（应用数学专业论文）cad中几何模型简化技术的研究.pdf

摘要 摘要 c a d 等几何造型系统希望建模工具能用更少的数据量表示几何模型，这有 利于节省计算时间，提高工作效率，加快网络传输速度。b 6 z i e r 曲线曲面和b 样条是c a d c a m 系统中广泛使用的造型工具，简化它们的建模技术对c a d 系 统有着实际的意义。本文对此展开深入研究，主要是两方面：b 6 z i e r 曲线曲面的 近似合并和变次数b 样条主要研究成果及创新点如下： 首先，传统的一般性的b 6 z i e r 曲线近似合并只考虑曲线的参数连续。而我们 考虑利用曲线的几何信息来研究合并问题，提出了b 6 z i e r 曲线在岛范数下保端点 萨连续的最佳合并算法，即保持两条原曲线在左右端点的位置、切向和曲率大小 为了避免在两个端点处出现奇异点，我们还对误差定义作了修正，增加了正则项 与传统的保端点c 2 连续的方法相比，我们的方法能直接合并不同次数的两条曲 线，显式地得到合并曲线的控制顶点，并且误差更小，因此逼近效果更好如果 要得到更高次的合并曲线，只需要提高合并次数，无需象以前的方法那样对原曲 线进行升阶运算。 其次，为了对c a d 系统中的几何数据进行压缩，研究了两张相邻张量积 b 6 z i e r 曲面的合并问题。为了能更好地进行曲面合并逼近，利用张量积b 6 z i e r 曲 面细分后的矩阵表示给出了相邻张量积曲面可精确合并的充要条件，并在此基础 上通过广义逆矩阵的方法求解出在三2 范数下合并逼近后的张量积b 6 z i c r l t 扫面，得 到了其控制顶点的显示表达式与此同时，对带角点插值条件的曲面合并逼近也 给出了结果。由于广义逆矩阵可以方便地求得最小二乘解，因此得到了能够显式 表示，机时最省且逼近效果好的合并逼近算法 接着，我们研究了变次数b 样条变次数b 样条是一种能够简化几何模型， 压缩数据量的新的b 样条形式本文对此进行了初步探讨，并第一次给出了最大 变化次数小于3 的变次数b 样条基函数的具体表达式，系统地给出了基函数的性 质与曲线构造，并将之应用于样条曲线的升阶与合并，有效地简化了曲线模型 在利用变次数b 样条将代数双曲b 样条的升阶解释为几何割角之后，我们以此为 基础得到了代数双曲b 样条的几何生成算法由于代数双曲b 样条对造型系统有 重要的意义，如能够精确表示双曲线、悬链线等常用的工程曲线，此算法有着实 浙江大学博士学位论文 际的应用价值。同样地，利用变次数样条，也可以将其他样条曲线，女o n u a tb 样条的升阶解释为几何割角过程，并得到它的几何构造。 最后，鉴于以往的三角或双曲多项式样条模型定义在均匀节点上的缺陷，本 文以代数双曲混合b 样条为例，将其推广到非均匀节点上去，并拥有b - 基等很多 良好的几何性质。 关键词：c a g d ；b 6 z i e r 曲线；b 样条；近似合并；几何连续；广义逆矩阵；张 量积b 6 z i e r 曲面；变次数b 样条；代数双曲b 样条；升阶割角；几何构造；代 数双曲混合b 样条；b 基 i i i a b s t r a c t i ti sb e t t e rt or e p r e s e n tg e o m e t r i cm o d e lw i t hl e s sa m o u n to fd a t ab ym o d e l i n g t o o l si nc a d m o d e l i n gs y s t e m s t h i si sg o o df o rr e d u c i n gc o m p u t i n gt i m e ，i m p r o v i n g t h ee f f i c i e n c yo fs y s t e m s ，s p e e d i n gu pt h en e t w o r kt r a n s m i s s i o ns p e e d b d z i e rc u r v e s ， s u r f a c e sa n db - s p l i n ea l ew i d e l yu s e da sm o d e l i n gt o o l si nc a d c a m t h e i rm o d e l s s i m p l i f i c a t i o nt e c h n o l o g yh a sp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c eo nt h ec a ds y s t e m s i nt h i sp a p e r , w eh a v em a d ei n - d e p t hs t u d i e so ns i m p l i f i c a t i o nt e c h n o l o g y , m a i n l yt w oa s p e c t s ： a p p r o x i m a t em e r g i n go fb 6 z i e rc u r v e s ，s u r f a c e sa n dm u l t i - d e g r e eb - s p l i n e t h em a i n c r e a t i v er e s u l t sa l ea sf o l l o w s f i r s t l y ，i nc o n s t r a s tt ot r a d i t i o n a lm e t h o d s ，w h i c ho n l yc o n s i d e r e dt h ec o m p o n e n - t so ft h ec u l v 联3s e p a r a t e l y ，w eu s e dg e o m e t r i ci n f o r m a t i o na b o u tt h eg t l l v e st o g e n e r a t et h em e r g e dc u r v ea n dp r o p o s e do p t i m a la p p r o x i m a t em e r g i n go fap a i ro f b 6 z i e rc u r v e sw i t hg 2 - c o n t i n u i t yi nl 2n o r m ，w h e r ep o s i t i o n s ，t a n g e n t sa n dc u r v a t u r e s w c t ep r e s e r v e da tt h et w oe n d p o i n t s f o ra v o i d i n gs i n g u l a ra tt h et w oe n d p o i n t s ，w e a m e n d e dt h ee r r o rd e f i n i t i o na n da d d e do n em g u l a r i z a t i o nt e r m c o m p a r e dt o t r a d i t i o n a lm e t h o d s ，o u rm e t h o dc o u l dd i r e c t l yo b t a i nc o n t r o lp o i n t so ft h em e r g e d c u r v e , r e g a r d l e s so ft h ed e g r e e so ft h eo r i g i n a lc u r v e sa n dt h ea p p r o x i m a t i o n 睨 r o r w a sb e t t e r f u r t h e r m o r e , w eo b t a i n e dah i g h e rd e g r e em e r g e dc u r v et h r o u g hr a i s i n g t h em e r g e db 6 z i e rc u r v e sd e g r e ei n s t e a do fd e g r e ee l e v a t i o no ft h eo r i g i n a lb d z i e r c u r v e s s e c o n d l y , a p p r o x i m a t em e r g i n go ft w oa d j a c e n tt e n s o rp r o d u c tb 6 z i e rs u r f a c e s w a si n v e s t i g a t e dt og u a r a n t e et h ec o m p r e s s i o no fg e o m e t r i cd a t ai nc a ds y s t e m s s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rp r e c i s em e r g i n go fa d j a c e n tt e n s o rp r o d u c t s u r f a c e sw a so b t a i n e db yu s i n gt h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o no fs u b d i v i d e db d z i e rs u r f a c e , t h e nm e r g e dt e n s o rp r o d u c tb d z i e rs u r f a c ew a ss o l v e db yg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c e s i i ll 2n o r mb a s e do np r e c i s em e r g i n gc o n d i t i o na n de x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o no ft h e m e r g e ds u r f a c e sc o n t r o lp o i n t sw a sa l s oo b t a i n e d a tt h es a m et i m e , t h er e s u l to f a p p r o x i m a t em e r g i n gw i t hc o m e ri n t e r p o l a t i o nw a ss h o w e df i r s tt i m e s i n c et h e i v浙江大学博士学位论文 m i n i m a ll e a s ts q u a r e ss o l u t i o nc o u l db ed i r e c t l yo b t a i n e db yg e n e r a l i z e di n v e r s e m a t r i c s ，a na p p r o x i m a t em e r g i n ga l g o r i t h mp o s s e s s i n ge x p l i c i tf o r m u l a , l e s st i m e c o n s u m p t i o na n db e t t e ra p p r o x i m a t i o nr e s u l tw a sf o u n d a f t e rt h a t ，m u l t i d e g r e eb - s p l i n e ( m d s p l i n e ) w a si n v e s t i g a t e d m u l t i d e g r e e b s p l i n ei san e wb - - s p l i n ef o r mt os i m p l i f yg e o m e t r i cm o d e la n dc o m p r e s st h e a m o u n to fd a t a t h i sp a p e rm a d eap r e l i m i n a r ys t u d y , a n db a s i sf u n c t i o nf o r m u l a eo f m d s p l i n e sw h i c hm a x i m a lv a r i a t i o n a ld e g r e ew a s l o w e rt h a n3w a si n v e s t i g a t e df i r s t t i m e w eg a v eb a s i sf u n c t i o n sp r o p e r t i e sa n dc a l r v c sc o n s t r u c t i o nc o m p l e t e l y , t h e n a p p l i e dt h e mt od e g r e ee l e v a t i o na n dm e r g e n c eo fs p l i n ec u r v e sf o rs i m p l i f i n gc u r v e m o d e l a f t e rd e g r e ee l e v a t i o no fa l g e b r a i ch y p e r b o l i cb - s p l i n ec a nb ei n t e r p r e t e da s c o m e rc u t t i n gu s i n gm u l t i d e g r e e b s p l i n es u c c e s s f u l l y , w eo b t a i n e dg e o m e t r i c c o n s t r u c t i o no fa l g e b r a i ch y p e r b o l i cb s p l i n eb a s e do na b o v ec o n c l u s i o n s i n c e a l g e b r a i ch y p e r b o l i cb - s p l i n e h a si m p o r t a n tm e a n i n gf o rm o d e l i n gs y s t e m ，f o r e x a m p l e , i tc a nr e p r e s e n th y p e r b o l a , e a t e n a r ye x p l i c i t l ye t cc o m m o ne n g i n e e r i n g c u r v c ，t h i sa l g o r i t h mp r o c e s s e sp r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u e s i m i l a r l y , w ec a nm a k e u s eo fm u l t i d e g r e es p l i n et oo b t a i ng e o m e t r i cc o n s t r u c t i o no fo t h e rs p l i n e s ，s u c ha s n u a tb s p l i n e f i n a l l y ，i nv i e wo ft h ep r e v i o u st r i a n g l eo rh y p e r b o l i cp o l y n o m i a ls p l i n em o d e la t u n i f o r mk n o t so nt h ed e f i n i t i o no ft h ed e f e c t ，t a k i n gaa l g e b r a i ch y p e r b o l i cb l e n d i n g b - s p l i n ea sa ne x a m p l e ，t h i sp a p e re x t e n d e dt on o n - u n i f o r mk n o t s ，a n dt h en e ws p l i n e h o l d sal o to fg o o dg e o m e t r i cp r o p e r t i e ss u c ha sb - b a s i s k e yw o r d s ：c a g d ；b t z i e rc u r v e ；b s p l i n e ；a p p r o x i m a t em e r g i n g ；g e o m e t r i c c o n t i n u i t y , g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i c s ；t e n s o rp r o d u c tb d z i e rs u r f a c e ；m u l t i d e g r e e b - s p l i n e ；a l g e b r a i ch y p e r b o l i cb - s p l i n e ；d e g r e ee l e v a t i o nb yc o r n e rc u t t i n g ；g e o m e t r i c c o n s t r u c t i o n ；a l g e b r a i ch y p e r b o l i cb l e n d i n gb - s p l i n e ；b - b a s i s 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝婆盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝鎏盘鲎有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝江苤堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期：年月 e l 签字i t 期：年月 日 第一章绪论 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 是一门 以函数逼近论、微分几何以及数据技术为理论基础，主要研究在计算机图形图 像环境下进行几何造型设计、修改、分析及优化的技术。它最早起源于飞机、船 舶的外形放样工艺，由b 6 z i e r 、c o o n s 等大师于2 0 世纪6 0 年代奠定其理论基础， 并在1 9 7 4 年召开的u t a h 会议上由b a m h i l l 和r i e s e n f e l d “1 正式命名从此，以几 何造型方法为主的c a g d 以一门崭新的学科出现。而( ( c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ) ) ， ( ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) ) 、s i g g r a p h 以及计算机辅助设计与图形学 学报等国内外专业期刊、会议的创办更是显著推动了c a g d 的进步 c a g d 的出现和发展既是现代工业发展的需要，又对现代工业的发展起到巨 大的推动作用，为我国走新型工业化道路奠定了坚实基础。在c a g d 技术的支 持下，用户只需用基本的数学知识，不必构造复杂的几何模型，就能够快速而精 确地完成二维或三维几何图形的构建、修改与数据分析，得到需要的设计参数， 这将极大地缩短产品的设计周期，提高产品质量，降低生产成本，为增强企业的 竞争与创新能力做出了重要贡献。经过几十年的发展，c a g d 的理论不断深化， 体系不断完善，方法日益丰富，目前已广泛应用到建筑设计、机械加工、文体影 视等各个重要领域 正因为c a g d 的广泛应用性，注定了它是一个与其他多门学科相互紧密联 系，相互促进发展的交叉学科早期主要是机械设计师为解决c a d c a m 中一 些棘手的问题，如设计周期长、制造精度低、造型修改困难等，于是探索以数学 方法为主，研究曲线曲面分析与设计的c a g d 技术，以此促进产业的发展现 在如计算机动画设计师也要求利用c a g d 技术对人物等造型，进行灵活有效地 建模和操作，非常好地改善了视觉效果随着图形软硬件和工业信息化步伐的进 步，随着激光扫描仪等三维采样技术的完善，c a g d 的研究领域急剧扩大，并向 其他学科不断渗透。c a g d 已经从传统的曲线曲面表示转到曲面重建、变形、压 缩等前沿领域，并可直接应用到如医学图像处理、动画仿真等新兴学科国际上 也有越来越多以c a g d 技术为基础的商用软件，如a u t o c a d 、s o l i d w o r k s 等等， 它们对c a g d 技术的普及与生产生活起到了重要作用。正因为有着如此多的发 淅江大学博士学位论文 展源泉和广泛应用，c a g d 一直是计算机学科中一个充满前景和活力的研究方 向，其影响日益广泛。它的每一项突破都会对诸如计算机图形学、图像处理、计 算机视觉、机器人技术、虚拟现实等学科的发展起到巨大的推动作用。 1 1 自由曲线曲面造型技术 曲线曲面的构造表示和逼近是c a g d 的主要任务。要在计算机内表示某工 业产品的几何外形，其形状的描述应尽可能保持原产品的几何特征，从计算机对 形状处理、数据分析的角度来看，应满足以下条件纠： 1 唯一性：既有给定的条件确定的几何外形是唯一的，这是对形状数学描 述的首项要求； 2 易于定界：形状总是有界的，其数学描述应易于定界； 3 易于形状的修改和控制； 4 几何直观； 5 算法简单易行； 6 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况。 曲线曲面造型技术起源于二战时汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺。 能用数学方程表示出来的曲线曲面，我们称之为规则的曲线曲面，如椭圆。柱体、 锥体等，它们可以用隐函数或二次方程表示那些不能用二次方程表示出来的曲 线曲面就称之为自由曲线曲面。在我们的日常生产生活中，碰到的更多的是自由 曲线曲面( f r e ef o r mc u r v e sa n ds u r f a c e s ) ，因此c a g d 的重要研究内容之一就 是研究它们的几何形状表示与算法。 c a g d 中的曲线曲面造型技术诞生于5 0 年代，最早由s c h o e n b e r g h l 于1 9 4 6 年提出插值样条函数，以解决插值问题，并构造参数连续的插值曲线曲面。但真 正奠定理论基础是b 6 z i e r 、c o o n s 等大师在上世纪六十年代完成的如今经历了 超过半个世纪的发展，自由曲线曲面表示和造型技术形成了以非均匀有理b 样 条( n u r b s ：n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n d c h a r a c t e r i s t i cd e s i g n ) 和隐式代数曲线曲面表示( i m p l i c i ta l g e b r a i cs u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n ) 这两类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近 ( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几何理论体系b 1 。 第一章绪论 现在就让我们回顾一下它的几个重要发展阶段。 1 9 6 3 年美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的福格森( f e r g u s o n ) 首先提出了将曲线 曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入了参数三次曲线，使用( 1 ，t ，t 2 , t 3 ) 为 基函数，构造了由四个角点的位置和两个方向的切矢量定义的f e r g u s o n 双三次 曲面片7 1 。在此之前，曲线的描述一直是采用显式的函数j ，= y ( x ) 或隐式方程 f ( x ，y ) = 0 的形式，曲面描述也是采用z = z ( x ，y ) 或f ( x ，y ，z ) = 0 的形式福格森 采用的自由曲线曲面参数形式的表示方法具有几何不交性易于坐标变换等优 点从此，曲线曲面的参数形式成为形状数学描述的标准形式 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m a s s a c h u s e t t si n s t i t u t eo f t e c h n o l o g y ) 的机械工 程系教授孔斯( c o o n s ，1 9 1 2 1 9 7 9 ) 哺1 在给国防部的技术报告中引进了超限插值这 个全新的数学概念，按照一定的连续阶要求把若干个较小的曲面片拼接成所要设 计的曲面，其边界线可以是具有一定连续阶的任何曲线1 9 6 7 年，孔斯进一步 推广了他的思想一。在c a g d 实践中，应用最多的就是c o o m 双三次曲面片 但是它与f e r g u s o n 双三次曲面片都存在形状控制与拼接的问题，区别仅在于它 将角点扭矢由零矢量改为非零矢量 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的工程师贝塞尔( b 6 z i e r ) 于1 9 7 1 年提出了一种 由控制多边形定义曲线的方法贝塞尔方法简单实用，设计人员只要移动控制顶 点就可修改几何形状以此为基础，贝塞尔在雷诺公司建立了自由曲线曲面设计 系统( u n i s u r fc a d ) 1 0 - 1 2 1 最初贝塞尔提出的曲线表达式是： 尸( f ) = 群( f ) 口，0 t - l ， 钔删= 筠筹掣等驴艟， a o = e o ，口= 弓一弓一i ， j = l ，2 ，以 其中a j , j = o ，1 ，刀是控制多边形的顶点这一定义十分奇特，令人难以接受 随后，g o r d o n 和r i e s e n f e l d n 3 1 等对b 6 z i e r 方法进行深入研究到1 9 7 2 年，f o 麟t n 町 才提出现在通用的定义，指出它恰好就是b e r n s t e i n 基与控制顶点的线性组合， 印：p ) = 毋( f ) 置，0 t 小) 次曲线】，= ：。彬筇( f ) 对g 1 连续，他研究的是b 6 z i e r 曲线降至三次 的算法；对g 2 连续，他研究的是b 6 z i e r 曲线降至五次的算法。 这就需要满足： 对g 1 连续，= k ，彤= k + a ( k - v o ) ， = k ，眠一= k + 如( 屹一k 一。) ； 对g 2 连续还需有，= k + 五2 q ( k k ) + 鸬( k - v o ) ， 岷一2 = k 一。+ 五2 q ( k 一2 - v 一。) + 鸬( 圪一圪一。) ， 这里q ：m ( n - 1 ) 。 n ( m 1 ) 算法的大致过程就是先对原曲线均匀采样，再找一条曲线插值这些采样点， 并逼近原曲线，使得误差最小 这里误差定义为两条曲线对应参数点的最大距离： 艿= m a x4 = m a x lx ( 0 ) 一l r ( 0 ) l 。0 为对应的采样参数 在使误差最小的过程中，需要对采样参数进行不断地调整，使得误差向量能 垂直或接近垂直于l ，( ) 误差向量巧= y ( ) 一x ( ) ，霉= x ( ) 每一次调整，是旧参数，i ；是更新后的参数：乏= + q 。可以是i ，( f ) 的弧长，q 是点只的映射偏移量( 见下图) 第一章绪论7 y t t 图1 1h o s c h e k 算法的参数调整 h o s c h c k 只是对降阶逼近做了简单的研究，其算法最大的缺点是需要对采样 参数进行调整，这需要浪费大量的时间，且没有降阶曲线的显示表达 其他类似的算法还有，f o r r e s t 的逆升阶算法n 耵、d a n n c b o g 的分段插值逼近 算法p 、m o o r e 的面积极小反求降阶曲线算法一2 1 等等 ( 2 ) 基于基转换的代数方法由于正交函数能很容易的实现在某些。范数下的最 佳逼近，这类方法主要就是将b e m s t e i n 基转化为一类正交基，降阶，再变为 b e m s t e i n 基，最后得到高精度的降阶逼近算法这些利用的有c h e b y s h c v 基一习、 l e g e n d r e 基p 纠、j o c a b i 1 1 基等 1 2 2 曲线曲面合并方法 近似合并是简化c a d 系统中几何模型的另一种方法。但是相对于降阶来说， 目前的成果还比较少，研究还很不充分在h o s c h e k 提出近似合并问题的文献驺1 中，作者仅在末尾提到了应用前面的降阶方法来解决合并问题，没有详细展开 在这之后，h u n 盯在2 0 0 1 年c a d 期刊上发表的成果可以说是合并问题上的重要 进展，是真正完美地解决了近似合并问题 问题描述：两条都是r 次的b 6 z i e r 曲线p ( u ) 和q ( ，) ，其控制顶点分别是只和 q ( 扛o ，l ，刀) 。近似合并就是找到一条新的t 次b d z i e r 曲线r ( t ) ，控制顶点为 r ，( i - - o ，l ，以) ，使得r ( f ) 与j i i ( f ) 的距离d ( r ，j i i ) 在 o ，l 】内最小。这里， 足( f ) = 二霉彤( 丢) o f 见 二q 掣( 篙) 掏l 而五是细分参数。 浙江大学博士学位论文 文中p 町首先通过证明得到两条原曲线p ) 和q ( y ) 能够精确合并的充要条 件：a i 只一，= a a q o ， i = 0 ，l ，以。这里l a 是一个与五有关的取值。 随后，作者分别探求了在厶范数和厶范数下的合并曲线，其误差定义分别 为d ( 足( ，) ，豆( f ) ) = ：。l | 置一豆1 1 2 和d ( 胄( ，) ，蠢( ，) ) = f ( 足( ，) 一面( ，) ) 2 d t 。其主要思想 就是利用控制顶点扰动法，得到拉格朗日函数并使之最小化，再算出控制顶点的 扰动量，最后使用递归算法得到合并后b d z i e r 曲线的控制顶点。例如下图，都是 两条三次b 6 z i e r 曲线的近似合并 ( a ) 9。，-，。l 图1 2 ( a ) 工。范数下的合并结果图1 2 ( b ) 厶范数下的合并结果 从上图，可以看出算法的效果很好。 除此之外，保端点高阶插值以及带点限制( 即合并曲线插值原曲线的部分点) 的近似合并也一并被考虑 图1 3 ( a ) 两端点重合的合并 图1 3 ( b ) 保端点一阶插值的合并 上图是两条四次b d z i c r 曲线在厶范数下的合并 第一张绪论 9 图1 4 ( a ) 插值参数是= 0 0 ，v o = 1 0图1 4 0 ) 插值参数是u o = 0 5 ，1 4 i = 1 0 ，v o = 0 5 上图是两条五次b 6 z i e r 曲线带点限制的在乞范数下的合并 h u 9 町在文中最后指出，如果需要得到更高次的合并曲线可以对原来的两条 曲线先升阶再合并，并且得到的误差更小效果见下图： 图1 5 ( a ) 直接合并成四次曲线图1 5 ( b ) 升阶后合并成五次曲线 上图是两条四次b 6 z i e r 曲线的合并，可以看出升阶的效果更好 这篇文献之后，h u 的方法还被应用到b 样条曲线一卯、区闻b 6 z i e r 曲线n 司， 有理b 6 z i e r 曲线一钉等类型的近似合并上去。在曲面合并方面，目前仅文献p 砌对此 作了研究。文献p 盯研究了将两张相邻同次数的张量积b 6 z i e r 曲面合并成一张次数 相同的张量积曲面主要方法是利用张量积曲面的离散性质，使合并曲面分别逼 近两张原曲面，并利用求偏导的方法来得到误差最小的合并张量积b 6 z i e r 曲面 文章还对保边界高阶插值的近似合并做了研究，分析了合并误差的上下界同时 指出对原曲面进行升阶得到的更高次合并曲面，其误差会更小其效果如下掣： 浙太擘博学位论x 围l6 ( a 1 两张相邻7 x 9 次厚曲面 田1 6 ( b ) 7 x 9 次不保边界插值台井曲面 囤1 “c ) 9 9 玻不保边界插值合并曲面图】6 ( d ) 7 x 9 次保边界( 2 ，2 ) 盼插值台并畸面 纵观近似合并的研究，目前的结果还是稍步的，不完善的还没有扩展到所 有的曲线曲面类型，方法上大多也是遵循h u ”的算法，没有大的突破。这首先 是由于台并问题实质上是一条曲线分段同时逼近几个曲线段，而不像降阶可以化 归为一个曲线函数逼近另一个函数，也就是说问题的难度上升了，但目前数学上 还没有很好的办法来解决 匕如，有理b 6 z i e r 曲线的合并”因为分式函数不易处 理，就得不到有理曲线精确台并的充分必要条件，其得到的结果在理论上也是不 充分的。因此，这需要我们必须对曲线曲面的近似合并加大力气研究，对目前遇 到的困难，另辟蹊径寻求更好的结果。 1 3b 样条的扩展 关于b 样条理论早在1 9 4 6 年就已提出b 一样条方法具有表示设计自由型曲 线曲面的强大功能，是几何形状数学描述的主流方法之一，由g o r d o n 和 r i e s e n f e l d 于1 9 7 4 年引入 第一章绪论 七阶b 样条基函数由c o x - d e b o o r 递推公式可定义为： 哪，= ：，毙“l 舭) 2 兰+ 糕1 ( f ) ，抡2 这里规定，凡出现0 0 的项均为0 ，r = 二称为节点序列，称为节点 为了适应几何造型系统的不断发展，b 样条的形式也在不断地发展中新的 造型方法有有理化、几何化、参数化、空间扩大化等等。如几何化就是将连续发 展成切向连续、曲率连续，其代表就是一样条n 铂；如空间扩大化就是在原有的 空问中加入新的函数类型，其代表是在参数多项式空间中加入频率序列 i n - 1 1 1 其中非均匀有理b 样条( n u r b s ) 是最成功的一个，并已经成为工业产品设 计的标准。它兼有b 样条形状局部可调及连续接可调的优点，又兼有有理b 6 z i c r 曲线可精确表示圆锥曲线的特性。然而，正如p i 嘲d 们等人指出由于采用有理形 式来代替多项式形式，n u r b s 模型在几何设计中也存在一些局限性 例如： ( 1 ) n u r b s 模型的微分积分运算困难，曲线求导后次数会升高，这对数值计 算是不利的； ( 2 ) 在表示不同次数的分段曲线时，必须用高次样条表示低次曲线，这大大 增加计算量； ( 3 ) 不能精确表示超越曲线，如c a d c a m 系统中常用的摆线、螺旋线等； ( 4 ) 虽然n u r b s 可以精确表示圆弧，但是其参数并不是它的弧长参数 n u r b s 模型更多的局限性，请参考竹。洲。 正因为n u r b s 模型有这么多的局限性，我们希望对b 样条作进一步研究和 扩展，得到新的造型方法以适应c a d c a m 的发展 1 3 1 可变次数多项式b 样条 c a d 等几何造型系统对建模工具的要求，一是数据量少，二是计算省时 如何减少存储量和提高计算效率一直是c a d 系统发展的不懈追求例如， s o d c r b e r g n0 5 1 在2 0 0 3 年提出的新的建模工具一t 样条这种样条能够突破传统的 浙江大学博士学位论文 张量积b 一样条曲面对控制网格的拓扑限制，允许在控制网格内部出现度数为3 的控制顶点，从而极大的简化几何模型，减少曲面的控制顶点数，使建模的操作 速度和渲染速度都得到提升。 为了进一步提高c a d 系统处理数据的效率，我们提出了可变次数的多项式 b 样条。我们知道，b 样条是c a d 的主要建模工具，其特点之一是在各个节点 区间上次数都相同。这就决定了它在表示不同次数的分段多项式构成的曲线时， 必须要用高次多项式表示低次曲线，这就会产生冗余数据，并增加计算量。例如， 直线段的表示用一次式只需要起点和终点的数据，而用三次式表示却要四个点。 数据量增加了一倍，而计算量远不止于此。要避免这种情况，就应该是几次就用 几次多项式表示。这就使变次数b 样条的研究提上日程。 变次数b 样条是一个新的造型方法。但其实它并不是一个新问题n 睁。1 9 9 6 年意大利的c a s t a n t i n i p n 惦。1 州就提出了变次数样条的概念，并且在2 0 0 0 年c a g d 上利用变次数的多项武来构造曲线曲面n 1 0 1 ；2 0 0 1 年法国的几何造型专家 m a z u r e m 证明了交次数的多项式样条的存在性；2 0 0 3 年s e d e r b e r g 2 1 等人在 c a g d 上发表了关于用变次数样条( m d s p l i n e ) 进行曲线设计的论文，表明了 m d 样条具有许多和一般b 样条类似的性质，如局部支撑性、保凸性、交差缩 减性等，并且是c ”1 次连续，这里刀是两曲线段较低的次数。 a 。f o n to u t l i n e 图1 7 ( a ) 字母u b b e z i e r 图1 7 彻用b 6 z i e r 曲线表示 第一章绪论 c b s p l i n ed m d - s p l i n e 图1 7 ( c ) 用b 样条表示图1 7 ( d ) 用m d 样条表示 上图引自s e d e r b e r g 羽，以说明变次数样条能明显的简化模型，减少控制顶 点，达到压缩数据，简化计算的目的( 上面的空心点是曲线的控制顶点) 然而以上的研究仍有局限性主要是两方面：一低次，二无基函数低次指 的是以上讨论仅限于以一次、二次的低次分段多项式构造曲线曲面的情况；无基 函数指的是没有为低次的变次数样条构造一组具有权性、局部支撑性和正性的基 函数，然后以它们表示曲线曲面所以，文献玎就提出今后的问题要解决包括 变次数b 样条基的构造、变次数样条的一般形式以及它的开花和升阶算法等一 系列问题。 从b 样条过渡到交次数b 样条并不是一件容易的事情，研究也不能简单套 用b 样条的模式。这需要我们进行创造性，原始性的研究，才能为变次数b 样 条的性质和应用奠定坚实的理论基础其中基函数的构造是关键的一步，遵循先 易后难的过程，在第四章中，作者将给出自己研究的初步结果，所构造的交次数 b 样条保持了b 样条基的许多本质特性这样得出的变次数b 样条不仅能实际 应用于c a d 系统，而且能充分发挥其简化模型，减少计算量的特点 1 3 2 双曲或三角多项式b 样条 我们希望找到另外一种曲线曲面造型，既避免有理形式，又具备多项式b 样条类似的性质这样就必须把b 样条的多项式项用非多项式来代替于是， 有人提出了几种新的样条曲线曲面方案。下面将简单介绍一下 将代数多项式和三角或双曲多项式结合起来，构造出的新样条能够克服 n u r b s 的缺点，精确表示如圆锥螺线，悬链线等工程上应用广泛的超越曲线 这个想法最初是文献n 1 3 1 提出来的他以s i n t ，c o s t ，t ，l 为基底构造曲线，称之为 1 4 浙江大学博士学位论文 c b 样条。 其定义如下：令2 j b ，6 l ，6 2 ，岛，吃- ，玩( 3 ) 是给定的顶点，任意实数 口 o ，万】，则曲线为 a ( f ) = b o o ) 鸟+ b l ( t ) b i + l + 垦o ) 匆+ 2 + b ( f ) 匆+ 3 = 丽1 丽陋删1 】 c - ( 1 + 2 c ) 2 + c 一1 一s2 ss0 1 1 + 2 c - ( 1 + 2 c ) 1 口一2 a c口0 匆 匆+ i 4 + 2 岛+ 3 这里0 口t ，c = c o s ，s = s i n ，0 t 口，i = o ，l ，n - 3 ，e o ( f ) ，b i ( f ) ，最( f ) 和 b 3 ( t ) 是基函数 所以， 聃) = 气群删= 丽t - s 鬲i n t ， 即m 嘲+ 觜， 耻桃啦+ 端 次年，文献棚又给出了另两种定义。 通过以上定义的b 样条曲线，我们知道c b 样条与三次b 样条有很多相似 的性质，比如归一性，非负性、对称性、几何不变性、凸包性和局部调整性等等。 它的细分公式也很简单利用这种样条，我们可以表示圆弧、椭圆n 15 1