（基础数学专业论文）具有逆断面的正则半群的若干问题.pdf

摘要 本文主要结合具有逆断面的正则半群的结构定理，对这类半群的 自然偏序进行精细的描述给出了有关自然偏序的的两个重要条 件刻划，对具有逆断面的正则半群之间的同态进行了刻划，讨论了 具有逆断面的正则半群的特殊同态像的条件 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w ec h a r a c t e r i z e dt h en a t u r a lp a r t i a lo r d e ro nt h e s t r u c t u r eo fr e g u l a rs e m i g r o u pw i t ha ni n v e r s et r a n s v e r s a l s t u d y - i n gt h e c o n d i t i o na b o u tt h en a t u r a lp a r t i a lo r d e ro ni t a n dc h a r a c - t e r i z e dt h eh o m o m o r p h i s mb e t w e e n r e g u l a rs e m i g r o u p s ，d i s c u s s i n g t h ec o n d i t i o n sa b o u tt h es p e c i a lh o m o m o r p h i s m i m a g e 第一节预备知识 1 1 具有逆断面的正则半群的研究概述 具有逆断面的半群的研究思想最早是b l y t h 和m c f a d d e n 于1 9 8 2 年在关于 具有逆断面的正则半群的论文【1 中提出，经过几十年的发展，逆断面的思想 已得到很大程度的拓展在正则半群范围内，有可裂断面，正则+ 一断面，纯正 断面，逆断面在富足半群范围内，有恰当断面 正则半群是一类重要的半群，它的研究成果是半群代数理论中最成熟的 一部分，尤其是逆半群的研究成果相当丰富幂等元方法是通常的处理方法， 而对逆半群来说，幂等元具有交换的性质，并且一些性质都有很好的元素刻 划而有逆断面的正则半群，因为有逆子半群作为它的逆断面，可借助断面 的逆半群性质对它的结构同余等进行有效的研究来实现较好的性质的刻 划这类半群的典型例子有：逆半群基本矩形带，带有最大幂等元自然序半 群，正则垂螺旋半群、分离纯正半群m c a l i s t e r 、b l y t h 、s a i t o 、唐西林等 对该类半群的性质作了详细的介绍，汪立民、唐西林、b l y t h 等对该类半群 的同余进行了细致的刻画，得到很好的结果并逐渐形成一个比较完整的体 系( 见f 7 1 | 1 0 1 3 1 5 1 1 1 6 ) 具有逆断面的正则半群概念的给出到结构的认识，都是在对该类半群的 基本性质的认识以及具有特殊逆断面的正则半群结构的研究，直到1 9 8 9 年， s a i t o 给出了一般情形下的这类半群的一个很复杂的结构定理，但这个直到 唐西林证明了，和a 是子半群之后，才简化得到一个完美的结构定理，相 应的，其他比较好的性质也可以得到1 9 9 5 年汪立民首次突破性的研究了具 有9 逆断面的正则半群上的同余，随之彻底解决具有逆断面的正则半群上 同余的刻划问题另外，1 9 9 2 年l o g a n a t h a n 将逆断面的概念做了极大的推广， 他在【6 j 中定义了可裂断面的概念，相继又有纯正断面和+ 一断面地提出以及 富足半群上恰当断面的概念的提出以及相应的研究工作 1 2 基本概念 设s 是正则半群，s 的逆子半群伊称为s 的逆断面，如果s 的每个 元在s 。有唯一的逆元如果s 。还是s 的拟理想( s 。s s 。s 。) 则称 是s 的q _ 逆断面对于具有逆断面酽的正则半群s 中的任意元素o ，b ， a o a b b 。e ( s o ) ，则称酽为正则半群s 的可乘逆断面s 的可乘逆断面一 定是q _ 逆断面( 见【1 3 1 ) s 。中。的唯一逆元记作z 。，知。) 。记为x ”，具有 逆断面酽的正则半群s 有下列基本性质 1 ) ( v z s ) z 。”= x 。 2 ) 1 1 】c 忆，y s ) ( g ) 。= ( 扩删) 。矿= 矿( 鲫。) 。= 9 。( 扩z g 矿) 。矿 3 ) 【1 目【15 1 ( 妇，y s ) ( z 。g ) 。= 。口。i - ( z 矿) 。= 扩。z 。 4 ) s 的子集合i = z s ：z = 。) ，a = 。s ：z = z 。z ) 分别为s 的左正则【e ，e = e ，】予带和右- , f 贝uf e f e = f e 子带，并且，n a = e ( s 。) 5 ) s 上的格林关系可以作如下刻划： ( z ，y ) l 铮。x = y o y ，( z ，掣) 皿甘x x 。= y y 。 设s 是正则半群，。，y s ，e ，e ( s ) ，s ( e ，f ) = 妇e ( s ) l e g f = e ，9 e = 如= 9 ) ，s ( e ，f ) = u 。e 佧f s ( e ，) ，称半群s 到半群t 的映射咖 为同态，如果对于任意的z ，y s ，z 庐鲥= ( z ”) 毋当咖为单射( 满射) 时， 称毋为s 到t 上的单同态( 满同态) 映射当为双射时，称庐为s 到t 上 的同构映射此时，称s 和t 是同构的 具有逆断面的正剐半群的结构定理 下面介绍s a i t o 的具有逆断面的正则半群的结构定理f l 3 1 1 1 6 j ： 设s 。为逆半群，酽为p 的幂等元半格设，为左零半群 厶i 口e 。) 半格，a 为右零半群 r l n e 。) 半格，并且e 。为j 和a 的共同逆断面， 令a i s 。：( ，e ) 一， e ，满足下面的条件： 1 ) 广( ， e ) e 。= ，十e ， 2 ) ，o e = f e 。= ，。e o ， 对任意( 。，幻s 。p ，假设o ( 础) p t ( a i ，d 、反。) p t ( a i ，a ) ， 满足下列条件： 2 ( a ) d a m ( a ( ) ) = d o m ( f l ( ) ) = 甩一l 。三 _ l 及 ( le ) d ( 。扪l 。( ，。) 扣( ，。h ) 一- ，( ，e ) 危z ， 】l 扣( ，e ) “) 一m ( ，e h ( b ) 若，r 。一。，g l w z ，h 吼一，f ，k l ；。一t ，贝0 有 ( ，g ) n 缸，”) ( ( ，g ) j 撑) ，南) o 扛( ，。9 ) v ，习= ( ，g ( a ，后) a b ，。) ) a 扛，( h 。盘l z ) ) ， ( f ，g ( h ，七) “忙”) ) 卢( ；，_ ( + k ) ：) ( 九，女) 屈，；) = ( ( ，g ) 卢知，口) ，) 反。( ，+ 9 ) ，= ) ， ( f 9 ) 口( ( ，9 ) 卢b ，) ，k ) = ( f g ( h ，女) 。o p ) m h 七) ； ( c ) ( x - - l x ，y y 一1 ) 扛，计= z 暑，( 鲫) 一1 及( 口2 - 1 x ，y y 一1 ) 卢如删) = ( z 掣) 一1 x y ； ( d ) ( ，。，e ) a ( i 。矿) = ，。e 。，及( ，e 。) 履，。，) = f o e 。 结构定理设三 ( e ，z ，f ) i xs 。xa l e l 。一，f r t 。) ，定义该 集合上的运算如下： ( e ，。，) ( g ，y ，h ) = ( e ( ，g ) 8 枷$ ) ，z ( ，* 9 ) y ，( ，9 ) 反。) h ) ， 则w 是具有同构于s 。的逆断面的正则半群，啊兰i 以及a w 型a ，反过 来，每一个具有逆断面的正则半群都可如此构造 以下把这样构造的具有逆断面的正则半群记作w = w ( i ，s 。，a ，o ，卢，+ ) 1 3 同余的刻划 定义正则半群上的同余p 的迹和核 t r p = = p l e ( s ) ，k e r p = z s l ( 3 e e ( 回) z p e ) 定义1 1 设s 是具有逆断面酽的正刘半群，力和q 分别是，和a 上 的同余，而7 r 是s o 上的同余三元组h ，) 称为s 的同余组，如果它 满足以下条件： ( 1 ) ( 魄，f i ，g h ) e r d = 争( 9 e ) 。7 r ( g ，) 。，( g e ) 。( 9 e ) 力( g ，) 。( 9 ，) ， ( v e i ，g ，hea ) 9 7 = ( 9 吧) 。口( e ) 。，0 e ) ( 9 e ) 。q ( e ) ( e ) 。， ( 2 ) ( v e ，g a ，a ，b s 。) a r b = n 。e a l - i b 。e b ，a g a 。 - 蛔6 。 3 定义s 上的关系p ( q t 丌 n ) 如下 x p ( ，7 ) 掣 = 茁z 。t l y y 。，z 。丌可。z 。x t a y 。y 同余的刻划设s 是具有逆断面s 。的正则半群，h ，7 r ，n ) 为s 的同余 组，则p c q ，丌 n ) 是s 上的同余，且以q ，。，n ) 在，s 。和a 上的限制分别是 7 1 ，7 r ，n 反之，s 上的每个同余都可以如此构造 4 第二节具有逆断面的i e g , i 半群的自然偏序 辨1 自然偏序及其性质 i e 贝j j 半群上，自然偏序f 2 】关系定义如下： a 兰b 营吃墨r ，( j e e ( r ) ) o = e b 自然偏序有下面的刻划 引理2 1 【2 1 m 【1 0 1 设s 为正则半群，对于s 中任意元素n 和b ，以下各条 等价： 1 ) a 6 ： 2 ) 凰风，且( v b y ( 6 ) ) a = a b a ； 3 ) h a h b ，且( 3 b y ( 6 ) ) a = 曲o ； 4 ) ( v 6 ，v ( b ) 或者3 b y ( 6 ) ) o = b b 7 a b a b 6 ； 5 ) ( 3 e ，e ( s ) ) a = e b = b l ； 6 ) ( v ，e ( r b ) ，3 e e ( r a ) ) e ，a = e b ； 7 ) ( v ，e ( l b ) ，j e e ( l 。) ) e ，n = b e ； 8 ) ( b a ，a ”y ( ) ) a = a a b = b a ”o ； 9 ) ( 3 a y ( 口) ) a a = a b ，耐= b a ； 1 0 ) ( j b ，v ( o ) o = n f b = 耐n ，o = a b a ； 1 1 ) ( j z s ) a = a x b = b x a ，a = a x a ，b = b x b ； 1 2 ) ( j z ，y s ) n = x b = b y ，$ o = o ； 1 3 ) ( j z s ，8 e ( s ) ) o = e b = b x ； 1 4 ) 【1 0 】( v b y ( 6 ) ，v 。e ( s ) ) a b s ( b b ，z ) 2 2 具有逆断面的正则半群上自然偏序的刻划 逆半群上自然偏序有简单的刻画因此，结合结构定理，利用逆断面在结 构上的影响，具有逆断面的正则半群上的序也具有其独特的描述方式下面 5 的结果中就更加明确的用了s 中元素在s 。中的逆元来刻划自然偏序 定理2 2 设s 为具有逆断面s 。的正则半群，对于s 中的任意元素，以 下条件等价： 1 ) a 6 ； 2 ) a 。a b 。b ，a a 。b b o ，a = a b 。n ； 3 ) a = a b 。a ，a b s b ； 4 ) a b 。b b 。，a b 。b = a = b b 。0 ； 5 ) 酽nsb 口b ，a b 。b = o = b b 。a ； 6 1a = 6 6 。6 。曲。6 ： 证1 ) = 2 ) s 为正则半群，根据引理2 1 知，存在e ，e ( s ) ，使a = e b = 6 ，所以见= r b l 忍，l 。= l 。b 如，且a = e a f = e b f = e b b 。b = n 6 。a ， 而 忍哦铮a c t 。b b o ，l 。l b 甘a 。o b o b 事实上，若见r 6 ，则o s l 6 铲，于是，存在t s 1 ，使得a = b t ， o 矿b b 。= d ( 6 t ) 。b b 。= 口( 6 。b t ) 。b 。b b 。= a ( b b t ) b = a ( b t 。) = a a 。 6 扩a a o = 6 6 0 6 0 。= 阮酽= a a 。 所以，。b b 。反过来，若o n 。b b 。，则有n o 。b b 。= b b 。a a 。= a a 。， r 。= 冗。e 。= e 。s 兄b 同理可证，l 。l b 甘a 。a b b 。所以，n 。口b 。b ，a a 。6 6 。，a = a b 。a 2 ) 寺3 ) 由矿b o b ，a a 。b b 。知， a = o n 。a a o a = b b 。a a 0 0 0 0 a b 。b = b b 0 0 6 。b b s b ， 所以，a = a b 。a ，a b s b 3 ) 号4 ) 由3 ) 中口= o b 。a 知，6 0 ，b 。a e ( s ) ，而b s b ，存在，使得 8 = b k b = b b 。b k b b 。b = b b 。a b 。b ，因此，n = 拍。a = a b 。b ，有 l 。= 己6 6 。三p 。厶，r ；r 曲。6 冠。b 。见， a b 。b b 。= 0 6 。= b k b b o = b b o b k b b 。= b b 。a b 。 即l 。= l b 。，且0 6 0s b b 。 3 1 ： 5 ) 同理可证 6 4 ) = 6 ) 由4 ) 知a b 。b b 。，b b o e ( s ) ，所以a b 。e ( s ) ，则由4 ) 可得： a = b b 。a = b b 。a b o b = b b o ( n 6 0 ) 6 = b b o ( a b 。a b 。) b = b b o a b o a b o b 5 ) 寺6 ) 同理可证 6 ) 辛1 ) 我们有6 。a b 。a b 。b ，b b 。0 6 。d 6 0 f ( s ) ，事实上， b 。a b 6 a b 。b - b 。a b o a b 。b = b 。( b b 。a b 。o 酽b 、6 0 a b 。a b 。b = b 。a b 。a b 。a b 。b = b 。( b b 。a b 。a b 。b ) b a b 。b = 扩a b 。a b 。b 所以，b 。a b 。a b o b e ( s ) ，同理，b b 。a b 。a b 。e ( s ) 由此，口= b h = g b ，( 其中 h = b o a b 。a b 。b e ( s ) ，g = b b o a b o a b 。e ( s ) 故口b 具有q 逆断面的正则半群上自然偏序可以用其结构分量，s 。和a 上 的自然偏序给出，这是一个理想的结果 定理2 3 设s 为具有q 一逆断面s 。的正则半群，对于s 中的任意元素 d ，b ，则 a b 骨a a 。sb b 。，0 6 sb 。，a 。a sb 。b 证若a ! b ，则有定理2 2 知，a 。a b o b ，o 矿b b 。，a = 曲。a ，n o = ( a b 。a ) = n o ( 口。n 6 。a a 。) 。口。= 口。( o a b 0 o o a c ，) o a 。= d 。n 。扩6 n o o o a a 。= 旷6 0 。a 。 所以，a 。6 。 反过来，若。b b 。，a 。b 。，a 。asb 。b ，则a ”扩。，而由文献 1 】知具 有0 一逆断面的正则半群是局部逆半群，自然偏序关于乘法是相容的所以， a = ( a a 。) n ”( n 。口) ( 6 6 。) 6 ”b 。b = b ，故a b 一 但一般的具有逆断面的正则半群上没有这样的结论，我们只得借助结构 定理来刻划自然偏序在具有逆断面的正则半群w = w ( 1 ，s 。，a ，o l ，尻+ ) = ( e ，茹，d i p a i e l x ，t ，忍一t ，) 当中，逆断面w 。= ( e ，。，) i s 。a i e = 。z ，= x - i z ) ，因此，我们看这类正则半群w = w ( 1 ，s 9 ，a ，o ，卢，+ ) 上自然偏序关系的等价刻划 定理2 。4 具有逆断面的正烈半群的结构半群w = w ( i ，s 。，a ，q - ，芦， ) 当 中的自然偏序有如下刻划：对任意的( e ，。，) ，( g ，y ，w ， 7 ( e ，。，) ( 9 ，h ) 咎e 5 ，。= z p 一1 ( ， 。) 反。，”一- ) 9 。 e z ，h 证对于任意的中的元素( e ，。，) ，( g ， ) ，( e ，z ，) 。= ( y o , z ，e 。) 由定理2 2 可得，( e ，z ，) ( 9 ， ) 铮 ( e ，z ，) ( e ，z ，) 。( g ，可， ) ( 9 ，”， ) 。 ( e ，z ，) = ( e ，z ，) ( 9 ，_ h ) 。( e ，。，) ， ( e ，。，) 。( e ，。，) ( 9 ， ) 。( g ，h ) 等价于 ( e ，e 。，e 。) ( 9 ，9 。，9 。) ， ( e ，z ，) = ( e ，z ，) ( g ，掣， ) 。( e ，。，) ( ，。，。，) ( h 。，h 。， ) = e g ，z = z g 一1 ( ( ，h o ) p 扛，”1 ) 9 。十e ) z ，h _ 具体地，若p 为正则半群s 的逆断面，由结构定理我们可以构造具有 逆断面的正则半群w o = ( e ，z ，) i s 。a 陋l 。_ l i ，见一，。 ，其乘 法运算为： ( e ，$ ，) ( 9 ，p ，h ) = ( e z f g u ( x f g y ) 。，z ( y g ) 。口，( 。，9 y ) 。= f g y h ) 此时，s 皇w o z = 。”- 1 ( ( ， 。) 反一t ) 9 。 e 扣= z 如一1 e z ，我们定义上的 关系如下， ( e ，z ，) 6 ( 9 ， ) 亭e g ，。= = 。，掣一1 e x ，sh 推论2 5 关系6 为正则半群w o 上的自然偏序 证对任意的( e ，) ，( 9 ，9 ， ) ，( 七，z ，1 ) w o ， e e ，z = $ z 一1 z = z ，z 一1 e z ， 所以( e ，z ，) j ( e ，z ，力，即满足自反律；若( e ，$ ，) 6 ( g ，弘砷且( 9 ， ) d ( e ，。，) 则e 9 ，。= z 舟e x ，h 且9 e ，= y h z 一1 鲫，h ，因此， e = g ，= ，茹一1 = z 一1 z 茁一1 = x - 1 ( 茁，掣一1 e 。) z 一1 = ，。，。暑，一1 e 。e e 。= 8 ，o y 一1 e 。= ( e 。y f 。) 。= y 。= y ，有。一y ，所以( e ，x ，) = ( g ， ) 满 足反对称性；若( e ，z ，) 5 ( g ，y ，h ) 5 ( k ，z ，；) ，则e g 墨k ，s 墨h 2 ，z = t ，一l e z ，y = y h z g y ，有y 1 = y - l y y 一1 = y - t y h z 一1 9 y y 一1 = h z g ，有 z = x f y 一1 e = x f h z 一1 9 e x = x f h 。y 一1 y = 茹，z 一1 e x ，因此，( e ，。，) 6 ( 豇，z ，z ) 满足传递性所以，关系6 是w o 上的偏序关系 下面说明关系6 是w o 上的自然偏序，若( e ，z ，) 6 ( g ，y ， ) ，则存在w 勺 中的幂等元( e ，x y ，y x 。) 和( z g ，$ ，) ，使得 ( e ，z ，f ) = ( e ，x y 一1 ，y x 一1 ) ( g ，y ，h ) = ( g ，y ，九) ( z y 一1 ，y x 一1 ，) 当逆断面是q - 逆断面时，z = 吲h 1 ( ( ，舻) 觑；, y - i ) 9 。+ e = x y 4 x 等价 于x y 我们有下面的推论，它实际上就是定理2 3 推论2 6 具有0 一逆断面的正则半群的结构半群w = w ( 1 ，p ，a ，o ，卢，+ ) 当中的自然偏序可作如下刻划，对任意的( e ，z ，) ，( g ，y ，h ) w ， ( e ，o ，f ) ( g ，y ，h ) 兮ess ，z y ，f h ， 2 3 具有逆断面的正则半群上关于自然偏序的两个条件 m ，p e t r i c h 提出了正则半群上关于自然偏序的一个条件一纯性，并且在各 个特殊结构的特殊半群上作了细致的等价刻划下面我们看一看该半群上 满足纯性i s 的等价条件称正则半群s 为纯的，如果对s 任意中任意元素 n ，及幂等元集当中的元素e ，e a = a e ( s ) 。 由定理2 2 以及纯性的定义，我们不难得到下面的结论 引理2 7 设s 是具有逆断面铲的正则半群，则以下各条等价， 1 ) s 是纯的； 2 ) 对于s 中的任意幂等元e ，e = b b 。e b 。e 6 。b 净6 e ； 3 ) a s ( a 。a ，i ) n e o ( 或者：b ( h ，a a 。) d n e d ) 辛a e 4 ) 对任意的e e ( b s b ) ，e = e b 。e = b 曰( s ) 9 在结构半群当中，纯性的刻划如下 定理2 8 具有可乘逆断面的正则半群w = ( ，酽，a ，o ，鼠 ) 是纯的充 分必要条件为酽是纯的、 证先证明w 上的幂等元集合为 e ( ) = ( e ，z ，) w i e ，a ，z = ( ， e ) 一1 事实上，若( e ，z ，f ) e ( w ) ，则( e ，z ，) ；( e ，x ，) ( e ，$ ，f ) 争e = e ( ，e ) o 扛瑚，= x ( f e ) x ，f = ( f ，e ) 最z ) ， 幸争e = e ( ，e ) o 扛) ，。_ 。= ( f e ) ，f = ( f ，e ) f l ( ”) ， 而( e ，( - f + e ) 一，) ( e ，( f + e ) ，f ) = ( e ( ，e ) 。( ( ，。) ，( ，+ 。) 一，) ，( e ) ，( ，e ) 反( ，矿- ，( ，+ e ) 一t ) ，) 因为e l ( i + 。) _ l 阳且 ( ，e ) n ( ( ，。) 一，( ，+ e j 一，) l ( f t o 一，。e ( ，。e ) 一1 ( ( ，+ e ) 一，。e c f e ) 一- ) 一t2 。l ( ，c ) 一- ，+ e ， 所以e ( ，e ) o ( ( ，。旷- ，( ，+ 矿z ) = e ，同样地，( ，e ) 屈( ，+ 。) ，( ，+ 。) 一，) ，= ，即( e ，( ，t e ) 一1 ，) ( e ，( ，卑e ) 一1 ，) = ( e ，( ，se ) 一1 ，) ( 充分性) 设p 是纯的，对于任意( e ，z ，f ) e ( w ) ，( g ，y ，h ) w ，则 z = ( ，+ e ) 。e ( s 。) ，且e 。= z = ，。，设( e ，z ，) ( g ，y ， ) ，可乘逆断面一 定是q 逆断面，则由推论2 6 可知zsy ，而s 。是纯的，所以，y e ( s 。) ，则 9 。= y = h 。= h + g ，故( 9 ，h ) e ( ) ( 必要性) 设是纯的，则对任意的e 。e ( s 。) ，a s 。，则有 ( e 。，e 。，e 。) 墨( 口。，8 ，。_ 1 0 所以( ，a ，a - i 口) 目( ) ，= ( a - 1 a ) ( a a 一1 ) e ( 酽) 故s 。是纯的一 下面我们从另外一个角度考察自然偏序设口为正则半群s 上的等价关 系，称s 是满足日一m a j o r i z a t i o n ，如果对于口，6 ，c s ，b 8 ，c 兰8 和b o c 蕴含b = c 称s 是满足p m i n o r i z a t i o n ，如果对于a ，b ，c s ，a sb ，a sc 和b o c 蕴含b = c 我们把参考文献的结论综合起来的重要结果作为下面的定理列在下面 1 0 引理2 9 1 2 f 1 设在具有逆断面s 。的正则半群s 上，以下各条等价 1 ) s 。是s 的0 一逆断面； 2 ) i ，a 分别为左正则带，右正则带； 3 ) s 为局部逆半群； 4 ) 自然偏序关于乘法是相容的； 5 ) s 满足一m 叮o r i z a t i o n ，灭一m 叮o r i z a t i o n ； 6 ) 对于s 的幂等元，满足一m 町o r i z a t i o n ，盈一m a j o r i z a t i o n 具有q 一逆断面的正则半群既满足c m a j o r i z a t i o n ，又满足咒一 m a j o r i z a t i o n 自然满足“一m a j o r i z a t i o n 下面考察曰一m 卿o r i z a t i o n 条件 引理2 1 01 7 】正则半群上s 满足d m a j o r i z a t i a n 当且仅当对于s 上 的幂等元满足曰一m a j o r i z a t i o n 定理2 1 1 设s 是具有p 逆断面s 。的正则半群，则以下条件等价 1 ) s 满足条件d m a j o r i z a t i o n ( ! d m i n o r i z a t i o n ) ； 2 ) j ，s 。，a 分别满足条件d m a j o r i z a t i o n ( i d m i n o r i z a t i o n ) 证只证明关于条件d m a j o r i z a t i o n 得结论，关于d m i n o r i z a t i o n 的结论可以类似地证明 1 ) = 2 ) 若s 满足条件d m a j o r i z a t i o n ，i ，s o ，a 均为正则半群s 的i e 贝r l 子半群，显然满足d m 耐o r i z t i o n 2 ) = 1 ) 若j ，p ，a 分别满足条件d m a j o r i z a t i o n ，设n b ，a c ，d d b ， 则a a 。b b 。，a a 。c c 。，a 。b o ，口。茎c o ，a 。n 6 0 6 ，a 。a c 。c ， b b o 咒6 d c 咒c c o ，b o d b 2 ) c 7 ) c o ，6 。b d g d c d c o c b b 。d c c 。，6 0 d c 。，6 0 6 d c 。c 由已知b b o = c c o ，b o = c o ，b o b = c 。c 所以，c = c c 。c = b b o c = b c 。c c = b b 。b ： 6 故s 满足条件口一m 酊o r i z a t i o n 件 推论2 。1 2 具有q 逆断面s 。的正则半群s ，满足口一m a j o r i z a t i o n 条 1 2 证根据定理7 ，只证明，s 。，a 分别满足d m a j o r i z a t i o n 条件，根据引 理2 1 0 知p 满足d m a j o r i z a t i o n 只要证明e ( s 。) 满足曰一m a j o r i z a t i o n ， 而带b 满足d m 叮o r i z a t i o n 条件的充分必要条件为带b 为正规带事实 上，若口为正规带，对任意的e ，f ，g b ，f ，g 茎e ，d 吼则， g e b e ，f g = e f g e = e g f e = g f ，由，d g ，则f = g 所以带b 满足d m a j o r i z a t i o n 反 过来，若带b 满足d m 町o r i z a t i o n ，对于任意的e ，f ，g b ，e f g e d e g f e ， 且e f g e ，e g f e e ，由带b 满足d m a 3 o r i z a t i o n 知：e f g e = e g f e 所 以带b 为正规带而，e ( s o ) ，a 都是正规带，所以，s 。，a 分别满足 口一m a j o r i z a t i o n 条件 由具有逆断面的正则半群的同余的刻划，我们有下面的结论成立 定理2 1 3 设s 为具有q 一逆断面s 。的正则半群，对于s 上的任意同余 p ，则以下条件等价 1 1s 满足p m i n o r i z a t i o n ( p 一仇a j o r i z a t i o n ) ； 2 ) j ，s 。，a 分别满足p t - - m i n o r i z a t i o n ( p l m 叮o r i z a t i o n ) ，矿一m i n o r i z a t i o n ( p 。一m 幻o r i z a t i o n ) ，p h m i n o r i z a t i o n ( 肌m a j o r i z a t i o n ) 证只证明条件p m a j o r i z a t i o n ，由文献【7 】知，在具有q 逆断面的正 贝0 半群上，p x = p l ，p 。= p f s o ，p a = p l 1 ) 号2 ) 显然 2 ) 辛1 ) 设i ，s 。，a 分别满足条件p m a j o r i z a t i o n ，对于s 中的任意 元素a ，b ：c ，a b ，o c ，b p c 则n n 。b b o ，a a 。sc c 。，b 。p c 。，所以b b 。p c c 。，由 ，满足条件p m a j o r i z a t i o n 知：b b 。= c c 。，同理可得：6 0 = c o b 。b = c 。c ， c = c c o c = b b 。c = b c 。c = b b o b = b 故s 满足条件口一m a j o r i z a t i o n 同理 可证，s 满足条件p m i n o r i z a t i o n 第三节具有逆断面的正则半群之间的同态 3 1 同态的构造 完全单半群上的同态具有很好的刻划，作为完全单半群概念的推广，我 们给出具有逆断面的正则半群之间同态的刻划文献【3 】中得出具有逆断面 的正则半群的同态象还是具有逆断面的正则半群，并且逆断面的同态象还 是逆断面下面结合结构定理，对具有逆断面的正则半群间的同态进行刻 划 定义1 设s = m ( ，s 。，a ，o ，卢， ) ，t = m ( z t 。，e ，7 ，6 ，) 为具有逆断 面的正则半群，映射 妒：j _ 3 ，i “，= 妒 u ：s 。_ t 。a hb = w 妙：a 一0 ，a ”弘= a 妒 分别为同态映射若满足 1 ) 对任意的e o e ( s 。) e 。l p = e o u = e 。妒； 2 ) ( e ( ，9 ) 口扛，”) ) p = e 妒( ，妒，9 妒) 饥扎，) ； 3 ) ( ，4 9 ) u = ，妒9 妒； 4 ) ( ( ，9 ) 凤；，p ) ) 妒= ( ，妒，9 妒) 6 ( n ，* ，) 妒 则称( 妒，w ，妒) 为s 到t 的一个容许三元组则e , c x x ，e 妒l ( z x - 1 ) 妒= 。- 1 w = ( z u ) ( 。- 1 u ) = ( 钆，) ( z u ) ，同理可知 自r ( 删) 一- ( w ) 所以， ( e 妒，妒) t ，因此可定义映射 e ：s * t ，( e ，o ，f ) 一( e 妒，z u ，r e ) 定理3 1 设( 妒，u ，妒) 为s 到t 的一个容许三元组则口= 目( 妒，u ，砂) 是s 到t 的同态映射 证设( 1 p ，u ，妒) 为s 到t 的一个容许三元组，对任意的( e ，。，) s ， 1 3 下面看日为同态映射，对于任意的( e ，z ，) ，( g ，y ，h ) s ， ( e ，z ，f ) 8 ( g ，y ，a ) o = ( e 妒，。u ，妒) ( 9 妒，y w ，h e ) = ( e 妒( ，妒，9 妒) ，y 如，舛，。u ，妒g 妒j ，u ，( ，妒，9 l p ) 6 二。，f 。h e ) ( ( e ，z ，) ( 9 ，y ，h ) ) 日= ( e ( ，g ) o ( 。，) ，x ( f + g ) y ，( f ，g ) ，吼* ，) ) 口， = ( ( e ( ，9 ) o ( 。，。) ) 妒，( x ( f 十g ) f ) u ，( ( ，9 ) 反。，) ) 妒) = ( e 妒( ( ，9 ) o 忙，) ) 妒，x w ( f g ) w y w ，( ( ，9 ) 反z ，) ) 妒 妒) 由( 妒，u ，母) 为s 到t 的一个容许三元组可知， ( e ，z ，f ) e ( g ，y ，a ) o = ( ( b ，x ，) ( 9 ，y ， ) ) 口 所以p = p ( 妒，u ，妒) 是s 到t 的同态映射 一 反过来、若p 是s 到t 上的满同态、可以有下面的刻划 引理3 2 i t 】设s 。是正则半群s 的逆断面r 为正则半群，目为s 到t 上的满同态则s 。口为t 的一个逆断面 具有逆断面s 。的正则半群s 到正则半群t 的满同态日，满足s 。口为t 的逆断面，记为u 。则e = z 矿i 茹r ) ，f = z 。x i x t ) 都是t 得子半 群 引理3 3 设口为s 到t 的满同态映射，则 1 ) 对任意的( e ，。，f ) s ，( e ，z ，) 。口= ( ( e ，z ，) 口) 。； 2 ) 若( e ，z ，f ) e ( s o ) ，射( e ，z ，f ) o e ( v 。) 由上面的引理3 2 ，引理3 3 ，若口为s 到t 上的满同态，则口：m ( ，s 。，a ，d ，卢，$ ) 一 3 v t ( e ，u 。，f ，仉5 ，+ ) 为满同态定义如下的映射， 妒：i _ e ，( e ，e 。，e 。) 日= ( e 妒，p ，q ) u ：s 。叶u 。 ( 。z 一1 ，z ，x - - 1 0 ) 日= = 0 ，3 m ，m ) 砂：a + f( ，。，f 。，) 9 = ( o ，b ，砂) 而口为w s o = ( 。z 一1 ，z ，x - 1 。) j 。s 。) 到i 住。：= ( t 一1 ，t ，一1 t ) l t u 。) 的 满同态则( z ，z u ，m ) h 0 。，所以，l _ ( “) ，m = ( 删) - 1 w e ( u 。) ， ( z 霉，z ，z _ 1 嚣) 口= ( 删( 删) - 。，舢，( ) 以舢) 1 4 由 得：( 。萝知= 执，口。，即u 为s 。到u 。上的同态 ( e ，e 。，e 。) 口；( e ，e 。，e o ) 目( e ，e 。，e o ) 。日 得：p = ( e 妒) 。= g ，( e ，e 。，e 。) p = ( e c p ，( e 妒) 。，( e 妒) 。) 对于任意的e ，f i ( e ，e 。，e 。) p ( ，f 。，f o ) p = ( e f , ( e 1 ) 。，( e 1 ) 。) 口 得：( e ，) 妒= e 妒，妒即l p 为，到e 上的同态同样的，可以知道妒为a 到 f 上的同态，且( 广，f 。，f ) o = ( ( ，妒) 。，( r e ) 。，妒) 所以，e 。妒= e 。“，= e 。妒 ( e 。l p ，e 。妒，e 。妒) ( e 。“，e 。u ，e 。u ) ( e 9 妒，e 。妒，e 。妒) ( ( e ，e 。，e 。) ( e 。，。，f o ) ( ，。，f 。，) ) 口 ( e 妒，e 。，e 6 u ) ( e 。u ，j m ，。u ) ( ，。叫，厂u ，妒) ( e 妒，3 m ，r e ) 下面验证( 妒，u ，妒) 为s 到t 的一个容许三元组对于同态映射口以及 任意的( e ，z ，) ，( g ，y ，h ) s ， 于是 即 ( e 妒( ，妒，9 妒) 7 ( 鲫舢，) ，执，妒夕妒掣u ，( 6 ，9 妒) 文w ，舭) h e ) = ( ( e ( ， g ) o 扣，y ) ) i p ，( 茁( ，丰口) ! ，) u ，( ( ， 9 ) p o 。) ) 妒) 1 5 ( e ( ，9 ) a ( 。，f ) ) 妒 = e i p ( ，妒，9 妒) m 乳，州； ( x ( f + g ) ) u = 瓤p ( ，妒g 妒) 弘叫 ( ( ，g ) 反”) ) 妒= ( ，妒，g 妒) 6 ( z u ，w ) 妒 在( x ( f 9 ) 可p = m ，( ，1 ，f j g 妒) y w 两端同时左乘。u ，右乘。u 便得到 ( f + g p = ，妒* 9 p 因此，( 妒，u ，妒) 为s 到t 的一个容许三元组，且 口= 口( 妒，u ，妒) 于是有下面的结论 定理3 4 对于s 到t 上的任意满同态口，存在同态映射妒：i e ， u ：s 。一u 。，妒：a f ，使得口= 口( 妒，u ，1 i f i ) 并且p = 日( 妒，u ，妒) 为单 射( 满射) 的充分曲要条件是：忆u ，母都是单射( 满射) 证只证明定理的第二部分，若口是s 到t 的单同态，对任意的e l p = ，妒，则( e 妒，( e v ) 。，( e 妒) 。) = ( ，妒，( ，妒) 。，( 歹垆) 。) ，即0 ，e 。，e 。) 9 = ( f ，f 。，f 。) 口 由口是s 到t 的单同态知，( e ，e 。，e 。) = ( f ，f 。，f 。) ，所以，e = f ，故l p 为单同态同理可证，“，砂均为单同态反过来，若妒，u ，妒均为单同态， 若( e ，z ，f ) 0 = ( g ，y ，h ) 0 ，( e 妒，n u ，妒) = b 妒，x h ，h e ) ，所以，e 妒= 9 妒，z u = y w ，妒= h e ，e = g ，z = y ，f = ，( e ，z ，f ) = ( g ，y ，九) ，故日为单同态 口是s 到t 的满同态，对任意的j j ，( 互j 。，r ) t ，则存在( e ，e 。，e 。) s ，使得( e ，e o ，e 。) 日= ( j ，j 。，j o ) 所以，e 妒= j ，敢妒为满同态同理可知，妒 均为满同态 3 2 特殊同态像 引理3 5 设s 为具有逆断面酽的正则半群则 1 ) s 是完全单半群的充分必要条件是是群； 2 ) s 是逆半群的充分必要条件是i = e ( s 。) 一a ； 3 ) s 是半格的充分盛要条件是i = e ( s 。) = a = s 。； 4 ) s 是群的充分必要条件是i = e ( s 。) = a 且1 = 1 1 6 证1 ) 若s 为完全单半群，也是完全正则半群所以，s 。为c l i f f o r d 半 群且