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一 i 盔， 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：圣垃日期：印p 可、_ 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者躲她燃劫 期： 一 目三i 日永 中文摘要5 英文摘要i 符号说明i i i 第一章绪论1 第二章预备知识与引理4 第三章定理的证明1 1 参考文献1 7 致谢1 8 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t 5 e n g l i s ha b s t r a c t i n o t a t i o n s i i i c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 c h a p t e r 2p r e l i m i n a r i e sa n dl e m m a s 4 c h a p t e r3 p r o o fo ft h e o r e m 1 1 b i b l i o g r a p h y 1 7 a c k n o w l e d g e m e n t 1 8 山东大学硕士学位论文 关于a b c - h i t s 个数的下界改进 孟令磊 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 a b c 猜想由d a v i dm a s s e r 7 】a n dj o s e p ho s t e r l d 9 】于1 9 8 5 年提出 a b c 猜想令a ，b ，c 为非零整数，且两两互素，满足口+ b + c = 0 则对任意 的e 0 ，存在k ( e ) 0 ，使得 m a x ( 1 a l ，l b l ，i c i ) r a d ( a b c ) 的a b c - s u m ( a ，b ，c ) ，这里a b c - s u m ( a ，b ，c ) 是指满 足a + b = c 且g c d ( a b ，c ) = 1 的三元数组a b c 猜想足数论中的重要猜想之一，有 着而重要的应用a b c h i t 与a b c 猜想有着密切的关系，关于a b c - h i t s 个数的下界 问题也是十分重要的本篇文章中，我们主要讨论a b c - h i t s 个数的下界问题，即估 计n ( x ) ：酞o - z o ， n ( x ) ：= l a b c - h i t s ( a ，b ，c ) ic x 1 g i l l i e ng e u z e 和b a r td es m i t 1 】证明了一个有关t c ( x ) 上界的结果，即对任意 的e 0 ，存在硒 0 使得对于所有x ，有 ( x ) x i + e 关于n ( x ) 的下界，s a n d c rr d a h m e n 3 】证明了对任意的e 0 ，存在函 0 使得对于所有x x o ，有 ( x ) e x p ( ( 1 。g x ) 一) 3 】， 4 1 和 1 1 】和中用到的主要工具是数的几何和含余项的素数定理等利用素 数定理我们给出了”i - - - - 1l o g p i 和：1l o gl o g p 的一个新的估计 喜b 鼢蚓昭( 詈) 一三l 0 9 2x 一最一硒1 8 x + 。( 毒) ， 砉，o s 昭p i = n l o g ( 署) 一毒一彘+ 。( 丧) 山东大学硕士学位论文 利用这一结果和细致的分析，我们可以改进n ( x ) 的下界 本文的主要结果如下： 定理对任意的e 0 ，存在 0 使得对于所有x 蜀，有 c x ，之唧( c 。g 硝“( 1 + 面击) ) 关键词： a b c - h i t s ；数的几何；素数定理；a b c 猜想 6 山东大学硕士学位论文 a ni m p r o v e m e n tt ol o w e rb o u n d s f o r n u m b e r so fa b c h i t s l i n g l e im e n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h ea b c - c o n j e c t u r ew a sf i r s tf o r m u l a t e db yd a v i dm a s s e ra n dj o s e p ho s t e r l d ( s e e ( 9 j ) i n1 9 8 5 a b cc o n j e c t u r el e ta ，b ，cb en o n - z e r o ，p a i r w i s er e l a t i v e l yp r i m e ，r a t i o n a li n - t e g e r ss a t i s f y i n ga + b + c = 0 t h e nf o re v e r ye 0 ，t h e r ee x i s t sk ( e ) 0s u c h t h a t m a l ) 【( 1 a j ，| 6 j ，j c j ) r a d ( a b c ) ，h e r ea b c - s u m ( a ，b ，e ) i sa t r i p l eo fr e l a t i v e l yp r i m ep o s i t i v ei n t e g e r ss u c hw i t ha + b = c a b c - c o n j e c t u r ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o n j e c t u r ei nn u m b e rt h e o r ya n di t h a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s p r o b l e m sa b o u tb o u n d sf o rn u m b e r so fa b c h i t s a r ea l s oi m p o r t a n t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s sl o w e rb o u n d sf o rn u m b e r so f a b c - h i t s ，i e n ( x ) ：r 2 0 z o ， n ( x ) ：= i a b c - h i t s ( a ，b ，c ) ie x 1 g i l l i e ng e u z ea n db a r td es m i tm a d es o m ec o n t r i b u t i o nt ou p p e rb o u n d sf o r n u m b e r so fa b c - h i t s ，i e f o re v e r ye 0 t h e r ee x i s ta nx 0 0s u c ht h a tf o ra l lx x o ( x ) x i + e a l s oa b o u tl o w e rb o u n d so f ( x ) ，s a n d e rr d a h m e n 3 】p r o v e dt h a tf o re v e r y e 0t h e r ee x i s ta nx 0 0s u c ht h a tf o ra l lx x o ( x ) e 印( ( 1 。g x ) 圭1 ) i n 3 ，【4 】和【ii 】m e t h o d sf r o mt h eg e o m e t r yo fn u m b e r st o g e t h e rw i t hv e r s i o n s o ft h ep r i m en u m b e rt h e o r e mw i t he r r o rt e r m sa r eu s e dt oa c h i e v et h e i rd e s i r e dr e - 山东大学硕士学位论文 s u l t t h e s em e t h o d sa r ea l s oa p p l i e di nt h i sp a p e r ，w eg i v ean e wr e v i s e de s t i m a t e t o 銎1l o g p ia n d ：1l o gl o g p i l e m m a 善l r $ 凤圳。g ( 考) 一毒一硒4 x 一硒1 8 x + 。( 隶) ， 壹i = 1 蚝鼽= 礼g ( 罢) 一赤一彖+ 。( 毒) a n df i n a u yw eg e to u rm a i nt h e o r e ma sf o l l o w t h e o r e mf o re v e r ye 0 ，t h e r ee x i s ta nx 0 0s u c ht h a tf o ra l lx 弱 c x ，e x p ( ( 。g x ，专。( 1 + 话西杀) ) k e y w o r d s ：a b c - h i t s ；g e o m e t r yo fn u m b e r s ；p r i m en u m b e rt h e o r yt h e o r e m ； a b c - e o n j e c t u r e 山东大学硕士学位论文 p 1 ，沈，p r i m e s l a r g ei n t e g e r ap o s i t i v ec o n s t a n tw h i c hi sa r b i t r a r i l ys m a l l g c d ( a ，b ，c ) ，t h eg r e a t e s tc o m m o nd i v i s o r e x p ( x ) ， e 。 f ( x ) = 0 ( 夕( z ) ) ，if ( x ) i c g ( x ) ，f o rs o m ea b s o l u t ep o s i t i v ec o n s t a n tc f ( x ) 9 ( z ) ， f ( x ) = o ( 9 ( z ) ) 一 第一章绪论 定义l 一个三元数组( o ，b ，c ) z 妻o ，如满足a + b = c , g c d ( a ，b ，c ) = 1 ，则称为a b c - s u m 其中g c d ( a ，b ，c ) 为a ，b ，c 的最大公因子 定义2 对于正整数n ，n 的根数记为r a d ( n ) r a d ( n ) = i ip p i v pp r i m e 即r a d ( n ) 为j ! v 最大的无平方因子 a b c 猜想由d a v i dm a s s e r 7 】和j o s e p ho e s t e r l e 9 于1 9 8 5 年提出 命题3 ( a b c 猜想) 令a ，b ，c 为非零整数，且两两互素，满足a + b + c = 0 则对任 意的e 0 ，存在k ( e ) 0 ，使得 m a x ( 1 a l ，1 6 i ，i c i ) 0 ，存在k ( e ) 0 ，使得 a b c l 吾 0 ，存在至多有限多a b c - s u l l l s ( a ，b ，c ) 使得c r a d ( a b c ) 1 + 定义5 如果一个a b c - s u m ( a ，b ，c ) 满足c r a d ( a b c ) ，则称为a b c - h i t 显然，我们能够构造无穷多的a b c - h i t s ，例如下面的例子 例6 令s z 2 且p t8 对任意的n z o ，定义a b c - s u m 如下 a n = s i p 一1 ) 矿一1 ， = 1 ， c r = s i p 一1 ) p - 1 山东大学硕士学位论文 由于s ( p 一1 矿= s 毋“) 三1 ( r o o dp - + 1 ) ，利用费马小定理，我们有矿+ 1a n ，因此可 以推出 r a d ( a n b n a n ) 矿a n 1 s 毒 所以对于充分大的n ，a b c - s u m s ( a n ，k ，) 是a b c - h i t s a b c 猜想的下界问题一直以来是关于a b c 猜想的重要问题之一o s t e r l 6 h = 明 了如下结果，令 砟) = 。戆。，鼍糌磐 则有 l i m k ( ) = o o e + 0 、 在1 9 8 5 年s t e w a r t 和t i j d e m a n 证明了如下结果，如果c o r a d ( a b c ， 器) m v a nf r a n k e n h u y s c n 有进一步改进了这一结果，将限制条件c o o ， n ( x ) ：= i a b c - h i t s ( a ，b ，c ) ic x ) 关于n ( x ) 的上界，有如下结果， 定理7 ( g i u i e ng e u z e ，b a r td es r a i 0 对任意的e 0 ，存在x o 0 使得对于所 有x x o ，有 ( x ) x i + e 对于n ( x ) 的下界，s a n d e rr d a h m e n 在【3 】3 中证明了 定理8s a n d e rr d a h m e n ) 对任意的e 0 ，存在x o 0 使得对于所有x ) c o ，有 ( x ) e 印( ( 1 。g x ) 吾1 ) 山东大学硕士学位论文 在 4 】，【1 1 和【3 】中，使用的主要方法是数的几何和含余项的素数定理等工具本 文中，应用同样的方法和更加细致的分析，我们可以改进n ( x ) 的下界 定理9 对任意的e 0 ，存在x o 0 使得对于所有x x o ，有 c x ，唧( c 。g 彬1 ( 1 + 面击) ) 3 第二章预备知识与引理 首先，我们给出一些预备知识和引理 2 1数的几何 定义1 0 ( l a t t i c e 格j 令n l ，a n 为礼为实欧几里得空间中的线性无关的实向量， 即，使得t l a l + ，+ t 。a n = 0 成立的数集t l 。，t 。只有t l = t 2 ，= t n = 0 所有形如 z = u l a l + ，+ u n a n 点的集合，叫做以a l ，a 。为基的格( l a t t i c e ) ，其中u l ，u n 为整系数 如果口1 ，a 。和h ，k 为同一格人的基，则这两组基是线性相关的， 其中为整数，并且 仇= v q a j ( 1 i , j n ) ， j d e t ( v i j ) = 4 - 1 因此 d e t ( b l ，h ) = d e t ( v , j ) d e t ( a l ，a n ) = 4 - d e t ( a l ，) ， 从而 d ( a ) = id e t ( a l ，) i 与格的基的选择是无关的由于a l ，o f l 是线性无关的，所以有 d ( a ) 0 我们把d ( a ) 称作格a 的d e t e r m i n a n t 定理1 1 令m 为正整数，a 是d e t e r m i n a n t 为d ( a ) 的格，并且y 是一个点集，体积 为v o l ( y ) ，存在可能性v o l ( v ) = o 。假若 v o l ( v ) m d ( a ) 4 山东大学硕士学位论文 或者 v o l ( v ) = m d ( a ) 成立并且y 是紧的则y 中存在m + 1 个不同的点z 1 ，z m + 1 满足所有的兢一 均在v 中 证明参见【2 】fc h a p t e ri i i ，t h e o r e mi 】 利用定理1 1 ，我们可以证明， 口 定理1 2 ( m i n k o w a s k i sc o n p e xb o d yt h e o r e m ) 令v 是一个关于边界对称的凸点集，体 积为v o l ( y ) ，存在可能性v o l ( v ) = o o ；m 为正整数，a 是d e t e r m i n a n t 为d ( 人) 的格 假若 或者 v o l ( v ) m 2 n d ( a ) v o l ( v ) = m 2 ”d ( a ) 成立并且v 是紧的则v 中存在m 对互不相同的点= t = u i ，( 1 j m ) 且不为0 证明 参见【2 】 c h a p t e ri i i ，t h e o r e mi i 在定理9 的证明中，关于应用1 2 需要的v 及其性质，我们在如下引理 引理1 3 令n z o ，定义vcr n y ：2 z t “i 耋翰1 口n d 薹l z tj 1 则v o l ( y ) = 祭 证明参见 3 ，l e m m a6 5 口 口 山东大学硕士学位论文 2 2 素数定理 设z 0 ，7 r ( 刀) 表示不超过z 的素数个数，对任意k z 0 m 旧( 去+ 硒1 1 + + 掣+ 。( 击) ) 取k = 5 ，我们得到一个含有余项的素数定理 巾一( 去+ 毒+ 最+ 毒+ 毒+ 。( 去) ) 基于此我们可以得到关于：ll o g p i 和：ll o g l o g p i 的新的估计 引理1 4 令霉r o ，记n ：= 7 r ( z ) 一1 为z 的奇素数的个数，记p l ，p 。为前n 个奇素数则 喜，o s 鼽刊昭( 詈) 一毒一面4 x 一硒1 8 x + 。( 隶) ， 蔷i r l , 崦- o s p i = n l o g ( 罢) 一赤一硒8 2 ；+ 。( 隶) - 在给出引理1 4 的证明之前，我们需要介绍a b e l 求和公式 引理1 5 似b e l 求和公式，设y ( x ) 区间 n ，6 j 上的连续可微函数，c r i ( n = 1 ，2 ，) 是一 任意复数序列，其和函数为 q z ) = 那么有 ，( 凡) = c ( 6 ) m ) 一c ( z ) y k ) 如 证明参见 8 】 口 下面我们证明定理引理1 4 证明对函数，( y ) = l o gy 或者函数，( 秒) = l o g l o g y ，应用a b e l 求和公式，可得 委他) i f ( 们以们接一z 厂 加 胁 ( 2 ) 山东大学硕士学位论文 对f ( y ) = l o g y ，由( 1 ) 得 抓咖肛z ( 1 + 去+ 去+ 去+ 最+ 。( 去) ) 对m n ，由分部积分公式知 因此( 4 ) 化简为 6 去咖= 巍 ：+ m 6 击m z 2 捌秒= 毒+ 隶+ + 。( 去) ) 西 ( 4 ) 去+彘蜊z2硒1logl o g 却 3z 。4z 厂1 以l 0 9 5 1 ， + 毒+ 旦+ 旦删z 。硒1 l 0 9 3xl 0 9 4x 咖 + 硒+ 一十一+ 2 4z 硒咖 + 毒+ 最州z 。硒1 咖 + 最州z 。而1 句 州z 。去勿 + p ( 去) 咖 z2 x 6 x2 4 x 2 l o g x + 西再+ 五虿+ l o g 4x z2 x 6 x2 4 x 2 菇面+ 云五+ l o g 3x + l o g 4x 和( 3 ) 一起代入( 2 ) ， 用几何级数重写( 1 ) ( 5 ) z 。去蚺f * 0 ( 去) 咖 + 。( 毒) ， z 、 l i 而j 最+ 。( 去) ) ( 6 ) 一可 一5 4 一g o一，l + 一y旦蟛 + 一3 1 l 2 一昭 + 击 + 上咖z = m白白 ， ：与厂厶 d + z = pg o 。：i 去7 去击 山东大学硕士学位论文 由定义知几= 丌( z ) 一1 ，推出 f 7 , = zi 1152 3 石i i = 了+ 五孑i + 话孑丐+ 五孑j 两边同时乘l o g x 一1 ，有 州o g z _ 1 ) = z 十去+ 硒4 x 由( 7 ) 和( 6 ) 我们就证哽了引理的第一部分 对f ( u ) = l o g l o g y ，由( 1 ) 得 + 。( 隶) ) + 毒+ 。( 毒) ，( 耖) 丌白) 】；= ( 1 0 9 l o g x ) ( 7 r ( x ) + 1 ) + 0 ( 1 ) = n l o g l o g x + 0 ( 1 0 9 l o g x ) ( 8 ) 利用分部积分( 5 ) 知 毒+ 。( 去) ) 咖 ( 9 ) 小咖虻毒+ 最+ 最糊z 2 硒1 咖 + 二l o g 。z + 最仙z 2 上l 0 9 5 y 咖+ 一+ 硒“2 上一咖 + 最+ 8z 。去句+ 硒+ 8 上丽句 + 6 z 。去咖删z 。砺1 由+ f x0 ( 去) 由 = 毒+ 旦l o g sx + 崇+ 。( 去) 2 石再+ + 五孑丐+ ol i 再| 。 和( 8 ) 一起代入( 2 ) ， 磐胁刊叫哪一三l 0 9 2x 一硒3 x 一硒l l x + 。( 隶) 8 ( 1 0 ) + 南 + 击 + 南 + 上咖土咖z = ， 与厂以 山东大学硕士学位论文 知 另一方面，由l o g ( 1 + z ) 的泰勒展开 n l o g ( 1 0 9 x 一1 ) = 礼 = n 崦c l 刊= 霎半矿比一 ( 崦l o g x + l o g ( ，一去) ) ( 吲昭z 一( i 1 + 硒1 + 硒1 + 。( 去) ) ) = 一毒一硒327一硒loxnloglogx+ 。( 隶) 。 一硒一五再一面再+ dl 面广 结合( 1 0 ) ，我们可推出 砉崦魄觑= 礼g c l o g x - 1 ，一毒一暴+ 。( 去) m ， 进而 l o g l o g p i = n l o g ( 1 0 9 x 一1 ) 一 = 1 f = n l o gl t = 几il o g 3 x2 3 z 2 l 0 9 3 z3 l 0 9 4 z+ 。( 隶) 垫掣) 一面3 x 一面2 3 x + 。，k , 去l o g ) n 2 l o g 。z3 l o 矿z 。 5z ( 甜。g ( - + 壶+ 去+ 最删去，) ) 一硒3 2 ：一硒2 3 x + 。( 去) 刊。g ( 罢) + ( 去+ 去+ 。( 隶) ) ( 硒1 + 硒4 + 。( 隶) ) 一瓦3 再x 一面2 3 五x + 。( 毒) 圳。g ( 罢) 一毒一硒8 x + 。( 隶) 其中第一个等式可以由( 1 1 ) 得到，第二个由( 7 ) 得出，第四个等式由素数定理和l o g ( 1 + z ) 的泰勒展开得出引理得证 9 口 山东大学硕士学位论文 2 3 s t i r l i n g 公式 定理1 6 ( s t i r t i n g 公式夕对6 0 和一7 r + 5 a r gs 7 r 一6 ，我们有 地m ，= ( s 一) l o gs - s + l o g 瓜+ 。( 击) ， 其中d 中的常数只与5 有关 证明参见【8 】 推论1 7 l o g n ! = n l o g n n + o ( 1 0 9 n ) 口 第三章定理的证明 证明对q = b c q ，满足b ，c z 且g c d ( b ，c ) = 1 ，定义权h ( q ) ：= l o g ( m a x ( i b ，i e l ) ) ，其中1 i 为标准的阿基米德赋值设z 5 并记n ：= 丌( z ) 一1 为z 的奇素数的个数记p 1 ，砌为前佗个奇素数考虑有前几个奇素数生成 的q o 的子群 q t i ：= 硝疗ia i z ， 和具有有界权的元素生成的子集 q ：= 口级ih ( q ) b ( z ) ) 其中b ( z ) ：r 0 寸r 0 是一实函数，我们将在后面给出具体形式定义如下群同态 妒。：q 。r ”：西1 p 挈一( a ll o g p z ，a 。l o g p , , ) 显然妒。是单射则 l z ：= 妒。c q 。，= y a 。i 薹玑b c z ，口咒d 蠢i 玑l b c z ，) ， l 。ck ：= yel k l 薹玑b c z ，。n d 蠢l 玑i b ，) 在数对土可k 一 o 】和a b c - s u m s ( a ，b ，c ) 之间存在一一对应关系，即( a ，b ，c ) 一 ( ：) ，一( ! ) ) ，其中印c 一8 u t r l 8 ( a ，b ，c ) 满足r a d ( b c ) in 垒1 鼽同样在此一一对 应关系下，数对土可懒为a b c s u m s ( a ，b ，c ) ，其中a b c s u m s ( a ，b ，c ) 满 足r a d ( b c ) in ：1 p i 且l o g c b ( z ) q 。，。：= b q 。i6 三c ( m 。d2 ”) ；6 ，c z 。n 礼d g c d ( 6 ，c ) = 1 ) 山东大学硕士学位论文 2 m 一1 ( 1 2 ) 仇且 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 山东大学硕士学位论文 当z - o o 时 2 m o o ，因此对于充分大的z 有2 卢”+ 1 一d z o 由定理1 2 我们有k 中包含k ，一中的至少2 卢m + 1 一d 对互不相同的格点士可，对l z 同样成立在如前所 述的一一对应关系下，这些对格点分别对应2 卢m + 1 一d 个不同的a b c - s u m sa ，b ，c ) ，其 中a b c - s u m s ( 8 ，b ，c ) 满足l o g c b ( x ) 并且 由( 1 6 ) ，( 1 5 ) 和引理1 4 我们有 2 一ic b = a( 1 6 ) r a d ( 删- 茸2 a - - 磊p i 舶- 0 和充分大的x 成立 m c x ) e x p ( ( 1 0 9 x ) 吾1 ) ； ( 1 8 ) 对2 ( 麟pb ( z ) ) ，我们需要考虑l 0 9 2z l o gx = = l o g ( 2 b ( x ) ) r 芊- ze = 1 - 4 - 击( 1 0 9 b ( z ) + 1 0 92 ) 1 4 山东大学硕士学位论文 当q 下1 时，q ( 1 + 口) 个1 2 ，故对充分大的z ，有 l 。g zs1 + 丢( 1 。g 口( z ) + l 。9 2 ) l 。gb ( z ) 从而我们有 飓c 唧c 酬，唧( 南) = 唧( 蹴) 其中瓯：= e ( 1 q i ) 2 。( 1 + 。 0 当q 下1 时，q ( 1 + q ) 个1 2 ，我们推出，对任意 的e 0 存在使得对充分的大z 成立 c 唧c 删，唧( 嘴) ， 联合( 1 8 ) 和( 1 9 ) ，我们有 n ( e x p ( b ( z ) ) ) 1 ( e x p ( b ( z ) ) ) x 2 ( e x p ( j e 7 ( z ) ) ) 唧( c 酬扣) 唧( 嘴) = e x p ( ( 删扣( + 南) ) 即对任意的e 0 和充分大的x ，成立 c x ，e x p ( c - o s x ，争( ，+ l o g l l 9 2 x ) ) 定理得证 1 5 口 参考文献 【1 】g i l l i e ng e u z e ，b a r td es m i t ，r e k e nm e em e ta b c ，n i e u wa r c h i e f v o o rw i s k u n d e ( 5 t h s e r i e s ) 8 ( 2 0 0 7 ) ，2 6 - 3 0 【2 】j w s c a s s e l s ，a n i n t r o d u c t i o nt ot h eg e o m e t r yo fn u m b e r s ，s p r i n g e r - v e r l a g ， b e r l i n ，1 9 5 9 【3 】s a n d e rr d s h m e n ，l o w e rb o u n d sf o rn u m b e r so fa b c - m t s ，j n u m b e rt h e o r y1 2 8 ( 2 0 0 8 ) 1 8 6 4 - 1 8 7 3 【4 】m v a nf r a n k e n h u y s e n ，al o w e rb o u n di nt h ea b ec o n j e c t u r e ，j n u m b e rt h e o r y8 2 ( 2 0 0 0 ) 9 1 9 5 【5 】5g h h a r d y , e m w r i g h t ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo fn u m b e r s ，o x f o r dp r e s s 1 9 7 9 【6 】a e i n g h a m ，t h ed i s t r i b u t i o no f 尸而m en u m b e r s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 6 4 【7 】m a s s e r ，r c ，i to p e np r o b l e m s i n ：c h e n ，w w