（基础数学专业论文）二维球面上单共轴球构形的orliksolomon代数和上同调群.pdf

独创性声明 jillll ii iii i iii ii i i iiii 18 0 5 7 7 7 本人声明所旱交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东 北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范人学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可 以将学位论文的令部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者锯燃指导狮繇红啊 日 期：趔! 堕：丛日期：趁应鳗，疗 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 摘要 本文给出了球构形的定义，并在s ：上用共轴这一等价关系给出了它 的一种分类方法得到了特殊r 共轴球构形的特缸多项式和区域个数的 计算公式并f j l 研究了s 2 上单共轴球构形的o r l i k s o l o m o n 代数和它的上 同调群的维数，最后用计算n b c 基的方法给出了三维推广的s h i 构形的 o r l i k s o l o m o n 代数的计算公式 关键词：单共轴球构形；s h i 构形；o r l i k s o l o m o n 代数；上同调群 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r _ t h ed e f i n i t i o no fas p h e r ea r r a n g e m e n ti sg i v e na n dak i n do fc l a s s i f i c a t i o nm e t h o di so b t a i n e du n d e rt h ee q u i v a l e n c er e l a t i o no f “c o a x a l i t y ”i ns 2 t h e f o r m u l a st oc o m p u t et h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h en u m b e ro fr e g i o n so ft h e s p e c i a lr c o a x i a ls p h e r ea r r a n g e m e n ta r eg i v e n a n dw es t u d yt h es i n g l ec o a x i a l s p h e r ea r r a n g e m e n ti ns ：g e ti t so r l i k s o l o m o na l g e b r aa n dt h ed i m e n s i o no fi t s c o h o m o l o g yg r o u p t h e nw eo b m i nt h eo r l i k s o l o m o na l g e b r ao ft h eg e n e r a l i z e d s h ia r r a n g e m e n ti nr 3f r o mt h en b cb a s e k e yw o r d s ：s i n g l ec o a x i a ls p h e r ea r r a n g e m e n t ；s h ia r r a n g e m e n t ：o r l i k s o l o m o na l g e b r a ；c o h o m o l o g yg r o u p l i 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录1 l i 引言1 1 预备知识3 2 特殊球构形及其特征多项式6 3 单共轴球构形的o r l i k s o l o m o n 代数及上同调群9 4 三维推广的s h i 构形的o r l i k s o l o m o n 代数1 2 结 论。1 6 参考文献1 7 致谢1 9 在校期间公开发表论文及著作情况2 0 东北师范大学硕士学位论文 引言 超平面构形理论足处在代数学、组合学、拓扑学、拟阵论和微分几何 以及代数几何等数学学科交汇处的一门新兴的学科，它作为一门独立的 数学分支登上数学的舞台是从上个世纪四十年代在参考文献 1 中，对 它的来源做了这样的介绍2 0 0 年前，西方人提出了“切馅饼问题，如 下，一刀可以把馅饼切成两块，两刀可以切成三块也可能是四块，三刀 能切多少块，若切更多刀呢? 很多年来此问题都没有得到很好地解决 直到1 9 4 3 年，j l w o o d b r i d g e 在美国数学月刊提出了证明切刀刀后 的干酪最多有迎必掣块”的问题从此，超平面构形的研究得到了广 泛的注意 1 9 7 5 年，t z a s l a v s k y 在构形的研究中，引入了删除限制法，得到了计 数问题的递归运算公式l a s v e r g n a s 独立地得到相似的结果t z a s l v a s k y 在构形的交叉偏序集j 已上，用反包含定义了偏序关系，用上的牟比乌斯 函数定义了的特征多项式和庞加莱多项式由此，超平面构形的研究 得到了越来越多的注意，其结果在代数、组合、拓扑，分析、物理等方 面都有着广泛的应用 文献【1 1 2 】是系统介绍超平面构形主要理论的经典著作近年来，又 有许多学者在不同的领域作出了杰出的工作，o r l i k s o l o m o n 代数也作为 超平面构形的代数性质成为了数学家们关注的热点，见文献【3 1 0 】它最 先作为复超平面构形的补牢间的上同调代数出现在a r n o l d 、b r i e s k o m 、 o r l i k s o l o m o n 的理论当中1 9 6 9 年，a r n o l d 给出了纯辫空间蚴的p o i n c a r e 多项式以及( 膨) 的结构；1 9 7 3 年，b r i e s k o r n 证明了a r n o l d 的猜想： 对于任意一个构形贸，r ( 舅) 一h 4 ( m 用) 劢是同构映射；1 9 8 0 年o r l i k 和 s o l o m o n 证明了对任意构形舅，有p o i n ( m 贸) ，) = 7 r ( 舅，) ，而且对( m 贸) ) 给予了纯代数的刻画证明了h + ( 坝贝) ) 兰a ( y 1 ) 由于彳( 翻) 只取决于( 舅) ， 故h ( 拟习) ) 只取决于t 贝) ，参见文章 5 , 6 ，7 ，il 】在文章【l o - 1 4 中，数学家 东北师范大学硕士学位论文 们将h ( m k ) 推广到具有局部系数的上同调群，可以定义局部系数系统 ( d ) ，h 8 ( m ( 口) ) 与o r l i k s o l o m o n 代数的上同调具有维切联系这也开启 了研究超甲面构形理论的一个中心问题，即用超平面构形的组合性质来 研究它的补空间的拓扑不变量的问题后来，它在以下领域都起到了鼋 要的作用：多变量超几何函数理论、共形场理论、非孤立奇点的米尔诺 纤维的同调理论、射影曲线的亚历山人不变量理论等我们知道，o r l i k s o l o m o n 代数爿仰) 足一个分层代数并且在度为1 的元素a 的乘法作用下 构成一个上链复形，因此研究它的上同调群h + ( 彳( 舅) ，口) 这一拓扑性质也 具有十分重要的意义对于超平面构形的o r l i k s o l o m o n 代数a ( y 1 ) 的研究 中最晕要的结果是：对于任意口给出了零同调群维数和非零同调群的秩 的一个上界为了得到关于构形的更多的信息，数学家们还研究了共振 簇，这对构形的分类问题等起到了一定的作用 目前，国内外在构形与拟阵的结合，中心构形，自由构形，构形的可 约性以及一些特殊构形的研究中也取得了很大的成就，参见文章【1 5 2 5 在以往超平面构形的研究中，通常将构形所在的向量空间取作r 或 c ，并且得到了在这两个向量空间中构形的非常好的代数和拓扑性质见文 章【1 5 2 8 本文的主要思路是将这些想法推广到球构形上研究球构形 的代数和拓扑性质在本文中，定义了球构形，给出了球构形的一种分 的计算公 代数和它 究了三维 东北师范大学硕士学位论文 l 预备知识 设k 是一个域( 一般为豫或c ) ，v 兰科，不妨设c h a r ( k ) = 0 向量空间 v 的n i 维子空间h 称为它的线惟超平面，记为h = ，v ：n v = 0 1 ，其中。 是v 中的一个固定的非零向量，口1 ，表示似1 t r n ) ( v l o k ) = y , i - - lt r i v i 线性超平面的一个平移称为它的仿射超平面，记为j = 、，v ：仃- v = ， 其中口是v 中一个固定的非零向量，卢k 这部分定义的详细内容请参 考文献 1 ，2 】 定义1 1 设贝= h i ，h 。 足v 中有限个超平面的集合，称用是v 中的超平面构形( h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ) 记作贸 若构形爿中所有超平面的交非空，则称贸足中心构形( c e n t e r e d ) ；否 则舅中所有超甲面的交为窄集，称习是非中心构形除了这两种构形，构 形的研究中还有一些比较好的有代表意义的特殊构形，像球构形( s p h e r e a r r a n g e m e n t ) 、辨构形( b r a i da r r a n g e m e n t ) 、s h i 构形( s h ia r r a n g e m e n t ) 等研究这些有代表性的特殊构形能帮助我们更快的发现构形的普遍性 质 设l = l f i 9 1 ) 足用中所有元素的菲窄交的集合，这里约定v l c c t l ) 定义l 上的偏序关系工，铮x b 其中工y ( 舅) ，满足自反性，对称 性，传递性定义( 翻) 上的秩函数为r ( z ) = c o d l i n ( x ) = 刀一d i m ( r ) ，即x 的 余维数，其中x ( 舅) 显然，h v ) = 0 ，f h l = 1 ，秩为1 的元称为原子 定义l ( j i ) 上的m s b i u s 函数为：j 已) ( 舅) _ z 满足： 1 4 x ，工) = 1 ，y x ( 贝) ( 工力= 一卢( 椭y x , y ( 贸) ，工 y x s z v 记p ( d = p ( 6 ，工) ，贝0p ( 6 ) = 1 定义1 2 我们把疋研f ) = 蚝“舅l u ( x ) t d i m ( 。) 称为构形爿的特征多项 式， 定义1 3 我们把j r ( 3 t ，) = 舵p 0 ) ( 一f ) 瞰曲称为构形舅的p o i n c a r b 多项式 超平面构形的特征多项式具有一个非常好的拓扑性质，就是可以通 过它得出一个构形将其所在宅间分割出的区域个数以及相对有界区域个 3 东北师范大学硕士学位论文 数，即“：珂) = t 一1 ) ( 用一1 ) 。6 ( 月) = ( 一1 ) r a n k ( 用( 用1 ) 其中，f 贸) 表示构形舅 将其所在空间分割出的区域个数，6 ( 用) 表示其中的相对有界区域个数 下面介绍构形舅的o r l i k s o l o m o n 代数和上同凋群的一些基本概念 o r l i l ( 一s o l o m o n 代数足由一组和构形中的超平面一一对应的基元构造的， 而且它足一种分次的代数结构 定义1 4 1 8 l 设k 是一个域，外代数的定义如下： e o 2 e l 2 e 2 2 e 3 = e p = z k e f e j ， 妇，ae ja e k ， 于 记 且 准 7 1 5 k口 毋 口 。引 i i 0o娅0 甄 妒 p 毋 配 。训 东北师范大学硕士学位论文 定义1 9 称商代数 月( j 珂) = ( j 珂) j r ( 舅) 为构形舅的o r l i k s o l o m o n 代数，简称o s 代数，设7 1 ：( 贸) 叫彳) 足自 然同态，设a p = t r ( e p j ，a s = 7 r ( e s ) 由于( 舅) 和，( 贸) 都足分次代数，所以爿( 舅) 也是分次代数，记a ( 7 1 ) = 0 二a p r 舅) 定义1 1 0 一个p 元组s = ( h i ，) 是极小相关的，则称s 是 一个圈，即( 凰。风) 是线性相关的，且对v k ，1 k p ，p 一1 元组 ( ，1 i 反，怫) 是线性无关的 定义1 11 对于标准p 元组s 如果存在he 贝，使得h d i m a p r 碉) ，p j - j p o 定理1 1 6 i 1 设舅足一个构形，有p o 胁( 爿) ，) = 7 r ( 贝，) 引理1 1 7 【1 l 设舅是一个构形，r ( y l ，) = a k t k ，则一( 舅，) = ( 一1 ) 。a k g 5 东北师范大学硕士学位论文 2 特殊球构形及其特征多项式 在以往超平面构形的研究中，通常将构形贸所在的向量空间v 取作 r ，或c n ，并且得到了在这两个向量空间中构形的非常好的组合和拓扑性 质1 1 s - 2 8 1 一个自然的想法是，能不能将构形推广到球面s ”上? 球面构形 具有什么样的性质? 这些都是值得研究的莺要问题超平面构形的特征 多项式足构形的一个重要的几何不变量，它几乎成为研究构形各部分内 容的一条主线因此，计算构形的特征多项式也成为构形领域研究的热 点在本节中，我们将构形这一概念推，“到了球面上，研究了它的一些 简单性质，并给出了球构形的一种分类方法，获得了一类特殊球构形的 特征多项式与区域个数的计算公式1 2 9 1 定义2 1 1 2 9 】设日足舻+ 1 中的一个线性超平面，s ”= ( 如x l x j ，) r 肿1 i x ；= 1 l 足r ”卅中的球面我们称l = n s ”为s ”中的大圆由 s ”中有限个不同的大圆所组成的集合召= i l j ，k l 叫做s ”中的球构 形 注：在考虑大圆的交集时，将人圆看成是它所在的圆盘 定义2 2 1 2 9 】设$ 足s ”中的球构形，球心为o ，( 男) 是由$ 中的大 圆及其非空的交，以及球匾s ”和球心d 所组成的集合在( $ ) 中定义 一个序， x ，y ( 召) ，x y 车爿x 夕 换句话说，在l ( 够) 上用反包含关系定义了一个偏序，我们称( $ ) 足球构 分 东北师范大学硕士学位论文 个大圆共轴同样的，k 个人圆相交且有f 1 1 只有一个重合的直径，则称 这k 个人圆共轴 定义2 4 1 2 9 1 对于球构形8 = l ，砘三i 琵。， 如 果；，磁共轴于l i ( 1 i k i j ) 且，( f n 则称够为，共轴球 构形记$ 产“称8 ，为球构形召的一个块，其中# $ ，- k ，特别 的，当，一1 时，称$ 为单共轴球构形 例2 5 球构形8 = l 1 。l z l ，如图l 所示 厂 弋 、 1 1 f 厂 1 2 ! 卜 么 图1 球构形男足单共轴球构形，即留= ，l 2 l 共轴于， 球构形$ 也是2 共轴球构形，即艿1 = 轴为，l 筑= 2j 轴为2 且 它最多是2 共轴球构形 由共轴这种等价关系受到启发，对于球构形$ = i ，l 2 ，k ，利用 它的轴可以定义一个二元关系“一”，对于，l ，男，规定 三一当且仅当，与，共轴于， 显然这是一个等价关系按照这种等价关系就可以给出球构形$ 的一个 划分可以看出由于确定轴的办法有很多种，所以球构形留的划分也可 以有很多种 定义2 6 f ：9 1r 共轴球构形$ = u 名1 男f 其中蜀为易的块当r 3 时，任取3 块，在每块中任取一个人圆，如果这三个大圆不共轴，则称$ 为特殊r 共轴球构形，简称特殊球构形 定理2 7 【2 9 】特殊r 共轴球构形男= ， ，瑶，q 。三z 的特征多项式为 一( 男，) = f 3 岛，2 + ( 七f - r + k i , k i ：) f + ( ，一1 一k i , k i ：) ， f = 1f = 1 1 ，l +一，) j _ 一j - 一 _ i j s f i o 故d i m a o ( 召) = 1 ，d i m a ) ( ：8 ) = m ，d i m a 2 ( 艿) = m 一1 证毕 对于单共轴球构形，有爿( 召) = 彳o ( 8 ) 0 爿l ( 男1 0 爿：( 男) ，其中爿o ( 召) = e 爿l ( 固= 0 墨lg u i ，爿2 召) = 0k a i a i ，存在短正和列： 0 生爿o ( 男) 叫d o 爿l ( 男) 三a 2 ( $ ) 三0 ， 其中研：爿，( 召) 叫a i + 1 ( 男) 是同态映射，取口= 口l a 2 引理3 2 对于单共轴球构形$ = 。 ( 所2 ) i x a l ( 功，不妨 设x = k l a l + + “，a 。，贝4 有 d 1 ( x ) = ( k j + + 厶，) a 2 a 1 证明用数学归纳法证明，当m = 2 时， d l ( 工) = x a = ( k l a l k 2 a 2 ) ( a l a 2 ) = k 2 a 2 a l q a l a 2 = ( k l + 如) a 2 a ! q 东北师范大学硕士学位论文 假设当一一k 一1 时等式成立 由于s = i l 2 l m 是相关集，故0 e s i c b ) 即e l e 2 + e 2 e ，。+ p 。j f l ，( 舅) 又爿( 翻) = e ( 贸) ，( 舅) 且丌：( 爿 彳i 舅) 于是，r ( a $ ) = 0 ，即a 1 0 2 + a 2 a 。+ 口a l20 当m = k 时， 证毕 则 d l ( x ) x 口 ( 七l 口i + + 五，”口，”) 口l 日2 ) ( 七i 口l + + 七月p i a m 一1 ) ( 口1 一口2 ) + k m a m o l a 2 ) ( 露l + + k m 一1 ) a 2 a l + k m ( 口m a l + a 2 a t ) ( 七l + + k m ) a 2 a 1 定理3 3 设够= l i ，。 2 ) 是单共轴球构形，取口= a l a 2 ， d i m 俨( 爿( 够) 口) = 0 ， d i m h l ( 爿( $ ) 甜) = m 一2 ， 东北师范大学硕士学位论文 v x k e r d i a l ( 够) ，不妨令x = k l a l + + k , n a d l ( x ) = ( k 1 0 1 + + 足月j a ) t a l 一0 2 ) = 积1 + + 七 ，) a z a l = 0 所以七l + + = 0 ，故d i m k e r d i = m 一1 于足 d i mh 1 ( 爿f 男) ，o ) = d i mk e r d i d i m h n d o = ( 册一1 ) 一1 =m 一2 ( 3 ) 脚c 召州) = 需= 篙 已知d i m a 2 ( $ ) = m 一1 ，由同态基本定理 篙纲讲 故d i m l m d l = d i m l ( $ ) 一d i mk e r d l = 聊一( ，一1 ) = 1 ，于是 所以定理得证 d i m 俨似( 当) ，口) = = = d i m 爿2 ( $ ) 一d i m l m d l ( 肌一1 ) 一1 m 一2 东北师范大学硕士学位论文 4 三维推广的s h i 构形的o r l i k s o l o m o n 代数 本节从o r l i k s o l i m o n 代数的定义出发，从n b c 基的角度对三维推广 的s h i 构形的o r l i k s o l i m o n 代数进行研究首先给出三维推广的s h i 构形 的定义 定义4 1 定义三维推广的s h i 构形贸，由以下3 伽+ 1 ) 个超平面组成： 命题4 2 对于三维推广的s i f t 构形舅所有1 一元组和2 一元组都不是 兀 别 以 拧 ” 珂； o o 0 | i = = 也 秘 的 一 一 一 刖 翮 耽 ，i-_li，、l-ll_i 东北师范大学硕士学位论文 通过以上三个命题，再由组合的知识我们奔易知道，对于三维推广 的s h i 构形，所有4 元组的交均为空集这足因为在三组平行线中任取4 条线，必然有两条线是甲行的 下面我们做出三维推广的s 1 j 构形的本质构形的图像的一部分 ， 。 图2 定理4 4 对于三维推广的s h i 构形舅，破圈的个数 ( 胛+ 1 ) ( ，7 + 2 ) 锄2 丁一 证明我们知道破圈的个数与圈的个数是一一对应的，由命题1 3 可 知，对于三维推广的s h i 构形圈的个数就是交非空的3 一元组的个数由 图2 我们有 故 a 0 2 口l = a 2 2 口” = 1 印+ 2 ， 口l + 3 ， q n 一1 + + 1 ) ( 疗+ 1 1 ( ，7 + 2 ) 锄2 ? 一 定理4 5 对于三维推广的s h i 构形贸，有 d i m a o ( 爿) = 1 ，d i m a i ( 舅) = 3 ( ，7 + 1 ) ， d i m a 2 ( 舅) ：业掣；坠塑，d i m a 3 ( 用) ：0 】3 东北师范大学硕士学位论文 故 证明我们知道 爿( i ( 舅) = k ，a i ( 贸) = k a l0 k a 2o ok a 3 ( l 又由定理4 4 知， d i m 爿【j ( 舅) - 1 ，d i m a i ( 爿) = 3 ( n + 1 ) d i m a 2 ( , 7 1 ) = c 2 3 “7 + l l 一一c ：+ l c ； ( ，7 + 1 ) ( 5 n + 4 ) 我们知道在这3 f n + 1 ) 个超平面中任取三个，要么交为空集，要么足一个 圈，故d i m a 3 ( ：h ) = 0 推论4 6 对于三维推广的s h i 构形贸， 丌( 舅，) - 1 + 3 似+ 1 ) ，+ 坠掣，2 推论4 7 对于三维推广的s h i 构形舅， 一( 贝，) = ，3 3 ( + 1 ) 产+ 坠掣， 庞加莱多项式，如图 + 4 l 东北师范大学硕士学位论文 它的庞加莱多项式为 丌( o q ，) ：l + 3 ( 胛+ 1 ) ，+ 尘三j 掣f 2 ：1 + 1 2 t + 3 8 7 1 5 东北师范大学硕士学位论文 结论 本文在超平面构形理论的基础上研究了球构形的一些代数和组合性 质首先，给出了球构形的定义，并在s 2 上用共轴这一等价关系给出 了它的一种分类方法，使得球构形的结构更加明确其次，研究了它的 特征多项式这一几何不变量，得到了一类特殊r 共轴球构形的特征多项 式和区域个数的计算公式然后，对它的代数和拓扑性质进行了研究， 得到了s 2 上单共轴球构形的o r l i k s o l o m o n 代数和它的上同调群维数的 计算公式最后本文用计算n b c 基的方法给出了三维推广的s h i 构形的 o r l i k s o l o m o n 代数的计算公式 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【l 】o r l i krt e r a oh a r r a n g e m e n t so fl t y p e r p l a n e s 【m 】b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 2 ， 1 1 6 0 2 】s t a n l e yr i c h a r dp a ni n t r o d u c t i o nt oh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s 【m 】a m e r i c a ：p a r k c i t ym a t h e m a t i c ss e r i e s ，2 0 0 4 ，i 一5 7 【3 】y u z v i n s k i is o r l i k - s o l o m o na l g e b r a si na l g e b r aa n dt o p o l o g y m r u s s i a nm a t h s u r - v e y s ，2 0 0 1 【4 】p e a r s o nk e l l yj e a n n e c o h o m o l o g yo ft h eo r l i k s o l o m o na l g e b r a s d s o u t h w e s t j p u r ea p p lm a t h ，2 0 0 1 ( 1 ) ：7 9 9 2 【5 e u r o p e a nj c o m b i n a t o r i a la n da l g e b r a i c s t r u c t u r ei no r l i k - s o l o m o na l g e b r a s j c o m b i n ，2 0 0i ，2 2 ( 5 ) ：6 8 7 - 6 9 8 1 6jd e n h a mg t h eo r l i k s o l o m o nc o m p l e xa n dm i l n o rf i b r eh o m o l o g y j t o p o l o g y a p p l 2 0 0 2 ，1i8 ( 1 - 2 ) ：4 5 6 3 【7 】y u z v i n s k ys c o h o m o l o g yo ft h eb r i e s k o m - o r l i k s o l o m o na l g e b r a s j c o m ma l g e b r a , l9 9 5 2 3 ：5 3 3 9 5 3 5 4 【8 】张曦超f 面构形的o r l i ks o l o m o n 代数和啦不变量的计算【d 】：【硕士学位论 文】北京：北京化工大学数学系，2 0 0 7 【9 k a w a h a my o nm a t r o i d sa n do r l i k s o l o m o na l g e b r a s j b i r k h ? u s e rb a s e l ， 2 0 0 4 ，8 ( 1 ) ：6 3 - 8 0 【10 】l i b g o b e r 只y u z v i n s k ys c o h o m o l o g yo ft h eo r l i k - s o l o m o na l g e b r a sa n dl o c a ls y s t e m s j c o m p o s i t i om a t h e m a t i c a ，2 0 0 0 ，12l ：3 3 7 3 6i 【1 1 】m a t e i d s u c i u a i 1 i o m o t o p y t y p e s o f c o m p e m e n t s o f 2 一a r r a n g e m e n t s i n 【j 】t o p o l o g y , 2 0 0 0 。3 9 ( 1 ) ：6l 一8 8 【l2 】c o h e nd c ，o r l i kp a r r a n g e m e n t sa n dl o c a ls y g e m s j m a t hr e sl e t l2 0 0 0 。7 ( 2 3 ) ：2 9 9 316 【1 3 】c o h e nd c t r i p l e so fa r r a n g e m e n t sa n dl o c a ls y s t e m s j p r o ca m e rm a t hs o c ， 2 0 0 2 ，i3 0 ( 1 0 ) ：3 0 2 5 - 3 0 31 【14 】e s n a u l th ，s c h e c h t m a nvv i e h w e ge c o h o m o l o g yo fm e a ls y s t e m so nt h ec o m p l e m e n to f h y p e r p l a n g e s j i n v e n tm a t h 1 9 9 2 1 0 9 ( 3 ) ：5 5 7 5 6 1 【1 5 】孙志业，裴东河，高瑞梅构形和拟阵的同构映射及关于超可解的几个性质 j 】山东大学学报：理学版，2 0 0 9 4 4 ( 1 ) ：5 9 6 2 【1 6 孟男，裴东河类自由构形及其区域个数【j 】东北师大学报：自然科学版， 2 0 0 9 4 ：1 3 1 5 东北师范大学硕士学位论文 【l7 】j i a n gg u a n g f e n g 。y uj i a n m i n g r e d u c i b i l i t yo fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s j s c i e n c e i nc h i n as e r i e s a ：m a t h e m a t i c s ，2 0 0 7 5 0 ( 5 ) ：6 8 9 6 9 7 【l8 】j i a n gg u a n g f e n g y uj i a n m i n g z h a n gj i a n g h u a r e d u c i b i l i t yo fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s j s c ic h i n as e ra ，2 0 0 7 ，5 0 ( 5 ) ：6 8 9 6 9 7 【l9 】y uj i a n m i n g ，j i a n gg u a n g f e n g a na f l i n ez a r i s k ip a i rc o n s i s t i n go fs i xr e a ll i n e s j a d vm a t h ，2 0 0 5 ，3 4 ( 6 ) ：7 3 8 - 7 4 0 【2 0 y uj i a n m i n g ，j i a n gg u a n g f e n g az a r i s k ip a i ri na f f i n ec o m p l e xp l a n e j a s i a njm a t h ， 2 0 0 4 8 ( 3 ) ：4 7 3 - 4 7 4 【2l 】y o s h i n a g am o nt h e f r e e n e s so f3 - a r r a n g e m e n t s j b u l ll o n d o n m a t hs o c ， 2 0 0 5 ，3 7 ：i 2 6 1 3 4 【2 2 】y o s h i n a g am c h a r a c t e r i z a t i o no faf r e ea r r a n g e m e n ta n dc o n j e c t u r eo fe d e l m a na n d r e i n e r j i n v e n tm a t h 2 0 0 4 ，15 7 ：4 4 9 4 5 4 【2 3 t e r a oh m u l t i d e r i v a t i o n so f c o x e t e ra r r a n g e m e n t s j h w e n t i o n e sm a t h ，2 0 0 2 ，1 4 8 ( 3 ) ： 6 5 9 6 7 4 【2 4 】a b et ，t e r a oh w a k e f i e l dm t h ee u l c rm u l t i p l i c i t ya n da d d i t i o n d e l e t i o nt h e o r e m s