基于MFDFA方法的Hurst指数估计.docx

基于MFDFA方法的Hurst指数估计王燕徐志汪孟利民(浙江工业大学信息学院浙江省光纤通信技术重点研究实验室，杭州310032)【摘要】 多重分形消除趋势波动分析方法(MFDFA)是描述金融市场复杂波动的有力工具。为了证明该方法对具有 平稳自相似性的数据也有计算其自相似能力，本文选用FGN序列来模拟具有自相似性的网络流量，分别用MFDFA和RS 方法对不同长度不同H参数的序列进行自相似估计，表明MFDFA方法可以准确计算平稳时间序列的Hum参数。【关键词】自相似；Hurst；FGN；MFDFA；RSM【FDFA method based on Hurst index estimationWang YanXu ZhijiangMeng Limin(College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology，Zhejiang Provincial Key Laboratory of Fiber optic Communication Technology，Hangzhou 310032)【Abstract】Multifractal Detrended Fluctuation Analysis(MFDFA)is a powerful tool to describe the complex and volatile financial marketsIn order to prove that the method has a capacity of calculat the Hurst index of smooth selfsimilar data。a FGN se- quenee is selected to simulate the self-similar network tra仿cand then estimate the H index for different lengths of different H parara eters sequence of selfsimilar with the MFDFA and RS method respectively，proved that the MFDFA method can calculate theHurst parameters of stationary time serles accurately【Key Words】Selfsimilar；Hurst；FGN；MFDFA；RS1 引言2002年，Kantelhardt提出了多重分形消除趋势波动分析方法(MFDFA)j，该方法最初用于计算金融 市场复杂的波动性。这个方法的思想是首先计算分割后的每个子区间上的波动的均值作为统计点，并计算 其波动函数，然后根据波动函数表现出来的幂律性来确定Hurst指数。有关MFDFA方法用于非平稳时间 序列的研究比较多，这个方法主要用于金融数据的研究，比如股票、期货等。本文的目的是表明MFDFA 方法除了可以用于估计非平稳时间序列的自相似性幢3外，也可以对平稳时间序列进行估计。因此，采用分 形高斯噪声FGN【31作为平稳时间序列进行研究。并用RSHl方法作为对比参考，证明了MFDFA方法可以准确估计平稳时间序列的自相似性。这也就意味着，MFDFA方法可以用于网络流量的自相似估计。该 方法的优点在于能够发现非平稳时间序列的长范围相关性，并且能够避免对相关性的误判。近年来，随着 网络规模的迅速发展，网络流量也发生了巨大变化，使得现代网络流量的复杂性和突发性比传统网络要复杂 的多，因此，用一种合适的方法对其特性进行分析显得尤为重要。有很多方法可以用来对网络流量的自相似 程度进行估计6|。而这些方法都是对平稳的时间序列具有较好的估计能力。而对于非平稳序列，在某一基金项目：浙江省自然科学基金资助项目(Y1101077)Foundation Item：The National Natural Science Foundation of ZheJiang Province(Y1 101077)417中国电子学会第十七届信息论学术年会论文集时刻的局部特征不能很好的描述和估计。MFDFA方法的出现，意味着对于非平稳的网络流量和平稳的网 络流量，都可以准确的估计其自相似程度。2分形高斯噪声FGN21分形高斯噪声的定义 分形高斯噪声是分形布朗运动的增量过程。假设分形布朗运动为x(t)，则其归一化增量过程定义为菇(f；占)=其自相关函数如下R缸(r，占)=EAx(t；e)Ax(t一_r；s)=生2【占7。)埘+(孚一)埘】7。占7j(2)1当If ls时，上面的式子可以简化为R缸(r，s)=o-；,M(2H一1)2肛2(3) 令占_0，H=H一1，则定义分形布朗运动的广义微分如下菇沁)=粤缸s)=高F一1以to(r)d r(4)女11(4)式所示，分形布朗运动的广义微分戈(t)就称为分形高斯噪声(FGN)。 当12H1时，由戈(t)的自相关函数可以看出，相关函数与日同号，此时分形高斯噪声呈现长相关特性。由(3)式可知，自相关函数R一(r)可以用表示为尺；，(f)=Ex 7()舅(一r)=盯；(日十1)(2日十1)J r l埘(5) 则分形高斯运动的功率谱为+S，()=fR。，(f)e和d r=I4一掳一1，0R，J占1(6)22分形高斯噪声的生成方法尽管FGN比较容易描述，但是由于没有直接或简洁的数学公式来表达，要用计算机产生一个FGN序列 并不容易。实际上，要产生精确的FGN轨迹是不可行的。在FGN的仿真算法中，其总的发展趋势是朝着低 复杂度和高精度的方向发展。目前使用的FGN仿真算法主要有以下几种o 7|：谱合成法的FI；I快速算法；随 机中点置换法(RMD)；自相关函数系统合成法以及小波合成法。这种几种方法有各自的优点和缺点。其中 RMD法是产生自相似FGN序列常用的方法。RMD算法的基本思想是递归分割区间，通过区间端点值得到区间中点的值。假设在区间0，T上计算 序列FBM序列Z(t)。设z(o)=O，Z(歹)是均值为O、方差矿2=产的高斯变量，则Z(T2)可以由z(o)和 z(F)的均值(z(o)+z(F)2累加一个置换量得到。置换量是一个均值为0的高斯变量。其标准方差为s=2埘122a-2cr。将上述过程递归运行凡次，可得到2n个样本点，因此F=2玷。在进行第k次递归分割 时，置换量的标准方差为s=2“月12解矿。用matlab程序进行仿真，可生成不同自相似程度的流量序 列，如图1、图2所示。41 85网络理论与技术基于MFDFA方法的Hurst指数估计图1FGN序列样本(日=05)图2 FGN序列样本(胃=07)3自相似流量的参数估计计算网络自相似特性的方法有很多种，其中RS(Rescaled adjusted Range Plot)法是最经典最常用的 一种。本文用RS方法和MFDFA方法分别对一个FGN序列进行分析，验证了MFDFA方法可以用于 分析随机序列的自相似性。以下是这两种方法的具体算法。31lVS法假定输入的时间序列为，i=1，2， ，N，则用RS方法计算流量序列自相似性的步骤如下。 (1)取一组k值，一般取k=10，11， ，N2，用k。表示其中的第1t个值； (2)将序列k拆成Nk。个互不重叠的子序列，每个子序列的长度为k。，对每个子序列分别计算屁和S值，可得到一组RS值，然后对这组RS值求均值，记为髂j。在这里，先要对时间序列h，i=1，2， ，计算其部分和x(几)=罗Xi，以及其样本方差(3)S2(凡)=1nz；一1n2y2(n)(7) (4)就可以得到iR(凡)=志【罂怒X)叫nX( 一恶(砷)叫nX( 】(8) (5)重复上一个步骤，重复的次数为M=(N210+1)次，也即序列分割的次数。419一一中国电子学会第十七届信息论学术年会论文集(6)对船=船。，船：， ，船村和k=10，II， ，N2分别去对数，然后绘制在坐标上。(7)对上一步得到的曲线用最小二乘法进行直线拟合，计算其斜率，其值大小就等于Hurst值。 根据以上所描述的步骤，进行Maflab编程仿真，从图3可看到，RS方法在日值为07的FGN序列的估计值为07114，且当k值增大时，估计值越准确。图3Rs法对日=o7的FGN序列估计结果32MFDFA方法对于长度为N的时间序列k，i=1，2，N，MFDFA过程如下： (1)通过对h笠。序列进行如下变换得到一个新的序列Y。?：。Yi=(戈i一菇)，k=1，2，N(9)其中戈2亩萎戈i。(2)将得到的Yj序列分割成长度为s的以=intNs个互不重叠的子区间，由于有可能不是s的整 数倍，为了使被舍弃的那一小部分数据信息不丢失，从序列的尾部开始重复一次这种分割过程。这样就得到 了2札个子区间，并记每一个区间为y(t，)，(移=1，2， ，2趣)。(3)对每一个子区间序列，用最小二乘法拟合其区间上的局部趋势函数p，(歹)以消除子区间v(v=1，2，2M)上的局部趋势Z，()=丸(_)一仇(j：)(歹=1，2， ，s)(10) (4)分别对这2M个消除了局部趋势的子区间计算平方均值严(s，秽)=爱(，)(口=1，2， ，2以)(11) (5)可以根据上式求得序列的q阶波动函数(g为非零实数)Fq(牡嘉薹愀s川作)9(12)(6)为了确定波动函数的标度指数，对每一个固定的q值，可得到Fq(s)与s的关系如下Fq(s)S“9(13)对于每一个分割长度s，都可以求出一个相应的波动值C(s)与之对应。对上面的式子两边分别取其对5网络理论与技术基于MFDFA方法的Hurst指数估计数，得到h(s)一h(s)的函数关系图。对这个图上的点拟合，得到的斜率即为g阶广义Hurst指数h(q)。本文实验取q值为1。 根据以上所描述的步骤，进行Maflab编程仿真，从图4可看到，RS方法在口值为07的FGN序列的估计值为07084，且当s值增大时，估计值波动比较大。图4 MFDFA法对H=07的FGN序列估计结果4实验分析分形高斯噪声FGN具有严格的自相似性，其Hurst参数一致性较好，常被用于网络流量的建模及分析。 产生FGN序列的算法有很多种，其中最常用且运算量比较小、运算速度快的是随机中点置换法。这里我们 就使用这种方法，生成Hurst参数分别为05，06，07，08和09的序列，其长度为4096，且重复产生十组， 分别使用RS方法和MFDFA方法比较它们估计自相似参数的精确性。实验中Hurst参数的测试精度用相对误差率AH来衡量，即AH=等100，其中日表示生成FGN序列时选定的Hurst参数值，日表示用厅一玎-不同的方法计算出Hurst参数的均值。 如表1所示，列出了FGN序列长度为4096，日指数取不同值时RS方法和MFDFA方法计算日指数的相对误差率日的均值。在Matlab仿真环境中进行不同长度FGN序列的多组实验，结果表明在FGN序 列长度固定的情况下，MFDFA法估计自相似参数的精度比较稳定。与RS法的精度不相上下。当FGN 序列从210变化到214时，由表2可以看出，随着序列长度的增加，RS法和MFDFA法测得的H值都逐渐接 近真实值，这表明，序列长度对这两种方法的估计结果都有比较大的影响。实际上，这两种方法都适用于估 计较长长度的自相似序列，也就对于长相关性估计更准确。表1RS法和MFDFA法计算日指数的均值以及其相对误差率日FGN序列的日指数05 06 07 08 09 RS法测得日均值0523406214073850836809254 RS法相对误差率468357 550460 282MFDFA法测得蟊均值0510406184073300。817509183MFDFA法相对误差率356306471212203421中国电子学会第十七届信息论学术年会论文集以上实验结果，充分说明了MFDFA方法可以估计序列的自相似性。且由于MFDFA方法是以时间 序列每个分割区间上波动的平均值作为统计点，然后根据波动函数的幂律性确定广义Hurst指数，对平稳和 非平稳序列结构及波动性进行度量。这个方法和其他方法相比，能够发现非平稳时间序列中的长相关性。 对于平稳序列，也能对其自相似性有较好的估计能力。5结束语MFDFA方法是近年来才出现的一种能够用于计算自相似性的方法，用这种方法能够发现非平稳时间 序列的长范围相关性，并且能够避免对相关性的误判。由于它的这种特性，常被应用于分析金融时间序列的 长相关性。为了验证这中方法对具有平稳性的自相似序列也适用，本文先产生具有固定自相似值的平稳 FGN序列，然后用RS法和MFDFA法分别对所产生的序列进行自相似程度进行估计，发现MFDFA方 法估计结果很准确，这说明MFDFA方法对具有平稳性自相似时间序列也能够估计其自相似性。这种算 法对计算复杂的网络流量的相关性非常有用，具有十分重要的意义。参考文献1Kantelhardt JW，gschiengner SA，KoscielayBuade E，d耐Multifractal detrendcdfluctuation aIlalysis ofnonstationarytime seriesJPhysieaA， 2002，316(1-4)：87114zLdand W，Taqqu M，WillingerW，醛矗l，On the Mfsial=ilar na|tlj障ofvthemet洳燕c(Extend晶Version)】IEEEACMTransactions on Networ-king，1994，2(1)：l一153胡英