输油管的优化布置.ppt

输油管的优化布置 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛c题 王峰2011 6 26 2011年暑期数模培训讲座 问题背景 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂 同时在铁路线上增建一个车站 用来运送成品油 由于这种模式具有一定的普遍性 油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法 问题背景 1 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形 提出你的设计方案 在方案设计时 若有共用管线 应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形 2 设计院目前需对更为复杂的情形进行具体的设计 两炼油厂的具体位置由附图所示 其中a厂位于郊区 i区域 b厂位于城区 图中的ii区域 两个区域的分界线用图中的虚线表示 图中各字母表示的距离 单位 千米 分别为a 5 b 8 c 15 l 20 若所有管线的铺设费用均为每千米7 2万元 在城区铺设的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用 为对此项附加费用进行估计 聘请三家工程咨询公司 其中公司一具有甲级资质 公司二和公司三具有乙级资质 进行了估算 结果如下表所示 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用 3 在该实际问题中 为进一步节省费用 可以根据炼油厂的生产能力 选用相适应的油管 这时的管线铺设费用将分别降为输送a厂成品油的每千米5 6万元 输送b厂成品油的每千米6 0万元 共用管线费用为每千米7 2万元 拆迁等附加费用同上 请给出管线最佳布置方案及相应的费用 1 问题分析 在铁路线一侧建造两家炼油厂 并在铁路线上增建一个车站 用来运送成品油 不同的情况下 输油管线设计方案不同 共用管线费用一般比非共用管线费用贵 但不会超过2倍 否则不用共用管线 本问题涉及炼油厂及车站位置等 可以借助平面几何方法来描述 2 模型假设 1 两炼油厂分别为a b 位于铁道线的同侧 2 铁路是一条直线 p点为车站 3 点q为共用管线与非共用管线的节点 共用管线费用是非共用管线费用k倍 4 不考虑施工工艺对管道铺设的影响 问题一假设共用管线费用与非共用管线费用相同 设a b 交汇点q x y 管路单价r 万元 千米 则模型如下 p q 目标函数有唯一驻点 情形1 驻点坐标满足约束条件 2 即 图1 有共用管线的布置 x y q 图2 无共用管线的布置 x y 情形3 如果y 0 即 则无需共用管线 令y 0 此时图形转为图2 利用对称性 可得 a 情形2 如果x a 即 则令x 0或y a 代入 1 可得 此时 q点与a点重合 问题一假设共用管线费用与非共用管线费用相同 此时 q点为a b与铁路的交点 问题一假设共用管线费用与非共用管线费用不同 假设共用管线和非共用管线单价分别为kr 万元 千米 和r 万元 千米 通常2 k 1 则模型为 类似于前面三种情形的讨论 可得如下结果 目标函数有唯一驻点 情形4 驻点坐标满足约束条件 4 即下面的不等式 5 成立时 q 图2 无共用管线的布置 x y 情形6 如果y 0 即 则无需共用管线 令y 0 此时与情形3相同 可得 a 情形5 如果x a 即 则令x 0或y a 代入 3 可得 此时 q点为a点 问题一假设共用管线费用与非共用管线费用不同 此时 q点为a b与铁路的交点 问题二 附加费用m 万元 千米 的确定 m的大小可以按照三家工程咨询公司的估算值做加权平均 设甲级资质权重为k 乙级资质权重为1 k 1 则 问题二 设所有管线的铺设费用均相同 p q 目标函数有唯一驻点 如果驻点坐标满足约束条件 10 则 图3 有附加费用和共用管线的布置 x y t 设管线与i ii区交界处交点为t c t 所有管线的铺设费用单价为r 万元 千米 则模型如下 问题二 设所有管线的铺设费用均相同 题目给出参数 a 5 b 8 c 15 l 20 r 7 2 下面通过数值计算讨论m的影响 不同权值下的最优解数值结果 问题二 设所有管线的铺设费用均相同 直接求解目标函数驻点坐标较为困难 怎么办 有没有简单的方法 设各类管线铺设费用单价 万元 千米 分别为 公用段p a厂r1 b厂r2 则模型如下 问题三 设所有管线的铺设费用不相同 p q x y t c 从平面的三角关系入手 汇合点q t可以由三个角度确定 p点由q点确定 图4 有附加费用和共用管线的布置 解得 根据几何关系 驻点条件等价于 问题三 设所有管线的铺设费用不完全相同 p q x y t c 图4 有附加费用和共用管线的布置 可见 直角坐标变量x y t满足一个线性方程组 系数由三角函数决定 解得 代入目标函数解得 p q x y t c 图4 有附加费用和共用管线的布置 设所有管线的铺设费用不完全相同 问题三 有没有更简单的方法 设所有管线的铺设费用不完全相同 类比法 光的折射定律 光程 光在媒介中通过的路程和该媒介折射率的乘积 费马原理 光在指定起点和终点的传播过程中遵循 光程取极值或常数 的原则 光程取极值 如果将光线看成是管道 折射率看成是管道单价 则光程可以视为管道总造价 光程最短等价于两段管道总造价最小 确定入射光与折射光在介质界面的最佳交汇点 推广 n条管道确定最佳汇合点 p q x y t c 图4 有附加费用和共用管线的布置 p q x t c 图4 有附加费用和共用管线