（基础数学专业论文）d（ks3）的不可约表示与grothendieck群的环结构.pdf

张影d ( k s ：) 的不可约表示与g r o t h e n d i e c k 群的环结构 ! d ( k s s ) 的不可约表示与g r o t h e n d i e c k 群的环结构 中文摘要 h o p f 代数起源于二十世纪四十年代，主要由h 0 1 ) f 对三把群的拓扑性质的公理 性研究时而构造的既有代数结构又有余代数结构的代数概念。h o p f 代数是可能使 得两个模的张量积仍然是模的那部分代数。同时，对任意的h o p f 代数，讨论它的 两个模的张幂积分解和交换性是h o p f 代数研究中的重要课题之一。当h 是几乎余 交换的h o p f 代数时，它的任意两个模的张量积是可交换的，而辩子h o p f 代数( 又 称拟三角h o p f 代数) 是几乎余交换的。拟三角h o p - 代数是d r i n f e l d 在研究量子 b r i g b a x t e r 方程时引进的，通过这类h o p f 代数的表示可为量子y a n g b a x t e r 方 程提供解。对于任一有限维h o p 代数，d r i n j e i d 给出了一种方法可以构造一个 拟三角h o p f 代数d ( ) ，现在一般称d ( h ) 为h o p f 代数的d r i n f e m d o u b l e 。 本文中设k 是特征为2 的代数闭域，是3 元对称群。本文主要研究h o p f 代 数船，的d r f ，7 j 埘d o u b l ed ( k s ，) 的不可约表示与g ，o t h e n d i e c k 群g 。( o ( k s 3 ) ) 的环 结构。 在第一章中，我们网顾了h o p f 代数的。些背景知识，以及本文所需要的些 基本概念和基本结论。着重介绍了拟三角h o l ? f 代数，有限维t t o l ? f 代数日的 d r i n f e l dd o u b l e d ( h ) 等概念及其结构，d ( h ) 的模范畴与y e t t e r d r # r e i dh 一模范 畴的关系等内容。 在第二章中，我们首先介绍了西f 咖埘d o u b l ed ( 舾，) 的具体结构，由此研究 了d ( k s ，) 的不可约表示。我们证明了在同构意义下，o ( k s 。) 恰好有6 个单模，并 给出了这6 个单模的具体结构，记这6 个单模为k ，坞，虼，巧，圪。得到重要定理： 扬州大学硕士学位论文 定理2 , 3 1 设v 是d ( k s ，) 一译模，则v 必同构于k 蛭k ，圪，k ，圪中之一。 在第二章中，我们研究了g r o t h e n d i e c k 群g 。( d ( 舾，) ) 的环结构。由于d ( 蝇) 是 一个拟三角h o p f 代数，g 。( d ( k s ，) ) 是一个交换环，作为加法群g 。( d ( k s ，) ) 是自出 a b e l 群有z 一基 k ， k ， 巧 ， ，v s ， 。这里主要给出了任意两个单模张量积 k o 一的结构。当 半单时，给出了 分解成单模直和的分解式；当o v i 非半单时，给出r 勋c ( ) 的结构，此时。z 磁。( k ) 必是半币，同时 给出了这种商模的结构。由此得出了g 。( d ( k s ，) ) 的乘法公式。最后我们给出本文 的重要定理。 定理3 1 6 设k 是特征为2 的代数闭域，s ，是3 元对称群，则d r i 咖l dd o u b l e d ( k s 3 ) 的g r o t h e n d i e c k 群g 。( d ( k s 3 ) ) 是一个交换环，作为加法交换群g o ( d c k s 3 ) ) 有一组z 一基 【， ， m k ， 】， v j ，畋 ) ，其乘法结构由下述等式给出： k k = 【k u = k ，1 f 6 ； k = k + 嵋 + + 【蚝 + 【圪 ； 【 屹 = 【屹 k = 2 1 v 2 ； 【圪 = 圪 k = 2 v z 】； k 】 虬 = 蚝】 】= 2 k j ； k 圪 = 【圪】 = 2 【 ； k 巧 = 【k + 2 u ： k i kj = 【k = 【k + 【圪 ： k 圪 = 巧】= “圪】； v d u o 】= 圪 巧】= k 】+ 吒 ； 圪】= 2 i v , + k ； k 【 = 【v a = 巧 + 圪】； k 圪 = 圪 【 = 巧 + k ；【k 蚝 = 2 k + 【k ； 吒 圪】= 圪 ，5 = “巧 ； 圪】 圪 = 2 p i 圪】。 关键词：h o p f4 弋数，g r o t h e n d i e c k 群y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴d r i n f e l dd o u b l e 模 扬州大学硕士学位论文 i r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no f d ( k s 3 ) a n dr i n g s t r u c t u r e so fi t sg r o t h e n d i e c kg r o u p a b s t r a c t 2 l e t kb ea na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i c2a n dsb et h es y m m e t r i c g r o u po nt h r e ee l e m e m s i nt h i st h e s i s ，w ew i l le x a m i n et h ei r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n s o ft h ed r i n f e l dd o u b l ed ( k s 3 ) o fh o p fa l g e b r a 坞t h er i n gs t r u c t u r eo ft h e g r o t h e n d i e c kg r o u pg o ( d ( k s 3 ) ) i sd i s c u s s e da l s o i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h eb a c k g r o u n do fh o p fa l g e b r a s ，a n dr e v i e ws o m e c o n c e p t sa n dc o n c l u s i o n sw h i c ha r eu s e dl a t e ri nt h i sp a p e r i np a r t i c u l a r , w er e c a l lt h e q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a s ，t h ed r i n f e l dd o u b l ed ( h ) o f af i n i t ed i m e n s i o n a lh o p f a l g e b r aha n di t ss t r u c t u r e t h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec a t e g o r yo fd ( h ) 一m o d u l e sa n d t h ec a t e g o r yo fy e t t e r - d r i n f e l d 日一m o d u l e si sa l s or e v i e w e d i nc h a p t e r2 ，w ef i r s td e s c r i b et h es t r u c t u r eo ft h ed r i n f e l dd o u b l ed ( k s 3 ) a n d s t u d yt h ei r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n so fd ( 娼) w es h o wt h a tt h e r e r ee x a c t l y6s i m p l e m o d u l e so v e rd ( k s 3 ) u pt oi s o m o r p h i s m 。t h e6s i m p l ed ( 埚) - m o d u l e sa r ed e n o t e d b y 巧，吒，k ，圪，蚝a n d 虼r e s p e c t i v e l y - t h e s t r u c t u r e so ft h e s es i m p l em o d u l e sa r e d e s c r i b e d i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h er i n gs t r u c t u r eo fg r o t h e n d i e c kg r o u p g o ( d ( k s 3 ” n o t et h a tg 。( d ( k s 3 ) ) i sac o m m u t a t i v er i n gs i n c ed ( 忌s o i saq u a s i t r i a n g u l a rh o p f a l g e b r a a s a na d d i t i v eg r o u p ，g o ( d ( 克毛) ) i saf r e e a b e lg r o u pw i t haz - b a s i s 张影d ( k s 3 ) 的不可约表示与。厕p ，舭缸群的环结构 一3 【巧】，【k 】，【巧】，【k 】，【k 】，【圪】 t h e m a i no b j e c to ft h i sc h a p t e ri st of i n dt h et e n s o r p r o d u c t ss t r u c t u r e so f = m yt w os i m p l em o d u l e s w h e nko 巧i ss e m i 。s i m p l e , w e d e c o m p o s et h et e n s o rp r o d u c ta sad i r e c ts u mo fs i m p l em o d d e s o t h e l w i s ew eo b t a i n m ed e c 。l l 啪s i t i 眦。fm cs o c ko f k 巧柏d 巧。硷( 巧p 巧) w h i c hm 戚b c s e m i s i m p l e t h u sw eg e t t h es t r u c t u r eo f m u l t i p f i c a t i o no f6 0 ( d ( k s 3 ) ) 扬州大学硕士学位论文 烈坞) 的不可约表示与g r o t h e n d i e c k 群的环结构 4 1 引言与预备知识 在本章中，首先对h o p f 代数的背景知识，发展过程以及研究价值加以简单的 介绍，同时概述了本文的研究目的和思路。为完整起见，我们还对与本文研究有 密切联系的基本知识作了介绍。 1 1 背景知识和研究目的 。h o p f 代数起源于二十世纪四十年代，主要由h o p f 对l i e 群的拓扑性质的公 理性研究【8 】时而构造的既有代数结构又有余代数结构的代数概念。到二十世纪六 十年代，h o c h s c h i l d m o s t o w 在研究l i e 群的环表示的应用及后续研究中，发展和 丰富了h o p f 这一代数系统的理论。直到1 9 6 5 年，m i l n o r 与m o o r e 在【4 】中将上述概 念正式称为h o p f 代数。m i l n o r 与m o o r e 的这篇开拓性的文章给h o p f 代数的研究 奠定了基础。自此以后，h o p f 代数引起了数学家的广泛重视并取得了丰硕的成果。 我们知道，h o p f 代数是可能使得两个模的张量积仍然是模的那部分代数同 时，对任意的王蛔矿代数，讨论它的两个模的张量积( 同构意义下) 分解和交换性 是丑珂代数研究中的重要课题之一。d r j f n f e w 在文献 2 4 】中证明了当日是几乎余 交换的h o p f 数时，它的任意两个模的张量积是可交换的，而辫子届咧代数( 又 称拟三角h o p f 代数) 是几乎余交换的。详细参阅【4 ，i o 。 拟三角h o p f 代数是d r i n f e l d 在研究量子y a n g - b a x t e r 方程时引进的【l i 】，通 过这类届谚代数的表示可为量子y a n g b a x t e r 方程提供解对于任一有限维 张影d ( 克舄) 的不可约表示与g m 玩晰爵p 政群的环结构一5 h o p f 代数h ，o r i n f e t a 给m 了一种方法可以构造一个拟三角段谚代数d ( 日) ，现 在一般称d ( h ) 为h o p f 代数日的d r i n f e m d o u b l e 。有关d ( h ) 的研究非常丰富，可 参阅 1 1 】，【1 5 ，【1 6 】等。 在本文中，我们研究h o p f 代数坞( c h a r ( k ) = 2 ) 的d r i n f e l d d o u b l e d ( k s ，) 的不 可约表署f i g r o t h e n d i e c k 群g o ( d o s , ) ) 的环结构。我们给出了所有d ( 坞) 一单模的 结构及其同构分类，并判断任意两个d ( k s 3 ) 一单模的张量积的半单性质。对于这种 张量积为非半单的情形，我们计算了其勋出。最后我们给出了g r o t h e n d i e c k 群 g o ( d ( 克) ) 的环结构，即乘法公式。 1 2 预备知识 本文中设k 是特征为2 的代数闭域，用0 表示圆。所有的代数，h o p f 代数， 模以及余模都是定义在域k 上的向量空间。h o p f 代数( 日，脚，a ，占，s ) 是具有代数 结构( 日，m ，) 和余代数结构( 日，占) ，且满足条件； ( 1 ) a 和占是代数同态或珊和是余代数同态， ( 2 ) ( s ) ) 磊2 = s ( 1 = 盔( s 如) ) ，锄e 蜀 其中s h o m k ( h ，日) 是日的反极元( a n o d e ) 。对耐代数日我们用记号： 对任意矗h ，( = 啊。坞 定义1 2 1 设日是一个凰咎矿代数，胃的反极元s 是双射。设m 是一个左日- 模， 同时也是右日余模，则称肘是一个y e t t e r - d r i n f e l dh 一模( 简称阳h 一模) ，如果 下面等价的相容性条件成立： ( 1 ) 啊m 。o 也小。= ( 如哟。o ( 如m ) - 啊， 扬州大学硕士学位论文 6 ( 2 ) ( 脚) oo - 功。= 如m 。o 如m 1 $ - 1 ( 啊) ， 其中h e h 。m m 。 可以看出，如果肜和是两个y d 日模，则m o 也成为y d 日模， 其左日一模结构是 ( 肌。帕= | i 丐埘。如- 而e 日，m e m ，疗n ， 右日9 余模结构是 反册。功= m on o o 坍i n t ，坍m ，n n ( 见 1 3 ，1 4 】) 。 定义1 2 2 设日是一个耐代数a 若存在可逆元r = r o r 2 h o h ，满足下 列公理( ，= r ) ，则称日是一个拟三角h o p f 代数： ( 1 ) ( r ) o 震2 = e r l 甜1 o 矗2 r 2 ， ( 2 ) 置1 0 ( 胄2 ) = r 1 ，1 0 ，2 0 胄2 ， ( 3 ) 6 甲 月= r a ( 蛾v h h ， 其中节= 话是h o p f 代数日”的余乘法映射，f 是通常的换位映射( 仰m a p ) 。 r 叫做的一个拟三角结构。如果r 一= r c r ) ，则称r 是一个三角结构，此时，也 称日是一个三角h o p f 代数( 见【4 ，l l 】) 。 引理1 2 3 | 4 ，1 0 1 2 l 设是拟三角h o p f 代数，r 为其拟三角结构。如果肘，是 两个左h 一模，则作为左h 一模m o n 兰n o 肘，其左日一模同构映射可定义为 d ：m 固n 畸n m ， m o n f 专r 一1 ( 行固，哆) ，v m m ，稽n 。 定义1 2 4 设日是任一有限维h o p f 代数，日”1 4 h 作为向量空间即为 h c o p 固日，则称h + ”闻h 为日的所i n f e l d d o u b l e ，记作d ( h ) ，如果具有如下 h o p f 代数结构： ( 1 ) ( 厂酗酗_ i l ) = ， 寸一) 刚( _ 1 1 2 卜z ) 而， 张影d ( k s 3 ) 的不可约表示与g 阳崩e 胧加以群的环结构 ，7 ( 2 ) l 旷d - , 3 1 8 = 闷1 为d ( 奶的单位元， ( 3 ) a d ( ) u 嘲= ( 五硼 ) 固( 石阏吃) ， q c d ( h ) = f 1 5 r 啤o e = 1 胃q 占_ i i ， ( 5 ) d ( 奶的反极元：s 酗= 刚曲 e c , , a h 和胃唧= ( 日9 ) _ d ( 日) h h h 刚l 。因此日和( 日9 ) 可视为d ( h ) 的：子h o p f 代数。设m 是左d ( 日) 模， 则吖成为左日模： h m = p 网h ) m ，h 日，肌m 。 n l i e i m 成为左( 日”) 模：h m = ( 矿闻1 ) m ，h e ( 日”) + ，埘m 。因此膨是一个右 日”余模( 日- 余模) ，余模结构p ：膨寸m o 日，删卜职o ) ) 由下式确定 | j j 脚= 杈o ) ，矿e ( h 9 ) , m e m ( 1 ) 这一余模结构与上面给出的左模结构使材成为一个仞- 日- 模。反之，设材是 一个】，d 日模，则肠有左日m 模结构( 1 ) 。从而m 成为一个左d 【日) - 模，模作用 为+ 刚h ) m = 矿( 所) ，h 日+ ，h e 日，脚e m 这样，我们有下面的命题。 命题1 2 5 1 4 ，1 0 6 1 6 设日是有限维顾昝矿代数，则y d 仃兰) m 。 扬州大学硕士学位论文 8 定义1 2 6 设日是有限维h o p f 代数，用f ( 日) 表示有限维日模的一切同构类的集 ， 合。c ( 忉= q ( m ) i ，n ，珥z ，( m ) f ( 日) ，其中( m ) 表示有限维日- 模m 所 在的同构类，为正整数之集，z 为全体整数。易见，c ( 日) 是加法交换群。设r ( 日) 是由所有形如( 吖：) 一( m ) 一( 肼3 ) 的元素生成的c ( 日) 子群，其中m l ，m 2 ，m 3 满足 短正合列 0 - - - h m i 呻m 2 - - h m 3 0 称商群 c o ( h ) = c 乞冱( 日) h 的g r o t h e n d i e c k ，其中元素记为 【膨】_ ( 膨) + 置( 日) 。设 巧，k ，) 是单h 一模同构类的一个代表系，则 g o ( 日) 是自由a b e l 群，有z - 基 【巧】，【巧】，【圪】 。在g o ( 日) 中定义乘法 【m lj i m 2 】- m l 圆m 2 】，易证g 0 ( 何) 成为环，称为日自：j g r o t h e n d i e c k 环。 定义1 2 7 设4 是有限维代数，肘是有限维4 - 模，对， l ，p ：肘一乡口c 1 - 1 9 是投 射，归纳定义c 7 m 为聊( 乡o c ，- t m ) 在m 中的原象a 使得c m = 肘的最小正整 数t 称为m 的s o c l e 长度，记为s l ( m ) 。 0 c s o c m c $ 0 c 2 m c c $ 0 c “1 m c m 称为肼的$ o c l e 序列。正则模4 的踟c 如长度也称为代数a 的s o c l e 长度。 张影d ( k s j ) 的不可约表示与g ，d 历阴如如群的环结构 一9 2d ( 娼) 一不可约表示 在本章中，我们将讨论d r i n f e l d d o u b l e d ( k s 3 ) 的不可约表示，给出d ( 七s ) 上 单模的结构及同构分类，其中s 是3 元对称群，j 是特征为2 的代数闭域。 2 1 烈坞) 的结构 设k 是一个域，g 是一个有限群，则众所周知群代数后g 是一个有限维h o p f 代 数。令足e ( 昭) ，g c g 如t = 也 ，h e g ， 其中吒 是鼢口加c k c r 符号则 0l g g 是( 七g ) 的一组后- 基，且对偶月珂代数 ( t g ) 的乘法，余乘法和a n t i p o d es 为 p s p h 。6 | h p g - a ( p 。) = 只圆o 。， j m 占幔) = = 以j ， s ( 0 ) = 乞一 其中g ，h g 。 d r i n f e l dd o u b l e d ( k g ) ：有k - 基 名阳| j l i g ，_ l g 。d ( k g ) 的乘法由( 施) + ”和 t g 的乘法及下述两式给出： 饵闷1 闻g ) = 只醐g ， p 闻g ) ( 最闻1 ) = 巴，9 4 哆姚，g 屿闷g = 一t 刚g d ( k g ) 的余乘法，余单位和a n t i p o d es 由下述公式给出： 扬州大学硕士学位论文 1 0 a ( 5 闪= ( p - 。闪丙) o ( e 刚， j 畦j f ( 名酗= 8 ( 协 = 气l ， s ( 弓阳= s p 闻s ( 巴阳1 ) = 似陶) ( 0 - 闪1 ) ， 其中g ，h g 现在我们设七是特征为2 的代数闭域，墨是3 元对称群，最可以描述如下： s = ( 口，b l a 2 = 1 ，b 3 = 1 ，( a 2 = 1 ) 令_ = 1 ，x 2 = 口而= 6 2 a ，知= b a ，= 6 ，= 6 2 ，则z m n f e 埘d o u b l ed ( 坞) 有七基 气阳一i l s f ，6 。d ( 忌s ) = ( 克s ) 唧酗( 七s ) 的h o p f 代数结构可由上面一般情 形d ( _ j g ) 的结构具体给出。特别地，作为k - 代数，d ( k s 3 ) 由 最州l ，宕刚口，s 嘲6 i l i a 6 ) 生成。为了在下节中构造d ( 乇s ) 模，我们在这里特 别指出这组生成元除了满足在子h o p f f 弋数( 圾) 唧刚1 和s 明( k s 3 ) 中的关系式 外还应满足如下关系式； p 酗口) ( 乞刚1 ) = & 酗口，p 州6 ) ( & 州1 ) = & 醐6 ， p h 4 ) ( & 阳d = & 嘲口，p 闪6 ) ( & 闪1 ) = 乞酗6 ， p 刚a x 巴酗1 ) = & 嘲4 p 闷6 x & 闪1 ) = 己硼6 ， p 刚a x 已闷1 ) = & 嘲口，p 闻( 厶醐1 ) = & 明6 ， p 刚烈巴明1 ) = & 闻口，p 闷硎& 蚓1 ) = 气n 6 ， p 刚( & 阳1 ) = 嘲口，p 阳( & 刚1 ) = & 州b ， 在上述等式中，有乞醐尊= ( 置网l x 暑闪力， 己网6 = ( 巴嘲1 ) 阳6 ) ， f = 1 ，2 ，3 ，4 , 5 ，6 张影d ( k s 3 ) 的不可约表示与g 而咖班妇以群的环结构 一i i 以下恒设k 是特征为2 的代数闭域。设g k ，满足9 2 + 口+ l = 0 ，有 口0 ，口2 0 ，口口2 和口3 = 1 2 2d ( 七s ) 一单模的结构 一个左d ( h ) - 模m 等同于d ( 田的一个表示，即一个代数同态 d ( h ) 一e n d ( m ) 。若m 是有限维的，则可取定m 的一组基，在此基下 西耐( 膨) 兰j l 厶( 后) ，其中n = d i m m 。因此，我们将采用定义代数同态d ( 日) 一m 。( 幼 的方法来定义一个左9 ( ：鳓模。 引理2 2 1 设k 是一维k 一向量空间有k 一基p 。) ，则有代数同态 一：d ( 忘s ) 专e n d ( t o = 蝎( = 七，丙一e m 即彤，a ) 是d ( 娼) 的一维平凡表示。 引理2 2 2 设是三维k - 向量空间有_ j - 基 嘎，蟊，杰 ，则有代数同态 岛：d ( 七舄) 呻西订( 吒) 兰坞( 七) ，其中 岛p 刚口，= 雎：1 习，岛g 酗= 旺：1o a j 岛c & 刚，= 00 ：o 乱j 岛p 刚口) ：l oo ll ，岛g 酗6 ) = ilool ，岛( & 刚1 ) = lo ool i oo jl o【o 岛c 厶嘲。= ( o i o ，岛c 己酬。= o ；3 岛眩闻，= o ，= t 囊6 ， 即( ，岛) 是d ( 坞) 的三维表示a 引理2 2 , 3 设k 是二维七向量空间有| 基他，乞) ，则有代数同态 岛：d ( 坞) 寸西耐( 巧) 兰 如( 七) ，其中 扬州大学硕士学位论文 见p 嘲口，= ( o ：) 岛p 冈= go ) 岛c 巳刚，= 口： ， 吧刚d = g 牡刚圳乩2 a 4 ， 即( 巧，岛) 是d ( 坞) 的二维表示 引理2 2 4 设圪是二维七一向量空间有七一基 石，以) ，则有代数同态 反：d ( 坞) 一删( 圪) 兰鸩( 七) ，其中 成p 酗口，= 0 ：) ，风p 闻= ( o1 ) 一c 朗，= g ： ， 内( 巴嘲1 ) = o , i = 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ， 即( ，风) 是d ( 忌s ) 的二维表示 引理2 2 5 设k 是二维量向量空间有k 一基 ，2 ，则有代数同态 岛：d ( 蜗) 一面刃( 巧) - - m 2 ( 七) ，其中 徘刚= 匕矗加删= ( 苫；) ，岛暇刚= ( 勰 帆酗1 ) = 口： 州& 刚乩，2 ， 即( 巧，p s ) ：是d ( k s 3 ) 的二维表示a 引理2 2 6 设圪是二维七一向量空间有七基 f l ，f 2 ，则有代数同态 反：d ( 坞) 专西耐( 圪) 兰j l 如( 七) ，其中 聃醐= 舢c ，= 瞄三卜删= ( 成c 刚，= ( ：o ，风c 巴刚- ，= 。，t = t ，2 囊4 ， 1 2 张影d ( k s 3 ) 的不可约表示与g r o t h e n d i e c k 群的环结构 旦 即( ，成) 是d ( 七写) 嗣二维表不 引理2 2 2 2 2 6 的证明利用上节给出的d ( k s 3 ) 的乘法公式直接验证即可。 下面我们给出这一节的主要定理。 定理2 2 7 k ，巧，k ，巧，圪是6 个互不同构的d ( 七墨) 一单模。 我们将定理2 2 7 的证明的分成若干个引理。显然k 是d ( 七s ) 单模。为了证 明巧，巧，巧，巧，k ，圪互不同构，根据它们的维数，我们仅需证明巧，k ，巧与k 互 不同构即可。 引理2 2 8 巧，k ，巧与圪是互不同构的d ( 坞) 一模。 证明：因为局( & 刚= ( ：) 和岛( 乞酗；。是秩分别为2 和。的矩阵，不可能 相似，故( 巧，岛) ，( k ，a ) 是不可能同构的。同理可以说明( ，矶) 与( 巧，岛) 不同构， ( 吆，成) 与( k ，成) 不同构。 显然岛p 闷6 ) = g ：) 与岛p 醐6 ；= l o 二 是不相似的，所以( 巧，岛) 与 c 网蝴酬f 闪? ) 与岛p 阳= ( 言习不枞姗剃 与( 圪，成) 不同构。 假设( k ，a ) 与( 圪，风) 是同构的，则存在模同构映射f ：巧_ 虼。 设 喇) = q t t 。+ q 2 t z , 她) = 吼f l + 吼r 2 ，则( 妻耋 是七上可逆矩阵。根据引理2 2 5 与 2 2 6 ，有f ( ( & 刚6 ) o - - ( 闷6 ) f 鸥) ，即口g l + 口q 2 t 2 = 口2 9 i 因为口o 且 口口2 ，所以吼= 。，吼= 。，这与( 妻耋) 是可逆矩阵矛盾，故( 巧，岛) 与( 圪，风) 是 扬州大学硕士学位论文 1 4 不同构的。因此圪，匕，巧与圪是互不同构的d ( 娼) - 模 口 下面再分别证明，嵋，匕，k ，圪是d ( 坞) 一单模。 引理2 2 9 是d ( 蝇) 单模。 证明：对任意不全为零的肌i ，m 2 ，m 3 k ，令d = 帆吐+ m 2 d 2 + 鸭以) ，则由引理2 2 2 得， ( & 酗工2 ) d = m i 西，( 巴喇x 2 ) d = 埘2 以，( 已明x 3 ) d = 嘲t ， ( 己x 3 ) d = m 2 以，( & 酗x 4 ) d = m 畋，( & 刚x 4 ) d = m 2 d l ， ( 乞蚓而矽= 鸭盔，( & 醐而= 码盔，( 乞闻_ 矽= 确以， 由此可知吐，以，以d ( 七s ) ( m 玩+ 鸭杰+ 鸭西) ，因此是d ( r s 3 ) 一单模。 口 引理2 2 1 0 v 3 是d ( k s , ) - 单模。 证明：对任意不全为零的肼l ，朋2 屯则由引理2 2 3 得， ( & 阳而) ( q + 鸭p 2 ) = j ，l l q ，( & 刚x 2 x m , e , + m 2 e 2 ) 2 m l e 2 ， ( & 冈x 2 ) ( 埘l e i + m 2 e 2 ) = m 2 巳，( & 冈而) ( e i + 肼2 p 2 ) 。m 2 e 2 ， 由此可知q ，e 2 d ( 坞) ( 吒+ 他巳) ，因此吒是d ( 坞) - 单模 口 引理2 2 1 1 乃是d ( 七s ) 单模。 证明：对任意不全为零的，m ：e t 则由引理2 2 4 得， ( 只刚x 2 ) 伽l 石+ 埘2 a ) f m i z ，眩网砖) ( 确z + 正) 2 m , a ， ( 巴闻x 3 ) ( m l a + 历2 五) = 所2 五，( 刚x 4 ) + 伽l z 脚2 厶) 2 m 2 f , ， 从而彳，五哟x 码彳+ 伤石) ，因此巧是d ( 坞) - 单模。 口 引理2 2 1 2 巧是d ( k s 3 ) - 单模。 张影d ( k s 3 ) 的不可约表示与g r o t h e n d i e c k 群的环结构 证明：对任意不全为零的册l ，册2e 七，则由引理2 2 5 得， 啦闷气) ( 嘲+ 鸭乞) = 嘲，( 气刚毛) ( 嘲+ 鸭，2 ) = 咄， ( 乞刚黾) ( 玛+ 鸭如) = 码如，( 乞刚_ ) ( + 他厶) 2 鸭， 由此可知，厶d ( 船j ) ( 啊+ 鸭乞) ，因此吒d ( k s 3 ) 单模。 引理2 2 1 3k 是d ( 七s ) - 单模。 证明：对任意不全为零的j ，l i ，m 2 七，则由引理2 2 6 得， ( 乞喇五x + r 2 ) 2 嘶，他冈毛) ( f l + 2 ) 2 m z t 2 ， ( 乞闪而 + f 2 ) = 啊f 2 ，( 墨闻_ ) ( m + f 2 ) 2 鸭 ， 由此可知 ，t 2ed ( 饯x + 鸭f 2 ) ，因此圪是d ( 克s ) - 单模。 口 口 2 3 d ( k 马) 一单模的分类 在本节中，我们将证明如下定理。 定理2 3 1 设矿d ( k s ，) - 单模，则v 必同构于k ，巧，k ，k ，虼中之一。 据命题1 2 5 知，。y d 8 兰d ( ) 肘。因此k ，k ，巧，k ，巧，圪均是功坞一单模。为 了证明定理2 3 1 ，我们仅需证明任一r d 娼- 单模必同构于巧，k ，巧，k ，蚝，k 中之一 即可。 一般地，对于任意具有双射a n t i p o d es 的h o p f 代数日，如果 ( m ，) m ，( m ，p ) em ”，贝q m h y d 8 营p ( h 埘) = - m oo 岛s 。( 啊) ， v h 日，所m 引理2 3 2 1 3 , 2 1 1 ( 1 ) 设仨肘抒，贝| j h n e m ”，其中 p ( h o 万) = ( o n o ) o h 3 n , s 一1 ( 坞) ，v 日，一n 。 扬州大学硕士学位论文 1 6 ( 2 ) 设三h m ，贝f i l o h e m ，其中 h - u o = 如l o h 】a s - 1 魄) ，v h ，a h ，l 。 命题2 3 31 3 , 2 2 1 ( 1 ) 设工h m ，则固z k _ i ：r y d h ，其中 矗( ，固口) = l o h ，a s 1 ( 啊) ，p q p h ) = u o ) o 如，v h ，口日，l 。 设肘y d ”， ( 2 ) 设挺肘，p ：m 斗工是左日一模同态，则f ：m _ o 髓 f ( m ) = e ( m o ) o m l ，v m m ，是功- 日一模同态，其中l o h 的结构如( 1 ) 中所示。进 一步，k e r 是包含于k c r p 的盯的最大j d 日一子模，实际上是最大的右一子余 模。 o ) m 同构于上述某个lph 的一个j ，d 日一子模。 注：令m e 。y d 8 ( h 有限维) 为单的功日一模，n 是肘的非零予余模，则 由生成的左一子模日也是右日一子余模，故m = 曰。特别地，当为 单子余模时，肘= 片是有限生成的左一模。这意味着m 包含一个极大真子模 m 令上= 乡乞t ，p ：m - + l = 乡么，是投射，则三是单的左月一模，m = k e r p ；5 包含m 的非零功l 一子模。由上述命题肼同构于工o h 的l ，d 日一子模，所以肘 是三o h 的阳日一子模。故m = h n ，此时为三0 日的某单子余模。 引理2 3 4 砖，有且只有两个单模工l 和三2 ，其中 厶是一维后一向量空间有七一基f 埘，相应的代数同态为 ： 墨 删( 厶) 兰m ( 七) = k ， ( g ) = l ，g 岛； 厶是二维后向量空间有j ； 基国。，：，相应的代数同态为 五：坞一删( 驴州= 椰) = ( 拇 张影d ( k s 3 ) 的不可约表示与g m 船，础口靠群的环结构旦 证明：显然。 口 根据命题2 3 2 ，2 3 3 及其注，我们可以通过找到所有的觅s 一单模三( 同构 意义下) ，求出l o h 的所有单子余模，然后对形如肘= 日n 的，d 日一模进行 验证其是否为单的功1 日一模，来确定全部单的l r d 日一模。 定理2 3 1 的证明： 众所周知，单的饯- 余模都是一维的，记h = k s 3 。先考虑厶。日的单子余模。 厶9 日有6 个单子余模： 川= s p a n w o x j = j ( w 固五) ， 1 ，6 。 因为五= 1 ，所以1 是厶。日的四日一子模，且显然有m 兰k ，即日l = l 兰巧。 因为对任意的g 焉有g ( w o 而) = w o g x ，g - 1 j 所以 日22 h 。也= h 。4 = s p a n w o x _ 2 ，w o 而，w o x 4 直接验证可知，作为功日一模有2 = 。同理， 日m = h 。6 = s p a n w o x ，w p x 6 兰巧 现在来考虑由如o h 的单子余模。任取三2 0 日的一个单子余模n ，则 n = s p a n u x , = 七伽。薯 ，其中o * u e l a ，1 i 6 。 当f = 1 时，日n = 上2 0 而兰k ( 作为y d 日一模) 。 当扛2 时，设甜= 吼m + 吼地，其中q l ，q 2 e 七不全为0 。则 口0 固屯) = ( ( g l + 9 2 ) m + 吼心) o 而，由此可得蚝。屯h n 。直接计算可知 日( 地固屯) = s p a n u , 0 屯，1 1 2 0 恐，( 1 l i + 也) 圆矗) 兰。因此若日n 是单的y d h 一 模，则必有日2 兰巧。同理可证，当i = 3 或4 时，h 2 日( o 而) 若曰n 扬州大学硕士学位论文 是单的y d 日一模，则必有日兰k 。 当i = 5 时，设= q s u _ i + q z u 2 ，其中吼，吼七不全为0 。若g i = o ，则可设”= u 2 ，于 是甜2 固屯e 日。直接验证可知 日n = s p a n u 1 圆x 5 ，u z o x s ，o x 6 ，心o ， 此时日有一个y d 日一= f 模s p a n “+ 删2 ) 固毛，( + 吻) o ) 兰巧，因此日 不是单的y d 日一模。现在设g l o ，不妨设“= 确+ q u 2 ，g i ，则 n = k ( u o x 5 ) = 七“+ q u 2 ) o 屯) ，而且 口( u o x 5 ) = ( ( 1 + g ) 地+ g 地) 固，6 ( o ) = ( g m + ( 1 + g ) 蚝) o 屯。 若b 。；q 卜+ g + 9 2 。，则蝴。而，屹。而e 日由吼= 。的情形的讨论可知， 不是单的肋日一模。若巴l q + q l = 1 + q + 9 2 = 。，贝l j q = a 或者口= 窿2 。对于 g = 口的情形，日n = s p a n ( u - l + a u 2 ) o 屯，( 口地+ u 2 ) o x 6 - - - - 巧。对于g = 瑾2 的情形， h = s p a n ( u 1 + 口2 屹) 0 黾， 2 鸭+ “2 ) 固兰k 。同理可证，当i = 6 时，若日n 是 单的y d 日一模，则必有日兰巧或者日兰圪。这就完成了定理2 3 1 的证明。 张影d ( k s 3 ) 的不可约表示与g 而历p ，硒e 础群的环结构 一1 9 3d ( 强) 的g r o t h e n d i e c k 群的环结构 在前一章里我们得到了全部的d ( 七) - 单模k ，吒，巧，巧，巧，圪，根据定义1 2 6 ， 要刻划d ( 坞) 的g r o t h e n d i e c k 群的环结构就是要具体地给出 形】【巧】= 【k o 巧】= 一【k 1 啊e n ，l i ，j l厶刍屯支氐西m咄融戡舵 m h 心屹心q h q 毛乙置乇s毛乞吐咄矗“面托 t111 t ，即伽伽即即伽仉 张影d ( 娼) 的不可约表示与g r o t h e n d i e c k 群的环结构 巧o 作为左d ( 七s ) 模，其模作用如下： ( 只。闻薯) v i = 识闻而) v 3 = v i ， v 3 ， 吩1 l 吩， v 4 ， v 2 ， v l + v 2 ， o ， b ， m ， 1 j i + v