（理论物理专业论文）两个粒子耦合几何相位的研究.pdf

摘要 自从b e r r y 【1 】于1 9 8 4 年提出在量子h a m i l t o n 系统作周期性绝热演化过程中存在几 何相位以来，几何相理论日益引起了人们的重视，以后人们从b e r r y 绝热相位又推广到 了非循环非绝热的几何相。近年来，人们已经在核物理、原子分子物理场、量子计算、 光学、凝聚态物理以及规范场论等各个领域对几何相位做了许多实验验证和理论分析 【2 3 1 。几何相位的发现，使人们重新审视了许多根本的物理问题。深入研究几何相理论 有益于人们对量子力学更深层次的理解。 本文主要研究了两个粒子相互作用的几何相问题。首先讨论了在含时磁场的作用 下，各向异性耦合对系统几何相位的影响。然后利用微扰理论求解 日= 2 ，( 耳+ 五吖彤) + b ( f ) ( s + ) 的近似瞬时本征态，基于此近似解再求解此系统的几何相位。最后利用构造s o ( 5 ) 群演 化算符求解了对于存在简并本征态系统h a m i l t o n 为 一 1 日= 2 群譬+ 2 2 石群+ 去( 六一厶) 矸+ ( 五+ 五) 矸霹的几何相位。 关键词：几何相位；异性耦合；演化算符；s 0 ( 5 ) 群 a b s t r a c t s i n c eb e n 了p i 、叩o s e dt h ee x i s t e n c eo fg e o m e t r i cp l l a s ei nt h ep e r i o d i ca d i a b a t i cp r o c e s s o fq u a n t u mh a n l i l t o ns y s t e m si i l19 8 4 ，t h e l e o 巧o fg e o m e t r i cp h a s ef o rh a sa t t m c t e d e n o m o u si n t e r e s t s s 锄u e le x t e n d e dt h eg e o m e t r i cp h a s et on o n c y c l i ca n dn o n a d i a b a t i c e v o l u t i o n s t h e r eh a sb e e nm a n ye x p e r i m e n t a lt r i a l sa n dt 1 1 e o r e t i c a l a n a l y s i so ng e o m e t r i c p h a s ei nf i e l d so fn u c l e a rp h y s i c s ，a 幻m i ca n dm o l e c u l a rf i e l d ，q u a n t u mc a l c u l a t i o n ，o p t i c s ， c o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c sa n dc a n o l l i c a lf i e l ds c 叩e s t h ed i s c o v e 巧o fg e o m e t r i cp h a s e i n s p i r e sp e o p l et or e c o n s i d e rs e v e r a l 舢 1 d a m e i n a lp h y s i c sp r o b l e m s d e e pi n s i g h to f g e o m e t r i cp h a s ei sb e n e f i c i a lf o rd e 印u n d e r s t a n d i n go fq u a n t u l ：l lm e c h a l l i c s 1 1 1t h j st h e s i s ，、v em a i l l l yf o c u s e do nt h eg e o m e t r i cp h a s e 南rt h ei 口t e r a c t i o no ft w 0 p a r t i c l e s f i r s u y ；w ed i s c u s s e dt h ee 丘e c to fa n i s o n o p i cc o u p l i n go ng e o m e t r i cp h a s eo fa s y s t e mi i l at 血e - d 印e n d e mm 4 印e t i cf i e l da n do b t a j n e dt h e 印p r o x 曲a t ei n s t a n t a n e o u s e i g e n s t a t eo fm eh 锄i l t o n i a n h = 2 j ( s ；s ；+ a s ：s ；、) + b 岱l + s u s i n gp e r h l r b a t i o nm e t h o db a s e do nw l l i c hw eo b t a i n e dm eg e o m e t i cp h a s e f i n a l l yw e o b t a i n e dt h eg e o m e t r i cp h a s eo ft h eh 删l t o 伍a n h = 2 9 s ；s ；+ 各压 s ；s ；+ 专l 、是一内s ：+ ( 允+ 鼬s ：s ； b yc o n s t r u c t i n gat i m e - d e p e n d e mo p e r l t o ro fs o ( 5 ) g r o u p k e yw b r d s ：g e o m e t r i cp h a s e ；a n i s o t r c ) p i cc o u p l i n g ； t i m e - d 印e n d e n to p e r a t o r ；m eg r o u po fs o ( 5 ) i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 虹一一日期：业 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学 位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版 发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：皂违 日 期：塑垒2 ：参 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 誓导教师签翥! 三童缘 日 期：z 壁0 2 一。占一d 否 电话：，吞p ￥f 石多￥牮d 邮编：圣笸f ! 全垡 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论弟一早三百下匕 1 1 引言 相位是量子力学中的重要概念，它是所有干涉现象的根源，它和几率幅一样具有深 刻的物理意义。但是由于其物理含义较为晦涩难懂，所以在早期的量子力学的研究中， 一般只重视对于量子态几率幅的研究，而量子态的相位在很长时间内没有得到足够的重 视，它是在量子力学向着深层次的发展过程中逐渐被重视起来的，并且得到很快的发展 和应用。近些年来，随着对量子力学深层次的挖掘，量子的相位的研究是成为现代量子 物理发展的重要方向之一。 几何相位的概念首先是p a n c h a r a t n 硼在1 9 5 6 年的论文中引入的h 1 ，基于对偏振光 的干涉的研究，他提出了这样的问题，给出两束偏振光，是否有比较它们相位关系的自 然方式，他的回答是，让两束光干涉，如果合成的强度最大，则他们相位匹配( i np h a s e ) ， 这实际上给出了比较任意两束不正交偏振光的关系的一种方法( 比较相位的规则) ，不 过，这个规则对于比较正交的偏振光的相位就不适用了，它们不干涉且叠加强度对两束 光的相位是不敏感的。对于偏振光1 ，2 ，3 ，一般来说，如果1 和2 共相，2 和3 共相， 那么1 和3 并不一定共相，研究表明3 多出1 的相位是p o i n c a r e 球面上由1 2 3 所围绕 的立体角的1 2 ，后来的研究表明，这个额外相位实际上是b e r r y 相的早期实例。 b e r r y 几何相因子的发现与量子绝热过程畸1 的研究是密不可分的。众所周知，与时 间无关的量子系统若开始处于一个定态( 时间无关的哈密顿量的本征态) 上，则在以后 的演化中会也一直处于这个定态上。如果哈密顿量依赖于时间，体系通常不会保持在初 始时刻的本征态上，哈密顿量随时间的改变，会激发不同瞬时能级间的跃迁，然而与系 统内禀演化相比，如果哈密顿量的改变足够缓慢，即体系是绝热变化的，类似于定态演 化的特征会得以保持。量子绝热近似定理给出了定量的描述，b e r r y 相因子还有着丰富 的数学结构，在介绍了b e r r y 相的概念和量子绝热近似方法后详细讨论了b e r r y 相的几 何结构，其中包括h a m i l t o n 量的非简并情形和简并情形。前者对应的是阿贝尔诱导规 范场理论，后者对应的是非阿贝尔诱导规范场理论。 1 9 8 4 年b e r r y 研究了量子态在循回绝热演化的系统中的变化规律时，得到一个非 常深入和有趣的结果。量子绝热定理告诉我们，如果体系起初处在一个含时h a m 订t o n 的瞬时本征态，且这个含时h a m i l t o n 随时间参数作缓慢变化，则这个瞬时本征态仍旧 是系统的本征态。而b e r r y 发现，如果h a m 订t o n ( 环境) 回到初始的值，则量子态也 回到初始状态，但是除了获得一个动力学相因子外，还有一个额外的相位，它和系统的 具体变化过程有关，这个相位就是著名的b e r r y 相位。b e r r y 相因子的存在不久就被相 应的光学实验以及核磁共振试验等所证实量子绝热定理随咱3 表明，如果量子体系起初 东北师范大学硕士学位论文 ( f = 0 ) 处在一个含时哈密顿日( o ) 的瞬时本征态i 虬( 0 ) 上，且这个含时哈密顿量日( f ) 随 时间参数作足够缓慢的变化，那么在任意时刻f ，体系仍旧处于该系统瞬时哈密顿量 日( f ) 的本征态i 虬( o ) 上，与初始态只有相位的差别。一个量子体系的量子态经过演化 后如果回到初始的态，也就是演化后的量子态与初始的量态只可能差一个相因子，那么 这样的演化被称为一个循环的演化。在绝热的循环演化条件下，相差的这个相因子中不 仅仅包含了通常的动力学相因子，也包含了不依赖于演化过程的几何相因子部分，这个 表示几何部分的相因子正是b e r r y 在中1 的发现。实际上，量子绝热定理仅是告诉我们， 缓慢变化的哈密顿量的本征态会保持下去但并没有给出这个态是如何演化，具体的态 l 虬( o ) 是什么。在证明量子绝热定理的过程中，人们仅仅给出符合直觉的推导n 们： l 沙( f ) = p 一饥l 虬( f ) 其中e ( f ) 是日( f ) 在f 时刻的瞬时本征值，这个表达式与时间无关系统的定态演化是一 致的，当日( ，) 不随时间改变的时候，即回到通常的结果l 妙( f ) = p 一即i 虮( f ) 。然而， 在1 9 8 4 年，b e r r y 指出，上面的表达不尽正确，在很多情况下，除了动力学p f j 。晶，相 因子之外，还有一个附加的相位： 兀( f ) _ f f p 嘲砂r ) i 虬( f ) 并将此式代入薛定谔方程，并对f 积分，从而得出了相兀( f ) 所具有的性质和上面的表达 式。当系统经历一个周期t 的演化时，几何相位表达式为： 兀( ，) = fe ” a f 这个相位发现不久，b s i m o n n 就给出了这个相位的几何解释，指出b e r r y 相因子具有 几何拓扑特征，它代表h e r m i t 线丛上的和乐( h 0 1 0 n o m y ) ，而绝热演化则自动定义了这 个纤维丛上的联络。从这个意义上说，b e r r y 相因子与规范结构有着密切的联系。b e r r y 相位提出后不久，就得到了实验的验证，并得到很广泛的研究和应用。 1 9 8 7 年，a h a r o n o v 和a n a n d a n 将b e r r y 的发现的相位做了重要的推广n 2 13 】，去除 了对“绝热”这个外部参数的依赖，得到了一般情况的循回演化的相位，这个工作的关 键在于，他们区别出了对h 硼订t o n 量期望值的积分这个动力学相位，如果这个动力学 相位被去除了( 一般通过实现平行传输条件来去除) ，那么系统相位的演化仍旧可通过 自然联络来决定，这样，这个循回演化的相位就仍回到原来的b e r r y 相位。而又过不久， j s s m u e l 和r b h a n d a r i 基于p a n c h a r a n a m 的早期工作又将此相位进一步推广到非循回 2 东北师范大学硕士学位论文 以及非幺正的演化的体系中n 钔。他们认为，如果体系初始状态为l y ( 0 ) ，经过一段时间 的演化，体系态矢量变为ly ( 丁) ，l 沙( 力 比i 少( 0 ) 多了一个总相位m r ，r = a r g ，总相位有两部分组成，动力学相d 和几何相g ，中d = t 一 fi 功 ，西g = 中r m d 。对于一个具体的二态体系，几何相的绝热近似极 5 口7 限应该给出b e r r y 相。文献上有时也称几何相g 为“非绝热的b e r r y 相”。最近，几何 相的研究深入到物理学的各个方面，在分子动力学、线性反映理论和波包再生理论等中 得到广泛应用n 纠7 1 。 对于复合系统几何相位的研究也源于对量子信息以及几何相在量子信息中的应用 的研究，我们已知道，量子纠缠是存在于复合体系的子体系之间的一种奇妙关联，因而 量子纠缠可能会对各个子体系的几何相位以及该复合体系的几何相位的产生影响，这个 问题是很值得探讨的，这不仅仅是几何量子计算研究中的问题，对于以往的量子计算方 案，相位问题也是很重要的一个方面。2 0 0 0 年，e s j 6 q v i s t n 踟首先研究了非循回非绝 热体系的几何相位对于量子纠缠的依赖关系，正如所料，结果表明，子体系间的纠缠对 整个体系的几何相是有影响的。d m t o n g 等人n 鲫进一步将e s j 6 q v is t 研究推广到对 旋转磁场中的自旋粒子对的研究，他们又在以后的论文中进一步研究了双粒子体系几何 相与子体系几何相的关系，也表明了纠缠在其中的重要影响。此外，由于实现量子计算 的大多数系统都是复合系统，而纠缠态可以通过相互作用或者测量来实现，因而子体系 的耦合方式和程度直接影响了复合系统的相位，那么到底是如何影响的? 子体系的相位 与复合体系的相位的关系到底是怎样的? 这是很值得探讨的问题。 对于混态几何相位的研究，最早在1 9 8 6 年，a u h l m a n n 从纯数学的角度研究了混 合态的几何相位。2 0 0 0 年，e s j 6 q v i s t 啪3 基于在m a c h z e n h d e r 干涉仪上的干涉实验， 提出了幺正演化的混态的量子几何相位的定义。但后来的研究表明两者对于混态几何相 的定义并不等价，因此对于混态的几何相位的定义以及具体含义还有待于探讨。另外， 我们知道，复合体系的子体系一般也不是纯态，要探讨整个体系与子体系间的几何相位 关系，就不可避免要遇到混态几何相位的问题，目前，对于混态几何相位的研究已延伸 到对简并态的研究，但尚有很多未解决的问题。 场的量子化以及真空效应也是量子物理中特有的现场的量子化以及真空效应也是 量子物理中特有的现象，量子光学中的许多效应，如量子跃迁，塌缩，r a b i 振荡等现 象，只有在考虑了场的量子化效应之后才能得到解释，此外，量子力学中的许多效应， 例如c a s i m i r 效应，l 锄b 移位等现象均根源于真空效应的影响，因此，真空效应也是 需要考虑的问题。这说明场量子化在完整地解释物理现象也是很重要的。我们很容易发 现，前面所谈的对于量子几何相位的研究一直是基于准经典理论的，即只考虑的体系的 量子效应，而驱动体系演化的场本身并没有被量子化。i f u e n t e s g u r i d i 等人乜将量 3 东北师范大学硕士学位论文 子化的腔模作为驱动场，首先从理论上探讨了一个腔q e d 的体系的b e r r y 相位，计算的 结果表明，当光子数目很少的时候，b e r r y 相位与准经典情况很明显的不同，而且即使 在无光子的真空中，也将产生一个几何相位，而且并没有准经典情况的对应，分析表明， 其不同之处来源于自旋1 2 体系和真空场的相互作用。目前，量子几何相位的研究已进 一步延伸到了对开放系统瞻刳，以及非线形系统乜3 1 等的研究，还有很多要解决的问题。 1 2 论文的选题背景及意义 自从b e r r y 于1 9 8 4 年提出几何相位的概念以来，几何相位得到了广泛的研究和发 展。用表示体系中随时间缓慢变化的一组参量，则体系的本征态在演化时，除了获得 一个动力学相位外，还获得一个几何相位或b e r r y 相位。 迄今为止，关于自旋系统几何相位的研究已经很多瞳4 埘3 ，特别是人们利用l e w i s r i e s e n f e l d 量子不变量方法求解了单自旋系统的含时薛定谔方程并计算了其几何相 位，然而这些研究都局限于单自旋情形，并未涉及多自旋系统。本论文中，我们分析了 各向异性耦合作用对自旋系统的b e r r y 相位的影响并求解不同形式下h a m 订t o n 量的几 何相。 1 3 论文研究的主要内容 本论文首先研究了异性耦合对在含时磁场作用下的哈密顿量 日= 2 僻+ 云( f ) ( 墨+ 受) 几何相位的影响，然后用不同的方法分别求解以下两种哈密 顿量： 日= 2 ，( 矸霹+ 见吖醚) + b ( f ) ( s + 是) h 。= 2 9 s ；s ；+ 2 s ；s ；一一2 疋嫡：+ s ；s 扣一0 2 3 岱：+ s ：s 9 的几何相。对于哈密顿量h ，利用微扰的理论求解此哈密顿量的近似本征态，在利用 几何相的一般表达式求解其b e r r y 相。对于哈密顿量日7 ，通过构造演化算符d ( 胛，所) ， 求解具有简并态二个粒子耦合系统哈密顿量的b e r r y 相。 4 东北师范大学硕士学位论文 第二章两个粒子异性耦合对日= 2 舛+ 云( f ) ( 墨+ 受) 系统 几何相位的影响 2 1 异性耦合对日= 2 晖+ 否( f ) ( 墨+ 受) 系统几何相位的影响 设两个自旋量子数为l 2 的粒子具有各向异性耦合作用啪3 ，在外加含时磁场作用 下，两个耦合量子位的h 锄i l t o n 量： 日= 2 群鹾+ b ( f ) ( s + 是) ( 2 1 ) 式中歹为耦合常数；召( f ) 表示b o l l r 磁子与含时磁场的乘积；s = ( 譬，掣，群) 是第f 个自 旋算符( f = 1 ，2 ) 。 为方便起见，将b ( f ) 在球坐标系中表示出： 且( f ) = 鼠s 访秒c o s 矽，岛( f ) = 鼠s i n 秒s i n 矽，马( f ) = 鼠c o s 秒 并引入酵= 譬掣，( f ) = 曰( f ) c 。s 秒( f ) ，g ( f ) = 三b ( f ) s i n 口( f ) ： 则该系统的h 锄i l t o n 量可化为： 222 日= 2 舛譬+ 形( f ) 影+ g ( f ) e w 譬+ e 眦筇】 ( 2 2 ) f - if - l，= l 系统的瞬时本征态j 识( f ) 满足瞬时本征方程： 日( f ) i 纯( f ) = e ( 圳纯( f ) 我们将哈密顿量以 i 仍声击( 忪。忪：“ 。lb ：) 仍 = 1 个 。j 个 ： 伤茸击( p ： 。i 仆：) ( 2 3 ) l 纪 = i 上 l ij 2 ( 2 4 ) 为基底，这里1 个 ，i 、l 分别表示单个自旋算符墨的本征态， 东北师范大学硕士学位论文 则哈密顿量( 2 2 ) 的矩阵形式为： 日( f ) = 3 2 0 0 0 o 形( r ) + 丢 二 痂( f ) o oo - g ( f ) p 一舻 。 一妥压g ( f ) p 一舻 2 廊丢川r ) 其中一个本征态l 仍( f ) 为： z 击( 卜。炒：叫 ：) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 是满足瞬时本征方程( 2 3 ) 的瞬时本征态，即总自旋为o 的单态。 其它3 个瞬时本征态处于基底为 l 仍 ，i 伤 ，i 织 ) 的h i l b e r t 子空间内，由下面 h a m i l t o n 量决定： 日缸) = 吾川，) 痂( f ) 0 压g ( f ) p 一舻 3 2 o 血( f ) e 一矽 姜一形( f ) 2 压g ( 咖一印 o - g ( f ) p 一印 委一( f ) 一e 2 一 根据久期方程，瞬时本征值e ( f ) 满足方程为： y 3 一咖2 一( 4 g 2 + 形2 ) y 一形2 ，= o 其中y = 即) 一吾 对于本征值巨，f = 2 ，3 ，4 对应的系数为： 恐= 杀 舻 k = o五2 p 少( f ) 一形( f ) 3 = o ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) e一 o ，一2 g 压 东北师范大学硕士学位论文 其相应的本征态按基 l 经 ，i 仍 ，i 吼 展开为： 织( t ) = 去( j c 2 i 仍爿码i 仍 乜i 纸 ) 其中a 为归一化系数：么= 蔓恐+ 写屯+ 五 ( 2 1 1 ) ：塑粤凳牲 ( 2 1 2 ) ( y 2 一形2 ) 2 、。 根据b e r r y 相位理论，当含时磁场随时间缓慢变化且做周期演化( 即参数演化一个 周期) 。则波函数在周期 0 ，t 内演化的几何相位为： 兀= i j c r ，很显然l 仍( f ) 的b e r r y 相位斯霸】= 0 即i 仍( f ) 态是自旋j = o 的状 态( 即单态) 粒子的演化。 将所求瞬时本征函数( 2 1 1 ) 式i 纯( f ) 代入( 2 1 3 ) 式得： = 肛研高融 ( 2 1 4 ) 定义系统总自旋算符s = s + 是，则 = 去 c 。s 矽= 口( f ) c 。s 矽 实际上是自旋s = 0 的状态即单态，由式子( 2 6 ) 可以算出该态的 几何相位为“0 ”，即自旋间相互作用不影响其状态的演化，故对几何相无贡献。 2 瞬时本征态l 纯( f ) 实际上是自旋s = 1 对应3 重态。由式子( 2 1 1 ) 可以看出3 个状 态的几何相位都可以不为“0 ，与自旋量子数为l 的单自旋系统绝热演化情况不同： 对于单自旋系统 的量值不随时间变化，只有方向改变。而对于本论文所研究的系 统， 量值并不保持恒定。 对于单自旋系统 的方向与磁场方向一致，而对于本论文研究的系统， 取向于 k ，( f ) 且不同于磁场方向。 这正是含时磁场下具有单轴各向异性耦合双自旋系统几何相与自旋为1 的系统几何相 位的区别，即各向异性耦合对体系几何相位的性质有显著的影响。 8 东北师范大学硕士学位论文 第三章求解日= 2 ，( 矸譬+ 兄吖) + 云( f ) ( 墨+ 曼) 的几何相 设在空间个点阵上分布着自旋量子数为s 的个自旋，最近邻自旋其量子数为 去的粒子具有各向异性耦合。在含时磁场作用下h 锄i l t o n 量为： 日= 2 ，( 耳+ 兄吖彰) + b ( f ) ( s + 是) ( 3 1 ) 其中名为各向异性参数，我们设0 名 满足瞬时本征方程： 日( ，) i 纯( f ) = e ( f ) i 纯( f ) ( 3 3 ) 对于方程( 3 3 ) 式，我们用一般的方法很难求解本征态的精确解。因此，下面我们 将利用微扰理论来求解上述方程在强磁场作用下的近似本征态。 对瞬时本征态j 矽( f ) 作一幺正变换 l 认f ) = 友( f ) l f ，( f ) ( 3 4 ) 这里友( f ) 为一幺正算符，将( 3 4 ) 代入( 3 3 ) 式得： 盖+ 蕊j 妒o ) = e o ) l 少o ) ( 3 5 ) 我们选取幺正算符 友( ) = n 定( f ) 括1 ( 3 6 ) 定( f ) ：e x p 一掣 e - 坝”譬一p 叭”耳】) 这里含时的实参数目( ，) ，矽( f ) 与g ( f ) ，形( f ) 有关。 利用自旋关系： 9 东北师范大学硕士学位论文 晖，巧 2 喀譬 霉，带 - 岛牟 我们得： 矸譬置= c o s f 一击s i n 占( p - 叭u f + p 州f ) l il| ，、ol一 。 矸牟r = 矿印 s i l l 卵：+ 【矿坤( c o s 2 詈) 一矿印( s i n 2 詈) 矸】 日丹 碍( f ) 未r = 一( 1 一c 。s 印譬一争p 一译( s i n 口+ 扫) 譬+ ( s i n 占一毋) 耳】 r s i s j 硭= s i s j r + ( f ) s i 且( f ) = r jo 战r ( f ) 氓+ ( f ) 言r ( 。= i ；碍( 。鲁r ( r ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 根贴l 3 d ，a 口j 计舁 r + 珊叫f ) 莩群+ 善叭l 棚s i 砌c 0 8 2 州( 1 均s 扪】譬 + 【一丢( 1 + 五) s i n 2 阮。2 妒+ 吾( 1 一五) ( c 。s 4 罢+ 一蛐s i n 4 罢) 譬譬 + 卜丢( 1 + 旯) s i n 2 如2 舻+ 乏( 1 一五) p 4 蛐( s i n 4 詈+ c 。s 4 罢) 耳町 + 弓( 1 + 丑) s i n 2 酏i 妒十吾( 1 一五) s i n 口( e 妒c 。j 2 詈一p 删s i n 2 詈) 】譬譬 + 一；( 1 一五) c 。s 2 痧s i n 2 护+ 吾( 1 + 五) ( s i n 4 詈+ c 。s 4 导) 】譬墨 + 弓( m 矿i n 2 吖扣枷i n 绯s 詈一一n 2 争s s + 弓( 1 均执i n 2 口+ ( 1 删s i n 即叫c o s 2 詈n 2 争f 写 “普( 棚c 。s 2 删n 2 吖扣堋n 4 詈s 4 争耳时 ( 3 9 ) 令h 。( ) = b ( f ) 研 于是在强磁场作用下( 3 9 ) 式化为： 日0 ) = r + 瑚一风( f ) 这里可阻把日缸) 看作h 0 ( f ) 的微扰项 日。的瞬时本征态为： 1 0 ( 3 1 0 ) 东北师范大学硕士学位论文 y 。= l j ， l i j ， 2 l s ， 由薛定谔方程可知： ， 磊o ) 码，忱。= b ( f ) 聊， f = j 这里( 聊，= 哪，一j + 1 j 一1 ，j ) ，其中is ， ，满足下面一组标准正交基 群is ，聊f f = is ， f fs ，镌 ，= 板i 写万石丽ij ，镌+ 。 ， i s ，小， ，= 瓜二瓦丽i j ，鸭一。 ， 为简单起见，我们仅考虑非简并态的微扰修正 少o = ly 一，一，。= is ，一s l is ，一j 2 is ，一j r 由微扰理论i 杪o 的一级微扰近似为： 沙( f ) = ls ，一s l i j ，一s 2 i s ，一s r + c i ( f ) ij ，哪 1 i 旷s + 1 f ls ，一j 扛1 + c j o ) ls ，一j 1 ij ，一j + 1 f ij ，哪+ 1 is ，一s 驴 其中酏) = 等 扣矽s i n 2 秒+ 扣岫即w s 2 詈n 2 争 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 啪) = 蒜 等( 1 蚋) s i n 2 护一扣枷s 4 詈酬m 4 和 ( 3 1 4 ) 根据b e r r y 相位理论，当含时磁场随时i 司缓慢变化且做周期演化时，则波函数在周期 o ，卅内演化的几何相位为： 例j c r 。其中p = 一歹，一，+ 1 _ ，一1 ，_ ，。 因此，日( ，z ) 的瞬时本征态为： i p ( 元) _ u ( 元) l p 对应的本征值为e 。= 加 对于系统的h a m il t o n i a n 量为： h = 2 9 s ；s ；+ 2 0 乏 s ；s ；+ 妥l 允一躺s ：+ l 疋+ s ：s ； 其中g ，彳，五，石为实数。 下面我们构造以下算符： ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 东北师范大学硕士学位论文 e 3 - 磷s ；e t = 豪嘴s 抖s ；、) f = 撕s 溉 u = 吉( 辞+ 2 并霹)丘= 三( 一矸+ 2 耳霹) e = 一群 其中算符满足下面对易关系： 乓，】- ， 丘，】_ 千乓， e ，】e ， 乓，乓】= 干啦 毛，盈 - 盈， t ，e 】= 毛，【e ，u + = 千u ， ， - e 毛，k 】= k ， u ，以】_ e e ， k ，正 - b + e 则( 4 5 ) 式的h a m 订t o n i a n 量可变形为： 日= g 毛+ ( z b + 五q + 六一+ 日c ) 我们构造下面的幺正演化算符d ( ，z ，聊) d ( 玎，聊) = e x p ( 兄以一名+ ，) 其中d ( 玎，研) 是s d ( 5 ) 群的相干态算符 名= 胪咿，以= 芝c o s 晖一s i n 蚀印+ s m 陇跏k 与j d ( 3 ) 群相似，我们通过演化算符d ( 玎，聊) 使( 4 7 ) 式的哈密顿量对角化： d + ( 行，朋) 日( 珂，删) d ( ，z ，聊) = 如 算符岛的本征态分别为： i ，r 。l r 2 ，1 个 li j ， 2 ， i 、l ll r 2 ， i 、l li j ， 2 对应的本征值分别为2 ，一2 ，一2 ，2 由此可知，对于相同的本征值，系统h 锄il t o n i a n 量的本征态有简并。 设系统h 锄i l t o n i a n 量的瞬时本征态为l 烈聍，所) ，g 则有： l 烈刀，朋) ，霉 = d ( 刀， ) i 仍g 所以相同本征值对应的本征态的组合为： i 烈玎，m ) = i 纵，z ，川) ，g 其中满足i 1 2 = 1 1 4 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 东北9 币范大学硕士学位论文 对于系统h a m i l t o n i a n 量的组合态可以分别表示为： 由 晌川声击( 嗍仿：州 。蝴 咖川砖去( 嗍b ：“ 。 d ，聊) = e ) 叩 p ( e 泸以一p 一泸，) 】 = e x p 组 e x p h l ( 1 + 吲2 ) 弓 e x p 一孝。，】 = e x p 一孝上 e x p 一l i l ( 1 + 坪毛) e x p 【+ 】 这里取善= t a n p 由 正，d 以) 】- o 得： 川) = 卉孝t w 叼善一孵黼朋) + 孝d 以) d ( ，z ，所) 一孝d ( ，z ，聊) 饥，( 聊) 】 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 矿帆研删咖卉矿帆酬删t 管形名“够蚓砌 + 善d + ( 玎，翘) d 以 d ( 强，埘) 一善d 上 将上式进行简化得： 卉孝t 够嘶名“蚓 = 吉扩( 印+ f s i i l p d 声) 一圭p 邶( d p 一涵n p d 历上+ 2 涵n 2 ( 詈) b 筇 d + ( 玎，聊) 讲 d ( 即，朋) = 压c o s 2 户s i l l 鲫绷e 一c o s 2 科c o s 9 + f s i i l 鲥矽 q ( 4 1 3 ) + p 一肇c o s 2p c o s 鲋伊一f s i i l 鲥妒 一己- 2 泸s i i l 2p s i n 鲋秒巨 ( 4 1 4 ) + p 五泸p 舻s i n 2 p _ c o s 鲥日+ f s i n 鲥妒 【上+ p - 2 泸p 妒s m 2 p c o s 鲥口+ f s i n 鲋矽 圪 东北师范大掌硕士掌位论文 所以( 4 1 3 ) 式化为： d 十( ，z ，研) 扣( 以，所) ： ! ；c 。s 阮泸( d p + f s i n p d ) 一芝c 。s 2p s i n 鲋臼 e + 一妻p 泸p 印s m 目( d p + f s m p d ) 一p 印c o s 2p ( c o s 口+ f s i n 秒d 矽) u + 昙p 妒e 一肇s i n p ( d p + f s i i l p d ) + p 一印c 。s 2 p ( c 。s 鲋p f s i n 鲥矽) 】一 “一子e 一妒c 。s 乡( d p f s i n p d ) 一乙- 2 泸s i n 2 p s i n 鲋臼 丘 + 三p 一泸p 一舻s i n 口( d p f s i np d 历+ p - 2 泸p 矽s i n 2p ( 一c 。s 口+ fs i n 秒d 矽) 【上 + 【一去p i 卢p 舻s i n 护( d p f s i np d ) + p 2 调p 舻s i n 2p ( c o s6 日秒+ fs i n6 口矽) 】圪 + 2 f s i n 2 ( 要) d 易 ( 4 1 5 ) 下面计算在简并空间下的几何联络： 彳钾： = = a ) a p 七a 囊0 七a 乒e 七a p 由 ( 4 1 6 ) 对于l 仍 态 铲= 2 压s i n 2 ( 譬) 乞。，卵 对于i 仍 态 = 2 厄s i n 2 ( 譬) ，卵 ( 4 1 7 ) 从上( 4 1 6 ) 和( 4 1 7 ) 式可以看出： 带= o 带= 2 扬s i n 2 ( 等) = 届( 1 一c 。s p ) 露， ( 4 1 8 ) 带= o穹7 = o ( 4 1 9 ) 从( 4 1 8 ) 可以看出4 ，以是阿贝尔的。由简并态的绝热理论耻3 1 1 可以得出，i l 并不 随着元和而缓慢变化而改变。并且因为几何联络中p 和是阿贝尔的，所以系统的几何 相位并不随着口变化而改变。 1 6 东北师范大学硕士学位论文 由( 4 1 8 ) 得到系统的几何相为： y = f r 石白卵= - 2 疡( 1 _ c o s d 1 7 ( 4 2 0 ) 东北师范大学硕士学位论文 第五章总结 本论文首先讨论了在含时磁场的作用下，各向异性耦合对系统几何相位的影响。然 后利用微扰理论求解各向异性耦合系统h 硼i l t o n i a n 量为： 日= 2 ，( 耳+ 见吖g ) + 云( f ) ( 墨+ 曼) 的近似瞬时本征态，基于此近似解再求解此系统的 几何相位。最后通过构造演化算符d ( 玎，聊) 求解具有简并态两个粒子耦合体系 h a m i l t o n i a n 量为： 一 1 日= 2 群霹+ 2 2 石矸霹+ 去( 以一石) 矸+ ( 五+ 六) 耳的几何相位。 二 由于时间关系，本论文的计算和讨论工作进行到现在，仍存在几个尚未解决的问题。 1 在求解哈密顿量为日和h 7 的几何相时，我们只考虑了两个粒子在自旋方向的耦合， 如果体系还存在自旋轨道耦合作用善( r ) ；，时，它对体系h 锄i l t o n i a n 量为 日= 2 ( 矸霹+ 见吖彰) + 孝( ，) j ，+ 云( f ) ( s + 是) 的几何相位有何影响。 2 我们还可以研究体系h 和h 7 的纠缠度问题。 以上是本论文要进行的后期完善工作，还需要一定的时间在以后的研究工作中逐渐 完成。 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 b e r r ymv q u a n t u mp h a s ef a c t o r sa c c o m p a n y i n ga d i a b a t i cc h a n g e s j p r o crs o cl o n d o n a ，1 9 8 4 ， 3 9 2 ：4 5 2 丁尚武，叶朝辉量子体系演化的几何相位 j 物理学进展，1 9 9 2 ，1 2 ( 1 ) ：6 3 3 z h us h il i a n g ，w a n gz id e n g e o m e t r i cp h a s es h i f ti nq u a n t u mc o m p u t a t i o nu s i n g s u p e r c o n d u c t i n gn a n o c i r c u i t s ：n o n a d i a t a t i ce f f e c t s j p h y sr e va ，2 0 0 2 ， 6 6 ：0 4 23 2 2 4 p a n c h a r a c h a t n a 皿s g e n e r a l i z e dt h e o r yo fi n t e r f e r e n c ea n di t sa p p l i c a t i o n s j ， p r o c i n d i a n a c a d s c i ， s e c ta4 4 ， ( 1 9 5 6 ) ：2 4 7 2 4 9 5 k u l i s hppa n ds k l y a n i ne kl e c t u r en o t e si np h y s i c s j ， ( 1 9 8 2 ) 6 1 1 1 9 6 f a d d e e vld ，t a k h t a j a nla h a m i l t o n i a nm e t h o d si nt h et h e o r yo fs 0 1 i t o n s j