相似三角形综合练习一.doc

相似三角形综合练习一1如图，ABC为等边三角形，BD=DE，BDE=120，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG下列结论：CG=DE；若DEBC，则ABHGBD；在的条件下，若CEBC，则 其中正确的有（）A都正确B只有正确C只有正确D只有正确第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图 2如图，在正方形ABCD中，E为正方形ABCD内一点，且AEB=90，tanBAE=，将ABE绕点B逆时针旋转90得到CBF，连接EF、AC、CE，G为AE的中点，连接CG有下列结论：BEF为等腰直角三角形；S正方形ABCD=8SECG；ECB=CAG；CG=AD其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D43如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA则下列结论：若MFC=120，则MAB=30；MPB=90-FCM；ABMCEF；S梯形AMCD-2SEFC=3SMFC，正确的是（）ABCD 4如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O下列结论：EP平分CEB；BF2=PBEF；PFEF=2AD2；EFEP=4AOPO其中正确的是（）ABCD 5已知：直角梯形OABC中，CBOA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QHOA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果BPQPHA，则点P的坐标为 6如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O移动设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）.（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？ （2）当t为何值时，PQOB？（3）当t为何值时，PQAB？（4）当t为何值时，OPQ是等腰三角形？7在直角梯形OABC中，OABC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q同时从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动线段OB、PQ相交于点D，过点D作DEOA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F（如图）设动点P、Q运动时间为t（单位：秒），则：（1）当t= 时，四边形PABQ是平行四边形；（2）当t= 时，PQF是等腰三角形第7题图第8题图第9题图8ABC是一张等腰直角三角形纸板，C=Rt，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1（如图1）；在余下的RtADE和RtBDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2）；继续操作下去；则第10次剪取时，s10= ；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是 9在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，该三角形纸片直角顶点的坐标是 10如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由11如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边做等腰RtCDE，连接AD，下列说法：ACED；BCE=ACD；AEDECB；ADBC；四边形ABCD面积的最大值为其中正确的是 . 23（2012龙岩）如图1，过ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再将BED和CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为ABC的边BC上的折合矩形（1）若ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为 ；（2）如图4，已知ABC，在图4中画出ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为 12（2012淄博）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x（1）当点G与点D重合时，求x的值；（2）当点F为AD中点时，求x的值及ECF的正弦值 13（2012镇江）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x若BM= ，求x的值；求四边形ADPE与ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）当x为何值时，BAD=15？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由14（2012漳州）如图，在OABC中，点A在x轴上，AOC=60，0C=4cmOA=8cm动点P从点0出发，以1cm/s的速度沿线段OAAB运动；动点Q同时从点O出发，以acm/s的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动设运动时间为t秒（1）填空：点C的坐标是（ ， ），对角线OB的长度是 cm；（2）当a=1时，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大？（3）当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M若以O、M、P为顶点的三角形与OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围 15（2012玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？16（2012营口）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作MGEF交线段BC于点G，判断GEF的形状，并说明理由；（3）如图3，若AB=2，过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G直接写出线段AE长度的取值范围；判断GEF的形状，并说明理由17（2012宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90点E为底AD上一点，将ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）求证：ABGBFE；（3）设AD=a，AB=b，BC=c. 当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系； 在的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求C的度数18（2012威海）探索发现：已知：在梯形ABCD中，CDAB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N（1）如图，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线（2）如图，如果ADBC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形ABCD的一条对称轴（写出作图步骤，保留作图痕迹） 19（2012邵阳）如图所示，直线y=-x+b与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使BPM=BAC.求证：PBCMPA；是否存在点P使PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 21（2012莆田）（1）如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于点D求证：AB2=ADAC；（2）如图，在RtABC中，ABC=90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F ，求 的值；（3）在RtABC中，ABC=90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BEAD于点E，交直线AC于点F若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明 22（2012南平）如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且1=B=C（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）.答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此时BD的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明） 24（2012吉林）如图，在ABC中，A=90，AB=2cm，AC=4cm动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QFBC，交AC于点F设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2（1）当t= s时，点P与点Q重合；（2）当t= s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式25（2012鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OAOB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒（1）求A、B两点的坐标（2）求当t为何值时，APQ与AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由 26（2012淮安）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135，得到矩形EFGH（点E与O重合）（1）若GH交y轴于点M，则FOM= ，OM= ；（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位直线GH与x轴交于点D，若ADBO，求t的值；若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0t4时，S与t之间的函数关系式 27（2012河源）如图，矩形OABC中，A（6，0），C（0，2），D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足PQO=60（1）点B的坐标是 ；CAO= 度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接填写答案）（2）设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围28（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若，求的值（1）尝试探究:在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是 （2）类比延伸:如图2，在原题的条件下，若（m0），则的值是 （用含有m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移：如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若=a，=b，（a0，b0），则的值是 （用含a、b的代数式表示） 30（2012大连）如图，ABC中，C=90，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作PQR关于直线l对称的图形，得到PQR设点Q的运动时间为t（s），PQR与PAR重叠部分的面积为S（cm2）（1）t为何值时，点Q恰好落在AB上？（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）S能否为cm2？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由 32（2012长春）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8cm，BC=4cmD、E分别为边AB、BC的中点，连接DE点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止点P在线段AD上以cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动当点P与点A不重合时，过点P作PQAC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上设点P的运动时间为t（s）（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为 cm（用含t的代数式表示）（2）当点N落在AB边上时，求t的值（3）当正方形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围 31（2012常州）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y（1）写出y与x之间的关系式 ；（2）若点E与点A重合，则x的值为 ；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由33（2012包头）如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动过点P作PEBC交AD于点E，连接EQ设动点运动时间为t秒（t0）（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行为什么？（3）当t为何值时，EDQ为直角三角形35（2010来宾）已知矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动设运动的时间为t秒（1）试用t表示点N的坐标，并指出t的取值范围；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）是否存在某个时刻t，使得点O、N、M三点同在一条直线上？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由36（2008青岛）已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC；（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由37（2006青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，C=90，EG=4cm，EGF=90，O是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16） 38（2001黄冈）已知：如图，ABC中，AB=AC=10，BC=12，F为BC的中点，D是FC上的一点，过点D作BC的垂线交AC于点G，交BA的延长线于点E，如果设DC=x，则（1）图中哪些线段（如线段BD可记作yBD）可以看成是x的函数如yBD=12-x（0x6，yFD6-x（0x6）？请再写出其中的四个函数关系式： ； ； ； （2）图中哪些图形的面积（如CDG的面积可记作SCDG）可以看成是x的函数如SCDG= 23x2（0x6），请再写出其中的两个函数关系式： ； 显示解析试题篮 39如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），PBQ的面积为y（cm2），当PBQ存在时，求y与x的函数关系式；（3）当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC是否相似，请说明理由VIP显示解析试题篮 40在矩形ABCD中，E为BC的中点，点F在BC的延长线上，CM平分DCF，连接AE，作EMAE交CM于点M（1）如图1，当AB=BC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；（2）如图2，当AB=nBC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；（3）如图3，当AB=nBC，BE=mEC时，请判断AE与EM的数量关系并证明显示解析试题篮41如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），O为原点，点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点（）设C（x，0），SAOM=y，求y与x的关系式，并写出x的取值范围；（）如果以线段AO为直径的D与以BC为直径的M外切，求x的值（）连BO，交线段AM于N，如果以A，N，B为顶点的三角形与OMC相似，请写出直线CN的解析式（不要过程）显示解析试题篮 42如图，矩形ABCD中，AD=6，AB=2 3，点O是AD的中点，点P在DA的延长线上，且AP=3一动点E从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PD匀速运动；另一动点F从D点出发，以每秒1个单位长度的速度沿DO匀速运动，到达O点后，立即以原速度沿OD返回已知点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PD的同侧，设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边EG恰好经过点B时，运动时间t的值为 ；（2）当等边EFG的顶点G恰好落在BC上时，运动时间t的值为 ；（3）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围显示解析试题篮 43如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，B=60，C=30，AEBC于点E，DFBC于点F，BE= 3，RtABE沿BC方向匀速运动，平移速度为每秒1个单位，当点E与点C重合时停止运动，在整个平移过程中，设ABE与直角梯形ADCE重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒（1）直接写出当点E与点C重合时t的值；（2）求S与t的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）点G为直线DF上一动点，当ABE平移到点A与点D重合时，将BDG绕点D逆时针旋转60，得到BDG（B的对应点为B，G的对应点为G），BGG的面积能否等于 34？若能，请求CG的长度，若不能，请说明理由显示解析试题篮 44如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，点D是射线CA上的一个动点（不与A、C重合），DE直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FH直线AB于H点，连接EF，设AD=x（1）若点D在AC边上，求FH的长（用含x的式子表示）；若点D在射线CA上，BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP+FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明显示解析试题篮 45有两张完全重合的三角形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90后得到三角形AMF（如图1），若此时他测得BD=8cm，ADB=30（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系，并简要说明理由；（2）小红与小亮同学继续探究他们将ABD绕点A顺时针旋转得AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为（090），当AFK为等腰三角形时，求旋转角的度数；（3）在图2基础上小强同学继续探究，过点K作KCB1D1交AB1于点C，连接CM，（如图3）求证：ACMAKF；（4）若将AFM沿AB方向平移得到A2F2M2（如图4），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NPAB时，求平移的距离是多少？显示解析试题篮 46（1）如图1，已知ABC，ACB=90，AC=BC，点E、F在直线AB上，ECF=B，ACF与BEC的关系为 设ABC的面积为