（基础数学专业论文）一类p阶laplace方程和渐近线性椭圆方程解的存在性研究.pdf

一类p 阶l a p l a c e 方程和渐近线性椭圆方程 解的存在性研究 基础数学 研究生张燕玲指导老师蒲志林教授 论文摘要：本文主要利用变分法，特别是山路引理研究了一类p 阶l a p l a c e 方程和渐近线性椭圆方程解的存在性及多解性在第 二章中，通过运用m o r s c 原理及构造局部环绕，研究了加权p 阶 l a p l a c e 方程- a 。u = 五lh ( x ) i u i 嵋u + f 伍u ) 的多解存在性利用山路 引理及集中紧性原理，针对非线性项厂( 工，t ) 关于t 在无穷远处是渐 近线性的情况研究了方程- u = f ( x ，u ) 在无界区域上弱解的存在 性 关键词：山路引理：d i r i c m e t 问题：渐近线性；集中紧性原理；共 振问题：局部环绕 第l 页 t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fo n e e l l i p t i cp r o b l e mw i t h p - l a p l a c i a na n da na s y m p t o t i cl i n e a re q u a t i o n m a j o r f o u n d a t i o n a l m a t h 即a a t i c s w r i t e r ：z h a n g y a n l i n gs u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rf a z h i l i n a b s t r a n ：t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yf o ro i l e n i p 血p r o b l e mw i t hp l a p t a c i a na n da l la s y m p t o t i cl i n e a re q u a t i o nb y v a r i a t i o n a lm e t h o d s e s p e c i a l l yt h em o u n t a i np a s sl c m m a mc h a p t c r 2 ，i ti sp r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sm a n ys o l u t i o n so ft h ep - l a p l a e i a n e q u a t i o ns u c ha s - a ，u = a ah ( x ) l u ? 2 u + f 伍u ) b ya p p l y i n gm o n e t h e o r e ma n dl o c a ll i n k i n g i nc h a p t e r3 o i r i n t e r e s t 酬t c h 鹤t o a n o t h 盯s i t u a t i o ni nw h i c ht h en o n l i n e a r t e r m 厂( x ，t ) i s a s y m p t o t i c a l l yl i n e a ri n r a ti n f i n i t yb ya p p l y i n gt h ec o n c e n t r a f i o n , - c o m p a c t n c s sp r i n c i p l e t h ee x i s t e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o no ft h e e q u a t i o n 一u = f u ) i so b t a i n e d k e y w o r d s ：m o u n t a i np a s s l e m m a ：d i r i c h l e tp r o b l e m ； a s y m p t o t i c a l l yl i n e a r , c o n c e n t r a t i o n - e o m p a e m c s sp r i n c i p l e ；l o c a l l i n k i n g ；r e s o n a n tp r o b l e m 。+ + 第页 t 匹t i l 师范大学学位论文独创性 及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在翩敏基指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而弓 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：皓壶论 跏7 年r 月汀日 引言 偏微分方程( p d e s ) 广泛来源于物理学以及其它各门自然科 学和技术科学，它反映了有关的未知量关于时间的导数和关于空 间变量的导数之间的制约关系连续介质力学，电磁学，量子力学 等方面的基本方程都属于偏微分方程的范围。最初，人们只是将 弦线振动问题和力学中的一些问题归纳为偏微分方程进行研究。 髓后，人们又陆续了解了流体的运动，弹性体的平衡和振动，热 传导，电磁相互作用，原子核和电子相互作用，化学反应过程等 等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求 出了典型问题的解，从而能够通过实践验证这些基本规律的正确 性，显示了偏微分方程对于认识自然界基本规律的重要作用 根据不同方程所特有的性质和理论，偏微分方程可以分为椭 圆型方程、双曲线方程、及抛物线方程三类本文主要讨论非线 性椭圆型偏微分方程随着椭圆型方程理论的越来越全面化、系 统化，讨论的微分算子形式也越来越复杂化p 阶l a p l a c e 算子的 引入将椭圆方程的研究推向了更为广阔的天地形如 。= d i v f i v u l ”v u l 的微分算子称为材的p 阶l a p l a c e 算子由于 、 ， 从二阶变为了p ( p 2 ) 阶，方程所在的空间也从r 变为f ，空间 性质的不同导致原来许多成熟的二阶方程理论不能直接应用到p 阶方程上来，这使得近几十年来方程方面的学者特别关注该领域 理论的研究，这方面的研究发展十分蓬勃 山路引理及其变体形式被成功地应用在处理有界区域上次临 界增长的非线性椭圆型方程的弱解存在性及多解问题。使之成为 毕业论文 引言 解决这类问题的有力工具。这期间p 阶l a p l a c e 算子理论也得到了 长足的发展，逐步完善起来。我们知道，要在证明有界区域上次 临晃增长的非线性椭圆方程解的存在性的过程中能够应用山路引 理，必须首先满足山路引理所提出的条件；p s 条件、，( o ) = 0 、正 和l 条件。然而，实际问题中的方程只有很少部分能够完全满足， 但相对于之前确实有许多有意义的结果 9 1 5 3 值得注意的是，a m b r o s c 吐t i 和r 曲i n o 丽t z 在提出山路引理的过 程中，一直强调方程的右端项f ( x ，“) 必须满足( a r ) 条件：存在 0 和r 0 ，使 o 0 。z e r 4 ， “( 一o ，m 一棚 进行研究。通过选取适当的空间及利用集中紧原理，得到了一个 无界区域上的紧性。再利用变形的山路引理，从而得到该类方程 弱解的存在性。 4 毕业论文 第一章基础知识 在整个椭圆方程解的研究进程中一个重要的里程碑就是 s o b o l w 空间的引入。1 9 3 0 年中期，s l s o b o l e v 定义了一个全新 的函数空间s o b o l e 、，空间，还给出了证明它要用到的s o b o l e v 嵌入定理，参见【文1 、2 1 。 定义l ：设七是非负整数，p 1 ，q 是掣中的开集。我们称 集合 形( q ) ；d 4 f ( q ) ，对满足h s 柏g 任意口 赋以范数： r、石 t 砷2 【l 驴h 后得到的线性赋范空间为s o b o l e v 空间k p ( q ) 。 可以证明：w k p ( q ) 在上述范数下是一个b a n a c h 空间当 p = 2 时，常将矿( q ) 记做日( q ) $ o b o l e v 嵌入定型嘲设q c f 为一个有界区域，l s p s + ， 我们有： w ( q ) 嵌入 l q ( n ) 胚g s ，2 嚣小厅 d ( q ) ，1 s g s 佃，p = n r ( 五) ，o 矧一；一 这是s o b o l e v 空间理论中最重要的定理，其证明可以参见文 【5 】 另外，关于s o b o l e v 空间中各种范数的一个非常重要的不等式 这里也要提到。p o i n c a r _ 吉早在1 8 9 4 年提出的p o i n c a 描不等式( 文【4 】) 5 毕业论文 墨二兰垩壁塑堡 在s o b o l e v 空间理论中得到了广泛的应用。 定理1 3 2 ( p o m c a r 6 不等式) 【5 】设1 p o ： ( 五) 存在p e - 影( o ) 使得，( e ) s o 。 则i 有一个临界点c 口，并且c = i n 。m 。a 。x i ：yt ) ) ，这里 r = p c ( 【0 ，1 】，r ) ：r ( o ) - - o ，r ( 1 ) f f i e 6 毕业论文 第二章一类带共振问题的p 阶l a p l a c e 方程的多解 存在性 2 1 引言 本文考虑一类带共振问题的加权p 阶l a p l a c e 方程 j 。a p u = 办h ( x ) i u p u + f ( 墨u ) u 日妒( q ) ，( 2 1 1 ) 卜i 豫；0 其中n 是r ，中的一个区域，i q l g o ，2 o ，s 上o ( ，) i 南对 v o s r ( ，= 即成立 i ( x ，r 1 是一个c m a l h & ，d o r y 映射，满足次临界增长 l ，( 列) l s c ( 1 + 旷) ，v x e o t e r ( 2 1 2 ) 其标卜o 对于共振问题，有许多文章p 2 h 3 9 】f , 作出了研究t o f m m a j 3 s 研 究了一类接近共振的p 阶h q , l a c e 方程解的问题当 ，( j ，) = 口( x ) g ( “) + 厂( 工) 时，g u s t a v o ，g 曲r i e l 嗍研究了( 2 1 1 ) 的弱解存在性c 0 a l v 锚p 9 】也研 究了( 2 1 1 ) 多解的存在性，得f ht - - 个非平凡解，并研究t - - 个解的 正负取值本文与文p 9 】的不同性首先在于映射f i x , u ) 的假设条件不 苎三兰= 茎登茎堑塑望箜! 堕型竺! 查堡堕墨坚堡垄竺 同从而研究方法也不同文【扣1 主要运用山路引理及e l d a n d 交分原 理：本文主要是利用m o r s e 理论及局部环绕理论来解决多解的存在 性 本文利用 3 3 】中的有关结论来得到方程( 2 1 1 ) 的多解存在性 本文的部分思想来源于 3 5 ，3 s 本文的安排如下：第二部分给出必要的定义、定理，以及本文 结论，第三部分给出证明结论所需要的引理并证明本文结论。 2 2 预备知识 通常，寻求方程( l 1 ) 的弱解可归结为求c 1 泛函 ，o ) = - ) l i v ”i 出一軎而( 圳“i 一础一，( 毛材) 如 甜e 硪( q ) ， ( 2 2 1 ) 的临界点。其中f ( 与f ) = i ( x ，5 ) 丞。 定义范数 8 ”8 = ( l 刚出) 乃， 硪( q ) 0 ”l l ( n 加= ( l 厅m 出) 力， ，( q ) 其中e ( n ，们表示加权的l e b e s g u e 空间 本文中 为 - a = a j l ( 工) i f ”2 虬e 础9 ( q ) ( 2 2 2 ) 的特征值在3 2 l 中, a l l e g r e t o e t a l 得出了问题( 2 2 2 ) 有一系列的特征 值o 0 ，并且 对任意的的邻域n ，存在着占 o ，以及连续形变节：e x 【o ，l 卜 e ， 使得 ( i ) 玎( “，f ) = h 当f = o 或”仨厂1 lc - - 占，c + fl ； ( 赶) ，仞( “，r ) ) 对t 不增，当v u e e ； ( i i i ) ，7 l ，”、n ) c j 我们称j 满足d 条件，如果j 对于所有的c 震满足n 我们称j - ：研9 ( q ) 啼r 满足p s 条件是指：若任意 虬c 崩9 ( q ) ，且 ，( ) _ c ，( ) 寸o 则”。必有收敛子列显然，满足p s 条件则可以满足d 条件 设j 满足d 条件，取珥 0 ，2 p n ， ( 2 2 4 ) 引理2 2 1 3 3 ”如果h 满足条件a 田，2 p n ，那么d ( 1 到 l p f r n , h 1 是紧嵌入的 我们知道，当q 为有界区域对，d i 一( q ) = 磁9 ( q ) ，则有 研( q ) 到f ( q ，i l ) 也是紧嵌入 引理2 2 2 f 3 5 】设x 为实的b a n a e h 空间j c l ( x ，r 1 满足d 条件且下方有界如果j 有一个同憝非平凡极值点并且不是最小点， 那么j 至少有三个极值点 命题2 2 3 3 6 1 假设j 有极值点”- - 0 ，使得，( o ) = 0 。如果j 在0 处有局部环绕：对于空间x = 矿0 矿。k = c y m a v o , s j ，( “) s o ，u e v ，l i d o ，甜e 矿，o 0 ，以及五 a a ，使得 础r p f ( x , t ) a t 1 9 ，f r ，i t 0 ，使得 f ( ”) 吉( 一洲+ c ，v 愀，h q ( 2 3 6 ) 因此，由引理2 2 1 及p 。i n c a 砖不等式，对于群剜一( q ) ， m ) 。i 1 舯陋軎酬l 一妇一f ( 训皿 2 扣r 一譬一刍( 五一洲纠q ! 圳一等弓等州 = 刍h 嘞”i i 一c l q l p l j ” 任取占 q 砰可得，当1 1 1 l - * 时，- ， ) 一螂 ( i i ) 由引理2 3 1 及( i ) 即得，( h ) 满足p s 条件 第二章一类带共振问题的p 阶b 皿m 方程的多解存在性 引理2 3 3 如果f 满足f o 及6 ，那么对于霹( q ) 。矿ow ，k 2 d i mv = 1 。j 在原点处有局部环绕( 2 2 5 ) 证明( i ) l r u 仨矿由于v 是有限维空间，故由0 i t l l p ，可得对 b _ q ，p 0 ，有卜( x ) b ，因此当肛l s p ，由( 最) 可得， j ( “) = 石1l l v l ，出一軎l ( 刮“r t t 凼一f ( 毛甜p = j q f ( x ，) 威 s 0 ( i i ) 取“e 矽，f l ( 2 1 2 ) ( 2 2 3 ) 及( 2 2 4 ) 式，在w 中，取“= w ， 故有 - ， ) = ，( w ) = 吉l i v 叫出一軎l ( 工) i 叫川诎一f 似，弦 2 吉c l 叫一上，( 而砷斑 = 刍蝴v 叫9 训) 凼一k b 小钞卜 一k 卜小扣卜 2 古( c 一委 o 甜u 9 一c l l f c 幻2 刍( c 一要) i 扣旷一c ! 卜 ( p s 0 ，o 0 ，工e r ，( 3 1 1 ) “( 力_ o ，h 专+ 这里我们要求f ( x ，t ) 满足f 列条件： 奶) f ( x , t ) e c ( r x r ) ，且对所有了r ，满足厂o ) e o ，当 t 0 时，f ( x ，f ) 2 0 ( 0 ) ，t 茎o 时，f ( x ，t ) l o ( ) 对几乎处处的石e r ，譬堕关于f o 单调不减 氓) 嘞华= p ( 力，熙华= g ( 力声o 对x 一致成 立 其中o s p ( 功，q ( x ) g f f ( r ) ，且i p ( 】0 l o o 为( - a ，日1 ( r ) ) 的第一特征值此时，我们称，r ) 在无穷远处关于t 是渐近线性 的 众所周知，寻求问题( 3 1 1 ) 的非平凡正解的问题可以归结 为寻求泛函 j ( ”) = 告li v ”1 2 d x l ，( x ，“) 出， ( 3 1 2 ) f 缸，o = r f ( x , t ) d t 的非负临界点 我们知道，1 9 7 3 年a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 在著名的文献f 8 1 毕业论文 苎三童竺竺塑堑垡丝! 型竺! 查里里竺箜查垄堡 中所提出的山路引理是一个解决椭圆方程弱解存在性的重要工 具，但在应用中需要非线性项，o ，f ) 满足一个技术性条件，我们称 之为a r 条件，即存在某个常数日 2 ，和m 0 ，使下面不等式 成立 0 1 问题( 3 1 1 ) 没有正解 ( i i ) 如果a ( 1 ，问题( 3 l 1 ) 总有正解 ( i i i )如果 - - 1 ，问题( 3 1 1 ) 有正解“h 1 僻”) 的充要条件是 j c o ，使得= c 吼，且在q 中几乎处处有 f ( x ，“) = g ( x ) u 成立，这里纵( 曲为极小化问题( 3 1 3 ) 中a 所 达到的函数 定理3 2 2 如果条件u ) 一嵋) 成立，如果g ( x ) = 佃，f ( x ，“) 满足条件 存在某个常数。，曩j ( 2 ，号笔 ，当 2 日寸，使得 i ( 2 ，+ ) ，当n = 1 2 时 ，憋鲁掣；o 关于善_ 致成立，则问题( 3 1 1 ) 至少有一 个正解 关于函数f ( x , t ) 满足“) 一瓴) 例子我们可以参见文【4 6 】及 文【1 4 】 引理3 2 3 1 4 s 1 绽1 p ，i s q o ，有 1 7毕业论文 蔓三兰竺竺塑丝丝堡垒2 1 竺! 竺垩墨堕要垄堡 ! i r a s u p el ( 力l u i q = o ，那z - 专。在f ( r ”) 中强收敛，其中 q o ，存在r 0 ，满足 j l i ( h ) 成( 工净h 吖 ( 国 消失：对任意固定的多 o ， 熙s u p ，。k 岛o 净2 0 o f f ) 二分性：存在u e ( o ，使对任意的占 o ，存在 m o 1 磁，群e 卫( r ”) ，对历m o ，满足 h 一( + 露。，i 占， l l 啪一口i o 在q 中几乎处处成立 证明首先证明a 0 由人的定义可知a 0 若a = 0 ， 则有v o ， 上。l v “f 出 0 ，使得 毕业论文 墨三! 竺塑塑望垡堡! 苎坚竺查里垩竺墼登垄堡 l 叮( z ) 蠢( z ) 凼m l ( 力玉s ml l 砒( 工) 1 2 出占 若取占= 丽i ，得到矛盾 故a 0 下面需证极小化问题a 可以达到即j 纵俾”) ，使得 i i v 吼1 2 d x = a ，且工，q ( x ) q 嚷( x ) d x = 1 对于满足 l g ( 工) 矿d x = l l 均u ，“力= ( a 力满足l 。q ( x ) u 2 出= 五，从而 = 充t 碍- 锻 c a 约，d 奄耳i ：+ l ：。， 设 材。 是极小化问题( 3 1 3 ) 的任一极小化序列，则 在日( r ) 中是有界的 不妨设存在ei - 1 1 僻“) ，使 “l 于h 1 ( r ”) 中弱收敛， “于吃饵。) 中强收敛 现令以( ，) = i 伽r + 疋 则 l 几( x ) 斑= l ( i 砜1 2 + o ) 矗山o r 若= o ，则有已o 于僻”) ，故有【，g ( 咖：出l o ， 此与l g ( 刁出= 1 矛盾故z o 下面排除消失及二分性 ( i ) 如果消失发生由引理1 1 ，有l o 于f ( r ”) ，2 p o ，r 0 ，民l + ，当 柳时， 硝印小口卜 d “：m 州一沁g ) i 暑以及 i 焉厶( 叫2 斗刊 事虬删；矿睁卜弘善x - y = ， 从而 0 i 甄f * l ( i d 砖，f + l d ；攀 2 l 工，g ( 聋k 出* l 鼋( x ) ( 嘏2 d x + 。口( 工) ( 毋) 2 出 圳钆1 2 - i 硝，1 2 - l 吣，忡 = f ( 叫2 一l 蹦，f 一憾1 2 ) 出 焉牵一h 阪、 c j 阮1 2 d x s c fp - ( x ) d 苇 c g ， 焉牵一k 以及 l l g ( x ) 一g o ) ( 嘏) 2 一日( x ) ( 砰) ) 2 i c k 1 2 出 c 占， 岛日隅 2 0 毕业论文 第三章l 一的渐近线性b 阱a 方程正解的存在性 又因为 f 坩2 l l 砜f l ( i 趟f + f 硝1 2 ) 哪 2 码+ 强哪专乓+ 五一c f ，m _ 其中疋= 工。g ( 工) k f 出，五= 磐，i = i , 2 ， 显然0 - 0 ，同理可证五 0 从而有 r 巧+ 五，a + 五。l ，此与e ：a 1 r 矛盾 故由第一集中列紧原理，可得“( 善) 是紧的因此 山“ 于三2 ( )佃) ， 故l r ，g ( 善2 蠡= 1 i r al g ( 磅之玉= 1 从而有极小化问题( 3 1 3 ) 是n - - i 以达到的 2 1肇业诒童 苎三皇! 竺塑望堡竺! 竺! 苎! ! 查里里竺盟堡垄竺 由此可知，人= f 0 ，并且有吼( x ) eh 1 f r ”) ，使得 l i v 纵( 刮2 出= a ，且工，q ( x ) 戎( x ) d x f f i l 由强极值原理，可得( x ) o 在r 中钆e 成立 另外，为了寻找，( ”) 的极值点，我们要用到文 s o j q n 所用的 山路引理的变形 命题3 2 6 设e 是实的b a n a c h 空间，其对偶空间为f ，设泛函 j c 1 ( e ，r ) ，满足 如下条件 ： m a x j ( o ) ，( 甜) ) s 口 o ，使得，( ) ，对于所有h 1 ( r ”) ，且l l u l l - - p ( )若a o 由引理3 2 5 给出 若g ( x ) z 佃，则，( 奶) 屿一，仍为暑对应的特征函 数 证明 ( 。)由( 石) 及( 五) 可得，3 m 0 ，使得 x r ”，f 2 0 ， m t ，对 毕业论文 则p ( 列) | s 等f 2 ，以及卜ks ， j ) = 圭l i v “f 凼一，f b 掰) 蠡2 吾l i 乳f 斑一等工, v u 2 出 膨土1 一w 土 。 三l l v 村1 2 出一手l i v 1 2 斑= r 互【，f v ”1 2 办 取m o 。使得m 占 时 | ，( 墨r ) | 2 r 1 令q = b l x e ，抬( x ) 砖，刚有f 啼佃时，l 、q l _ o ? 【，( x ，把( 工) ) 出2l f ( 毛r e ( x ) ) 凼+ l 帆，( 而地( x ) ) 斑 毕业论文 第三章r n 的渐近线性l a p h 方程正解的存在性 三占，i 佗( 工) 1 2 出+ ，岫，( 五陀( 工) ) 出一i 1s l 峨i 旭( 刮2 出， 二，( 蜀据( x ) ) 出芎i 占l 弦( 工) f 矗+ o ( 1 ) ， 7 - ，( x ) ) s 丢l i v 据( x ) 1 2 出一云l l 讹( 圳2 凼 取s 即有当，专佃时，( x ) ) _ 嘲 故结论( 6 ) 在g ( x ) ；+ m 时也成立( 也可参见文【4 5 】) 引理3 2 8 对定义如( 3 , 1 2 ) 的泛函j ，如果当 一懈时， ( ，( ) , u n ) o 则对 ) 的某个子列( 仍记为 ) 以及任 意f o ，成立，( ) s 与 + - ，( ) ，对所有的n 1 证明可参见文f 1 4 1 3 3 定理的证明 定理3 2 1 的证明( i ) 如果问题( 1 1 ) 有正解，那么由条件) 一 瓴) ，有 工。i v “1 2 出= c 。，( 毛“) 础= l 笔盟“：出s ，g ( 善) 矿凼 从而有人i ，矛盾故定理3 2 1 的( i ) 得证 ( i i 、由于a 1 ，由引理3 2 7 ( 口) 和( 6 ) 可知能够找到充分大的 t o 0 ，使得，( f o 吼) o ，再由命题3 2 6 可知存在序列 ch 1 震”) ，使得 ，( ) = 吉m f 一。，( x ，( x ) 皿= c + o ( 1 ) ( 3 3 2 ) 2 4毕l k 论立 苎三兰! 墼塑堑整丝望型竺! 查墨垩竺竺壹垄堡 0 - * b ”1 1 ) 肌, j 叫h 矿) 与o ，一哼佃 ( 3 3 3 ) 显然由( 3 3 3 ) 式可得 ( ，( ) ，) = l l v “f 出+ l 厂( 五h 矗。o ，一- 棚 ( 3 3 4 ) 下面我们需要证明的是 在日( ) 中有界显然此时在无界空 间中s o b o l e v 嵌入失去紧性，但我们可以利用文【4 7 】中的几乎处处 收敛，以及文【4 6 】中的方法，来得到一“于日j ( r ”) 中强收敛， 则有一( 。 子列强收敛到泛函，的一个临界点从而结论得证 运用反证法，可以假设l h i 一佃，雄_ 佃，假设 嚆，蚺心= 眚，嵋= 酱， s 显然嵋在月1 ( r ) 中是有界的，通过选取予列可以假设存在 w e 口1 ( 只”) ，使得 岷山w 在f ( 最) 中弱收敛，刀呻佃， w i l w 几乎处处在r ”中( 参见文【4 7 】乓i ) 。 以及w i 山w 于毫氓”) 我们可以断言不恒等于0 由“) 及( 石) ，谢，0 ，使得对所有x e r ”，t 2 0 ，成立 幽s 肼 1 ，i 若w = 0 ，在吃但”) 中，w l 山o ，由( 3 3 4 ) 式及( 3 3 5 ) 式， 有 和。k 蛾矗+ o ( 1 ) s mk 蠡+ o ， 以佃 叱 此式与c 0 矛盾，所以w 不恒等于0 下面我们还需要证明w 满足下列等式 墨三兰些箜塑墨垡丝! 竺堕查堡至笙竺堡垄丝 ，( w v q , 一9 0 ) w p ) d x - - 0 ，对所有伊h 1 ( r ”) ， ( 3 3 6 ) 令见( x ) = o , 当x e f ，( x ) o 掣强削删 。 擘7 由( z ) 及“) ，同样有o ，( x ) m ，在r ( r ”) 中，选取适当的 子列_ i l ( x ) ，使得见山 在r ( ) 中，且在r ”中几乎处处有 o h ( x ) m ，对所有尹r ( r ”) ，由w | 山w 于瓦( r ”) ，有 【，见( x ) ( x ) 尹( x ) 出= l ，岛( x ) 嵋( x ) p ( 工) 凼 三， ( x ) w + ( x ) 妒( x ) 出 ( 3 3 8 ) 又因为 a 嵋) 在r ( r ”) 中有界，从而有以嵋与 w + 弱收敛于 r ( ) 由( ) 6 ) l ，o ，以及l ，+ ，对v 缈( r ”) ，有 队v 眦矿列2 ( ，( 训2 静) 8 ( ) o o ( 一哼懈) 故而由( 3 3 8 ) 式和嵋山w 在h 1 ( r ”) 中弱收敛，有 l ( 既v p 一见( 工) w + 伊) 出= o ，对v 矿eh 1 ( 置”) ， ( 3 3 9 ) 在上式中令妒= w _ ，显然有0 矿8 = o ，从而在中有w ；矿o 由强极大值原理，有w ( x ) o 在中几乎处处成立 又由于- 佃，且在r ”中几乎处处有心q w ，因此由 ( 3 3 5 ) 式可得 若w ( 工) o 几乎处处在r ”中，则有二号斗几乎处处在r ”中， 毕业论文 第曼章p 的渐近线性l 印1 8 方程正解的存在性 故：骢鼍掣= g ( x ) ，因此g ( x ) ； ( 工) 所以( 3 3 9 ) 式变形为 l 上，( v v 尹一磊( 工) 妒玲i 三0 令w = 矿= 豁，有 l ( 1 甲 2 - q ( 工) 9 2 净= 0 此与人 o ，对所有v 日1 ( r ”) ，使得 l = lv ( x ) 聊( x 净= l g ( 工) 钦仁) v ( x 净， ( 3 3 1 0 ) 因此如果是问题( 3 1 1 ) 的一个正解，则对上述的纵，有 lv ”( x ) v 双( 工净= l 厂b ( x ) ) 吼( x p ( 3 3 1 1 ) 在( 3 1 0 ) 中令v = “，以及( 3 1 1 ) 式我们有 工。g ( 膏) “双( x k = ，钆( 工) v 钦( x 净= l 厂o ，h ( x ) ) g 净 由此可锝l ( 厂g “o ) ) 一g o ) 鄞) 纵斑= o ，由于吸在中几乎处 处 0 ，以及由( 五) ( 五) 可得，( x ，) g ( x ) ”， 则必有，( 工，甜( ，) ) 一g ( x ) ；o ，在r ”中几乎处处成立 i s u 0 也为a = 1 所达到的函数，故由文【4 9 】定理2 的证明可知一 定存在常数c 0 ，使得“= c 吼反过来，若有常数c 0 使得 u ( x ) = c 吼( x ) 且在r ”中几乎处处有厂( 工，c 纵( x ) ) = 凹( 工) 纵( 力， 而魄( x ) 也为所达到的函数，故当a = 1 时，“= c 纵也是问题 ( 3 1 1 ) 的一个解证毕 定理3 2 2 的证明由于g o ) 一+ ，将( 3 3 1 ) 式中的吼替换成仍， 同样定义( 3 3 1 ) 式中的c ，利用已得引理3 2 7 0 ) ，类似定理3 2 1 的( i i ) 可以找到序列 c 1 ( ) ，使得( 3 3 2 ) - - ( 3 3 4 ) 式成立同 样，现只需证明 在日1 ( r ”) 中有界类似定理3 2 1 ( i i ) 定义， 毕业论文 蔓三兰些竺塑堡堡丝! 竺! 竺! 互堡垩竺墼至垄堡 同样有，当一一枷时 嵋当矿在日( r ”) 中弱收敛， w ：一w + 几乎处处在中，以及嵋l w + 于毫( ) 若 ) 在日1 ( ) 中无界，可设4 山栅，o 斗佃) ，下面我 们将证明w + z 0 令q 。= x 肜，w + ( x ) = o ，q ：= x r n , w + ( x ) o ) 由( 3 3 5 ) 式，4 - l + 在q 2 几乎处处成立，又由q ( x ) z + ， 则有! ：竺掣三_ 哼+ 关于工q ：几乎处处成立由( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ， “。 我们有 4 c = 规坩u = 熙l 掣2 出 乏溉j 1 2 逸2 出一佃 o 专佃) ，如果研q 2 o 的话 因此可得小q ：= 0 从而在中恒有w + s 0 但是如果w + e 0 ，则有坚l f ( x ，嵋( z ) 净= o h 故有，( ) = 妻0 l f + o ( 1 ) = 2 c + o ( 1 ) ，( 以啼+ m ) ( 3 3 1 2 ) 利用慨0 三- + 及( 3 3 5 ) 式知已呻o ( n _ 佃) ，因此由引理 3 2 8 及( 3 3 2 ) 式有 j ( ) = ，( 乙) s 等+ 巾。) c o ( 3 3 1 3 ) 从( 3 1 2 ) 署1 1 ( 3 1 3 ) 我们得到了互矛盾，因此 在日1 ( ) 中是有界 的故而定理3 2 2 得到了证明 毕业论文 参考文献 【1 】s l s o b o l e v o nat h e o r e mo ff u n c t i o n a l 缸a l y s i s j 】m a t s b ， 1 9 3 8 ，4 6 ：4 7 1 - 4 9 7 r u s s i a n ；e n g t r a a s l , a m c r m a t es o c t r a m s 1 9 6 3 ，3 4 ( 2 ) ：3 9 - 6 8 【2 】s l s o b o l f f , e a p p l i c a t i o n s o ff u n c t i o n a l a n a l y s i s i n m a t h e m a t i c a lp h y s i c s m 1 z d a t l e o i n g r a d c o s u n i v 。1 9 5 0 【3 】r 九a d a m s s o b o l c v s p a c e s m n e wy o r k - s a n f r a n c i s c o - l o n d o n ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 5 【4 】h p o i n c a r 6 s u rl e se q u a t i o n sd el ap h y s i q u em a t h e m a t i q u e j 】 r e n d c i r c ，m a t p a l e r m o ，1 8 9 4 ，8 ：5 7 - 1 5 5 【5 】伍卓群，尹景学等椭圆与抛物型方程引论【m 】科学出版社， 2 0 0 3 【6 】vgm a z y a s o b o l c vs p a c e s m s p r i n g e r - v e r l a g , b e r l i n , 1 9 8 5 用d 1 乙a d a m s ，l i h e d e b e r g f u n c t i o ns p a c e sa n dp o t e n t i a l t h r y 口垌s l ，r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n , 1 9 9 6 8 】aa m b r o s e t t i ，p h r a