随机变量的数字特征.ppt

2 2随机变量的数字特征 怎样粗线条地描述r v的特性 简单明了 特征鲜明 直观实用 随机变量的概率特性 分布函数 密度函数 分布律 要求 数学期望 方差 甲 乙两射手进行打靶训练 每人各打了100发子弹 成绩如下 怎样评估两人的成绩 甲 每枪平均环数为 可见甲的射击水平比乙略好 例 分析 两人的总环数分别为 环 乙 环 甲 乙 环 环 实际背景 某班级某课程考试的平均成绩 电子产品的平均无故障时间 某地区的日平均气温和日平均降水量 某地区水稻的平均亩产量 某地区的家庭平均年收入 怎样定义r v的平均值概念 平均值的概念广泛存在 例如 某国家国民的平均寿命 甲 乙两射手进行打靶训练 每人各打了100发子弹 成绩如下 怎样评估两人的成绩 即平均环数为 例 进一步分析 记甲每枪击中的环数为因为射击次数 较多 故可认为的分布律为 则甲射手每枪平均环数为 引例2加权平均成绩 为该生各门课程的算术平均成绩 设某学生四年大学各门功课成绩分别为 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种 而 为该生的加权平均成绩 平均值的意义 通过上述2个引例 我们可以给出如下定义 一 离散型随机变量的数学期望 记为e x 即 定义2 6设离散型随机变量x 的分布律为 注1 e x 是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量x取可能值的真正的平均值 也称均值 注2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量x取可能值的平均值 它不因可能值的排列次序而改变 二 连续型随机变量的数学期望 设x是连续型随机变量 其密度函数为f x 在数轴上取很密的分点x0 x1 x2 则x落在小区间 xi xi 1 的概率是 小区间 xi xi 1 阴影面积近似为 由于xi与xi 1很接近 所以区间 xi xi 1 中的值可以用xi来近似代替 这正是 的渐近和式 该离散型r v的数学期望是 定义2 7设x是连续型随机变量 其密度函数为f x 如果积分 绝对收敛 则称此积分值为x的数学期望 即 三 随机变量函数的数学期望 1 问题的提出 x e x 数学期望 f是连续函数 f x 是随机变量 如 ax b x2等等 f x 数学期望 如何计算随机变量函数的数学期望 方法1 定义法 f x 是随机变量 按照数学期望的定义计算e f x 2 一维随机变量函数数学期望的计算 关键 由x的分布求出f x 的分布 难点 一般f x 形式比较复杂的 很难求出其分布 1 当x为离散型时 它的分布率为p x xk pk 2 当x为连续型时 它的密度函数为f x 若 定理2 1设y是随机变量x的函数 y g x g是连续函数 方法2 公式法 该公式的重要性在于 当我们求e g x 时 不必知道g x 的分布 而只需知道x的分布就可以了 这给求随机变量函数的期望带来很大方便 四 数学期望的性质 线性设为任意的随机变量函数 存在 则 特别地 取有 再取有 数学期望体现了随机变量取值的平均水平 是随机变量的一个重要的数字特征 但影响我们做决定的因素不仅仅有数学期望 五 随机变量的方差 例如 某零件的真实长度为a 现用甲 乙两台仪器各测量10次 将测量结果x用坐标上的点表示如图 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣 你认为哪台仪器好一些呢 测量结果的均值都是a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如 甲 乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹 其落点距目标的位置如图 你认为哪门炮射击效果好一些呢 甲炮射击结果 乙炮射击结果 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 由此可见 研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的 那么 用怎样的量去度量这个偏离程度呢 容易看到 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 能度量随机变量与其均值e x 的偏离程度 但由于上式带有绝对值 运算不方便 通常用量 来度量随机变量x与其均值e x 的偏离程度 1 方差的定义 记为d x 或var x 即 d x var x e x e x 2 若x的取值比较分散 则方差d x 较大 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 若x的取值比较集中 则方差d x 较小 因此 d x 是刻画x取值分散程度的一个量 它是衡量x取值分散程度的一个尺度 e x 的代表性差 以e x 作为随机变量的代表性好 remark 1方差描述的是随机变量对于其中心的偏离程度 通常可用以衡量风险程度 2方差讨论的是偏离程度的平方 有时对偏差有所夸大 但较之于绝对离差方差更便于用微积分进行研究 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 2 随机变量方差的计算 1 利用定义计算 证明 2 利用公式计算 证明 3 方差的性质 1 设c是常数 则有 2 设x是一个随机变量 c是常数 则有 证明 设 证明 达到最小值 证 依题 有 又因 即的最优估计为 随机变量的矩 def2 9设为随机变量 为正整数 若存在 即 则称为的阶原点矩 为的阶绝对矩 th2 2设随机变量的阶矩存在 则的阶矩存在 cor若存在 则存在 特别地存在 def2 10设为随机变量 为正整数 若存在 则称为的阶中心矩 为的阶绝对中心矩 马尔可夫不等式 th2 3设为随机变量 函数且存在 则有 马尔可夫不等式设的阶矩存在 则有 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式设的方差存在 则有 corollary 当方差已知时 切比雪夫不等式给出了r vx与它