（机械设计及理论专业论文）滚动轴承早期故障诊断的循环平稳方法初探.pdf

摘要 滚动轴承早期故障诊断的循环平稳方法初探 摘要 f 滚动轴承广泛地应用于各种旋转机械中，作为关键部件，其运转状态 足否良好直接影响整台机器的性能好坏。对滚动轴承故障诊断技术，尤 其是早期故障诊断技术的研究具有十分重大的意义。由于振动信号的传 输通道异常复杂，而轴承早期故障信号又非常微弱，故障信息通常容易 受到噪声信号的干扰甚至是淹没在环境噪声中。循环平稳信号处理方法 研究的兴起，为旋转机械故障特征提取提供了一个全新的研究方向。由 于循环平稳信号处理技术近年来才得到重视，而将其应用于故障诊断的 研究在国内外更是凤毛麟角，前人可供参考的文献很少，所以大部分工 作都是从最基本的定义开始的。) 本论文将研究一阶、二阶的循环平稳信 t号处理技术及其在滚动轴承早期故障诊断中的应用，为下一步引入高阶 循环统计量及高阶谱奠定理论和实践基础。 f 本论文的主要工作和成果如下： 1 研究一阶循环平稳信号的定义、性质并引入同步平均的计算方法；用 数值仿真计算讨论和分析了同步平均的特点，证明它是从混有噪声干 扰的信号中提取周期性分量的有效方法；最后结合a c m c c o r m i c k 及 a k n a n d i 等人实验分析结果，探讨了同步平均在滚动轴承早期故障 诊断中的应用前景。笔者认为经过同步平均后，轴承信号中的故障信 息和其它噪声都被除掉了；同步平均的特点限制了它在滚动轴承早期 故障诊断中的应用。 2 研究二阶循环平稳信号的定义、性质；实现循环自相关函数和谱相关 密度函数的算法；它与w i l l i a ma g a r d n e r 、p a n d ys r o b e r t s 等人的 算法不同，导致两者不同的根本原因是两种算法所依据的定义公式不 同，所以它们的结果会有一些差异；文章中讨论和比较了这两种算法 j 型堑垂盆u = 臼血上羔盐厶盆立摘生 所得结果的不同之处，并得出结论：定义和算法的差异并不影响对循 环平稳信号的分析。 3 发现二阶循环平稳信号处理技术可以提取调幅、调频信号中调制信号 的频率。通过使用二阶循环i f 稳信号处理技术将调幅、调频信号从原 来的频率i f 而( 功率谱) ，扩展到频率一滞后平面( 循环白相关函数) 或频率一循研、频率平面( 谱相关密度函数) 进行分析，可以提取隐含 在功率谱i t i 的调制信号频率及其谐波分量，并以循环频率的形式j 现。或者说二阶循环平稳信号处理技术具有类似希尔伯特变换的解调 功能，但是，两者提取调制信号频率的方法是不同的，所以它 i fj 的解 凋结果只是相似，并不完全相同。特别地，使用传统的希尔伯特变换 对调频信号作包络解调，并不能提取调制信号的频率或谐波。 4 建立了滚动轴承外圈、内圈早期故障模型，利用传统的软件包络解调 及二阶循环、f 稳方法对轴承故障仿真信号进行处理和分析，可以看到 循环自相关函数和谱相关密度函数能有效地提取轴承早期故障特征。 5 将_ 二阶循环甲稳方法用于分析实际的轴承信号，证明本文建立的轴承 芦期故障模型及其分析的正确性；同时证明二阶循环平稳方法在故障 特乱l i 提取方面的有效性。并通过与传统的功率谱、软件包络解调法相 比较，证明谱相关密度函数在提取滚动轴承早期故障特征方面具有更 加优越的性能江卫一l 一 廊在本实验室轴承实验台上采集大量滚动轴承振动信号；通过对轴承振 夕动信号的分析和处理以及与传统的功率谱、包络解调法相比较，证明 滚动轴承早期故障特征提取的二阶循环平稳方法的有效性与优越性。 0 ，存在一整数瓦0 ) 0 ，且瓦g ) 具有以下性质：在实 轴( r ) j ：的任何瓦0 ) 0 问隔内至少包含有一个点r ，使得 l 、 l s u p l - ，( ，- t - r ) 一厂( f 】cs ( 3 1 ) f ll 显然，具有周期瓦的周期函数是几乎周期函数的子类，因为只要选择瓦( s ) = 兀， 则在长度为t o 的间隔内一定存在点r = 瓦( k 为整数) ，使得( f + r ) 一厂( ，) = o ，v t ， 成萨。 定义3 3 ”( 离散几乎周期函数) 个离散函数厂l ”z 是n 的离散几乎周期函 数，若可以找到一个与之对应的连续几乎周期函数厂( ，) ，使得厂0 ) = 厂0 l ”e z 。其 中z 表示整数集。 例如离散时间信号c o s ( n ) , n = 1 ，2 ，3 ，由于c o s t 是一个连续周期函数，由定义3 2 海变通人学顺i j 学位论艾第三章一阶循环、i ，稳信j 处理理论 可知它是一个连续几乎周期函数，所以c o s ( n ) 是- n 的离散几乎周期函数。 定义3 - 4 f ”( 几乎循环平稳过程a h n o s tc y c l o s t a t i o n a r yp r o c e s s e s ) 一个随机过程 z ( ，) 称为是女阶几乎循环平稳过程，若其到 阶的各阶时变累积量存在，并且都是 如定义3 3 所描述的几乎周期函数。 容易看出，循环平稳过程和几乎循环平稳过程的根本区别在于：前者的时变累积 星是时间的严格周期函数，而后者的时变累积量则为儿乎周期函数。在这个意义上， 循环平稳是几乎循环平稳的一年哼，特例，几乎循环平稳是循环平稳的推广。所以对于我 们在实际中测得的离散信号，若称它是( 女阶) 循环平稳的，是指它是一个几乎循环 平稳信号，即广义的循环平稳信号。 综上所述，一阶循环平稳信号是指均值呈周期或多周期变化的信号。本章只讨论 阶循环平稳信号处理理论。 3 2 一阶周期性 w i l l i a ma g a r d n e r 在文献 6 4 1 q j 定义了信号的一阶周期性：设信号x ( f ) 含有有限 强度的加性正弦波成分，即 x ( ，) = a c o s ( 2 x a t + 曰l o f 0 ( 3 2 ) 则其傅市叶系数为 m ? = = 0 ，a 0 ( 4 2 ) 其f 】r ? ( r ) 称为循环自相关函数，ej 2 “称为循环权重因子( c y c l i cw e i g h t i n g f a c t o r l 2 ) ， 代表时间平均： = 6 l i m l 7 跃( ) 旃( 4 - 3 ) 在定义二阶循环平稳信号时，我们还引入了一个新的概念一循环自相关函数，它 不同于传统的自相关函数，也不属于传统的频率域，在下一节将详细讨论。 4 - 2 循环自相关函数 对 = 节的二次变换作统计平均，得i r 。( ，；r ) = ( 4 4 ) 将j ：式定义为信号x ( ，) 的时变相关函数。r x ( ，；f ) 的值不仅与r 有关，还与，有关。若 - 海交通人学硕f 学位论文 第四章一骱循环平稳信号处理理论 r 。( f ：r ) 随f 变化的周期为7 o ，即r ，o ；f ) 的功率谱在a = 蟛处有谱线存在，则称信号 x ( f ) 具有二阶周期性。为了研究r ，( f ；r ) 的周期性，可以用f o u r i e r 级数展丌它，得到3 尺。( ) ：芝r ，( 1 2 r a z - 7 h ：芝r ，a ( , g k 岍一 ( 4 5 ) 尺。( ，；r ) = r ，( = r ，( k ”2 ” ( 4 5 ) 式中口：”么，且f o u r i e r 系数 ，i0 月? ( r ) = 骢亭i 袭z ( ，h b + r k l 2 “斫= ( 4 - 6 ) 系数凡? ( f ) 表示频率为口的循环自相关强度，它还是, - 的函数，简称循环自相关函数1 “i 。 x ( f ) 的离散循环自相关函数可记为】： 月；( f ) = z ( f 扛( ，+ f k 。2 “ ，= o ，1 ，7 一l( 4 7 ) 另外，大多数文献中将信号的循环自相关函数取为对称形式，此时有。2 1 6 4 6 5 1 e t ( r ) = ( 4 - 8 ) 我们把那些使霹( f ) 0 的非零频率称为二阶循环频率( c y c l i cf r e q u e n c y ) ，而把 零频率称为( 二_ ：阶) 退化循环频率( d e g e n e r a t ec y c l i cf r e q u e n c y ) 。注意，一个循环平 稳信号的循环频率可能有多个( 包括零频率和非零频率) ；循环频率及其倍频构成循 环谱( c y c l i cs p e c t r u m ) ( 本文中涉及的循环频率及循环谱，如无特别指明均对二阶而 言) 。例如：如果信号只包含一个循环频率，则它的循环谱只包含该循环频率及其倍 频；如果信号中含有多个循环频率，则其循环谱包含所有循环频率以及它们的倍频。 其中，零循环频率对应信号的平稳部分。 观察知，当口= 0 ， r ? = = r x ( r )( 4 9 ) r ? ( r ) 就是通常意义的平稳信号的自相关函数。假如尺：( r ) 存在，而( f ) = 0 ， v 口0 ，则信号为甲稳信号：只有至少对一个非零的口有曰? ( r ) 0 时，信号才是循 环平稳信号。从式( 4 - 9 ) 可知，可以把循环自相关函数视为自相关函数在循环平稳 域的推广，即在时问平均运算中引入循环权重因子e - j 2 “，所以尺；( f ) 又可看作j “义 的自相关函数。 下面通过例子来增加对具有二阶周期性的信号以及循环自相关函数的理解。 例4 - l 若a ( t l 为零均值的平稳随机实信号，它满足 2 4 海交强人学硕i 学位论文 第四章二阶循环、f 稳信号处理理论 ( a ( f ) ) = 0 月。( r ) = ( a ( f k ( f + r ) ) 不恒为零 ( “( 咖( f + r 弘卅“) = 0 对所有口0 用它调制实正弦波，得n - 随机调幅信号 f 4 1 0 1 ( 4 - 1 1 ) ( 4 1 2 ) x ( ，) = n ( ，) c 。s ( 2 矾r + 目) ：昙a ( f 妊巾帅8 ) + e 叫2 舭卅 ( 4 - 1 3 ) 山于n ( f ) 不含任何有限强度的正弦波分量，而且其均值为零，所以x ( f ) 也不含任何有 限强度的正弦波分量，也就是说，从x “) 的功率谱密度中我们看不到任何特征谱线。 现在考察x “) 的_ 二次变换： “。：篓淤护仃嘲_ 碱。m 叫研。腻f 】( 。州，= 口( ，b o + r ) k 肛矾7 + e 2 砥。+ p “2 矾”2 p 一矾+ e 吖乜砥“2 p 4 机j 其循环自相关函数为 ( y ( f 护“) = 2 和( a ( ，+ r 旷“) + 。 e - 12 a y ：j r ( n ( f 扣( ，+ r - 1 2 “) + o 咖训( a ( f + r 小。腑) + l de - j ( 2 n y o r + 2 0 ) ( 、a ( f k ( f + r 水“川) 一式不难求得： 尺? ( f ) = 巾2 蚀。( r ) a = 2 f o 三2 r 。( r ) c 。s ( 2 n f o r ) 口= o ( 4 - 1 6 ) 0其它 易知：对于a = - + 2 f o ，( 4 1 6 ) 式不等于零。因此，调幅信号z “) 是循环甲稳的，其循 环频率为口= 2 f o ，且其退化循环频率口= 0 。 设( ，) 为i f 态分布随机变量：n ( 0 ，1 ) ；取f o = 1 0 0 h z ，0 = 0 ，采样频率为1 0 0 0 h z ， 数据长度为1 0 2 4 进行计算，结果如图4 1 、4 2 、4 3 所示。必须指出的是一：循环自 相关函数是存在= 】二复数域中的，图4 - 3 中只显示了循环自相关函数的幅值的绝对值( 下 循环自相关函数是存卉- 十复数域中的，奉文的图形中h 幔示r 其幅值的绝对值。 海交通人学碗i 学位论文 第四帝_ 二阶循环、f 稳信号处理理论 同) 。图4 - 3 ( a ) 和图4 - 3 ( b ) 是从两个不同的角度观察到的循环自相关函数。图4 - 3 ( b ) 是 从循环频率轴一侧观察到的循环自相关函数。 w 一 - h ， 图4 - 3 循环自相 f i g4 3c y c l i ca u t o c o r r e 蓬l |h l | ； 山一一：k j j 。j ，篓j 图4 4 循环自相关函数切片图图4 - 5 循环自相关函数切片图 f i g4 4 s l i c e o f c y c l i ca u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o nf i g 4 5s l i c eo f c y c l i ca u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n 尺? ( r ) 可以用三维坐标描述，三根坐标轴分别表示r ：( f ) 的幅值，口值和r 值，计 算量很大。但根据二阶循环平稳信号的定义可知，对于循环平稳信号，在其循环频率 处，并非所有的f 都能满足r ? ( r ) 0 ，因此，我们只需选取某些r 值进行计算分析， 在二维坐标系中就能观察信号的循环频率，从而减小了计算量。从图4 3 可以看到， 当r = 0 时，存在月? ( o ) 0 ，我们可以取图4 3 中f = 0 的截面进行详细分析，结果如 图4 4 所示。从图4 - 4 中我们可以清楚地看到在 一2 _ ，；1 ，0 ，2 _ ，：1 处有三根谱线，而在其 海交通人学坝i 学位论文第四章一阶循环、l t 稳信吁处理理论 它频率处没有明显特征谱线，但并没有如预计一样为零。按理论分析，计算的数据量 越夫，计算结果越接近真实值，所以我们使用4 0 9 6 点进行计算，结果如图4 - 5 所示。 可以看到随着数据长度的增加，计算结果越来越接近分析结果。 4 3 谱相关密度函数 信号x ( ，) 的循环自相关函数月；( r ) 的f o u r i e r 变换为1 2 1 1 6 4 s ? ( ) = 广0 弘- j 2 2 7 r d r ( 4 17 ) 称为谱相关密度函数( s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yf u n c t i o n ，简写s c d ) 或循环谱密度 函数( c y c l i cs p e c t r a ld e n s i t yf u n c t i o n ，简写c s d ) 。 当a = 0 时，( ) 就退化为通常意义的功率谱，所以谱相关密度函数可以看成是 传统的功率谱在循环频率一频率域的推广，而将谱相关密度看成是广义的功率谱。与 循环自相关函数相同，对具有二阶周期性的信号，其谱相关密度函数在循环频率及其 倍频处必然存在( f ) 0 ，即有谱线存在。在上节中定义的二阶循环频率、循环谱 等概念，对于谱相关密度函数同样适用。 下面将通过例子来继续讨论谱相关密度函数和循环自相关函数。 例4 - 2 现有一脉冲调幅信号( p a m ) 为 x ( ，) = a 0 瓦黼一n 兀) ( 4 - z s ) 其中a 如r ) 是在+ l 和一1 两值之间跳变的非同步随机电报信号( 二元序列) ；脉冲 信号刖的持续啪q 为俘孚1 0 设采样频率为正= 1 0 2 4 h z ，瓦_ o o l 5 6 洲。脉 冲信号出现的频率为f = 环= 6 4 i t z 。信号的时域波形、功率谱、循环自相关函数 10 ( r = 0 ) 及谱相关密度函数如图4 - 6 、4 - 7 、4 - 8 、4 - 9 所示。 。a i ：音。，。“。s 图4 - 6 时域波形 f i g4 6t i m ew a v e 图4 7 功率谱 f i g4 - 7p s d 海交j 人学硕i 学位论文第叫帝一阶循环、f 稳f 奇i j 处删理论 墒：南c y “c h q f ； 图4 - 8 循环自相关函数切片图 f i g4 8s l i c eo f c y c l i ca u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n s i n i i l l _ tr i - o p ； k l 垂 抽蘸? i f u n c t i o n 。 图4 - 9 ( b ) 谱相关密度函数图4 - 9 ( c ) 谱相关密度函数 f i g4 9 ( b ) s p e c t r a l - c o r r e l a t i o nd e n s i t yf u n c t i o nf i g 4 9 ( c ) s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yf u n c t i o n 从图4 7 可以看出，x ( ，) 的功率谱不含有任何特征谱线，即用传统的功率谱不能 分析出x ( f ) 所含的周期成分。而在图4 - 8 中，我们可以看到明显的谱线，除了退化频 率成分外，它们对应的频率为6 4 h z 及其奇数阶谐波分量，显然信号具有二阶周期 性。图4 - 9 ( a ) 到4 - 9 ( c ) 是从不同角度观察到的谱相关密度函数，为显示清楚，在此只 显示了谱相关密度函数的一部分。必须注意的是2 ：谱相关密度函数存在于复数域中， 图中只是显示其幅值的绝对值( 下同) 。x ( t ) 在循环频率一频率坐标平面内生成。个 循环频率为6 4 h z ，频率从0 6 0 0 胁的薄片。由于计算的数据长度有限( 4 0 9 6 ) ，所 以在循环频率不等于6 4 h z 的地方，仍然有不为零的成分存在，但用m a t l a b 画出的谱 相关密度函数的俯视图( 图4 - 9 ( c ) ) 效果非常好，因为m a t l a b 将其它幅值较低的成分 略去不画，更突出信号的特征。 另有两个窄带调幅信号，其表达式为 y 。= e 。5 s i n ( 2 矾t + 吼) = 1 ，2( 4 - 1 9 ) 其中e 。为零均值f 态分布低通随机噪声；正弦信号的频率、相位分别为 ， 一= 4 0 h z 正= 5 0 h z ，0 = 0 2 = 0 2 ；两调幅信号的带宽分别为0 0 2 5 o ， 诗相关密度函数存矗：卜复数域中奉文的图形中只足娃示其幅值的绝对值。 怒 _ 一 密w ” 。 划觚 。 相州 谱l _ f ) 二h 一 裟l _ 一 一 舡妒 ， 一 亩 巨s i 图邮 一 一 8 ) 弘 啪”。 口b 一；lp k o 0 2 钐。儿( ，) 和儿( ，) 的时域波形、功率谱如图4 一1 0 、4 i i 、4 1 2 、4 。13 所示。 删删 图4 - 1 1y 0 ) 的功率谱 f i g4 1 tp s d o f y ，o ) 。；，；高高高蠢，i 图4 - 1 2 y ：( ) 的时域波形 图4 - 1 3 y 2 “) 的功率谱 吨4 - 1 2t i m e w a v eo fy 2 0 ) f i g 4 1 3p s do f y 2 0 ) 其实y ，( f ) 和y ：( ，) 与例4 - l 中的循环平稳信号非常相似，参照例4 - 1 的分析方法， 不难推导出 ( ，) 和y 2 ( f ) 都具有二阶周期性，经过二次变换，可以在其循环自相关函 数2 处产生谱线。它们的循环自相关函数( r = o ) 及谱相关密度函数如图4 - 1 4 至4 1 7 所示。 c v c l l 图4 - 1 4y ，o ) 的循环自相关函数切片图 f g 4 - 1 4c y c l i ca u t o c o r r e l a t i o ns l i c eo f y l o ) s p c t lc o l t l ” yf u n c i4 a n 图4 - 1 5 ( a ) y o ) 的谱相关密度函数 f i g 4 _ 1 5 ( a ) s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yo f y 。t ) 。 0“叫叫叫叫。 巾叫 叫f 叫l 如 海交通人学顾i 学位论文 第四章一阶循环f 稳信号处理理论 s or ir n f r l l _ o n0 n i r lo “ 图4 - i 5 ( b ) y ( f ) 的谱相关密度函数 f i g4 15 ( b ) s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yo fy 10 ) 。jl ei 。fi 。卜一一j i 小一_ 【 。l 一一i 一一 _ j 图4 - 1 6 y ：0 ) 6 循环自相关函数切片图 f i g4 - 1 6c y c l i ca u t o c o r r e l a t i o ns l i c eo f y 2 0 ) 一一y r u w t “ o ) ：o ) 图4 - 1 7 ( b ) y ：o ) 的谱相关密度函数图4 - 1 7 ( c ) y ：o ) 的谱相关密度函数 f i g 4 一l7 ( b ) s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yo f y 2p jf i g 4 - 17 ( c ) s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yo f ，2q ) 现p a m 混杂在这两个窄带调幅信号中，即 z 0 ) = x ( t ) + y 1 + y 2( 4 - 2 0 ) z “) 的时域波形、功率谱如图4 1 8 、4 1 9 所示。 从功率谱图中我们难以看出原信号的周期性，当三个信号混杂在一起时，我们既 不能提取它们的特征频率，也不能区分它们。实际上，这三个信号都具有二阶周期性， 属于二阶循环平稳信号，这时使用功率谱已经无法提取信号的特征频率，必须使用循 环自相关函数或谱相关密度函数。 一 聂删 一最? ； 二 基_釜篓一 一 卜喽k 篷 海交通人学硕j j 学位论文第心章阶循环、p 稳信号处理理论 m f 州聃帅州 9 ：。! ：! ? “ 。“ o o3 5 l i ”| s 1 i o ：【j 口o t l、1 o o s f 八 。卜；l 一甫一i ；苗一i ；i v ；蔷一j ；r t 一 1 i 图4 - 1 8 时域波形图4 1 9 功率谱 f i g4 - l8t i m ew a v ef i g 4 - 1 9p s d z ( ，) 的循环自相关函数( f = 0 ) 及谱相关密度函数如图4 2 0 、4 + 2 l 所示。从图4 2 0 中，可以看到除零频率成分外，在频率为6 4 、8 0 以及1 0 0 h z 处有谱线产生。信 号在其谱相关密度函数中产生三个薄片，分别位于循环频率为6 4 、8 0 和1 0 0 h z 处， 可见，谱相关密度函数可以将三个混合在一起的信号分离开。我们注意到：上述图f 1 1 显示的效果以图4 2 0 和4 2 1 为最佳，所以在本文以下的故障特征提取中，将采用循 环自相关函数( r = 0 ) 和谱相关密度函数进行分析，而谱相关密度函数将以俯视图的形 式显示。 溉 凸 。j c y c “- * s t lc - n i to nd e n s h yf u n c l o n c c i ”。1 图4 2 0 循环卣相关函数切片图 f i g 4 - 2 0s l i c eo fc y c l i ca u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n s c 1 ic 口r 7 i o nd e p l o yr ”n c l l 口” 图4 - 2 1 ( a 】谱相关密度函数 f i g4 2 l ( a ) s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yf u n c t i o n ；| | l f；i k _ ：i薯 s 一w t b “ 一 “o 毫。嘉。曹6 。“1 “ 图4 - 2 1 ( c ) 谱相关密度函数 1 ( c ) s p e c t r a l c o r r e l a t i o nd e n s i t yf u n c t i o n 从例4 - 2 可以看出，二阶循环平稳信号使用传统的功率谱是不能揭示信号所隐含 的周期成分，表现为不能产生特征谱线，而利用循环自相关函数和谱相关密度函数却 可以提取二阶循环平稳信号的特征频率。当信号中含有多个二阶循环平稳信号时，谱 海交通人学硕j j 学位论文第四章二阶循环、p 稳情呼处理理论 相关密度函数还可以将它们分离丌，这是传统的功率谱所不能做到的。 此外我们应该注意，随着信号成分复杂程度的增加，计算谱相关密度函数的数据 长度也要求随之增加，否则计算结果的特征不明显，甚至不能得到正确的结果。例4 2 中当信号仅含一个二阶循环平稳信号( 如x ( t ) 、y ( r ) 、y 2 ( ，) ) ，数据长度为4 0 9 6 点， 即可得到令人满意的结果；但当含有三个二阶循环平稳信号( z ( t ) ) 时，数据长度必 须增加到8 1 9 2 点才能获得较好的结果。 4 4 循环自相关及谱相关密度的计算 在二阶循环平稳信号处理中，讨论得最多的是谱相关密度函数的计算，目的是提 高计算速度和减少数据长度，本文中使用的计算方法来源于循环自相关函数及谱相关 密度函数的定义，不同于w i l l i a ma g a r d n e r t “1 、p a n d y s r o b e , s t 6 ”、a m o d v d a n d a w a t e l 6 6 1 等人的方法，所以计算的结果会有一些差异，本节将讲述本文采用的 循环自相关函数及谱相关密度函数的计算方法并讨论其结果。 必须注意的是，不论采用哪种方法计算谱相关密度函数，都必须满足下式m l ： a f a a ( 4 - 2 1 ) 上式的意思是为了保证计算的精度，频率的分辨率必须远大于循环频率的分辨 率，即在采样频率一定的情况下，我们必须牺牲频率的分辨率。这在w i l l i a mag a r d n e r 的文献 7 7 1 中有详细的论述。在实际计算时，我们无法满足( 4 - 2 1 ) 式，这时可以根 据实际中的需要，确定频率分辨率及循环频率的分辨率。 设有信号( f ) ，并且t = o ，1 ，m 一1 可供使用，循环自相关函数及谱相关密度函 数的计算步骤如f ： ( 1 ) 求信号的二次变换 y ( ，；r ) = x ( t ) x ( t + f ) ( 4 - 2 2 ) 此时y ( f ；z - ) 可用三维坐标表示。其离散化形式为 y ( i ；n ) = x ( i ) x ( i + ) f = 0 ，1 ，2 ，- 一，n 一l ； = 0 ，l ，2 ，- 一，j v