（基础数学专业论文）imtl逻辑系统及imtl代数.pdf

i m t l 逻辑系统及i m t l 一代数 马晓王五 摘要模糊逻辑作为非经典数理逻辑的一个重要分支是人工智能与信息科学等 许多领域中推理机制的基础按l a z a d e h 的观点，模糊逻辑有广义与狭义之分， 狭义模糊逻辑是对近似推理形式化所得出的逻辑系统，是多值逻辑系统的扩张而 广义模糊逻辑则是指模糊集理论，它的范围显然要比狭义模糊逻辑要广得多工程 技术界所说的模糊逻辑都是指广义模糊逻辑，但在理论性研究中则讨论狭义的模糊 逻辑本文也与此相一致 多年来，通过众多学者的努力研究，模糊逻辑得到了纵深发展，并伴随出现了一 些新的研究方法，为模糊逻辑的进一步繁荣提供了强而有力的工具如代数方法， 即在研究逻辑系统的同时研究与之相应的代数结构，利用代数的一些研究成果去解 决逻辑中的问题，其中m v 一代数及兄。一代数在证明各自相应逻辑系统完备性问题 上所发挥的作用，就是代数方法运用得比较成功的例子另外，将t 一模引入逻辑 中，形成一类基于t 一模的逻辑系统，也是近年来模糊逻辑研究中常见到的方法 由p h 矗j e k 提出的b l 系统就是一类基于连续扣模的逻辑系统它有三个常见的 扩张，l u k a s i e w i c z ，g s d e l 和p r o d u c t 系统，分别是基于我们所熟悉的三个连续扛 模但事实上，基于亡- 模的逻辑系统所要求t - 模满足的条件，左连续即可，不需要 连续所以最近，f e s t e v a 和l g o d o 又给出了一类基于左连续亡模的逻辑系统 m t l ( m o n o i d a lt - n o r mb a s e dl o g i c ) 而i m t l 是m t l 的一类扩张 本文主要研究的是i m t l 逻辑系统及与之相应的代数结构一1 m t l 代数，还 有i m t l 的两个完备扩张l u k a s i e w i c z 和口逻辑系统中的一些问题全文共分三 部分： 第一部分；这是本文的主体部分先介绍了一些相关的预备知识，接着对i m t l 逻辑系统及i m t l - 代数性质进行研究，给出了i m t l 系统的一种等价公理体系， 证明了i m t l - 代数，弱r 0 一代数及弱m v 一代数的等价性；最后，在前面工作的基 础上。提出了一种新的左连续三角模 p ，证明了( 【o ，1 】，a ，v ， p ，- ，0 ，i ) 是1 m t l 一 代数，对其进行研究分析，并进而得到一种新的代数结构一r 代数，它是i m t l 一 代数的一个扩张由嘞一代数，以i m t l 系统为基础，建立了与之相应的c ，逻辑 系统 第二部分：利用m c n a u g h t o n 函数，研究了l u k a s i e w i c z 逻辑系统中的可达广 义重言式。在l u k a s i e w i c z 逻辑系统中有这样的结论：对于任意有理数a ，可达m 重言式之集非空在此基础上，利用m c n a u 【g h t o n 函数证明了，当o t 为无理数时， 没有可达弘重言式，进而给出了f ( s ) 的一个分划；还证明了在l u k a s i e w i c z 逻辑 系统中，重言式可由对非重言式进行有限次升级运算得到 第三部分：研究了i m t l 的另一个扩张一逻辑系统中的一些问题在 系统中，证明了c + 一l i n d e n b a u m 代数中的m p 滤子都具有如【d ( r ) 】这样的形式， 其中【d ( r ) j = ( i r 卜a ) ；又进一步证明了 卅中格论意义下的极大滤子都是极 大m p 滤子，并给出了刻划极大滤子的一个充分条件 关键词：模糊逻辑；i m t l 逻辑系统； m t l 一代数；广义重言式；m p 滤子 i i i m t l s y s t e m a n di m t l 一出g e b r a m a x i a o j u e a b s t r a c t ：f u z z yl o g i c ，a sa ni m p o r t a n tb r a n c ho f n o n - c l a s s i c a lm a t h e m a t i c a l l o g i c s ，i st h eb a s i so fi n f e r e n c em e c h a n i s m o fm a n yf i e l d s ，s u c ha sa r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e ，a n de t c ，l ，a 。z a d e hd i s t i n g u i s h e df u z z yl o g i c i n t ob r o a d a n dn a r r o ws e n s e s i nn a r r o ws e n s e ，f u z z yl o g i ci st h ee x t e n s i o no fm a z l y - v a l u e d l o g i c ，a n di nb r o a ds e n s e ，f u z z yl o g i ci s t h et h e o r yo ff u z z ys e t s i ne l l g i n e e r i n g f i e l d s ，f u z z yl o g i cm e a n sb r o a do n e ，b u ti nt h e o r e t i c a lf i e l d s ，n a r r o wf u z z yl o g i ci s s t u d i e dg e n e r a l l y a c c o r d i n g l y , t h i sp a p e rs t u d i e sn a r r o wf u z z yl o g i c i nf a c t ，f u z z yl o g i ch a sb e e ns t u d i e db ym a n ys c h o l a r sf o rm a n y y e a r s ，a n dh a s b e e nd e v e l o p e dd e e p l ya n dw i d e l y i nt h ec o u r s eo fs t u d y i n g ，s o m en e wm e t h o d s h a v eb e e nu s e dt oi m p r o v ef u z z yl o g i c t h eo n ei s a l g e b r a i cm e t h o d ，t h a ti s ，t h e f u z z yl o g i ca n di t sr e l a t e da l g e b r as t r u c t u r ew i l lb es t u d i e dt o g e t h e r w ec a l lu s e t h er e s u l t si na l g e b r a i cf i e l d st os o l v et h ep r o b l e m si nf u z z yl o g i c a sam a t t e ro f f a c t ，t h e r ea x et w os u c c e s s f u le x a m p l e s ，m v - a l g e b r aa n dr 0 一a l g e b r a ，w h i c hf u n c t i o n w e l li np r o v i n gt h ec o m p l e t e n e s so ft h er e l a t e df u z z yl o g i cr e s p e c t i v e l y o nt h e o t h e rh a n d ，i nr e c e n ts t u d y , t - n o r mh a sb e e ni n t r o d u c e di nf u z z yl o g i c ，f o r m i n ga k i n do fl o g i cs y s t e m sw h i c hb a s eo nt - n o r m i nf a c t ib li n t r o d u c e db yp h j j e ki s ac o n t i n u o u st - n o r mb a s e dl o g i c w h a t sm o r e r e c e n t l yal e f t c o n t i n u o u st - n o r m b a s e dl o g i c ，m t l ，h a sb e e ni n t r o d u c e db yf e s t e v aa n dl g o d o i m t l s y s t e i ni s a ne x t e n s i o no fm t l 。 t h i s p a p e ra i m sa ts t u d y i n gi m t ls y s t e m ，i m t l a l g e b r a ，i t sr e l a t e da l g e b r a s t r u c t u r e ，a n ds o m eq u e s t i o n si ni t s t w oc o m p l e t es y s t e m s ，l u k a s i e w i c za n d s y s t e m i ti sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，i m t l s y s t e ma n di m t l - a l g e b r aa r es t u d i e d ，a ne q u i v a l e n t i m t la x i o m s y s t e m i sg i v e n ，a n dt h e e q u i v a l e n c e o fi m t l a l g e b r a ，w e a kj b a l g e b r a a n dw e a km v - a l g e b r ai s p r o v e d t h e n ，an e wl e f t c o n t i n u o u st - n o r i n 圆pi sg i v e n a n di ti sp r o v e dt h a t ( o ，1 ， ，v ， p ，_ p ，0 ，1 ) i sa n i m t l a l g e b r a a c c o r d i n gt ot h e a b o v e ，一a l g e b r ai si n t r o d u c e da n dr e l a t e d 岛s y s t e mi sc o n s t r u c t e d ， i nt h es e c o n d c h a p t e r ，t h ea c c e s s i b l eg e n e r a l i z e dt a u t o l o g i e si nl u k a s i e w i c z l o g i c s y s t e ma r es t u d i e db ym e a n so fm c n a u g h t o nf u n c t i o n t h em a i nr e s u l ti st h a tw h e n di sa l li r r a t i o n a l n u m b e r ，t h e s e to fa c c e s s i b l ea t a u t o l o g yi se m p t y c o n s e q u e n t l y a i i i k i n do fp a r t i t i o no nf ( s ) i sg i v e n ，i na d d i t i o n 】t h et h e o r e mt h a ta t a u t o l o g yc m lb e g o tb yu s i n gu p g r a d ea l g o r i t h mt on o n - t a u t o l o g i e s w i t h i nf i n i t et i m e si nl u k a s i e w i c z l o g i cs y s t e mi sa l s op r o v e d i nt h et h i r d c h a p t e r ，i ti sp r o v e dt h a ti n s y s t e m ，m p f i l t e r so fc + 一l i n d e n b a u m a l g e b r aa r ea l li nt h ef o r mo f 【d ( r ) ， d ( r ) 】= 【a 】i i 、卜a ) a l s o ，t h e r ei sap r o o f t h a tam a x i m a lf i l t e ri nt h es e l l s eo fl a t t i c et h e o r yi sam a x i m a lm p f i l t e r w h a t s m o r e ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o na b o u tm a x i m a lf i l t e r si sg i v e ：1 k e yw o r d s ：f u z z yl o g i c ；i m t ls y s t e m ；i m t l - a l g e b r a ；g e n e r a l i z e dt a u t o l o g y ； m pf i l t e r i v 引言 随着人工智能与信息科学研究的不断深入，模糊逻辑的研究已成为其中的一 大热点 i - 4 】模糊逻辑这一术语出现在l a z a d e h 的重要文献 5 】发表之后 1 9 6 7 年，j a g o g u e n 第一次把模糊集与多值逻辑联系在了一起吼这可以看作是模糊 逻辑理论的发端不久，模糊i f - t h e n 规则，c r i 方法，语言变量等新的概念相 继被提出并很快成为了模糊逻辑研究的重要方面 7 - 9 】 l a z a d e h 将模糊逻辑区分为狭义模糊逻辑与广义模糊逻辑【1 0 1 其中，狭义模 糊逻辑是对近似推理形式化所得出的逻辑系统，是多值逻辑系统的扩张，其赋值域 为【0 ，1 ，并且系统中连接词的真值函数使得 0 ，1 成为一个真值代数而广义模糊 逻辑则是指模糊集理论，它的范围显然要比狭义模糊逻辑要广得多在本文中，我 们提到模糊逻辑都指狭义的模糊逻辑 最初，对于模糊逻辑的研究不外是沿用对有限值逻辑系统研究的方法，多把赋 值域延拓到单位区间 0 ，1 】上来考察，其结果也只是对有限值情况的一种简单推广 其间，对于连续值l u k a s i e w i c z 逻辑系统的研究。却取得了一系列丰硕的成果 1 2 - 1 5 1 这当然与这个系统本身的一些优良性质以及应用的广泛性有关。但新的研究方法的 使用，不能不说是起到了很大的促进作用最具代表性的就是m v 一代数的提出【1 2 】， 它是c c c h a n g 于1 9 5 8 年为解决l u k a s i e w i c z 逻辑系统的完备性问题而提出的一 种代数结构，他证明了l u k a s i e w i c z 逻辑系统的完备性可归结为关于m v 一代数的一 种完备性自此，把逻辑系统和与之相对应的代数结构结合起来，利用代数的相关 知识解决逻辑问题已逐渐成为模糊逻辑研究的一个行之有效的方法 随着模糊逻辑研究向纵深发展，又引入了一个强而有力的工具一三角模( 简 称扛模) t 一模是由s c h w e i z e r 和s k l a x 在1 9 5 8 年提出的f 蚓，目的是为了在概率测 度空间准确地描述三角不等式，作为一门独立并逐渐完善的数学分支，三角模本身 的研究已有许多很好的结果( 1 t 】，并且被广泛应用于其它各类数学领域，如博奕论， 模糊集理论。模糊控制，优先模型及模糊逻辑等在基于扣模的逻辑系统中，连接 词“”在【0 ，1 】赋值时对应于一t 一模o ，而“- ”则对应于。的伴随，其中伴随对 ( o ，- + ) 要满足条件：v a ，b ，c 【0 ，1 】，a 圆b c 当且仅当a b - - c 由p h 蠡j e k 提出的b a s i cf u z z yl o g i c ( 简称b l ) i ”】就是一类基于连续t 模的逻 辑系统，与之相应的代数结构b l 一代数，是一个剩余格厶且满足： p r e t i n e a r i t y ：( a - b ) v - - 4a ) = 1 ，v ，b l d i v i s i b i l i t y ：a o ( _ b ) = “a b v a ，b l 其中的d i v i s i b i l i t y 条件保证了t 一模的连续性【常见的连续t 一模有三个；l u k a s i e w - i c z ，g s d e l 和p r o d u c tt - 模针对它们，分别有b l 的三个重要扩张：l u k a s i e w i c z 逻辑系统，g s d e l 逻辑系统和p r o d u c t 逻辑系统但事实上，对于基于扛模的逻 辑系统所要求( o ，_ ) 满足的条件，由t - 模圆是左连续即可保证最近，基于左 连续亡- 模，f e s t e v a 和l g o d o 提出了一种所谓的m o n o i d a lt - n o r mb a s e dl o g i c ( 简称m t l ) 的逻辑系统【并给出了与之相应的代数结构m t l 一代数，它是 满足p r e l i n e a r i t y 的剩余格，但不再满足d i v i s i b i l i t y 常见的左连续t 一模( 连续亡_ 模 除外) 是幂零极小t - 模( 即风亡模) 幂零极小t 一模是由j f o d o r 在文献【1 9 中提 出的，王国俊教授也于1 9 9 7 年独立地提出了修正的k l e e n e 算子( 风蕴涵算子) ，而 与之相伴随的t 一模即为风t 一模两者从不同角度出发，基于不同的应用背景，分 别建立了n m 逻辑系统和逻辑系统 2 0 1 进一步地，文献【2 1 证明了这两种逻 辑系统等价，以后我们统称之为逻辑系统，与之相应的代数结构则称为蜀一代 数关于+ 系统及一代数，王国俊教授及诸多学者做丁大量的工作，并最终经 由风一代数的完备性证明了的标准完备性 1 1 , 2 0 - 3 0 本文主要研究的是m t l 逻辑系统的一类扩张i m t l ，它由m t l 系统增加 一条公理( ，删) 、4 _ a 而得其相应的代数结构一i m t l 一代数，是在m t l 一 代数定义的基础上，满足条件：，、n = a 其中，。= 口- 40 这样，i m t l 一代数 中的，成为由( ，- ) 所诱导的逆序对合对应，而这也完全符合我们平常的逻辑思 维习惯，即否定之否定为肯定，或简称为负负得正另外，被广泛研究的两个完备 系统l u k a s i e w i c z 和都是i m t l 的扩张，只需分别增加一条公理即可得到所 以。i m t l 逻辑系统及i m t l - 代数是值得我们去研究的 全文共分三章第一章是本文的主体部分首先介绍了一些相关的预备知识， 如b l 系统。m t l 系统，并给出了近年来被广泛研究的各逻辑系统之间的关系图， 使它们之间的关系一目了然接着，具体地研究了i m t l 逻辑系统，给出了它的等 价公理系统；对i m t l - 代数做了具体分析，通过风一代数和m v 一代数是它的扩张 这一点，找到了i m t l - 代数的两个等价代数结构，弱凰代数和弱m v 代数，使 得对于i m t l - 代数的性质有了更深刻的认识最后，在前面工作的基础上，提出 了一种新的左连续一模吼，使得( o ，1 】，a ，v ，o ，- p ，0 ，1 ) 成为i m t l 一代数，对其 进行研究分析，并进而得到一种新的代数结构一一砩一代数，它也是i m t l 一代数的 一个扩张由乓一代数，以i m t l 系统为基础，得到了与之相应的，逻辑系统 2 这一系统与口和l u k a s l e w i c z 相似，都是基于一具体左连续t - 模的逻辑系统但 是对于厶系统的进一步研究，如演绎定理，完备性等问题，尚待解决 第二章研究了l u k a s i e w i c z 逻辑系统中广义重言式问题在文献 2 7 】中，王国 俊教授提出了b ( 重亩式) 理论，为准重言式的区分提供了一个有力的工具，体 现了程度化思想文献 3 1 ，3 2 】对l u k a s i e w i c z 逻辑系统中的广义重言式做了深入的 研究，得出对于任意有理数o t ，可达重言式之集非空本章在此基础上，利用 m c n a u g h t o n 函数【1 5 1 证明了，当a 为无理数时，可达重言式不存在，由此，进 一步给出f ( s ) 的一个分划及各类广义重言式问的升级算法 第三章处理的是i m t l 的另一个扩张逻辑系统中的一些问题在文献 f 2 8 中，裴遭武，王国俊为证明p 系统的完备性，引入了m p 滤子的概念，并证 明了一些关于m p 滤子的命题但那些都是针对般凰代数而言的本章主要针 对c - l i n d e n b a u m 代数这一特殊的岛一代数进行研究证明了c 一l i n d e n b a u m 代 数中的m p 滤子都具有【d ( r ) 】形式，其中【d ( r ) 】= 【创1 1 1 卜a ) ，【f 中格论意义 下的极大滤子是极大m p 滤子，并给出了刻画极大滤子的一个充分条件 3 第一章i m t l 逻辑系统及i m t l - 代数 近几年，有一类逻辑系统备受专家学者的关注，这就是基于t 一模的逻辑系统 在这类逻辑系统中，连接词“”在【0 ，1 】上赋值时对应于一t 一模o ，而“- ”则对应 于。的伴随由p h 直j e k 提出的b a s i cf u z z yl o g i c ( 简称b l ) 就是基于连续t 一模的逻 辑系统【l 】，而由f e s t e v a 和l g o d o 于最近提出的m t l 逻辑系统 1 8 】，则是基于左 连续亡 模的逻辑系统在m t l 公理中，加入( ，彻) 、a _ a ，则得到m t l 的扩张 i m t l 逻辑系统本章主要就是要对i m t l 系统及其相应的代数结构一i m t l 代 数进行研究事实上，通过各类系统之间的比较，我们得到了i m t l 系统的等价公 理形式而在对i m t l - 代数的性质进行深入研究的基础上，结合文献 2 1 】，给出了 i m t l - 代数的另外两种等价结构：弱风一代数和弱m v 代数因为两个完备系统 系统和l u k a s i e w i c z 逻辑系统都是i m t l 系统的扩张，而它们分别是基于r ot 一 模和l u k a s i e w i c zt - 模的逻辑系统，于是，我们就想能否再找到一个左连续一模， 使得基于它的逻辑系统也是i m t l 的扩张，并具有一些良好的性质呢? 由此，提出 了一种新的左连续t 一模酃，并证明了( o ，1 ，a ，v ，锦，_ p ，0 ，1 ) 是i m t l - 代数，并 在此基础上，得到了一个新的代数结构一岛一代数，还建立了与之相应的逻辑系 统一c 。系统 1 1 预备知识 定义1 1 1 1 1 1 】设o ：【0 ，1 2 一【0 ，1 】为二元函数，如果当“，b ，c 【o ，l 】时，有 1 ) a ob = b o q 2 ) a o ( b oc ) = ( a ob ) 圆c ； 3 ) 1 圆a = 口； 4 ) 若b c ，贝0ao bs a c ； 则称。为 o ，1 上的三角模，简称为t 一模 注：常见扣模有 l u k a s i e w i c z 三角模o l ：a o lb = ( a + b 一1 ) v 0 g s d e l 三角模o g ：n o gb = a ab g o g u e n ( 乘积) 三角模o 。：a 。b = 0 6 砀三角模8 。：n 。6 ：j 0 。+ 6 1 【a b a + b 1 4 定义1 1 2 设。是三角模，如果满足a v6 i = v ( 口o6 ；) ，f 0 ，则称 是 左连续三角模 注：若。是左连续的扣模，则孽( 。圆z ) 2 口。6 ，即作为函数，( 。) = 。z ，( 。) 满足左连续性，这也正是“左连续”一词的由来从而，我们称一个三角模 是连 续三角模，就意味着函数r ( q y ) = zoy 是连续函数，上面提到的4 种常见t 模 中， l ，固g 与圆。是连续t 一模，而o o 是左连续t 一模 定义1 1 3 1 2 0 】设p 是偏序集，p 上的二元运算 与- 叫互为伴随，若以下 条件成立： 1 ) o ：p p _ p 是单调递增的 2 ) - ：尸p - p 关于第一变量是不增的，关于第二变量是不减的 3 ) n 圆b sc 当且仅当a b _ cv a ，b ，c p 这时。( ，- ) 叫p 上的伴随对，称 与- 互为对方的伴随 注：在 0 ，1 上： l 的伴随叶l ：口- - ) lb = ( 1 一+ 功a 1 g 的伴随呻g ：a - - 4 , gb = ：量： “的伴随。w ：n - + * 。 1 2 。：蓁： 。的伴随斗。：a - b = l 。1 ，一8 ，v 。：三： 定义1 1 4 【2 0 】有界格l 叫剩余格，若 1 ) l 上有伴随对( o ，- 4 ) 2 ) ( l ，o ，1 ) 是带单位元1 的交换半群，这里1 是l 的最大元 命题1 1 5 f 】1 】设。是 9 , 17 上的左连续一模，定义- 如下： a b = v z 0 ，1 i z 圆a 6 ) 则： i ) ( o ，叶) 为伴随对 i i ) a 6 = l 当且仅当asb 5 i i i ) a b _ c 当且仅当b s 。- - + c i v ) a _ ( b _ c ) = b - - y ( a _ c ) v ) t + c = c v i ) a a 饥= a ( a - - yb i ) v i i ) v 蕊- - - 8 = a ( 坟- a ) l jt v i i i ) n - - + b 关于单调递减，关于b 单调递增， 我们把由命题1 1 5 定义的_ 称为剩余型蕴涵 事实上，三角模是由s c h w e i z e r 和s k l a r 在1 9 5 8 年提出的【1 6 】，目的是为了在概 率测度空间准确地描述三角不等式自那以后，t 模被广泛运用于其它各类数学 领域，如博奕论，模糊集理论，模糊逻辑，模糊控制以及优先模型等， 三角模在模糊逻辑中的应用，主要是针对基于t 一模的逻辑系统在这类逻辑系 统中，连接词“”在【o ，1 赋值时对应于一t 模o ，而“_ ”则对应于。的伴随 由p h d j e k 提出的b l ( b a s i cl o g i c ) 逻辑系统i l d 】，即是一种基于连续 模的逻 辑系统 定义1 1 6 a 4 i 设自由代数f ( s ) 中含有特定公式石，则以m p 为推理规则，以 下述形式的公式为公理的逻辑系统叫f ( s ) 上的b l 系统： b 1 ) ( a _ + 口) - ( - g ) - 一g ) ) b 2 ) a & b a b 3 ) a & b _ b & a b 4 ) ( 4 ( a 口) ) ( 日( 口4 ) ) b 5 ) _ ( b - g ) ) - - + ( a & b _ c ) b 6 ) ( a & b o c ) ( a - ( b _ g ) ) b t ) ( _ b ) - 回- + ( ( - a ) - - + c ) - - + 回 b 8 、石斗a 注【1 4 】：在b l 中，_ 为初始连接词，可以由它们来定义v ，a ： a a b = a ( a b ) ，a v b = ( ( a b ) b ) a ( ( 口a ) - - - a ) 定义1 1 7 3 4 1 有界格( l ，v ，a ，o ，_ ，0 ，1 ) 叫b l 一代数若下列条件成立： 1 ) ( l ，o ，1 ) 是以1 为单位的交换半群 6 2 ) ( 圆，一) 是工上的伴随对 3 ) a a b = a o ( 口- - 6 ) ， v 。，b l 4 ) ( a 寸6 ) v ( b _ ) = 1 ，v a ，b l b l 代数是h g j e k 为解决b l 逻辑系统的完备性而提出的，并且它在解决完备 性方面也确实发挥了很大的作用由此，在模糊逻辑研究方面，我们又有了一种强 有力的工具一代数方法，即把逻辑系统与和它相对应的代数结构相结合，利用代 数的相关结论解决逻辑系统中的问题反过来，非经典逻辑的发展又为代数学开辟 了金新的研究领域，二者相辅相成，共同发展以后，我们提到某某逻辑系统，都 将一并提到与它相对应的代数结构 定理1 1 ，8 ( b l 逻辑系统的完备性) 公式a 是定理，当且仅当对于每个i o ，1 上的b 【广代数而言，a 都是重言式 在b l 逻辑系统中【1 4 】，增加公理( f 删) 一- - a1 a ，就得到l u k a s i e w i c z 逻辑系 统l ，增加公理( g ) a - a & a 则得到g s d e l 逻辑系统g ，而如果增加公理( n 1 ) 和 ( 1 1 2 ) ( r 1 ) - - , 一c _ ( ( q ( b & e ) ) - ( a - 功) ( 2 ) a a ，a _ 西 则得到p r o d u c t 逻辑系统 注：l ，g ，h 这三个逻辑系统分别是基于l u k a s i e w i c zt 模，g s d e lt 一模及p r o d u c t 亡_ 模的逻辑系统( 它们都是连续t - 模) ，是b l 逻辑系统的三种不同扩张 l u k a s i e w i c z 逻辑系统是个大家比较熟悉，研究比较多的逻辑系统，与它相对 应的代数结构一m v 一代数。也受到很多专家学者的关注【1 5 ，s 4 ，4 4 一” 以下给出m v 一代数的定义： 定义l ，1 9 【3 4 l ( 2 , 2 ，2 ，2 ，o ，0 ) 型代数( l v ，a ，o ，- - # ，0 ，1 ) 叫m v 一代数，如果以下 条件成立： 1 ) ( l ，v ，a ，0 ，1 ) 是有界格 2 ) ( l ，o ，1 ) 是以1 为单位的交换半群 3 ) ( o ，- - + ) 是l 上的伴随对 4 ) a ab = a o ( a - - - b ) 5 ) ( 6 ) v ( 6 - - + 8 ) = 1 7 6 ) ( n - 40 ) - 40 = a 注，与定义1 1 7 相比，m v 一代数比b l 一代数只是多出了一条性质：( a - 4 0 ) _ 0 = a ，而这一点与由b l 逻辑系统得到l u k a s i e w i c z 系统的方式完全吻合，由 此也可看出代数结构与相关逻辑系统间的紧密联系 以上给出的b l 及其扩张都是基于连续一模的逻辑系统，而事实上，对于基于 t 一模的逻辑系统关键在于( ，- 4 ) 的赋值要是一对伴随对( 圆，- ) ，而这一点由命 题1 1 5 可知，要求t 一模左连续即可，不必要连续正是基于此，f e s t e v u 等最近 提出了一类基于左连续扛模的逻辑系统- - m t l ( m o n o i d a l t - n o r mb a s e dl o g i c ) 定义1 1 i 0 1 8 】设自由代数f ( s 1 中含有特定公式西，则以m p 为推理规则，以 下述形式的公式为公理的逻辑系统叫f ( s ) 上的m t l 系统： a 1 ) ( a b ) ( ( b g ) ( a g ) ) a 2 ) a & b - 4 a a 3 ) a & b - - 4b & a a 4 ) a a b - 4 a a 5 ) a a b - 4 b a a a 6 ) ( a ( a - 4b ) ) ( a a b ) a 7 ) ( a + ( b 一g ) ) - 4 ( a & b - 4c ) a 8 ) ( a & b - 4g ) - 4 ( a _ ( b _ e ) ) a 9 ) ( ( a - 4b ) - 4c ) - ( ( ( b - 4a ) - 4c ) - 4g ) a 1 0 ) 石- 4 a 注：在m t l 逻辑系统中，“a ”是作为初始连接词出现的，不再像b l 逻辑 系统那样可由“& ”与“_ ”表示而这一点反映在赋值上。正是连续三角模与非连 续三角模的明显差别对于连续扛模o ，有下式成立； a b = o ( n - 4b ) ，这个 性质被称为d i v i s i b i l i t y , 而对于非连续的左连续扛模，这个性质一般不成立 姐在m t l 系统中增加公理( a a b ) - 4 ( a & ( a - 4 日) ) ，则可得到b l 系统， 故b l 是m t l 的一种扩张 定义1 1 i i l l 8 】有界格( 厶v ，a ，o ，- 4 ，o ，1 ) 叫m t l - 代数若下列条件成立： 1 ) ( l ，圆，1 ) 是以1 为单位的交换半群 2 ) ( o ，- 4 ) 是l 上的伴随对 8 3 ) 寸b ) v ( b - ) = l 定理1 1 1 2 ( m t l 逻辑系统的完备性) ：公式a 是定理，当且仅当对于每个 【0 , 1 】上的m t l 一代数而言，a 都是重盲式 与b l 类似，m t l 逻辑系统也可以通过增加公理的方式得到各种不同的扩 张，如下表所示： m t l 的扩张增加的公理 b l ( d i v ) ( a b ) 4 ( a 口) l ( l ) ( ( a b ) b ) ( ( b a ) 甘a ) g ( g ) a - + a & a i m t l ( i n v o i u f i v em t l )( i n v ) 、，且_ a w n m ( w e a kn m )( w n m ) ( a & b 寸百) v ( a i x b _ a & b ) n m ( n i l p o t e n tm i n i m u m )( i n v ) + ( w n m ) 注：n m 逻辑系统与王国俊教授提出的逻辑系统等价，这一点在文献【2 1 中已得到验证，故，与它相对应的代数结构即为蜀一代数 定义1 1 1 3 “】在自由代数f ( s ) 上，以m p 为推理规则，以下述形式的公式 为公理的逻辑系统叫f ( s ) 上的c 逻辑系统： l 1 ) a _ ( b 一a a b ) l 2 ) ( 一a ，b ) ( b _ + a ) p 3 ) - 旧_ c ) ) _ g ) ) 4 ) ( b _ g ) - ( ( a _ b ) - + ( a - g ) ) l + 5 1a _ 、一a 6 1a - + a v b 三+ 7 1a v 口b v a 口8 ) ( a - c ) a ( b g ) - - 4 ( a v bo g ) l + 9 ) ( a ab - c ) _ ( a _ c ) v ( b _ g ) l 1 0 ) ( a b ) v ( ( a + b ) 、a v 口) 关于凰一代数的定义，我们将在下一节中给出 9 把前面提到的各类逻辑系统的关系加以整理，可得下面的关系图( 图1 1 ) m t l n m ( l ) l u k a s i e w i c zp r o d u c tg 6 d e i ( 图1 1 ) l u k a s i e w i c z 逻辑系统与系统是被广泛研究的两个性质较好的系统，它们都 具有标准完备性由上图可以看出，与l u k a s i e w i c z 都可由i m t l 系统通过增 加一条公理得到，那么，相对条件较弱的i m t l 及其代数结构i m t l 一代数会有什 么良好的性质呢? 如果再给i m t l 系统增加公理或其它条件，是否也会有类似 与l u k a s i e w i c z 这样的系统产生呢7 下面将进入本章的主要内容，来针对这两个问 题给出解答， 1 2i m t l 逻辑系统及i m t l 一代数的等价形式 定义1 , 2 1 【1 q 设自由代数f ( s ) 中含有特定公式百，则以m p 为推理规则，以 下述形式的公式为公理的逻辑系统叫f ( s ) 上的i m t l 逻辑系统： a x l ) ( a - b ) 一+ ( ( b - 十g ) _ ( a 一c ) ) a x 2 ) a & b - b & a a x 3 、a b _ a a x 4 ) a a b _ b a a a x 5 ) ( ( a _ b ) _ g ) - ( ( ( b _ a ) e ) _ g ) a x 6 ) - - , - , a _ a a x 7 ) a & b - 4 a 1 0 a x 8 ) a & ( a b ) a a b a x 9 ) ( a & b c ) _ + ( a _ ( b _ g ) ) a x l 0 ) ( a - ( b - g ) ) - 2 t ( a & b c ) a x l l l 西_ a 其中、a = a _ 西，a & b = ，( a _ 一b ) 命题1 ：2 2 1 18 】以下为i m t l 中的定理： ( 1 ) a - - 9 , ( b - a ) ( 2 ) 似- g ) ) - ( b _ c ) ) ( 3 ) a _ a ( 4 ) ( b _ g ) _ ( ( a - - fb ) _ ( a - g ) ) ( 5 ) a ( ，a b ) ( 6 ) a _ ( b - a & b ) ( 7 ) a & b _ a a b f 8 ) a & - 、a _ 西 ( 9 ) ( a & ( a 日) ) b ( 1 0 ) ( a _ b ) _ ( a & c _ b & c ) ( 1 1 ) ( a ( b 、日) ) - a ( 1 2 ) ( ( a b ) g ) ( a ( b e ) ) ，( a ( 口g ) ) ( ( a b ) & g ) ( 1 3 ) ( ( a a b ) a c ) _ ( a a ( b a g ) ) ，( a a ( b a g ) ) _ ( a b ) a c ) ( 1 4 ) ( a _ b ) _ ( a - ( a b ) ) ( 1 5 ) ( a - b ) a ( a - c ) _ ( a _ b a c ) ( 1 6 ) ( a - b ) v ( b _ a ) ( 1 7 ) ( a _ b ) “v ( b a ) ”( v n n + ) 命题1 2 3 以下为i m t l 中的定理 1 ) ( a _ b ) - ( ，b _ 、a ) 2 ) ( ，a 叶、口) _ ( b _ a ) 3 1a 、a 4 ) ( a 一b ) 斗( b 一a ) 5 ) ( 、a _ 日) _ ( ，且