（电路与系统专业论文）智能故障诊断中综合信号处理的研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

西北t业人= 硕 卜 学位论义 ab s t r a c t ab s t r a c t i n t e l l i g e n t f a u l t d i a g n o s is i s a n e w r i s in g d is c i p l i n e a n d h a s w i d e a p p l i c a t i o n s i n a r e a s o f a v i a t i o n , a e r o s p a c e , n u c l e a r p o w e r p l a n t a n d a u t o m a t i c c o n t r o l s y s t e m s . i n t e l l i g e n t f a u l t d i a g n o s i s s y s t e m s c o m b i n e t h e m e a s u r e m e n t s f r o m ma n y s e n s o r s , a n d p r o c e s s t h e m t o a t t a i n t h e i n f o r m a t i o n o f t h e r u n n i n g s t a t e s o f t h e d i a g n o s e d s y s t e m s . b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n , i n t e l l i g e n t f a u l t d i a g n o s i s s y s t e m s p r o d u c e t h e d i a g n o s i s a n d p r o g n o s i s f o r t h e d i a g n o s e d s y s t e m s . t h i s d i s s e r t a t i o n f o c u s e s t h e k e y p o i n t s o f 比e r e s e a r c h e s o n t h e s i g n a l p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s f o r i n t e l l i g e n t f a u l t d i a g n o s i s s y s t e m s , e s p e c i a l l y o n t h e a p p l i c a t i o n o f w a v e l e t a n a l y s i s ( wa ) a n d n e u r a l n e t w o r k ( n n ) t e c h n o l o g y i n t h e f i e l d o f t h e i n t e l l i g e n t f a u l t d i a g n o s is . t h e m a i n r e s e a r c h w o r k i n c l u d e s : 1 . t h e f a u l t d i a g n o s i s b a s e d o n w a v e l e t t r a n s f o r m ( wt ) i s s t u d i e d . a c c o r d i n g t o t h e t h e o r y o f t h e s i g n a l s i n g u l a r i t y d e t e c t i o n b a s e d o n wt , a f a u l t d i a g n o s i s m e t h o d b a s e d t h e b - s p l i n e w a v e l e t i s g i v e n , a n d t h e g o o d r e s u l t i s o b t a i n e d i n t h e s i mu l a t i o n e x p e r i m e n t . ma k i n g u s e o f t h e户 e r f o r m a n c e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e wt o f t h e s ig n a l a n d t h e wt o f t h e w h i t e n o i s e , a k i n d o f d e n o i s i n g m e t h o d i s p r o p o s e d . t h e s i mu l a t i o n e x p e r i m e n t s h o w s t h a t t h e m e t h o d c o u l d f i l t e r t h e w h i t e n o i s e f r o m t h e s i g n a l e f f e c t i v e l y . i t p r o v i d e s ， s o l i d f o u n d a t i o n f o r r a i s i n g t h e c o r r e c t r a t e o f t h e f a u l t d i a g n o s i s . b y t h e u s i n g o f t h e w a v e l e t p a c k e t t r a n s f o r m , t h e e n e r g y f r e q u e n c y - b a n d o f s i g n a l i s a n a l y z e d . a t t h e s a me t i me , c o r r e s p o n d i n g d i a g n o s i s m e t h o d s a n d r e s u l t s a r e g i v e n . 2 . t h e f a u l t d i a g n o s i s b a s e d o n n n i s s t u d i e d . i t is s t u d i e d d e e p l y t h a t b p a l g o r i t h m o f f e e d f o r w a r d n e u r a l n e t w o r k t h a t i s u s e d i n f a u l t d i a g n o s i s . a n i mp r o v e d b p a l g o r i t h m i s p rop o s e d , a n d a p p l i e d t o t h e f a u l t d i a g n o s i s o f t h e rot a t i n g ma c h i n e r y . 3 . t h i s p a p e r i n t r o d u c e s t h e s t r u c t u r e m o d e l s a n d l e a r n in g a l g o r i t h m s o f a w a v e l e t n e u r a l n e t w o r k ( wn n ) , a n d d i s c u s s e s i t s a p p l i c a t io n s i n t h e f a u l t d i a g n o s i s s y s t e ms . k e y w o r d s : f a u l t d i a g n o s i s w a v e l e t a n a l y s i s s i n g u l a r i t y d e t e c t i o n n e u r a l n e t w o r k b p a l g o r i t h m wa v e l e t n e u r a l n e t w o r k 西北工业大学硕 l 论文第一帝 绪论 第一章绪论 1 . ， 故障诊断技术的主要研究内容 随着科学技术的迅速发展， 现代制造系统朝着大型化、高速化、复杂化和自 动化方向发展， 相应地对这些系统和设备的状态监控和故障诊断与预测的紧迫性 和重要性就日 益显现出 来。 为提高系统的可靠性和安全性， 故障诊断技术应运而 生，不断发展起来。 模糊集理论、 专家系统、 神经网络技术和小波分析理论的发展以 及检测技术、 计算机技术、 电子技术和通讯技术等相关学科的交叉融合为故障诊断技术的发展 提供理论基础和实现条件。 设备故障诊断技术已形成为一门集数学、 物理、 化学、 电 子技术、 计算机技术、 通讯技术、 信息处理、 模式识别和人工智能等多学科交 叉的综合性技术，正朝着智能化方向发展。 从本质上讲， 设备故障诊断技术是一个模式识别问题， 即把设备的运行状态 分为正常和异常两类。 进一步讲， 为了 进一步判断故障类型、 位置以及它对系统 性能的影响， 还必须对故障进行再分类， 因此它又属于一个多模式的模式识别问 题， 即异常信号样本究竟属于哪种故障。 依据诊断流程， 设备故障诊断技术主要 研究内容包括 【 1 7: i 、信号采集技术的研究，是设备故障诊断的前提。只有采集到反映设备实 际状态的信号，才能利用信息处理和数据融合技术对设备的运行状态进行监测、 诊断和预测。 从这个意义上讲， 只有采集到反映设备实际状态的信号， 后续的诊 断工作才有意义。 信号采集技术包括信号的采集和放大， 其中对传感器的研究是 重点。以前， 对传感器的研究偏重于硬件方面， 要求其具有良好的动态特性、灵 敏度、 稳定性和抗干扰能力强等。 但随着监测系统的庞大化和复杂化， 传感器的 类型和数目剧增， 这就带来了传感器如何布局的问题， 而且由于传感器的不同组 合，提供了设备不同类型、不同部位的信息，因此需要进行信息融合的研究。 2 、 信号 分析和处理方法的 研究， 是设备故 障诊断 技术的 关键， 也是 理论研 究的热点之一。 实际上也 是诊断过程中 特征因子的提取技术。 通过传感器采集到 的信号， 称为原始信号，一部分可直接利用， 如温度、 位移等， 但大部分很难直 接利用，而且含有大量噪声。因此，必须利用信号分析与处理技术去除噪声，并 把信号转换到不同的域内进行分析，才能得到能敏感地反映设备状态的特征因 子。 滤波技术和频谱分析技术是传统的信号处理方法， 近年来出现的数字滤波技 术、自适应滤波技术、小波分析技术等大大丰富了信号处理技术的内容。 其中小 西北工业大学倾 卜 论文第 章 绪论 波分析由于其良好的时频特性和局部特性， 使得它不仅适合分析平稳信号， 而且 适合分析非平稳信号， 为，浏章诊断中信号处理提供了强有力的工具。 另外分形几 何技术和模糊技术都丰富了信号处理的内容。由于特征因子提取的重要性， 信号 处理中的每一种新技术在设备诊断中的应用，都是对诊断技术的一次重大推动。 3 .诊断方法的研究，是故障诊断技术的核心口由于计算机技术、现代测试 技术和信号处理技术的迅速发展， 设备故障诊断技术取得了很大的发展。 现在已 开发和研究了一些较成熟的诊断技术及方法: 铁谱分析、 声发射、红外测温、 油 液分析和各种无损监测等诊断技术及信号处理、 模式识别、 模糊推理等方法。 随 着人工智能技术的迅速发展， 特别是知识工程、 专家系统和人工神经网络在诊断 领域的进一步应用， 使诊断自 动化、 智能化的要求逐渐成为现实。 其中基于知识 的智能故障诊断技术是诊断领域最引人注目 的发展方向之一， 也是研究最多、 应 用最广的。 它大致经历了两个发展阶段: 基于浅知识 ( 人类专家知识经验)的第 一代故障诊断专家系统和基于深知识( 诊断对象的模型知识) 的第二代故障诊断 专 家 系 统。 fim p .-4 技 术 在 故 障 诊 断中 应用 相 3 日 较 .一逸 ， 但由 于 它 瞥赵j 并 行 计 算 能力 和之 学习 功 能及 联想能 力， 很适 合作 故 障允 类和 故 障 识别， 因 此在 故障 诊断 中很受欢迎。 专家系统和神经网络各具优势， 二者的结合发展将具有良 好的前景。 另外新的诊断方法也不断出 现。 如演化算法在诊断中的应用。 总之， 诊断方法研 究的目标就是实现诊断的自 动化和智能化. 通 、信息融合方法的研究，来实现综合诊断，提高确诊率。诊断中信息融合 的起因是:1 、多传感器形成了不同通道的信号; 2 、同一信号形成了不同的特征 信息;3 、不同的诊断途径得出了有偏差的结论。目前，进行信息融合的方法主 要有:贝叶斯推理、卡曼滤波、d - s 推理等，其中前两种方法需要先验信息，而 后者不需要， 但以更大的计算量为代价。 近年来， 神经网络也应用到信息融合中。 除了上述研究外， 对各种故障机理的研究也在深入， 如振动和噪声成因， 摩 擦机理等。 1 . 2故障诊断技术的主要研究方法 故障i断技术发展至今，己提出了大量的方法。按照国际故障诊断权威， 德 国的p . m. f r a n k 教授的观点， 所有的故障诊断方法可以 划分成基于解析模型的、 基于信号处理的和基于知识的三种方法。图1 - 1 给出故障诊断各种方法的分类 2 1。 基于解析模型的方法是最早发展起来的， 此方法需要建立被诊断对象的较为 精确的数学模型。 进一步， 它又可以分为参数估计方法、 状态估计方法和等价空 间方法。 这三种方 一 法虽然是独立发展起来的， 但它们之间存在着一定的联系。 现 西北工业大学倾 卜 论文第一 章 绪论 己证明了基于观测器的状态估计方法与等价空间方法是等价的。 非线性系统的故 障诊断的难点在于数学模型很难建立。 相比之下， 参数估计方法比状态估计方法 更适合非线性系统，因为非线性系统的状态观测器的设计有很大的困难。目前， 只有对某些特殊的非线性系统有研究， 如双线性系统， 而通常的等价空间方法仅 适用于线性系统。 当难以建立诊断对象的解析数学模型时，基于信号处理的方法是非常有用 的， 因为这种方法回避了抽取对象的数学模型的难点。 直接利用信号模型， 如相 关函数、高阶统计量、频谱和自回归滑动平均过程，以及小波分析技术。其中， 小波变换方法是近年来发展起来的一种很有前途的方法。 这种方法对于线性系统 和非线性系统都是很适用的。 基于知识的方法类似于基于信号处理的方法，也不需要系统的定量数学模 型。同时， 它克服了基于信号处理方法的缺点，引入了诊断对象的许多信息， 特 别是可以充分地利用专家诊断知识等， 所以也是一种很有发展前途的方法， 尤其 是在非线性领域。 基于知识的方法还可以分为基于症状的方法和基于定性模型的 方法。其中，神经网络方法是近年来研究得很多的一种有效的基于症状的方法。 由于神经网络具有自 学习和能拟合任意连续非线性函数的能力，以及其并行处 理、 全局作用的能力， 使得它在处理非线性问题和在线估计方面有着很强的优势。 另外，模糊推理、定性观测器等方法善于处理不确定、不准确的知识，符合人的 自然推理过程，它们与神经网络结合，有着巨大的应用前景。 一、 基于数学模型的故障诊断方法 基于解析模型的方法又分为线性系统的故障检测与诊断方法和非线性系统 的故障检测和诊断方法两大类。由于人们对线性系统的深刻认识， 因此线性系统 的故障检测和诊断方法相对成熟，包括参数估计法、观测器法、等价空间法等， 而关于非线性系统的故障检测和诊断方法的研究相对薄弱。 1 、参数估计诊断法 当故障能由参数的显著变化来描述时， 可利用己有的参数估计方法来检 测故障信息，根据参数的估计值与正常值之间的偏差情况来判定系统的故 障情况。其设计步骤是: ( 1 )建立被控过程的输入输出模型: y ( 1 ) =f ( u ( t ) , b ) ( 1 . 2 . 1 ) 式中，b 为模型参数; ( 2 )建立模型参数与过程参数之间的联系: b =k ( p )( 1 . 2 . 2 ) 西北1业大节 硕 _ 沦文第一章 绪论 式中，p为过程参数; ( 3 )基于系统的输入输出序列，估计出模型参数序列; ( 4 )山模型参数序列计算过程参数序列; 故障诊断方法 图1 - 1故障诊断方法示意图 ( 5 )确定过程参数的变化量序列; ( 6 )基于此变化序列的统计特性，检测故障是否发生: ( 7 )当有故障发生时，进行故障分离、估计及决策。 参数估计故障诊断方法的基本思想是把理论建模和参数辨识结合起来。 尽管 已经提出了众多的参数估计方法，如在非线性系统中常用的强跟踪滤器方法等， 西北1业大学顿 论文第一章 绪论 但是由于最小二乘法最为简单实用， 并且有极强的鲁棒性，因此它仍是参数估计 的首选方法。 2 、状态估计诊断法 状态估计方法的基木思想是: 首先重构被控过程的状态， 通过与可测变量比 较构成残差序列， 再构造适当的模型并用统计检验法， 从残差序列中把故障检测 出 来，因 此， 这就要求系统可观测或者部分可观测， 通常用l u e n b e r g e r 观测器 及卡尔曼滤波器进行状态估计。 3 ,等价空间诊断法 等价空间方法是无阀 值的方法由 c h o w 和wi l l s k y 于1 9 8 4 年提出。 该方法的实 质是把测量信息进行分类，得到最一致的冗余数据子集，用于系统的状态估计， 并识别出最不一致的冗余数据，即可能发生故障的数据。 冗余数据可由下式描述: m=h x + ( 1 . 2 . 3 ) 其中，m是l 维测量向量， 可由直接测量或通过解析方法得到。h是l x n 维测量 矩阵， 其秩为n. x 是n 维被测向量， 是1 维误差向量。 假定在传感器正常运行时，有 小 b ,( 1 . 2 . 4 ) 其中二 = 沙 i . : . . . . . 1 6 , 犷，6 = b f , b . . . . . . 句 犷，b 是1 维误差界限向 量。 基于误差信号 m，可得到下面一组线性独立的等价方程: 尸 =v i n ( 1 . 2 . 5 ) 其中，p是1 - n 维的等价向量，v是投影矩阵，由下式导出 7=0 wt 二 i l _ v t v = i , 一 h ( h t h ) 一 ， h 7 ( 1 . 2 . 6 ) 由( 1 . 2 . 5 ) 式和( 1 . 尸 . 6 ) 式可推出: v 8 ( 1 . 2 . 7 ) 即等价方程与 真正的被测向量x 是线性独立的， 而与测量误差直接相关，因此也 就包含了故障信息。由( 1 . 2 . 6 ) 式知，v的行向量是相互正交的，因此行向量构 成的空间为等价空间。 二、基于信号处理的方法 这类方法不需要对象的准确数学模型， 因此适用性较强。 虽然目前大多数方 法都是针对线性系统来进行研究的，但这些方法很容易推广到非线性系统。 1 ,基于小波变换方法 西北工业尤赞硕 卜 论文第一章 绪论 这是一种新的信号处理方法，是一种时间一 尺度分析方法，具有多分辨率分 析的特点。其基本思路是:首先对系统的输入输出信号进行小波变换， 利用该变 换求出输入输出信号的奇异点， 然后去除由于输入突变引起的极值点， 则其余的 极值点对应于系统的故障。 小波网络是一种连续的非线性映射， 相当于用小波基函数作为节点激活函数 的神经网络，其物理意义为近似的小波反变换，其中的参数可以通过学习得到， 所以它结合了小波分析与神经网络的特点。 小波变换不需要系统的数学模型， 对噪声的抑制能力强，有较高的灵敏度， 运算量也不大，是一种很有前途的方法。 2 、基于输出信号处理法 系统的输出在幅值、 相位、 频率及相关性上与故障源之间会存在一定的联系， 这些联系可以 用一定的数学形式 ( 如输出量的频谱等) 表达， 在发生故障时， 则 可利用这些量进行分析与处理，来判断故障源的所在。常用的方法有谱分析法、 相关分析法、概率密度法及互功率谱分析法等。 3 、信息匹配诊断法 此方法引入了类似矢量、 类似矢量空间、 一致性等概念， 将系统的输出序列 在类似空间中划分成一系列子集， 分析子集的一致性， 而一致性最差的子集则可 能已发生故障。 通常类似矢量值最小， 而当故障发生时， 类似矢量在此故障相应 的方向 上增大， 因此类似矢量的增加表明了故障的发生， 而其方向 给出了故障传 感器的位置。 三、基于知识的方法 当前的控制系统变得越来越复杂， 不少情况下要想获得系统的精确数学模型 是非常困难的， 而基于知识的方法与基于信号处理的方法类似， 也不需要精确的 数学模型。因此，具有很好的应用前景。 1 、基于专家系统的故障诊断方法 专家系统是人工智能领域最活跃的一个分支， 它已 广泛地应用于过程监测系 统。 这种方法不依赖于系统的数学模型， 而是根据人们长期的实践经验和大量的 故障信息知识， 设计出一套智能计算机程序， 以此来解决复杂系统的故障诊断问 题。 图1 - 2 给出了 故障检测诊断专家系统结构框图。 人机接口 把被控对象的有关 数据送入动态数据库， 推理机根据知识库中的知识和动态数据库中的实时数据进 行推理， 得出系统中是否发生故障及发生什么故障， 然后对诊断结果进行评价和 决策，故障排除后，再重复上述过程。 2 ,基于神经网络的故障诊断的方法 西北_ _ 业大学硕卜 论文 第一章 绪论 由于神经网络具有处理复杂多模式及进行联想、 推测和记忆功能， 它非常适 合应用于故障诊断系统。 它具有自 组织自学习能力， 能克服传统专家系统当启发 式规则未考虑到时就无法工作的缺陷。 因此， 将神经元网络应用于过程监测系统 己成为一个非常活跃的研究领域，并有不少成功的应用实例。 被控对象 数据库 浅层知识库 深层知识库 系统知识库 知识获取 曰日曰日 人机接口 曰曰日曰 用户 推理机 故障诊断结果 故障评价故障决策 图1 - z故障检测诊断专家系统结构图 神经网络技术代表了一种新的方法体系， 它以分布的方式存储信息， 利用网 络的拓扑结构和权值分布实现非线性的映射， 并利用全局并行处理实现从输入空 间到输出空间的非线性信息变换。 对于特定问题适当建立的神经网络故障诊断系 统可以从其输入数据( 代表故障症状) 直接推出输出数据( 代表故障原因) ， 从而实 现故障检测与诊断。 用神经网络进行控制系统的故障诊断，可以有以下两种方式: 第一种是离线诊断， 它的学习过程和使用过程是分开的。 当控制系统出现故 障时， 把故障信息或现象输入神经元网络， 神经元网络经过自 组织、自 学习， 输 出合理的解决办法， 然后去维修控制系统. 给神经元网络输入大量的样本， 神经 元网络即对这些样本进行学习， 当n 个类似的样本被学习后， 根据样本的相似性， 把它们归类为按相似的权值分布。 当n + l 个相似的样本输入时， 神经元网络的归 类标准表现在权值的分布上。这样，当部分信息丢失时，如n 个样本中丢失了 n , ( n , n ) 个， 那么神经元网 络还可以 通过另 外n - n ! 个 样本去 学习， 并 不影响 全 局。这种学习过程称为 “ 有导师的学习”。 第二利 j 是在线诊断， 将神经元网络与控制系统直接相连， 让其自 动获得故障 信息及现象， 然后由神经元网络内部自组织、自学习， 这就使学习过程和伸用过 西北t业人学顶 上论义第 一章 绪论 程合而为一。这种学习过程是 “ 无导师学习”。 图1 - :3 给出五中常用于故障诊断的神经网络模型种类。 图1 - 3五种常用于故障诊断的神经网络模型 3 、基于模糊数学的诊断方法 由于故障征兆是界限不分明的模糊结合，用传统的二值逻辑方法显然不合 理， 可选用确定隶属函数， 用相应的隶属度来描述这些症状存在的倾向性。 模糊 诊断方法就是通过某些症状的隶属度， 来求出各种故障原因的隶属度， 以表征各 种故障存在的倾向性。 此外， 模糊数学还用于残差的模糊逻辑评价， 以及运用模 糊逻辑进行自适应调节阀值等。 4 、基于定性模型的方法 定性模型分为定性仿真、 定性观测器和知识观测器。 这里简单介绍定性仿真 与知识观测器。 ( 1 )定性仿真。 定性仿真是定性推理的一种方法， 它把系统行为描述为状态 转换图， 系统可能的行为是图中的一条路径。 系统的定性模型由 一组表示系统物 理参数的定性变量 ( 具有有限定性值， 并为时间的函数) 和一组表示各参数间相 互关系的定性方程构成。 定性仿真则是描述并模仿系统的结构， 以 确定从给定的 初始状态出发得到当前系统状态。 在定性仿真中引入模糊定量空间方法， 即用模 糊集合表示定性变量可以得到对系统的更精确的描述。 ( 2 )知识观测器。 在基于知识的系统中知识观测器类似于解析模型中的 状态 观测器和卡尔曼滤波器， 它由四部分组成:1 、 定性模型， 用来预测系统的行为， 它主要是用定性仿真或符号有向图进行推理;2 、诧异监测器，用来检测实际症 状与预测症状之间的差异，可以用隶属度函数表示:3 、候选者产生器，根据差 异提出可能的故障源，这一般用有限搜索法进行搜索;4 、诊断策略，用来协调 整个循环搜索过程， 确保模型与实际过程的症状相匹配。显然， 这种方法比传统 ? 4 北工业大学硕 卜 论文第一贾 绪论 的专家系统方法更简洁。 总而言之，基于知识处理的诊断系统的主要优点是:1 、适合模拟人的逻辑 思维过程，解决需要进行逻辑推理的复杂诊断问题;2 、知识可用显式的符号表 示，在已知基本规则的情况下，就无需输入大量的细节知识;3 、便于模块化， 当个别事实发生变化时，易于修改; 4 、能与传统的符号数据库接口;5 、能解释 自己的推理过程，并能解释结论是怎样获得的。 但是它也存在许多局限性，主要表现在以下几个方面:工 、知识获取的瓶颈 问题:2 、自适应能力差:3 、学习能力差:4 .实时性差。 1 . 3本论文的内容安排 第一章 绪论，介绍了故障诊断技术的主要研究内容和主要研究方法，并对 论文的内容作了安排。 第二章 小波分析的基础理论，系统阐述了小波分析的理论和性质，简要介 绍了连续小波变换、离散小波变换、多分辨率分析和小波包分析等概念。 第三章 基于小波变换的故障诊断，围绕小波变换在故障诊断中的应用，在 三个方面展开研究:( 1 )信号奇异性检测;( 2 )信号降噪处理:( 3 )信号能量频 带分析，分别阐述了相应的实现算法，并给出了计算机仿真结果。 第四章 基于神经网络的故障诊断，论述了在故障诊断的应用中神经网络所 具备的特点， 详细推导了反向传播b p 网络中的基本b p 算法， 并说明了 它存在的限 制和不足，给出了一种改进b p 算法，并将其应用到旋转机械的故障诊断中。 第五章 小波神经网络， 论述了故障诊断中小波分析和神经网络的结合途径， 简介了小波神经网络结构、学习算法等。 第六章 总结，对本论文的主要研究工作做了总结，并对进一步的研究进行 了展望。 西北工让大学硕十学位论文第止章 小波分析的理论基础 第二章 小波分析的基础理论 2 . ，引言 小波分析( w a v e l e t s a n a l y s i s ) 是在傅立叶( f o u r i e r ) 分析基础上发展起来 的一种崭新的数学方法 。自1 9 8 4 年法国地球物理学家m o r l e t 首次将小波概念引 入信号分析中对信号进行分解开始， 小波分析就受到应用数学界、 理论物理界和 工程技术领域的普遍关注。 随后， 小波理论研究的应用范围迅速扩大， 现已 广泛 应用于信号处理、分形、编码、统计、图 像处理、智能控制、故障检测、湍流、 数学应用、 地球物理学、天体物理学、医学、工业、 经济、目 标检测、 快速计算 等众多领域 【 4 ， 5 。小波分析是2 0 世纪现代分析学的完善总结，是分析 方法的重大突破， 为2 1 世纪科学理论研究及工程应用提供了强有力的工具， 并引 起了世界各发达国家的高度重视， 美国、 法国等已 将小波分析理论研究与应用作 为今后的前沿科学之一。 从本质上看，与f o u r i e r 分析一样，小波分析只是对数字信号的一种不同表 现形式。 用于小波分析的基函数是一类同时具有类似于h a a r 函数系对空间变量局 部化的性质和类似于f o u r i e r 三角函数系对频率局部化的双重优点的特殊函数， 是长期以来信号处理专家们所追求的分析非平稳信号的一种理想的表示方法。 与 f o u r i e r 分析相比，小波分析可以对信号同时在时域和频域内进行局部分析， 是 信号分析在理论和应用上的一项重大的突破性进展。 f o u r i e r 变换( f t ) ， 尤其是快速傅氏 变换( f f t ) ， 在小波分析没有被提出之前， 是绝大多数专业研究领域最基本的数学工具， 为现代物理中几乎每一个深奥问题 的处理提供了一件不可缺少的工具。 设f ( t ) 是一个能量有限的 模拟信号， 为一个平方可积函数， 若l z ( r ) 表示实 数域上全体平方可积函数空间，即: l2 (r 。一 、 (!);v x)i z* 一 k ) ( 2 . 1 . 1 ) 则有f ( f ) e l 2 ( r ) ，且其傅立叶变换为: f ( w ) , 1 2 万1 f ( t ) e 一 ra t d t ( 2 . 1 . 2 ) 由( 2 . 1 , 2 ) 式可见， 通过f o u r i e r 变换， 可把一个时域信号变换到频域上分析。 而对信号处理中常用的周期信号、 阶跃函数及随机信号， 也可通过f o u r i e r 变换， 西北工业大学硕 卜 学位论义第二章 小波分析灼理论4 础 用功率谱来描述其频率特性。 但是在后来的研究和使用中发现， 傅氏变换只在频 域内是局部化的， 仅仅是频域分析的一种工具。 而在时域上却没有分辨率， 即无 法 从 信 号 八 0 的 f o u r i e r 变 换入 动中 看 出 为) 在 任 意 时 刻 附 近 的 性 态 ， 而 且 若 a l ) 在 某 一 时 刻 的 子 邻 域 发 生 变 化， 则 整 个 谱入 劝也 就 会 受 到 影 响 。 换 而 言 之 ， 频谱分析方法只是对信号统计平均、分析后的结果，缺乏瞬时频率信息。因此， 对于实际系统测试中非平稳信号、奇异信号的检测与分析，f f t 是无能为力的。 短时傅立叶变换( s t f t ) ，在一定程度上解决了信号时一 频分析的问题， 其方 法是在f o u r i e r 变换的基本er数。 - 1q u 之前， 乘上一个时间有限的时限函数g ( x ) ( 也称窗函数) 而作为一个新的时频函数，然后作傅氏变换: f ( co , t ) 二 f .f (t w x 一 ，) e - rw x d x ( 2 . 1 . 3 ) 短时f o u r i e r 变换的基本思想是 利 用时限 函 数g ( x ) ， 将信号分割到 不同 时间 段 上，再将每个时间 段上的信号 当 作平稳信号处理，从而f ( w , t ) 也就大致反映 了t 时刻信号的频率组成。 但对s t f t , h e i s e n b e r g 给出了如下形式的测不准原理: d g( 2 . 1 . 4 ) 其中d g , q分别是g ( x ) 的时宽和频宽半径。 由( 2 . 1 . 4 ) 式可知， 若我们选取小支集的窗函数， 则翰就相对小， 空间分辨 率提高了， 而a g 就相对加宽， 即 频率分 辨率变差了。 相反， 若 选取大 支集窗函 数， 则频域分辨率变好， 空间分辨率变差， 特别是时宽变宽时， 使得该时间段上 的信号的平稳性就越难保证。 另 一 方面，当窗 函数g ( x ) 确定后， 其对 应的时 一 频窗口 的 形状( 窗口 的宽 窄 高低) 就确定不变了。因而，短时傅立叶变换( s t f t ) 对整个时频域信号的分辨率 是固定不变的，如图2 - 1 所示，这与分析高频信号时对时域分辨率高于分析低频 信号时的时域分辨率的要求相差较远。 所以， 用s t f t 检测高 频信号 或低频信号就 不是非常有效的了。 在信号检测中， 由于信号的频率与周期的长度成正比， 理想情况下， 为了 更 精确描述信号的高频部分信息， 其时宽应窄一点， 而对低频部分信息， 时宽应相 对 ， 宽一些， 以便能给出信号较完整的信息。 小波分析在信号处理中， 正具备了 这 西北工业大学硕 !一 学位论义z-小波分析的理论华础 样的优秀品质“ 变焦距”性质，如图2 - 2 所示。 本章将给出后续章节要用到的小波分析的基本理论， 包括连续小波变换、 离 散小波变换、多分辨分析及小波包分析的概念。 t p 图2 - 1 s t f t 时频窗图2 - 2小波分析时频窗 2 . 2连续小波变换 定义2 . 1设vi(t) e l 2 ( r ) ， 其傅立叶变换为kco ) ， 当kco ) 满足允许条件( 完 全重构条件或恒等分辨条件): 一 r p (o) )12 ， ” i i ( 2 . 2 . 1 ) 时， 我 们称+v ( t ) 为一个基本小 波或母小 波( mo t h e r wa v e l e t ) 。 将母函数y v ( t ) 经 伸 缩和平移后得到: 1 ( t 一 b ) w a ,b ( t ) = 一 万 于 v, i i a , b e r ; a x l l j la l又 a， ( 2 . 2 . 2 ) 称为分析小波( a n a l y z i n g wa v e l e t ) 或连续小波。 子。 定义2 . 2 ( 连续小波变换)设w ( 1 ) 是基本小波 其中a 为伸缩因子，b 为平移因 v/ u ,b ( t ) 是 按( 2 . 2 . 2 ) 式 给出 的 连续小 波， 对于 任意的 函 数f ( t ) e l z ( r ) ， 其 连续小 波 变 换w f . ( a , b ) 定 义为 w f ( a , b ) = ( f , w , b ) - 一1 :。 、 下 不 - b . ， la l 2 .t t j (t)y/( 兀 厂 p t ( 2 . 2 . 3 ) 西北下业大学硕十学位论史 第一 _ 章 小波分析的理论基础 定理2 . 1 ( 小波 逆变换 )设v/ 是允许小 波， 则 对一切f , h : 厂( r , d t ) ， 有 1 2 吟( a , b ) 叭( a , b ) d ba一 c , (f ,h) ( 2 . 2 . 4 ) 另外， 对任意j e 尸及t e r ， 若f 在t 处连 续， 则 有小 波逆变换: f (l) = 命 fl ,二 (一 “，少 一 (!， da)fv q,b(t) z dba ( 2 . 2 . 5 ) 由 于基小波q 1 ( t ) 生成的小波y/ , ( t ) 在小 波变 换中 对被分析的 信号 起着观 测 窗的 作 用， 所以y / ( ) 还应该 满足一 般函 数的 约束条 件 工 砂)tr 00 ( 2 . 2 . 6 ) 故沂 ( 。 ) 是一 个 连续函 数。 这意 味 着， 为了 满 足完 全重 构条 件( 2 . 2 . 1 ) 式， 六动在 原点必须等于0 ，即 / (0 ) = 工 yr (t) d t 二 0 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的 波v i (的傅立叶变换 满足下面的 稳定性条 件: ( 2 . 2 . 7 ) 除了完全重构条件外， 还要求小 、 : y i w (2 -j o,)一 : 。 ( 2 . 2 . 8 ) 式中，o a _ b o o 连续小波变换具有以下重要性质: 1 、线性性:一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和; 2 、 伸 缩 共 变 性 : 若f ( 1 ) 的 小 波 变 换 为哟( a , b ) ， 则f ( c t ) 的 小 波 变 换 为 : 贵 w f (ca , cb), c 。 ( 2 . 2 . 9 ) 3 、 平 移不 变 性: 若f ( t ) 的 小 波 变 换 为 w t ( a , b ) ， 则 f ( t - t ) 的 小 波 变 换 为 吟( a , b 一 : ) ;( 2 . 2 . 1 0 ) 4 、自相似性:对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间 是自相似的; 5 、 冗余性: 连续小波变换中存在信息表述的 冗余度( r e d u n d a n c y ) . 两北下业大学硕 卜 学位论文第_章 小波分析的理论基础 小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要反映在两个方 面; 1 、 由 连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的。 也就是说， 信号f ( t ) 的小波变换与小波重构不存在一一对应的关系， 而傅立叶变换与傅立叶反变换是 一 一 对 应的 ; 2 、 小 波 变 换 的 核函 数 即 小 波 函 数w o ( t ) 存 在 许多 可能 的 选 择( 例 如， 它们可以是非正交小波、 正交小波、 双正交小波， 甚至允许是彼此线性相关 的)。 小波变换在不同的( a . b ) 之间的相关性增加了分析和解释小波变换的困 难。 因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，这是小波分析中的主要问题之一。 2 . 3离散小波变换 2 . 3 . ，离散小波变换 在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波变换必须加以离散化。 因 此有 必 要 讨 论 连 续 小 波 v w ,b ( t ) 和 连 续 小 波 变 换吟( a , b ) 的 离 散 化 。 重 要 的 是 ， 这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变 量t 的。 在连续小波中，考虑函数: . 1三介 一 b ) v f , , b k f ) = l a l 2 v i “j ( 2 . 3 . 1 ) 这 里， a e r , , b e r ， 且a * 0 . yr 是 允 许 的， 为 方 便 起 见， 在 离 散 化中 ， 总 限 制a 只取正值，这样允许性条件就变为: c u , = 1- 口 1 。 所以 对 应的 离 散 小 波函 数w,., ( t ) 即 可 写 作: a 0 一 2 y, (a 0 - ! ， 一 。 。 ) ( 2 . 3 . 3 ) l 、.卫leseses产尹 人廿- 儿-a 厂了.卫les、 笋 j-2 一 n a 一- 加 去思 f l凡 j， 尹 西北 r _ 业大学h l卜 学位论文 第三章 小波分析的理论推础 而离散化小波变换系数则可表示为: 一 jr f (t) 必k (t)d t = f ,v j,k ) ( 2 . 3 . 4 ) 其重构公式为: = c 艺艺c i ,k vl j ,k ( t ) l凡、，少 ，.沪产.、 cf ( 2 . 3 . 5 ) 其中，c是一个与信号无关的常量。 然而， 要 选择合适的“ 。 和b 。 以 保证重构信号的 精度， 必须使网 格点 尽可能 的 密 即 a 。 和 b o 尽 可 能 的 小 ) 这 是 因 为 网 格 点 越 稀 疏 ， 使 用 的 小 波 函 数 vl j .k ( t ) 和 离 散 小 波 系 数c i .k 就 越 少， 信 号 重 构 的 精 确 度 也 就 会 越 低 2 . 3 . 2二进制小波变换 为使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分辨信号的非平稳 性，需要改变a 和b 的大小，以使小波变换具有 “ 变焦距”的功能。换言 之，在 实际中 采用的是动态的 采样网格。 最常 用的是二进制的动态采样网格， 即a . = 2 , b , = 、 ， 每个网 格点 对 应的 尺度为2 ， 而平移为2 l k 。由 此得到的小 波: i v j .k ( t ) = 2 l v ( 2 - l t 一 k ) j , k e z ( 2 . 3 . 6 ) 称为二 进小波( d y a d i c w a v e l e t ) 。 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数2 - l ，它对应 为观测到信号的某部分内容。 如果想进一步观看信号更小的细节， 就需要增加放 大倍数即减小j 值: 反之， 若想了 解信号更粗的内 容， 则可以减小放大倍数， 即 加大少 值。 定义2 . 在这个意义上，小波变换被称为 “ 数字显微镜”。 3 设 函 数 v i ,k ( t ) e 广 ( r ) ， 如 果 存 在 两 个 常 数 a , b ， 且 。 a b o o 使得稳定性条件几乎处处成立，即: ， : y j1(2 - j to )一2 、 。 i z 则w j ,k ( x ) 为一 个二进小 波。 若a = b ( 2 . 3 . 7 ) 则成为最稳定条件 。而 函数序列 西北下业人学硕 一 学位论文第二章 小波分析的理论从础 叭f (k ) k e z 口 li做 f 的 二 进 小 波 变 换 ， w 2, f (k ) 一 ( f (t) , w , , (k ) - 上式相应的逆变换为: 其中: 牛i f ( t) v 2 叽 * ( 2 -