（计算数学专业论文）广义schrodinger方程的交替方向legendre谱元法.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下进行的研究工作除了文中特别加 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果，参与同一工 作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 签名中r 治 日期：砩年 月耳日 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及 送交论文复印件；允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 保密的论文在解密后应遵守此规定 签名氟陋 日期：纠6 年 导师签名： 月2 f 日 上参夸 图书分类号： 单位代号：1 0 2 8 0 学号：0 6 7 2 0 0 3 2 上海大学理学硕士学位论文 广义s c h r s d i n g e r 方程的交替方向 l e g e n d r e 谱元法 硕士生：曾凡海 导师：马和平 专业：计算数学 上海大学理学院 2 0 1 0 年5 月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t yf o rt h e d e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tl e g e n d r es p e c t r a le l e m e n t m e t h o d sf o rg e n e r a l i z e ds c h r s d i n g e re q u a t i o n s m d c a n d i d a t e ：f a n h a iz e n g s u p e r v i s o r ：h e p i n gm a m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s t h ec o l l e g eo fs c i e n c es h a n g h a iu n i v e r s i t y m a y ，2 0 1 0 摘要 谱方法是求解微分方程数值解的重要方法之一，在很多领域都得到了广泛的应用， 但是在实际应用中还是受到了诸多因素的制约，如不能灵活的应用于复杂区域的计算 对于高维问题，计算量仍然很大，其导出的代数方程组的规模也很大，给求解造成了很 大的困难对于复杂区域问题，解决的办法之一就是将区域分解成若干个子区域，在每 个子区域上使用谱方法，即谱元法；对于高维问题，解决的方法之一就是使用交替方向 隐式方法( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ，简称a d i ) a d i 方法把高维问题转化 一系列独立的低维问题，从而降低原问题的规模，并且可以实现高度的并行化计算 s e h r 6 d i n g e r 方程是量子力学最基本的方程在高能物理，非线性光学等领域都有着 非常重要的应用本文以s c l l r i ；d i n g e r 方程为模型，将区域分裂方法和交替方向隐式方 法结合起来，求解二维微分方程 本文的主要工作如下： 首先，时间方向采用c r a n k - n i c o l s o n 格式，本文建立了一维线性s c h r 6 d i n g e r 方程 的全离散l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式，并证明了格式在l 2 和日1 意义下的稳定性和 收敛性由于谱元法中利用了区域分裂算法，算法的并行化显得尤为重要根据算法 的特点，选取适当的基函数，本文详细描述了算法的并行化求解过程时间方向采用 c r a n k - n i c o l s o n 蛙跳格式，本文还给出了相应的一维非线性s c h r 矾i n g e r 方程的全离散 l e g e n d r e - g a l e r l d n 谱元格式 其次，时间方向采用c r a n k - n i c o l s o n ( c r a n k - n i c o l s o n 蛙跳) 格式，并利用算子分裂技 巧，本文提出了一种交替方向l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式求解二维线性( 非线性) s c h r 6 d i n g e r 方程数值解该算法的最大优点在于其计算的高度并行化，并且可以减少存储，这也是 本文最重要的结果该方法利用交替方向隐式方法( a d i ) 把二维问题转化为一系列独 立的一维方程组，在求解一维方程组的过程中，再利用一维问题的区域分裂算法思想， 把较大的方程组转化成四个更小规模的方程组，并且可以并行求解对于线性情形，本 文证明了该方法的最优日- 误差估计 最后本文做了充分的数值实验，由实验结果可以看出本文的方法在时间方向上具 有二阶精度，空间方向上具有谱精度，和理论分析相吻合通过单区域方法和多区域方 法的比较还可以看出，多区域方法在计算量和计算精度上都具有一定的优势 关键词：s c h r 6 d i n g e r 方程，交替方向隐式方法，区域分裂法，谱元法 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tm e t h o df o rs o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s p e c t r a lm e t h o d s h a v eb e e nw i d e l yu s e di nv a r i o u sf i e l d s ，b u ti t i ss t i l lr e s t r i c t e db ym a n yf a c t o r si np r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s s u c ha sb e i n gi n f l e x i b l et oa p p l yt ot h ec o m p l e xd o m a i n s ；f o rh i g hd i m e n s i o n a l p r o b l e m s ，t h ec o m p u t a t i o nc o s ti se x p e n s i v e ，a n dt h er e s u l t e dl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s a r eg r e a tt o o ，w h i c hl e a d st ot h ed i f f i c u l t yf o rs o l v i n gt h e s ee q u a t i o n s f o rt h ec o m p l e x d o m a i n s ，t h es p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ( s e m ) i su s e dt od e a lw i t hs u c hac a s e s e mc a n p a r t i t i o nt h ew h o l ed o m a i ni n t os e v e r a ls u b d o m a i n sa n dt h es p e c t r a lm e t h o di sa p p u e do n e a c hs u b d o m a i n t h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ( a d i ) i se m p l o y e dt od e a lw i t h h i g hd i m e n s i o n a lp r o b l e m s a d im e t h o dc a nr e d u c et w od i m e n s i o n a lp r o b l e m st os e v e r a l s e p a r a t eo n ed i m e n s i o n a lo n e s ，w h i c ha l l o w sh i g h l yp a r a l l e lc o m p u t i n g s c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni st h eb a s i ce q u a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c s ，w h i c hh a sb e e n 耐d e l y u s e di nh i g he n e r g yp h y s i c s ，n o n l i n e a ro p t i c a l ，e t c i nt h i st h e s i s ，a na l t e r n a t i n gd i r e c t i o n i m p l i c i ts p e c t r a le l e m e n tm e t h o di si n v e s t i g a t e df o rt h et w od i m e n s i o n a ls c h r s d i n g e re q u a t i o n ， n a m e l y , c o m b i n i n gt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o da n dt h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t m e t h o dt os o l v et w od i m e n s i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s ： f i r s t ，t h ef u l l yd i s c r e t es p e c t r a le l e m e n tl e g e n d r e - g a l e r k i nm e t h o di se s t a b l i s h e df o r t h eo n ed i m e n s i o n a ll i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t ht h et i m ed i s c r e t i z a t i o nt r e a t e dw i t h t h ec r a n k - n i c o l s o ns c h e m e ，a n dt h eo p t i m a ll 2a n dh 1e r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e df o r t h ee s t a b l i s h e ds c h e m e s i n c et h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o ns t r a t e g yi su s e di ns e m ，i ti s v e r yi m p o r t a n tt oe m p h a s i z et h ep a r a l l e lc o m p u t i n go nt h ei m p l e m e n t a t i o no ft h es c h e m e a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ea l g o r i t h m ，a p p r o p r i a t eb a s ef u n c t i o n sa r ec h o s e nt o d e s c r i b eh o wt os o l v et h ea l g e b r a i ce q u a t i o n si np a r a l l e li nd e t a i l t h et i m ed i s c r e t i z a t i o n e m p l o y sl e a pf r o g c r a n k - n i c o l s o ns c h e m e ，t h ef u u yd i s c r e t es p e c t r a le l e m e n tl e g e n d r e - g a l e r k i nm e t h o df o rt h ec o r r e s p o n d i n go n ed i m e n s i o n a ln o n f i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni s p r e s e n t e dw i t ht h en o n f i n e a rt e r mt r e a t e dw i t hl e g e n d r ec o l l o c a t i o nm e t h o d ( l c ) s e c o n d ，t h et e m p o r a ld i s c r e t i z a t i o ne m p l o y st h ec r a n k - n i c o i s o n ( l e a p - f r o g c r a n k - n i c o l s o n ) s c h e m e ，a n di nv i r t u eo ft h eo p e r a t o rs p l i tt e c h n i q u e ，a na l t e r n a t i n gd i r e c t i o n i m p l i c i ts p e c t r a le l e m e n tm e t h o df o rt h et w od i m e n s i o n a ll i n e a r ( n o n l i n e a r ) s c h r s d i n g e re q u a - 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 i i i t i o ni sd e v e l o p e d t h em a i na d v a n t a g e so ft h i sm e t h o dr e s tw i t hi t sh i g h l yp a r a l l e lc o m p u t i n g a n ds t o r a g er e d u c t i o n ，w h i c hi st h em a i nw o r ko ft h i st h e s i s t h i sm e t h o df i r s tu t i l i z e st h e a d im e t h o dt oc o n v e r tt h et w od i m e n s i o n a lp r o b l e m si n t os e v e r a ls e p a r a t eo n ed i m e n s i o n a l o n e s ，a n dt h e ni nt h ep r o c e s so fs o l v i n gt h e s eo n ed i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，t h ed e c o m p o s i t i o n t e c h n i q u ei sa p p l i e dt ob r e a kt h eb i g g l s ha l g e b r a i cl i n e a re q u a t i o ni n t of o u rl e s s e ro n e s ，w h i c h c a nb es o l v e di np a r a l l e l a tt h es a m et i m e ，t h eo p t i m a lh 1e r r o re s t i m a t ef o rt h el i n e a rc a s e i sp r o v e d a tl a s t ，v a r i o u sn u m e r i c a le x a m p l e sa r ec o n d u c t e dt oc o n f i r mt h ev a l i d i t yo ft h es c h e m e i ti se a s yt of i n dt h a tt h en u m e r i c a lr e s u l t sh a v es e c o n do r d e ri nt i m ea n d s p e c t r a la c c u r a c yi n s p a c e ，w h i c ha c c o r dw i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i s b yc o m p a r i n gt h es i n g l ed o m a i ns p e c t r a l m e t h o dw i t ht h em u l t i d o m a i ns p e c t r a lm e t h o d ，w ea l s of i n dt h a tt h em u l t i d o m a i ns p e c t r a l m e t h o dh a ss o m ea d v a n t a g e so v e rt h es i n g l ed o m a i ns p e c t r a lm e t h o di nc o m p u t a t i o nc o s t a n da c c u r a c yi ns o m ec a s e s k e yw o r d s ：a l t e r n a t i n g d i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ( a d l ) ，s h r s d i n g e re q u a t i o n s ，s p e c t r a l e l e m e n tm e t h o d ( s e m ) ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 第四章 4 1 绪论 交替方向谱方法 区域分裂谱方法 本文的主要工作 目录 一维s c h r s d i n g e r 方程l e g e n d r e 谱元法 预备知识 2 1 1 记号与约定 2 1 2 引理和投影 格式与算法 稳定性和收敛性分析 2 3 1 全离散格式的稳定性分析 2 3 2 全离散格式的收敛性分析 一维非线性s e h r 6 d i n g e r 方程 数值算例 二维s c h r $ d i n g e r 方程交替方向l e g e n d r e 谱元法 记号与约定 格式与算法 3 2 1 交替方向g a l e r k i n 格式的构造 3 2 2 格式的矩阵表示和计算 收敛性分析 二维非线性s h r 6 d i n g e r 方程 数值算例 结论与展望 5 3 结论 5 3 i v i l l l 2 4 4 4 5 6 9 9 巧 掩 坞 撙 凹 驼 弱 舡 船 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 v 4 2 展望5 3 参考文献 作者攻读硕士学位期间公开发表的论文 5 4 5 7 第一章绪论 谱方法是求解偏微分方程的重要的数值方法之一，在最近几十年里获得了迅速的 发展目前，谱方法已经和差分法，有限元法一起成为求解微分方程的重要工具，同时 谱方法的数值分析理论也越来越丰富和完善对于谱方法来说，其最大的优点在于它的 所谓的“无穷阶”的收敛率若微分方程的解无限光滑，则其适当的谱逼近的误差阶比 _ 1 的任何次幂都高，这里是谱逼近中基函数的个数近几十年来，谱方法已经被广 泛地应用于求解各种实际问题，例如天气预报、数值湍流模拟、孤立子的计算、量子力 学和流体力学的计算等等 1 1 交替方向谱方法 谱方法虽然具有非常高阶的收敛率，但是在实际应用中还是受到了诸多因素的制 约，对于高维问题，其导出的代数方程组规模很大，计算量仍然很大，给求解造成了很大 的困难，解二维s c h r s d i n g e r 方程也存在这样的问题解决的方法之一就是使用交替方 向隐格式法( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ，简称a d i ) ，a d i 方法可以把高维问 题的求解转化为一系列相互独立的低维问题，从而降低原问题的规模 交替方向隐格式法( a d i ) 首先是由d o u g l a s 和p e a c e m a n 1 ，d o u g l a s 2 ，p e a c e m a n 和r a c h f o r d 3 1 提出，用来解二维热传导方程的有限差分方法，现在这种方法已经扩展到 用于解一般的非线性问题【4 】，三维问题 5 】和非对称问题【6 】【7 】给提出了a d ig a l e r k i n 方法，并得到了二阶线性和非线性抛物型方程的最优日1 误差估计； 9 】给出了【5 】中的 几种格式的最优误差估计；p e a r c y 1 0 1 首次证明了a d i 格式的收敛性，而无需算子的交 换性；a d i 方法结合有限元方法，混合有限元方法和配置点法，也取得了一系列令人感 兴趣的结果；a d i 方法还应用于其他各种不同的物理问题，并用于并行计算 1 2区域分裂谱方法 单区域谱方法是很有效的，但是直接应用于复杂区域会遇到一些困难，区域分解方 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 2 法能较好地解决这一困难区域分解技巧应用于有限元和有限差分已有多年，将其应用 于谱方法源于2 0 世纪7 0 年代末区域分解算法的优点在于可以把大的问题分解成若干 个小问题，降低问题的规模，同时便于设计高度并行算法区域分解方法可以分为两类： 一类是将区域分解成若干个重叠的子区域，然后在每个子区域上交替求解，这种方法又 称之为s c h w a r z 交替法；s c h w a r z 交替法最早是由1 8 世纪9 0 年代德国数学家s c h w a r z 提出来用于论证非规则椭圆型方程解的存在唯一性，直到2 0 世纪5 0 年代才有人将该 方法用于计算，并行计算机的问世使得该方法开始发展起来另外一类是将区域分解 成互不重叠的子区域，相邻的子区域上给予一定的连接条件，这种方法又称为拼接法 1 9 8 5 年之前，区域分解方法的研究并没得到人们的普遍关注1 9 8 7 年至今，每年召开一 次国际会议，使得这一方法成为计算数学的一个热门领域 谱方法的区域分裂方法思想早期由o r s z a g 3 6 】提出来，他以l 型区域上的p o s s i o n 方程为例，把单个区域分解成三个互不重叠的子区域，并给予一定的交接面的连接条件， 在每个子区域上分别使用谱方法这种类型的谱区域分解方法，又称为多区域谱方法 谱方法的区域分解方法的优点在于，它对交接面的连接条件只需要物理连续即可，显得 比有限差分方便区域分裂法也可以降低谱方法得到的矩阵的规模，改善矩阵的条件 数，同时还可以减少存储，并且可以并行计算目前，多区域谱方法已经成功地应用于流 体力学，海洋学和空气动力学等领域 1 3 本文的主要工作 本文结合区域分裂算法思想和交替方向隐式方法思想，研究快速有效的并行算法 求解二维s c h r s d i n g e r 方程我们首先利用交替方向隐式方法思想把二维问题转换成若 干个相互独立的一维问题，然后再利用一维问题的区域分裂算法思想求解这些一维问 题 首先，时间方向采用c r a n k - n i c o l s o n 格式，本文建立了一维线性s c h r 6 d i n g e r 方程的 全离散l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式，并证明了格式在l 2 和日1 意义下稳定性和收敛性 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 3 由于谱元法中利用了区域分裂算法，算法的并行化显得尤为重要我们根据算法的特点， 选取适当的基函数，详细地描述了算法的并行化求解过程时间方向采用c r a n k - n i c o l s o n 蛙跳格式，本文还给出了相应的一维非线性s c h r s d i n g e r 方程的全离散l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式建立一维线性( 非线性) s c h r s d i n g e r 方程谱元格式的目的是借助一维问题的 格式求解相应的二维问题 其次，对于二维s c h r s d i n g e r 方程，时间方向采用c r a n k - n i c o l s o n 格式，并利用算子 分裂技巧，本文建立了二维线性s c h r s d i n g e r 方程的全离散交替方向l c g e n d r c - g a l e r k i n 谱元格式，并证明了格式的最优日t 收敛性选取适当的基函数，我们给出了所建立的 交替方向格式的矩阵表示，并详细描述了将一维问题的区域分裂算法思想应用到求解 交替方向导出的线性方程组该方法的主要优点在于其高度的并行化计算，这也是本文 最重要的结果时间方向采用c r a n k - n i c o l s o n 蛙跳格式，本文还建立了相应的二维非线 性s c h r s d i n g e r 方程的交替方向l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式，格式的求解过程与线性情 形完全类似 最后，本文做了充分的数值实验，验证本文格式的有效性由数值实验的结果可以 看出，本文的方法在时间方向上具有二阶精度，空间方向上具有谱精度，和理论分析相 吻合通过单区域方法和多区域方法的数值结果比较还可以看出，多区域方法在计算量 和计算精度上都具有一定的优势 对于有守恒性质的s c h r s d i n g e r 方程，本文也给出了一些算例的能量随时问变化的 曲线图，由这些图可以看出格式具有的守恒性质 第二章一维s c h r s d i n g e r 方程l e g e n d r e 谱元法 本章首先考虑如下形式的线性s c h r 6 d i n g e r 方程的定解问题： o , u i 磋u + i o u = ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，纠， u ( o ，t ) = u 0 ，t ) u ( x ，0 ) = u o ) ， t ( o ，卅， z ( 0 ，1 ) ( 2 0 1 ) 其中，盯= 口( z ，t ) 是实值函数，u ，是复值函数，记i = ( 0 ，1 ) 【1 8 1 给出了b u r g e r s 型方程的多区域l e g e n d r e 拟谱方法的格式及其算法，并证明了 格式的稳定性和收敛性参照【1 8 1 中的方法，我们建立方程( 2 0 1 ) 的l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式，并证明格式的稳定性和收敛性完成上面的工作之后，我们再给出和( 2 0 1 ) 相应的如下的非线性s c h r & l i n g e r 方程的l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式 o t u t 磋u + f ( u ) = ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，r l ， u ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) u ( x ，0 ) = u o ( z ) ， t ( o ，明， ( 2 0 2 ) z ( 0 ，1 ) 其中f ( u ) 是关于u 的非线性函数 本章最后做了充分的数值实验，验证算法的有效性 2 1 预备知识 2 1 1 记号与约定 记，= ( 一1 ，1 ) 为参考区间，j = ( 0 ，1 ) ，设6 = z 七】- 挺。是，的一个分割，即 0 = x o z 1 x m 5 1 ， 并记第七个子区间为i k = 0 k - l , z 七) ( 七= 1 ，m ) ，h 七= 钆一z 七一1 ，则对于任意的：r e i 七， 存在宕j ，使得 七岔+ z 南一1 + z 七 z 2 r 一。 4 o o 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 5 记p ( j ) 为j 上的次数不超过n 的多项式空间，逼近空间h ，蜡定义如下： v n = ve i l l ( ，) ：v l j kep n ( i 知) ，1 k m 】，蜡= h n 础( n 设l 2 ( ，) 是通常的h i l b e r t 空问，其上的内积和范数定义如f ： ( u ，口) = 乱乃d z ，i l u l l l z = ( z i u l 2 妇) 1 7 2 ，缸，口l 2 ( ，) 其中，u = u 1 + i u 2 ，m = ( u i + 遁) m ， 1 , 1 ， u 2 是实函数 对于非负的整数r ，h r ( j ) 是s o b o l e v 空间，其上的半范数和范数分别定义为 i o 磷口i i 驴和。口i i ：( 壹m 备。) 班 设x 是赋范线性空间，其上的范数为i i 1 l x ，空间l 2 ( x ) ，h ( x ) 定义如下： l 2 ( x ) ： ：t ，( ，t ) e x , t e ( 。，t ) ；i i u i i l 2 ( k ) = ( z ti i 口i i 女d t ) 1 7 2 。o ) ， 州耻 删t ，锄n 啡蚓训删= ( 自荆l 乏：) v 2 ) 2 1 2 引理和投影 本节给出稳定性和收敛性分析中用到的投影和一些引理为了得到误差估计，引入 投影砖o ：硪( ，) 一喂，ue 砩( n 满足 ( 晚( 带仳一札) ，以t ，) = o ，嵋 ( 2 1 3 ) 记如：c ( d 一是l e g e n d r e - g a u 跏l o b a t t o 插值算子，满足 如u ( z f ) = t ( z f ) ，k = 1 ，m ，j = 0 ，1 ，n ， 其中，z f 是区间j 南上的l e g e n d r e - g a u s s - l o b a t t o 点 引理2 1 1 若伊c 1 ( d ，且巩盯有界，t l ，v e 嵋，则 i ( 口理弘) isc l l 魄”0l 2 i l u 0 h 。c o u 0 备。 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 6 证明：利用分部积分和c a u c h y - s c h w a r z 不等式以及如盯的有界性即可得到结论成立 引理2 1 2 ( 【3 4 】) 若u e 日( j ) n 础( 州r 1 ) ，l = 0 ，1 ，只l i 有 u l l 庐c ( 扩 引理2 1 3 ( 【3 4 】) 若u e 矿( j ) ，r 1 ，对于z = 0 ，1 ，则有 i - 驯稚c ( 专) 。i i u i t 肌 引理2 1 4 ( 【1 2 】) 假设： ( 1 ) 矿，e k ( k = 0 ，l ，n t ) 是非负网格函数，且矿单调递增，le ，c 都是正常数j ( 2 ) 对任意的1 礼，当m a x l 一 七n le 知s 时，有f 矿+ c 丁：三j e 七i ( 3 ) e o p o 并且矿r e 凹s 2 则对于任意的0 n ，有 驴p n 7 e c n r 注：本文中出现的c 是与n ，h 和下无关的正常数，e 是大于0 适当小的正常数 2 2 格式与算法 设丁是时间方向步长， t 七) 苫是区间【0 ，明的一个等距分裂，即t k = 七1 - ，丁= t n r 为简单起见，引入下面记号： v k ( ) = u ( ，t k ) ，0 七n r ， t ，七+ ( ) = u ( ，t 七+ 三) ， os 七住t 一1 ， 谚( ) = 竺! 学， 。七n t l ， 仇( ，t ) = 型三掣， o t t r ， 雷( ，t ) = 三卜( ，t + 三) + 口( ，t 一三) ，三t t 一三 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 7 下面我们考虑( 2 0 1 ) 的弱形式，即寻找u ( t ) 硪，使得 慨玑们“池玑舢) + “川= ( ， 吐虮砧 ( 2 2 4 ) 【u ( o ) = 时问方向采用c r a n k - n i c o l s o n 格式，方程( 2 0 1 ) 的全离散l e g e n d r e - g a l e r k i n 谱元格式 如下，即寻找u 七峭( 1 k n t ) ，使得对于v 口喵，成立 i ( u ，t ，) + i ( 以面七+ 。，a 。口) + ( 盯知+ 5 豇七+ 5 ，口) = ( ，七+ 5 ，口) ， ( 2 2 5 ) i i 护= n u 0 下面给出求解格式( 2 2 5 ) 的详细过程方程( 2 2 5 ) 在每一层上可以写成如下形式： 其中 a 铲1 ( t 七+ 1 ，u ) = 夕知( 口) ，v 钉噶，o 一 k 一n t 一1 a 铲1 ( 乱七+ l ，t ，) 三( u k + i , v ) + 三( ( 以缸七“，如t ，) + ( 口七+ u 詹+ 1 ，口) ) ， 或( 口) 兰( u 七，u ) 一i 丢( ( 矿，如”) + ( 盯七+ z x _ u k ，t ，) ) + 下( ，知+ ，钉) 取馏的一组基函数( 见】) 如下： 背 ) ) ：；2 u = 1 ，m ) ，( u ) ( z ) u = 1 ，m 一1 ) ， 其中( z ) 和舻) ( z ) 的定义如下 毋，( z ) ：l 己t ( 金) 一l z + ：( 岔) ，z = 垒立墨学【q 一，巧】， ( 2 2 6 ) i l0 ， 其他 f 华，z = 学蚓， 咖u ) ( z ) = 墨丛学，z = 垒垂2 学( ，吻+ - 】， ( 2 2 7 ) 【。， 其他， 其中畲一1 ，1 1 ，西( o ) ：西( m ) 三0 ，厶是1 次l e g e n d r e 多项式 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 8 未知函数t k 喵( 七= 1 ，佗t ) 可以表示成如下形式： mn 一2m u 七= c c k j ) 咖o ( z ) + 谚( z ) ， ( 2 2 8 ) ，= 1 = uj = u 其中，嘭= 乱( 勺，氏) ，u 8 = j i f = 0 设v ( k j ) = 盘2 带毋( z ) ，则可( 七，j ) 满足 a 知( ”( 知 j ) ，) = 9 铲1 ( 咖p ) 一谚一l a n ( 咖0 一，) 一u ；a n ( 4 ) u ) ，咖p ) ，o l 一2 ，( 2 2 9 ) 其中 a 彬，t ，) = ( v ( k d ) , v ) + i 三( ( 以t ，如”) + ( 一淞们，口) ) 因此，格式( 2 2 5 ) 的求解可以分解成四步进行，首先寻找罐j = 笛2n 搿( z ) ( m = 0 ，l ，2 ) ，使得 。a k 、，o 。o ( k , j ) ，) = 9 铲1 ( 咖p ) ，0 一 l 一2 ， a 知( 移i k ”，毋) = 一a 知( 咖。一，咖p ) ，0 一 i 一 n 一2 ， a k 叱( k ，) = 一a 知( ，毋p ) ，0 一i 一 n 一2 因此，( 2 2 9 ) 的解满足 显然也有下式成立 t ，( 幻) = 谐j + 砖一1 口+ 谚 c ( k d ) = a 乎j + 谚一l n p + 谚n 掣 其中c ( 蜘) = ( 毋棚，礤翌) t ，。5 盘j = ( 口瓣，一竺茹一2 ) t ( m = 0 ，l ，2 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 显然，方程( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 3 ) 的求解可以在单个区域上进行，而且可以并 行运算，如果盯与时间无关，方程( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 3 ) 只需求解一次 由式( 2 2 8 ) 和( 2 2 1 4 ) 可得 让七= ( 谬扛) + 谚_ i v l 七j ( z ) + 谚 笋( z ) ) + 谚u ( 茁) j = 1 j = o mm 一1 = ( z ) + ( 口p 1 ( z ) + ( z ) + ( z ) ) 谚， 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 9 最后我们由下式求出蝣( 七= 1 ，m 一1 ) m - 1 m - 1 a ( 秽p + 口妙+ ，) 谚= 夕( ) 一a n ( v ( k d ) , ) ( 2 2 1 6 ) j = l j = l 至此，我们完成了格式( 2 2 5 ) 的求解很显然，我们把求解较大规模的方程组转化成求 解4 个更小规模的方程组，并且可以并行计算，减少存储 2 3 稳定性和收敛性分析 2 3 1 全离散格式的稳定性分析 设u 是方程( 2 0 1 ) 的解，铲是满足格式( 2 2 5 ) 的解，t 。= 砖o u 是( 2 1 3 ) 定义的 投影，令e 詹= 矿一u ：，则误差方程可写成如下形式： ( e ，u ) + o 如驴+ ，以 ) + ( 谚七+ 驴+ ，口) = ( r 矿 ，口) ，v v e v 品，o 尼一l ， ( 2 3 1 7 ) 其中， r 矿= 5 韶5 ，茹5 = 以乩t 。+ ) ， 且对于r 2 t t r 2 ，有 以，c ，( ，t ) = 一 磋( u 一驴) ( ，t ) ，j 2 ，u ( ，t ) = a ! c u ( ，t ) 一阢( ，t r 2 ) ， 以，c ，( ，t ) = ( u 一乱。儿( ，t r 2 ) ，, 4 ，( ，t ) = t 盯( ，t ) ( 驴一证。) ( ，t ) ， ( 2 3 1 8 ) 以，( ，t ) = i o ( ，t ) ( u u ) ( ，t ) 下面证明稳定性和收敛性分析中用到的几个引理 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 1 0 ，十专 o ，u ( ，) o ：c f 3 。i i 劈u ( ，8 ) o 备。d s ， f t 十音 i i j 2 ，( ，t ) 嵫c 丁3 。i f 谚v ( s ) 嵫d s ， 帅“圳i ：等( 斋) 2 。岔，s ) i