（基础数学专业论文）线性fredholm积分方程的小波galerkin解.pdf

擒要 摘要 由于积分方程的精确解很难求出，在实际应用中往往只能求其近似解一数值 鹬传统的方法包括g 瓠媳纽方法，融耐肾惑疵纽方法，配置点法等利用小波 分析求解积分方程瞪取得了很多重要成果。本文在借鉴k m 躲勉溺稿，s 。s o 瓤a ：毯 等人工作酶基础上，耧赠小渡g 惑减速方法讨论线性薹捌魏d 翻积分方程鳕数值 解。 我翻首先糕是g 蛐方法结合小波的一些性质分别讨论第一类和第二类 线性e d 幻堍积分方程豹数值_ 解；具体遗说，透明了数值解的稳定性和收敛性。 其次，给出珏a 8 r 小波鳃的数值实验，计算结果表明小波g 蛐方法的有效性。 最后，针对第二类线性f h d h o l m 积分方程，通过筒化l o n g 的算法，给礁一迭代 校正算法，并保留了迭代解的精度 关键词n e d h o l m 积分方程；h a a r 小波；g a l e r k m 方法；数值解；迭代校正 i 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c et h ea n 扯y t i c l u t i o 衄0 ft h ei n ：t e g r a le q u a t i 0 璐缸ei 【i m c u l tt of i n d ，w e u 8 u a u y0 b t a i nt h ea p p r 妇a t e l u t i o n s n m 卫e r i c d l u t i o si np r a c t i c e n 础一 t i o n a l lm e t h o d si 】l u ( 1 eg 出e r l 血m e t h o d p e t r o v - g a l e r k j nm e t h o da i dc o u o c a t i o n m e t h o d m a n ya d h i e 、1 e 1 工l e 】吐sh a eb e e nm 副扎i n l v i n gi n t e 口a l le l 弭a t i o n sw i t h w 绷喊a n a l y 豳t b i sp a p e r ( 1 e a l s 砒h 珊皿嘶c a ls o l u t i o n0 fl i n e a rn e d h o l m i n _ t e g r a le q u a t i o nb y1 l s i n gw 咎v e l i e tg a l l e r l d nm e t h o d o u rw o r ki 8m o t i v a t e db y f i i s t l y w eu s eh a 缸删e tg a k 墨k i nm e t h o dt o 血 c 璐8n e d h o l m 砒e g r a l e q u a t i o no ft h ef i r s ta n ds e c o n dl c i n dr e s p e c t i v e l y m o r ep r e c i s e l y t h es t a b i 锣a n d c o n v e r g e n c eo ft h ea p p r 似i 珈雠e 1 u t i o 凹饿p r o v e d s e c o n d u y ，m e c 锄p l e 8o f t h eh a a rw a v e l e t 删m e r i c a l8 0 l u t i 0 i 氇龃ep r 咖t e dt 0s h o wt h ee 伍c i e n c yo fo u r r e s u l t s f i n a l l mb ys i m p f 洫gl o n g si t e r a t i o na 栅h m ，w eg 溉缸i t e r a t i m c 0 删i o nf o rt h e 印p 0 。c 血a t e l u t i o no fl i r 屺缸n e m l o h 证t e | f a le q u a t i o n0 ft h e c o n dl 【i n d i tt u m so u tt h l 址o u r 出o r i t h mh 嬲t h e8 卸a c m l r 蛔r 够l o n g s k e r o r d sf 恻b o h 砒e 窜a 1e q u a t i o n ；：h 越啪耽l e t ；g a l e d d n 础i t h o d ；n l i e r - 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：王葱祆日期：砷。曰上砷 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：王慧，氰导师签名：训气们 日期： 谢r l 第熏章绪论 l 。l 研究背景 第圭囊绪论 静电学、力学、电磁场理论、堍球物理勘探等工程学科酶许多实际问题都与 求解积分方程有关。微分方程豹定解阉题也可羰化为积分方程，其优点是对来寒 舔数光滑性的限制减弱。含一个未知函数盼积分方程鳇一般形式为 ，1 6 p ) 7 矧i ，丢) f 1 0 ) 】丞+ ，0 ) = m 0 ) 珏善) ， e zsd j 口0 ) 上式中惫( 茁，2 ) ，( 。) ，n 0 ) 加扛) ，m 扛) 为已知函数，f h ( ) 】是钍( ) 的毫知泛函， c d 为常数。 当f 皿( ) 】是瓤( ) 的线性泛函时，上述方程称为线性积分方程，它的一般形 式是 ，6 ) 7 老( 塞，) 牡( ) 瘦+ ，z ) 一m ( 鬈) 珏扛) ， c 曼z 文 ，a 血) 本文研究两类特殊的线毪积分方程： 第一类线性羚e d b 0 1 瑚积分方程 z 专七( z ，亡) 仳如) 施= ，( z ) ，n z 6 ( 1 1 ) 第二类线性n e d h o h 积分方程 厂6 足，t ) “( ) 班十， ) ：“( z ) ，口竖茗6 ， ( 1 2 ) ，4 其中奄0 ，x 歹( 。) 为已知蹑数，露，参为常数。 下面奔绍一个罨l 出积分方程的数学问题。 例l 。l 。l 一阶常微分方程的韧值同嚣嘲巍f 0 ，茗) 满足适逛鳃遂续条件时， 艺京工业大学理学磺士学位论文 静 ) = 毒十r m 嘶) ) 打( 1 - 3 ) ( ? 茁) o ) 一+ f ( t 鬈p ) ) 出， + ( 1 4 ) ，彳 ? o 第l 章绪论 我们已经把这个常微分方程的初值冈越化为求不动点的问题先在【_ 五，捌 上考察e l l ( 1 4 ) 式定义的映射t ，考虑在f 阮髫) 上添加什么条件可以使z 成为 一个压缩映射首先 ，霉，零 p ( ，_ ，? 匆) = 搬a x l 叫矗 | 7f ( 丁，p ) ) 幽。一7 f ( 丁，爹( r ) ) 矗7 | ) ，0，0 九撼a x 陶 o ，己 o ，使得辫吲毳，| z 1 一f | 篓正| z 2 一专i 占时有 那么 | f 0 ，茹1 ) f ( ，魏) | 竖毛| z l 一髫2 | 。 p ( t k ，丁秒) 厶忍p ( z ，箩) ，v 蠹，可秀( 毒，6 ) ， 其中器( 毒，占) 垒 茹( ) g 【一勉捌：撒觚 | z ( 幻一善| s 耐因此当五危 o 足够小，使碍 噩a 】l 轰l ( ? ) o ) 一善l = 蠡a x | 矗| f f ，z p ) ) 如| 必磊 0 因为x 是完备距离空问 卜 ，明，的闭子集，故( x ，p ) 仍然是完备的距离空 间因此我们得到， 北京工业大学理学礤士学位论文 如果函数瓴茹) 在f 一毳，翻落一毒，+ 嗣上连续且对。美乎一致地满足 局部l 趣) s c m t z 条件，则当 m i n 6 托1 肼时，此初值问题在 一 ，翻上存在 唯一解 1 2h a a r 小波 构造小波基的基本方法一般从多分辨率分析( 删t 曲s o l l l t i 激a n a 蛔s i s ，葡记 为m r a ) 出发，下面给出m r a 的概念。 定义1 2 1 【3 l 所谓多分辨率分析是指l 2 假) 中的一列线性闭子空间 k ) ，z ，满 足以下条件t ( i ) 单调性：对任意j z ，k lck ； ( i 砼完备性； 嘶= 三2 ( 歉) ，n 蛸巧= o ； ( i 娃) 伸缩性，对任意j z ，( ) 净，( 2 ) 巧； ( i v ) 基的存在性。存在一个函数妒0 ) 2 ( r ) ，使得 妒0 一九) n z 罴的 标准夏交基，这时豫丞数妒扛) 生成该多分辨率分析，且妒g ) 称为此多分辨率分 析对应的尺度函数 从( i i i ) 及( i v ) 可知；对给定酶j z ， 妨蠡( 。) 惫z 是巧的标准正交基，其 中妒，膏( 茁) = 2 妒( 2 j f z 一七) ，七z 定理1 2 2 两设 b z 是由尺度函数妒( 茹) 所生成的m r a ，定义尺度序列 毳露鬈= 9 ，妒l 蠢 蠢岛， 小波序列 夕( 凳) 一( 一1 ) 蠡硒= 可， 毒 第l 章绪论 及蠡数妒0 ) = 箩 ) 妒l 蠢0 ) ，雯| l 奶惫0 ) j ，惫z 为五2 霉) 鳇标准正交小波基。这 蠢仨玉 里( 妒，垆1 南) = 厶妒( ) 丽d ，奶七( 搿) = 2 妒( z 一七) ，j ，尼z ，妒( 刀) 称为小波函 数 例1 2 3 f 3 】h & a r 尺度函数及珏a 敞小波函数分别为： 荆一b 篡 妒( 。) = 1 ， o z o ， 使得 | | 翟一乱l se 2 | | 君一1 | l s ， 第一章介绍预备知识及研究背景第二章研究第一类线性n e d h o l m 积分方 程的小波g 舔赡趣解，给出近似解的收敛性、稳定性和数值实验第三章讨论第 二类线性r e d h o l m 积分方程数值解的收敛性、稳定性及数值实验。在第四章中， 我们证明了l o n g 的迭代算法可以省略一步，而不影响迭代解的精度，主要结果 为： 定理4 2 3 ( 迭代解的精度) 设u ，“譬分别为方程( 3 1 ) 的精确解和七次迭代 g 撇解若惫0 ，考) 怒够光滑，量锃0 ) g 轳羚，王】，尉 | | 戡一i = d 鼢1 ) ， 其中 满足t 当n _ o o 时，九_ o 。王& 第2 常第一类线性秘e d h 0 1 m 积分方程的小波g 越e r l ( m 解 第2 章第一类线性n e d b o 】功积分方程的小波g 妇鼬解 在本章中，我们利用h a a r 小波基求解眦o h 积分方程 ，羔 7 奄扛，) 锃o ) 斑= 歹( 若) ，o 茹l ， ( 2 一王) ，0 其中奄( z ，) ，( 够) 为已知函数，且是( z ，t ) 毫e ( 【o ，l l o ，l 】) ，( 。) g 【o ，l 】 在借鉴k m 小蛔面甜删工作的基础上，我们给出近似解与精确解之间的误差估 计；谖明近戗煞的稳定性；最后给蹴数值实验。 2 1误差估计 定义线性算子： 。 k ：2 险，王】卜，2 静，鞠，k ( 毯) 茹) = 7 惫( g ，) 簦( ) 斑， ，王 ，o 则( 2 一1 ) 等价予算子方程 k 乜= 工( 2 2 ) 记a 铭，嚣) = x 鞑，移，f ) = 五移，得变分方程 a ( ， ) = f p ) ，讹己2 o ，1 】。 ( 2 3 ) 定义2 1 1 对于固定的j z ，定义l 2 ( r ) 上的投影算子岛为； 岛，( 。) 一，妒臁) 妒妇 ) ， 知z 其中0 ) 为某多分辨率分析对应的尺度函数， 定义2 1 2 例当o 貔 1 时，定义a 阶日舀f d e r 空间( 记为c a ( r ) ) 为： 以耻州咖哦 鲣昔剑 耐 1 l _ 北京工业大学理学硕士学位论文 当q = n + & ，礼n ，0 & 口) ，且满足衰减性条件ti 妒( z ) i c ( 1 + ) - 1 一，其中c ， 为正常数则对j o ，存在常数q o ，使得 岛厂一，0 q 2 一j a 注意到h 跚尺度函数妒( z ) 在区间【o ，1 】上满足引理2 1 3 中的衰减性条件， 但妒( z ) 毛伊下面引理表明对于h a a r 尺度函数妒0 ) ，我们仍有类似引理2 1 3 的结论 定义2 1 4 对于固定的j z + ，定义l 2 0 ，1 】上的投影算子b 为： 2 j l 乃，( z ) = ( ，妒- ，七) 妒拈( z ) ， ( 2 4 ) 其中妒( z ) 为h w 尺度函数 引理2 1 5 删若，( z ) ( l 2nc 。) 0 ，1 】( o o ，使得 l p j ，一，i i 0 2 一j q ( 2 5 ) 其中0 ，( z ) 0 = 8 u p i ，( z ) i ：z ( 0 ，1 】) 证明首先对于固定的j z + ，有 2 ，一1 j 一1 一1 p j ，= ( ，妒拈) 妒肌( z ) = ( ，帅( z ) ) 姗+ ( ，虹) 虹( z ) 七= oj = 0 七：o 下面计算，0 ) 的h a 缸小波系数( ，咖七) 一1 二 第2 章第一类线性眦6 l m 积分方程的小波g a l e r k m 解 当q = 1 时，( z ) c 1 0 ，1 】，故将- 厂( z ) 在z = 2 一j ( 尼+ ) 处泰勒展开即 m ) = 坤一( 七十三) ) + ( 厶) b 一2 一( 七十孰 其中已介于z ，2 一( 七+ ；) 之间 由h a a r 小波函数妒 ) 的定义，知 故 奶膏扛) = ， 1 七 石， 石 七 1 ( ，锄七) i = i ，( z ) 蚴( z ) 训 ，o ：2 if 2 1 佧+ 如他) 如一f 2 叫o ：1 1 m ) 如i ，2 一j 知 ，2 一j ( 七+ ) ：2 i 仁：伪+ 5 【厂( 2 一j ( 七+ 三) ) + ，( 已) ( z 一2 一j ( 七+ 三) ) 】d z 一，2 一j 七 zz 仁蒜帅气七+ 扣八洲纠1 七勘如i厶膏+ ) 陟( 2 。( 七+ 主) ) + ，他) ( z 廿( 七+ 却如i 2 蚶1 阱扣) 忙2 靠曲如+2 考( i ，7 ( 已) ll z 一2 一j ( 七+ 言) i d z + i ，7 池) 一2 一歹( 七+ 砉) l 出) ，2 一j ( ) z 洲e 书旷m + 知出+ f 蒜弋吣如) ，2 一j 七 z ，2 一，f 岛+ 姜、 z 全弓2 一卅；) 1 孓 一 一 眈 址 灿 一 一 一 眈 0 1 2 甜 22 钆 七 ， 2 0 ，i_i_，-1_【 北京工业大学理学硕士学位论文 当o 0 f 1 时，( z ) c 。 0 ，1 】，则存在正常数l 使得 ，( z ) 一厂( ) ls 三j z 一夕i a ，vz ，剪 0 ，1 】? ，1 锄) f = l ，( z ) 虹( z ) 酬 ，0 ： 2 if 2 一七+ 5 ，( z ) d z f 2 一七：1 1 ，( z ) d z i ，2 一j 七 ，2 一j 佧+ ) ：2 i 仁二。+ 扣 ， ) 一，( 2 。( 七+ 三) ) + ，( 2 叫( 七+ 三) ) 】d z 一 = 2 i ， ) 一，( 2 0 ( 七+ 言) ) + ，( 2 - j ( 七+ 专) ) 】d z 一 ，2 一j 七 二 仁：叭矿心1 七+ 扣，( 2 1 七勘如i ，( z ) 一，( 2 一( 七+ 言) ) + ，( 2 一 + 言) ) 】如i ，2 一，伪+ ) 二二 2 ( z ：七+ 5 i 厂( z ) 一，( 2 一，( 七+ 三) ) i d z + 2 ( i ，( z ) 一，( 2 1 ( 七+ 专) ) 恤+ ，2 一j 七 - 仁：佧+ 1 1i ，( z ) 一，( 2 一j ( 七+ 三) ) i d z ) i ，( z ) 一，( 2 一j + 去) ) 陋) ，2 一，善 z 剑( e 呜卜2 1 吣f o “飞帅铡 2 ( i z 一2 一( 七+ 言) l q 如+ i z 一2 一( 七+ 云) i a 如) ，2 一船 二 ，2 一j ( 七+ ) 剑 e 嵋【2 _ 砸+ 扣+ f 蒜1 帅谢 ，2 一，七 二 ，2 一j ( 七+ 专) 综上所述， ( ，咖七) l 芬2 一j ( d + 如，vo q 1 又由m 删南，v z 【0 1 】，得 l ( ，奶七) i i 奶七( z ) i 芬2 一口+ ；i 奶七( z ) i q + 嘲南 q 2 一a 1 垂 第2 章第一类线性n e d h o l i n 积分方程的小波g a l l e r k m 解 故_ 【七z ( ，奶七) 奶七( z ) ，j o ) 一致收敛 因为 妒( z ) ) u 奶七( z ) ，歹o ，o 七一1 ) 为l 2 0 ，1 】上的标准正交小 波基，故对v ，0 ) l 2 0 ，1 】，有 所以 故 证毕 2 ，一1 ，( z ) = ( ，伽) 妒( z ) + ( 蛎) 咖七( z ) j 0 七= o 乃，一，i = i ( ，蛎) 锄( z ) i j ，b o 一1 蛎) i ( z ) 0 ，使得 u b u 0 g 2 一j a ， 故只需估计0 乃乱让，0 由m 蚓莳斋，忆 0 ，1 】知 2 ，一1 2 _ ，一l i 乃u u ，i = i 及妒妇( ) 一q 妒以( z ) i 2 ，一1 = i 做一) 妒以( t ) i 2 j 一1 j j 一z 怯l 妒拈( ) i 0 使得 0 虿一z 0 m 2 一j a 0b 一10 所以 故 乃u u ，0 2 苦2 一j a 0j e i 一1 0 。 u u ，0 g 2 一儿+ 2 一j 口2 苦0 b 一10 1 8 - 第2 章第一类线性& e 醯o k 积分方程的小波g 越e 掇n 解 0 2 一妇( 1 + 2 蔷l i 岔一1 l o o ) 其中g = 赫娃 瓯，磊册证毕。 2 。2 稳定性 本小节研究小波g 妇k 迅近似解的稳定性。 定理2 2 1 设也，u 分别为方程( 2 1 ) 对应于精确值，和测量数据五的小波 近耘解。若| | 歹一五| | 2 ，且( 2 一妨式审的矩阵霆可逆，猁存在正常数g o ， 使得 | l 也- ，一牡l 篓g 2 善 | 君一1 i l e 记6 = 壤) 盘1 = r ( 妒强) ) 盘1 = ，妒 ) ) 刍1 ，& 一 ) 盘1 ，则类似可得 魏满足下列2 ，阶线性方程组 所以 曰一6 。 | 钍一毯了l l 妒强( ) 一岛强( ) | 蠢=o藏=o 2 ，一1 一i ( 像一) 妒搬( ) l 蠡= 两 矿一1 竖峥一戡怯i 妒船( z ) l 汹 c 2 孝i l 茹一z 。i f 。1 9 - ( 2 9 ) “p肌 q 弋一曲籼脚 = f j 札 没 明 证 j | ：京工堑大学理学矮学位论文 又由式( 2 6 ) 、( 2 9 ) 知 | l 茁一z 。| | =l 嚣一1 6 一丑一1 坟| | l | 8 1 0 0 6 一以0 = l | 器一1 | | m 馘轴蛾，妒一l 7 l ，( 茗) 一五( 茹) l | 妒矬( 。) | 如 ，土 ，o 利用搿荔! 如r 不等式，有 ，工 【l ， ) 一 ) i i 妒，膏 ) i d z i i ，一五。口【0 ，1 】o 妒，知。鹏【o ，1 】， i ，0 所以 | | 芏一髫。| | | | 器q | | 霉羽瞻唾一t l 歹一五| | 炉耘l 潘鼹i 弘眩鹫 = i l b 一1 0 0 厂一五i i 工。【o ，1 1 i l b 一1 i l 教 8 钍，一乱| i c 2 岳0 z z 。0 = g 2 蔷i lj 5 f 一1 i l g 证毕。 附注：从定理2 1 8 和2 2 1 的结论中可以看出近似解“，( t ) 是否随着，的增大而 收敛列精确解u ( 谚及其稳定性与f l 艿。i 的大小有关，因此下面我们添加一些条 件来控铡l l b _ 1 | | 的大小 引理2 2 2 俐设4 为n 阶矩阵，若陋0 j ，使得1 1 2 一善8 一列垒 m j ，1 ，则 峪篇。 证明记 r b l 叁b y 嬲 l l b 川= 坳 1 由引理2 2 2 ，得 | | ( h 如) 以| | 0 ，使得 l i u ，一u j 0 c 2 蓦0 百一1 0 e 定理3 1 3 若( 3 4 ) 式中的系数矩阵b 可逆，且存在整数， ，使得0 2 一鲁b 一 川全蜘 o ，使得 i i 乱一乱譬0 c 4 他+ 1 1 ， 其中 满足：当n _ 时 _ 0 3 1 北京工业大学理学硕士学位论文 由于 商一乱0 = i ik 瓦+ g u 0 = i i k 瓦+ ，一k u 一川 l i k 砚一心0 从上式看出只有当j j k i l 1 时，石的精度较之孔才有所提高为此，我们略去 这一步骤，考虑下面的简化迭代算法 简化的迭代算法，令仳粤) ：= 砚，对七= o ，1 ， 1 毋) ：k 乱譬+ ，； 2 e 譬) ：钟) 一心譬； 3 ( i p k ) 毋) = r e 譬； 4 世+ 1 ) ：k e 譬+ 磅) 引理4 1 2 设方程( 3 1 ) 存在唯一解u ( ) ，算子( j r k ) 一1 存在且有界，则 存在常数c o ，使得 l l 札一u 舻1 i i c 蚪10 ( ，一r ) 0 1 一瓦i i - 证明由式( 4 1 ) 、( 4 2 ) ，有 u n = r + r ，= r ( k + ，) = r 该， 则 玩= k u n + ，= k r 瓦+ ， 第4 章 关予迭代算法的一个注记 又因为( j r 籍) 。存在，显 k ( ，一r k ) 一1 r + ，= ( ，一k 冀) “1 营衅( j r k ) 一1 r + j ) ( ，一必r ) = j 所瑷 故 所以 营( ，一r 影) 一1 r ( ，一k r ) + j k r 燃， p 一冀彭) 以r j 一影足) = & 兮r ( ，一r ) = ( 卜一r k ) p 忭 营屁一r 耳= r r k r k ( j r ) 一1 r + j 一( ，一r ) 一1 。( 4 3 ) 一磊一( j k 段) 。， = 诚+ u _ 珏 = 弦+ 链一( j 一彭& ) 一1 歹 = 诹+ ( ，一k r ) 一1 【( _ ，一彤r ) 一，1 = 玩+ ( j 一r ) 。( k 乱一k r 珏) = 磊+ ( j 一影r ) 一1 姻 j r ) 铭 由迭代法的过程可知， 让乎+ 1 ) 一k ( ，一r k ) 一1 + 札妒+ 蕊瞄( f 一冀k ) 1 臻曩+ 越 ( 4 4 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 故 乱譬+ 1 ) = ( ，一k r ) 一1 e ：+ 乱譬) = ( ，一k r ) 一1 陋：+ ( j k r ) u 乎】 = ( 一k r ) 一1 【( k 仳譬+ ，) 一仳乎+ ( u 譬) 一k r u 譬) 】 = ( j k r ) - 1 ( k k r ) u 乎+ 卅 = ( ，一k r ) 一1 k ( 一r ) 乱譬+ 诹( 4 5 ) 由( 4 4 ) 和( 4 5 ) 式，得 i l 让一u 譬+ 1 0 = 0 ( j k r ) 一1 k ( ，一r ) ( u u 譬) 0 i i ( ，一k r ) 一1 1 10 k ( ，一r ) 00 u 一也譬0 i | ( ，一k r ) 一1 0 七+ 10 ( ，一r ) 0 七+ 10 也一玩0 又由k ，( ，一r k ) - 1 均有界及式( 4 3 ) ，知( ，一k r ) - 1 有界故存在常数 c 0 ，使得 。- i i u 一仳乎+ 1 i | c 七+ 1 i l ( ，一r ) 0 詹+ 1i i 乱一诹1 1 证毕 4 2收敛性 本节给出方程( 3 1 ) 的七次迭代解u 譬的收敛性 引理4 2 1 m 设世( z ) 为方程( 3 1 ) 的解，且“( ) c 2 f 0 ，1 】若七( s ，z ) 足够光 滑，则存在正常数c ，使得 0 ( ，一r ) u 0 c 4 i i 乱0 伊， 第4 章 关于迭代算法的一个注记 i i k ( ，一r ) 川伊sc 酽i 伊 其中 满足：当死_ o o 时， _ 0 引理4 2 2 m 设仳( t ) 为方程( 3 1 ) 的解，且乱( ) c 2 0 ，1 】若七( s ，) 足够光 滑，则存在正常数c ，使得 ( ，一r k ) 一1 c ， 0 ( j k p n ) 1 0 g i ( ，一k r ) - 1 0 俨c 定理4 2 3 设乱，罐分别为方程( 3 1 ) 的精确解和七次迭代g a k 池血解若 尼( s ，t ) 足够光滑，且u ( z ) c 2 【0 ，1 】，则 一u 譬l l = o ( 4 ( 七+ 1 ) ， 其中 满足：当礼_ o o 时，危一0 一 证明由( 4 4 ) 式和( 4 5 ) 式，得 乱一乱乎) = ( ，一k r ) 一1 k ( ，一r ) ( 乱一乱譬一1 ) = ( ，一r ) 一1 ( ，一r ) 】2 ( 乱一乱譬一2 ) = 【( ，一k r ) 一1 k ( 一r ) 】南( 札一砚) =