7 剖致 河海大学博士论文随机汇流模型及基于随机理论确定n a s h 模型参数的研究 力于有随机输入的概念性模型的研究。s a r i n o 和s e r r a n o ( 1 9 9 0 ) 盯4 9 0 1 认为n a s h 模 型中的蓄量常数k 可以看作是随机变量，把随机变量k 表示成均值尼和有零均值 的小扰动量k 之和，即k = 云+ k 。并且从相应的随机微分方程中推导出了 刀= 1 和刀= 2 时随机瞬时单位线的表达式吼( f ) ( 聆为线性水库的个数) 。h j e m f e l e 和w a n g ( 1 9 9 4 ) 阳n 把上述随机瞬时单位线的解扩展到了e l = 3 和聆= 4 的情况，并 推论得到舱个线性水库串联时出流过程的一般解形式： 姒沪广官脏 南紫+ 唑淼半m 。， ( 尼) 3 【( ，2 + 1 ) 门( 玎一1 ) k 3 3 ( n + 1 ) n k - 2 f + 3 ( ，z + 1 ) 爵2 一r 31 一可丽丁一， 这个方程在胛 3 时确定其统计特性的难度就增加很多，g w o f o n gl i n 和y u - m i n gw a n g 阳2 嗡1 在前人的基础上，给出了n a s h 模型参数k 为具有标准正态分布和 1 1 分布的随机变量时的随机瞬时单位线的解过程。 1 3 主要研究内容及技术路线 出 ) = f ( t ，x ，a ) + d d t + g ( t ，x ，a ) d b ( t ) ( 1 2 ) x 。，= 蕃q 善( t ；) j ，。，x ，4 ，= 曼，一0 i 口：! 口 x 。，。= 耋7 。， g 。，x ，彳，= 耋 6 第一章绪论 数肜( f ) ：掣，( ，) 为高斯白噪声过程；口：1 k ，尼为n a s h 模型的另一个参 c l t 数。j ( f ) 、q ( f ) 分别为汇流模型的入、出流过程，q ( f ) 、q ( f ) 分别为q ( f ) 的一、 二阶导数。 ( 2 ) 对于入流为确定性的，模型参数为随机性的随机线性汇流系统，确定其 出流过程的随机结构特征。 对于这类问题，由于对n a s h 模型即可通过地貌参数初定为3 ，故只需已知k 的概率密度函数f ( k ) 就可以确定出流的随机结构。具体步骤如下： 建立引入随机变量的汇流系统随机微分方程模型。对于确定性的n a s h 模型， 当，? = 3 时，有 i d 3 q - ( t ) + 3 口掣+ 3 a 3 了d q ( t ) t - a 3 q ( f ) = a 3 i ( 叭( a ：l k ) ( 1 - 3 ) d f 3d f 2d r 式( 1 3 ) 中蓄量常数k 具有一定的随机不确定性，将它视为随机变量或随机 过程更为合理些。这样，就建立了含有随机变量或随机过程的随机汇流模型，其 解q ( t ) 是一个随机过程。 用l i o u v i l l e 定理求解随机微分方程式( 1 3 ) 得到其联合概率密度函数 f o ( q ，q ，童，f ；口) 满足的偏微分方程式。在初始条件确定的情况下，对偏微分方程 式进行数值求解和积分，得到q ( t ) 的边缘概率密度函数，这样就能确定出流过程 q ( t ) 的统计特征值。 对于式( 1 3 ) ，如果其是有显示解的一类方程式，则可利用已知随机变量和 随机初始条件的统计特性来计算解过程的统计特性，解过程的概率密度可通过随 机变量和随机初始条件的概率密度给出，解过程的统计特性可从其概率密度函数 中得到。例如，若式( 1 3 ) 有显示解 q ( f ) = h q ( t o ) ，a ， ( 1 4 ) 则其胛阶矩可由下式求得 e q ”( f ) 】- p q ( f o ) ，彳，t f o ( q o ，a ) d q o d a ( 1 5 ) ( 3 ) 根据汇流系统入、出流的随机结构特征，确定n a s h 模型的参数。 河海大学博士论文随机汇流模型及基于随机理论确定n a s h 模型参数的研究 1 ) 理论上推导出入流过程为白噪声过程或有如盯2e x p ( 一p t ) 形式的自相关 函数的马尔可夫噪声过程的前提下，n a s h 模型所相应的出流过程自相关函数 p o ( r 1 的表达式。 2 ) 由实测出流资料求得出流过程的经验自相关函数。 3 ) 比较经验相关函数与理论相关函数的拟合程度，当两者匹配最佳时所对 应的n a s h 模型参数即为该系洪水的n a s h 模型参数。 本文主要由理论推导和实际应用两部分组成。理论推导部分利用数学工具来 建立汇流模型，推求方程的解过程，并将其解过程应用于实际流域和河段进行验 证。 第二章随机汇流系统 第二章随机汇流系统 2 1 汇流系统及其分类 2 1 1 汇流系统的概念 “系统”是近代自然科学和工程技术广泛应用的术语之一，指的是由一些互相 作用的实在的或抽象的结构装置或过程所组成的整体。这个整体可以用一些随时 间与空间变化的变量来描述，也可以是某种物理、化学过程，尽管每种物理现象 都构成各自对应的系统，但它们都有一个共同的特点，就是当一种作用或扰动加 于该系统，就必然产生一种随时间变化的结果，即系统响应。对于一个系统( 图 2 1 ) ，一般是在输入和输出之间建立数学模型，输入、输出体现了某种因果关系， 系统的作用使输入换化为输出，即输出是系统对输入的响应。研究系统的目的就 是预测输出。系统分析就是建立数学模型。 系统的输入和输出表示随时间变化的物理量，因而用时间函数表示，输入函数 通常称为信号，输出函数为响应函数。符号表示从输入到输出的变换函数，它的 形成对系统函数来说是信号化。 汇流可视为一个系统。对汇流系统来说，系统的输入是净雨过程或河段入流量 过程，系统的输出是出口断面流量过程或河段出流量过程，而系统的作用就是流 域或河段调蓄作用。在水文学中，系统理论方法可用于模拟净雨和地表径流之间 的关系，也能模拟河段入、出流量过程之间的关系。 输出 2 1 系统示意图 图2 1 表示的系统可写成如下函数形式： 9 河海大学博士论文随机汇流模型及基于随机理论确定n a s h 模型参数的研究 ，。( f ) ，2 ( f ) ，。( f ) 勘：一田一：蜊赃 即 q ( t ) = 日 ，( f ) q 1 ( f ) q 2 ( f ) - q 。( f ) ( 2 1 ) 式中i ( t ) 为系统的输入；q ( t ) 为系统的输出；h 为系统输入和系统响应之间运算 关系的算符。 2 1 2 汇流系统的分类 汇流系统是一种因果关系的、守恒的和高阻尼的物理系统。依据汇流过程的 物理特性，可对汇流系统作如下分类。 ( 1 ) 确定性系统和随机系统 对于一个系统来说，若系统响应是唯一的，则称为确定性系统；若系统响应 以一定概率出现，则称为随机系统。如图2 2 所示。 一 二卜 概率效果1 原因 概率效果2 概率效果3 图2 2 确定性系统( a ) 和随机系统( b ) 示意图 ( 2 ) 线性系统和非线性系统 一个汇流系统，如果满足叠加性和均匀性原则，称为线性汇流系统，否则称 为非线性汇流系统。 叠加性是说，2 个输入之和产生的总的系统响应等于每个输入产生的响应的代 数和；均匀性是说若将, 倍输入施加于系统，则产生的系统响应等于原输入产生 第二章随机汇流系统 的响应的，2 倍。叠加性和均匀性的数学表达如下： h a 1 , ( t ) + f 1 1 2 ( t ) = 口h ( f ) + h 瞰f ) ( 2 2 ) 式中0 【，b 为常数；其它符号意义同前述。 ( 3 ) 线性时变系统和线性时不变系统 一个线性流域汇流系统，如果系统标符日中包含的参数均为常数，则称为线 性时不变流域汇流系统。反之，如果日中包含的参数随时间而变，则称为线性时 变流域汇流系统。 ( 4 ) 连续时间系统和离散时间系统 如果输入和输出的时间函数是连续的，表明系统在任何瞬时时间的作用都有 效，则称为连续时间系统。如果输入和输出函数并不是严格的数学意义的连续函 数，并以离散形式表示，则称为离散时间系统。 ( 5 ) 稳定系统和非稳定系统 如果对于有界输入函数，输出函数也是有界的，则称为稳定系统，其数学表 示如下： i ，( f ) f a 图2 7 单位函数 ( 2 1 0 ) 单位函数亦称海维赛( h e a v i s i d e ) 函数，其拉普拉斯变换为1 s 9 8 o 艿( f ) 函数 与单位函数有下列关系： f i ( t ) = h ( f )( 2 一1 1 ) ( 3 ) 单位矩形入流 单位矩形入流是指仅在一有限时段内， 其数学表达式可以写成： io ， f a 系统输入端维持一个单位强度的入流， ( 2 1 2 ) 河海大学博士论文随机汇流模型及基于随机理论确定n a s h 模型参数的研究 单位矩形入流可由两个相邻时段的单位函数的差值表示如下 i , t ( f ) = h ( f + a t ) 一h ( t ) 延迟矩形入流可表示成下面形式： i o a o l 6 = h ( t 一口) 一h ( t b ) = 0 ( 2 1 3 ) ( 2