（基础数学专业论文）二阶非线性中立型时标动态方程非振动解的存在性.pdf

论文题目二阶非线性中立型时标动态方程非振动解的存在性 专业基础数学 硕士生高瑾 指导教师王其如教授 摘要 本文主要利用k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理，给出了二阶非线性中立型时标 动态方程 【，( f ) ( x ( f ) + p ( f ) x ( g ( f ) ) ) 】a + 厂( f ，x ( 办o ) ) ) = 0 ，t 刃 的非振动解的存在性的充要条件；以及二阶非线性中立型时标动态方程 r ( t x x ( t ) + p ( t ) x ( t - r ) ) 】+ q o m 一q ) ) = o ，f 矿 的非振动解的存在性条件。 本文主要分为以下三章： 第一章为综述，简单介绍了微分方程与差分方程理论和时标理论的预备知识，介绍 了我们要研究的方程及现有的一些主要结果，最后介绍本文的主要工作 第二章利用k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理给出二阶非线性中立型时标动态方程 p ( f ) ( x ( f ) + p o ) x ( g o ) ) ) 】a + 厂( f ，x ( 办( f ) ) ) = o ，f 刃 的非振动解的存在性的充要条件，是对一阶非线性中立型时标动态方程的非振动解的存 在性的充要条件的推广 第三章利用k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理给出一类形式更为广泛的二阶非线性中立型时 标动态方程 p ( 碳雄) + p 一力) a 】+ q o ) z ( ，一q ) ) = 0 ，f 矿 的非振动解的存在性条件，是将微分方程的结果推广到时标动态方程上 关键词：二阶非线性时标动态方程；非振动解；存在性；中立型；k r a s n o s e is k ii s 不动点定理 2 t i t l ee x i s t e n c eo f n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n st os e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld y n a m i c e q u a t i o n so nt i m es c a l e s m a j o r p u r em a t h e m a t i c s n a m ej i n g a o s u p e r v i s o r p r o f e s s o rq i mw a n g a b s 瞰c t b yu s i n gk r a s n o s c l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ee s t a b l i s hn e c e s s a r ya n d o rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n st os e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld y n a m i ce q u a t i o n so nt i m e s c a l e s 【，( ，) ( x ( f ) + p ( f ) x ( g o ) ) ) 】a + 厂( f ，x ( 办( f ) ) ) = o ，f t 册 r ( t ) ( x ( t ) + g o x ( t 一砌】a + 乏：q o ) 听o ( ，一q ) ) = 0 f 扩 t h et h e s i sm a i n l yc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h et h e o r i e so f d i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，s o m e p r e l i m i n a r yt h e o r yo nt i m es c a l e s ，t h ee q u a t i o n sw es t u d ya n ds o m er e l a t e dr e s u l t s f i n a l l y ，w eo u t l i n et h e m a i nr e s u l t si nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gk r a s n o s e l s l d i sf i x e dp o i n tt h e o r e m , w ee s t a b l i s hn e c e s s a r ya n d o rs u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i u a t o r ys o l u t i o n st os e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld y n a m i c e q u a t i o n so nt i m es c a l e s p ( f ) ( x o ) + p ( f ) x ( g ( f ) ) ) a 】a + 厂( f ，x ( 办( f ) ) ) = o ，f t t h eo b t a i n e dr e s u l t se x t e n dt h o s eo ff i r s t - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gk r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ee s t a b l i s hs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i g e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n st om o r eg e n e r a ls o c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld y n a m i ce q u a t i o n so n t i m es c a l e s r ( t x x ( t ) + p ( t ) x ( t - r ) ) 】+ q ( ，m o ( ，一q ) ) = 0 ，矿 i = 1 t h eo b t a i n e dr e s u l t se x t e n dt h o s eo fs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ： s e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ；n o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n s ； e x i s t e n c e ；n e u t r a l ；k r a s n o s e l s l d i sf i x e dp o i n tt h e o r e m 4 原创性芦明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：高瑾素藏 日期：2 0 0 9 年4 月2 5 日 第1 章综述 1 1 引言 微分方程振动性问题是一个十分经典且古老的问题由s t u r m 建立的齐次二 阶线性微分方程解的零点分布的比较理论和分离理论为微分方程振动理论的研 究奠定了基础此后的一百多年来，微分方程振动理论有了很大的发展它不仅 在无线电技术、自动控制、及卫星通讯等尖端领域中有重要的应用，而且在生物、 化学、现代物理以及经济等领域也已成为不可缺少的数学工具随着微分方程应 用的不断扩大和深入，新理论生长点不断涌现，它的发展至今依然充满生机和活 力 差分方程的理论研究的历史相对来说较短，大量的研究开始于1 9 世纪9 0 年代 初，近十多年发展较为迅猛，出现了大批的研究成果，很多微分方程振动性的经 典结果都被推广到差分方程，从而很多振动性经典的结果在微分方程和差分方程 中重复出现时滞差分方程的振动性研究始于1 9 5 5 年，它与中立型微分方程密切 相关，所以引起了国内、外数学工作者的广泛关注 随着科学技术的迅速发展，中立型微分方程和差分方程已经广泛地出现在 许多科学领域，如生态学、生物学、经济学、人口学、物理学以及控制论等学科 中它客观准确地描述了各类动态系统的过程由于应用的广泛性及它本身涉及 的大量数学问题，国内外许多数学学者对中立型微分和差分方程进行了大量的深 入的研究自二十世纪七十年代以来，中立型微分方程和差分方程的振动性、非 振动性以及渐近性理论受到了人们的普遍关注，参见文献 2 ，5 ，7 ，8 ，1 0 ，1 3 等 8 1 9 9 8 年，k u l e n o v i c 和h a d z i o m e r s p a h i c 8 】研究t - 阶线性中立型微分方程 ( x ( t ) + c x ( t f ) ) n + g ( f ) x ( f q ) 一q ( f ) x ( f 一吒) = 0 ，f t o 的非振动解的存在性问题。 2 0 0 7 年，z h o u 【1 3 研究了下列微分方程的非振动解的存在性问题： p ( r ) o + p ) x p 一砌i 】+ 豳( t ) f ( x ( t - q ) ) = o , t - t o 我们知道微分方程中的很多结果能很容易对应到差分方程中，从而很多振动 性经典的结果在微分方程和差分方程中重复出现，见 2 另一方面微分和差分 之所以是两个理论体系，是因为它们中的大部分结论是有差别的，讨论的方法也 不尽相同，比如差分方程中的l o g i s t i c 模型就和微分方程中对应的模型在性质上 有很大的差别 1 2 因此剖析这两个理论之间的关系一直以来都是很多数学家的 焦点，近来引人瞩目的时标理论，就是应此而生的 2 0 0 7 年，z h u 和w a n g 【1 5 】给出了时标上的a r z e l a - a s c o l i 定理，并利用 k r a n o s e l s k i i 不动点定理建立了一阶中立型泛函动态方程 【x ( f ) + p ( f ) x ( g ( f ) ) 】+ 厂( f ，x ( 办( f ) ) ) = 0 ，t 矿 存在非振动解的若干充分必要性准则。 1 2 时标理论的预备知识 时标理论，最初s t e f a nh i l g e r 在他的博士毕业论文中提出，其目的是为了 统一离散与连续这两种情形，为同时处理连续系统和离散系统提出了基本的方 法，以便更好的理解微分方程与差分方程之间的差别同时也有助于在研究微分方 程和差分方程时避免出现重复性的结果，为了用一种统一的方式描述时标这种理 论，a u l b a c h 和h i l g e r 9 首先对必要的函数演算在时标上进行了推广后来，其 9 他人如k a y m a k c a l a n 等研究了时标上动力方程的基本理论和定性性质这些结论 和研究方法为更深入的研究方程解的性态提供了重要的工具 时标动态方程具有重要的理论意义和广泛的应用背景自然界中有一些过 程有时依赖于连续变量，有时依赖于离散变量，用时间测度上的动力方程可以恰 当地给出这些现象的数学模型，如生物系统的昆虫种群模型、证券交易、作物收 成和有机体的燃烧等领域，美国学者就曾经用这种工具弥合了西尼罗河病毒传播 的离散方面和连续方面之间的空隙现在，这种数学工具还已经用来改进了股票 市场的计算模式在将来，相信时标动态方程将会有更加广泛的应用前景 现在我们给出一些关于时标的预备知识，一个时标t 是指实数集r 的一个任 意非空闭子集，它具有由r 诱导的拓扑及顺序关系，本节的内容主要参考专著 3 定义1 1 设，t ，定义前跳算子和后跳算子分别为 盯( f ) = i n f s t ，s f ) 烈，) = s u p s t ，j t 上一点f 称为右稠密点，如果盯( ，) = ，；称，为右发散点，如果盯( f ) ，； 称r 为左稠密点，如果p ( ，) = f ；称，为左发散点，如果反f ) 0 ，存在，的一个小邻 域uct ，使得 l 厂( 仃( ，) ) 一厂( s ) 一厂 仃( ，) 一s l 占i 盯( ，) 一s i v s u 则称f a ( ，) 是函数在t c t 处的a 导数，此时称在，点可微 定理1 3 设函数f ：t 专r ，t 毒， ( 1 ) 如果函数厂在t 点可微，那么厂在t 点是连续的； 1 0 ( 2 ) 如果厂在，点是连续的，且，为右发散点，那么f 在t 点是可微的，且 厂a ( r ) ：坐蚴二型； a ( t ) ( 3 ) 如果f 是右稠密的，那么在，点是可微的，当且仅当极限l i m g 幽 ( 4 ) 如果函数在，点是可微的，则 厂( 仃( ，) ) = ( ，) + ( f ) 厂a ( ，) ； ( 5 ) 如果f a ( f ) 0 ，则f ( t ) 是非递减的 定理1 4 设函数f ，g ：t r ，在，t 上可微， ( 1 ) + g ：t r 在，点也是可微的，且( 厂+ g ) a ( ，) = 厂( ，) + g a o ) ； ( 2 ) 对任意常数口，口厂：t r 在，点也是可微的，且( 口厂) a ( ，) = 口厂a ( f ) ( 3 ) f g ：t 哼r 在f 点也是可微的，且 ( 店) a ( ，) = a ( ，) g ( ，) + ( 盯( f ) ) g a ( ，) = 厂a o ) g ( 仃( r ) ) + 厂( ，) g a o ) ( 4 ) 如果g ( 盯( ，) ) g ( ，) o ，则考：t 专r 在r 点也是可微的，且 ， f ，1 一厂a ( t ) g ( t ) - f ( t ) g a ( r ) t t - jg ( 仃( f ) ) g o ) 定3 ( 1 5 设f ：t 专r ，f ：t 专r ，对于所有的，t ，都有f a ( f ) = ( f ) ， 则称f ( t ) 是f ( t ) 的一个原函数，f ( t ) 从口到6 到c a u c h y 积分定义为： if ( t ) a t = f ( b ) - f ( a ) 如果s u p t = a o ， a , b t 且! i mf 6 厂( ，) ，存在，定义广义积分如下 警 时 心 衄 厂 ，d i f ( t ) a t = i i l nif ( t ) a t 口b - - q o 口 定义1 6 设函数厂：t 专r ，如果在t 的右稠点连续，左稠点的左极限存 在，则称厂是右稠连续的把所有右稠连续的函数组成集合，记为 = 巳( t ) = 巳( t ，r ) 定理1 7 右稠连续函数都存在原函数 定理1 8 ( 链式法则) 设厂：r 专r 是连续函数，g ：t r 是可微的，那 么复合函数厂。g ：t 专r 是可微的，且 ( f o g ) a = ：厂( g ( f ) + 础o ) g a ( ，) ) 砌陋，) 1 3 本文的工作 本文主要研究二阶非线性中立型时标动态方程的非振动解的存在性条件问 题。 受z h u 和w a n g 【1 5 】的启发，本文的第二章主要是利用k r a s n o s c l s k i i s 不动点 定理【5 】，给出了二阶非线性中立型时标动态方程 【，( f ) ( x ( f ) + p o ) x ( g ( f ) ) ) 】+ ( f ，厅( f ) ) ) = o ，t 矿 ( 1 ) 存在非振动解的若干充分必要性准则。 本文的第三章将在文【1 5 】的基础上，利用k r a n o s e l s l d i 不动点定理把文【1 3 】的 结果推广到二阶非线性中立型时标动态方程 【，( f ) ( x ( f ) + p o ) x o f ) ) 】+ q ( f ) z ( x o q ) ) = o ，t 矿( 2 ) 一直以来，人们更多的关注时标动态方程的振动性问题，而由于非振动解的 存在性问题难度稍大，所以在这方面没有太多的文章。 1 2 第2 章二阶非线性中立型时标动态方程非振动解的存在性的充要条件 本章将给出方程 【，( f ) ( z ( f ) + p ( f ) x ( g ( f ) ) ) 】+ 厂o ，x ( 办( f ) ) ) = 0 ，t t ( 1 ) 的非振动解的存在性的充要条件 在本章，我们总假设下列条件成立：t 为一时标，i n f t = t o , s u p t = 0 0 ， 假诜( a 1 m 即腓且了高妖佃； 假设： ) ，q ( z ，( o ，佃) ) ，且i 去厶 0 ，对t t ，凰0 下面只讨论x ( f ) 最终正的情况，若x ( ，) 最终负，则令y ( t ) = 工( f ) 即可。 记z o ) = x ( ，) + p o ) x ( g ( f ” 2 1 基本引理 下面，我们给出第一个引理： 引理2 1 ( k r a s n o s e l s k i i 不动点定理) 设x 是一个b a n a c h 空间，q 为x 的一个有界闭凸子集，s ，s 2 为q 到x 的映照使得s x + 马y q 对每一对x ，y q 。 若s 是收缩映射而且s ：是全连续的，则方程s x + x = x 在q 内有解。 推论2 1 设x 是一个b a n a c h 空间，q 为x 的一个有界闭凸子集，s 为q 到 x 的映照使得s x q 对所有x q ，并且s 是全连续的，则s 在q 中有一个不动 1 4 点。 2 2 主要结论 定理2 1 若x ( f ) 为( 1 ) 的最终正解，则l i m x ( t ) = 口 o ，或者；i m x ( f ) = 0 。 f i 证明：设x ( f ) 为( 1 ) 的最终正解， 因为l i m ( g ( t ) ) _ g1 i m ( 办( f ) ) = o o l1 i mp ( t ) = p o ，f+卜+ 所以j 五t ，ip o 喀p l 0 ，x ( g ( ，) ) 0 ，lp o ) i p i g ：i t 【石，) r 又因为p ( f ) z ( f ) 】 0 。 所以无论哪种情况，z ( f ) 均是单调的。 我们断言最终z ( f ) 0 。否则若l i m z ( t ) 0 ，或者l i m z ( t ) = 哪，则存在 f l t 2 五，使得x ( f ) 一p o ) x ( g ( f ) ) 易x ( g o ) ) ，对f 【乏，o o ) 7 由假设( a 3 ) 我们可取正整数氏，使c 。互，对任意k k o 。 则对任意k k o + 1 ，有 x ( c 七) p l x ( g ( c i ) ) = p l x ( c i 1 ) p 1 2 x ( g ( c 七一1 ) ) = p 1 2 x ( c h ) p i t - t * x ( g ( c + 1 ) ) = p l k - k , x ( c h ) 由以上不等式可知，! i m x ( c 。) = 0 ，所以! i m z 0 。) = 0 鼻啐f 与l i m z ( f ) 0 ，或者l i r a z ( f ) = 硼矛盾。 ff_ 所以最终z ( t ) 0 。 又由 r ( t ) z o ) ，i ( 五) z ( 五) ，t 互 1 气 司得 数邪号铲贮五 上式从五到f 仑五) 积分有 砸心( 班啊) z ( 互) 珐炽佃， z ( f ) 一z ( 互) ，( 互) z ( 互) i ：妥血 0 ，所以! i m z 瓴) = ，得出矛盾，所以工( ，) 有界。 假设1 i m s u p x ( t ) = x ，陋i n f x ( t ) = 五 若0 p o l , b x + p ox ，bs 抖风x ，可得x x 。所以工= 工，当0 p o l ： 若一l 岛 0 ，b x + p o x ，bs 抖风工，可得x x 。所以x = x ，当 - 1 0 使得 辨乒瞅蛾 证明：由积分顺序的交替性可知，( 3 ) 等价于 醋心一 1 6 先证i ! j j 必要住： 设x ( f ) 为( 1 ) 的一个最终正解，满足l a m x ( f ) = a 0 ，则 l ，一i m z ( r ) = ( 1 + p o ) 口，且j 五丁，使得x ( 办( ，) ) 了a ，对f i t , ，) 7 把方程( 1 ) 两边从五到 s ( 五) 积分得， r ( s ) z 4 ( s ) 一r ( 互) z ( 墨) = 一l ：厂( 甜，z ( 办( “) ) ) “， 或 z ( 沪警一丽1 胁砌) ) 甜 上式两边再从互到f ( 互) 积分，得： 印心叫耻弼，砖一，产铲乳 上式两边令t - - o o 得： a i 芦坐幽k s 爿爿 r ( s ) 而由f ( t ，x ) 对x 是非减的，有：( “，詈) 厂( 甜，x ( 办o ) ) ) ，对甜哆，o o ) r ，所以 搿s 驴铲 根据函数，和厂的连续性可知：( 3 ) 成立。 f 证充分性： 分成两种情况证明：o p o 1 和一l p o 0 。 ( 1 ) 0 p o 1 取崩，使风 a 掣 孕， 则因为h ，m p ( f ) = p o ，并且( 4 ) 成立，取瓦丁足够大，使得 孕纠f ) t o ，而( f ) t o ，对f 【z ，) r 令【毛，) r ：= p 刃，- - - t o ，c ( r o ，) r ，r ) 表示所有【瓦，o d ) r 专r 的连续函数 的集合，且b c t o ，o o ) 7 ( x ：x c ( r o ，) r ，r ) 且s u pl x ( f ) i b c r o ，) 7 上定义l i x l l = s u pi x ( t ) l ，则( b c t o ，o o ) 7 ，1 1 1 1 ) 为一个b a n a c h 空 定义b c 瓦，o o ) r 的一个闭凸有界子集q ： q = x = x ( d b c 瓯，) r ：等x ( ，) k ) 又由假设知f ( t ，x ) 对x 是非减的，所以对 v x q ，厂( ，x ( 乃0 ) ) ) f ( t ，k ) ，f 【五，) r 定义算子s ，：q 专b c r o ，) r 如下： ( 湫) ：p 叩o h 悖p ”叫瓦叫” i 翰- p ( t ) x ( g ( t o ) ，t 【瓦，互】7 ， 。最x，：詈k一了孑学甜岛，t五，r， 【( 是x ) ( 互) ，f 【t o ，互】r 下证v i ，y q ，墨x + 最y q 对垤，y q ，【五，o o ) r ，有 1 8 ( s i x ) ( t ) + ( s 2 y ) 【d = 寻k ( + a ) 一p ( d x ( g ( ，) ) 一了了学甜血 扣圳一a k 一半 ( 5 - p o k = 一 8 筹， ( s i x ) ( t ) + ( s 2 y ) ( ，) 4 3 _ r ( 1 + a ) 一p ( ，) x ( g ( ，) ) 一了了学甜厶 扣圳一半k 扣圳一莩筹 ：! z 鱼鲨 8 对，【瓦，五】r ，同理可得。 故v x ，y q ，s , x + s 2 y q ( 2 ) 下证s 为q 上的压缩映射 对v x ，y q ， 当f 五，o o ) 7 有 i ( s l x ) ( t ) 一( s l y ) ( t ) i qp ( ，) 0z ( g ( ，) ) 一y ( g ( ，) ) as u pl 工( ，) 一y ( t ) l ， f q 矗，m ) r 当f 【r o ，五b 有 l ( s l x ) ( t ) 一( 墨y ) o ) i qp ( ，) 0 x ( g ( 互) ) 一j ，( g ( 五) ) i p ls u pi x o ) 一y ( f ) 1 f e 【毛，) r 所以s 为q 上的压缩映射 1 9 ( 3 ) 证最全连续先证最为连续的，设 = x k ( t ) q ，取( r ) 哼x ( f ) ( 七) 因为q 为闭的，所以x = x ( t ) q x t 【五，o o ) r ，有 i ( 最五) ( d 一( 最功( ，) i 赫i m 删妫讹砌) i 甜血 特i m 删咖胁( 办( u ) ) k x u a s 由f ( t ，x ( 办( f ) ) ) 的连续性可知： 当k o o 时 ( f ( u ，坼( 矗( z ，) ) ) 一f ( z ，x ( j i i ( “) ) ) ) 一0 由l e b e s g u e 控制收敛定理得 l i mi i ( 蔓矗) ( ，) 一( s ：x t ) l l = 0 因此岛连续 下证是q 为相对紧的。是q 一致有界显然，下证其等度连续。 由 了静炽叭 对v 占 0 ，取足够大t 2 【五，o o ) r ，使得 ，鬻刮2 h i j x 寸v x q ，1 ，2 “互，) r ，有 i ( x ) ( ) 一( 叉x ) ( 乞) l = l 一了了学甜厶+ 了了学“厶i 了雪警蛤“厶+ 了虿紫蛤甜血 2 孙等脚 对v x 2 ，t 2 【2 i ，2 j + l i t ，有 i ( 叉x ) ( 乞) 一( 是x ) ( ) l 靳等铲岫 勋等岫， 则存在6 0 ，使得0 t 2 - 6 万时l ( s 2 x ) ( t 2 ) 一( 最x ) ( ) i 占 对觇q ，f l ，t 2 【瓦，五】r ，显然有i ( 最x ) ( 乞) 一( 足x ) ( ) i _ 0 0 ， ，* 7 4 ( 1 + 风) 当0 p o l 时结论成立。 t 证- 1 p o o 时： 取p l ，使一风 a 半 1 黜 半， 则因为熙p ( ，) 2 风，并且( 3 ) 成立，取瓦丁足够大，使得 莩鲫铘- 洲槲且i 祭血 瓦，使得g ( t ) 瓦，h ( t ) 瓦，对，【石，) r q = x = x o ，b c t o ，a o ，r ：筹了c r ，k ) ( 愀) ：心阶烈。地( f ) ) 砖瞩p b k 磁一p ( f ) 础( 驯，孙， i j l 工j 【，j + j 2 y j 【r j = 3 4r ( 1 一a ) 一p o ) x ( g ( ，) ) 一了了学”血 扣刊+ 竿争半 k 2 了， ( 墨x ) 【，) + ( s 2 y ) ( t ) = k ( 1 一a ) 一p ( ，) x ( g ( ，) ) 一了了学“血 - 4 k ( 1 一只) 一p ( f ) x ( g ( f ) ) - 4 k ( 1 一p 1 ) + p i k ：堡鱼堕 4 对，【瓦，五】r ，同理可得。 故v x ，y q ，s , x + s y q 以下证明与0 p o 0 当- 1 p o 。，使得p ( ，) e - g ( o t o ，对，【互，) r ， 定义b c t o ，) r 如前，设 q f x ，)7：e-t)_1bcto x ( t 1 ，对f 【五，) r ，r e 一五x ( t ) 三1 ，对f 【兀，互】r q f x ，) 了 ) ：，对f 【五，) r ， 一五 ) ：，对f 【兀，互】r ( ：j - p ( t ) x ( g ( t ) ) - 烨心，r m h 【( ) ( 互) ，【瓦，五】r 对，【五，) r ， ( 汶) o ) = 一p ( ，) x ( g ( ，) ) 一了了! ! ：；：! 考q 蜴甜s 鲫( f ) 删胚一器 ，此处0 为非负整数的集合，考虑如下方 【f 2 + 等啪) ) 】寸+ 篇- 0 ，旧 ( 1 3 ) 则p ( ，) = 等，g ( ，) = p ( 吐乃( ，) = 盯( 吐厂( ，功= 瓦磊，( f ) _ - - t 2 易知道假设( a 1 ) 一 ，均魁且了祭，对垤北 由定理2 2 知道，( 1 3 ) 有一个最终正解x ( f ) ，l i m x ( t ) = a 0 。 第3 章二阶非线性中立型时标动态方程非振动解的存在性的条件 本章将给出方程 【，( f ) ( x o ) + p ( f ) x ( f f ) ) 】+ q ( f ) z ( x 一q ) ) = o ，f 矿( 2 ) 的非振动解的存在性条件 在本章，我们总假设下列条件成立：t 为一时标，i n f 扩= t o , s u p t = 0 0 ，m l 为整数，f o ，q 0 为常数使得对所有f t 且t m a x t ，q ，扛1 ，m ) ， ，一f ，t q t ；，p ，q ( f ，r ) ，o ) 0 ，z c ( r ，r ) ，i = 1 ，m 定理3 1 假设存在非负常数q 和乞，使得c 1 + c 2 - - t o ，c ( 【乇，o o ) r ，r ) 表示所有，o o ) r 专r 的连续函数的集合， 且b c t o ，) r - x ：x e c ( t o ，) r ，r ) 且s u pi 工( f ) l ； f e 【f o ，) r 【r 0 ，t o r - - t t ：t o f 毛) 韬eb c t o ，) r 上定义0 x l j - s u pix ( 01 ，则( b c ，呦，删) 为一个b a i l a c h 空间 f q 岛，) r 定义b c t o ，o o ) 7 的一个闭凸有界子集q ： q = x = x o ，召c c 气，0 0 ，r ：! 二! 三二鱼x o ，- ，) 定义算子s ，：q b c t o ，o o ) r 如下： r qy 、r n 一3 + c 三- 3 c 2 一p ( f ) x ( f f ) ，f r o ，o o ) r ， ( s x ) ( ，) = 1 八v 气吖 w 厅 【( s x ) ( 乃) ，r 【，o ，t o ， ( 洲) ：卜骗( 扣删炉q 舭蚍酬r ， 【( 叉曲( 兀) ， t o ，t o r ( 1 ) 证v 父，y e q ，墨x + 最y q 对坛，y q ，t r o ，o o ) r ，有 ( s x ) ( r ) + ( s 2 y ) ( t ) 半哪m 叫+ 赫和训懒岬脚血 半 骗融邢甜血 等产+ 乞+ 竽乩 【江x j 【u + 【j 2 y ) 【d 半训坤叫一赫和训嘲岬眦血 半叶鞲和雌“血 盐也一c 1 一! 二刍二垒：! 二鱼二生 4。4 2 于是对，o ，均有华( s 功( r ) + 暇y ) ( ，) 1 故坛，y q ，墨x + 最y q ( 2 ) 证s 为q 上的压缩映射对比y q ，t t o ，o o ) r 有 i ( 墨z ) ( ，) 一( s y ) ( ，) l 司p ( ，) | l x ( t - r ) 一少( ，一f ) i c oi l x y i i ，c o = m a x c l , c j ， 2 7 所以i | s i x - s l y i i - - 0 x - y 1 1 又因为0 c o 。，取足够大t 2 吼，o o h 使得了篙喜i q ( “) 陋血 0 ，使得0 t 2 - 6 艿时i ( s 2 x ) ( t 2 ) - ( s 2 x ) ( t 1 ) l l 为整数，f ，q 矾为常数；，p ，q 巳( h n o ，r ) ，r ( t ) 0 ， 彳c ( x ，酞) ，i = 1 ，m 推论3 2 假设存在非负常数c , 和e 2 ，使得q + 乞 1 ，乞p ( t ) q ，且 毒善訾 ，z ，m 则( 1 2 ) 存在有界非振动解。 r 圆戎1 | j 衙越赳例丁术说明今早绡朱削胜用 例：设z = n o ，考虑如下方程： 郇2 ( h m 等雄- 1 ) 】) ) + 研x ( t - d 了= 町0 ， ( 1 4 ) 则p = 等，m _ l ， 一，q = 1 ， ，( ，) _ f 2 ， f l ( x ) = 哟= 丽1 且 j q = j 2 ，乞= 。，使得一乞 q 又因 智篙io ，( 1 ( j t ) ) l a p ( t )， 鸭所以由推论3 1 知方雩 j q = i ，乞= 0 ，使得一乞 q 又因 一一 ，、 o o ，所以由推论 知方程 参考文献 【1 】1 la g a r w a l ，m b o h n e r , d o r e g a t ha p e t e r s o n ，d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m e s c a l e s ：as u r v e y ，j c o m p u t a p p l m a t h 1 4 1 ( 2 0 0 2 ) 1 - 2 6 【2 】r a g a r w a l ，s r g r a c e ，d o r e g a n ，o s c i l l a t i o nt h e o r y f o ，d i f f e r e n c ea n d f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，k l u w e ra c a d e m i c ，d o r d r e c h t , 2 0 0 0 3 】m b o h n e r , a p e t e r s o n ，d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ：a ni n t r o d u c t i o nw i t h a p p l i c a t i o n s ，b i r k h a u s e r , b o s t o n , 2 0 0 1 【4 】m b o h n c r , a p e t e r s o n , e d s ，a d v a n c e si nd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ， b i r k h a u s e r , b o s t o n ，2 0 0 3 【5 】y s c h e r t , e x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n so fn t ho r d e rn e u t r a ld e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，f u n c i a l a je k v a c i o j3 5 ( 1 9 9 2 ) 5 5 7 - 5 7 0 【6 】八d e lm e d i c o ，q k k o n g ，k a m e n e v - t y p ea n di n t e r v a lo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o r s e c o n d - o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nam e a s u l ec h a i n , jm a t h a n a l a p p l 2 9 4 ( 2 0 0 4 ) 6 2 1 - 6 4 3 【7 】s e l a y d i ，a ni n w o d u c t i o n t od i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( 3 t he d ) ，s p r i n g e r , 2 0 0 4 【8 】l h e r b e ，q k k o n g ，b g z h a n g ，o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，m o n o g r a p h sa n dt e x t b o o k si np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，1 9 0 m a r c e ld e k k e r , i n c ，n e wy o r k , 19 9 5 v i i i + 4