（基础数学专业论文）lp空间中星体的极值问题.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：建方杰日期：如 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，i i - 学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论 文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 始1 色嘉圭新龆蜘嗍幻名 上海大学理学硕士学位论文 一空间中星体的极值问题 作者：张春杰 导师：冷岗松 专业：基础数学 上海大学理学院 2 0 1 0 年4 月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e e x tr e m a lp r o b l e m s f o rs t a rb o d i e so f l p - - - s p a c e m d c a n d i d a t e ：z h a n gc h u n j i e s u p e r v i s o r ：l e n gg a n g s o n g m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s c i e n c ec o l l e g eo fs h a n g h a iu n i v e r s i t y a p r i l ，2 0 1 0 摘要 i 凸几何是现代几何学的一个重要分支，极值问题研究是凸几何研究中的一个重 要课题 本硕士论文主要研究对象包括星体的矿弦长积分以及迷向对偶调和厶一混合 表面积测度，共分三部分第一章的前半部分介绍了凸几何分析的发展进程和研究 现状，第一章的后半部分介绍了我们所做的工作在第二章中，我们给出星体p 弦 长积分的概念，研究了其性质，并且利用积分的方法，建立了有关星体的p 弦长积 分的不等式在第三章中，我们提出了对偶调和厶一混合表面积的概念，并证明了对 于一个星体，在保体积仿射变换下，它有最小对偶调和l p - 混合表面积当且仅当其 对偶调和工p 混合表面积测度是迷向的，而且给出了对偶调和厶混合等周不等式 关键词：星体，p 弦长积分，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式，星对偶，迷向测度，对偶调和 岛- 混合表面积 a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e mg e o m e t r y t h es t u d yo fe x t r e m a l p r o b l e m si so n eo fi m p o r t a n to b j e c t si nc o n v e xg e o m e t r y t h em a i no b j e c t so fo u rr e s e a r c hi nt h i st h e s i sa ret h e p - c h o r d - i n t e g r a l so fs t a rb o d i e s a n dd u a lh a r m o n i cl p m i x e ds u r f a c ea r e a t h er e s e a r c hw o r ko ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e e p a r t s i nt h ef i r s tp a r to fc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r yo fc o n v e xg e o m e t r ya n dt h eg e n e r a l a s p e c to ft h es t u d ya r ei n t r o d u c e d t h ei n t r o d u c t i o no fs o m er e s u l t so fo u r si ss h o w n i nt h el a t e rp a r to fc h a p t e ro n e i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no ft h ep - c h o r d - i n t e g r a l so fs t a rb o d i e sa n dg e ts o m ep r o p e r t i e s b ya p p l y i n gt h ei n t e g r a l m e t h o d s ， w ee s t a b l i s hs o m ei n e q u a l i t i e so ft h ep - c h o r d - i n t e g r a l so fs t a rb o d i e s c h a p t e rt h r e ei s c o n c e r n e dw i t ht h es t u d yo fd u a lh a r m o n i c 如一m i x e ds u r f a c ea r e a w eg i v et h ed e f i n i t i o n o fd u a lh a r m o n i c 岛一m i x e ds u r f a c ea r e a i ti ss h o w nt h a tas t a rb o d yh a sm i n i m a ld u a l h a r m o n i c “一m i x e ds u r f a c ea r e aa m o n g i t sa f f i n et r a n s f o r m a t i o n so ft h es a i n ev o l u m ei f a n do n l yi fi t sd u a lh a r m o n i c - m i x e ds u r f a c ea r e am e a s u r ei si s o t r o p i c f u r t h e r m o r e ， w eo b t a i nd u a lh a r m o n i c 岛一m i x e di s o p e r m e t r i ci n e q u a l i t y k e y w o r d s ：s t a rb o d y , p - c h o r d - i n t e g r a l s ，b r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a h t y , s t a rd u a l ， i s o t r o p i cm e a s u r e ，d u a lh a r m o n i c 一m i x e ds u r f a c ea r e a 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 第一章绪论 1 1 1 学科发展和研究现状 1 1 2 岛一b r u n n - m i n k o w s k i 理论研究 5 1 3 研究问题与成果8 1 4 论文的结构安排1 1 第二章星体的p 弦长积分 1 2 2 1 引言：1 2 2 2 预备知识1 2 2 3 关于星体的p 弦长积分的不等式1 4 第三章 迷向对偶调和岛混合表面积测度 2 0 3 1 引言7 2 0 3 2 预备知识2 0 3 3 迷向测度与极值问题2 2 3 4 对偶调和工口混合表面积测度2 4 参考文献 2 8 攻读硕士学位期间公开发表及完成的论文3 3 致 射3 4 i i i 第一章绪论 本章首先介绍本论文所属学科的发展历程和研究现状，主要代表人物以及我国 数学家的工作，接着阐述了本硕士论文研究的主要问题及作者所取得的成果，最后 说明论文的结构安排 1 1学科发展和研究现状 凸几何分析( c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 起源于1 9 世纪下半叶，2 0 世纪初形成， 2 0 世纪中后期蓬勃发展起来，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出的奠基者上 世纪三十年代，前苏联著名数学家a d a l e s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式，其中的不少结果在许多领域有着广 泛应用2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何分析学 派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性进展，使得一些经 典的凸体几何难题得以解决，也使得凸体理论的研究空前繁荣，成为现代数学重要 的主流方向之一，b o u r g a i n 也因此获得了f i e l d s 奖进入2 0 世纪9 0 年代后，凸 体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸体扩大到星体1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科 研所( m s r i ) 将几何分析列为一个半年项目，项目结束后出版了两本书：“c o n v e x g e o m e t r i ca n a l y s i s 和“f l a v o r so fg e o m e t r y ，特别是后者列举了大量关于凸体的等 周极值问题的研究结果，其引言中指出这类研究将是近期数学研究的一个非常重要 的方面 凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象，以微分几何、泛函分析、偏微分 方程和拓扑学为基础的现代几何分析中一个重要的研究领域凸几何的核心内容为 b r u n n - m i n k o w s k i 理论，主要发源于经典的等周问题1 9 世纪末期，h m i n k o w s k i 证 明了下面的著名不等式 y ( ( 1 一入) k + a l ) 袁( 1 一入) y ( k ) 去+ 入y ( 三) 吉， 等号成立当且仅当k 与l 同位相似这里k ，l 表示n 维欧式空间瓞n 中的凸体( 即 r n 中有非空内点的紧致凸集) ，0 a 1 ，v 表示r 竹上的l e b e s g u e 测度，+ 表示 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 2 m i n k o w s k i 加法上面的不等式现在被称为b r u n n - m i n k o w s k i 不等式，其三维情形由 h b r u n n 在1 9 世纪中后期给出 如果所，坼是舻中的凸体，九o ( i = 1 ，2 ，r ) ，m i n k o w s k i 线性组合 ) , i k i 定义为 i = 1 rr ；l i g i = 引x i g d i = 1i - - - - 1 h m i n k o w s k i 把体积的概念与m i n k o w s k i 加法的概念相结合，得到了b r u n n - m i n k o w s k i 理论中最为重要的概念混合体积 如果甄，坼是p 中的凸体，a l ，是一列非负实数，那么一个重要的 事实是入1 研，坼的m i n k o w s k i 和的体积可展开为关于入1 ，的一个n 次 齐次多项式，即 f v ( , x i k l + + 厨) = 入t 。丸。y ( 甄。，磁。) ， i 1 = 1i n = 1 其中系数y ( 蚝1 一，甄。) 在甄1 一，磁。的位置置换下是不变的，我们把它称为 匠l i 一，磁。的混合体积混合体积的概念蕴含着体积、表面积、平均宽度等基本 的几何概念，这使得它理所当然的成为整个理论的基本概念混合体积的概念与 b r u n n - m i n k o w s k i 不等式一起初步奠定了整个b r m m - m i n k o w s k i 理论的基础 现代凸几何有其独特的研究对象和研究方法，一方面其所继承的经典理论得到 了长足的发展，另一方面也衍生出了一些充满生机的新的方向下面对凸体几何的 度量理论中的一些主要研究方向做一个概述 ( 1 ) 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论 b r u n n - m i n k o w s k i 理论是e u c l i d e a n 空间的向量的m i n k o w s k i 线性组合和体积相 结合的产物，其精髓是混合体积的记号和基本的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式由于混 合体积记号的灵活性，它满足的一系列不等式被广泛用于解决极值问题局部意义 下的混合体积可产生混合面积测度，许多重要的概念，如均值积分、m i n k o w s k i 函 数、表面积测度、曲率测度等，都是混合体积和混合面积测度的特殊情形，从而将 其它的几何学分支，如积分几何和微分几何，有机地结合起来b r n n n - m i n k o w s k i 不 等式被认为是经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石，是征服各类涉及体积、表面积、宽 度等度量关系难题的漂亮和强有力的工具在混合体积与b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 结合后，凸体理论的发展尤为迅速，最经典的参考书是r s c h n e i d e r 的专著( c o n v e x 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 3 b o d i e s ：t h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y ) ) 【1 】和a c t h o m p s o n 的( ( m i n k o w s k ig e o m e t r y ) ) ( c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，( 1 9 9 6 ) ) ( 2 ) 对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论 自从1 9 7 5 年著名的数学家l u t w a k 2 】引入星体的对偶混合体积的概念以来，便 开创了经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论r j g a r d n e r 的专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) 【3 】对于对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论给出了详尽的论述，其基本想法是“凸体 对应 “星体 、“m i n k o w s k i 和对应“m i n k o w s k i 径向和 、“混合体积 对应“对偶混合体 积 、“支撑函数 对应“径向函数 、“投影体 对应“截面体”、“余弦变换 对应 “球面m 以o n 变换等等通过这种对应关系产生的几何体的很多重要性质在形式 上有着惊人的相似，其内涵又有相当大的差别，如“b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 与“对 偶b r u n n - m i n k o w s k i 不等式、“a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式与“对偶a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式”、“混合均质积分的m i n k o w s k i 不等式 与“对偶混合均质积分的 m i n k o w s k i 不等式”等可以说，通过这种对偶关系，为我们深刻认识各种几何体之 间的关系提供了科学的方法论，也使得数学美在几何分析理论中得到了淋漓尽致的 体现 ( 3 ) b a n a c h 空间的局部理论 b a n a c h 空间的局部理论是凸几何与泛函分析结合的重要产物，源于2 0 世纪 a d o l fh u r w i t z 的开创性工作h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的 f o u r i e r 级数的证明方法，并在后继的论文中运用球面调和分析对三维空间的凸体 证明了类似的不等式随后，h m i k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了三维常宽 凸体的有趣特征，由此开辟了运用球面调和分析研究几何的方法j e a nb o u r g a i n 和 v i t m im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸体渐进理论的研究，在凸体逼近 研究中获得了大量深刻的结果【4 ，5 1 p i s i e r 【6 】，l i n d e n s t r a u s s 【7 】等在该领域也作出 了创造性的贡献现在，该理论主要研究两个不同的主题： ( a ) 伽维赋范空间的几何量当n 趋于无穷时的情形； ( b ) 无穷维赋范空间与它的有限维子空间的关系 ( 4 ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 是通过获得几何体的截面和投影等低维信 息，来重构该几何体或者对几何体的性质做出判断的学科当今世界上对几何断层 2 0 1 0 牟- 上海大学硕士学位论文 4 学的研究可分为两大群体：其一是以r j g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完全理论 研究者，他们获得了一大批令人羡慕的成果1 9 9 5 年，r j g a r d n e r 教授综合了这 方面的所有成果，撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) 【3 】；其二是以m i t 大学计 算机与电子工程系的a l a nw i l l s k y 为代表的应用研究者自8 0 年代以来，他们一直 致力于计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层学在计算机上的应用最近几 年，随着计算机的广泛使用，几何断层学在医学、工程学、机器人学等领域的应用 正越来越走向成熟 ( 5 ) 渐进凸几何理论( a s y m p t o t i cc o n v e xg e o m e t r y ) 渐进凸几何理论主要探讨凸几何、泛函分析以及概率论之间的关系，是一个比 较年轻的数学分支，m i l m a n 和s c h e c h t m a n 的著作【8 】是这方面很好的入门读物它 以凸几何、组合数学、概率论和调和分析为工具，研究有限维b a n a c h 空间在维数 趋于无穷时的渐进性质随着维数的升高，我们往往可以得到一些低维凸几何中所 没有的性质在过去几十年中，许多数学家在这一领域做出了贡献，如g o w e r s ，d a r ， l o v 矗s z ，m i l m a n ，p i s i e r ，k l a r t a g ，t a l a g r a n d ，t s i r e l s o n 等著名期刊 g e o m e t r i ca n d f u n c t i o n a la n a l y s i s ) ) 的主编v i t a l im i l m a n 在这一方向做出了突出的贡献，他与j e a n b o u r g a i n 9 】给出的逆向b l a s c h k e - s a n t a l 5 不等式至今仍是这方面的最好结果 凸几何理论与其他数学分支的联系日益广泛，在整个数学中的地位越来越重 要，正如g a r d n e r 1 0 描述的那样：“在数学的海洋里，b r u n n - m i k o w s k i 不等式像是 一只章鱼，它的触须是那样的宽广，它的形状是那样的多变，它的颜色是那样的璀 璨夺目下面列举一些与凸几何密切相关的数学分支，凸几何的发展受到了这些分 支的深远影响 ( 1 ) 积分几何 积分几何( i n t e g r a lg e o m e t r y ) 渊源于几何概率，由于以w b l a s c h k e 为代表的 汉堡几何学派的系统的工作，使积分几何在2 0 世纪3 0 年代正式成为独立的数学分 支，积分几何学与凸几何理论联系紧密1 9 3 0 年，b l a s c h k e 在德国汉堡组织的讨论 班上首次使用了“积分几何 一词积分几何所研究的内容是给集合( 点集、直线集、 平面凸集和几何图形集等) 定义一种在某个变换群下的不变测度( i n v a r i a n tm e a s u r e ， 又称h a a r 测度) ，所有的不变测度都可定义为在某个变换群下的积分b l a s c h k e 和 他的汉堡学派在积分几何和凸体几何都有杰出的贡献，凸几何中很多基本的概念和 2 0 1 0 j 平- 上海大学硕士学位论文 5 定理都与b l a s c h k e 和他的学生们密不可分，如b l a s c h k e 线性组合、b l a s c h k e - s a n t a l 6 不等式2 0 世纪4 0 年代，陈省身教授【n 】和a w e i l 教授将局部紧群上的不变测度 的观念纳入积分几何，从而形成齐性空间理论结构的积分几何，对这门学科的进一 步发展作出了极为卓越的贡献任德麟教授在积分几何、随机几何和凸体理论的研 究中取得了丰硕的成果【1 2 ，1 3 】，积分几何学引论是我国目前唯一的积分几何学 著作，同时被国际同行广泛引用这方面的代表人物还有吴大任、严志达、宗传明 【1 4 】等 ( 2 ) 度量几何 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究源于距离几何中的构型问题，几何体 的度量性质、嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题一直是几何学中的一 个充满活力的方向著名数学家杨路教授和张景中院士在这一领域取得了系统的、 创造性的成就，尤其是2 0 世纪8 0 年代他们合作在单形不等式、极值问题、初等 图形的嵌入问题等方面做出了开创性的工作，独创了证明几何不等式的强有力的方 法，影响深远 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】我国著名数学家吴文俊的研究工作涉及到数学的诸多 领域，在多年的研究中取得了丰硕成果，他曾因在2 0 世纪5 0 年代圆满地解决了复 合形在欧氏几何嵌入这一凸体几何难题而享誉世界 ( 3 ) 离散计算几何与数的几何 由于计算机技术的迅速发展，相应数学理论的发展也备受人们的重视，最为重 要的就是离散计算几何许多重要的计算机问题本质上都可以归结为离散几何量的 研究，一些凸几何结果的离散化因此有着重要的意义【1 9 】；数的几何是由m i n k o w s k i 发展起来的一门数论分支，它主要使用凸几何为工具来解决数论问题，由于信息技 术和密码技术的不断发展，数的几何日益体现出它的重要性，宗传明教授在这一领 域做出了杰出的贡献，并曾应邀到微软公司进行相关的研究 1 2l p b r u n n m i n k o w s k i 理论研究 l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论又称为b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论，源于f i r e y 2 0 在1 9 6 2 年定义的凸体的f i r e yl p 组合( 又称为f i r e y 线性组合) 1 9 9 3 年，l u t w a k 【2 1 】 把凸体的f i r e yl p - 组合引入到经典的b r u n n n m i i l l ( o w s l c i 理论，提出了l p 混合均质 2 0 l o - 年上海大学硕士学位论文 6 积分、三p 一混合体积、l p 一表面积测度、l p 一混合表面积测度等概念，从而把经典的 b r u n n - m i n k o w s l c i 理论推广到l p - 空间中进行研究1 9 9 6 年，l u t w a k 2 2 】引入f i r e y 【2 3 】 在1 9 6 1 年定义的调和径向组合，提出l p 一对偶混合体积、三p 一仿射表面积、l p 。 曲率映像等概念，标志着对偶l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论的形成l u t w a k ，d y a n g ， g a r d n e r 以及华裔数学家张高勇是这个研究领域的代表人物【2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】 此外，还有众多的数学家也在该领域作出了突出贡献 3 1 ，3 2 ，1 0 ，3 3 】 最近十多年来，三口b r u n n - m i n k o w s l 【i 理论得到飞速发展，已经成为国际上几何 分析的热点研究领域之一下面简要阐述l 旷b r u n n - m i n k o w s l 【i 理论中一些有影响的 工作 ( 1 ) l p j o h n 椭球 j o h n 椭球是指包含在一个凸体内具有最大体积的唯一椭球，这个椭球的中心 称为凸体的j o h n 点l e g e n d r e 椭球是指与凸体关于任意轴具有相同惯性矩( m o m e n t o fi n e r t i a ) 的唯一椭球，它和它的极体( b i n e t 椭球) 是经典力学中的著名概念l u t - w a k ，y a n g 和z h a n g 【2 5 】引入了一个新椭球r 一2 k ，即l e g e n d r e 椭球的对偶在 保体积线性变换下，使得凸体的表面积最小，这样得到的就是体积正规化的p e t t y 椭球【3 4 】l e w i s 【3 5 ，3 6 】研究了联系l 口空间的每一个礼维子空间的重要椭球一 l e w i s 椭球，l e w i s 椭球现在成了研究b a n a c h 空间几何学的一个基本工具。最 近，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 【2 6 给出了经典j o h n 椭球，p e t t y 椭球和新近发现的新 椭球r 一2 k 都是一族上，p - j o h n 椭球马k 的特殊情况( 分别是岛k 取p = o o ，p = 1 和p = 2 的情况) ，并得到以下形式的j o h n 包含关系： 设是r n 中中心对称凸体，则 1l 岛k2r p k 礼i 一；昂k ， 11 耳k r p k n i 一；马k ， 0 p 2 ； 2 ps 0 0 ( 2 ) 岛一仿射表面积 凸体的仿射表面积的概念最先由著名几何学家b l a s c h k e 引进，具体的积分表达 式由l e i c h t w e i 了给出【3 7 】l u t w a k 【2 2 把此概念推广到p 仿射表面积k ( k 是 2 0 m - 年上海大学硕士学位论文7 包含原点且具有正连续曲率函数的凸体) ： ，竹 q p ( k ) = 厶( k ，让) 而d s ( u ) ， ，s n 一1 这里厶( k ，) 表示k 的p 曲率函数，并且结合b l a s c h k e - s a n t a l d 不等式将经典的仿 射等周不等式进行推广，得到了l 口仿射等周不等式： 对于包含原点在其内部且具有正连续曲率函数的凸体k ，p 1 ，有 q p ( k ) 叶p n n + p w 2 p v ( k ) 竹p ， 等号成立当且仅当k 是椭球 文【2 2 】还建立了关于p 仿射表面积的仿射b l a s c h k e - s a n t a l d 不等式： 如果k 是质心在原点的凸体，p 1 ，则有 ( k ) ( k + ) s ( 礼) 2 ， 等号成立当且仅当k 是椭球 m e y e r 和w e r n e r 【3 8 】给出了p 仿射表面积的几何解释，他们还定义了一种 新的几何体q a n t a 5 体；s c h i t t 和w e m e r 【3 9 】定义了一种新的几何体表面体 ( s u r f a c eb o d y ) ，并研究了它和矿仿射表面积的内在联系 ( 3 ) l p m i n k o w s k i 问题 l p m i n k o w s k i 问题的研究始于l u t w a k 和他的合作者l u t w a k 【2 1 】对p 礼 的所有p 1 ) 给出了偶数据的l p m i n k o w s k i 问题的解，所得到的解是获得强 仿射s o b o l e v 不等式所必需的一个关键因素【2 4 ；l u t w a k 和o l i k e r 【4 0 】研究了如 m i n k o w s k i 问题解的正则性；l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 【4 1 】给出了经典m i n k o w s l d 问 题的一种新的体积正规化形式( v o l u m en o r m a l i z e df o r m ) ，对所有的p 1 ，给出了 这种正规化形式的岛类似问题的解，得到了如下结果：除了p = n 的情形外，l p m i n k o w s k i 问题和体积正规化的厶m i n k o w s k i 问题研究是等价的，而采用的方法 与文献【2 1 】中所采用的是完全不同的；最近，h u g ，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 在文献 4 2 】中，对所有的p21 ，在离散数据情况下，给出了关于凸多胞形的l 口m i n k o w s k i 问题的解；当p 大于空间维数的时候，三p m i n k o w s k i 问题的解由g u a n 和l i n 【4 3 】以 及c h o u 和w a n g 【4 4 独立地解决；对二维的l p m i n k o w s k i 问题，u m a n s k i y 【4 5 作了 细致的研究；s t a n c u 【4 6 ，4 7 】所作的l o m i n k o w s k i 问题的讨论可以看作是对这类问 题的一个完善 2 0 1 0 3 a f 上海大学硕士学位论文 8 ( 4 ) 岛- s o b o l e v 不等式 强三p s o b o l e v 不等式早在上世纪七十年代就由a u b i n 【4 8 】和t a 1 e n t i 4 9 】独立 得到，但它强烈地依赖欧氏空间职中的欧氏结构，特别依赖等周不等式，许多数学 家对广义的强岛一s o b o l e v 不等式及其相关课题进行了研究z h a n g 【5 0 】构造和证明 了强l 1 一仿射s o b o l e v 不等式，建立了一个与l 1 一等周不等式的等价性关系，但这 还不足以建立p 1 时的l p - 仿射s o b o l e v 不等式，获得这种不等式需要的是l p - 仿 射等周不等式最近，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 【2 8 】应用l 矿曲率理论和l p m i n k o w s k i 问题的解建立了比强岛一s o b o l e v 不等式更为一般的强岛仿射s o b o l e v 不等式，这 种新的不等式中不含有内积、范数，也不含有某种共形结构( c o n f o r m a ls t r u c t u r e ) ， 也就是说，这种不等式在舻中的所有仿射变换作用下都是不变的 ( 5 ) l p 仿射等周不等式 仿射等周不等式是指把与凸体( 或更一般的) 相关的函数作比较，在对所相关 体作非奇异线性变换下这个比值不变 b l a s c h k e 引进了质心体概念【1 ，3 7 】之后，就猜想这个凸体的体积和对应质心体 的体积之比在这个凸体为椭球时取得最大p e t t y 5 1 】推广了b l a s c h k e 最初的定义， 把关于原点对称凸体推广到任意凸体，并且证明了推广后的b l a s c h k e 猜想，该猜 想也被称为b u s e m a n n - p e t t y 质心不等式在十九世纪的世纪之交，m i n k o w s k i 引入 了投影体的概念，引起许多数学家的关注，下面介绍几个与投影体相关的仿射等周 不等式p e t t y 投影不等式指出，在给定体积的所有凸体中，椭球的极投影体的体 积最大；z h a n g 投影不等式【5 2 】( p e t t y 投影不等式的逆向不等式) 指出单形的极投 影体的体积最小最近，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 【2 4 】利用l p 一曲率理论和对称化技 巧将上述两个仿射等周不等式推广到三p 一空间，建立了l p p e t t y 投影不等式，4 - b u s e m a n n - p e t t y 质心不等式；c a m p i 和g r o n c h i 3 1 】利用r o g e r 和s h e p h a r d 引进的 影子系统( s h a d o ws y s t e m ) 理论给出了l p b u s e m a n n - p e t t y 质心不等式的一个新的 证明；l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 【3 0 】建立了关于l v - 空间的子空间的逆向等周不等式 1 3研究问题与成果 本硕士论文的研究对象包括星体的p 弦长积分，关于星体的p 弦长积分的不 等式，对偶调和易一混合表面积，迷向对偶调和混合表面积测度 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文9 作者取得的主要创新成果是： ( 1 ) 对于星体的p 弦长积分的研究 引入星体k 的p 弦长积分的概念： 吲k ) = ；1l ( k ，仳) 稻( 让) ， 其中 a p ( k ，札) ：昙( 墨牡) p + p ( k ，一u ) p 】 表示星体k 在心方向的p 半弦长，这里的实数p 1 作者从星体的p 弦长积分的定义入手，研究了它的性质，并建立了关于星体的 p 弦长积分的循环不等式、s t e i n e r 型不等式和b r m m - m i n k o w s k i 型不等式： 定理1 1 设k 船，i i n p 时，不等 式逆向 ( 详见第二章，上述结果已发表在应用数学与计算数学学报) ( 2 ) 对于对偶调和岛- 混合表面积测度的研究 定义关于星体k 的对偶调和l n 一混合表面积岛，( k ) 如下： 定义1 3 1 若k 妇，p 1 ，e 0 ，实数i n ，则星体k 的对偶调和岛一混合 表面积昂， ( k ) 定义为 慕驰) ：骧亟生学， 并且获得昂，l ( k ) 的积分表达式： 岛，t ( k ) = 一肛( u ) 他一却d s ( j s n 1 让) 2j s - 1 呜，t ( k 缸) ， 一 -j 这里测度昂，i ( k ，) 对应于旋转不变测度d s ( ) 的r a d o n - n i k o d y m 导数为 掣：pk()州+pas( 一= ，】矿i 。 ) 7 。 对于任意的星体k ，我们定义以下仿射不变量 磊， ( ) = m 饥_ 【昂，i ( t k ) w i ( t k ) 訾：t s 三m ) ， 这里p 1 ，i t t ，即为关于k 在仿射变换下的最小对偶调和。一混合表面积，易 知这个最小值在某个仿射变换t 下达到 自从8 0 年代末期引进迷向的概念后，它吸引了广泛的关注并且被众多数学家研 究，取得一系列成果在文 5 3 】中，迷向测度定义为： 定义1 3 2 一个定义在s n 一1 上的b o r e l 测度p 称为迷向测度，如果有 丘n - 1 m 牡) = 牮- ，s 几 对任意的口铲一1 都成互 2 0 l o q - 上海大学硕士学位论文 作者研究了对偶调和l p - 混合表面积，得到如下结果： 定理1 6 设k 船，p 1 ，i 0 ，使得对所有的他s n ，有b ( k ，u ) = a b ( k ，u ) ，则称凸体k 和l 有类似宽度 l u t w a k 定义了i 次宽度积分【5 7 】： b i ( k ) = 1f s b ( k ，u ) n - i d s ( 让) ， 其中d s ( u ) 表示舻一1 在钆的面积微元 l u t w a k 定义所，1 c n 的混合宽度积分a ( k 1 ，) y g s s 】 4 ( 甄，) = 丢z 一6 ( 虬m 6 ( ，u ) 删乱) 2 0 l o # 上海大学硕士学位论文 1 3 一般的，设实数p 0 ，l u t w a k 引入p 次混合宽度积分岛( k 1 ，) 为【5 8 】 a p ( k 1 ，蚓= 去l6 ( k 1 ，u ) p “( 刚酬； l u t w a k 建立了凸体宽度积分的b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式【5 7 】以及混合宽度 积分和