（电力系统及其自动化专业论文）大型水电站接地问题研究.pdf

内容摘要 本文采用理论和实践相结合的方法，对大型水电站设计中碰到的 接地问题进行了详细和深入的研究。 对接地l a - 1 题的研究在大型水电站电气设计中占有举足轻重的地 位，特别是降低高土壤电阻率地区的接地电阻值对保证电站监控、保 护、远动、通信等系统的安全、可靠运行及保证人身安全起着至关重 要的作用，因此必须对这一问题进行专门的研究，提出相应的解决方 案。 本论文以对降低整个水电站( 特别是高土壤电阻率地区电站) 接 地电阻起着关键作用的水库接地网为研究对象，分别从水平两( 多) 层土壤模型和垂直三层土壤模型出发，根据水库的特点，利用边界元 法( b e m ) 进行数值计算，并结合实际情况对相应的方程进行一定 的简化，编制出接近工程实际的水库接地网计算程序。 以几种简单土壤模型为例计算分析了影响电站接地电阻的重要因 素。又根据工程需要，对水库接地网在不同水位及不同布置下的接地 电阻情况进行了仿真计算，以更好的服务于工程实际需要，并以此结 果指导实际工程中的接地设计。 在文章中分层次地给出了采用边界元法( b e m ) 计算大型水电站 接地电阻计算程序的结构和每一部分的功能。并对以后研究的深入进 行提出了一些初步看法。 关键字：接地，大型水电站，水下接地网，边界元法 a b s t r a c t t h ep a p e ra d o p t st h ei n t e g r a t em e t h o do ft h e o r ya n dp r o j e c te x p e n e n c e ，g od e e p i n t ot h er e s e a r c ho f g r o u n d i n gi s s u eo f t h ed e s i g nf g r e a th y d r o p o w e rp l a n t ( h p p ) - b e c a u s eo ft h ei m p o r t a n ts t a t u e so ft h eg r o u n d i n gs y s t e mf o rt h ed e s i g no fg r e a t h y d r o p o w e rp l a n t ( p o p ) ，e s p e c i a l l yt o l o w e rt h ev a l u eo fg r o u n d i n gr e s i s t a n c ei n h i g h s o i l r e s i s t a n c ea r e ar i o to n l yp l a ya i le x t r e m e l yi m p o r t a n tr o l e sf o rt h es e c u r i t y a n dr e l i a b l yo p e r a t i o no fs c a d a ，r e l a yp r o t e c t i o n ，r t ua n dc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ， b u ta l s oi m p o r t a n tf o rt h ep e r s o ns a f e t y s ow em u s ts t u d yi ts p e c i a l l ya n dp u tf o r w a r d t oac o r r e s p o n d i n gs o l v es c h e m e t h ep a p e rc h o i c et h er e s e r v o i rg r o u n d i n gn e t w o r k ，w h i c ht a k et h ek e ye f f e c tf o r l o w e r i n gt h eg r o u n d i n gr e s i s t a n c eo ft h ew h o l eh y d r o p o w e rs t a t i o n ( e s p e c i a l l yt h e h p pi nh i g h s o i l r e s i s t a n c ea r e a ) ，s e p a r a t e l yu s ep l a n et w o ( m u l t i 一) l a y e rs o i lm o d e l a n dv e r t i c a lt h r e el a y e rs o i lm o d e l a n da c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so fr e s e r v o i l u s eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) t od on u m e r i c a lv a l u ec a l c u l a t i o n i nt h e c a l c u l a t i o np r o c e s s ，s o m ep r e d i g e s ta c c o r d i n gt or e a lc o n d i t i o nf o rt h ef u n c t i o nw i l l b ea d o p tt ow r i t eac a l c u l a t i o np r o g r a mn e a rt ot h ep r a c t i c eo f y i r o j e c t u s i n gs e v e r a le x a m p l eo fs o i lm o d e lc a l c u l a t i o nt oa n a l y s e st h em a i ni n f l u e n c e f a c t o ro fh p pg r o u n d i n gr e s i s t a n c e a n da c c o r d i n gt ot h en e e do fp r o j e c td e s i g n ，a e m u l a t ec a l c u l a t i o nw i l lb et a k e nt oc a l c u l a t et h er e s e r v o i rg r o u n d i n gn e t w o r k r e s i s t a n c ei nd i f f e r e n tw a t e rl e v e ra n dd i f f e r e n ta r r a n g e m e n t i ti sc a nd ob e t t e rt o s e r v e rt h ep r a c t i c en e e da n dt h er e s u l tc a nb eu s e dt oi n s t r u c tt h ed e s i g no f p r o j e c t t h ep a p e rs h o wt h es t r u c t u r ea n df u n c t i o no fe a c hm o d u l eo ft h eg r o u n d i n g r e s i s t a n c ec a l c u l a t i o np r o g r a mw h i c ha d o p tb e m a n dp r e d i c tt h ep r i m a r yc o n c e p t a n dd i f f i c u l tw i l lb ef a c e dw h e nc o n s u m m a t et h i sp r o c e s su s i n gt h i sm e t h o d k e yw o r d s ：g r o u n d i n g ，g r e a th p p , u n d e r w a t e rg r o u n d i n gn e t w o r k ，b e m 2 第一章绪论 1 1电力系统接地技术概述及研究现状 电力系统接地技术对电力系统的安全运行有着重要的影响。特别是近年来随 着现代大电网向超高压大容量方向的发展，各发变电站的入地短路电流大幅升 高，对于电站安全、稳定及经济运行的要求越来越高，因此电力系统的接地研究 就成为电力系统设计的重要组成部分。对大型水电站接地网接地电阻的计算是大 型水电站设计中时常碰到的问题，然而大型水电站( 包括常规水电站和抽水蓄能 电站) 一般都建在土壤电阻率较高的山区等地区，因此，为了确保电站的安全稳 定运行，提高供电可靠性，必须对这类问题进行专门的研究，提出相应的解决方 案，并配备一套与之相适应的安全保护系统。 大型水电站的接地系统是保证电站安全可靠运行、保障运行人员和电气设备 安全的重要措施。当电力系统发生接地短路故障或其它大电流入地时，如果接地 电阻值比较大，就会造成地网电位异常升高；而且如果接地系统设计不合理，还 会导致接地系统本身局部电位差超过安全值。这样，除给运行人员安全带来威胁 外，还很有可能因反击或电缆皮环流使得二次设备的绝缘遭到破坏，高电压窜入 控制室，使监测或控制设备发生误动或拒动而扩大事故，带来巨大的经济损失和 社会影响。国内外曾发生的类似事故不胜枚举。调查表明，我国曾发生多起出于 接地系统未达到要求所导致的事故或事故的扩大。这种事故不仅经济损失巨大， 对于人们生产、生活所造成的社会损失则更加严重。 通过以上的介绍可以看到接地系统设计的重要意义，这里有必要解释一下接 地的些基本概念。 在电力系统中为了工作和安全的需要，常需将电力系统及其电气设备的某些 部分与大地相连接，这就是接地。接地就其目的来说可分为工作接地，防雷接地， 和保护接地三种。工作接地是为了降低电力设备的绝缘水平( 如变压器等设备的 中性点接地) 的方式；防雷接地是为了避免雷电的危害而设置的接地，如设置避 雷针，避雷线，避雷器等防雷设备的接地网将雷电流导入地下；保护接地则为保 证人身安全而采取的电力设备外壳接地等措施。 4 接地体的接地电阻是电流i 经接地电极流入地中时，接地电极的电位v 与i 的比值，这主要是大地呈现的电阻。接地电阻的大小除和大地的结构，土壤的电 阻率有关外，还和接地体的几何尺寸及形状有关。在雷电冲击电流流过时还和流 经接地体的冲击电流的幅值和波形有关。 一般将短路时的接地电阻值称为工频接地电阻值，而将雷电冲击的接地电阻 值称为冲击接地电阻值。通常雷电流过程短暂，入地电流衰减较快，对其它设备 的影响不大，工程上常采用在避雷器( 针、线等) 的接地点附近布置接地极等方 法就可得到一个较小的冲击按地电阻值。因此本文中主要讨论工频接地电阻值。 当入地电流离开接地体在大地中扩散时，在地袭上将曼现一定的电位梯度分布。 当人在电极附近走路或触摸时，人的两脚或脚手之间将处于大地表面的不同电位 点上，这将使人遭受接触电势和跨步电势的作用。 从上面可以看出，电站接地系统设计的主要内容包括：工频( 冲击) 接地电 阻，接触电压，跨步电压，另外还包括网孔电压及电站附近的地表电位分布等问 题。由于时间限制，本文仅讨论其中的一个重要方面一电站的工频接地电阻问题。 长期以来，工程中常采用经验公式在测量得到土壤等效电阻率的基础上进 行近似计算或模拟试验等方法给出接地电阻值的估算值。这在初步设计阶段起到 相当重要的作用，但往往由于各种原因使其计算结果与实际情况相差较远，对于 指导施工图设计则显得较为粗糙。 近年来，随着计算机技术的飞速发展，逐渐将以往采用简化解析法处理的 问题，通过提供更加精确的数学模型，充分利用计算机在计算、循环、判断等处 理能力上的先天优势，以克服采用经验公式计算发变电站接地系统接地参数存 在的误差就成为必然。 自二十世纪六、七十年代年以来，各国学者对接地系统接地参数的数值计算 进行了大量的研究，将各种数值计算方法应用到接地参数的计算中来。如早期出 现的有限差分法、有限元法、模拟电荷法、边界元法、多步法、平均电位法、矩 阵法、解耦法等；以及九十年代出现的滤波法、基数镜象法、复镜象法等。采用 数值计算方法，能够比较全面地考虑地网的实际结构及故障电流流散的实际情 况，既考虑到地网不同部分导体散流的非均匀性，对于复杂结构的接地网都能得 到比较精确的计算结果；同时也使在技术可行的前提下进行经济比较成为可能， 解决了许多采用经验公式进行计算所不能克服的问题。 1 9 7 2 年g i a o s a r m a 首次在接地参数的数值计算方法中提出了将接地体分为 微段的概念，假设每个微段的泄流电流相等，并将微段作为线元来处理以计算电 阻系数。 1 9 7 6 年d a w a l i b i 等分别提出了求和法( 将微段作为点源处理) 与积分法( 将 微段作为线元处理) 来计算电阻系数与地中任一点的电位。他们认为只有当无限 细分接地体时，求和法得到的结果与在同样条件下按积分法计算得到的结果之间 才将达到完全相等。另外他们还提出了多步分析法计算接地体的电流分布，用平 均电位法( 即先在接地体上选择适当的点计算它们的电位，然后求各点电位的平 均值) 计算互电阻系数。多步分析法能够快速求解电流分布不均匀系数，平均电 位法则提供了计算电阻系数的精度。目前d a w a l i b i 创立的安全工程有限公司研 制的地网参数计算软件c d e g s 已在世界各国广泛应用，该软件不仅能比较精确 地计算各种地网接地参数，同时也考虑了土壤分层的情况，能对分层土壤中的接 地系统接地参数进行比较精确的计算。 1 9 7 9 年h e p p e 详细地推导了各线性导体段的自电阻和互电阻的计算公式， 这些计算公式可以方便地用于编写接地系统参数计算程序：同时充分考虑了接地 网对称的特点，将具有同样泄流电流的微段进行归类处理，从而缩减矩阵的阶数， 节约计算机内存和计算时间。 1 9 8 0 年k o u t e y n i k o f f 采用“二次分域”的计算技巧，提出了计算临近导体段 上某点电位的更为精确的表达式，因此在计算接地系统微段的自电阻与临近导体 段之间的互电阻时，能得到更为精确的结果。 6 1 9 8 3 年陈慈萤教授分别采用边界元零次插值法和边界元一次插值法计算 各边界元的泄流电流分布。按一次插值法计算得到的电流分布更接近于实际分 布。另外在采用零次插值法计算时，采用了“等划分段加密法”，即对接近交叉 点的单元再划分为二，这样计算的电流分布能与实际更加吻合。 1 9 8 5 年n a g a r 等及l o e l o e i a n 等对大型接地系统的特性的计算方法进行了全 面的综述，并讨论了各种方法的特点及其存在的问题。 1 9 8 6 年陈先禄教授等提出了按表面电荷法来计算接地参数的数值计算方法， 采用该方法可以得到与国内外的其它一些数值计算方法极为一致的结果，但该方 法的局限性是明显的，就是只能计算均匀介质的接地系统参数。 各种数值计算方法的不同点及其改进方法主要在于求解电阻系数与沿接地 系统泄流电流分布的计算精度、计算繁杂程度、计算时间的长度及占用计算机内 存的大小等方面的差别。目前随着微型计算机技术的飞速发展，计算机的计算速 度及内存的大小已经不再是阻碍计算方法应用的主要因素。计算方法应从计算精 度、与实际情况的吻合程度等方面进行改进。如考虑地网所处土壤的分层情况， 而不是只对采用等值电阻率的均匀土壤结构进行分析。 7 【8 1 9 9 2 1 9 9 6 年文习山、戴传友、方瑜等通过求解拉普拉斯方程提出了垂直 三层土壤中电流场的计算公式，解决了垂直三层土壤接地数值计算问题。 【3 1 1 1 9 9 3 年j m a 和f p d a w a l i b i 对球状分层土壤结构的接地问题进行了研究， 推导了点电流源的g r e e n 函数，进而对处于球状分层土壤中的接地极和接地网内 电流分布、地表电位分布进行数值求解。 9 2 1 1 随着将钢筋混凝土基础作为接地体在现代工程中的大量应用，2 0 0 0 年胡 登宇、陈彩屏提出了多重镜象法在矩形基础接地中的计算模型。现在这一计算模 型正在被不断应用和完善中。 另外，随着电力系统的发展，各电站入地短路电流越来越大，特别在土壤电 阻率较高的地区，由于接地措施的缺陷而造成的事故屡有发生。针对这一情况， 利用【1 3 】( 1 6 1 深孔爆破制裂一压力灌降阻剂法设置深井接地极以建立立体接地网的方 法越来越多地得到应用。立体接地网充分利用电流在垂直方向的扩散分量，将入 地电流迅速引入深层土壤。这一技术在高土壤电阻率地区及土壤中间层电阻率较 低地区具有一定的应用前景，但对于在大型接地网的应用则存在许多争议。 1 2 本论文的主要工作 大型水电站一般都具有特定的地质，地貌及型式各异的厂房布置情况。由于 各种土壤结构的复杂性造成接地网散流介质不均匀，导电特性差异大，并且散流 场的边界条件和接地网的接地形式相当不规则。对于这样一个复杂的大地电磁场 问题，水电站接地网接地电阻的确切计算难度非常大。 1 7 1 2 5 】 2 6 1 现代典型的大型水电站一般由一个( 或两个) 大面积的水库、厂房、 开关站变电站及一些辅助设旌组成，其中在水库中敷设的接地网是对降低水电 7 站工频接地电阻起着最主要贡献的部分。水电站水库由库盆，大坝及其它辅助设 施组成。其中水的土壤电阻率相对较小，在3 0 - - 2 0 0 q m 左右，而两岸的岩石土 壤电阻率则较高( 砾石、碎石、多岩石山地为5 0 0 0 q m 左右，如为花岗岩地区 则在2 0 0 0 0 q m 左右) 。可以看到水电站中沿水库库盆底部敷设的大面积水下接 地网是电站中主要的散流体，对降低电站的接地电阻起着至关重要的作用。另外， 现代大型水电站大量采用混凝土重力坝、碾压混凝土坝、混凝土面板坝等坝型， 而浸泡在水中的钢筋混凝土的导电率接近于水的导电率，我们很明显的可以看 出，大坝坝体内的钢筋网对降低电站的接地电阻作出巨大的贡献。 在这项论文的工作中，所要完成的主要任务是应用边界元法在基于一个典型 水电站水库立体土壤模型的基础上进行工频接地电阻的数值计算。具体内容如 下； 对一个典型大型水电站的地质结构进行分析，分析电站接地网的土壤结构， 确定土壤分层情况。 建立一个考虑河水和土壤介质导电特性差异，导电体位置，以及考虑河床形 状的能具体描述大型水电站散流媒质特性和接地网特性的水下接地网的物 理模型。 从描述电磁场特性的基本方程拉普拉斯方程出发，对上述物理模型的电磁 场边界积分方程进行推导，建立一个较符合实际情况的接地电阻计算数学模 型，并由此出发推导出相应的格林( g r e e n ) 函数。 利用上述物理和数学模型，结合边界元法( b e m ) 计算分析程序进行大量数 值分析和研究，分析在数值计算方法中各个因素对接地电阻计算结果的影 响。 根据水库不同水位，不同水下接地网布置，对水库接地网进行仿真计算。 根据上述分析，提出一些有针对性的结论，从而对水电站接地网设计提供设 计依据。 第二章大型水电站接地网计算模型 2 1大型水电站水下接地网的物理模型 在大型水电站中，入地电流i 一般都大于2 0 0 0 a ，工频接地电阻r 要求小于 2 0 0 0 i ，如无法满足则放宽到o 5q ，但必须采取防止反击的措施。在经济合理 的条件下，应尽量降低工频接地电阻，限制地电位升高，保证跨步电压和接触电 压满足要求，以保护设备正常运行和人身安全。 一般而言，大型水电站由水库( 抽水蓄能电站有上、下水库) 、地面或地下 式厂房、引水输水系统及升压站等配套设施组成，在所有的组成部分当中，接地 系统的主要散流体是敷设在水库中的水下接地网，下面就以常规引水式水电站为 例来分析和建立一个更接近于实际情况的水库水下接地网物理模型。 在进行水下接地网的计算中，工程上采用经验公式( 2 一l 一1 ) 【4 】来进行估算 如= 壕一- s ( 2 - 1 。1 ) 。4 u 式中：ps 为河床的土壤电阻率 酶为接地电阻系数，可根据水深查相应曲线得到 上式对电站的初步设计用于估算来说是可以接受的，但对于施工图设计 来说就显得较为粗糙了。这时候，在设计中常借助于一些数值算法来进行计 算。这就需要建立一个合适的土壤模型。一般来说，从电站的土壤导电性能 和结构来看，电站区域土壤可按分块均匀来模拟，接地网的物理模型一般有 两种，图2 2 示出水库的水平两层土壤模型的剖面图，图2 3 示出水库的垂 直三层( 也叫纵向三层) 土壤模型的剖面图。 空气p0 坐旦! 水库下的土壤p2 图2 - 2 水平两层土壤模型 9 空气po 拳库两边 奉p 2 水库两边 的土壤i z , 1 的土壤p 3 图2 3 垂直三层土壤模型 大型水电站的水库面积较大，在实际应用中，一般在靠近大坝或进水口的位 置敷设水下( 库盆底部) 接地网，这时可以采用图2 。2 所示的水平两层土壤模型， 即假设水库面积为无穷大，库盆( 至少敷设区域) 是一个与水面平行的平面。这 与实际中有限的水库宽度存在一定的差距，并且库盆底部形状复杂( 并非与水面 平行) 。但是考虑到水库面积通常为几十万平方米，甚至几个平方公里，对于敷 设面积( 几万平方米) 来说是十倍甚至千百倍的关系，并且大型水电站水库深度 都在百米左右，这些问题变得相对次要。因此，采用水平两层或三层的土壤模型 模拟水下( 库盆底部) 接地网计算与实际情况较为接近。 对于大型水电站来说，混凝土坝或混凝土面板坝的大量采用，利用浸泡在水 中的大坝面板钢筋网，为降低电站的接地电阻作出巨大贡献，这时可以采用图 2 - 3 所示的垂直三层土壤模型，即将左岸、右岸及大坝分成三种媒质计算面板钢 筋的散流作用。 从前面的叙述可以知道，现有的水电站接地网土壤模型一般分为水平两层和 垂直三层两种，下面从电磁场基本理论出发分别就这两种物理模型进行推导，并 得出相应土壤模型的格林函数。 2 2 水平两层土壤模型的计算模型及格林( g r e e n ) 函数( 分离变 量法) 从电磁场理论可以知道，电流源i 在任意媒质中的任意点的电位妒总满足泊 松方程 2 1 v2妒=一印(2-21、 式中：p 为土壤电阻率 1 0 对于源点外的场域，媒质中任意点的电位c p 满足拉普拉斯( l a p l a c e ) 方程 2 v 2 口= 0 ( 2 2 2 ) 考虑到场域关于z 轴对称，在圆柱坐标系下上式可写为川： 堡+ 三塑+ 鸳：o 西2r 毋a z 2 ( 2 2 2 a ) 对上式应用解微分方程时常用的方法一分离变量法 5 ，设妒( ，z ) = 目( ，) 妒( z ) 则有 简化为 北) 掣o r + 扣) 掣o r 州，) 等= o ( 2 - 2 - 3 ) 一 r 丽1 瓦0 ( 7 石0 0 ) + 孑1 可0 2 矿= 。 ( 2 2 4 ) 后面一项 害显然不包含r ，为了使式( 2 2 - 4 ) 在任何f ，z 时都成立，必须有 廖c 2 。 或 式中：兄为任意常数 式( 2 2 6 ) 的通解为 1a 2 妒 2 一2 击出2 馨划妒：o 0 2 ( 2 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) 庐( z ) = 口( a ) e 一如+ 6 ( 旯) 口如 ( 2 2 7 ) 式中：a ，b 为待定系数，它可以是含r 的函数 将式( 2 2 7 ) 代入式( 2 - 2 2 a ) 可以得到 堡+ 三塑+ 牙臼：0( 2 2 8 ) 加2r 加 式( 2 2 8 ) 是零阶贝塞儿( b e s s e l ) 方程f 5 】，其解为： o ( r ) = c ( ；o j o ( 五r ) + d ( a ) y 0 ( 打) ( 2 2 9 ) 式中：c ，d 为待定系数， j o ( 加) 为第一类零阶贝塞尔函数，其表达式为 ，。( 2 r ) = 1 2 珂f j 扣。e 一“伊巩 k ( 加) 为第二类零阶贝塞尔函数y 。( 加) 将式( 2 2 7 ) 及式( 2 2 9 ) 代入分离变量妒( ，z ) = o ( r ) o ( z ) 可以得到电位函数的 通解为 妒= c ( 旯) ，o ( ，) + d ( 2 ) y o ( a r ) ( a e 一“+ b e “) ( 2 2 一1 0 ) 因为当r 寸0 时，k ( 办) 呻o 。，这与电位在r 哼0 处的值相矛盾，因此，系数d ( 五) 必须为零。则拉普拉斯( l a p l a c e ) 方程式( 2 2 2 a ) 的通解为： 妒= 0 l ( 2 ) j o ( a r ) e 一“+ 氟( 2 ) j o ( a r ) e “ ( 2 2 1 1 ) 式中：b ( ) = 口( 丑) c ( ；办( a ) = 6 ( a ) c ( a ) 均匀媒质中的电位p 可以表示为n 个 的线形叠加，即： 妒= 昙挚( 姚( 如) e - z , , z + m 。) j o ( 2 r 洲( 2 - 2 - 1 2 ) 式中：p 为土壤的电阻率 因为式( 2 2 1 2 ) 对任意线性叠加项均成立，所以拉氏方程的通解可以包含 无限多项的叠加，可以连续变化，因而通解的一般形式可以表示为： 嘞= 岳酚乩( 批“柏以刎e a z k ( 2 - 2 - 1 3 ) 上式中的g 称为格林( g r e e n ) 函数，它的物理意义是单位点电流源所产生的 电位，在以下讨论中均采用格林函数的形式。 式( 2 2 1 3 ) 为拉普拉斯方程的通解，它适用于无源区内。对于有点电流源区域 取图2 - 4 所示的坐标系统， 2 空气 z = 一 s 第一层媒质p 1 。i h 。 ，7 ( r ，z ) 第二层媒质p 2 图2 4 两层大地导电媒质模型 图中s 为第一层媒质p l 的厚度，这里可以理解为水深，电流源点放置在坐标原 点( 0 ，0 ) ，电流源点深度为h 。 在均匀媒质中的点电流源的电位函数必然满足泊松方程，取图2 4 所示的坐 标系统，可以写出 妒：导兰 ( 2 2 1 4 ) 舻荔丽 旺一一 矛用傅立叶变换公式例 南2 e - a l , t 厶m ( 2 _ 2 _ ”) 可以得到包含点电流源在内的格林函数的形式为： g 2 磊p l j o ( 2 r ) d 2 + 毛酚w e “州州腓“ x ( 2 - 2 - 1 6 ) 设源点在第一层，而场点也在第一层时的电位的格林函数记为g 1 1 ，则由上 面的格林函数的通式可得： g “= 鲁“j q ( , t r ) d j t + 会弘( a ) j o ( a t ) e “5 + 珐( 兄) j o ( 2 r ) e “h ( 2 - 2 1 7 ) 式中：p ，为上层土壤的电阻率 场点在第二层时的电位的格林函数记为g 1 2 ，可以得到 吼= 鲁卜( 刎e 叫“以+ 岳j p z ( 玑( 刎s “2 + 姒a ) j o ( 2 r ) e 。k ( 2 - 2 1 8 ) 根据图2 - 4 可以写出边界条件和分界面条件 1 1 当z 寸0 0 时，g 1 2 = 0 2 ) 当z ：一 时，孥：o 睨 3 ) 当z = s h 时，g l l = g 1 2 4 ) 当。：。一 时，一1 孥：上肇 p l o z p 2 0 z 下面结合边界条件( 2 2 1 9 ) 进行系数函数的推导。 ( 2 2 1 9 ) a 、从边界条件1 ) z 。时，( 2 2 1 8 ) 式中的8 “和e 一“均为0 ，要给g 1 2 为 0 ，可以直接得到： ：( 丑) = 0 ( 2 2 2 0 ) b 、从边界条件2 ) ：将( 2 2 1 7 ) 式两边求导，注意z 小于0 时h 等于一z ，得到 旦孚立：船一m 一五日( 2 ) 。“+ 兄杰( 丑) p 一“：o o z ( 实际上，从第一类零阶贝塞尔函数的性质知道，在一般情况下，如果 “( 尼) 厶( 缸m = 弘( 七) 厶( 舰m ，则积分式内的两个函数相等。) 00 可以得到： p 一舳一只( 旯) p 舢+ 办( 旯) e 一舳= 0 c 、从边界条件3 ) ： ( 2 2 2 1 ) 已“卜6 + 臼l ( 五) p 。卜+ 识( ) g 琊“= 8 靠刚+ 吼够) p 。卜+ 丸( a ) 8 琊“ 可以得到 0 1 ( 兄) e 一1 5 6 + l ( 兄) e 1 5 6 = 0 2 ( ) e 一4 。一“ 1 4 ( 2 2 2 2 ) d 、从边界条件4 ) 一b ( 丑) g 一1 卜的+ 妒l ( 兄) p 2 扣一n k e 一2 0 一孙一k o l ( 旯) g 一。拈一“+ 七l ( ) e 2 0 一 一臼2 ( 五) 口一1 卜“+ k e 一州5 4 + 七臼2 ( 丑) g 一2 卜螂 并将式( 2 2 2 2 ) 代入，可以得到 声l ( 五) e 1 。一”= k 8 l ( a ) p 。卜6 + a 蟹一2 。6 联立式( 2 2 2 1 ) 及式( 2 2 2 3 ) ，有 8 。( 丑) = 8 _ 2 舶+ 氟( a ) p 吨舶 庐l ( 旯) = k o l ( 兄) e 2 2 5 一+ k e 一2 2 5 一“ 解得： 孵，= 等等 ) = 1 k e - 7 - ； a + e - 2 “ 将上述两式代入( 2 2 2 2 ) ，得到： 目：( 兄) = l 警一1 ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) 由边界条件( 2 - 2 1 9 ) 的4 个关系式可以确定口。( ) ，。( 丑) ，口：( 丑) 和妒：( 五) 州护第= 等豢掣 臼：( ) = 塑笋一1 丸( 兄) = 。 式中：七：必 p 2 + a 代入式( 2 2 1 7 ) 及式( 2 - 2 1 8 ) 有 瓯= 岳p 以+ e 瓮笋 抛) e - 2z + 警帕矿p g 矿旦4 zm o 矿小饥鲁芤q 鬻掣删e “p 5 为了求解上面的。到o 。的积分，将式中的击以泰勒级数展开为 击= 薹( 寸= 扣“( 2 - 2 - 2 7 ， 并对各项利用上面式( 2 2 1 5 ) 的拉普拉斯( l a p l a c e ) 变换可以得到 瓯2 岳c 志+ 志+ c 而去面+ 驴雹蠢+ 驴i 蠢+ 驴志h 对于g - z 可以通过与上面类似的方法确定得到。 晗鲁c h 纠志+ 矿杀丽 + k “( = i ( 2 2 2 8 ) ( 2 - 2 2 9 ) 瓯2 尝l 志+ 扣而去霄+ 南) j ( 2 - 2 - 3 0 ) 吼2 2 - 0 + k ) i 南音“志i ( 2 - 2 - 3 1 ) n f 4 n ，如果将坐标系放置在第一层媒质( 水) 与空气2 _ n ，即将坐标系移动一h ， 有： g - t5 鲁 南+ 南+ 喜七“了彳手；南+ 。：一。：， 驴百志忝矛+ 驴i 圭i 矿+ 驴蓑击i 萨护i i 丽1 护i i 丽。护i i 丽川 g 1 2 。鲁( 1 + 七) 南+ 南 。：。， + 鲫丽赢+ 丽蠢， 如果将电流源点放置在两层媒质之间某点时，即s = h 时有 1 6 一 赢 q 一2 鲁t 赢+ 南+ 砉”j i 手；南+ 。：一，4 ， 驴百荔2 n 萧h 萨十百r 菰写2 n 菰h 萨+ 驴i 荔2 = n ：嚣h 萨川，2 + ( z + 五) 2 2 + ( z 一十 ) 2r 2 + ( z 一一五) 2 g 1 2 。m 南+ 志 协：罚， + f 矿面靠面+ 矿露急丽 2 3垂直三层模型的计算模型及格林( g r e e n ) 函数( 分离变量法) 垂直三层土壤模型见下图2 - 5 。同前面讨论的水平两层土壤结构的情况相似， 电流源i 在任意媒质中的任意点的电位妒同样满足泊松方程v 2 妒。一印【2 1 。 空气 第一层 hx 一 + p o ( x 0 ，r o ) 质p 1第二层媒质p 2第三层媒质p 3 r r 图2 - 5 垂直三层大地导电媒质模型 图中p 1 ，p 3 为左右岸岩石的电阻率，户2 为大坝挡水墙的电阻率( 从一些试验 结果知道，浸泡在水中的混凝土的土壤电阻率与河水的土壤电阻率非常接近) ， h 为大坝的宽度，电流源点p o ( ，吒) 放置在第二层媒质中。 这一模型的三种媒质均在下半平面，且单侧有边界。我们注意到如果将这一 模型镜像到全平面，就变成了一个与水平两层模型类似的三层模型。这时可以与 水平两层土壤模型一样，采用分离变量法，得到拉普拉斯( l a p l a c e ) 方程的解 格林( g r e e n ) 函数。 与前面一节类似，直接写出源点在第二层媒质时( 如图2 5 所示，其中单位 点电流源在p o ( x 0r o ) ，任意计算点在p ( z ，) ) 三层媒质的格林( g r e e n ) 函 数表达式： 耻磊, 0 2j i e - a l x l 帕肌急m w 批“州砒( 枷“k ( 2 - 3 - 1 ) 2 岳，“以以+ 笔黟( 丑乩( 办矿“+ 欢( 氓( 刎矿缸q 。2 g 2 3 = 鱼4 z j oe 叫。( 棚以+ 鲁黟( 丑砜( 加芦“+ 九( a 矾( 纠矿 f z ( 2 - 3 - 3 ) 根据图2 - 5 可以写出边界条件和分界面条件： 1 ) 当x 斗+ 。时，g 2 3 = o 2 ) 当x 斗一。时，g 2 i = 0 3 ) 当z = 0 时，g 2 i = g 2 2 4 ) 当z = 日时，g - 7 2 = g 2 3 5 ) 当。：o 时，上挚：土孥 p l 积, 0 2 眦 6 ) 当。：日时，土孥：土孥 , 0 2 积, 0 3 出 ( 2 3 4 ) 利用上一节所述的贝塞j l , i n 数的性质，并结合上述6 个边界条件，同样可 以推出各个系数： a 、从边界条件1 ) 可以直接得到： 九( 五) = o ( 2 3 5 ) b 、从边界条件2 ) 可以直接得到 0 。( 旯) = 0 c 、从边界条件3 ) ： 0 1 ( 丑) p “。+ 妒i ( a ) e 一“。= 岛( a ) 8 “。+ 声2 ( a ) e 一 将式( 2 3 6 ) 代入得： ，( 丑) e 。乜= 吼( 五) + ：( 2 ) g _ 2 “。 d 、从边界条件4 ) 可以得到： 吼( 丑) 8 2 ”一“+ 2 ( 五) 9 1 ”一“= 0 3 ( 2 ) e 一1 ”一“ 即为：0 2 ( a ) p 一2 。8 一“+ 屯( 旯) = 0 3 ( a ) p 一2 。”一“ 1 8 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) e 、从边界条件5 ) 可以得到： ( 1 一七。) 【e m 。+ 矗( 旯) e h 。】= ( 1 + 足，) e 一砜一目：( a ) e 知。+ 2 ( 旯) 8 一 将式( 2 - 3 7 ) 代入得： 1 + 庐：( 2 ) k l e 。砜= 臼2 ( 五) f 、从边界条件6 ) 可以得到 ( 2 3 9 ) ( 1 + k 2 ) e 一2 “一而+ 8 2 ( 五) g 一2 一却一九( 五) 8 1 “一唧 = ( 1 一k 2 ) e 一。何一+ 臼3 ( 旯) g 一2 何一如】 将式( 2 - 3 8 ) 代入得： 1 + 0 2 ( 旯) 七2 口吨2 一岛= 以( ) 将式( 2 3 9 ) 代入可得 螂m ：竿薷 将上式代入式( 2 - 3 9 ) 可得 蚴m 。爷 将式( 2 3 1 1 ) 及式( 2 3 1 2 ) 代入式( 2 3 8 ) ，可得 岛( a ) = ( 1 + 尼：) 桀一1 将式( 2 3 1 1 ) 及式( 2 3 i 2 ) 代入式( 2 3 7 ) ，可得 由由边界条件( 2 3 4 ) 的6 个关系式可以确定最2 ，( a ) 和破2 ，( 丑) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 氟( 旯) = ( 1 + 霸) 嚣一1 珐( 五) 只( 五) = ( 1 + 七：) $ 一1 ，九( a ) = 。 1 9 ( 2 3 1 5 ) 埘 一 一生 1 忑 上印一t 一一h 一， 一生 t 一口| ， 屯一 o 七 i | = 、， ) 兄 五 ( ( q 以 式中：七。：盟，t ：必 p 2 + 尸j p 2 + p 3 利用与上节类似的展开式 去：至颤“也”e一“1 k l k 2 9 2 ”急“1 “2 对各系数函数展开： q ( a ) = 0 矿。( ) = ( 1 + 七1 ) c z 7 j ；“g 。2 “川一“1 + k ；k ；e - 2 n 2 h 卜1 目：( a ) = 咏2 删”。+ e 嘶“ n = on = o 庐：( a ) = 七? e 。2 撕“冲吲+ w “p 4 ”州 月- - 0 t 0 包( 五) = ( 1 + 七：) l y e k ；“霹p 4 。“+ “+ ? 霹g 。2 “卜1 九( 旯) = 0 ( 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) 代入式( 2 3 1 ) 式( 2 3 3 ) ，并对各项利用上节的拉普拉斯变换式( 2 - 2 1 5 ) 可得 志= p 1 j o ( x r ) d 2 g 2 。= i l o l k l 【妻尼。“也“s ( 2 n h 飞) + 妻一”七：4 s ( 2 胴俑) ( 2 - 3 - 1 8 ) 叶 n ；l = 0 g 2 2 = 笔陬) + 薹”2 * 2 柑飞) + 喜坼：坝勘日氓) + k l ”1 也4 s ( 2 n h 一) + i 。“k 2 s ( 2 n h + ) ( 2 3 一1 9 ) g 2 3 等 薹矿鄙( 锄日训+ 薹托坝嘲日 ( 2 - 3 2 0 ) 舯2 万霉零专丽 七。：且，七。l ：且 p i + p 2 2 p 3 + p 2 ( 2 3 2 1 ) 上面的等式是根据( x o y ) 平面上下对称推导得出的，根据镜象法2 1 ，将式 ( 2 3 2 1 ) 换成下式即可得到土壤模型图2 5 所示的解： 双2 而i i 磊专丽+ 而i 万需丽 2 l ( 2 3 2 2 ) 第三章边界元法( b e m ) 概述 3 1电磁场的数值分析方法概述 当前计算电磁学中使用较多的方法主要有两大类，一类是以电磁场问题的积 分方程为基础的数值方法，如矩量法系列；另一类是以电磁场问题的微分方程为 基础的数值方法，如有限差分法系列。基于变分原理的有限元法可以归为微分方 程法，也可以用矩量法的语言来描述。 需要指出的是，因为电磁场问题的积分方程描述和微分方程描述是可以相互 转换的，对同一电磁问题，上述两类方法是互相等效的。并且，将积分方程和微 分方程法混合用于同一电磁问题的求解，可以发挥各自的优势。在这方砥已有许 多效果颇佳的实践。 3 2从有限元法( f e m ) 到边界元法( b e m ) 有限元法( f e m ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 是求解数理边值问题的一种数值技 术。在力学领域，有限元的思想早在二十世纪四十年代已经提出，在五十年代开 始用于飞机设计。但是这种方法开创性的工作公认是r w c l o u g h 在1 9 6 0 年发表 的著作中奠定的。此后，该方法得到发展并被广泛应用与结构分析，流体力学， 热传导等物理和工程问题之中。二十世纪六十年代末至七十年代初，有限元法被 应用于电磁场工程领域。 有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法。将区域分割 为有限大小的小区域( 有限单元) ，根据变分原理把微分方程变换成变分方程来 求解。即将求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量的代数方程问题。 有限元法能比较有效地解决区域形状不规则的边值问题和非线形问题，有着 非常强大的生命力和广阔的应用前景。它采用物理上离散与分片多项式插值，因 此具有对材料，边界，激励的广泛适应性。在数学上它基于变分原理，将数理方 程求解变成代数方程组的求解，因此非常简易。在具体方法上有限元法采用矩阵 形式和单元组装方法，其各环节易于标准化，程序通用性强，且具有较高的计算 精度，便于编制程序和维护，适宜于制作商业软件，国际学术界对有限元法的理 论，计算技术以及各方面的应用做了大量的工作，许多问题均有现成的程序，可 用的商业软件资源相对较多。 由于有限元法具有上述优点，并且能系统地编制通用的计算机计算程序，可 以用统一的格式来处理单元和不同的边界条件，因而得到广泛的应用。但是任何 方法的优越性都是相对的，由于有限元法的特点是不论什么对象和什么问题，均 在各方向离散，并一律采用分片低阶多项式插值来逼近各类问题的解函数，当然 这有其通用性强的一面，但又不可避免地带来自由度多，最后得到的代数方程组 的元数很大，求解工作量大，特别是针对三维、组合等复杂问题，经常会出现理 论上有限元法都能解决，而实际上在工程上难以实现的情况。对于无限区域问题， 由于边界条件难以妥善处理，只能划出一定的范围来进行离散，计算结果误差很 大。随着网格细分，单元尺寸变小，使条件数变坏，如果有限元法的直接解是电 位，若求电场，还需要对电位微分，因此作为间接解的电场难以达到与电位同样 的精度，最终导致计算结果很差。 因此，实际工作中，对于无限域问题和三维问题或带有奇异