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一 证明下列是否为拓扑 1 Tf U 包含于 X X U 有限 空集 满足 全集 空集包含于 Tf 任意 A B Tf 若 A B 中有一个为空集 A B 空集 T 若不是 A B A B A B T 设 T1 T 令 T2 T1 空集 显然有 A T1 A A T2 A 如果 T2 空集 则 A T1 A A T2 A 空集 T 设 T2 空集 任取 A0 T2 这时 A T1 A A T2 A A T2 A A0 是 X 的一个有限子集 所以 A T1 A T 所以 为拓扑 2 Tc U 包含于 X X U 可数 空集 3 T U 包含于 X X U 无限 空集 X 二 计算实值标准拓扑 R 子空间 Y 0 1 子集 0 1 2 A 求 A 在 Y R 中的闭包 内 部 Y 中 闭包 0 1 2 内部 0 1 2 R 中 闭包 0 1 2 内部 0 1 2 三 A 包含于 Y Y 包含于 X 为闭子空间 若 A 包含于 Y 则 A 为 X 中闭集 Y 包含于 X 闭 所以存在 X 中闭集 B 使得 A Y B 子空间闭集定义 所以 Y 包含于 X 闭 所以 A 为 X 中闭集 四 设 A B Aa 包含于 X 证明 1 A 包含于 B A 的闭包包含于 B 的闭包 2 A B A B 3 Aa 包含 Aa 1 五 X Y 有子集 A 包含于 X B 包含于 Y 则 A B A B 六 R K 1 n n R 求在 T1 T2 T3 T4 T5 中的闭包 七 1 f X Y 连续 2 任意 B Y 闭 f 1 B 闭 3 任意 A 包含于 X f A 包含于 f A 4 任意 B 包含于 Y f 1 B 包含 f 1 B 5 任意 B 包含于 Y f 1 B 包含于 f 1 B 证明 1 5 等价 八 连续的满的闭映射为商映射 九 商映射可以既不为开映射又不为闭映射 十 连通子集在连续映射下的像是联通的 十一 连通子集的闭包为连通子集 道路连通则连通 而且 R n 中连通就是道路连通 A 的闭包是对的 因为任意开覆盖有有限子覆盖 闭包的点可以用无穷点列逼近 自然可以 每个点取个领域 组成开覆盖 十二 设 A B 为 X T 的紧致子集 则 A B 为紧致子集 十三 紧致子集在连续映射下的像集为紧致子集 十四 紧致空间的闭子集为紧致子集 十五 拓扑空间的有限子集均为紧致子集 十六 仿紧空间的闭子集为仿紧的 十七 X 是 T1 空间等价与单点集为闭子集 十八 正规空间的闭子集是正规的 正则空间的子空间是正规的 十九 正则的 T0 空间是 T3 空间
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