（基础数学专业论文）单位球上全纯函数空间上的紧复合算子.pdf

s u r ea n dp u u - b a c km e a s u r ef o rh o l o m o r p h i cm a p p i n g ，w eg i v et h e c o m p l e t ec h a r a c - t e r i z a t i o nf o rc o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h e s es p a c e s i nt h ei n t r o d u c t i o n ，w ep r o v i d es o m eb a c k g r o u n da n dk n o w l e d g ef o rt h ep r o b - l e m ss t u d i e di nt h et h e s i s w em a i n l ys t a t et h e o r i g i n a la n dt h ed e v e l o p m e n to ft h e c o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e o r y , f i n a l l yw ep r e s e n tt h em a i nr e s u l t so fo u rr e s e a r c h i nc h a p t e ro n e ，w ew i l lg i v es o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ef o ro u rr e s e a r c h ， i n c l u d i n gi n t r o d u c es o m ec l a s s i ch o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e sa n ds o m et h e o r e m so n t h e s es p a c e s i nc h a p t e rt w o ，m a i nm a t e r i a li sf r o maj o i n tw o r kw i t hp r o f e s s o rs o n g - y i n g l ii n 2 】w ep r o v i d eac h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e mf o rc o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r s o nb m o a ( b n ) ，w h i c hg e n e r a l i z ear e s u l tp r o v e db yb o u r d o n ，c i m aa n dm a t h e s o n f o rt h ec a s e 几= 1i n 1 1 i nc h a p t e rt h r e e ，ag e n e r a lf u n c t i o ns p a c ex ( 玩) o v e rt h eu n i tb a l li nc nw i t h n o r m i x ) i si n t r o d u c e d t h es p a c ec o n t a i n sa l lh a r d ys p a c e ，b e r g m a ns p a c e ， b e s o vs p a c ee t c w ew i l lg i v e sa f o r m u l a t i o no fac o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o ro n x ( b ，1 ) t h i sw o r ki sm a i nf r o mt h ep a p e r 3 】 i nc h a p t e rf o u r ，w es u m m a r i z et h ep r e s e n tw o r ko ft h ep a p e r ，a n dm a k en o t a - t i o nf o ro u rf u t u r er e s e a r c h k e yw o r d s ：c o m p a c to p e r a t o r ；b o u n d e d n e s s ；c o m p o s i t i o no p e r a t o r ；h o l o - m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e s i i 淑“气 一 镢 么 上全纯函数空间紧复合算子的 涉及到的是复合算子理论研究 的起源及发展现状，以及本文得到的关于紧复合算子在很多函数空间的刻画 在第1 章中，我们将给出论文用到的一些基本知识，包括介绍了复分析的部分 基础知识，几类经典的全纯函数空间的定义，以及有关这些空间的定理 在第2 章中，通过与李松鹰教授在 2 】中的工作我们得到了b m o a ( b n ) 上紧 复合算子的一些刻画定理我们首先通过定义b m o a ( 玩) 的等价范数为： i l f l l 2 , = s u p z b ni f ( 叫) 一，( 名) 1 2 p ( z , w ) d a ( 叫) ：z 风) 其中p ( z ，w ) = ( 1 一i z l 2 ) n 1 1 一( z ，叫) i - 2 n 为鼠上的p o i s s o n s z e 9 5 核对b o u r d o n ， c i m a 及m a t h e s o n 在 1 】中对单位圆盘b 1 证明的重要结论推广到了高维鼠，我们 将主要证明以下定理： 定理2 1 1 设咖：b n _ 鼠为自伴全纯映射，那么q 在b m o a ( 风) 上为紧算子 当且仅当 l i m s u p l r ( ，o ) ( 叫) 1 2 ( 1 一i 叫1 2 ) p ( z ，w ) d v ( w ) = 0 ， r rz e b n j b , ( r ，妒) 对于，在b m o a ( b n ) 的单位球上一致成立其中，r = e 各1 勿老为，的径向导 数 第2 章分为四个部分，第一部分主要是介绍b m o a ( b n ) 的定义以及目前 b m o a ( b n ) 空间上复合算子的紧性及有界性等的研究状况和一些相关的重要结论 第二部分主要是回顾和证明一些三、四部分需要用到的背景知识和引理，得到了复 合算子。在b m o a ( 鼠) 上为紧算子的个等价命题( 命题2 1 2 ) 第三部分我们 矿 3 i 7 f 鹤一 b m o a ( b n ) ( z ) ) = z ，设 1 2 = s u p m 圳2 ：。玩) 我们将证明以下定理： 定理2 4 1 设咖：b n _ b n 为自伴全纯映射，那么q 在b m o a ( b n ) 上有界当且 仅当i l 坳l f o 。 而对于b m o a ( 玩) 上复合算子的紧陛，我们有： 定理2 4 2 设：b n b n 为自伴全纯映射，那么q 在b m o a ( 鼠) 上为紧算子 当且仅当f l 坳i i o o 且 m l i m s u p 厶晰) i f ( 列2 如) 一i f ( c ( 。) ) 1 2 ：i l f l l + - 1 ，。玩) 0 在第3 章中，我们考虑一正定函数p c ( ( o ，1 】) 且满足 r l p ( 1 一亡2 ) d t 0 ，我们定义了一类单位球上的全纯函数空间玛，q 弘( b n ) ，其范数记为 i i i i 昂豫弘，使得对于任意的f 玛，q ，p ，都有； | i 州i p 昂+ q 恕p = i f ( 0 ) | p + 口+ 厶i v f ( i p i f ( 力i 口以1 一i z l 2 ) 咖 ) o 。 ( 3 1 2 ) y ” 4 辆 f a k 使得 ( 3 1 3 ) 3 1 3 ) ，0 p o o ， 在，螂( 玩) 上为紧 ( z ) = 0 对任意，q i p ( 点k ) 且1 1 1 1 昂，伽1 一致成立 设 以( z ) = m i n p ( 1 一坩) ：三( 1 - i z l 2 ) 1 一讲兰( 1 - i z l 2 ) ) 巩( 扣矿研知厕 作为定理( 3 1 1 ) 的应用，我们还给出了q 在，g ，p 上为紧算子的充分条件 推论3 1 3 设p c ( ( o ，1 】) 为一正定函数且满足( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) ，设0 p o o ， 0 口 0 ，矽：b n 一玩为全纯映照且有 1 i 1 翌瓯( 矽( z ) ) i v ( z ) i p p ( 1 一i z l 2 ) d v ( z ) = 0 7 1 1 ，b n ( r 纠 那么，岛在忍p ( b n ) 为紧算子 推论3 1 4 设弘c ( ( o ，1 1 ) 为一正定函数且满足( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) ，若0 p r ) d 。( r ，) = z d ：i 矽( z ) l r ) 2 ( d ) ；区域d 上的p 次可积函数类 l o o ( d ) ：区域d 上的本性有界函数类 b m o a ( d ) ：d 上的b m o a 空间 h p ( d ) ：d 上的h a r d y 空间 v i p 。一i r ” i 塞呈丝堡 毒一 a n ( d ) ：d 上的b e r g m a n 空间 l 矗 k ，l a p q ( d ) td 上的加权的b e r g m a n 空间 叼口( d ) ；d 上的s o b o l e v 空间 继q ( d ) ，d 上全纯的s o b o l e v 空间 b p ( d ) ：d 上的b e s o v 空间 召( d ) 。d 上的b l o c h 空间 a u t ( d ) , d 上的自同构群 r n ：实数域上的咒维欧氏空间 v f ( z ) ：f 的梯度 r = 。句玉。厂的径向导数 ：l a p l a c e 算子 i k k 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 目录 i i i i i i 1 0 1 复合算子理论的研究背景 1 0 2 复合算子有界性及紧性的研究现状。 3 o 3 本文的主要结果 8 第1 章预备知识1 4 1 1 解析函数背景1 4 1 2 一些函数空间的简介1 6 1 2 1 多复变量的函数空间1 6 1 3 一些用到的定理2 4 第2 章b m o a ( b 竹) 上的紧复合算子2 8 2 1 背景介绍2 8 2 2 引理及其证明2 9 2 3 定理2 1 1 的证明。3 1 2 4 利用p u l l - b a c k 测度刻画3 5 第3 章一类单位球鼠上全纯函数空间紧复合算子的刻画3 9 3 1 背景介绍3 9 3 2 引理及其证明4 2 3 3 一些主要结论的证明4 5 3 3 1 定理3 1 1 的证明4 5 i i ，j b k 致谢5 6 个人简历5 7 i x 7 8 0 o l 5 4 4 5 5 5 5 h i i 绪论 0 1 复合算子理论的研究背景 在算子理论中，正规算子在当代可以说是有限维空间上仅有的研究得很透彻的 一类算子，随着时间的推移和很多学者的潜心研究，次正规算子的研究也取得了很 大的成功，但是作为已经形成了一类算子的复合算子，复合算子已不仅仅是这些算 子类的一部分，对复合算子的研究无疑将引导我们更好地理解其他算子，以推动算 子理论的发展复合算子的研究一方面利用解析函数论中的结论去探讨线性算子理 论方面的一些最基本的问题，另一方面又运用算子理论去研究函数论中的经典问题 作为解析函数论和算子理论结合的产物一复合算子理论是复动力系统理论的一部 分，例如，给定一整函数( 通常是多项式) p ( 彳) ，设 p 1 ( z ) = p ( z ) ，p n + lz ) = p op n ( z ) ， 其中 矿“) 箍1 正规收敛，数学家们开始在复平面c 中寻找f a t o u 集f 而这当 中很重要的是：j u l i a 集j = c f 但是一般的，寻找j u l i a 集j 的工作通常很困 难而函数空间上复合算子的研究作为研究复合算子理论的第一步其研究价值不可 估量那么，首先让我们了解全纯函数空间上复合算子的具体定义 定义0 1 1 设d 是c n 上一区域，x ( d ) 为定义在d 上的全纯的b a n a c h 空间且 其范数记为i i 恢，矽为从d 到d 的全纯映射，若对于x ( d ) 中任意的函数，通 过函数复合得到； ( 似z ) = ，( ( z ) ) 则称。为由矽诱导出的复合算子 显然，复合算子在x ( d ) 上是一线性算子，类似于其他线性算子，进而我们 提出了连续性与紧性的刻画问题；任给一d 上的全纯函数空间x ( o ) 及全纯映射 ：d d ，怎样刻画，使得： ( i ) ( x ( d ) ) cx ( d ) 1 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 ( i i ) q ：x ( d ) 一x ( d ) 是紧算子 对于复合算子理论c 0 作用在全纯函数空间上的研究可以追溯到1 9 世纪6 0 年 代中期数学家e n o r d g r e n 和f o r e l l i 所做的工作f o r l l i 在 4 】中证明了h a r d y 空 间日p 2 ) 上所有等距同构算子都是一类特殊的复合算子s c h w a r t z 在【5 】利用 l i t t l e w o o d 从属原理阐述了上p 空间上复合算子的有界性问题自此之后，s h a p i r o 和t a l y o r 又用角导数来刻画俨空间的紧复合算子，此外他们还在 6 】中刻画了 h i l b e r t - s c h m i d t ( s 2 ) 类的复合算子，证明了瓯在上p 空间上紧与。在日2 上紧 的等价性从而复合算子紧性的研究开始了学者们也越来越多地关注复合算子理 论的研究，大部分研究者都围绕以下问题：复合算子的有界性，紧性，属于h i l b e r l t 函数空间上s c h a t t e n - v o n n e u m a n n 类算子的复合算子，全纯函数空间上复合算子 的紧性和谱的性质而展开，而复合算子的谱理论研究也有效地推进了与其相关的两 大数学分支：复分析，解析函数空间一调和分析的发展大量有价值的成果在数学 家们呕心沥血的研究工作中不断涌现，这不仅是因为复合算子理论作为算子理论的 一部分其本身内容的丰富而具有研究价值，还由于复合算子与其他算子研究的紧密 联系和交叉，例如： 例1 我们记h i l b e r t 空间为咒，设其正交基为e l ，e 2 ，) ，为一线性 算子，从而使得： 矽( e n ) t = e n + 1 ，扎= 1 ，2 ，3 ， 那么可知在冗上的后移位算子也可看作是复合算子特别地，单位圆盘b 1 上h a r d y 空间h 2 ( b 1 ) ，范数记为”i l ，正交基为s 。 1 ，z ，z 2 ，扩， 那么，当( z ) = z 2 ，则有( 扩) = 名孙，扎= 0 ，1 ，2 ，若( z ) = o 仁0oa s ，我们 有： o o q ( ，) = e n j z 豺 j = o 例2f o r e l l i 在 4 】中证明了以下结论： 设lsp o o 且p 2 ，h p ( b 1 ) 为h a r d y 空间，其范数记为l i l l p 而t 为 ，。， 2 ， - 锄破怫静媸 ￥ d t ? 屯 ：j ， _ 辨油悯h 蛳 ：一 x “ k h p ( b 1 ) 上的线性算子，那么 t 是等距同构的锚t = 岛 为复合算子，且有 矽( z ) - - _ e i 0 1 z 一- - 磊a ， a d ( 0 ，1 ) ，口 0 ，2 丌) 0 2 复合算子有界性及紧性的研究现状 l i t t l e w o o d 从属定理对于刻画复合算子的有界性及紧陛有着重要的应用，设d 为c n 上一有界区域，当诱导函数咖在。点固定，即妒( o ) = 0 时，l i t t l e w o o d 从属定 理可以保证侥在很多空间都是有界的 定理0 2 1 ( l i t t l e w o o d 从属定理) 设d 为复平面c 上一区域，b 1 为单位圆盘， ：b 1 一d 为全纯映射，且矽( o ) = 0 ，若乱为d 上的次调和函数，那么对于任意的 0 r 1 ，我们有： f 2 7 r，2 7 r 上u ( ( r e 。) ) d 口上u ( r e 徊) d o ，皇 由上述定理，我们可很容易地得到如下推论 推论o 2 2 ( 朋推论2 2 3 ) 设b 1 为复平面c 上的单位圆盘，：b 1 一b 1 为全纯 映射，且妒( o ) = 0 ，若f h p ( b 1 ) ，则有l i ( f ) l l p i i f l l p 由此我们知道，当n = 1 时，对于任意0 1 时，上述结论就不一定成立了其 反例由m a c c l u e r 在1 9 8 4 年以及c i m a 和w o g e n 在1 9 8 7 年( 参见 8 】) 分别找到并 证明，例如当d = b 2 ，取 ( 魂，z 2 ) = ( 2 z l z 2 ，o ) ； 且 戥 ( z 。，z 2 ) = ( z + 秀，o ) 3 一 a ” ? ” 堂；j 、! ，。； j 。一 。一 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 时，o 在h p ( b 2 ) 上是无界的对于复合算子。的紧性研究，最早是从研究单位圆 盘上的经典的h a r d y 空问日2 上的复合算子开始的，当n = 1 时，s h a p i r o 在 9 】中 利用n a v a n l i n n a 计数函数： ( 叫) = - l o gi z l 妒( 名) = 伽 证明了在h 2 ( b 1 ) 为紧算子等价于 limlwl-,1端logw - o 一 ll 由于q 在h p ( b 1 ) ( 0 p o o ) 的紧性与其在h 2 ( b 1 ) 等价，从而上述条件即为 在h p ( b 1 ) ( o p o o ) 为紧算子的等价条件 设b o b n 且i b i = 1 ，0 h 1 ， s ( b ，h ) = z b n ：1 1 一( z ，6 ) i s ( b ，h ) = z b n ：1 1 一( z ，6 ) l 危) 对于h a r d y 空间上复合算子吼的有界性及紧性，我们还可利用测度来刻画 定理o 2 3 ( 刀定理3 s 5 ) 设0 p 0 0 ，：s n _ 岛为一解析映照，矿z ) = l i m h 矽( z ) ，我们定义一瓦上的b o r e l 测度p 。p ( a ) = ( 矿。( a ) ) ，那么 ( i ) o 在h p ( b n ) 上有界当且仅当存在一常数c 0 ，都有 u ( s ( b ，九) ) c h n ( t i ) 在h p ( b n ) 上为紧算子当且仅当h _ 0 时，有 u ( s ( b ， ) ) = o ( 胪) 对于b a b 一致成立 对于b e r g m a n 空间上的复合算子，z h u 在【l o 】中证明了：在a 2 ( b 1 ) 上为紧 算子等价于 l i m 高躲- o 我们也有类似于定理0 2 3 的刻画 4 l ，囊謦喁铒蛳 i f 。洳i j 嗍、 ，y j k h 绪论 7 3 7 ) 设0 p o o ，咖：b n _ b n 为一解析映照，我们定义 p ：p ( a ) = ( 1 ( a ) ) ，其中d v q = ( 1 一l z l 2 ) q d v ，那么 上有界当且仅当存在一常数c o 。，使得对于任意的b p ( s ( 6 ， ) ) c h n + q + 1 上为紧算子当且仅当h 一0 时，有 对于b a 鼠一致成立 p ( s ( 6 ，九) ) = o ( h n + q + 1 ) 由上述定理以及 7 】中推论3 3 6 ，我们有： 推论o 2 5 对于某一p ( 0 p o o ) ，如果复合算子q 在俨( 鼠) ( 4 ；( 鼠) ) 上是有 界的( 紧的) ，那么对任意的0 p 0 ，存在r ，0 r 1 并且给出了b 1 上( x ，p ) 一c a r l e s o n 测度的定义 定义o 2 1 设为b 1 上一正定测度，x = 岛( 1 p 0 使得，对于任意的，x 都有 、k ， ，7 ( 伽) l p d u ( w ) c | 1 厂i i 妥 j b t ，。0 那么为( x ，p ) 一c a r l e s o n 测度 # 畸 ”一 进而他证明了如下定理： 定理0 2 1 2 对于1 p q o o ，下面的结论等价： ( ) o ：屏_ 岛为紧算子； ( i l ) q ( 叫，矽) 拟( 叫) 为退化的口c a r l e s o n 测度； ( i i i ) 当_ 1 时，l | q 扒0 b q _ 1 定理0 2 1 3 设为b 1 上的自伴全纯映射，x = 岛( 1 p o o ) 或舀，那么 q ：x 一8 为紧算子当且仅当当_ l 时，有 0 q 酬i 廖一1 从而得到结论：设0 p q 。o ，如果q 在岛上为紧算子，则q 在岛上 为紧算子，进而得到q 在召上也为紧算子 7 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 0 3 本文的主要结果 对于单位圆上的b m o a 上紧复合算子的刻画是由b o u r d o n ，c i m a 和m a t h e s o n 在 1 】中证明的相应的结论( 定理0 2 8 ) 而在文中第2 章，我们利用了b m o a ( b 几) 的另一等价范数： s u p i r ，( 叫) 1 2 ( 1 一i 叫1 2 ) p ( z ，w ) d v ( w ) ( 2 1 1 ) 其中r y ( z ) = 等。勺掣为，在z b n 上的径向导数通过证明引理： 引理2 3 1 设咖：b n _ 玩为一全纯映射且( o ) = 0 ，那么 s u p i r 矽( 叫) 1 2 ( 1 一i 伽1 2 ) p ( z ，w ) d v ( w ) g ( 1 一r 2 ) z e b nj j e k ( r ，咖) 我们证明了如下定理： 定理2 1 1 设：b n 一玩为自伴全纯映射，那么q 在b m o a ( b n ) 上为紧算子 当且仅当 l i ms u p i r ( ，o 咖) ( 叫) 1 2 ( 1 一i 伽1 2 ) p ( z ，w ) d v ( w ) = 0 ， r - - * l 一名b nj b 。( r ，咖) 对于，在b m o a ( 玩) 的单位球上一致成立 从而推广了b o u r d o n ，c i m a 和m a t h e s o n 的结论( 定理0 2 8 ) 给出了单位 球b n 上b m o a 的紧算子的刻画由 1 8 】我们知道b l o c h 空间嚣( b n ) 等价于空间 b m o a ( b n + 1 ) 的限制，从而，我们有如下推论。 推论2 1 2 设：玩_ 玩为一全纯映射，那么劬为b l o c h 空间召( b n ) 上的紧 算子当且仅当 l i m sup。(，们i兄(，。矽)(叫)12(1-i伽12再鬻dr(r-，l z e b nbi 伽) = 。， 。( r ，咖) i 上一z ，。u ，。”7 对于b ( b n ) 的单位球上所有，一致成立 另外，在第2 章的第三部分中，我们还利用p u l l - b a c k 测度理论给出了 b m o a ( b n ) 上复合算子有界性和紧性的又一刻画 ! 酗“i 琳确峨 ： + 一， 翻靠蚺 舡瞬 i _ “ 对于任意的a 玩，我们设九a h t ( b n ) 使得九( o ) = a 且咖a ( 九( z ) ) = z ，设 毗耐为定义在b n 上的测度，对于任意可测子集ecb n ，定义 p 咖，口( e ) = 口( z o b n ：( 钆( z ) ) e ) )( 2 4 1 ) 及 、 如1 1 2 = s u p 上。i f ( z ) 一，( ( 口) ) | 2 咖如：，eb m 。月( 风) ，i l i i i 。= 1 ) ；( 2 4 2 ) 设 ， 1 2 = s u p 1 1 p * ，n i l 2 ：口风) ( 2 4 3 ) 通过证明如下结论，我们得到b m o a ( b n ) 上复合算子有界性的充分必要条件： 定理2 4 1 设：b n _ 玩为自伴全纯映射，那么。在b m o a ( b n ) 上有界当且 仅当i i i o o ，j 而对于b m o a ( b n ) 上复合算子的紧性，我们有： 定理2 4 2 设：风_ 鼠为自伴全纯映射，那么。在b m o a ( b n ) 上为紧算子 i 謦 当且仅当j j 踟i i o o 且 磐s u p 0 题 此外作为引理，我们还给出了b m o a ( b , ) 空间复合算子为紧算子的等价命 命题2 2 1 下列条件等价： ( i ) b m o a ( 风) 的单位球是弱木紧的； ( i i ) 设 厶) 墨1 为b m o a ( 鼠) 2 - 有界序列，那么当k _ o 。时， 在 b m o a ( 鼠) 的弱木拓扑下收敛于0 当且仅当s k ( z ) 在b n 的任意紧集上一致收 敛于0 9 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 通过观察b m o a 上紧算子的刻画( 定理2 1 1 ) ，其实我们发现类似结论可以 推广到其他函数空间，这些空间包括：h a r d y 空间，加权的b e r g m a n 空间，全纯的 s o b o l e v 空间以及b e s o v 空间等 在文中第3 章中，我们考虑一正定函数p c ( ( o ，1 】) 且满足 f l p ( 1 一t 2 ) d t 0 ，我们定义了一类全纯函数空间 ，舭( 风) ，其范数记为l i 昂崩p ，使得对于任意的f ，舭，都有： p + q = i f ( o ) p + 上。i v 化) i p l y ( z ) 忡一i z l 2 ) d r ( z ) 1 ，使得 p ( s ) 七p ( t ) 若丢s 2 t ( 3 1 3 ) 我们将证明以下定理，从而得到一类似于定理2 1 1 的紧复合算子的刻画 定理3 1 1 设p c ( ( o ，1 】) 为一正定函数且满足( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) ，0 p - 1 ，p = 0 ，则。砀，为b e r g m a n 空间a 墨( 咖) ，其加权测度 d = ( 1 一l z l 2 ) a 咖( z ) ；全纯的b e s o v 空间以及全纯的s o b o l e v 空间也为，g p ( 风) 的一类特殊情况从而，我们得到了一类多复变量的全纯函数空间包括h p ( b n ) 空 间，加权的b e r g m a n 空间钾( 玩) ，全纯的s o b o l e v 空间以及b e s o v 空间等的紧复合 算子的刻画因而作为定理3 1 1 的推论，我们有： 推论3 1 2 设咖：b n _ 风为一全纯映射，那么： i 、：妒扩蚺。“釉姆。 1 0 。函幽山岫， 守 1 ) 若2sp o o ，在爿p ( 玩) 上为紧异子当且仅当 l 碑i v ( fo 妒) ( 加) 1 2 l ( fo 咖) ( 叫) i p 一2 ( 1 一l 伽1 2 ) d v ( w ) = 0 ， r + l 一，b n ( r ，) 对于h p ( b ) 单位球上的任意，一致成立 2 ) 若0 p o o ，口0 ，o 在驾( 风) 上为紧算子当且仅当 h 掣 l ，( 矽( t t ，) ) l p ( 1 一1 w 1 2 ) g d 口( 叫) = 0 ， r 。r j b ( r ，咖) 对于锷( 风) 单位球上的任意，一致成立 3 ) 若0 p o o ，q 0 ，由l i f l l p q ；。= l i d 8 1 1 p ，q o 。( 参见 1 9 】) ，那么。在 a ；，口( 玩) 上为紧算子当且仅当 1 1 罂 i d 8 ( 厂o ) ( 叫) i p ( 1 一1 w 1 2 ) q d v ( w ) = 0 ， r l 一日k ( r ，妒) 对于a ：，g ( 风) 单位球上的任意厂一致成立 4 ) 对于q = 0 ，令哪= a 呈。( 鼠) ，我们有厂研( b n ) 当且仅当d 5 广 钙( b 竹) = h v ( b n ) 因此，对于0 p o o ，q 在琊( b n ) 上为紧算子当且仅当 1 1 罂 i d ( 5 十1 ) ( ，o 矽) ( 伽) 1 2 i d 8 ( ，。咖) ( 叫) l 一2 ( 1 一1 w 1 2 ) d v ( w ) = 0 ， ； r l 一，b 。( r ，) 对于琊( 鼠) 单位球上的任意，一致成立 5 ) 对于记 p n ) 上为紧算子当且仅当 孽厶( r v ( ，删( 圳p ( 1 小1 2 ) p - n - l d v ( 伽) = 。1 对于b p ( 风) 单位球上的任意，一致成立 另一方面，我们设， 叱( z ) = m i l l 似1 一川2 ) ：三( 1 一1 一2 兰( 1 一) ( 3 1 1 0 ) 吼( z ) 2 矿研而 ( 3 工1 1 ) 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 作为定理3 1 1 的应用，我们还给出了q 在岛p 上为紧算子的充分条件 推论3 1 3 设肛c ( ( o ，1 】) 为一正定函数且满足( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) ，设0 p o o ， 0 q 0 ，：鼠_ 鼠为全纯映照且有 h 粤月0 ( 矽( z ) ) i v ( z ) i p p ( 1 一i z l 2 ) d v ( z ) = 0 7 1 ，王k ( r ，咖) 那么，在，g ，p ( b n ) 上为紧算子 推论3 1 4 设肛c ( ( o ，1 】) 为一正定函数且满足( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) ，若0 p 0 0 ， 0 q 0 ，对于矽：b n _ 玩为全纯映照且使得 ，l i ml。n咖，p(量三一=亍罢兰j黼)量止-=ij；竺i措n+1lv咖(z)lp差三器d(z)=。 对任意w b n 一致成立那么为，叮，p ( 玩) 上的紧算子 我们知道如果复合算子。的诱导函数满足( o ) = 0 ，由l i t t l e w o o d 从属 定理，岛作用在很多全纯函数空间上都是有界的，而当( o ) 0 时，那就不一定了 但是如果空间具有自同构不变性，即若诱导函数e a u t ( b 1 ) ，o 在此空间是有界 的，那么利用l i t t l e w o o d 从属定理，我们也可得到某些复合算子o ( 咖( o ) 0 ) 的有 界性，如：设矽( ( o ) 0 ) 为b 1 上一解析映射，妒e a u t ( b 1 ) ，1 = 砂o ，那么则 有：q 。= q q ，q = q 。1 = q 。_ l 选择1 ；f ie a u t ( b 1 ) ，使得妒( 矽( o ) ) = 0 ，由 l i t t l e w o o d 从属定理。是有界的，再由回( 矽e a u t ( b 1 ) ) 有界，可知q = o 。一， 也是有界的( 见【7 1 ) 定理o 3 1 ( 用定理7 5 ) 设p 为单位区间上一正定函数，且厶。p ( 1 一i z l 2 ) 烈( 名) 1 ，当s q t 时，存在常数k = k ( q ) 满足： p ( s ) 尼p ( 亡) 对于1 p 0 0 ，假设x 为b 1 上全纯的b a n a c h 空间，其范数； i l f l l 娶= i f ( o ) i p + 以，批) 忡一i z l 2 ) d a ( z ) 丌 0 0 ，廿1 那么如果砂e a u t ( b 1 ) ，则有在x 上是有界的 1 2 十“毒移t 咖山 l 龋一 州q 吖 r ，l ? ， ，当x = h p ( b 1 ) 时，我们还可得到8 i i 的具体值，我们有： ( 似定理96 ) 如果妒e a u t ( b 1 ) ，p 1 ，对于任意的，h p ( b 1 ) ，则 ( 斜涮) ；l l f l l i l o , d f ) l l 0 ，p c ( ( o ，1 1 ) 为一满足 ( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) 的正定函数，那么对于任意的妒a u t ( 风) ，都有q 为耳， ( 风) 一。 上的有界算子 ， i 。 。l 毽 1 3 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 第i 章预备知识 设c 为l 维的复e u c l i d e a n 空间，佗维复e u c l i d e a n 空间c n = c xc ，对 于z = ( z l ，z n ) 及w = ( w l ，) ，z ，w c n ，我们记， c n 上的多圆盘为集合： = z l w l - t - + ( b 1 ) 他= z c n ：i 乃i 1 ，j = 1 ，扎) c n 上的单位球为集合： b n = z c n ：i z i 1 ) 风的边界a 风为c n 的单位球面，从而 a b n = e c n ：= 1 ) 特别地，当死= 1 时，c = c 1 上的单位球为单位开圆盘，我们记其为b 1 ， b 1 = z c ：l z i 1 时，玩为佗维复平面俨上的单位球，由( 【2 2 】，定理1 5 1 8 ) 可知，若 矽：三k _ 巩既是一一映射又为到上映射，则，双射全纯的 设o 玩，令r = 碧o ，q 口= ，一只，s 口= r = 1 砰，定义： 驴型掣 ( 1 1 4 ) 显然，矽a 在l 磊上是解析的，九( o ) = a ，。( 口) = 0 ，而且我们有； oo 九( o ) = z ， ( 矽口0 口) 7 ( o ) = i 1 5 福建师范大学龙素娟硕士学位论文 命题1 1 1 ( 脚尸9 9 ) 若爹2a u 故b n ) ，设一1 ( o ) ：口，那么对于名，伽玩，我们 有。o i ： 、 1 一渤 c 硼= 等嬲净揣 ， 1 1 2 一些函数空间的简介 1 2 1 多复变量的函数空间 & 为n 维复平面c n 上的单位球，对于定义在既上的解析函数厂，我们定义 ，的梯度为： v ( 垆( 鼍，差) ( 1 2 1 ) m ) l = i 鼍卜+ i 差1 2 】 ( 1 - 2 2 ) 下面我们给出单位球上多复变量的函数空间的定义 b e r g m a n 空间a p ( b n ) 定义1 2 1 设0 p o 。，定义在单位球鼠上b e r g m a n 空间a p ( b n ) 包含了玩 上所有的全纯函数，且满足： 1 0 = i f ( z ) l p d v ( z ) o o ， ( 1 2 3 ) ： j b “ 同样的，我们有a p ( d v ) = 日( 玩) n 口( 风，d r ) ，当p 1 时，( a p ( 玩) ，i i 1 i p ) 构 成一b a n a c h 空间 定义1 2 2 设0 p 一1 ，记( 职，毗) 为l p 空间，b n 上加权的b e r g m a n 空间鹆( 鼠) 为瑶(