（基础数学专业论文）二维环面微分李代数模的导子.pdf

摘要 摘要 记d e r a 。为2 维环面微分李代数，它也可以看成是2 个变量交换l a u r c n t 多项 式环a 。的导子李代数文【e 2 j 中研究了在l a r s s o n 函子p 作用下有限维不可约 g l d 一模的象模p ( 妒，b ) 的结构本文在此基础上给出了从d e r a 。到它的模p ( _ - 6 ) 的所有导子，和第一上同调群h ( d e r a 。f “( t f ，6 ) ) 关键词：2 维环面，导子，上同调群 b ! a 苎l v a b s t r a c t d e n o t et h el i e a l g e b r ao fd i f f e o m o r p h i s m so fa2 - d i m e a s i o n a lt o m sb 、r d e r a ，w h i c hi sa l s od e s c r i b e da st h el i ea l g e b r ao fd e r i v a t i o n so nal a m e n t p o l y n o m i a lr i n ga 2i n2c o m m u t i n gv a r i a b l e s i n e 2 ，t h ea u t h o rs t u d i e dt h e s t r u c t l i r eo ft h ei m a g eo fa r ti r r e d r t c i b l ef i n i t ed i m e n s i o n a l9 d m o d u l eu n d e r t h el a r s s o nf l m c t o rf o i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h ed e r i v a t i o n sf r o md e r a 2t o i t sm o d u l ef 。( 砂，b ) a n dg i v et h ef i r s tc o h o m o l o g yg r o u p 日1 ( d e r a 2 ，f 。( nb ) ) k e yw o r d ：2 - d i m e n s i o n mt o r u s ；d e r i v a t i o n s ；c o h o m o l o g yg r o u p 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：毛秀永、 扣e f 年f 月舌日扣6 年f 月6 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以 二相应括号内打“”) 作者签名：乇伽 导师签名： 日期：弘d 占年j 月2 6 日 日期：年月 日 二维环面微分李代数模的导子 第一章引言 李代数( 以m sl i e 命名) 一词是h w e y l 在1 9 3 0 年提出的它最初是由1 9 世 纪挪威数学家l i e 创立李群时引进李代数是个代数结构，因研究无穷小变换 而引入，主要用于研究李群和微分流形等对象经过一个世纪，特别是十九世纪 末和二十世纪前叶的许多数学家的卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完 善，并且有了很大的发展无论就其理论的完整性还是就其应用的广泛性来说， 李代数都是一个非常重要的数学分支它的理论和方法已经渗透到数学和理论物 理的许多领域 在研究有限维复半单李代数的结构和表示的过程中，k i l l i n g 第一个给出有限 维复单李代数的分类；c a r t a n 进一步研究了复半单李代数的结构，而且他还对它 们的有限维不可约表示进行了分类，并且证明了：有限维复半单李代数的一个不 可约表示是有限维的当且仅当它是以支配整权为其最高权的最高权表示；、v e y l 进 一步发展了k i l l i n g c a r t a n 理论并且得到了复半单李代数的有限维不可约表示的特 征标公式及有限维表示的完全可约性定理，他还提出并研究了紧半单李群的一类 特殊的无穷维表示正则表示，该表示包含了c a r t a n 分类中的所有表示；1 9 4 8 年 c h e v a l l e y 在c o m p t e sr e n d u s 上发表了一篇短文这篇短文不仅包含了e c a r t a n 关于有限维复半单李代数表示的上述定理的统一的代数证明，而且还提出了许多 重要的概念，这些概念成为2 0 年后出现的k a c m o o d y 代数的基本概念；1 9 6 6 年 j p s e r r e 进步证明并给出了有限维复半单李代数的统一实现 在研究有限维李代数的同时，数学家们也开始对无穷维李代数的研究在1 9 6 8 年vk a c 和rm o o d y 各自独立地引入了k a c - m o o d y 代数k a c m o o d y 代数是近代 数学中发展极为迅速的一个分支近年来，k a c m o o d y 代数引起了许多数学家和 数学物理学家的关注，这主要是因为k a c - m o o d y 代数与许多不同的数学和物理分 支有着紧密的联系，它在d u a lr e s o n a n c em o d e l 中，在孤立子理论、k d v 方程和其 它可积系统的构造等方面有许多的应用 众所周知，流形上的微分同胚群是非常重要的，在物理学的很多分支里都给出 第一章引言 2 了它的显式表示当这个流形是1 一维环面，即圆周时，数学家和物理学家对它的 结构和表示做了很多的研究圆周上的微分李代数可以看作是单变量l a u r e n t 多 项式环的导子李代数，它的泛中心扩张就是著名的v i r a s o r o 代数v i r a s u r o 代数 和物理学的关系非常密切，这方面的文献可以参见pd if r a n e e s c o p m a t h i e ua n d ds e n e c h a l 所著的 f m s 通过s u g a w a r a 算子，v i r a s o r o 代数可以作用在任何( 除非 水平正好是d u a lc o x e t e ru m n b e r 的相反数) 仿射李代数的最高权模上众所周知， 仿射李代数在f o c k 空间上有个表示( 见【i f ) 因此就有个v i r a s o r o 代数的表 示，所以个很自然的想法就是把它推广到d _ 维环面并且看它是否可以作用在 f o c k 空间l a r s s o n 在文 l 1 】中构造了从g l d 模到d e r a d 一模的函子f “称为 l a r s s o n 函子，r a o 在文 e 2 】研究了在函子p 作用下有限维不可约g f a 一模的像 模p ( 妒，6 ) 的结构，证明了当( 1 】 ，b ) ( 靠，女) 且( 饥6 ) ( o ，b ) 时，f 。( 矾6 ) 是不可 约d e r a d 模，其中靠，1sk d 是s f d 的基本权；当( t f ，b ) 一( 以，) 或( ￥ib ) = ( o ，6 ) 时，他则给出了d e r a d 一模f n ( 砂，6 ) 的不可约商模 记d e r a 。为2 一维环面微分李代数，本文给出了从d e r a 。到它的模p ( 妒，b ) 的 所有导子，和第一上同调群h z ( d e r a 2 ，f n ( 妒，纠) 第z - 章d e r a 2 的模f 。( ，b ) 第二章d e r a 2 的模p ( 妒：b ) 本章主要介绍a 。的导子李代数d e r a 。的模f “( q ，6 ) 在全文中。表示一个含 2 个交换变量的l a u r e n t 多项式环，即a 。= c 时1 劈1 】_ c 2 表示2 维复空间，e l e 。 是c 2 的标准基，( ，) 为c 2 的双线性型使得( e ，) = ，1 isjs2 令r = z e l 0 z e 2 ，对r = n f ，记t = f ；1 f a 2 d 4 ( r ) = t t ：( d d t 。) 为a 2 的导子容易证明口( r ) ，1s ；2 ，r r 是d e r a 2 的一组基又对 f = 毗e 、十e 2 c 2 ，记d ( ，r ) = i t l d ，( r ) + u 2 d 2 ( r ) ，d e r a 2 上的李运算如下： d ( “，r ) ，d ( 口，s ) 】= d ( w ，r + s ) ， 其中叫= ( “，s ) 一( u ，7 ) “，r ，s r ，”c 2 记9 1 。是2 2 复矩阵所构成的李代数，岛是它的标准基，g l 。可由e 。经下 面李运算张成： 诬，e k d = 5 体e 。t 一5 “e k 3 令9 f 2 = s l 。c ，其中s l 。是迹0 矩阵所构成的李子代数，是单位矩阵v ( 妒) 是s t 2 的t + l 维不可约模，其中咖是支配整权。设j 通过数b 作用在v ( 妒) 上，记 得到的9 1 2 一模为v ( v ，b ) 对n c 2 ，我们构造d e r a 2 模：f a ( 妒，6 ) ：= v ( v ，6 ) o a 记 ( ”1 ) ：= o t ”，其中u v ( 啦，6 ) ，m r 令： d ( u ，r ) ( m ) = 扣，m + n ) ( m + r ) + ( t t i r j 马i v ) ( m + r ) ，1 茎ij 三2 在这个作用下，p ( 砂，b ) 成为d e r a 2 模 3 釜三主坠里! ! 生型里! 坚! ：堡：曼1 2 塑墨 4 第三章从d e r a 2 到d e r a 2 一模p ( 妒b ) 的导子 本章将在d = 2 即2 维环面的情形下，给出从d e r a 。到d e r a 。一模f 。( ( n6 ) 的 导子我们需要下面一些定义和定理： 定义设g 是个交换群，l = o 。；g l 。是一个g 一分次李代数，v = o 。g k 是个g 一分次l 一模一个线幽决射d ：工+ 矿，如果它满足 d ( h u ) = 忆d ( ，) 一 d ( ) 其中u ，w l ，则称d 为一个导子 ，d ( ”) = ”，则称d 为个内导子 z 次齐次导子 进一步如果导子d 满足3 v 1 ，对v 如果v y g ，d ( l v ) c k 则称导子d 是 用d e r ( l ，v ) 和i n n ( l ，v ) 分别表示导子空间和内导子空问，记 d e r ( l v k = d d e r ( l ，v ) id e g d = z ) ， 我们知道日1 ( lv ) 兰d e r ( l v ) i n n ( l ，叼 定理町设g 是个交换群如果l = 0l 是个有限生成的g 一分次李 代数，并且y 是一个g 分次三一模，那么d e r ( l v ) = od e r ( l ，v ) 。 显然d e r a 。是个有限生成的z 。分次的李代数，因此我们可设 d e r ( d e r a 2 ，f “( 妒，6 ) ) = 0d e r ( d e r a 2 f “( b ) ) k k e z 2 对d k d e r ( d e r a 2 ，f 。( 妒，6 ) ) k ，有 t d k ( d 1 ( r ) ) = n ( 女，r ) v j ( + r ) 3 = o t d k ( d 2 ( r ) ) = 钙( ，r ) v j ( 女+ r ) ， 其中伤( ，r ) ，如( ，s ) d = 0 ，1 ，f ) 是r r 到c 的映射，r 是基为的 ”1 维不可约s i ：模d e r a 。上的李运算和它对模p ( 妒，b ) 的作用如下： d 1 ( r ) ，d 2 ( s ) = 一r 2 d 1 p + 3 ) + s l d 2 p + s ) ， d 1 ( r ) ，d 1 ( s ) 矗( 8 1 一r 1 ) d 1 ( r + s ) ， d 2 ( r ) ，d 2 ( s ) 】= ( s 2 一r 2 ) d 2 ( r + s ) ， h 码= ( 亡一巧) 叶，吩= ( j + 1 ) v j + i ，e v j = ( t j + 1 ) v j 一1 ， d 1 ( r ) v j ( m ) = ( m 1 + d 1 ) + 争( 一2 j ) + 弩b v j ( m + r ) + ( j + 1 ) r 2 + 1 ( m + r ) ， 茎三主竺旦! ! 垒型里! ：生! ：堡! 监塑塑墨主 5 d 2 ( r ) q ( m ) = 【( m 2 + n 2 ) + 等( b + 2 j t ) v a m + ，) + r 1 ( f j + 1 ) t o l ( m + r ) ，( osj 墨f ) 因为导子满足d ( h 叫) = ”d ( ”) 一“d ( ”) 所以： d k d 1 ( r ) d 1 ( s ) d 1 ( r ) d k ( d 1 ( s ) ) 一d 1 ( 8 ) d ( d 1 ( r ) ) ( i ) d k d 2 ( r ) ，d 2 ( s ) _ d 2 ( 7 、) d k ( d 2 ( s ) ) 一d 2 ( s ) d k ( d 2 ( r ) ) ( i i ) d k d 1 ( ，) ，d 2 ( s ) = d 1 ( r ) d k ( d 2 ( s ) ) 一d 2 ( s ) d k ( d 1 ( r ) ) ( i i i ) 从( i ) 一( i i i ) ，我们可得： ( s l r 1 ) 叻( 七，r + 5 ) = 妒，( 七，s ) k l + 8 1 + n l + 号p 一2 j ) + 号州+ j r 2 扔一l ( k ，s ) ( ，r ) 【七1 + r ，+ n ，+ ( 一2 ，) + 詈叫一j s 2 一l ( 女，r ) ， ( 3 1 ) ( s 2 一r 2 ) 奶( 七，r + s ) = 奶( 七，s ) 【盎2 + s 2 + q 2 + 等( 6 + 2 j t ) 】+ 奶+ l ( 七，s ) r 1 ( t 一) 一咖( 七，r ) i k 2 + r 2 + n 2 + 鲁( 6 + 2 3 一t ) l 一掣o + 1 ( 七，r ) s l ( 亡一，) ( 3 2 ) $ 1 奶姑，r + s ) 一r 2 妒j ( k ，+ s ) = 奶( 七，s ) k l + s 1 + n 1 + 等( 6 + t 一2 j ) 】+ j r 2 0 0 一1 ( 七，s ) 一妒j ( 詹，r ) 【七2 + r 2 + n 2 + 等( 6 + 2 3 一t ) 】一助+ 1 ( 矗，r ) s l ( t j ) ( 3 3 ) 现在将r = m l e l ，s = m 2 e 2 分别代入( 31 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) 可得： 一m l 妒j ( k ，m ) = ( 七，m 2 e 2 ) k l + c q + 卫l 2 水一2 j + 6 ) 】助( 膏，m l e l ) ( h + m l + n 1 ) 一j m 2 仍一l ( ，m l e l ) ，( 3 4 ) m 2 奶( 南，m ) = 奶( 七，m 2 e 2 ) ( 足2 + m 2 + n 2 ) + l 0 + l ( k 2 2 e 2 ) m l ( 一j ) 一奶( 七，m l e l ) 【七2 + n 2 + 百, 7 1 2 ( b + 巧一f ) ，( 3 5 ) 奶( 七，m 2 旬) 陋1 + n 1 + 孚( 亡+ 6 一巧) 】= ( 膏, m l e l ) k 2 + q 2 + 孚( 6 + 巧一t ) j f 36 ) 将? 一魁s = m l e l 代入( 3 3 ) 可得； m 1 奶( 七，m ) 一m 2 ( k ，仇) = 奶( 七，m l e l ) ( 后l + t d , 1 + n 1 ) + j r n 2 协一】( 七，m 】e 1 ) 一( 七，m 2 e 2 ) ( 南2 + m 2 + 0 2 ) 一协+ r ( 七，m 2 e 2 ) m l ( t j ) ( 3 7 ) 将r = m l e l ，s = e 1 代入( 3 1 ) ，( 3 3 ) 可得： ( 1 一m 1 ) 妒，( 七，( m l + 1 ) e 1 ) = 吩( 南，e 1 ) k l + 0 1 + 1 + 等 + 6 一巧) 】 一妒j ( 凳，7 n i e l ) 降1 + m 1 + 8 l + ；( t + 鑫一2 j ) ，( 3 8 ) j 堡王型! ! ! 里! 堕：堑：坐塑塑墨主 6 奶( 七，( m 1 + 1 ) e 1 ) = i o ( 七e 1 ) 陋1 十0 1 + 1 + 等( 6 + t 一2 j ) 】 一轳j ( r n l e l ) ( k 2 + n 2 ) 一j + 1 ( ，1 e 1 ) ( f j ) f 3 9 1 将r = m 2 e 2 ，s = e 2 代入( 3 1 ) ，( 3 2 ) ( 3 3 ) 可得： o = 哟( 盘，8 2 ) ( 奄i + a i ) 十j 2 2 仍一1 ( k , e 2 ) 一妒j ( 奄，m 2 2 ) ( 七1 + 0 1 ) 一j v ? 一l ( 舞，i s q 2 e 2 ) ，( 3 1 0 ) ( 1 m 2 ) 屿( 七，( m 2 + 1 ) e 2 ) = g , j ( k ，e 2 ) k 2 + c t 2 + l + 半( 6 + 2 ，一f ) j 一。o ( 七，m 2 e 2 ) 【膏2 + m 2 + n 2 + ( 6 + 巧一f ) ， ( 3 1 1 ) 一m 2 妒j ( 七，( m 2 + 1 ) e 2 ) = _ 0 ( 膏e 2 ) ( 七l + n 1 ) + j m 2 c , j 一1 ( 七e 2 ) 一p j ( 后，m 2 e 2 ) 【七2 + m 2 十n 2 + j ( 6 + 2 j f ) ( 3 ，i 2 ) 将r = e 2 ，s = m 2 e 2 代入( 3 3 ) 得： 一场( 七，( m 2 + 1 ) e 2 ) = 奶( 七，m 2 8 2 ) ( 丘l + 0 1 ) + j 屿一l ( 詹，m 2 e 2 ) 一( 女，e 2 ) k 2 + a 2 + l + 警( b + 2 j t ) 1 ( 31 3 ) 下面我们分k 0 和1 两种情况讨论从d e r a 2 到d e r a 2 一模p ( 口，6 ) 导子的 结构， 贯穿全篇，我们假定”。：”。：0 第一节当kob , - i 从d e r a 。到d e r a 。模f a ( 妒，6 ) 导子的结构 引理3 1 1 当k = 一qb 2 ，b 一2 ，6 0 时，d i m d e r ( d e r a 2 ，f 。( v 6 ) ) 一。l 证明：由( 3 4 ) ，( 3 ，5 ) ，( 3 6 ) 得 一m l 渤忙，m ) ；渤( 量n j ? 2 ) 争6f o ( 小、 z i e i ) m 1 m 2 妒0 ( 女，m ) = ￥( 女m 2 比) m 。一t o ( k m l e i ) ! 擎6 v o ( k ，m 2 e 2 ) = m 2 9 0 ( k ，8 】) = d 1 2 。b ( 。2 ) # o ( ，r r t l e i ) = m 1 o ( 女，e 1 ) = m n b ( 8 2 ) 由( 3 9 ) 得 咖( k ，m l e l ) = 怕( 女，e 1 ) i l + 2 乒6 】 再令m = 0 代入上式得，妒o ( 女，e 1 ) = 0 ，即咖( k ，m ，e 。) ：0 由( 3 7 ) 得 m 1 讥( 女，m ) 一m 卿o ( k ，m ) = 咖( 女，m l e l ) m 1 一妒o ( 女，“2 e 2 ) m 2 又将m l = 1 ，t n 2 0 代入( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) ，( 3 m s ) 有 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) f 3 ，1 6 1 笙三主坠里竺坚! 型旦呈兰! ：蕉兰：! 坠! ! 塑墨一7 9 o ( ，e 1 + m 2 e 2 ) = o ( 女，m 2 e 2 ) 一；o ( 女，e 1 ) ， 协( k ，e 1 + m 2 e 2 ) = i 、o ( 叠计1 2 e ! ) 一) ( ，e 1 ) ， 阜协( 膏，e 1 + m 2 e 2 ) 一n t 2 妒o ( 舟e l + p _ 2 2 e 2 ) = o ( 七，e 1 ) 一p o ( 舟，m 2 e 2 ) m 2 所以当m 2 0 有铀( 忱印) = 志1 。( ，e 1 ) = 0 于是： d i m d e r ( d e r a 2 ，f “( 妒，b ) ) 一。s1 口 弓l 理3 12 当= 一q ，6 = 一2 时，d i m d e r ( d e r a 2 f 。( _ ，6 ) ) 一n 曼1 证明：由证明引理3 11 过程知 q ( ，m 2 e 2 ) ；m 2 ；o ( k ，e 1 ) = m 2 缅( k ，e 2 ) ， 妒o ( ，m l e l ) = m lc z o ( k ，e 1 ) = m 1 妒o ( k ，旬) ， 妒o ( ，m l q ) = 0 由( 3 1 3 ) 可得 m 2 妒o ( k ，( m 2 + 1 ) e 2 ) = ( m 2 一1 ) 妒o ( ，m 2 e 2 ) ， 即m 2 1 ，啪( k ，m 2 e 2 ) = o 令r ：e l 一s = e 2 ，j = 0 代入( 3 1 ) 得 一妒o ( ，8 1 ) = 一妒o ( ，e 2 ) 一妒o ( 女，e l 一8 2 ) 令m 1 ：1 ，m 2 1j = 0 代入( 34 ) 得 一o ( e l 一8 2 ) = 一铲o ( 女，e 1 ) 即妒o ( ，e 2 ) = 0 所以d i m d e r ( d e r a _ , f “( l 6 ) ) 一n 曼1 u 引理3 1 3 当k = 一q ，b = 2 时，d i m d e r ( d e r a 2 f 。( 。- b ) ) 一。1 证明：由证明引理3 1 ，1 过程知， p o ( ，m l e l ) = p a lo b ( 8 2 ) 妒o ( ，“2 e 2 ) = m 弹o ( k ，8 1 ) = m 2 妒o ( k ，8 。) ， 咖( 女，m l e l ) = 妒0 e 1 ) 【1 + ! ! 产嘶， 妒o ( 女，0 ) = 0 ， 当m 2 0 时，啪( 女，m 2 e 2 ) = 击咖( 女，刚 而由( 3 1 3 ) 可知铷( ，m 2 e 2 ) ：m 2 伽( ，e 2 ) 故妒o ( ，e 2 ) = 妒o ( ，e 1 ) _ o 第三章从d e r a 2 到d e r a 2 一模p 6 ) 的导子8 综上可知d i m d e r ( d c r a 2 ，f 。6 ) ) 曼1 引理3 1d 当k = 一o ，b = 0 时，d i m d e r ( d e r a 2 f “( 矾b ) ) 一。= 3 证明：由( 34 ) ，( 3 5 ) ( 37 ) 得 m lc 2 0 ( k ，m ) = 妒o ( 女，m l e l ) m 1 ， m 2 9 1 0 ( k ，m ) = g , o ( k ，m 2 e 2 ) r r t 2 ， m l ￥旬( 七，m ) 一”2 2 铲o ( 七，r n ) = w o ( 厅1 1 1 i e l ) m 1 一妒o ( 七，m 2 e 2 ) m 2 由( 3 ，8 ) 、( 3 9 ) ，( 3 i t ) ，( 3 1 3 ) 得 ( 1 一m 1 ) 妒o ( 七( m 1 + 1 ) e 1 ) = o ( 骨，e 1 ) 一o ( 七，y l i e i ) m 1 ， 如( 女，( m 1 + 1 ) e 1 ) = “，o ( e 1 ) ， ( 1 一竹k ) 妒o ( 鼻( 1 2 + i ) e 2 ) = v o ( k ，e 2 ) 一b ( 七，m a e 2 ) m 2 ， o ( 女， 1 2 e 2 ) = 妒o ( ，e 2 ) 又由( 1 一m 1 ) 妒o ( 七，( m 1 + 1 ) e 1 ) = 轳o ( 七，e 1 ) 一铲o ( 七，m l e l ) 盯1 1 得 2 ( m l 1 ) 妒o ( 女，m 1e 1 ) = ( 1 1 1 ) v o ( k ，( 1 1 1 ) e 1 ) + 妒o ( 女，( m l + 1 ) e t ) 令r = 2 e 1 ，8 = 一e 1 代入( 3 1 ) 得 也就是说( 女m - e 1 ) = 令r = e l + e 2 ，s 5 妒o ( ，2 e 1 ) = 【3 妒o ( ，e 1 ) 一妒o ( ，一e 1 ) j ， 妒o ( e 1 ) + ( m t 一1 ) 妒o ( 女，e 1 ) 一妒o ( 女，0 ) 一e 2 , j = 0 代入( 3 2 ) 可得 一2 妒o ( k ，6 1 ) = 一妒o ( 女一8 2 ) 一( ) ( 女，e 2 ) 类似可得怕( ，m 2 e 2 ) = 妒o ( ，e 2 ) + ( 1 7 1 2 一1 ) 【l o ( e 2 )州o ) 】 令m l = 1 ，m 2 = 1 代入( 3 1 7 ) 得 t ，o ( ，e 2 ) 一t , o ( k 一。2 ) = 4 0 e 1 ) 一f o ( 女一e 1 ) 所以 v o ( k , m 2 e 2 ) = g , o ( k e 2 ) + ( m 2 一1 ) 【# o ( e 1 ) 一o ( e 2 ) j ( 七m l e l ) = o ( 爵e 1 ) + ( m 1 1 ) f # o ( 奇，e 1 ) o ( 七e 2 ) 口 【3 1 7 ) 世i 摩巴黾说妒0 ( 女，m ) ，妒o ( ，m ) 。可由妒o ( 女，e 2 ) ，o ( 女，e 2 ) ，妒o ( 女，e 1 ) 生成 于是d i m d e r ( d e r a 2 ，f “( ，6 ) ) 一。兰3 ， d l 。( d 1 ( r ) ) = r l v o ( r 一理) ，d ! 。( d 2 寸) ) = ( r 2 一1 ) o p q ) ， d 苎。( d 1 ( r ) ) = ( 1 一r 1 ) o ( r n ) ，d 兰。( d 2 ( r ) ) = ( 1 一r 2 ) v o ( r n ) ， d 曼。( d 1 ( r ) ) = 0 ，d 三。( d 2 ( r ) ) = ( r o ) 容易证明班。，d ! 。，d ! 。是线性无关的，所以d i m d e r ( d e r a ，f 。( 妒，6 ) ) 一。= 3 口 第三章从d e l a 2 到d e r a 2 + 模f “( 讥6 ) 的导子 s i 理315 当k 一。时，d i m d e r ( d e r a 2 ，f “( t _ l 6 ) ) 一。1 证明：由( 34 ) ，( 3 5 ) ( 39 ) 得 m l p o ( k ”z ) = # o ( 膏，r n 2 e 2 ) ( k 1 + d 1 + 孚6 ) 一u ( 膏m l e l ) ( k 2 + m l + 0 1 ) ， ( 31 8 ) “2 妒o ( 女，m ) = ，o ( m 2 e 2 ) ( k 2 + m 2 + 0 2 ) 一0 0 ( k ， 2 1 8 1 ) ( 2 + a 2 + 警6 ) ，( 3 1 9 ) 妒o ( 七，m 2 e 2 ) ( k l + 0 1 + 等b ) = o ( 七，m 1e 1 ) ( 也+ 0 2 + 号2 6 ) ( 3 2 0 ) 下面分成三种情形讨论： 情形1 ：女1 一n 1 ，0 2 一q 2 此时存在n 1 z ，n 2 z 使k 1 + n 1 + 等b 0 ，k 2 + n 2 + 等6 0 ，由( 32 0 ) 得 讥( ，7 7 , 2 e 2 ) = 妒。( n l e l ) k 2 + 佃a + + m 洲2 b 2 2 o ( ，m l e l ) = 咖( 女，n 2 e 2 ) 等等箦 将m 1 = 0 代入( 3 1 8 ) ，m 2 = 0 代入( 3 1 9 ) 可得 妒o ( 七，m 2 e 2 ) ( k 1 + 0 1 ) = 伽( 七，o ) ( 七1 + n 1 ) ， 犁b ( 七， i i l i e l ) ( 七2 + n 2 ) = ，o ( 七，o ) ( 七2 + n 2 ) 所以妒o ( ，m ) ，咖( ，m ) 可由( 】( 女，e 1 ) 生成，即d i m d e r ( d e r a 2 ，f n ( 妒，6 ) ) 女s1 。l ； 形2 ：女1 = n l ，女2 一d 2 子情形2 1 ：b = 0 此时由( 3 2 0 ) 得 9 0 ( 7 1 1 1e 1 ) = 0 又由( 39 ) ，( 3 1 3 ) 得 掣均( 七，( m 1 + 1 ) e t ) = ( 七，e 1 ) 一o ( 七，仃 1e 1 ) ( 盎2 + 0 2 ) ， f o ( 女，( m 2 + 1 ) e 2 ) = 渤( 8 2 ) ( 2 + 1 + a 2 ) 令r = e l + e 2 、s = 一e 1 j = 0 i l k ( 3 1 ) 得： ( 32 1 ) f 32 2 1 2 f o ( k e 2 ) = 一# o ( 膏一1 ) 一f o ( 膏8 1 ) = 0 ， 由( 3 。2 2 ) 得协( ，m 。e 2 ) = 0 将m l = 1 代入( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 7 ) 得 ，0 ( 惫，m 2 e 2 ) ( 2 + a 2 + m 2 ) = ( k 2 十口2 + m 2 ) 矽o ( 奄，e 1 ) 令m 2 = 一也一a 2 ，m 1 = 0 代入( 3 5 ) 得 ，o ( ，( 一七2 一。2 ) e 2 ) = 妒o ( 奄，o ) 所以讥( ，m ) ，p o ( 女，m ) 可由妒o ( ，e 1 ) 线陛生成，即d i m d e r ( d e r a 2 ，f “( 妒，6 ) ) ks1 子情形2 2 ib 0 此时由( 3 ，2 0 ) 得 咖( 女，m 2 e 2 ) = 妒o ( 自，e 1 ) 些止毪2 ! 业， 9 茎三主竺旦竺：生型里! 生：垄! ：坠塑箜墨 1 0 妒o ( 七，n q e l ) = 蕊孝兰而u o ( k n 2 e 2 ) - ( n 2ez ，2 k 2 + 2 。2 + n 2 6 o ) 又由( 3 9 ) 得 g o ( k ，( m l + i ) e 1 ) = l ( 七e 1 ) ( 1 + 等6 ) 一( ) ( 七，m l e l ) ( k 2 + n 2 ) 即札m ，e 。) 可由v ，o ( ，n ：e ：) 线陆生成， 由( 31 2 ) ，( 31 3 ) 得f o ( ，m 2 e 2 ) = 0 所以( ，m ) ，妒o ( 女，m ) 可由咖( ，n 卿) 线性 生成，即d i m d e r ( d e r a 2 ，f 。( b ) ) 1 l 青形3 ：k 1 一n 1 2 = 一a 2 类似于情形2 可证明d i m d e r ( d e r a 2 f 。( v ，b ) ) k 1 第二节1 时从d e r a 。到d e r a 。模f n ( 4 ，6 ) 导子的结构 弓l 理3 2 1 当k = 一q 时，d i m d e r ( d e r a 2 ，f 。( 妒，6 ) ) 一。t + 1 证明：由( 3 6 ) 得 幽( k ，d 2 2 e 2 ) 等( t + b 一2 j ) = 妒，( e ，t y $ 1 8 1 ) 警( b + 2 j 一) - 下面分5 种清形讨论： 情形l ：不存在0 曼j 兰t 使t 一巧+ b = 0 且b + 2 j t = 0 此时， 奶( 女，m 2 e 2 ) = “t + b 2 - 2 j2 妒，( ，e ) ，助( ，m l e l ) = ； 2 舞m 奶( ，e 2 ) 由( 3 1 0 ) 可得： p j ( ”2 8 2 ) = “2 j ( 女8 2 ) 0 j t - 1 令r ：帅e ls = e l 代入( 3 2 ) 可得： l t ，+ l ( e 1 ) m l ( f j ) = ( 一j ) l 0 + l ( t i t l e l ) 即l o ( n n e l ) = m l 。o ( 女e 1 ) i 曼js t 由( 3 9 ) 得： 奶( 盎，( m 1 + 1 ) e lj = ( 七，e 1 ) 【1 + 等( t + 6 2 j ) 一铲j + 1 ，m i e l ) ( t j ) - 将，= 0 代入( 3 3 6 ) 有： 讥( ，( m 1 + 1 ) e 1 ) = 叫o ( ，e 1 ) 【1 + 警0 十6 ) 】一铲l ( 女，m l e i ) t 又令m 。= 一l 代入匕式得： 0 = 咖( 女，0 ) = 妒o ( ，e 1 ) 1 一 04 - 6 ) 】一妒1 ( ，一e 1 ) ， 故讥( 女，m l e l ) = 鼍笔掣妒- ( ，e 。) 口 ( 3 3 3 ) ( 33 4 1 f 3 3 5 ) ( 33 6 ) 第三主坠里竺垒! 型里! 垡! ：壅! ：皿堕塑墨! n ，_ _ - h - 一_ _ - _ h _ _ - _ 一 当11 ，曼t 一1 时，用舶= 1 代入( 33 6 ) 有 2 t j k ，e 1 ) = j ( e 1 ) t l + ( t + b 一2 j ) 】一j + 1 ( 女，e 1 ) ( f 一，) ， 即j + 1 ( 日，e 1 ) = 杀j o ( k ，e 1 ) 【 ( t + b 一2 j ) 一1 】， 又由( 3 3 7 ) ( 3 3 5 ) 得： o o ( ，”l le 1 ) = ；糕j + 1 ( e 1 ) 1 j t 一1 由( 3 1 2 ) 得： 一m 2 ，( ( m 2 + 1 ) e 2 ) = j m 2 _ 9 一l ( k e 2 ) 一j ( 七，m 2 e 2 ) 【”z 2 + ( 6 + 2 一f ) 当1s j 墨t 一1 时，将m 2 = 1 代入( 33 s ) 有： 妒j ( 女，2 ) 【( b + 2 ，一) 一1 】= j g , j l ( k ，e 2 ) ， 即1 j t 一1 时有；妒j ( 女，m 2 e 2 ) = i 毒j ! 警j v o 一1 ( ，e 2 ) 将j = t 代入( 3 1 3 ) 得： 妒( 七( m 2 + 1 ) e 2 ) = 一t 掣t 一1 ( 膏，m 2 e 2 ) + 妒t ( k ，e 2 ) 1 + 警( 6 + ) ， 又用m 2 = 一1 代入( 3 a s ) 得： 妒( 砖o ) = 0 = 一f 讪一l ( 后，一e 2 ) + 妒t ( 七，e 2 ) 1 一；p + t ) ， 所以帆( 女，t r l 2 e 2 ) = 筘氅 ( 女，幻) 子情形1 1 ：b t 2 此时由( 33 5 ) ，( 3 3 6 ) 有： ，( 女，m l e l ) = 0 又由( 33 8 ) ，( 3 3 4 ) 得：o ( * e 2 ) = o 所以( * ，m ) 。( m ) 可由t ( 女e 2 ) 功( e 2 ) 咖( e z ) 线性生成，即 d i m d e r ( d e r a 2 f o ( l 6 ) ) 一o l t + 1 故令：d j _ 。( d 1 ( r ) ) = d 1 ( r ) ( 一n ) ，d 。( d 2 ( ，) = d 2 ( r ) 叶( 一n ) 0s j f 子情形1 2 ：b k2 此时由上面讨论知只需求。，t ( ，m l e l ) 、o ( 一r r t 2 e 2 ) 将m 1 = 1 ，m 2 又由( 3 3 5 ) 得： 由m l = 1 ，m 2 = 1 又由( 3 3 4 ) 得： l ，= t 代入( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 3 7 ) 得； g , t ( k ，e 1 ) = 搿轨一1 ( ，e 2 ) ， 讥( 女，m ，e ，) = 旦竿笋仇一l ( 女，e 2 ) j = 0 代入( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 3 7 ) 得： 妒o ( 自，e 2 ) = 一番j 妒l ( ，e 2 ) 妒。( 女， 1 2 8 ) = 一 m 充t 中1 ( ，e 2 ) - ( 3 3 7 1 f 33 8 1 ( 3 3 9 ) ( 34 0 1 第三章从d e r a 2 到d e l a 2 一模f n ( 妒，6 ) 的导子 所以d i m d e r ( d e r a 2 f “( n6 ) ) 一o t t + 1 情形2 ：6 ：0 子情形2 1 ：t 为奇数，此时由( 3 3 3 ) 知； 奶( ，“2 8 2 ) = 一m 2 奶( k ，e 1 ) 。 向( 女，】8 1 ) = 一m l 奶( 女，e 2 ) 由( 34 1 ) 知n ( 女，0 ) = 0 ，所以用7 2 1 = 1 ，j = 0 代入( 3 3 6 ) 得： v o ( ke 1 ) ( 1 一；t ) = 学1 ( ，一e 1 ) t 故由( 3 3 6 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) 知 o ( 女，m l e l ) 可由v ，l ( 女，e 2 ) 线性生成 将m 1 = 一1 代入( 3 3 6 ) 得t 奶( 女e t ) = 笔墨协+ ( ，e t ) ， 所以由( 33 5 ) ，( 34 4 ) 知，当1 j t 时，蚂( 女，m - e 1 ) 可由”+ 。( 女，e 2 ) 线性生成 又由( 3 4 2 ) 知t p j ( 女o ) = 0 ，所以m 2 = 一1 代入( 3 3 8 ) 得： 轳j ( ，e 2 ) ( 1 一j + ；) = 奶1 ( k ，e 2 b ， 故由( 33 4 ) ，( 33 s ) ，( 3 4 5 ) 知协( ，m 抛) 可由奶一，似e 2 ) 线性生成 所以d i m d e r ( d e r a 2 ，f “( 妒，b ) ) 一。st + 1 子情形2 2 ：t 为偶数，此时由( 3 3 3 ) 知，当j 1 2 有： 蜴( ，m 2 e 2 ) = 一m 2 锄( k ，e 1 ) ， 功( ，m l e l ) = 一m l 奶( ，e 2 ) 令，1 _ i 则将m l r0 代入( 3 3 5 ) 得；如。( ，o