（计算数学专业论文）若干类自相似集的hausdorff维数与测度研究.pdf

|妊誓- r e s e a r c ho nt h eh a u s d o r f f d i m e n s i o na n dm e a s u r eo fs o m e s e l f s i m i l a rs e t s t h e s i ss u b m i t t e dt o z h e j i a n gn o r m a lu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e b y w a n g q i a n ( c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ) t h e s i ss u p e r v i s o r ：h eg u o l o n ga s s o c i a t ep r o f e s s o r a p r i l ，2 0 1 0 盎 若干类自相似集1 j , 3 h a u s d o r f f 维数与测度研究 摘要 分形集的h a u s d o r f f 维数与测度的估测与计算是当前分形几何研究的一个 重要问题分形几何中的自相似集是一类最重要、最典型，也是目前研究最为 广泛和深入的分形集，尤其是s 集，它的h a u s d o r f f 维数等于自相似维数，但其 h a u s d o r f f 测度的计算成果仍凤毛麟角本文主要针对s i e r p i n s k i 垫片和s i e r p i n s k i 地毯的分形特点，并基于最优覆盖的h a u s d o r f f 钡1 度的计算理论，研究其h a u s d o r f f 测度值主要工作具体如下： 第二部分主要介绍了h a u s d o r f f 维数和测度的基本概念及其性质，以及一些 计算h a u s d o r f f 测度和维数的常用技巧，如质量分布原理等 第三部分系统阐释了自相似分形集的生成，并针对满足开集条件的自相似 集，给出其h a u s d o r f f 维数计算方法，和基于最优覆盖的h a u s d o r f f 测度的计算理 论 第四部分通过构造适当的覆盖集，得到了s i e r p i n s k i 垫片s ，s i e r p i n s k i 地毯 c xc ，s i e r p i n s k i 垫片类& ( v 3 入1 2 ) 与s i e r p i n s k i 地毯以( 1 4 a 1 3 ) h a u s d o r f f 测度的上界估测公式，并利用计算机编程实现求解，改进了s 和gxc 的h a u s d o r f f 测度上界分别为0 8 1 7 9 1 8 9 9 6 和1 5 0 1 8 4 6 9 且利用基于最优 覆盖的h a u s d o r f f 测度的计算理论，得到了s i e r p i n s k i 垫片类& ( 0 入1 3 ) 及 s i e r p i n s k i 地毯c 、( 0 a 1 4 ) 的h a u s d o r f ! f 测度的准确值分别为l 和( 以) s 本文获得的主要结果与现有文献的证明过程和上界估测方法有本质的不同 此方法还可以类比推广到对泛s i e r p i n s k i 垫片和s i e r p i n s k i 海绵的h a u s d o r f f 测度 的计算研究中去 i 关键词：自相似集；h a u s d o r f f 维数；h a u s d o r f f 测度；s i e r p i n s k i 垫片；s i e r - p i n s k i 地毯 r e s e a r c ho nt h eh a u s d o r f fd l me n s i o na n d m e a s u r eo fs o m es e l f - s i m i l a rs e t s a b s t r a c t t h ec a l c u l a t i o na n de s t i m a t i o no ft h eh a u s d o r f fm e a s u r ea n dd i m e n s i o no ft h e f r a c t a ls e t si so n eo ft h ei m p o r t a n ts u b j e c t so ff r a c t a lg e o m e t r y t h es e l f - s i m i l a rs e t i st h em o s tc l a s s i c a la n di n d e p t hs t u d y i n go ft h ef r a c t a ls e t s ，e s p e c i a l l yt h es - s e t ，i t s h a u s d o r f fd i m e n s i o ne q u a l st ot h es e l f - s i m i l a rd i m e n s i o n ，w h i l et h e r ea r en o tm a n yr e s u i t sa b o u tc a l c u l a t i o no fi t sh a u s d o r f fm e a s u r e b a s e do nt h eo p t i m a lc o v e r a g et h e o r y o ft h eh a u s d o r f fm e a s u r ec a l c u l a t i o n ，t h ep a p e rr e s e a r c h e st h eh a u s d o r f fd i m e n s i o n a n dm e a s u r eo fs o m es e l f - s i m i l a rs e t s ，s u c ha ss i e r p i n s k ig a s k e ta n ds i e r p i n s k ic a r p e t t h es p e c i f i cw o r kc o n s i s t sa sf o l l o w s ： i np a r tt w o ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fh a u s d o r f f d i m e n s i o n a n dm e a s u r e a f t e rt h a t ，w em e n t i o ns o m es k i l l so ft h ec o m p u t a t i o na b o u th a u s d o r f f d i m e n s i o na n dm e a s u r e ，s u c ha sq u a l i t yd i s t r i b u t i o np r i n c i p l e i np a r tt h r e e ，w ee l a b o r a t et h eg e n e r a t i o no ft h es e l f - s i m i l a r 尹a c t a ls e t s t h e n f o rt h es e l f - s i m i l a rs e ts a t i s f y i n gt h eo p e ns e tc o n d i t i o n ，t h ec o m p u t a t i o n a lt h e o r y so f h a u s d o r f fd i m e n s i o na n dm e a s u r ea r eg i v e n i np a r tf o u r , a f t e rc o n s t r u c t i n gas u i t a b l es e r i a lo fc o v e r a g es e t s ，w eg e tt h ef o r m u l a sf o rc a l c u l a t i n gt h eu p p e rb o u n d so ft h eh a u s d o r f fm e a s u r e so fs i e r p i n s k ig a s k e ts s i e r p i n s k ic a r p e tc c ，ac l a s so fs i e r p i n s k ig a s k e t s 文( 1 3 入1 2 ) a n dac l a s s o fs i e r p i n s k ic a r p e t sa ( 1 4 a 1 3 ) w i t ht h ea i do fc o m p u t e r , t h eu p p e rb o u n d s o ft h esa n dc ca r ci m p o r v e dt ob e0 8 1 7 9 1 8 9 9 6 a n d1 5 0 1 8 4 6 9 i na d d i - t i o n ，b yu s i n gt h eo p t i m a lc o v e r a g et h e o r yo ft h eh a u s d o r f fm e a s u r ec a l c u l a t i o n ，t h e a c c u r a t ev a l u eh a u s d o r f fm e a s u r e so fac l a s so fs i e r p i n s k ig a s k e t s 风( 0 a 1 3 ) t h a n dac l a s so fs i e r p i n s k ic a r p e t sg ( 0 a 1 4 ) a r eo b t a i n e a ，w h i c hi s1a n d ( v s ) 。 r e s p e c t i v e l y t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ra r ee s s e n t i a l l yd i f f e r e n tf r o mt h ep r e v i o u sp r o o f p r o - c e s sa n de s t i m a t i o nm e t h o df o r t h eu p p e rb o u n d r e m a r k a b l y , w ec a ne x p a n dt h em e t h o d st ot h ec a l c u l a t i o na n d s t u d yo ng e n e r a ls i e r p i n s k ig a s k e ta n ds i e r p i n s k is p o n g e k e yw o r d s ：s e l f - s i m i l a rs e t ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；h a u s d o r f fm e a s u r e ；s i e r p i n s k i g a s k e t ；s i e r p i n s k ic a r p e t 目录 摘要 i a b s t r a c t 目录 1 引言1 2h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数3 2 1h a u s d o r f f 测度及其性质3 2 2h a u s d o r f f 维数及其性质5 2 3质量分布原理与常用技巧6 3 自相似分形集9 3 1自相似集的生成9 3 2自相似集的h a u s d o r f f 维数计算方法1 0 3 3自相似集的h a u s d o r f f 测度计算方法1 1 4 若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究1 4 4 1 s i e r p i n s k i 垫片s 的h a u s d o r f f 测度1 4 4 2 s i e r p i n s k i 垫片类风的h a u s d o r f f 测度2 3 4 2 1 s i e r p i n s k i 垫片类& ( 0 a 1 3 ) 的h a u s d o r f f 测度2 3 4 2 2 s i e r p i n s k i 垫片类& ( 1 3 a 1 2 ) h a u s d o r f f 澳l j 度的上界估计2 4 4 3 s i e r p i n s k i 地毯c c 的h a u s d o r f f 测度2 8 4 4 s i e r p i n s k i 地毯a 的h a u s d o r f f 测度3 1 4 4 1 s i e r p i n s k i 地毯g ( 0 a 1 4 ) 的h a u s d o r f f 狈1 度3 1 4 4 2 s i e r p i n s k i 地毯a ( 1 4 a 1 3 ) h a u s d o r f f 测度的上界估计3 9 5 结束语4 3 v 参考文献4 4 附件a 计算机运行主程序4 7 致谢5 1 在学期间的研究成果及发表的论文5 2 学位论文独创性声明及授权声明5 3 学位论文诚信承诺书5 5 v i 1 引言 众所周知，欧几里得几何学研究的都是规则的形状，如圆，正方形，球等，构成 这些图形的边缘都是连续和光滑的但是在自然界中，许多物体的形状和现象十 分复杂，如蜿蜒曲折的海岸线，山脉的轮廓，分子无规则运动的轨迹等经典几何 与分析的思路和工具很难处理自然界的复杂现象，甚至连作出合乎逻辑的解释都 相当困难另一方面，人们己注意到不规则集往往能提供许多自然现象的更好描 述8 0 年代初，由b b m a n d e l b r o t 所创立的分形几何为科学的探讨这些复杂的问 题提供了全新的概念和方法，揭示了自然界混乱无规结构的规律性及其本质，分 形几何的诞生与发展对整个科学的发展具有极为重要的意义 分形几何研究的主要工具是各种形式的测度和维数，用于刻画各种分形集的 不规则性目前，以f e l i xh a u s d o r f f 在1 9 1 9 年引进的h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数在理论上更为常用但在分形几何的研究中，计算分形集的h a u s d o r f f 测度和 维数是十分困难的 分形几何中的白相似集是一类最重要和最典型的分形集，也是目前研究最 为广泛和深入的分形集，尤其是s 集，它的h a u s d o r f f 维数等于自相似维数，但 其h a u s d o r f f 测度的计算成果仍风毛麟角文献【4 】至【9 】都对满足开集条件 的自相似集进行了维数和测度的研究但迄今为止，甚至连一些经典分形集的 h a u s d o r f f 测度的精确值任然未知，已知其h a u s d o r f f 测度是一个正的有限数，而 要得到其准确值几乎没有一蹴而就的方法，只能通过计算其上下界以逼近其 准确值例如k o c h 曲线和s i e r p i n s k i 垫片对于k o c h 曲线，其h a u s d o r f f 维数 s = d i m t 了k = l 0 9 3 4 ，而对于其h a u s d o r f f 测度，文献【1 0 】估计出了k o c h 曲线 h a u s d o r f f 测度的上界为0 5 8 9 0 ，推翻了m a r i o n 在1 9 8 7 年对h a u s d o r f f 测度等于 2 s 4 的猜测，而文献【4 】给出了目前最好上界为0 5 8 7 7 ，文献【1 2 】利用质量分布 原理得到了目前最好下界为1 1 9 由于目前计算自相似集的h a u s d o r f f 测度还没有一个系统的通用方法，对于 s i e r p i n s k i 垫片类及s i e r p i n s k i 地毯等的h a u s d o r f f 测度研究都进展甚微因此，本 文利用基于最优覆盖的h a u s d o r f f 测度的计算理论，通过建立适当的覆盖集，得到 s i e r p i n s k i 垫片s 和s i e r p i n s k i 地毯g c 的一个较优上界值，改进了文献【1 9 】 【2 1 】得到的目前最好上界且对s i e r p i n s k i 垫片类是( o a 1 2 ) 及s i e r p i n s k i l 引言 地毯伏( o 入1 3 ) 的h a u s d o r f f 澳j j 度都进行了相应的研究，无论在其证明方法 和计算过程中，最优覆盖的h a u s d o r f f 测度的计算理论都贯穿其中，给出了有别与 现有文献的证明过程和上界估测公式 2 2 h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数 分形几何研究的主要工具是各种形式的测度和维数，用于刻画各种分形集的 不规则性1 9 1 9 年f e l i xh a u s d o r f f 从测量角度引进了h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数 2 1 h a u s d o r f f 测度及其性质 如果u 是r ”中的任意非空子集，【厂的直径定义为l u i = s u p l z y i ：z ，y u ) 如果 以) 为可数或有限个直径不超过6 的集构成的覆盖e 的集类，即 o o e u 阮，且对每一个i 都有0 0 定义 o o h l ( e ) = i n f i u , 1 3 ： 阢) 为e 的任意覆盖) ， ( 2 1 1 ) i = i 聊( e ) = i n f i 阢1 8 ： 阢) 为e 的6 一覆盖) ， ( 2 1 2 ) i = 1 日8 ( e ) = l ，i m 。焉( e ) ， ( 2 1 3 ) 0 u 其中l 玩i 为阢的直径，称日5 ( e ) 为e 的s 维h a u s d o r f f 测度日s ( e ) 的取值可以 是0 ，正有限或正无穷若0 0 的h 6 1 d e r 条件：存在常数 a 0 和c 0 ，使得对于任意的x ，y e 有 则 ，( z ) 一，( 可) i c i z 一i 口， 日昙( ，( e ) ) c 昙日8 ( e ) 特别地，当o l = 1 ，满足l i p s c h i t z 条件，且当0 c 0 ，使得对于任意的z ，y e 有 ，( z ) 一，( 秒) i = c l z 一可i ， 则称厂为自相似映射当0 c 1 时，称厂为自相似压缩映射，c 称为压缩系数 若，：e _ 为自相似映射，则 h 8 ( ，( e ) ) = c 5 h 5 ( e ) ( 2 1 6 ) 4 2h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数 2 2 h a u s d o r f f 维数及其性质 对任意e 以及给定的s 0 ，聊( e ) 关于6 单调非减，而对给定的0 6 o ) = i n f s ：h 8 ( e ) o o ) 、7 为e 的h a u s d o r f f 维数 所以，e 的s 维h a u s d o r f f 测度满足 删= r 若s d i m he 如果5 = d i m he ，则俨( e ) 可以为0 或o o 或满足0 h 8 ( e ) 0 ，对任意的z ，y e 有 c l l x y i i f ( x ) 一，( 可) i c 2 l x 一可i ， d i m h f ( e 1 = d i m h e 进一步，若，为自相似映射，有d i m hf ( e ) = d i m he 此外，对任意的e 融，其h a u s d o r f f 维数，上下计盒维数( b o x 维数) ，修正的 上下计盒维数，填充维数之间有以下关系： 0 d i m he d i m m b e d i m m b e = d i m pe d i m b e 佗， 其中，涉及的更多维数理论参见文献【l 】 2 3 质量分布原理与常用技巧 在分形几何中，各种形式的测度和维数是刻画各种分形集的不规则性的主要 工具，然而计算分形集的h a u s d o r f f 测度和维数是十分困难的，且h a u s d o r f f 测度 的下界估计尤为困难，而在这过程中，质量分布原理是最基本最常用的方法 定理2 1 【2 】设肛是x 的盯代数x 上的测度， ( 1 ) 若e l 邑s 是) ( 中的递增集列，则p ( 1 i m 晶) = l i mp ( 既) ； ( 2 ) 若e l 三易三是x 中的递减集列，且p ( e 1 ) o o ，则 p ( 1 i m 晶) = l i mp ( 品) ； n o on o o ( 3 ) 对x 中的任意集列【r ) ，有# ( l i m e n ) = 1 而p ( r ) n - - - * o o7 1 - - + o o 定义2 3 1 2 1 测度p 的支撑是满足p ( r n x ) = 0 中的最小闭集x ，记作s p t # 称r n 的有界子集上满足0 p ( r n ) o o 的p 为质量分布，可以认为p ( e ) 为集 e 的质量 6 2h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数 下面的方法通常用来在r n 的一子集上构造一质量分布【1 1 在有界b o r c l 集e 上的各部分间重复地进行分配设e 0 = e ，铅为e 的不 交b o r e l 子集序列，使得中的每一集合u 包含在一1 的某一集合中，且包含有 限个e k + 1 中的集假设“中集的最大直径当k o o 时趋于0 ，通过重复分配，定 义e 上一质量分布( 如图2 1 所示) 与气 图2 1 通过重复分配方法构造质量分布 m 设p ( e ) 满足0 0 ，以及6 0 ，使得p ( u ) c i u i s 对所有满足 i u i 6 的集u 都成立，则5 ( 历) p ( e ) c 7 一一一! 旦璺竺! 璺竺堕型堕量旦竺! 塑堕丝墼 一 - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ l - _ _ _ - - - - _ - _ _ _ _ _ l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ _ - - _ _ - _ _ - - 一 定理2 4 n 设p 是舯上的质量分布，e 时是b o r d 集，0 c o o 是常 数， ( 1 ) 如果对任意z e ，甄掣 c ，则日8 ( e ) 2 8 ，上( p ) c ； ( 3 ) 如果对任意。e ，觋虹絮掣= s ，则d i m he = s 其中，研( z ) 是以z 为中心，r 为半径的球 8 3自相似分形集 分形几何中的自相似集是一类最重要和最典型的分形集，也是目前研究最为 广泛和深入的分形集文中第四部分主要针对若干类自相似集研究其h a u s d o r f f 维数与测度 3 1 自相似集的生成 1 迭代函数系与不变集 定义3 1 【1 】设d r n 是有界闭子集，s ：d _ d 是一个映射如果对任意 的z ，可d ，存在数c 满足0 c 1 ，使得 s ( z ) 一s ( 可) i c i z 一可i ， 则称s 是d 上的一个压缩映射，显然压缩映射是连续的，其中c 称为压缩比；当 其中等号成立时，则称s 是一个相似压缩映射，此时c 称为相似比显然相似映射 是线性映射 定义3 2 【1 】设 s l ，岛，) 是d 上的一组压缩映射，称为一个迭代函数 系( r f s ) ，压缩比0 g 1 ，i = 1 ，2 ，m 设莎是d 的子集，如果 m 莎= u 最( 岁) ， i = 1 则称罗是i f s 的吸引子( 或不变集) 定理3 1 【1 l 迭代函数系 品，s 2 ， 的吸引子莎唯一存在 2 自相似集 定义3 3 【1 】设毋，岛，：r n _ r n ，对任意的z ，y 瞅，满足 & ( z ) 一s ( 可) i = 臼i c 一秒i ， 9 3 自相似分形集 其中0 c 1 为压缩比， 最) 为一族相似压缩存在唯一的吸引子e ，使得 m e = us i ( e ) ，则e 称为自相似集若存在非空开集y r n ，使得 i = l u s , w ) v 且& ( y ) ns j ( v ) = d ，0 i j i m ， i = 1 则称自相似集e 满足开集条件，亦称e 为5 集 设i k = 【( t 1 ，i 2 ，i 七) ：1 如m ) 为所有k 项序列组成的集合，记 最。，统，“= 最。& 。最。( e ) ， 它是e 的一个尼级预分形，则e = u 邑“：，“ 厶 3 2 自相似集的h a u s d o r f f 维数计算方法 设e r ”是由迭代函数系 韪，岛，】生成的自相似集，相似比 0 。0 ) 是e 的一个6 覆盖，则 最。最。& 。( a ) = 【s 。& 。最。( ) ：歹 0 ，( i 1 ，i 2 ，t 七) 厶) ，k 1 是e 的一个( m a x 色) 七6 覆盖 1 s l s “ 引理3 2 【1 】设 k ) 是瞅中两两不交的开集族，其中每个包含一个半径 为a i r 的球，并包含于一个半径为0 2 7 的球内，则任何半径为r 的球日最多与 ( 1 + 2 a 2 ) n n f ”个磁相交 由引理3 1 与引理3 2 ，可以得到定理3 2 定理3 2 1 1 】设e r “是满足开集条件的由迭代函数系 & ，岛，) 生成的自相似集，相似比0 龟 1 ，i = 1 ，2 ，m 则e 的h a u s d o r f f 维数 1 0 3 自相似分形集 d i m 日e = s ，其中s 是指数方程 的解，而其h a u s d o r f f度满足0 h 。( e ) o o 3 3 自相似集的h a u s d o r f f 测度计算方法 目前，一些经典自相似集的h a u s d o r f f 测度在文献【1 0 】至【2 0 】中都有相应 研究成果本文对于满足开集条件的自相似集，给出了基于最优覆盖的计算其 h a u s d o r f f 测度的理论及应用公式 1 自相似集的h a u s d o r f f 测度 定理3 3 【4 】设e 是满足开集条件的自相似集，5 = d i m 日e ，则有 日8 ( e ) = 月苫( e ) = 是( e ) ( 3 3 1 ) 推论3 1 设e 是满足开集条件的自相似集，s = d i m 日e ， 0 0 ( 1 ) 设 以) 为e 的任意覆盖，则h 8 ( e ) i u , 1 5 ； i = 0 ( 2 ) 设u 为任意非空覆盖，有h 5 ( e n u ) i u l 3 2 自相似集的h a u s d o r f f 测度估计 定理3 4 若e 是满足开集条件的自相似集，s = d i m 日e ，则有 证明：不妨设 s u p 帮：u 为任意非空开集 = 1 ( 3 3 2 ) s u p 警：u 为任意非空开集) = t = 碍 m 甜 3 自相似分形集 由推论3 1 ( 2 ) 知，1 假设t 0 ”，相应的结论显然也成立 本文中涉及的若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究均用上述最优覆盖理论 的测度估计方法此外，自相似集h a u s d o r f f 测度的下界估计也多用质量分布原理 进行估测 1 3 4若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究 本章主要利用基于最优覆盖的h a u s d o r f f 测度估计方法，对经典的s i c r p i n s k i 垫片，s i e r p i n s k i 垫片类以及s i e r p i n s k i 地毯开展测度研究，区别于现有文献中的 一些理论方法 4 1 s i e r p i n s k i 垫片s 的h a u s d o r f f 测度 s i e r p i n s k i 垫片s 是经典的满足开集条件的自相似集，它的h a u s d o f f - f 维数 s = d i m hs = l 0 9 23 ，对于其h a u s d o r f f 测度，目前只有上下界的估计值文献【1 0 】 否定了1 9 8 7 年m a r i o n 关于s i e r p i n s k i 垫片测度的猜测( 日8 ( s ) = 3 。1 6 ) ，并给出 上界值俨( s ) o 9 1 0 5 ，文献【1 4 】改进上界值为日3 ( s ) o 8 9 0 0 ，文献【1 7 】将 上述上界改进到日8 ( s ) o 8 7 0 0 8 ，文献【1 9 】得到了目前最好的上界估值为 h 。( s ) 0 8 1 7 9 3 0 0 本文通过构造新的覆盖，并给出相应算法，通过数值计算 得到了更好的上界估计值 i s i e r p i n s k i 垫片 定义4 1 s i e r p i n s k i 垫片：s = n 瓯( 如图4 i 所示) 其中 k = 0 岛最2 2 瓯， 岛为r 2 上的一个单位正三角形，鼠称为s i e r p i n s k i 垫片的第七级预分形，其包含 3 凫个与岛相似比为2 一七的相似三角形，记为2 - k s 墨 墨墨焉 图4 1 s i e r p i n s k i 垫片 本章第一节内容已被浙江师范大学学报( 自然科学版) 接收录用 1 4 4 若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究 s i e r p i n s k i 垫片s 是经典的自相似集 由定理3 2 ，s i c r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 维数由方程 决定，因此 ( 1 2 ) 。+ ( 1 2 ) 8 + ( 1 2 ) 。= 1 8 = d i m hs = l 0 9 2 3 如图4 2 所示，以2 - k s 的一个顶点为原点，一边为x 轴建立直角坐标系 2 - k s 中包含3 n 个2 一( 七l s ，对构成2 - k s 的每个三角形，其横坐标最小的项点 称为标志点借鉴了文献 1 9 】的方法可以建立以下引理 引理4 1 设( x ，y ) 为一个2 - ( 叶七) 一s 的标志点，则必有下述二进制表示 z 7 = z + v 3 = 0 x 1 x 2 x n + 知， = 2 v 5 u 3 = 0 y 1 y 2 + 七， 0 y i x i ， = 1 ，2 ，n + k 反之，若坐标满足上述二进制表示，则必为一个2 - ( n + 知) s 的标志点 引理4 2 设o p = x = o x 1 x 2 x 。+ 南，则a o p q 中所包含的2 一( 叶七) 一s 个数为 f 3 n 舶一甄2 卅悃 z 一 引理4 3 设( z ，y ) 为一个2 一( n + 七) - s 的标志点，x 7 = x + v 3 = 0 x 1 x 2 x n + k ， 矿= 2 锈y 3 = o y 1 y 2 y n + k ，则对于标志点( ，u ) ，x = u + v 3 ，矿= 2 v 3 n + k 满足= x 7 且0 y y 7 的2 一( n 十七) - s 有y i 2 = i + i 扣斗叶k 个 i = l 引理4 1 ，引理4 2 与引理4 3 均可由归纳法证明 1 5 4 若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究 j ， 删 dx 图4 2 标志点示意图 j p 黩 一 d ， 图4 32 一k s 命题4 1 设a o a b 是一个2 - k s 所在的三角形，以一个顶点d 为原点，以 o a 所在的边为z 轴建立直角坐标系，p q 是以( z o ，y o ) 为圆心，且以r 为半径的 圆上的一段弧( 如图4 3 所示) ，记 舭= 荟熹的二进制表示为o x i l x i 2 甄( n + 七) ，i = 1 ，2 ，2 n 一1 ； a 1 = 一( z o + 、勖o ) 2 ，b 1 = ( z 0 2 + y 0 2 一r 2 ) 4 ； x o = 嘉= o x i 。l x i 0 2 z i 。( 。+ 七) 为满足条件x i 罂七近2 匦的最小x i ； a 2 = z o 一、而，o 一瓤，5 2 = 戤2 2 x o 而+ z 0 2 + 珈2 一r 2 ，i = i o ，i o + 1 ，2 n 一1 ； y i 为满足条件玑- - - 1 2 2 - - 皿2且具有二进制小数表示y i = o y i x y i 2 犰( n + 七) ， 0 玑，戤，的最小数 则曲边三角形尸q b 中的2 - ( t t + 七) s 三角形个数为 n + 七2 ”一l n + k g = 3 ”一3 m t x i o j 口o - 1 ) 一2 蛳1 一忉咖( 4 1 1 ) j = li = i oj = l 证明：将长度为2 一知的o a 分为2 n 等份，设每一份的横坐标为x i = 两i ， ( i = 1 ，2 ，2 n 1 ) ，则过x i 且平行于a b 的直线为y = 一锯( z 一筑) ，o b 所在 的直线方程为y = 压z 由于曲边三角形p q b 中的2 - ( n + 后) 一s 三角形的标志点( z ，y ) 满足( x - - x o ) 2 + ( y y o ) 2 7 - 2 ，联立方程组 帕 一 尸蜘 一 6 + 计屈 一 户 y 4 若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究 化简上述方程组，即 扎t x o + v 3 y o z + 半 0 记a l = 一( z o + 、珈) 2 ，b l = ( z 0 2 + ! 0 2 一r 2 ) 4 ，i r z i o = 互害轻= 0 x o l x 0 2 z i o ( n + 七) 为满足条件戤二垒匕乒的最小戤，由引理4 2 ，则以o x 如为底边的等边三角 形包含 n + k e 3 ”+ 七。x i o j 2 x l o t + - + z t o ( j 1 ) j = x 个2 一( n + 七) 一s 三角形 由于过z 且平行于a b 的直线为y = 一锈( z 一瓤) ，i = i o ，i o + 1 ，2 “一1 ， 记y i = 2 v 伍y 3 ，则有z = 鼢一y j 2 ，y = v , 2 ，将z ，y 用鼢，玑表示式代入 ( z x o ) 2 + ( y 一珈) 2 r 2 ，即 玑2 + ( z o 一 5 y o x i ) 犰+ 甄2 2 x o 甄+ z 0 2 + y 0 2 7 2 0 记a 2 = z o 一怕y o 一瓤，b 2 = 甄2 2 x o 而+ z 0 2 + y 0 2 一r 2 ，则 玑-a2-竽a22-4b2 取玑为满足上述条件且具有二进制小数表示玑= 0 - y i l y i 2 犰( 叶七) ，( 0 z 巧) 的最小数，再利用引理4 3 可知，曲边- - z j 形p q b 中的2 - ( n + 七) s 三角形个数为 2 s i e r p i n s k i 垫片h a u s d o r f f 测度的上界估计 由推论3 2 ，即可得到下述命题 命题4 2 对于s i e r p i n s k i 垫片s ，如果u 包含个2 - k _ s ，1 n 3 惫，则有 q 七 日。( s ) 嵩w ，s = l 0 9 2 3 ( 4 - 1 - 2 ) 1 7 “ + u 2 卅础 一 o 吣 + 吣 2 m z 一十n 3 小芦 一 n 3 i | g 4 若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究 构造覆盖：以岛的3 个顶点4 ，b ，g 为端点，在岛的三边上分别截取长度 为2 2 的6 条线段a a l ，a a 2 ，b b l ，b b 2 ，c q ，c 岛，分别以点a 1 ，a 2 ，b l ，岛，q ， q 为圆心，( 1 2 _ 2 ) 为半径作圆弧a 1 d ，a 2 e ，b 1 f ，b 2 g ，q 日，岛，连接d e ， f g ，日，取覆盖u 为曲十二边形a 2 e d a l b 2 g f b l 岛，日q ，i u l = 1 2 ，则覆 盖u 包含6 个2 - - 2 - s 及6 个等覆盖的曲边三角形 以圆弧a 1 d 所在的2 - a _ s 三角形o a l p 上建立直角坐标系( 如图4 4 所示) ， 以0 为原点，d a l 所在的边为z 轴 c j 众 也毋 犬v v 协 d a l8 | b 图4 4 覆盖示意图 设u 包含个2 - ( n + 3 ) - s ，1 n 3 n + 3 ，则由命题4 2 知 2 n + 3 日5 ( s ) 哥i u l 8 ，s = l 0 9 2 3 ( 4 1 3 ) 其中，n = 6 3 n + 1 + 6 9 ，g 为曲边三角形a 1 d 尸中的2 - ( n + 3 ) 一s 三角形数 下面计算g 的值 由于a i d 是以( x 0 ，y o ) = 、( 1 _ 2 2 - 2 + 嘉，雩( 1 2 _ 2 ) ) 为圆心，7 = 1 2 _ 2 为半 径的网上的一段弧令 兢= 而i i = 1 ，2 ，2 n 一1 ) = o x i l x i 2 瓤( n + 3 ) ， a 1 = 一( z o + v 信y o ) 2 ，b 1 = ( z 0 2 + y 0 2 一r 2 ) 4 ， z 如= 南= o z i o l z t 0 2 x i o ( n + 3 ) 为满足条件戤竺七近2 匦的最小x i ， l r 4 若干类自相似集的h a u s d o r f f 测度研究 眈= z o 一罐珈一轨，6 2 = 以2 2 x o 玩+ z 0 2 + 珈2 一r 2 ，i = i o ，i o + 1 ，2 n 一1 ， 玑为满足条件犰篡c 迈2 画且具有二进制小数表示玑= 0 锄1 玑2 歌( n + 3 ) ， 0 蜘的最小数，则曲边三角形a l d p 中的2 - ( 叶