（理论物理专业论文）整数自旋粒子的方程和波函数.pdf

中困科学技术人学坝j 二学位论文 摘要 萋女 本文从壹旦旄鸯的里臻卿9 一i g n e r 赢程出发，建立了张量形 式的整数白旋粒子的运动方程。作者通过求解方程得到了一套整数 自旋粒子的波函数，包括静止态和两种运动态( 正则态和螺旋度态) 波函数的显式。这对以后的振幅分析是非常有用的。最后，作者给 出了方程的等效l a r g r a n g e 形式。 a b s t a c t f r o mb a r g n e r - - w i g n e r e q u a t i o n s a b o u t h i 曲一s p i n s t a t e sw e c o n s t i t u t eas e to ft e n s o re q u a t i o n so fi n t e g r a lp a r t i c l e s b ys o l v i n gt h e e q u a t i o n s ，w ew r i t eo u tt h ew a v ef u n c t i o n so fa r b i t r a r yi n t e g r a ls p i n p a r t i c l e s ，i n c l u d i n ge x p l i c i tw a v ef u n c t i o n so f r e s ts t a t e sa n dt w ok i n d so f m o v i n gs t a t e s ( c a n o n i c a ls t a t e sa n dh e l i c i t ys t a t e s ) t h e ya r ev e r yu s e f u l i nt h ea n a l y s i so fa m p l i t u d e si nh i g h - - - e n e r g yp r o c e s s e s f i n a l l y , w eg i v e t h ee f f e c t i v el a g r a n g i a nf o r m a l i s mo ft h ee q u a t i o n s 中国科学技术大学硕i ：学位论文 致谢 作者首先诚挚感谢导师阮图南教授。他的教诲使作者不仅学 到了丰富的理论知识，还学习了他严谨的学风。这将使作者终身受 益。作者工作中的每一个成果，都和同他多次认真讨论与他的启发 分不开。 感谢课题组的王清海、谭平同学，作者同他们进行了大量有 益的讨论。 感谢吴新华同学对论文打印和论文答辩的帮助。 感谢杨德山、胡睿同学与作者的广泛的讨论。 感谢在中国科学技术大学学习和工作七年中给予作者关心和 帮助的老师和同学们。 2 0 0 0 年5 月1 2 日 尘旦型堂丝查叁堂塑! ：堂笪堡兰 一 符号约定 为了避免混淆，在本文中，除非特别声明，我们用i 、，、k 表示笛卡儿指 标：( f ，k = 1 , 2 ，3 ) ；用m 、 表示球谐张撮指标：似，a = 0 , 4 - 1 ) ；用、矿等表 示四维时空指标：，y = 1 ，2 ，3 ，4 ) 。重复指标意味着求和。 时空度规取为： p 。，) = 规定四维矢量的第四分量是虚的，例如，四动量为 p = 0 ，i e ) 其模的平方为 梯度四维矢量为 采用自然单位制： p 2 = p n p 。= 芦2 一e 2 = 一m 2 铲毒= ( v , - i 蓄a t )5 瓦2 ij h = c = 1 中困科学技术人? 坝f ，学位硷史 第一章d i r a c 方程 在本章中，我们讨论d i r a c 方程，作为讨论高自旋粒子方程的基础 并统一记号。 1 1 d i r a c 代数 把它们写成矢量形式为： 厅= p i ，盯2 ，0 3 ) 。 它们满足下述性质： ( 1 ) 厄米0 i = 矾+ ( 2 ) 对易关系 b ，qj = 2 i 6 f k 6 r k ： ( 3 ) 反对易关系 h ，q = 2 吼 式中j 。为克罗内克符号： 吧= 一 1 2 1 3 a 1 3 b 1 3 c 、 叫o阵o， 矩 l 2 m 盯 h的2 ， 、， 2 l o个o 一11，弋 入 听 己，先茸 里型堂垫查查堂堕! ：堂堡丝兰 = 器 s “为l e v i c i v i t a 全反对称张量 1 1 ， 占社= 一1 ， 【0 ， 如果i = - ， 如果i ， 如果t 是1 ，2 ，3 的一个偶排列 如果 矗是1 ，2 ，3 的一个奇t t l 歹0 其它情形。 1 4 其次引入h n 矩阵a = 0 。) 与m x 埘矩阵b = ( b b ，) 的直积a b ： ( a 曰) ( 一) 。，( l h + 。，；爿。，r ( a s d = l ，2 ，n ； 6 ，b7 = 1 ，2 ，m ) 1 6 a xb 是m r x m h 矩阵。如果a 和c 都是h n 矩阵，丽曰和d 都是m x m 矩 阵，则有： 0 b ) ( c d ) = ( a c ) x ( b d ) 1 7 式中的“，表示普通矩阵乘法。 定义4 4 d i r a e 矩阵子和乃如下： 兰矛，乃暑，厅 1 8 其中，是2 2 单位矩阵，有时在不至于混淆的情况下，也把它简单地 写为l 。这样就有： 宝= ( 言三 而声= ( p 。，p ：，p ，) 由下式给出： 胪( 褂0鲈( i l 0 一 n 。【，j 岛2 【j 矩阵矛和乃满足下列关系： ，= ，+ ，p ，= 一+ = ( ：二 。 1 1 0 ! 旦型堂垫查盔兰堡! ：兰堡堡苎 一 此外，定义 显式为 它们满足 【，j _ 2 f s 叶。，b ，p ，仁2 i 6 叶p 。 ， = 2 6 。， 切。，p ， - 2 6 。 【。，p ，j - 0 西量n ，三p 3 在= ( 鞫，卢= ( ，二) 口= 口，+ ，= + b ，口，j _ 2 i 6 舭i k ，口，j = 2 6 u ， 扛，) = o 这时我们可以定义y 矩阵为 它们满足： y l e i p a 。，y = p y = y f ， 护，y ，j = 2 6 ， 有时还要用到r ，它定义为： 它具有性质： y 5 兰，l ，2 ，3 ，4 1 1 2 1 13 1 1 4 1 15 1 1 6 1 17 4 尘堕型堂丝查厶堂堡上望竺堡苎一 ，52 = 1 护。j = 0 舻( ，二 ，舻甜 1 18 1 19 上述这些4 4 矩阵足一组线性独立完备集的成员，它们共有十六 个，按照l o r e n t z 变换性质可分为如下五类： ( 1 ) 标量：1 个，就是单位矩阵l ： ( 2 ) 赝标量：1 个，儿； ( 3 ) 矢量：4 个y 。； ( 4 ) 赝矢量：4 个，一i y 5 y 。 ( 5 ) 反对称张量：6 个，；去陟，凡】。 其中： 统一记为 2 3 = i ， 1 4 = ， 3 l = 2 ， 2 4 = 口2 ， z 1 2 = 3o = 鸭。 p = 伊。，儿，一i y ，y ，l ， ( a = 1 ，2 ，1 6 ) 这些y 矩阵具有如下性质： ( 1 ) 零迹厄米： t r y j = 0 ，( a = 1 2 ，1 5 ) t r y l 6 = t r l = 4 y = y + ，( a = 1 纠2 一，1 6 ) 。 1 2 0 1 2 1 1 2 2 a 1 2 2 b 5 尘旦型堂垫查查堂堕! ：兰些堡兰 ( 2 ) i r 交归一： t r y y b = 4 8 8 ，( 彳，b = l “2 一，1 6 ) 。 ( 3 ) 完备性： 任意一个4 4 矩阵m 都可以按y 。展开，即 1 6 m = y c y 。， a = l 展丌系数为： ( 4 ) 乘法公式： ，。，= 瓯，+ f ， c 月= l t r y _ m f ，y = f 占m ，一f j m y + f 占p m 。y ，y 5 y a f u p = 一i 6 n y p + i 6 , a y u 七 su n f y f y 5 儿，= 一i 1q 。， ， ， ，= 万一站一以，正4 + f t n 竹+ i s s u e ，一f 吒，“一f 瓯，一 一占“f y 5 1 2 2 c 1 2 3 1 2 4 a 1 2 4 b 1 2 5 6 尘里型兰垫查查兰堕! ：兰垡堡壅 第二章整数自旋粒子的方程 在本章中，我们将从b a r g m a n n w i g n e r 方程出发，导出整数自旋粒子的运动方 程。 2 1b a r g m a n n w i g n e r 方程 2 - - 1 1 方程的引入 质量为m 、自旋为s 三的场用秩为2 s 的全对称多重旋量来表示 晰，g ) 下 它对于所有指标均满足d i r a c 方程： p + m k 九阢，( x ) - - 0 p + 肘) 朋，幻扎，g ) = 0 2 - 1 2 平面波解 构造正能量平面波解，令 2 1 1 2 1 2 中里型兰垫查叁堂堡：! ：堂壁堡壅 一一 2 2 自旋为n 的粒子的运动方程 2 2 1 自旋为1 粒子的方程 对自旋为l 的粒子，b a r g m a n n - - w i g n e r 方程为 0 + m 弦b ) = 0 ， 妒g 渺子+ m ) = 0 ， 2 2 1 其中，如x ) 已表示为4 x 4 矩阵将其用4x 4 矩阵完备基，c ，z j , ，c ，c i y 5 c ，i y 。，c 展开为 g ) = 删p ，c ) a 。o ) + 圭( 。c ) ，o ) 2 2 2 由于矿0 ) 是全对称的，所有反对称基的系数均为零。其中，以，g ) 为闵科夫斯基 空问反对称张量。代入方程2 2 1 ， o a + 彳e ) = o 如a + m 杠) 矾) 畦g b ，g ) = 删p 小c p ，4 g ) + 圭p 。，c h ，o ) + m 2 p ，c k g ) + 圭m g ，c k ，g ) = 一肘伍，c p ，一，( x ) + i m c o ，a ，g ) + 圭 占扣。( - ；y ，y 。c 归。f j ，( x ) 一圭( f ，c ) 艿扣。f j ，g ) + 圭( f ，c 扮- ，a - f j ，( x ) + i m 2 ，c 扣，o ) + 圭肘( ，c k ，b ) 8 里型堂丝查叁堂型兰笪兰兰一 附录 g ) 。c 附和b ) p m ，b 的计算 在以下的计算中，我们将经常用到第一章给出的乘法公式1 2 5 以及方程 2 2 2 6 ei 谚榭( x ) c 肼 = 一m 2 ，乃c k 爿。g ) + 仁，一，c l 。a ，a a 。g ) + i m z ，一c l 。8 a ，g ) + i m 伍，y ，c l 。a ，a 。g ) ( 1 ) 一m 2 d ，c k a 。x ) = 一i m 2 g 。c k 4 ，g ) 一m 2 ( c b a v ，g ) = 一圭m 2 仁。c ) o a a b ) 一一，v b ) 】一m 2 ( c k 一，b ) ( 2 ) ( ，c ) o d ，a ，a v ，b ) = _ o 。v 仉c k + 8 v ，e k 一以，屯，( c k + j g 。c k + j 瓯，伍c l i 8 , ，( 。，c l f ( c l p ，a a ，g ) 2 ( c k a ，a ，_ ，b ) + 圭g c ) o a ，a ，【爿一b ) 一彳一g ) 】 ( 3 ) 删p ，c ) 口。a a 。o ) + j m ( ，c l 。a ，a b ) = m ，妙，一c l a ，a 。g ) + ( ，y ，c l 。a ，a 。g ) j 2 旦! ! ! 堂垫查盔兰堡! ：堂堡垒壅一 = f m 卜f s 。，c k 。一f ，c ) o ，+ i s v ，c l 。p ，a 一0 ) + l - i 已。以心c 乙+ i 巳，o ，c k f 6 ，c l 。p ，a 。g ) j = 0 g ) c 一所 = 一：zm2 g 。c l ，阻g ) 一彳，。g ) 】一m2 ( c ) a 8 a ，g ) + c k a ，a ，4 ，g ) + 寺( ，c ) o ，a ，a ，l 。( x ) 一爿，。( x ) 1 = 妄伍。c ) 。p ，a ，d g ) 一爿山g ) 】一m2 阻g ) 一一，。g ) 】) + ( c k p ，a ，a ，g ) 一m 2 a ，洲 = n i i 】 g ) p 一扎n - = 一m 2 0 。y ，y 。y ，c l 钆g ) + c ，y 。一，c ) o , o ，a a 。，g ) + ， ，d ，y ，n ，c l a a 。b ) + 洲( ， n ，c ) o , a ，a x ) = 儿沁2 n 乃c ) o 。a 。g ) + g ，n p c l 。a ，a 4 ，b ) + 饥，【_ p ，y 。小c l a a 。g ) + 伍，h h c ) 口。a ，4 ，g 址 ( 1 )m 2 ( n r y 。，c ) 。a g ) = m 2 以( i z “c + a a ，c k a x ) 4 6 中国科学技术人学硕l 二学位论文 一一 = m ：p 。，以c ) o 。一玩，p 。c ) o 。+ d 。，c l 。+ 一，c l ，扣一g ) 2 m 2 p ，c 匕a 。g ) ( 2 ) ( ，n z 一，c ) o ；8 ，a a g ) = 。，。c + 怔，n 仁肌，c l ，a ，a ，a ，( x ) = p 4 【- s ，。v y ，c + 1 w 6 ，c - 1 ，# ，d c + i 8 ，c + i 6 u ，e ，c f 占m ，c f 6 。m c l o a p a 。g ) + 2 i ( 6 肼y ，一，c 一如，p 小，c ) 0 5 0 ，o ，爿g ) = 2 f 眇，。c l ，a 。a a 。g ) 一，+ c ) o , o ，a ，a g ) j = 2 i ( - i 8 。，h y 5 y 。c - i 6 q ，c + i 6 ，y ，c ) o , o a f a ，b ) 一( - i 6 ，5 凡c i c y n c + f 以，y c ) o j a p a a ，g ) j 2 ，c ) 甜a ，a ，a 。，g ) ( 3 ) m f 卜护，n 一，c t 。a a g ) + ，n ，c ) o 。a ，a w ，g ) j = 洲忙，n y ，c 一，。，c l a ，a 。，o ) j = 浙【( f ，川c 一隰，。z ，c l a ，a g ) j = 一m 峰，z 。c + z 。，。c ) 甜a ，a g ) j 一肘。王_ 占“矿蚝c 一6 p 一6 ，z c + 6 一j c + ，j 甜w c + i 8 m c f j p ，“一，占以一一i 6 2 p ，知，万。知加+ f j 扣，c + ，民v 扣c 7 8 中国科学技术大学硕士学位论文 一- 矶c - 6 2 ，j ，h c + 6 和6 c l j a p a ( x ) = o g ) ( c y ，y 。k = y 5 2 肘2 ，c ) a 8 a 。g ) 一2 0 , ，c ) o ，0 ，0 ，以，g ) = 乃妙，c ) o 。m 2 a a ，g ) 一0 ，a ，a a ，g 墙 = o 9 ! 旦型堂垫查尘堂堡土竺笪堡苎一 第三章整数自旋粒子波函数 在本章中，我们将通过构造方程2 2 2 9 的解得到一套整数自旋粒子的波函数a 3 一l 关于解的讨论 3 一l l 平面波解 考虑方程2 2 2 9 的平面波解 。暖b “ 其中，k = 仁，沤) 是能动量张量。将3 1 1 代入2 2 2 9 a ， k u k 。一m 2 = 一再2 + e 2 一m 2 = 0 互2 + w2 = e 2 此即相对论能动量关系。 将3 1 1 代入2 2 2 9 b ，c ，d ，得 后n q nh = 0 sv r l2 v s n ，= 0 3 1 1 3 1 2 3 1 3 a 3 1 3 b 3 1 3 c 3 1 2 独立解的数目 现在，我们讨论张量毛。的独立分量数，亦既方程2 2 2 9 的独立解数。 主旦型堂垫查盔兰堡土兰堡兰苎一 3 2 整数自旋波函数 3 2 1 自旋为l 的粒子的波函数 当自旋为1 时，3 1 3 为 七。占，= 0 3 - 2 1 考虑静止系，= ( 0 ，i m ) 。取三维空问中一组相互独立的三重架 占， ( ，= 1 , 2 ，3 ) 3 2 2 月, l jc ，= 忙，o ) 是方程的一组解。由于在s = 1 时只有三个独立解，因此它也是一组 完备解。为了选择一种显式表示，我们取吾为三维空间中的极化张量 吾+ = 击( ： ，吾一= 击( 三， ，芦。= ； 疋“oo 驴列 一l 。而 一 l g 2 西 l f 0 o 对3 2 5 进行l o r e n t z 变换，即可得到运动态波函数。 占o = 3 2 5 ! 旦型堂丝查叁堂堡! ：堂竺竺苎一 3 3 等效l a g r a n g i a n 形式 最后，我们可以建立整数自旋粒子的等效l a g r a n g 量 z ，b )