（应用数学专业论文）具有连续型时滞非线性微分方程振动性的研究.pdf

中文摘要 中文摘要 泛函微分方程理论是微分方程理论的重要分支：简称f d e 或d d e ，对它的系 统研究始于4 0 年代末，到今天为止，已经出现了许多学术价值很高的专著这一理 论在生物学、物理学、自动控制理论和工程问题中等许多领域有着广泛的应用近 年来，泛函微分方程的振动性研究引起了人们的广泛关注，并取得了大量的研究成 果本文主要讨论了三种不同类型的泛函微分方程边值问题的振动性，它们是 ( 1 ) 具有连续分布时滞的非线性中立型双曲微分方程 现a p ( t ) 爱( u ( z ，亡) + i 圭= 1 入i ( t ) u ( z ，t 一瓦) ) 现ip ( ) 爱u ( z ，亡) + 入i ( ) u ( z ，一瓦) ) l ll = a ( t ) a u ( z ，t ) + a k ( t ) a u ( z ，t p k ( ) ) 一r g ( z ：f ) ，【u ( x ：9 ( ，) ) 】d a ( ) ， ( z ：t ) q 【0 ，+ o c ) 三g ， 和边界条件： a u 矿( z t ) + 弘( z ：) 乱( z ：) = 。 ( 2 ) 高阶非线性中立型分布时滞微分方程 【x ( t ) + c ( t ) x ( t 一7 - ) j “) + p ( ：f ) 厂( z b ( ，f ) 】) 打( f ) = 0 ( 3 ) 二阶非线性中立型时滞微分方程 f r ( t ) 妒( z ( ) ) z 7 ( t ) 】7 + 口( t ) ，( z ( ) ? z ( 丁( t ) ) ) 9 ( z 7 ( ) ) = 0 在参考文献已有结果的基础上通过采用g r e e n 公式、r i c c a t i 变换、j a n s e n 不 等式、p h i l o s 积分平均法以及k i g u r a d g z e 引理等对上述三类方程进行处理，建立 了它们解的振动准则，并正确有效地推广了参考文献中的已有的结果。 关键词：时滞；双蓝型；中立型；r i c c a t i 变换；p h i l o s 积分平均法；振动准则 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ft h e r e s e a r c ha r e ao fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hi sc a l l e df d eo rd d ef o rs h o r t t h e s y s t e m a t i cr e s e a r c h e si nt h i sf i e l da n di t sa p p l i c a t i o n sb e g a na tt h ee n do f1 9 4 0 s s of a rt h e r ea r em a n yv a l u a b l em o n o g r a p h s t h et h e o r yi sw i d e l yu s e di nb i o l o g y p h y s i c s ，c o n t r o lt h e o r ya n de n g i n e e r i n gp r o b l e m s i nt h er e c e n ty e a r so s c i l l a t i o nf o r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sd r a w ni n c r e a s i n ga t t e n t i o n ag r e a tn u m b e r o fr e s e a r c hr e s u l t si nt h i sd i r e c t i o nh a v eb e e na b t a i n e d i nt h i sp a p e r ：w es t u d y o s c i l l a t i o nf o rt h r e ed i f f e r e n tk i n d so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m ( 1 ) n o n l i n e a rn e u t r a lh y p e r b o l i ce q u a t i o nw i t hc o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e dt i m e d e l a y 外丕( 吣瑚+ 驯t 岫7(x,t-)爰丕瑚+ 至圳乱) ) j = a ( t ) a u ( z ，t ) + a k ( t ) a u ( z ，t p k ( ) ) 一c g ( z ：t ：) ，【u ( z ：g ( t ，) ) 咖( ) ， w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n ( z ：t ) q 【0 ，+ o c ) 三g ， 皇兰砉凳皇+ p ( z ：t ) t 上( z ：亡) = 。 ( 2 ) h i g h e ro r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n z ( ) + c ( ) z ( 一7 ) 】n ) + p ( t ：f ) ，( z b ( ，f ) 】) 打( f ) = o ，o ( 3 ) s e c o n do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a y e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n p ( ) 妒( z ) ) z 7 ( ) 】7 + q ( t ) ，( 茁( t ) ：z ( 丁( ) ) ) 夕( z 7 ( 亡) ) = 0 b yu s i n gg r e e nf o r m u l a ：r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ，j a n s e ni n e q u a l i t y ，m e t h o do fp h i l o s i n t e g r a la v e r a g ea n dk i g u r a d g z el e m m a ，w ed e a lw i t ht h ea b o v ed i f f i c u l tp r o b l e m s ，e s t a b l i s ho s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rt h e ma n dg e n e r a l i z ee x i s t i n gk n o w nr e s u l t s k e y w o r d s ：t i m ed e l a y ；h y p e r b o l i ct y p e ；n e u t r a lt y p e ；r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ； m e t h o do fp h i l o si n t e g r a la v e r a g e ；o s c i l l a t i o nc r i t e r i o n i i 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外：论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得墨蕉堑盔堂或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者豁堠萄 签字日期2 铲伽7 e l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索：可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名： 签字目期擀多月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：锯浓亳 签字日期眸f 月7 日 电话： 邮编： 第1 章绪论 1 1 问题的提出 第1 章绪论 1 7 5 0 年e u l e r 提出一个古典的几何学问题：是否存在一种曲线：它经过平移、 旋转运动以后能与其渐缩线重合? 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论了这个问题，导出了已知 的、历史上第一个泛函微分方程r 。、，d r j ( 。s ) = r ( c 1 + r ( s ) ) 这里7 _ ( 5 ) 为曲线的参数 向量方程，s 表示弧长，r ( s ) 为曲线的曲率半径，c 1 为常数此后一个世纪中，许多 的著名数学家如b e r n o u l l i ，l a p l a c e ，p o i s s o n 等都提出过类似的方程鉴于这些类型 方程的复杂性，一直未能对它们进行有效的研究，而作为数学的一种历史悬案搁置 下来了七十年代以来，在生物学、物理学、控制理论和工程问题中出现了类似的、 甚至更为复杂的这类方程，促使人们对这种困难的课题开始认真地分析，但收效甚 微本世纪以来，自然科学与社会科学的许多学科中提出了大量时滞动力学系统问 题，如核物理学、电路信号系统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行病学、动 物与植物的循环系统、社会科学方面主要是各种经济现象时滞的描述，如商业销售 问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问题、工业生产管理等 等这类方程的系统理论构成了迄今为止的泛函微分方程理论的主体通常对泛函 微分方程我们主要研究解的存在性、稳定性、有界性、周期性、振动性以及渐进性 等振动性作为时滞泛函微分方程的一个重要性质有着极其广泛的应用背景本文 主要研究了三类不周泛函微分方程解的振动性；在原有结果的基础上进行了推广， 1 2 基本定义 设口r ：多c i 一_ o ，q rxc 为开集，算子，：q 叶舻连续，考虑方程 初值问题x ( t ) = f ( t ，奴) ，z j = 妒 ( e ) 并且设方程的解整体存在且唯一 定义1 1 设x ( t ，仃：) 是方程( e ) 过( 呒咖) 的一个解，若3 t ( a ，) 仃，使当 t t ( o ：砂) 时x ( t ，吼) = 0 ，则称z ( t ，正) 是一个最终零解 定义1 2 设z ( t ，吼) 是方程( e ) 过( 仃，) 的一个非最终零解，且存在序列 t k ，t 七_ o 。：k _ ，使得z ( t k ，盯：妒) = 0 ，则称z 是( e ) 的一个振动解否则称z 是 非振动解若一个泛函微分方程的所有非最终零解都是振动的，则称此“方程为振 动的 黑龙江大学硕士学位论文 这样的定义是有缺点的：因为一个f d e 可以满足解整体存在且唯一，但不存在 任何非最终零解，事实上这个方程是非振动的但是，依这个定义可以从逻辑上这 样理解：只要所有非最终零解都振动而所有非最终零解全体为空集因此定义还可 改为 定义1 3 设方程( e ) 没有不是零解的最终零解，并且它的一切解都是振动的： 则方程称为是振动的 进一步我们有 定义1 4 设z ( t ，o r ：) 为( e ) 过( o r ，) 的解，若3 - r ( a ，痧) 盯，使得当t2 丁( 盯，西) 时有l z ( ，盯：) l 0 ( 或i x ( t ，呒妨i s t o ) 和d = ( f ，s ) ：t s t o ，函数h c ( d ，r ) 称为属于p 类；如果： ( i ) h ( t ，t ) = 0 ，t t o ；h ( t ，s ) 0 ，( t ：s ) d o ； ( i i ) h 在d o 上对第二个变量有连续非正的偏导数 并且一般地，我们令 一等5 ) _ h ( t , s ) 徊丽m s ) d o 1 3中立型微分方程的振动性的研究 在研究线性自治差分方程时，人们命名一类最高阶导数存在时滞的方程为“中 立型”的六十年代有许多关于中立型方程的研究工作，但基本上是形式逻辑的产 物，只限于求它们的数学特征而对应用背景则所知无多但是进入七十年代以后? 以 中立型泛函微分方程为数学模型的应用课题大量涌现如博弈论，细胞中酶反应动力 一2 一 第1 章绪论 学，遗传问题，控制理论等等中立型微分方程的典型表达式为 圣( ) = f ( 1 ，z ( ) ：x ( t 一下( z ) ) ：宕( t 丁( t ) ) ) 1 9 7 0 年，j k h a l e 与m a c r u z 创建了算子型中立型方程 爰d ( 姐。) = 巾舰) ，o 丁( ) r , x t - - - - x ( t + 印h o 】) 的完整的基本理论 1 4 高阶微分方程的振动性的研究 自7 0 年代初期首次出现研究n 阶振动性的研究工作以来，至少有一百多篇专 论这一课题的工作然而由于问题的复杂性，无论从方法上：还是从最终结果来看都 仅仅是开始，还谈不上有普遍适用的方法与系统的判断准则在本文中主要是通过 采用k i g u r a d g z e 引理来对方程进行降阶的处理，从而将问题转化为低阶方程的振 动性，进而给出了方程振动的充分条件 1 5 本章小结 在本章中，我们简单介绍了泛函微分方程的历史背景和方程振动性理论的一些 基本概念及研究类型 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章具有连续分布时滞的非线性中立型双 曲微分方程解的振动性 偏泛函微分方程的振动问题在国民经济和国际建设的许多领域中有着广泛的 应用，因此，近年来得到很大关注例如，可参看文【1 h 6 】本文考虑一类具有连续 分布时滞的非线性中立型双曲微分方程 岳 p ( t ) 袅( 毯( z ，d + 喜入t ( t ) 铭( x , t - t t ) ) j 1 岳l p ( t ) 袅( 毯( z ，t ) + 入t ( t ) 铭) ) i li = 1 = 8 ( t ) a u ( z ，t ) + a k ( t ) a u t p k ( t ) ) 一rg ( z ：z ：) f 【乱( z ：g ( t ，) ) d a ( ) ， ( z ：t ) q 【0 ，+ o o ) 三g ， ( e ) 其中q 是，p 中具有逐片光滑边界a q 的有界区域：为拉普拉斯算子：n 为 a q 上的单位外法向量，且就( 。，t ) = 耋( a 2 髓( z 一a 砖) 2 1 基本假设和条件 若不作特别说明，我们对( e ) 和边界条件( b ) 总假设下列条件成立： ( a 1 ) p c 1 ( 【o ，+ 。c ) ； o ：十。) ) ，1 i m 高d s = + o 。，t o t - - - 。+ o o o ； 。vr 、。， ( a 2 ) a ie 俨( ( o ：+ 。) ；f 0 ，+ 。o ) ) ：0 a i ( t ) 1 , i i 0 常数：i i z = l ，2 ，z ) ； ( a 3 ) q ( z ? t ，) ec ( qx 【0 ，+ o o ) x 【q ，6 】；f 0 ，+ 。) ) ，q ( t ，) = m i ：n q ( x ，t ：) ； ( a 4 ) n ( f ) ，n 七( t ) ，m ( ) c ( 【o ：+ 。) ；1 0 ，+ o c ) ) ：。羔( t p k ( t ) ) = + ，k l = 1 ，2 ，s ) ； ( a 5 )，c ( 兄；r ) 在【0 ，+ o c ) 上为凸函数：u ，( 乱) 0 ；掣k 0 ，t | o ； ( a 6 ) g ( t ：f ) c ( 【o ，+ o 。) 【a ，6 】；r ) ：g ( t ，f ) st ：且关于t 和为非减， h m m i n 9 ( f ，) ) = + o c ：9 沁，n ) 存在且夕讹：o ) o ； z o o i 口，蛾 ( a 7 ) o - ( f ) ( 1 n ：6 】；r ) 非减，( e ) 中的积分为s t i e j i e s 积分 考虑边界条件 掣+ 比让( 州) - 0 ( 叫) 讹【o + o o ) ( b ) 第2 章具有连续分布时滞的非线性中立型双曲微分方程解的振动性 其中n 为a q 上的单位外法向量，u ( x ，t ) 是a q 【0 ：+ ) 上的非负连续函数 定义：边值问题( e ) ：( b ) 的解珏( z ，t ) 称为在g 内振动，如果对任意正数t 0 均 存在点( x o ，t o ) qxi t ，+ 。o ) 使得u ( x o ，t o ) = 0 成立 我们注意到最近文 1 】考虑了方程 外爱( 比+ 三1 州比卜n ) ) 爱爱( 、u ( 州) + 三九( ) ，“( 叫一n ) ) j = a ( t ) a u ( x ，t ) + ea k ( t ) a u ( z ，t p k ( t ) ) 一q ( z ：t ) u ( 。：t )( e 1 ) k = l m eq j ( z ，t ) 办( 钍( z ，t 一乃) ) ， 5 = 1 ( z ：t ) 1 2xf 0 ，+ o c ) 的振动性显然方程( e 1 ) 是方程( e ) 的特例本文的目的是利用r i c c a t i 变换和 p h i l o s 积分平均法，建立边值问题( e ) ：( b ) 的一切解在g 内振动的充分条件我们 的结果推广了文f 1 】和f 6 】6 中的相应结果， 2 2 主要结果 ( i ) ( i i ) ( i i i ) 若 定理1 设集合d = ( t ，s ) i t s t o h ( t ，s ) c ( d ；r ) 满足以下条件： h ( t ，t ) = 0 ，t t o ；h ( t ，s ) 0 ，t s t o ； h ( t ，5 ) 在d 关于s 的偏导数连续且非正； 存在连续函数h c ( d ：r ) 使得一必a s= h ( t ，s ) 万丽；( ，s ) d 撬唧志仆s 州一渊职铀) 卜慨 ( 2 1 ) 其中 6r l 1 r ( t ) = 七q ( t ，f ) l1 一九( 9 ( ：圳拈( f ) ， ( 2 2 ) ”8 l i = l j 则问题( e ) ：( b ) 的一切解在g 内是振动的 证明设问题( e ) ，( b ) 在g 内存在一个非振动解u ( z ，t ) ，不失一般，可设存在t o 0 ： 使当( z ，t ) 1 2 【t o + o 。) 时，有u ( z ，t ) 0 ， i t ( z ，t 一兀) 0 , u ( z ：t p k ( ) ) 0 ： 当( z ，t ，) qx t o ，+ o o ) 【n ，b 】时：“( z ：9 ( t ，) ) 0 ：i i z ，七l 对方程( e ) 关于z 在q 积分：我们有 爰p ( z ( s o 札c x , t ) d x + 孰钍( x ：t - ， i ) 如) = o ( z ) f oa u ( x ，) 如+ 妻a k ( t ) f nn u ( z ；t p k ( t ) ) 如， ( 2 3 ) 一厶rq ( z ，t ，) ，【u ( z ，g ( t ：) ) 】d a ( ) d x 黑龙江大学硕士学位论文 利用g r e e n 公式和条件( b ) ，我们得到 上心一如= 厶o u d ( 礼z , t ) d $ = - z q 出m t ) 矗s 0 ， 防( ) ( t ) 】7 0 我们断言 z 7 ( t ) 0 ，t t o 事实上：若( t ) s0 ，则存在t t o ：使得 砷) 一z ( r ) p ( t ) 引舌) r 雨1 氓t 7 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 对上式两边积分得到 即) 一z ( t ) p ( t ) 引t ) r 高d 5 i t p ( 2 1 2 ) 一6 一 第2 章具有连续分布时滞的非线性中立型双曲微分方程解的振动性 由( a 1 ) 得。l i 理z ( t ) = 一：此与z ( ) 0 矛盾 由( 2 9 ) 和( 2 ，1 0 ) ，我们有 v ( t ) = z ( t ) 一a l ( z ) y ( f t i ) = 1 z z ( t ) 一丸( t ) z ( t t )( 2 1 3 ) t = 1 f ( 1 一m t ) ) z ( t ) ：t t 将( 2 9 ) 和( 2 1 3 ) 代入( 2 8 ) ) ，注意到( a 5 ) ，我们得到 帅盯+ 5 k q ( t ：， 1 一参斌，卜锄毗，t 叩m ， 注意到( a 6 ) 和z 他) 0 ：( 2 1 4 ) 可写为 眵( t ) z 7 ( t ) 1 7 + r ( t ) z ( 9 ( t ，n ) ) 0 ，t z( 2 1 5 ) 其中r ( t ) 由( 2 2 ) 定义 令 哪) = 等淼， ( 2 1 6 ) 则 州= 喏搿一器离洲柚舳 利用( 2 1 5 ) 和( 2 1 0 ) ，我们有 w 7 ( t ) 一兄( t ) 一丢舌篆w 2 ( t ) ， t 丁 ( 2 1 7 ) 故对所有t t t o ，对上式积分可得到 异h ( t ：s ) r ( s ) d s 一辱h ( ，s ) w 7 ( s ) d s gh ( t ：s ) 菇龋彤2 ( s ) d s = h ( ，丁) w ( 丁) 一f ；h ( i ：s ) 嘲( s ) d s f ；- ( 以s ) 孟鼢w = h ( t ，丁) w ( 丁) 一辱 v h ( 出t , s ( s ，) g 酬( s , a l a i s ) + 互1 ，厕h ( t ，s ) l d s + 辱糍舞h 2 ( 舶) d s h ( t ：丁) w ( 丁) + e 辑等h 2 ( t ：s ) d s - 因此，对所有的t z 我们有 a ( t ，t ) 三ih ( t ，s ) 兄( s ) 一麟措 2 ( t ，s ) id ssh ( t ，丁) ( 丁) o ： ( a 2 ) f c ( r ；r ) 在f 0 ，+ 0 0 ) 上为凸函数，u f ( 仳) o ，掣k 0 ，铭o ； ( a 3 ) g ( t ，) c ( 【o ，+ ) f a ，6 】；冗) ，g ( t ，) sz ，且关于t 和为非减， 一l i m 。熙m i n 6 j g ( t , ) ) = + o c ：夕他，口) o ； ( a 4 ) 口( ) ( a ，6 l ；r ) 非减，( e ) 中积分为s t i e l j i e s 积分 最近，文【1 2 】考虑了方程 ， b 【x ( t ) + c ( t ) x ( t 一7 ) 】+ p ( t ，) ，( z 夕( ：f ) 】) 打( 舌) = 0 ， ( e 1 ) ，a 振动性显然( 局) 是方程( e ) 的特例 本文的目的是利用r i c c a t i 变换和p h i l o s 的积分平均方法，建立高阶分布时滞微分 方程( e ) 解振动的充分条件我们的结果推广了文【1 2 】中的相应结果为证明本文 的主要结果，需要下面的引理：它们引自文f 1 4 】和 1 1 】 引理1 设y ( t ) n 次连续可微且满足条件o 可( z ) 0 ，y ( n ) ( z ) 0 ，z2t o 则存在t 1 t o 和整数f 0 ：1 ，2 ，：咒) ，n + f 为奇数，使得 可( ( t ) 0 ：t t 1 ，i = 0 ：1 ，z ； ( 一1 ) 件。y ( i ( t ) 0 ，t t 】，i = z ，z + 1 ，：n 引理2 设可( ) 满足引理1 的条件：且 秒f n - 1 ) ( ) j 5 ，( ) ( z ) 0 ，t2t o 黑龙江大学硕士学位论文 则对任意常数移( 0 ，1 ) ，存在t 1 幻和常数m 0 ，使得 l 矿( 良) l m t ”2 y ”1 ( t ) ，t t 1 3 1主要结果 定理1 设集合d = ( ，s ) l t s t o h ( t ，s ) c ( d ；r ) 满足以下条件： ( i ) h ( t ，t ) = 0 ，t t o ，h ( t ，s ) 0 ：t s t o ； ( i i ) h ( t ，s ) 在d 上关于s 的偏导数连续且非正； ( i i i ) 存在函数h c ( o ，r ) 使得 一1 0 h ( f t ：s ) = m s ) v f ic t , 一s ) ，( d 若 熙唧高r 卜s 一鬻卜地慨1 ， 其中 q ( z ) = k p ( t ，) ( 1 一c g ( ，) 】) 打( ) ( 3 2 ) n ( t ) = m g n - 2 ( t ，n ) 9 印，o ) ( 3 3 ) 则方程( e ) 的一切解振动 证明：设z ( t ) 是方程( e ) 的一个非振动解不失一般，可设存在t l t o 0 ，有 z ( t ) 0 ，z ( t 一下) 0 ：x g ( t ：) 】 0 ，t 如：【n ，纠 注意到( a 2 ) 中掣k 0 ：我们有 【x ( t ) + c ( t ) z 一丁) 1 m ) + 定p ( t ，) z 【夕( t ：) 1 d 仃( ) 墨0 ：t2t 1 ( 3 4 ) 令 z ( t ) = z ( t ) + c ( t ) z ( t 一丁) ：t t 1 ( 3 5 ) 则当t t 1 时，我们有 z ( t ) z ( t ) 0 ，z ( n ) ( t ) 0 ( 3 6 ) 因为佗为偶数，故f 为奇数由引理1 ，我们得到 z 他) 0 ：z ( n 一1 ( t ) 0 ，t t 1 ( 3 7 ) 第3 章高阶非线性中立型分布时滞微分方程解的振动性 一 由( 3 5 ) ( 3 7 ) ：我们有 z ( t ) ( 1 一c ( t ) ) z ( t )，t t 1 将( 3 5 ) 和( 3 7 ) 代入( 3 4 ) ，我们得到 2 ( n ( t ) + 尼p ( t ，f ) ( 1 一“9 ( z ，) 】) 硝夕( 亡，) 】出( ) s0 ， 注意到( a 3 ) 和z 讹) 0 ：( 3 9 ) 可化为 z ( n ( t ) + q ( ) z b ( ，o ) 】0 ：t t 1 其中q ( t ) 由( 3 2 ) 中定义 习 w ( t ，= 鬻，t t 1 ) = 而署， 则 w 饥、2 ( n ，( t ) z ( n 一，( ) z ， 掣 9 ，( ：。) 卜稍一卷萨 z i iz z 。i 学l 由引理2 ；3t 2 t 1 ： 使得 ( 3 8 ) 名7 l 掣】m g 帕( t ，q ) _ z ( 州) i g ( t ，n ) 】 mg 。1 - 2 ( t ：q ) z ( n 一1 ) ( t ) ，t t 2 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 彤印) 一删一型业稗产 一q c t ) 一m 9 n 一2 ( t ，a ) g ( t ，a ) w 2 ( f ) ( 3 1 2 ) = 一q ( t ) 一n ( t ) w 2 ( ) ，t t 2 ， 其中r ( t ) 由( 3 3 ) 定义 在t t 2 上对( 3 1 2 ) 积分产生 丘h ( t ，s ) q ( s ) d s 一eh ( t ，s ) w ，( s ) d s 一层h ( t ，s ) r ( s ) w 2 ( s ) d s = 日( t ：t 2 ) w ( t 2 ) 一疋h ( t ，s ) 厕w ( s ) d s 一丘h ( t ，s ) r ( s ) w 2 ( s ) d s = 日( “：) ( 哟一丘l 鬲匿厕w ( s ) + 芳l 如 + 正勰d s 因此，对t t 2 ，我们有 地牡f 卜s 俐一鬻 d s 0 ，砂( z ) o ；z 0 ，妒( z ) s 二一1 ，l 0 为常数； ( a 4 ) f c ( r ，兄) ，z ，( z ，y ) 0 ：秒，( z ，y ) o ；x y o ， ，( 茁( t ) ，z ( 丁( ) ) ) ( z ( t ) ) ，2 ( z ( 1 ( t ) ) ) ，k ( x ) k 1 0 ，笋 o ； ( a 5 ) 7 - c 1 ( ，r ) ；t j ，( z ) 0 ，t ( t ) st ：1 i r a7 - ( ) = 。； 。o ( a 6 ) g c ( r ：r ) ，夕( z ) 2c 0 ，z 0 ，c 为常数 最近，文【1 5 】建立了二阶非线性方程 r ( 亡) 砂( z ( ) ) z 7 ( t ) 】7 + q ( ) ，( z ( 7 ( t ) ) = 0( e 1 ) 的振动准则，显然方程( b ) 是方程( e ) 的特例 本章的目的是建立( e ) 的振动准则，我们推广了文【1 5 】中的结果 4 1 主要结果 定理1 ，设集合d = ( ，s ) l t s t o h ( t ，s ) c ( d ；r ) 满足以下条件： ( i ) ( t ，t ) = 0 ，t 芝t o ；h ( t ，5 ) 0 ，t s t o ； ( i i ) h ( t ，s ) 在d 关于s 的偏导数连续且非正； ( i i i ) 存在连续函数h c ( d ：r ) 使得一笔笋= h ( t ，s ) 万丽：( t ，s ) d 若存在函数 恕s u p 去f 阮s ) k , k 2 洲g ( s ) 老孚一掣魄s 耻s = 酬4 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 其中 q ( t f s ) = h ( t ，沪错面两( 0 1 ) ( 4 - 2 ) 则方程( e ) 是振动的 证明：反证法设方程( e ) 存在非振动解z ( t ) 不妨设z ( t ) 0 ，z ( 丁( 亡) ) ；0 ，t t o 由( a 2 ) ：( a 4 ) ，( a 6 ) 知【r ( ) 妒( z ( ) ) z 讹) 】7 0 又由r ( t ) 0 及( a 3 ) 知( ) 0 ： 故易知( t ) 0 令 哪) 刊咖她) 鬻 ( 4 3 ) 则 w 心) = 错w ( ) + p ( f ) 业错幽一幽哗学幽 = 错( t ) 一p ( ) g ( t ) 趔型俨一莉翮1 w 2 ( t ) 考虑到( a 3 ) ：( a 4 ) ，( a 6 ) ，我们有 w 他) s 错w ( t ) 一c j d ( ) g ( ) 丛警荤俨鸡铲一币南2 ( t ) 错w ( 幻一c p ( t ) g ( ) 甄帮一剥岛w 2 ( t ) 因为z 7 ( ) 0 ，由文【1 6 】中的引理2 1 知 对v k ( o ：1 ) ，3 t 芝t o ，使得z ( 7 ( 亡) ) 七华z ( ) ，t t 我们得到 ) 器w ( z ) 一c 以) 口( t ) k ，鲍七华一而w 2 ( 啦 ( 4 4 ) 显然，若t t t o ，则 e 日他s ) c p ( s ) g ( s ) k - 七华d s 一f th ( t ：s ) w 7 ( s ) d s j th ( t ，s ) 两毒两1 缈2 ( s ) d s 一辱错日( t ，s ) w ( s ) d s = h ( t ，丁) 彬( 丁) 一掣( s ) d | s f ch ( t ：s ) 币南渺2 ( s ) d s 一片错( s ) 幽 = h ( t ，丁) w ( 丁) 一片i 、( ，s ) 币知w ( s ) + 、出q ( t ，s ) 】2 d s + 辱壁幽4 l q 2 ( t ：s ) d s 则对t t ? i ：我们有 【日( f ，s ) c p ( s ) q ( s ) k ，虬尼华一掣q 2 ( t ，s ) 】d s h ( t ，t ) ( 丁) 一片f 、h ( ，s ) 不知w ( s ) + ； 坐q ( ，s ) 】2 d s 由( 4 5 ) 及( i i i ) 知，对t 7 1 ，我们有 f ( t ，s ) c p ( s ) q ( s ) k ，鲍七华一掣笋q 2 ( ，s ) d s h ( t ，正) l ( 互) lsh ( t ，t o ) 1 w ( 五) 1 ( 4 ，5 ) ( 4 6 ) 所以有 l u ( t ：s ) c p ( s ) g ( s ) k 尬尼孚一喘垃q 2 ( 亡：s ) 】d s 何( t ) 【舒p ( s ) q ( s ) d s + i w ( y , ) l + o c 而这与条件( 4 1 ) 矛盾故方程( e ) 振动定理证毕 4 2 本章小结 ( 4 7 ) 本章讨论了二阶非线性中立型分布时滞微分方程的振动性同样应用了p h i l o s 积分平均方法、g r e e n 公式、j e n s e n 不等式进行了处理，从而建立了方程振动的充 分条件。 黑龙江大学硕士学位论文 结论 本文主要研究三类具有连续型时滞非线性微分方程的振动性，分别是具有连续 分布时滞的非线性中立型双曲微分方程：高阶非线性中立型分布时滞微分方程：二 阶非线性中立型分布时滞微分方程主要应用了p h i l o s 积分平均方法、g r e e n 公 式、j e n s e n 不等式进行了处理：从而建立了三类方程振动的充分条件 自上世纪七十年代起，泛函微分方程振动理论得到了迅速发展我国对于微分 方程的振动性理论的研究是从上世纪八十年代开始的随着改革开放政策执行，我 国学术界与国外同行的学术交流增多我国泛函微分方程振动理论的研究队伍在国 际上迅速崛起，被国际同行称为中国学派九十年代，我国学者在国际上分别出版 了这一研究方向的专著，并且也经常被国外同行所引用此时，我国泛函微分方程 振动理论的研究水平已经达到了国际先进水平，目前振动理论的发展趋势是由对一 阶、二阶方程的研究转向高阶方程；由单个方程转向方程组；由离散偏差变元方程 转向连续分布偏差变元方程；由泛函常微分方程转向泛函偏微分方程总之，是由 相对简单的方程向更为复杂和一般的方程发展， 参考文献 参考文献 【1 w n l i ：b t c u i o s c i l l a t i o no f s o l u t i o n so fn e u t r a lp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s m a t h a n a l a p p l ：1 9 9 9 ，2 3 4 ：1 2 3 - 1 4 6 c 2 x l ，f u ，w z h u n g o s c i l l a t i o no fn e u t r a ld e l a yp a r a b o l i ce q u a t i o n s 【j 】m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 5 ；1 9 1 ：4 7 3 4 8 9 【3 】d d b a i n o v ，b t c u i ，e m i n c h e v f o r c e do s c i l l a t i o no fs o l u t i o n so fc e r t a i nh y p e r b o l i ce q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e 【j 】c o m p u t a p p l m a t h ；1 9 9 6 ，7 2 ：3 0 9 3 1 8 【4 p g w a n g ，c h f e n g o s c i l l a t i o no fp a r a b o l i ce q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e ( j 】 c o m p u t a p p l m a t h ，2 0 0 0 ，1 2 6 ：1 1 1 1 2 0 【5 】刘安平非线性中立型双曲微分方程的振动判据 j 】数学季刊，2 0 0 1 ，1 6 ：6 1 2 【6 j 崔宝同，俞元洪，林诗仲具时滞双曲型微分方程解的振动性质f j 】应用数学学 报，1 9 9 6 ：1 9 ：8 0 - 8 8 【7 】c h g p h i l o s o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f s e c o n d o r d e r 【j 】a r c h m a t h ，1 9 8 9 ，5 3 ：4 8 2 4 9 2 【8 】g s l a d d e ，v l a k s h m i k a n t h a m ，b g z h a n g o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s 【m 】n e wy o r k ：m a r c e ld e k k e r ，1 9 8 7 f 9 i y o r i ：g ，l a d a s o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha p p l i - c a t i o n s 【m 】o x f o r d ：c l a r e d o np r e s s ：1 9 9 1 【1 0 】l h e r b e ，q k o n g ，b g z h a n g o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sf m 】n e wy o r k ：m a r c e l ，1 9 9 5 【1 1 】r p a g a r w a l ，s r g r a c e ，d o r e g a n o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rd i f f e r e n c ea n d f u n c t i o n ad i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【m 】n e wy o