（计算数学专业论文）广义laguerre函数的拟谱方法及其应用.pdf

摘要 秘攀下程中的许多秘矮珂癌结为无器选城中数学辏群方程静定躲潮题。对这 类问磁的求解最简单的方法是先取定某个人工边界，给山适当的人工边界条件， 然后猩相应的有界区域中用诵常的方i j ：，例翻i 胃限差分方法、有限元方法或者谱方 法等数饿方法求解，然而这种截断必然会带米相j 蔓的误差。因此鬻嚣研究裒接计 纂无赛隧壤i 的数学物理瓣越瓣裹精度算法。 燕楚在这样煞背景下。本文提出r 一静求锵无界爱域滴题静数 蠹方法，即广 义l a g u e r r e 函数的拟谱方法。裁们的研7 出以下几f - | j 分组成。 首先，我们介绍了广义l a g u e r r e 多项式逼近的一些基本结果。谯第i 审，我们 建立了广义l a g u e t t e 函数插艇逼近的一堡晕本绻聚。第四章是这种赫南法的一些应 焉。我贸蓦先考寤了全平瓣羔翁定褰对嚣竭题，建立了籀应豹熬谱爨式，芳涯踺了 格式鲍收敛4 降。然后我们娇究了单位翻外豁的肘称闽趁，建立了稿威粥拟谱稽式， 并自f 明了格式的收敛性。n ? 第丘章，找们给出桐应的数值结果，这姥结果表明了这 种新方法是非常白效的 美键溺：广义l a g u e r r e 豳数。g a u s s - t y p e 臻篷，撼漤方法，无器篷域，静郝目遂。 a b s t r a c t m a n yp r o b l e m si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n ga r es e ti nu n b o u n d e dd o m a i n s t h es i m p l e s t m e t h o dt od e a lw i t ht h e mi st os e ts o m ea r t i f i c i a lb o u n d a r i e s i m p o s ec e r t a i na r t i f i c i a lb o u n d - a r yc o n d i t i o n sa n dt h e nr e s o l v et h e mn u m e r i c a l l y w h e r e a st h e s et r e a t m e n t sm a yc a u s e a d d i t i o n a le r r o r s t h e r e b y ，i ts e e m sb e t t e rt os o l v es u c hp r o b l e m sd i r e c t l y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed e v e l o pt h ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o df o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e f i n e do nu n b o u n d e dd o m a i n s w ef i r s ti n t r o d u c et h eg a u s s - t y p ei n t e r p o l a t i o n su s i n gan e w f a m i l yo fg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s ，a n de s t a b l i s ht h eb a s i ca p p r o x i m a t i o nr e s u l t s ， t h e nw ep r o p o s et h ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o df o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nu n b o u n d e dd o m a i n s ，w h o s ec o e f f i c i e n t sm a yd e g e n e r a t eo rg r o wu p a se x a m p l e s ，w ec o n s i d e rt w om o d e l p r o b l e m s t h ep r o p o s e ds c h e m e sm a t c ht h eu n d e r l y i n gp r o b l e m sp r o p e r l ya n dp o s s e s st h e s p e c t r a la c c u r a c yn u m e r i c a lr e s u l t sd e n l o n s t l a t et h ee f f i c i e n c yo ft h i sf i c wa p p r o a c h k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s g a u s s - t y p ei n t e r p o l a t i o n s ，p s e u d o s p e c t r a l m e t h o df o rs i n g u l a rd if f e r e n t i a le q u a t i o n so nu n b o u n d e dd o m a i n s ，e x t e r i o rp r o b l e m s 关于学位论文使用授权的说明 y 9 3 1 9 l s 本人完伞了解e 海师范大学有关保留、使用学位沧文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：是壶逾 日期：趔- 。2 导师签名： 日期： 墟 1 卜一 迎啤 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了 特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中做了明确的声明并表示了 谢意。 签名：基建盈日期：竺：! ：孕 a c k n o w l e d g e m e n t 1w o u l dl i k et ot h a n km ys u p e r v i s o rp r o f e s s o rw a n gz h o n g q i n g ，f o r h i se a r n e s tg u i d a n c ea n dc o n s t a n te n c o u r a g e m e n t ia md e e p l yi m p r e s s e d b yh i sr i g o r o u s s c i e n t i f i ca t t i t u d e s t h i sd i s s e r t a t i o nc o u l dn o tb e a c c o m p l i s h e dw i t h o u t h i si n s t r u c t i o n 1w o u l dl i k et ot h a n kp r o f e s s o rg u ob e n - y uf o rh i sv a l u a b l es u g g e s t i o n a n dg r e a ta s s i s t a n c e h i sr i g o r o u ss c h o l a r s h i pa n dp r o f o u n dk n o w l e d g e i m p r e s sm eg r e a t l y i na d d i t i o n ，1w o u l dl i k et og i v ea c k n o w l e d g e m e n t st op r o f e s s e rx i a n g x i n - m i n ，p r o f e s s o rt i a nh o n g - j i o n g ，p r o f e s s o rc o n gy u h a oa n dm i s s z h a n gw e if o rt h e i ru n s e l f i s hh e l pd u r i n gm ys t u d yi ns h a n g h a in o r m a l u n i v e r s i t y f i n a l l y , ia mi n d e b t e dt om yp a r e n t sf o rt h e i rs u p p o r t ! 坠壁慧罂些鎏些些塑些篓黧；墼塑窭彗：。：一。：。 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 h i s t o r ya n dm o t i v a t i o n r c o e a f l y , m o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sa g e 蟛d 协n n m e r i c a ls i m u l a t i o n so f v a l l o u sp r o b l e m s d e f i n e do nu n b o u n d e dd o m a i n s i np a r t i c u l a r ，t h es p e c t r a lm e t h o d sb a s e do nt h eh e r i n i r e a n dl a g u e r r eo r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n sh a v eb e e nu s e dw i d e l y , s e e ，e g ，瓣，5 ，1 2 ，1 4 一挎1 i nt h ee a r l yw o r k ，o n ec o m m o n l yc o n s i d e r e dt h es t a n d a r dl a g u e r r ea p p r o x i m a t i o no i lt h e h a l fl i n ew i t ht h ew e i g h tf u n c t i o n 一。，w h i c ha g en o tt h em o s ta p p r o p r i a t es o m e t i m e s e s p e c i a u yf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i nw h i c ht h ec o e f f i c i e n t so fd e r i v a t i v e so fd i f f e r e mo r d e r s d e g e n e r a t eo rg r o wu pi nd i f f e r e n tw a y s ，s u c ha ss p h e r i c a l l ys y m m e t r i cp r o b l e m si nf l u i d d y n a m i c sa n dq u a n t u mm e c h a n i c s ，s o m ep r o b l e m sa p p e a r i n gi na s t r o n o m i c a lp h y s i c sa n d e a r t hs c i e n c e 。a n ds oo n t or e m e d yt h i sd e f i c i e n c y , s o m ea u t h o r ss t u d i e dt h eg e n e r a l i z e d l a g u e r r ea p p r o x i m a t i o nw i t hw e i g h tf u n c t i o n 地f 篁) 嚣x a e 一凇，a - 1 葶 8 ，a n dp r o v i d e dg o o d i s hn u m e r i c a lr e s u l t sf o rs o m ep r o b l e m s s e ef 7 ，t o ，11 】，h o w e v e 矗t h i sa l g o r i t h m i sn o ta v a i l a b l ef o ral a r g ec l a s so fp r a c t i c a lp r o b l e m s ，s u c ha st h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s a n dv a r i o u se q u a t i o n si nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s t h em a i nr e a s o ni st h a tt h ec o r r e s p o n d i n g g a l e r k i nv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n sw i t hs u c hw e i g h tf u n c t i o n ，w h i c hi sn e c e s s a r yi na c t u a l c o m p u t a t i o n s ，a r cn o tw e l l p o s e d t oa v o i dt h i st r o u b l e ，o n em a yu s es o m ev a r i a b l et r a n s - f o r m a t i o n st or e f o r mt h eo r i g i n a tp r o b l e m s 。w h e r e a st h i st r i c ku s u a l l yl e a d st oc o m p l i c a t e d r e s u l t i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r e b y , i ts e e m sr e a s o n a b l et ol o o kf o rc e r t a i no r t h o g o - n a ts y s t e m so nu n b o u n d e dd o m a i n s ，w i t ht h es a m ew e i g h tf u n c t i o n sa si nt l l eu n d e r l y i n g p r o b l e m s r e c e n t l y t h es y s t e mo fs t a n d a r dl a g u e r r ef u n c t i o n sw e r eu s e df o rs o l v m gs o m e o n e d i m e n s i o n a lr e g u l a rp r o b l e m s ，s e e 叛9 。1 4 ，1 既 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h ep s e u d o s p c c t r a lm e t h o db a s e do nt h eg a u s s t y p e i n t e r p o t a t i o n su s i n gaf l e wf a m i l yo f g e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s 蘑口霸茹) = 嘉嚣一n 加碡( + 。e 一毋。) ，穗 一t ，毋 0 。( 1 1 ) w h i c hf o r ma no r t h o g o n a ls y s t e mo nt h eh a l fl i n ew i t ht h ew e i g h tf u n c t i o nz 。t h e n b y t a k i n gt h e ma st h eb a s ef u n c t i o n s ，w ep r u p n s ct h en e wp s e u d o s p e c t r a lm e t h o df o rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sd e f i n e do nu n b o u n d e dd o m a i n s ，w h o s ec o e f f i c i e n t sm a yd e g e n e r a t eo rg r o w 婚， t h i su e wm e t h o dh a ss e v e r a lm e r i t s 。f i r s t l y c o m p a r i n gt ot h er e l a t e ds p e c t r a lm e t h o di n l j ，t h i sn e wa p p r o a c hi sm u c he a s i e rl o 甄i m p l e m e n t e da n ds os a v e sat o to fw o r k 。i n p a r t i c u l a r , i ti sv e r ye a s yt od e a lw i t hn o n l i n e a rp r o b l e m sa n de x t e r i o rp r o b l e m s ，n e x t , b y a d j u s t i n g t h e p a r a m e t e r a ，w e c o u l d m a t c h t h es i n g u l a r i t i e s o f u n d e r l y i n g p r o b l e m s 辨唰y s h a h g h a ln o r m a lu n i v e 捌t vm a s t rd i s s e r t a t i o n t h u s t h e n u m e r i c a ls o l u t i o n si i ei nt h ew e i g h t e ds o b o i c ys p a c e st ow h i c ht h ee x a c ts o l u t i o n s b e l o n gt o 。f o ri n s t a n c e w ec a nu s es u c hs y s t e mw i t ho t 。羁一1t od i r e c t l ya p p r o x i m a t e n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n si nt h e 靠一d i m e n s i o n a ls p a c e i nt h i se a e s 。t h en u m e r i c a ls o l u t i o n s k e e pt h es a m ec o n s e r v a t i o n s 搽i nc o n t i n u o u sv e r s i o n s ，w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei n t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n da c t u a lc o m p u t a t i o n s m o r e o v e r , i ts i m p l i f i e sa c t u a lc o m p u t a t i o n s a n dn u m e r i c a la n a l y s i s f u r t h e r m o r e ，t h ep a r a m e t e r 露o f f e r sag r e a tf l e x i b i l i t yt of i tt h e a s y m p t o t i cb e h a v i o r so fe x a c ts o l u t i o n sa ti n f i n i t y 1 2o u t l i n eo ft h ew o r k t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o i l o w s + l nc h a p t e r2 。w e 燃a l ls o m eb a s i cr e s u l t so n t h eg e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s ht h eb a s i c a p p r o x i m a t i o nr e s u l t so nt h el a g u e r r e g a u s sa n dl a g u e r r e - g a u s s r a d a ui n t e r p o l a t i o n sb y u s i n gt h eg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s ，w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l e si nd e s i g n i n ga n da l l * a l y z i n gt h ep s e u d o s p e c t r a tm e t h o df o rv a r i o u sd i 触r e n t i a le q u a t i o n sd e f i n e do nu n b o u n d e d d o m a i n s c h a p t e r4i sf o rt h ea p p l i c a t i o n so ft h i sn e wa p p r o a c h w ef i r s tc o n s i d e ras t e a d y m o d e lp r o b l e mi nt h ew h o l es p a c e 。强ec o r r e s p o n d i n gp s e u d o s p e c t r a ls c h e m ei sc o n s t r u c t e d a n di t sc o n v e r g e n c ei sp r o v e d t h e n ，w ep r o v i d et h ep s e u d o s p e c t r a ls c h e m ef o ra ne x t e r i o r p r o b l e mw i t ht h ee l t o ra n a l y s i s + i nc h a p t e r5 ，w ep r e s e n ts o m en u m e r i c a lr e s u l t s ，w h i c h d e m o n s t r a t et h es p e c t r a la c c u r a c yo fp r o p o s e da l g o r i t h m s ，a n dc o i n c i d ev e r yw e l lw i t ht h e t h e o r e t i c a la n a l y s i si np r e v i o u sp a r t s 1 r h ef i n a ic h a p t e ri sf 。rs o m ec o n c l u d i n gr e m a r k s 2 c h a p t e r 2p r e f l m i n a r i e s 2 1s o m en o t a t i o n sa n ds p a c e s w ef i r s tr e c a l ls o m er e s u l t so nt h eg e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o n - l e ta = ( 0 ，。) a n dx ( x ) b eac e r t a i nw e i g h tf u n c t i o ni nt h eu s u a ls e n s e w ed e f i n e 臻a ) = 扣l v i s m e a s u r a b l e o f t , , k a n d 渊x 0 ，w ed e f i n et h es p a c e 峨( a ) a n di t sn o r r n r ，xb ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n f l 】f o r ) ( ( 。) 兰1 ，w ed r o pt h es u b s c r i p tx i nt h en o t a t i o n sa su s u a l l e t 嗡，p = 妒8 一船，a - 1 ，黟 g t h eg e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a lo f d e g r e e 1 ，i s d e f i n e d b y c f 。1 4 ( 茹) = 嚣i 。- a e , 。z v 。t ( 茗。+ 8 e 一廊) ，t 一0 ，1 ， w h i c hi st h el - t he i g e n f u n c t i o no ft h es i n g u l a rs t u r m * l i o u v i l l ep r o b l e m 鼠 “，a + l , b ( 茁) o 。( ) ) + ；8 ) t a 。$ ( ) w ( z ) = = 0 ， z a ， ( 2 1 ) w i t ht h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u e 妒以t h e yf u l f i l lt h ef o l l o w i n gr e c u r r e n c er e l a t i o n s ( c f 【1 0 ，1 1 】) ： p ( 0 ) ；卷端，f 0 ， ( 2 z ， 魄c 。棚( 茹) = 一多芝：1 坤茹) ， l 1 ，2 3 ) # + 1 ) ：妒( 芸) + 嚣一美一8 l c 尹册f 善) + 8 + 甜) 竺p f 嚣) = 0 ， f 1 ， 2 4 ) 、l， x 2 七 。脚 ， 蜢 x v 塑彗壁彗矍：盥：! 墨! 篓! ￥窒! ：些黧罂呈! ! 坠。：。：。，：。：。：。 e p 滔和) 一 4 + ( 嚣) 一l “t - x 。1 瑚( 。) 一蜃一1 ( 繇e p 辫( 。) 一繇簿f ) ) ， l 麓i ，( 2 5 ) 一善蕊聋，彤( g ) 一# + 盘) ! 尹秘 一磷4 圆( 。；， ；i ( 2 。国 硼臻g e n e r a l i z e dl a g u e 啉p o l y n o m i a l sf o r mac o m p l e t e 磁，垂 a ) 一o r t h o g o n a ls y s t e m , n a m e l y , ( ；8 毋，籍，p ) 。= 哥8 西。， ( 2 7 ) w h e r e5 m st h ek r o n e c k e rs y m b o l ，a n d 则一黼， 翟棼 h e n c e ，f o r a n y 口域日 蛾w ec a n w r i t e a 一“研妒m f 嚣) ， ( 2 9 ) w i t h h et o e 燎c i e n t s 一志( 口，p ) 。f 一织l ，2 ， f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rn ，确s t a n d sf o rt h es e to f 桶a l g e b r a i cp o l y n o m i a l so fd e g r e e a tm o s tn w ea l s od e n o t eb yeag e n e r i cp o s i t i v ec o n s t a n ti n d e p e n d e n to fn 、廖a n da n y f u n c t i o n 。 t h e 醯。3 a 一o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n ，$ ：瑶。 矗* p ，i sd e f i n e db y f 昂，。口种一 ，审) 。= 0 ，肇，) i no r d e rt od e s c r i b ea p p r o x i m a t i o ne l t o r sp r e c i s e l y , w ei n t r o d u c et h en o n u n i f o r m l y w e i g h t e ds o b o l e vs p a c e 恁d ( a ) f o ri n t e g e rr 0 ，i t ss e m i n o r ma n dn o l ma r eg i v e n 酶 | | ，。= 粉。， 剐蚝。= ( 嘎。r 群o f o ra n yr 0 ：w ed e f i n et h es p a c e 越，口( a ) b ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si nf 1 1 2 2s o m eb 豁i 0r e s u l t s w e h a v e t h e f o l l o w i n g b a s i c r e s u l t ，s e e t h e o r e m 2 。 o f 1 1 j l e n l m a 2 , 1 - f o r a n y 计毫戎，$ ( a ) ，i n t e g e rr a n d 0 s p 曼r ， 8 毋，“。 一 o i l + i ， 慨拙口 一训。c ( 卢) h 1 i 口i 根。+ ( 1 十一) ( 1 n n ) t l 叫 ：j ( 2 1 4 ) 强p a r t i c u l a r , 矿| 盘| 0 ，t h es p a c e 镌嘏( a ) i sd e f i n e db ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si nm l e m m a 3 1 。f o r a r t y 甜芒恐矗( a ) ，i n t e g e r r 0a n d 0 弘蔓 4 氐，。, b y 一”l 跫。sc ( p i v ) 。叫匙，。 $ l 妈 p r o o f w ch a v e 氟。搿”o ) = 舒。棚趣。脚o ) = e 础“钟c “挪o ) i t c a n b e c h e c k e d t h a ta l l 饼。，绑a r ee x a c t l y t h es a m ea s t h ec o e f f i c i e n t so f e x p a n s i o n ( 2 9 ) f o r t h ef u n c d o n # 4 蠹静 。) i no t h e rw o r d s ，磊，口苛( 。) = e - l b f 沁。，卢( e 声。口( 。) ) t h e r e f o r e ，b y t h ed e f i n i t i o no fi ：口a n d ( 2 1 0 ) ，w ed e d u c et h a tf o ro 芦7 ， | 雨。口口一口 霞。= 0 露；触( 瓦。口口一”) ) i l u 。；f l a ( e # m 目( e 脚口) 一e 斯”) l b o e c ( z n ) 峄f 叱j 。- t h i sl e a d st of 3 i 0 ) _ r e m a r k3 1 w ec 锄a l s od e f i n et h en o l mi l v l l x 2 4i na n o t h e rw a y i n d e e df o ra n yi n t e g e r r 0 ，w cr e d e f i n et h es p a c e 冠。( a ) w i t ht h es e m i n o r ma n dn o r m ， 叫。圹( 静铂镌础妒州5 ，黔m s = ( 挚i n 一) 。鞲m f o ra n yr 0 ，w ed e f i n et h es p a c e 趸口( a ) a n di t sn o r mb ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n 1 l 。 i nf a c t ，t h en o r mi n ( 3 11 ) i se q u i v a l e n tt ot h en o i t f li n ( 3 9 ) t os h o wt h i s ，l e t 墨尝m 红) = 召酬妇) ，墨妒 = 8 一风筑( e 龄蚤譬 ( 嚣) ) ， k 1 + ( 3 1 2 ) t h a n k st o 谊，3 ) ，w ed e d u c et h a t 文0 鼬西。国和) ) = 一风。召! 邶( 茹) t h e r e f o r e ，b y ( 3 1 2 ) w ec a nu s ei n d u c t i o nt os h o wt h a t 霹妒( 。；* ( - 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