（运筹学与控制论专业论文）模糊集的范畴与弱topos.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 首先，利用模糊点与模糊集的邻属关系，给出了西石卜模糊映射，匠西卜凸模糊锥和 西殄模糊拓扑的定义，其次，研究了模糊集的范畴，凸模糊锥的范畴和合意集的范畴，给 出了中间元和弱t o p o s 的定义弱t o p o s 理论是介于卡氏积封闭范畴和t o p o s 之间的一种理 论，它有类似于t o p o s 理论的功能最后，在t o p o s 中引入模糊子对象的概念，将z a d e h 的模 糊子集的概念推广到了t o p o s 中具体研究工作如下： 1 ，在第2 章中，首先引入了假矿模糊映射的定义，并将( ，卜模糊映射，( v q ) - 模 糊映射和而毛v 矿模糊映射推广为 ，p 卜模糊映射，研究了q ，p 卜模糊映射与月珏 模糊映射的关系其次，以模糊集为对象，以q ，p 卜模糊映射为态射，建立了范畴f u 豸 证明了范畴f u ，实值模糊集的范畴r v f ，从小范畴c 到范畴f u z 的函数范畴f u z c 为 一个弱t o p o s 我们研究了弱t o p o s 的性质，揭示了两个对象的最小特征之间的关系，单 态射：a7 一彳的特征疋r 与4 的最小特征，之间的关系，给出了中间元埘：a 一 中的a 为最终元的充要条件，并对一个对象的幂元”做了刻画最后，在t o p o s 中给 出了一个对象的模糊子对象的定义，将z a d e h 的模糊子集的概念推广到了t o p o s 中，建 立了模糊子对象的范畴f c ，证明了范畴f c 是有限完备的 2 ，在第3 章中，首先引入了够，酚一凸模糊锥的定义，得到了( 卜凸模糊锥，( ，v g 卜 凸模糊锥和正，iv 虿卜凸模糊锥其次，利用合意空间理论，给出了c 一凸模糊锥的定 义，证明了( - 凸模糊锥为c l 凸模糊锥，每一个c l 凸模糊锥都同构于一个凸锥 生成的c _ 凸模糊锥再次，建立了凸模糊锥的范畴c f c ，证明了范畴c f c 是有限完 备的且有类似的e x p o n e n t i a l 性质最后，建立了合意集的范畴c ，) ，证明了范畴 c ( n ，) 为一个t o p o s 3 在第4 章中，首先引入了够，妒模糊拓扑的概念，得到了( ，卜模糊拓扑，( ，v g 模糊拓扑和叵i v 矿模糊拓扑并将这三种模糊拓扑推广为u ，p 卜模糊拓扑其次， 给出了基于模糊逻辑蕴涵算子r 的j 卜模糊拓扑的概念，这是应明生的模糊化拓扑的 推广证明了( ，vg 卜模糊拓扑为r g - 模糊拓扑， 毛v 护模糊拓扑为舡模糊拓 扑最后，利用合意空间理论，给出了c l 模糊拓扑的定义，证明了( ，卜模糊拓扑为 c l 模糊拓扑，并研究了d 模糊拓扑的性质 关键词：模糊映射；t o p o s ；弱t o p o s ；凸模糊锥；合意空间；模糊拓扑 模糊集的范畴与弱t o p o s t h ec a t e g o r yo ff u z z ys e t sa n dw e a k t o p o s a b s t r a c t f i r s t l y , b yt h eu s eo ft h er e l a t i o n sb e t w e e nf u z z yp o i n t sa n df i l z z ys e t s ，t h ed e f i n i t i o n so f 够，口- f - f u z z ym a p p i n g ，够，万卜o n v e = xf u z z yc o n ea n d ，o - ) - f u z z yt o p o l o g ya l ei n t r o d u c e d s e c o n d l y , t h ec a t e g o r yo f f u z z ys e t s ，c a t e g o r yo f c o n v e xf u z z yc o n ea n dc a t e g o r yo f c o n s e n s u ss e ta r e s t u d i e dr e s p e c t i v e l y t h ec o n c e p t so f m i d d l eo b j e c ta n dw e a kt o p o sa r ea c q u i r e dw e a k t o p o si sa n e wk i n do fc a t e g o r i c a lt h e o r yw h i c hi ss t r o n g e rt h a nc a r t e s i a nc o l s e dc a t e g o r ya n dw e a k e rt h a n t o p o st h e o r y , a n daw e a kt o p o sc a ns g i v eas i m i l i a rf u n e t i 0 1 1t oat o p o s f i n a l l y , t h ec o n c e p to f f u z z ys u b o b j e e ti sg i v e na n dt h ec o n c e p to fz a d e h sf u z z ys u b s e ti sg e n e r a l i z e dt oat o p o s t h e m a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 i nc h a p t e r2 ，矗赋t h ed e f i n i t i o no f 以口- - ) - - f u z z ym a p p i n gi si n t r o d u c e d ，t h r e ef u z z y m a p p i n g s s u c ha s ( ，) - f t t z z ym a p p i n g ，( ，vq ) - f u z z ym a p p i n ga n d ( 己ivd - f u z z y m a p p i n ga r e o b t a i n e d b yg e n e r a l i z i n gt h o s et h r e ef u z z ym a p p i n g s ， ，m - f u z z ym a p p i n gi sa c q u i r e da n d t h er e l a t i o n sb e t w e e na ，p - f u z z ym a p p i n ga n dh x - f o z z ym a p p i n ga r ed i s c u s s e d s e c o n d ， ac a t e g o r yf u o ff u z z ys u b s e t sa n d p m l z 巧m a p p i n g si sb u i l t ，i ti sp r o v e dt h a tt h e c a t e g o r yf u r i sac a r t e s i a nc l o s e dc a t e g o r y , b u tt h ec a t e g o r yf u i sn o ta t o p o s t h i r d , t h e c o n c e p to f m i d d l eo b j e c ta n d w e a kt o p o sa r ei n t r o d u c e d i ti sp r o v e dt h a tt h ec a t e g o r yf u r ， t h ec a t e g o r yr v fo fr e a lv a l u e df u z z ys e t sa n dt h ec a t e g o r yf u z co ff u n c t o r sf r o ms m a l l c a t e g o r yc t ot h ec a t e g o r yf u za r ew e a kt o p o s t h ep r o p e r t i e so f aw e a k t o p o sa r es t u d i e d t h ef e l a t i o n sb e t w e e n 也es m a l l e s tc h a r a c t e r i s t i cm o r p h i s m so ft w oo b j e c t sa n dt h er e l a t i o n b e t w e e nt h ec h a r a c t e r i s t i cm o r p h i s mz ro fm o n o m o r p h i s mf ：a - aa n dt h es m a l l e s t c h a r a c t e r i s t i c m o r p h i s m q 譬o f o b j e c t a a r e d e s c r i b e d as u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n m a tai sat e r m i n a lo b j e c tf o rm i d d l eo b j e c t 册：a - i sa c q u i r e da n dp o w e r o b j c o to f a n o b j e c ti sd e s c r i b e d f i n a l ，t h ec o n c e p to f f u z z ys u b o b j e c t i sg i v e na n dt h ec o n c e p to f z a d e h s f u z z ys u b s e ti sg e n e r a l i z e dt oat o p o s t h ec a t e g o r yf co ff u z z ys u b o b j e c ti sb u i l ta n di ti s p r o v e dt h a tt h ec a t e g o r yf c i sf i n i t e l yc o m p l e t e 2 i nc h a p t e r3 ，f i r s t ，t h ec o n c e p to f 伊，万一o n v c xf u z z yc o n ei sg i v e na n d ( ，一o n v e xf u z z y c o n e ，( ，vq ) c o n v e xf u z z yc o n ea n dg ，毛vq - ) - c o n v e xf u z z yc o n ea r co b t a i n e d s e c o n d , b yt h eu s eo fc o n s e n s u ss p a c e ，t h ed e f i n i t i o no fc - c o n v e xf u z z yc o n ei sg i v e n i ti sp r o v e d t h a ta ( ，) _ c o n v e xf u z z yc o n ei sac - c o n v e xf u z z yc o n e ，a n dac - c o n v e xf u z z yc o n ei s i s o m o r p h i ct ot h ec - c o n v e xf u z z yc o n eg e n e r a t e db yac o n es t h i r d , t h ec a t e g o r yc f co f c o n v e xf u z z ye , o n ei sb u i l t i ti sp r o v e dt h a tt h ec a t e g o r yc f ci sf i n i t e l yc o m p l e t ea n dh a s t h es i m i l a rp r o p e r t i e st oe x p o n e n t i a l f i n a l ，t h ec a t e g o r yc ( n ，。) o fc o n s e n s u ss e t si sb u i l t a n di ti sp r o v e dt h a tt h ec a t e g o r yc ( n ，j 矿1 i sa t o p o s 大连理工大学博士学位论文 3 i nc h a p t e r4 ，t h ec o n c e p to f ( 8 ，a - - ) - f u z z yt o p o p o g yi si n t r o d u c e d , a n dt h r e ek i n d so ff u z z y t o p o l o g ys u c ha s ( ，) - f u z z yt o p o l o g y , ( ，vq ) - f u z z yt o p o l o g ya n d ( 己三vq - ) - - f u z z y t o p o l o g ya l eo b t a i n e d b yg e n e r a l i z i n gt h o s et h r e ef u z z yt o p o l o g i e s ，t h ec o n c e p to fm ，卜 f u z z yt o p o l o g yi sa c q u i r e d s e c o n d ，b a s e do i lt h ef u z z yl o g i ci m p l i c a t i o no p e r a t o r s ，t h e c o n c e p to f r - f i t z z yt o p o l o g yi so b t a i n e d i ti sp r o v e dt h a tar vq ) - f 1 j z z yt o p o l o g yi sa n r o - f u z z yt o p o l o g ya n da 三v q - ) - f u z z yt o p o l o g yi sa 再f u z z yt o p o l o g y f i n a l b yt h eu s eo f c o n s g n s u ss p a c e ，t h ed e f i n i t i o no f c - f u z z yt o p o l o g yi sb u i l t i ti sp r o v e dt h a ta ( ，e ) - f u z z y t o p o l o g yi sac - f u z z yt o p o l o g y , a n dt h ep r o p e r t i e so fc - f u z z yt o p o l o g ya l es t u d i e d k e yw o r d s ：f u z z ym a p p i n g ；t o p o s ；w e a kt o p o s ；c o n v e xf u z z yc o n e ；c o n s e n s u ss p a c e ； f u z z yt o p o l o g y i l l 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其他 单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：玄至；鱼日期：丛! 釜! ! 旦星旦 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文 作者签名咖丞玺鱼 i i ! 、一一4 。一“- ：一 ， 指导教师签各；之! 竺坚厶乡函酽一 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章介绍了与本论文有关的模糊集与系统理论的研究现状，本文的研究 动机和论文结构及主要研究成果，并介绍本文所需要的预备知识 1 1 有关问题的研究现状和本文的研究动机 自从l a z a d e h 1 】引入模糊集的概念以来，模糊集与系统理论得到了很快的发展，在理 论上，形成了模糊拓扑学【2 】，模糊分析学f 射，模糊代数学【4 】和非经典逻辑1 5 】等系统的理论 在应用中，形成了近似推理 6 - 9 ，模糊控制 1 0 - 1 2 ，模糊优化 j 3 - 1 4 ，数据挖掘与软计算0 5 - 1 6 和 模糊决策f 1 7 1 8 】等比较系统的理论与方法在模糊系统与随机系统两种不确定性系统的研究 中，汪培庄建立了模糊集与随机集落影理论【1 9 】，李洪兴指出：任给一个模糊系统s 的模糊推 理规则组，一定可将该组模糊推理转化为一个随机系统苎的概率密度反之，任给一个随 机系统的概率密度，必可将概率密度转化为一个模糊系统s 的模糊推理规则组 2 1 1 ，这更 加揭示了模糊系统的重要性和实用性 在模糊集与系统理论的研究中，人们也一直关注着模糊集与系统的理论基础的研究 u l r i c hh 曲l c 和l a w r e n c en e f fs t o u t 在他们的论文“f o u n d a t i o no f f u z z ys e t s ”中指出：t o p o s 理论是模糊集与系统的最好的理论基础f 捌在他们的另一篇论文中，进一步阐述了模糊集 与t o p o s 理论的联系【2 3 】在探讨模糊集与t o p o s 理论的联系中，法国学者m e y t a n 于1 9 8 1 年 建立了h c y t i n g 值模糊集的范畴f u z o ) ，并指出范畴f u z ( n ) 是一个t o p o s 2 耵c vn c g o i t a 也 论述了模糊系统与t o p o s 理论的联系【2 5 1 法国学者d p o n a s s e 于1 9 8 3 年指出：范畴f u z ( h ) 为 一个t o p o s 当且仅当h 为一个布尔代数【2 酗因此，m e y t a n 的结论是错误的j c c a r r e g a 2 7 】 和a m p i 仕s 【2 8 也从不同的角度证明了模糊集的范畴不是一个t o p o s 1 9 8 6 年，m b a n 进 一步说明了模糊集与t o p o s 理论的联系【2 9 】但国外学者的工作大多都停留在馍糊集的范畴 不是一个t o p o s ”这个结论上而未获突破从1 9 9 1 年开始，我们开始研究模糊集的范畴，我 们重新定义了模糊集的范畴f u z ，证明了范畴f u z 是卡氏积封闭的，但不是t o p o s 我们还在 范畴f u z 中找到了两个特殊的对象，并引入了“中间元”和w s c 的概念，并利用这一概念 描述了模糊逻辑算子【3 0 】我们还将模糊范畴f u z 与经典集的范畴s e t 做了比较，发现它们 有类似的性质 3 u 因此范畴f u r 有类似于t o p o s 理论的功能我们还分别建立了因素藤的范 畴f r ( y ) t 3 习和范畴f u z 中的态射的范畴f u z f u z 0 3 1 ，发现这两个范畴也有类似的“中间元” 和w s c 的性质但这时的“中间元”和w s c 都是在具体范畴中引入的，那么在一般的范畴 中是否有“中间元”和w s c 概念呢? 因此有必要对这两个概念进行抽象，给出一般性的定 义这便是本文第二章探讨的主要问题 在经典集合的范畴s e t 中，其对象为集合，两个集合之间的态射为映射自然地，在模 糊集范畴中，其对象为模糊集，那么两个模糊集之间的态射是什么呢? 因此应开展两个模糊 集之间模糊映射的研究在开展模糊集之间的模糊映射的研究中，m s a s a k i 利用模糊相等的 模糊集的范畴与弱t o p o s 概念给出了模糊函数的概念 3 4 1 ，m d e m i r c i 讨论了这种模糊函数的性质1 3 5 ，并将其用到模糊 代数的研究之中【3 6 1 e i s i d k y 也曾给出t 一模糊映射的概念【3 7 】m s h i m o d a 利用h e y t i n g 值模 型论语言给出了一种模糊映射的定义，并用h e y t i n g 值模型论语言对这种模糊映射给出了自 然的解释3 8 1 李洪兴于1 9 9 3 年给出了两个模糊集之间的模糊映射的定义【3 9 1 ，并利用这种模 糊映射研究了模糊集的基数问题和连续统假设问题m 4 ”因此李洪兴给出的模糊映射( 我们 称之为皿n 模糊映射) 是一类很重要的模糊映射在1 9 9 3 年，印度学者b h a k a tsk 和d a s p 利用模糊点与模糊集的邻属关系给出了( 口，囝一模糊映射的定义，得到了有意义的( ，) 一 模糊映射和( ，v q ) 一模糊映射【4 2 1 从文【3 8 可以看出，( ，) 一模糊映射与且弘模糊映 射是等价的因此，月弘模糊映射与( 口，国一模糊映射有着密切的联系本文将在第2 章进 一步研究( 口，卢) 一模糊映射，并进一步揭示这两种模糊映射的联系我们的目的是利用这种 模糊映射定义模糊集的范畴研究模糊集范畴的t o p o s 性质 在模糊代数的研究中，r o s e n f e l d 首次给出模糊子群的概念【4 3 】从此以后，模糊代数 得到了系统的发展，j n m o r d e s o n 和d s m a l i k 已出版了模糊代数方面的专著【“1 9 9 2 年， 印度学者b h a k a tsk 和d a sp 利用模糊点与模糊集的“属于( ) ”和“重于( q ) 关系，引入了 ，励一模糊子群的概念在1 9 9 6 年，b h a k a tsk 和d a sp 又引入了( a ，励一模糊子环的概 念【4 5 1 得到了比较有意义的( ，) 一模糊子群和( ，v q ) 一模糊子群】，其中( ，) 一模糊子 群与r o s e n f e l d 的模糊子群是等价的在b h a k a tsk 和d a sp 的研究中，他们的工作一直排 除口= a q 的情况因此，他们仅讨论了 ，国一模糊子群的1 2 种情况，还有4 种情况没有 讨论通过研究另外4 种情况，我们得到了压，毛vq - ) 一模糊子群的概念，并通过与模糊逻辑 蕴涵算子结合，给出了具有边界值的模糊子群的概念m 我们知道，凸集和凸锥可看成是一种代数系统关于凸模糊集的概念，最初是由z a d e h 引入的【l 】后来l o w e n 4 引，e l s a i dea m m a r t 4 9 1 ，k a z u y ai t o t s 0 1 ，d u b o i sd 和p r a d eh 【5 l 】，刘应明 【5 2 】和y a n gxm 1 5 3 , 5 4 等均对凸模糊集做了研究文 4 9 】利用模糊线段给出了凸模糊锥的定 义，并研究了凸模糊锥的一些性质凸锥是最优化理论中个非常重要的概念【5 5 1 ，凸锥在模 糊优化中也发挥着积极的作用【5 6 1 那么能否把研究模糊代数中的方法应用到凸模糊锥的研 究中去呢? 这便是本文第3 章第1 节的够，司一凸模糊锥的研究内容 在模糊集的隶属函数和模糊集的运算中，日本学者h i s a k i c h is u z u k i s r l 曾引入了合意空 间( c o n s e n s i l ss p a c e ) 理论这种理论与汪培庄i t 9 的随机集落影理论有着密切的联系 5 7 1 我 们已经用随机集落影理论刻画了模糊代数系统【5 8 1 那么能否用合意空间理论去刻画凸模糊 锥呢? 我们将给出c l 凸模糊锥的概念，并讨论c 一凸模糊锥与够，面一模糊锥的联系 本文的主要目的是从范畴论的角度去研究与模糊集有关的对象因此，应该建立凸模 糊锥的范畴，并对其进行研究本文还将建立合意集的范畴，研究其t o p o s 性质这便是本 文第3 章第3 节和第4 节的研究工作 在模糊拓扑的研究中，c l c h a n g 首次引入模糊拓扑的概念【5 ”，c k w o n g 在初期的推 广性研究中做了许多工作，且他是第一个引入模糊点和邻域概念的人 6 0 2 1 1 9 7 7 年，刘应明 在分析了c k w o n g 的模糊点及其邻域系理论的弊病后，打破传统的邻域方法，引入了突破 性的重域”概念，建立了完整的m o o r e s m i t h 收敛理论 6 3 , 6 4 从此模糊拓扑的有点化工作得 2 大连理工大学博士学位论文 到了飞快的发展，使模糊拓扑形成了比较系统的理论王国俊在从拓扑格的角度研究模糊拓 扑的过程中，引入了分子，远域和序同态的概念，建立了完整的拓扑分子格理论 6 5 - 6 8 极大 地推动了点集拓扑学和模糊拓扑学的研究【2 】，在上述的模糊拓扑学的研究中，集合z 上的模 糊拓扑都被定义为对有限交和任意并运算封闭的彳的模糊子集族应明生提出了用模糊逻 辑的语义化方法来研究模糊拓扑的思想方法他将集合x 上的模糊拓扑视为集合z 的幂集 双的模糊子集，并称之为模糊化拓扑，从而开创了模糊拓扑学研究的一种新的方法 6 7 - 6 9 应明生在模糊化拓扑的研究中使用了l u k a s i e w i c z 模糊蕴涵算子一个自然的问题是：能否 借用其它模糊逻辑蕴涵算子做类似的研究? 如果将 ，芦) 一模糊代数的思想方法用到模糊化 拓扑的研究中去，那么这种模糊拓扑与应明生的模糊化拓扑和基于别的蕴涵算子的模糊拓扑 又有何联系? 这便是本文第3 章的研究内容 从范畴论的观点看，z a d e h 的模糊子集实际上是集范畴s e t 中一个对象的模糊子集由 于范畴s e t 为一个t o p o s 所以，可以将z a d e h 的模糊子集看成是在t o p o ss e t 中进行定义的 那么，能否在一般的t o p o s 中也引入类似的概念呢? 本文试图将z a d e h 的模糊子集的概念推 广到t o p o s 中，在t o p o s 中定义一个对象的模糊子对象的概念这便是第2 章第7 节的研究 内容 本文将模糊代数中的思想方法应用到模糊映射，凸模糊锥和模糊拓扑的研究之中，以 范畴中的t o p o s 理论为理论基础，与模糊逻辑，合意空间理论相联系重点开展模糊集的范 畴的t o p o s 理论的研究通过这些研究，拟建立一个以模糊集为研究对象的一种新的理论一 弱t o p o s 理论，并希望这种理论为模糊集与系统理论的研究提供理论基础 1 2 论文结构与主要研究成果 本文利用模糊点与模糊集的邻属关系，以范畴论中的t o p o s 理论为基础，分别给出了模 糊映射，凸模糊锥和模糊拓扑等新的定义，建立了模糊集的范畴，凸模糊锥的范畴和合意集的 范畴，研究了这些范畴的t o p o s 性质通过对模糊集范畴的研究，我们抽象出了类似于t o p o s 的一种新的范畴理论，并称之为弱t o p o s ，它是介于卡氏积封闭范畴和t o p o s 之间的一种新的 范畴理论本文还将z a d e h 的模糊子集的概念推广到一般的t o p o s 中，在t o p o s 中引入了模 糊子对象的概念，取得了一些有意义的结果具体研究内容如下： 在第2 章做了以下研究工作，( 1 ) 在认真研究文 4 2 】给出的 ，f y - 模糊映射的基础上， 我们发现b h a k a t 和d a s 排除了h = aq ”的情况，因此， ，卢卜模糊映射仅有1 2 种而 对于钮- - - eaq ，p ，q ，aq ，vg ”这四种情况，文 4 2 】并没有研究通过分析，我们 认为，b h a k a t 和d a s 之所以排除 o r = a q ”的情况，是因为他们的 ，卢卜模糊映射的定义 具有局限性如果采用与之等价的够，磊卜模糊映射的定义，就可以克服文 4 2 】的缺点通 过给出够，刁一模糊映射的概念，不仅得到了文 4 2 】的( ，) 一模糊映射，( ，v q ) - - 模糊映 射，而且还得到一种新的有意义的 三vq - - ) 一模糊映射在本章中，我们将这三种模糊映 射推广为统一的( ，p 】一模糊映射我们还将u ，川一模糊映射与兄卜模糊映射做了比较， 说明了( 五，u - 模糊映射是且卜模糊映射的推广 ( 2 ) 在文 3 0 ，3 l 】中，我们以模糊集为对 3 模糊集的范畴与弱t o p o s 象，以( ，卜模糊映射( 即 = o ，1 = 1 时的a ，p 一模糊映射) 为态射建立了模糊集的范畴 f u z ，并研究了它的t o p o s 性质本文以模糊集为对象，以u ，川一模糊映射为态射建立了范畴 f u ，我们对范畴f u 的t o p o s 性质做了系统的研究，证明了范畴f u 有等化子( e q u a l i z e r ) ， 有限积( f i n i t ep r o d u c t ) ，最终元( t e r m i n a lo b j e c t ) 和e x p o n e n t i a l s 等t o p o s 性质，但它没有s c ( s u b o b j e e tc l a s s i f t e r ) ，因此范畴f u 为卡氏积封闭的，但它不是t o p o s ( 3 ) 在t o p o s 理论中， s c 的一个重要的功能就是它能用拉回方来描述特征函数但由于模糊集的范畴不是t o p o s ， 因此，无法用拉回方来描述模糊集的隶属函数但在范畴f u z 中，我们引入了中间元和w s c 的概念，并利用w s c 的概念，使用拉回方描述了模糊集的隶属函数【3 0 】在研究因素藤范畴 f r ( y ) 3 2 】中，我们发现这一范畴也具有类似功能的中间元和w s c ，我们注意到范畴f r ( y ) 是一个经典范畴( 对象和态射都是经典的) ，那么在一般的范畴中是否有“中间元”和 w s c ” 的概念呢? 也就是说，我们应该在一般的范畴中给出“中间元”和 w s c ”的概念本章第 三节就实现了这一目的我们在经典范畴中给出中间元和弱t o p o s 的定义，证明了范畴f u 为弱t o p o s ，从小范畴c 到模糊集范畴f u z ( a = o 。= 1 的情况) 的函子范畴f u z o 为一个弱 t o p o s ，实值函数范畴r v f 为一个弱t o p o s 我们还利用弱t o p o s 理论，在范畴r v f 中刻画了 一个对象的幂对象，弱t o p o s 理论是介于卡氏集封闭范畴和t o p o s 之间的一种理论，它是通 过对模糊集范畴的研究而抽象出来的一种范畴理论本文说明了有很多范畴是弱t o p o s ，而不 是t o p o s 但弱t o p o s 有类似于t o p o s 的功能( 4 ) 在建立了弱t o p o s 理论之后，我们研究了弱 t o p o s 的性质通过研究发现，弱t o p o s 理论较好地推广了模糊集范畴f u z 中的结果如在范 畴f u z 中，对象似，) 的最小特征为而在弱t o p o s 中，一个对象的最小特征就是范 畴f u z 中模糊子集的推广因此，也可以说，我们在弱t o p o s 中刻划了模糊集的隶属函 数我们证明了：在弱t o p o s 中，单态射f ：a 一4 满足：，口 o 厂这恰好推广了范畴 f u z 中态射的性质因此，弱t o p o s 是范畴f u z 的较好的推广我们还证明了小于或等于最 小特征的态射一定为某单态射的特征；说明了单态射f ：a 一4 的特征z r 与彳7 的最小特征 a ，的关系；给出了中间元所：人- 中的a 为最终元( t e r m i n a lo b j e c t ) 的充要条件；给出 了一个对象的幂元的刻画( 5 ) 如果将z a d e h 的模糊子集的概念放到t o p o ss e t ( 集合和映射 的范畴) 中去看，z a d e h 的模糊子集恰好是t o p o ss e t 中一个对象的模糊子对象因此，我们 将z a d e h 的模糊子集的概念推广到了t o p o s 中，在t o p o s 中给出了一个对象的模糊子对象的 概念我们研究了模糊子对象的运算，建立了模糊子对象的范畴f c ，证明了范畴f c 为有限 完备的 关于凸模糊锥的研究，文 4 9 】利用模糊线段的语言对凸模糊锥作做了刻划实际上，凸 锥除了它的几何背景外，最直接的刻划方式是“点集”结构的刻划形式因此，本文第3 章 利用模糊点与模糊集的邻属关系刻划凸模糊锥，给出了够，司一凸模糊锥的定义，得到了比 较有意义的( ，) 一凸模糊锥，( ，v q ) 一凸模糊锥和届三vq - - ) 一凸模糊锥的概念( 2 ) 为了 为已有的凸模糊锥提供理论基础，我们利用合意空间理论研究了凸模糊锥，给出了c - 凸模 糊锥的定义证明了( ，) 一凸模糊锥为c - 凸模糊锥；每一个c - 凸模糊锥是基于f 一范上的 凸模糊锥，且每一个c 一凸模糊锥都同构于由一个凸锥生成的c 。凸模糊锥( 3 ) 为了从范畴 的角度研究凸模糊锥，我们建立了凸模糊锥的范畴c f c ，证明了范畴c f c 是有限完备的， 4 大连理工大学博士学位论文 并利用双锥模糊映射研究了类似于t o p o s 中的e x p o n e n t i a l s 性质( 4 ) 由于合意空间理论与 凸模糊锥和模糊拓扑的密切联系，我们建立了合意集的范畴c ( n ，) ，证明了范畴c ，) 为一个t o p o s 在第4 章中，我们主要是从模糊化拓扑的定义和理论基础的角度来研究模糊化拓扑首 先给出了够，刁一模糊拓扑的定义，得到了有意义的( ，) 一模糊拓扑，( ，v g 卜模糊拓扑， 6 毛vq - ) 一模糊拓扑，并将之推广为q ，u - 模糊拓扑，说明了( ，) 一模糊拓扑等价于应明 生的模糊化拓扑其次，由于应明生的模糊化拓扑是利用l u k a s i e w i c z 逻辑蕴涵算子来研究 的，因此，我们给出了基于模糊逻辑蕴涵算子r 的模糊拓扑的概念，称之为r 一模糊拓扑， 说明了( ，vq ) - 模糊拓扑为尺g 一模糊拓扑( 即基于g 6 d e l 蕴涵算子的模糊拓扑) ，叵毛v 矿 模糊拓扑为基于r 蕴涵算子的模糊拓扑，即r 一模糊拓扑并研究了尺g 一模糊拓扑的模糊邻 域系最后，为了给模糊化拓扑的定义提供一个理论基础，我们利用合意空间理论研究了模 糊拓扑，给出了c - 模糊拓扑的概念，证明了( ) 一模糊拓扑为c 一模糊拓扑，研究了c - 模糊拓扑的性质 1 3 预备知识 本节介绍模糊集和范畴论方面的有关概念和结论 1 3 1 模糊集方面的概念和结论 定义1 3 1 1 7 0 设为一个非空集合，s 为工上一个二元关系，若 l ，则称而重于彳，记作口彳 若而a 且x a q a ，则记作 叫 若x a a 或卯，则记作x a v q l 4 于是模糊点而与模糊集彳便有四种邻属关系： x d a ，x , , q a ，x d q a ，x 口v q a 若o l 表示毋 g ，vq 四种关系中的一种关系，即口 q ，a q ，vq 则口4 表示与4 有此种邻属关系，x , , f f a 表示口彳不成立，则有： x a e a a 营毛v 4 4 ； x a ev a a 营啄a 弘 下面给出模糊子群的定义； 定义1 3 8 1 4 3 设g 为一个群，a 7 - ( g ) ，若y x ，y g ，有： ( i m ( 习0 4 ( 功 4 ( y ) ；( i i ) 1 4 ( x - 1 ) 4 ( 曲 则称4 为g 的一个模糊子群 定义1 3 9 1 4 4 设g 为一个群，a 以g ) ，若对a ，卢 ，q ，a q ，v q ) 且a 叼有： ( i ) 鲥，y b o r 4 等蝴舢；( i i ) x 。a 4 等( x - 1 ) 脚 则称4 为g 的一个( 1 2 , ，励一模糊子群 显然，彳为g 的r o s e n f e l d 模糊子群铮a 为g 的( ，e ) - 模糊子群 6 大连理工大学博士学位论文 下面给出模糊集的截集，分解定理，表现定理和扩展原理 定义1 3 1 0 设a 尸，t 0 ，l 】，称 4 ，= 忸爿i a ( 功以； a _ t = 忸爿i 彳( 功 t 分别为a 的f 一截集和f 一强截集 定义1 3 1 1 t 7 0 】设x 为集合，h ： o ，1 】_ p c 习为一个映射，若 a 1 ； x t v 9 4 寺爿x t a 舅l 而q a ；蕾a 孽4 jx t a 且x f f l a 并针对口，卢f ，g ，v 吼a g ) a g ) 的十二种情况，给出了两个模糊集之间的( 口，芦卜 模糊映射的定义，得到了比较有意义的( ，卜模糊映射和( ，vg 卜模糊映射【4 2 】 本章主要做了以下研究工作： 1 首先，给出了两个模糊集之间的够，妒模糊映射的定义，这种定义虽然等价于 b h a k a t 和d a s 的 ，肛模糊映射的定义，但我们的定义中包含了口= aq 的情况通 过研究得到了有意义的( 己喜v 矿模糊映射和具有边界值的 ，p 卜模糊映射，并给出 了 ，p 卜模糊单射和似p 卜模糊满射的定义，讨论了它们与普通单射和满射之间的关 系最后，我们研究了( 五，卜模糊映射与且壮模糊映射之间的关系，指出( 0 ，1 - 模糊 映射与兄杠模糊映射是等价的，( ，p 卜模糊映射是“部分 h x - 模糊映射 2 以模糊集为对象，以( 五，p 卜模糊映射为态射构造了模糊集的范畴f u ( 当五= o ，p = 1 时，记为f u z ) 研究了范畴f i l z ! ：的t o p o s 性质证明了它有等化子( e q u a l i z e r ) 性 质，有有限积( f i n i t e p r o d u c t ) 性质，有最终元( t e r m i n a l o b j e c t ) 和e x p o n e n t i a l s 性质，但它 没有s c ( s u b o b j i c t c l a s s i f i e r ) 因此，范畴f u 不是一个t o p o s 3 首先，在经典范畴中，给出了中间元和弱t o p o s 定义，证明了f i l z ! ：是一个弱t o p o s 弱t o p o s 理论有类似于t o p o s 理论的功能它是通过研究模糊集范畴而抽象出来的一种 范畴理论这种范畴理论比t o p o s 弱，比卡氏积封闭范畴强，是介于t o p o s 与卡氏积封 闭范畴之间的一种范畴理论其次，证明了从，1 、范畴c 到模糊集范畴f a z 的函子范畴 f u z c 为一个弱t o p o s 最后，构造了实值模糊集的范畴r v f ，证明了r v f 不是t o p o s ，它是 一个弱t o p o s 并利用弱t o p o s 理论研究了r v f 中的一个对象的幂元( p o w e r o b j e c t ) 问题 4 研究了弱t o p o s 的性质讨论了两个对象的最小特征之间的关系；证明了小于 或等于最小特征的态射一定为某单态射的特征；说明了单态射厂：a 一a 的特征彤r 与 a 的最小特征翰，的关系；给出了中间元掰：a _ 中的a 为最终元( t e r m i n a l o b j e c t ) 的 充要条件；给出了一个对象的幂元的刻画 5 在一个t o p o s 中给出了一个对象的模糊子对象的定义，这一定义是范畴s e t 中一 个集合的模糊子集概念的推广构造了模糊子对象的范畴f c 证明了这个