（机械设计及理论专业论文）多输入多输出频域正交多项式模态参数识别方法.pdf

摘要 试验模态分析技术是基于试验建立描述结构振动特性的数学模型的整个过程， 包括试验、模态分析两个阶段，是解决工程振动问题的重要手段之一。随着现代工 程技术的发展，各种结构动力学问题正日益突出。如结构灵敏度分析、结构动力学 模型修改及系统动态模拟控制等等，要求试验模态分析技术实现高精度和普及化。 多输入多输出频响函数方法正是在这种情形下出现的。 本文重点讨论了多输入多输出频域正交多项式模态参数识别方法。多输入多输 出模态分析要解决两个方面的问题，一是多输入多输出试验的频响函数估计，二是 多输入多输出的模态参数识别。本文首先探讨了多输入多输出试验的频响函数估计 方法，通过对比日，、何：、，这三种方法的噪声处理方式、适用条件和估计误差， 指出了h ，频响函数估计方法相对于其它两种方法的优越性。其次，根据多输入多 输出系统的数学模型，采用矩阵正交多项式代替自然基底多项式对实测频响函数进 行曲线拟合，识别出系统的模态参数，形成了多输入多输出频域正交多项式模态参 数识别算法。该算法提供了减小分析频带外模态影响的具体方法，以及几个模型定 阶的判据。本文还对矩阵正交多项式的形成进行了推导，并利用m a t l a b 程序语言 实现了多输入多输出频域正交多项式模态参数识别算法。最后，本文通过仿真与试 验相结合，证明了多输入多输出频域正交多项式模态参数识别算法的正确性和优越 性。 本文实现的多输入多输出频域正交多项式模态参数识别算法，具有以下特点： 解决了拟合时系数矩阵的病态问题；大大缩减了矩阵运算的阶次：利用了全部频响 函数矩阵，同时得到所有模态参数，因此辨识精度高，结果一致性好：减少了辨识 过程中所需的人为干预和判断；同时对于高阻尼、密集模态具有很强的识别能力。 因此，本算法可以适应试验模态分析向高精度和普及化发展的趋势。 关键词：模态分析，参数识别，多输入多输出系统，频响函数，最小二乘，正交多 项式，曲线拟合 a b s t r a c t e x p e r i m e n t a lm o d a la n a l y s i si st h ew h o l ep r o c e s st oe s t a b l i s hm a t h e m a t i cm o d e lo f d e s c r i b i n g s t r u c t u r e sv i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i cb a s e do n e x p e r i m e n t i tc o m p r i s e s e x p e r i m e n ta n dm o d a la n a l y s i s a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e me n g i n e e r i n g t e c h n i q u e ，v a r i o u ss t r u c t u r ed y n a m i c sp r o b l e m sa r ei n c r e a s i n g l ys t a n d i n g o u t f o r i n s t a n c e ，s t r u c t u r es e n s i t i v ea n a l y s i s ，a m e n d i n gm o d e lo fs t r u c t u r ed y n a m i c sa n ds y s t e m d y n a m i cs i m u l a t i n gc o n t r o ls y s t e md y n a m i cr e q u i r eh i g ha c c u r a c ya n db e i n gw i d e l y u s e do fe x p e r i m e n t a lm o d a la n a l y s i s m u l t i i n p u tm u l t i o u t p u t ( m i m o ) f r e q u e n c y r e s p o n s ef u n c t i o nt e c h n i q u e sa p p e a ri nt h i sc a s e t h em i m os y s t e mm o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm e t h o d sb a s e do nf r e q u e n c y d o m a i no r t h o g o n a l p o l y n o m i a la l g o r i t h mi ss t r e s s e da n dd i s c u s s e d m u l t i p l ei n p u t m o d a la n a l y s i sh a st w op r o b l e m st os o l v e ：t h ee s t i m a t i o no ff r e q u e n c yr e s p o n s e f u n c t i o n ( f r f ) a n dt h eg l o b a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o no fm u l t i i n p u tm u l t i - - o u t p u t ( m i m o ) s y s t e m t h r e ec l a s s i c a lf r e q u e n c yr e s p o n s ef u n c t i o ne s t i m a t i o nm e t h o d sh l ， h 2a n dhp a r ed i s c u s s e df i r s t l y b y c o m p a r i n gt h e n o i s e d i s p o s a l m a n n e ra n d a p p l i c a t i o na r e a s a n de s t i m a t i o ne r r o r so ft h o s em e t h o d s ，t h ea d v a n t a g e so fh p m e t h o d sa r es h o w e d s e c o n d l y ，t h em i m os y s t e mm o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n m e t h o d sb a s e do nf r e q u e n c yd o m a i no a h o g o n a lp o l y n o m i a la l g o r i t h mi sf o r m e d b a s e d o nm a t h e m a t i c sm o d e lo fm i m os y s t e m ，i t a d o p to r t h o g o n a lp o l y n o m i a l t or e p l a c en a t u r e p o l y n o m i a lt of i tf r fa n di d e n t i f ys y s t e mm o d a lp a r a m e t e r i tp r o v i d e si d i o g r a p h i cm e t h o d so f r e d u c i n gi n f l u e n c e so fm o d a l sb e s i d e sa n a l y z e df r e q u e n c yb e l ta n ds e v e r a lc r i t e r i o n so f m o d e lo r d e rd e t e r m i n a t i o n t h ef o r m i n go fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a lm a t r i xi sr e a s o n e d t h e m i m os y s t e mm o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm e t h o d sb a s e d0 1 3 f r e q u e n c yd o m a i n o r t h o g o n a lp o l y n o m i a la l g o r i t h mi sr e a l i z e db ym a t l a bp r o g r a m f i n a l l y , b ys i m u l a t i o n a n de x p e r i m e n t ，t h ec o r r e c t n e s so ft h ep r o g r a ma n dt h ea d v a n t a g e so ft h em i m o s y s t e m m o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm e t h o d sb a s e do n f r e q u e n c yd o m a i no r t h o g o n a l p o l y n o m i a la l g o r i t h mw e r ep r o v e d t h em i m o s y s t e mm o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm e t h o d sb a s e do nf r e q u e n c y d o m a i no r t h o g o n a lp o l y n o m i a la l g o r i t h mo w ns o m ea d v a n t a g e s i tr e d u c e st h ei l l c o n d i t i o n so f t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xi nc u r v ef i t t i n ga n dc u r t a i l so r d e r so f m a t r i x o p e r a t i o ng r e a t l ya n df u l l yu s e sa l lt h ei n f o r m a t i o no f e x p e r i m e n ta n dg a i n sa l lm o d a l p a r a m e t e r s i ti m p r o v e st h ei d e n t i f i c a t i o na c c u r a c ya n dt h ec o n s i s t e n c yo fi d e n t i f i e d m o d a lp a r a m e t e ra n dr e d u c e sm a n 。m a d ei n t e r f e r e n c e i tc a na l s od i s p o s eo f h i g h r e s i s t a n c e ，d e n s em o d e l s t h em e t h o dc a nm e e tt h er e q u i r e m e n to f h i 曲a c c u r a c ya n d b e i n gw i d e l yu s e do f e x p e r i m e n t a lm o d a la n a l y s i s k a yw o r d s ：m o d a la n a l y s i s ，p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ，m i m os y s t e m ，f r e q u e n c y r e s p o n s ef u n c t i o n ，l e a s ts q u a r e s ，o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l ，c u r v ef i x i n g 中南大学硕士论文 第一章综述 第一章综述 第一节试验模态分析及其相关技术的发展 随着现代工程技术的发展，各种结构动力学问题正日益突出。试验模态分析方 法与解析方法相结合是解决工程振动问题的重要手段。其中试验模态分析技术是基 于试验建立描述结构振动特性的数学模型的整个过程，如结构灵敏度分析、结构修 改、故障诊断及系统动态模拟控制等等。模态分析技术是用于对机械系统、土建结 构、桥梁等几乎无所不包的工程结构进行动力学分析的现代化方法和手段。它最早 应用于航空、航天领域。据统计，在飞行器所发生的许多重大事故中，约有4 0 与 振动有关。在其他领域，随着现代科学技术的发展，人们对工程产品的设计提出了 愈来愈高的要求如车辆、船舶的乘坐舒适性和噪声控制、产品轻量化设计的疲 劳强度问题，而产品结构的振动特性对此有着至关重要的影响。因此，模态分析技 术的应用领域日益扩大。又由于计算机技术的高速发展，尤其是大容量、高速度微 型计算机技术的发展，使得应用模态分析技术的费用大大降低，从而促进了其应用 领域的进一步扩大、并日益成为动力学分析领域中不可缺少的手段。【3 】 试验模态分析技术最早出现于1 9 3 0 年代，在1 9 6 0 1 9 7 0 年代取得了一定的进 展，并为航空、航天等尖端技术所必需，然而它的许多强有力的技术手段只是近十 多年来才发展起来的，其潜在能力才被人们所承认，它的应用领域也在不断拓宽。 因此，试验模态分析技术作为一门科学，既古老而又正处于活跃发展的阶段。同时， 试验模态分析是门综合性非常强的学科，它涉及振动理论、电子测试技术、随机 振动、信号处理、计算机的应用等等。 模态分析可定义为对结构动态特性的解析分析和试验分析。在数学上，模态 参数是力学系统运动微分方程的特征值和特征向量；在试验方面则是试验测得的系 统的极点( 固有频率和阻尼) 和振型( 模态向量) 。然而随着模态分析研究范围的 不断扩展，从系统识别到结构灵敏度分析以及动力学修改等，模态分析技术己被广 义地理解为包括力学系统动态特性的确定以及与其应用有关的大部分领域。f 3 】 对于动态系统的试验模态分析，一般有三个环节，即激振环节、数据采集环节 和参数识别环节。激振环节对系统施加激励：数据采集环节测量输入和响应数据； 中南大学硕士论文 第一章综述 而参数识别环节则从被测系统的输入和响应数据中提取模态参数。 试验模态分析是以试验手段处理工程振动问题的- - 7 十有效手段。由于它的应用 领域不断扩展，对模态试验技术和模态参数辨识的精度提出了更高的要求，而它的 发展，又受当时试验手段和数据处理手段的制约。六十年代中期f f t 算法产生后出 现了单输入频响函数法( s i n g l ei n p u tf r e q u e n c yr e s p o n s ef u n c t i o n ，s i f r f ) 。在单一 输入点上对系统施加激振，同时测量输入输出数据，利用f f t 算法将其变换到频域， 得到系统的频响函数，并由此求得系统的模态参数。由于试验方法和所需设备简单、 试验周期短，单输入频响函数法在七十年代曾为大多数科研人员所采用。口j 但是此 方法存在许多问题： ( 1 ) 单点激振方法能量输入集中于一点，能量在系统中分布不均，激振点附 近能量过高使系统的非线性特性表现突出，远离激振点处响应信号幅值又过小使信 号的信噪比( s n ) 很低，使模态试验的参数辨识精度受到严重影响，从不同响应 所得的结果一致性差。 ( 2 ) 当激振点恰好位于系统某一阶模态振型的节点时，对该阶模态而言系统 成为不可控和不可观测的，参数识别时将导致模态丢失现象。 ( 3 ) 模态参数辨识所采用的算法一般仅利用了频响函数矩阵的一行或- - n 数 据，因此算法利用的信息量有限，影响了参数辨识精度，对于模态密集情况，参数 辨识能力较弱，对于重根情况这种算法将无法处理。【5 j 以上这些问题是单输入模态分析方法所固有的，它们都导致了辨识结果的精度 差，一致性不好。在同时期还存在多点稳态正弦激振力适调方法，它通过适当调节 作用在系统上的多个正弦激振力的大小和位置，使系统出现某一阶纯模态，从而直 接提取系统的模态参数。该方法的最大特点是采用力的适调方法使系统出现纯模 态，而其它各阶模态不出现。这对于模态密集的系统非常有意义，因为这种方法识 别精度高，可以将密集模态较好地分离开来，因此，常被用于大型多模态系统的分 析中。但此方法试验周期长，试验设备庞大，要求试验人员有较高的试验技能，对 试验系统掌握一定的先验知识，而且它无法识别复模态。因此，多点稳态正弦激振 力适调方法的应用范围仅限于航天、航空、军工的少数部门而无法为广大科研人员 所采用。【3 1 上述两种方法优缺点是互相补充的。七十年代，模态分析方法主要用于故障诊 断，所要求的模态参数的精度比较低，单输入频响函数法当时能够满足要求。对于 某些精度要求高的问题，如航空、航天等，都采用多点稳态正弦激振力的适调方法。 进入八十年代以来，模态参数己被用来建立数学模型，进行系统的动态修改，对于 模态参数精度的要求也随之而提高。单输入频响函数方法，由于其固有缺陷，已无 法满足应用的要求，而多点稳态正弦激振力适调方法也由于设备、人员等问题，不 中南大学硕士论文 第一章练述 利于推广应用。因此，人们开始寻找其他的多点激振方法。早在六十年代就有人提 出构造一个综合单输入频响函数法和稳态正弦激振力适调方法优点为一体的多输 入多输出方法，但是由于计算机技术的限制，这一想法过去一直无法实现。八十年 代至今小型高速大容量计算机技术的发展和普及为试验人员在试验数据处理过程 中利用更多的数据信息和使用更复杂的算法提供了可能。 多输入多输出参数辨识方法可分为时域法和频域法两种。常见的多输入多输出 时域辨识方法是多参考点复指数法( p o l yr e f e r e n c ec o m p l e xe x p o n e n t ，p r c e ) 。这 种方法通过测量多点激振输入下被测系统的输入和响应，利用系统脉冲响应函数矩 阵建立复指数模型来提取模态参数。脉冲响应函数矩阵由频响函数矩阵经逆傅立叶 变换( f f t ) 得到。但是，由于时域信号中包含了被测系统的所有模态信息，因此在 进行模态参数识别时，就产生一个如何确定被测系统的自由度问题，目前，虽然有 许多方法及准则来确定方程的阶数，但都不十分理想。另外，一些模态由于激振力 布置不当或其它原因出现的不充分时，从时域信号上它们变成噪声模态。同时由于 对时域信号进行两次f f t 变换的方法来解决上述问题，但这样又会带来两次泄漏及 混淆误差。其它的时域算法还有特征实现算法( e i g e n s y s t e mr e a l i z a t i o na l g o r i t h m ， e r a ) 等等。这些时域算法的共同特点是一个有限阶次差分方程来近似系统特征方 程来求解。但有限阶次差分方程无法描述分析频带内模态的影响，由此导致分析频 带内模态参数估计的误差。另外，时域法还存在定阶困难、逆傅立时变换引入的额 外的泄漏和截断误差、无法利用步进正弦激振试验( s t e ps i n ee x c i t a t i o n ) 得到的非 等频率间隔的频响函数数据等问题。而这些问题在频域识别方法中很容易得到解 决。【5 】 多点激振模态分析要解决两个方面的问题，一是多点激振试验的频响函数估 计；二是多输入多输出的模态参数整体辨识方法。 多点激振试验的频响函数估计方法与特定的多点激振方法相对应。多点激振方 法使用多路信号对系统激振，根据激振力的不同特性，可采用相应的频响函数估计 方法。其中，h ，、h ，方法都对试验信号测量误差做了一定程度的限制，而且在估 计过程中要对输入互谱矩阵或输入输出互谱矩阵进行求逆运算，因此要求各个激振 力之间互不相关。在实际试验时，由于试验系统对激振系统的反馈作用，系统实际 所受的激振力并不完全等于信号源所输出的信号，尤其在系统的共振频率附近，这 种反馈作用相当严重，甚至使激振力之间达到很高的相关性，估计过程求逆矩阵的 病态程度加剧，估计结果的误差较大，甚至无法运算。针对这一问题，有人提出了 多点相关输入激振方法，用完全相关的激振力代替不相关激振力，用一种求广义频 响函数的方法代替输入力谱矩阵的求逆过程。但实际中同样由于系统的反馈作用， 中南大学硕士论文第一章综述 各个激振力之间也无法做到完全相关。因此不相关输入激振技术和相关输入激振技 术都非常难于实现。后来有人提出了一种新的频响函数估计方法日，方法。它 全面考虑系统输入输出信号特征，据此构造一个估计误差矩阵，并确定使误差矩阵 之迹为最小的原则来估计频响函数，因此其估计精度较h ，、儿方法有很大提高。 该算法避免了h ，、h ，算法中的求逆过程，因此原则上只要各个输入力之间不完全 相关即可得到相当高精度的估计结果。该算法的提出，简化了多点激振试验的要求， 为多点激振模态分析技术的实现创造了条件。【5 】 多点激振试验方法和单输入频响函数方法相比，它具有以下特点： ( 1 ) 由于输入点多，能量在系统中分布相对均匀，单输入频响函数方法存在的非 线性和信噪比低等问题得到改善； ( 2 ) 多个激振点同时位于某阶模态振型的节点的概率极小，因此丢失模态的可能 性也减小； ( 3 ) 在参数辨识过程中一般同时利用所有测点信息，识别结果的精度和一致性都 较高； ( 4 ) 对于密集模态和重根情况具有很强的识别能力。【5 】 因此，多点激振方法有利于提高测量数据的一致性和精度，特别是对大型复杂 系统，这一特点是非常明显的。多点激振模态分析技术发展很快，成为人们用试验 方法分析系统动态特性的一种有效手段。 多输入多输出模态参数识别方法是利用多个输入点的频响函数( 或脉冲响应函 数) 估计，进行数据拟合处理，求出系统的所有极点和留数矩阵，从而得到系统全 部模态参数。这一方法是建立在对所有输入输出信息的同时进行辨识的基础上，因 此能充分利用试验测得的全部信息，辨识精度高，识别得到的模态参数的一致性好， 减少了人为的干预和判断，而且对于高阻尼、密集模态及重根等情况都有较好的辨 识能力。 近年来人们逐渐认识到多输入多输出频域法的优越性，相继提出了多种多输入 多输出的频域识别方法。本文介绍的多输入多输出频域正交多项式方法( m u l t i i n p u t m u l t i o u t p u to r t h o g o n a lp o l y n o m i a lm e t h o d ) 是利用频率响应函数矩阵建立矩阵系数 的有理多项式模型，模型系数由最小二乘法求解，由此构造系统特征多项式求得系 统的模态参数。文中将证明，利用普通多项式建模，当分析频带范围很大时，求解 矩阵病态十分严重。而利用矩阵正交多项式代替自然基底的多项式建立模型，可以 改善求解矩阵病态，使阶次降低。且本算法易于在微机上实现，计算量较少。在文 中还介绍了频域正交多项式法对模型定阶、分析频带外模态的影响、重根等问题的 中南大学硕士论文 第一童综述 解决方法，证明多输入多输出频域正交多项式法的先进性和优越性。 本文对多点激振试验模态分析数据处理的主要环节如频响函数估计方法、多输 入多输出整体模态参数辨识方法、模型定阶等问题做了系统论述，用理论模型试验 对算法进行了仿真验证，同时进行了试验验证，证明了多输入多输出频域正交多项 式模态参数识别方法的正确性和优越性。 第二节多自由度系统模态分析的理论基础 本节介绍多自由度系统模态分析的理论基础及方法。 首先，试验模态分析方法是建立在如下假设的基础上的： ( 1 ) 线性假设 假设被试验识别系统是线性的，其物理意义是，结构系统对任一组同时作用的 激励的响应是该组内每一激励单独作用时系统响应的线性叠加。基于这一假设，我 们有可能在实验室内对系统施加容易实现、便于测量的作用力进行激励，并由此提 取被测系统的特征参数，而不必施加与工作环境相同的激励。值得注意的是，许多 真实系统总是不同地偏离这一假设。因此在处理工程问题时要注意保证系统线性模 型有充分的近似程度。 ( 2 ) 时不变假设 系统是定常的，即系统特征参数为常量，满足该假设的系统称之为定常系统。 例如，假定系统某特征参数与温度有关，则当温度随时间变化时，系统特征参数也 随之变化，则系统不满足时不变假设，称这样的系统为非时不变系统。如果系统为 非时不变系统，那么在不同时刻所测试验数据将不一致，从而得不到稳定的系统特 征参数。 ( 3 ) 可观测性 对系统输入、输出的测量结果应含有足够的信息，以描述该系统适当特性的模 型，否则称该系统为不可观测系统。如果结构的某些零件松动，或更一般的说，如 果系统包含的某些自由度未能被识别，则称该系统为不完全可观测的。当然，系统 的可观测性具有相对性。某些系统在理论上是可观测的，但由于试验条件及测试技 术所限，却可能成为不可观测系统，或不完全可观测系统。【i j 下面我们以自由度系统作为对象加以讨论。 2 3 】【4 】【5 1 对于自由度线性定常系统，其运动微分方程为 m 取 + 【c 】仁 + k 】扛) = 杪) ( 1 2 1 ) 式中阻】、【c 】和k 】分别为质量阵、阻尼阵和刚度阵。通常阻】和医】矩阵为实系 中南- 人学硕= l 二论文第一章综述 数对称矩阵，而其中陋】是正定矩阵，而k 对于无刚体运动的约束系统则是正定 的，对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。阻 、【c 1 和k 】矩阵均为( ) 阶 矩阵。式中，似及 ，分别为系统各点的位移响应向量及激励力向量。 & - x l 工2 x n 厂) = i ： n 式( 1 - 2 1 ) 是用系统的物理坐标扛) ，往 ，位潲述的运动方程组。在其每一个方 程中均包含系统各点的物理坐标，因此是个耦合方程。当系统自由度数很大时， 求解很困难。我们能否将上述耦合方程变成非耦合的、独立的微分方程组，这就是 模态分析所要解决的根本任务。模态分析方法就是以无阻尼系统的各阶主振型所对 应的模态坐标来代替物理坐标，使微分方程解耦，变成各个独立微分方程，从而求 出系统的各阶模态参数。这就是模态分析的经典定义。 运用拉氏变换法可将( - 2 1 ) 式变成以s = 盯+ _ ，p 为参数的复域( 或称s 域) 中的方程 姬m - 2 + 【c b + k 】肛g ) ) = ，o ) ) ( 1 2 2 ) 式中， s = 盯+ j vs = 盯一j v 为拉氏变换因子；扛0 * 及纱g ) ) 分别为位移响应与激励力的拉氏变换( 初始条件为 零) z g ) = 工( f 户d t 几) = 几矿d t 式( 1 2 - 2 ) 可简写作 f z 0 ) 】弘g ) ) = f 0 ) ( 1 - 2 3 ) 式中【z 0 ) 称为系统在s 域的位移阻抗矩阵，z g ) 为( ) 阶矩阵。对于约束系统， 它是一个非奇异的对称阵，有逆，因此 g ”= z 0 ) 】“护0 ) ) = 【日o ) 】f f g ) ) ( 1 2 4 ) 中南大学硕士论文 第一章综述 式中 删娟) 】- i = g 2 忡州k 】) - = 矧= 错( 1 - 2 - 5 ) 【0 ) 】称为系统的传递函数矩阵。d ( s ) 可表为 2 n d ( j ) = 6 ，s7 = 6 0 + 6 l s + b 2 s 2 + h 十6 2 s 2 ” ( 1 - 2 6 ) r = 0 【0 ) 】则是一个行v 列的对称矩阵，其元素n * g ) 也可表为一个多项式 因此拱。g ) 可表为 = d o + a l s + c t 2 s 2 + + a 2 n - 2 s 2 “一2 ( 1 - 2 7 ) 啪) = 错= 等嚣巍等( 1 - 2 - 8 ) 因此h 。0 ) 称为系统在5 域的传递函数。由于d 0 ) 是一实系数多项式，d g ) = o 将 有n 对共轭复根，因此上式可表为 辨njtp(s)j=善uiair,+生s-s：f (1-2奶l(s - - s r 如一s ：) “1r 0 j 此处s ，及s ：称为该式的极点，a i p r 及4 ：，为对应的留数。留数可由下式确定 a 扣= u 协+ ，= 0 k - - s r k ( 1 - 2 1 0 ) a i ，? = l i m 因此频响函数矩阵可写成 d 。o ) s 一彬西 式中曲+ 为对应于的留数矩阵。 d d ( s ) a s ( 1 2 1 i ) ( 1 2 1 2 ) 对线性时不变系统，其极点在复平面左半平面，因此可令s = j c o ，便得出在傅 氏域中的阻抗矩阵及频响函数矩阵。 萎 i l 、二：， 扣 址蚋 w 皿训ih ：， 中南大学硕士论文 第一章综述 z u ) = ( - 2 阻】+ ，【c + k ) h 0 ) = 【z 0 ) = ( _ 甜2 阻】+ 出 c + 医】) 。 此时，系统的运动方程为 - - 0 9 2 阻】+ ， c 十k 赫u ) = 沙( ，) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) 振动结构的模态分析，目的在于建立一种数学模型模态模型，即用若干所 谓模态参数，来描述一个实际结构的动态特性。它设法把个复杂的多自由度振动 问题，分解为一系列的单自由度系统( 各阶模态模型) 的振动的线性叠加。然而， 由于对系统阻尼的不同假设，即是否为比例阻尼，我们经常将模态分析方法分为实 模态分析方法和复模态分析方法。而这两种方法中频响函数与模态参数之间的关系 是有一定区别的。下面我们根据有关的模态分析理论，分别论述系统在实模态和复 模态情况下的模态参数辨识方法。 一、实模态分析方法 在比例阻尼的条件下，采用主坐标变换法，使原来相互耦合的微分方程解耦， 化为一组可以各自独立求解的方程，每一个独立方程便可视为一个模态模型单元系 统( 即以模态坐标来描述其特性的单自由度系统) 。由于在这里采用主振型矩阵作 为坐标转换矩阵，而每一个主振型模态都可以用一个实数列阵来表达，因而这种分 析方法称为实模态方法。 在( i - 2 1 ) 式的坐标系统中，由该系统的特征方程 d e t ( - 2 阻卜 k ) = 0 ( 1 - 2 1 6 ) 我们可求得该系统的固有频率矩阵和固有振型矩阵： 陋】_ d i a g q ，q ：q 。】，p = l 勋：) 勋。) 】 ( i - 2 1 7 ) 在模态坐标系统中，我们用b 作为坐标系统空间的基向量矩阵，令 扛 = p 妇 ( 1 - 2 1 8 ) 式中 g ) 为模态坐标向量，则可将式( 1 - 2 一1 ) 变换如下： 睁r 阻i 话 + b r c ) + 睁r k 伯 = p 】7 + 厂 m ，】臼) + c ，】话 + 陋， g ) = p r 厂 ( i - 2 1 9 ) ，口，+ c ，4 ，+ k , q ，= 妇，) 7 沙，r = 1 ，2 ，n ( i - 2 2 0 ) 式中 中南大学硕士论文 第一章综述 k ，】= d i a g m 。脚：m 。 l ，】= d i a g c ， k ， _ d 胁g k 。 c 】 k 。】 聊，= 勋， 7 帕d ， c ，= 佛) 7 c ， ( 1 - 2 2 1 ) k ，= 劬， 7 k d j 分别称为模态质量阵、模态阻尼阵和模态刚度阵，均为对角阵，其元素m ，c ， 则称为模态质量、模态阻尼和模态刚度。式( 1 - 2 1 9 ) 则为系统运动微分方程通过 主坐标变换法解耦后，得到的一组可以各自独立求解的方程，每一个独立方程便可 视为一个模态模型单元系统，可以根据解单自由度系统运动微分方程的计算方法解 方程。令 q = # ( 1 - 2 2 2 ) 二，“ 称为衰减系数，是阻尼效果的另一种表达形式。令q ，= q e “，则解耦后的单自由度 系统的特征方程为 j j + 2 0 r s + n 2 = 0 ( 1 - 2 2 3 ) 该式的根为 ：q 两：一皿，正虿 ( 1 - 2 - 22 4 ) 式中 q ? = k ? | mr 和毒2 丽c r2 焘( 1 - 2 - 2 5 ， 口j 知 q ，= a ：+ v ；= ) 2 + g 玎 式中 y ，：s ，1 = q ，1 3 - - # 。 称为有阻尼自由振动的角频率。因此有 弘一芒 令 c 厂) = f e “， g ) = q 扣“，扛 = x 扣“ 可得 9 ( 1 2 2 6 ) ( 1 2 2 7 ) ( 1 2 2 8 ) 中南大学硕士论文 第一章综述 令 因此，得 忸 _ 陋缸，】+ s 2 k ，】+ s 【c ，】) - 。睁r f ) ( 1 2 2 9 ) 铲q + q ，正虿5 ：_ 一皿，再 ( 1 2 3 0 ) 假定只在结构的p 点作用有激振力瓦，则 则任意点f 处的响应z 为 于是可得 _ 2 善u 毒询f ( 1 2 3 1 ) 专2 姜尚( 1 - 2 - 3 2 ) 上式即定义为，p 之间的频响函数。其物理意义即为：在p 点作用单位力时，在， 点所引起的响应。上述函数关系与激振力的频率有关，是在频域计算响应的重要公 式，也称为频域传递函数。但为与自动控制理论中传递函数的定义区别，称之为频 响函数。由于线性系统的互易性，应有 h m = h ， ( 1 - 2 3 3 ) 根据频响函数的定义，只有当只作用时， x | = h p 若伊 = 嘏五r 7 ，根据线性叠加原理，应有 x l = h ? l f l + h f ! + + h n f t = 碴j ih ! j r 聒舰i 垃知 ，h盟鹕糍。 瞳 耐 ，一海盖机 i|芝 忡 互只一凡 rk叫，1l 中南大学坝。 ：论义 第一帝综述 可见有 式中 阻】= 1 1 日1 2 2 l 吼2 h q l h q l 1 1日1 2 2 l2 2 h q l h w l 何1 h 1 n ： h q n l h ! q ： h n q 称为频响函数矩阵，它是一个对称阵，即有h = h 一。 由( 1 2 3 1 ) 式 因此可得 上式展开可得 勋，) 伊 而i 翮 揣s r研，b 一骷一s ：j r ，1 占rr r l 芒 1 阻 2 萎【，】。荟i 百辆 纯，f 0 7 妒。) 妒mj = 喜赤卜确”罗2 l 妒l ，p l ，9 1 ，p 2 ， l 妒肿妒2 ， p 2 ，妒l ， = 善而辆 纪，协 7 p ：，妇，y 妒。扫， 7 纯，妒m 妒2 ，妒，l ( pn 渖、 ( 1 - 2 3 4 ) ( 1 2 - 3 5 ) ( 1 2 3 6 ) 2 善n 丽习1 同，扫- ，扫，扫：，妇，概 ( 1 - 2 - 3 7 ) 式中【，日 代表第r 阶模态对阻 的贡献，可称之为r 阶模态的频响函数矩阵。 墨五 ，【 i l 、 。 盟栅 蝼札融了 一七 。 = 防 。h = _l h ，【 中南大学硕士论文 第一章综述 由物理模型到模态模型的转换，是方程( 1 - 2 1 ) 解耦的数学变换过程。从物理 意义上来认识，这是一种从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。方程( 1 - 2 1 ) 是根据达朗伯原理和虎克定律建立的。在物理坐标系统中，其质量阵、刚度阵中一 般有一个，有时两个都是非对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中， 模态坐标g 。代表在位移向量中第i 阶固有振型( 模态振型) 所做的贡献，方程 ( 1 - 2 1 9 ) 实质上是能量平衡方程，任何一阶固有振型的存在，并不依赖于其它固 有振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此我们可以说，位移响 应向量是各阶模态贡献的叠加的结果，但不能说是模态耦合的结果。各模态之间是 不耦合的。 以上是实模态条件下的响应计算的模态模型。确定这模型及其对应的其它模 态参数便是模态分析的任务。 由( 1 - 2 3 2 ) 式可得 驴喜尚= 善南= 喜 南+ 南 ( 1 z 瑚， 比较( 1 2 9 ) 与( 1 2 3 8 ) ，二者是一致的。式中 一b ，：盟 ( 1 2 3 9 ) 称为留数，d 栅与口；，互为共轭。根据留数的定义可知 = 0 l ( 1 - 2 - 4 0 ) 因为在实模态情况下，a 枷为实数，而s ，与j ：互为共轭，因此可设a 枷与d 的 实部为零，虚部为，由上式可得 爿旷警卅- _ 2 纠卅q ，再( 1 - 2 - 4 1 ) 对于激振点p 的原点响应有 彳矿誓卅r v r = - 2 “i 卅q ，厍( 1 - 2 - 4 2 ) 求得留数爿，后，根据上式即可确定模态矢量中对应于p 的系数为妒，i 。由于 q ，= 0 刁i ，因此又可以说模态矢量在p 的系数为p ，厄。显然，这两个描述 中南大学硕士论文 第一章综述 同一点p 的振型系数相差一常数，它取决于如何对模态参数进行正则化。 由系统特征矩阵的伴随矩阵可将模态矢量确定到相差一任意比例常数的列向 量，而不能确定其固定的值。这是因为，尽管q ，= k ，伽，是确定的，然而只要给 出任意k ，就有与其对应的m ，即k ，、m ，不是唯一确定的，因此必须作归一化处理， 此即所谓正则化。常采用的模态振型标准化方法有四种。我们仅介绍其中一种。 以激励点作为参考点，该点的振型元素取值为1 ，从而确定其它各点的振型元 素的取值。从留数开始提取按指定原则标准化的振型元素，实际上是要确定一个比 例系数，使得如，= 声，9 ，则有 妒n = 爿竹i p , v ( 1 2 4 3 ) 由 a ，吨= 半( 1 - 2 - 4 4 1 取妒。，= 1 ，得 由此得到标准化的振型为 p l ， 矽2 ， 母m ， ，：上：一 ( 1 2 4 5 ) 坍。 1 87 9 ，? a n 1 a p p , a ( 1 2 4 6 ) 以上介绍的是实模态分析法的理论，得出了实模态理论下的频响函数和模态参 数的关系。 同时，我们根据式( 1 - 2 3 7 ) 可得出如下结论： ( 1 ) 频响函数矩阵中的任一行为 旧。h ，： = 善, v 丽调1 瞄，鲥 = h ，h ：，h ，。 = 喜i j i 辆眵，妒：，缈* ( 1 - 2 - 4 7 ) 中南大学硕士论文 第一奎综述 可见， h 】中的任行，即包含所有模态参数，而该行的第，阶模态的频响函数值 之比值，即为第，阶模态振型。这一结论启示我们，如果我们在结构上的某一固定 点f 点拾振，而轮流地激振所有的点，即可求得阻 中的行。这一行频响函数即 可包含进行模态分析所需要的全部信息。 ( 2 ) 频响函数矩阵中的任一列为 q ， 日2 j ! h q = r = l ? h i i ，h l i ，h 善赢 ( 一2 - 4 8 ) 可见，阻】中的任列，即包含所有模态参数，而该列的第r 阶模态的频响函数值 之比值，即为第，阶模态振型： 妒l r 妒2 r ： 妒m 一坠鱼二生巫二) 9 ” r h l i ? h2 i ，h q ( 1 2 4 9 ) 这一结论启示我们，如果我们在结构上的某一固定点，点激振，而在其它各点拾振， 即可求得陋 中的一列。这一列频响函数即可包含进行模态分析所需要的全部信息。 这就是单输入多输出( s i m o ) 模态参数识别方法的理论基础。 二、复模态分析方法 实模态情况下，系统阻尼为比例阻尼，而在一般非比例阻尼条件下，采用主模 态振型矩阵作为坐标转换矩阵来进行坐标转换的方法不能使阻尼阵对角化，因而不 能达到使振动微分方程解耦的目的，必须另寻出路。 按照实模态的方法，要设法进行坐标变换，这就是采用状态空间法。在这一方 法中，坐标转换矩阵已不是实阵，而是复阵。该矩阵的每一列为一个特征状态向量， 反映某一阶振动模态，但该列向量的元素均为复量，因而就将这种分析方法称为复 模态方法。 现在就介绍状态空间法。假设阻尼力与速度成正比，则引入一个辅助方程 阻】扛) 一阻酝 _ 0 ( 1 2 5 0 ) 则( 1 2 1 ) 、( 1 2 5 0 ) 合并，并令 中南大学硕士论文第一章综述 m 鼢( 1 - 2 - 5 1 ) 可得下列一阶微分方程组 乜胁 + 陋m = 厂， ( 卜2 5 2 ) 式中 陆 晶踟阱 留一巴 叫鼢( 1 - 2 - 5 3 ) 用( 1 2 5 1 ) 式表达的涉 称为状态向量，( 1 - 2 5 2 ) 式即为在状态空间中描述的运 动微分方程，简称状态方程。状态空间是由式( 1 - 2 5 1 ) 所定义的2 n 维空间。在 此空间中，- 、陋 均为2 n x 2 n 实对称矩阵。 为