（统计学专业论文）定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计.pdf

定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 摘要 加速寿命试验是高可靠性长寿命评估中的常用方法，广泛应用于 系统和产品的定寿与延寿。在现有加速寿命试验的基础上，本着在减 少试验费用的同时获得更为精确可靠的寿命区间估计的目的，提出了 新的定数截尾下加速试验的三阶精度的区间估计方法。基于产品寿 命、特点的不同，分别对简单加速寿命试验和多应力水平下的加速寿 命试验进行研究，并提出了精确区间的估计方法和通过c o m i s h f i s h e r 展开式构造三阶近似分位数，从而获得三阶精度区间的估计方法。同 时用蒙特卡罗模拟方法对正态近似方法和本文的方法的在区间覆盖 率方面进行比较。研究表明，该方法即使在较小的样本容量下，对长 寿命产品的评估仍具有比传统的正态近似具有更精确的区间估计。最 后，本文对指数分布的拟合检验，采用g 检验方法并通过蒙特卡罗 方法判断该检验方法的效果。 关键字：加速寿命试验；定数截尾；指数分布；最优线性无偏估计； 区间估计；三阶精度；c o r n i s h f i s h e r 展开式 n 寸t e r ：v a le s t i 八压a t i o nf o ra c c l e r a t e dl i f e t e s t i n gm o d e lw i t ht y p e i ic e n s o r e dd a t a f r o mt h ee 义p 0 叠姬b t i a ld i s t r j b u t i o n a bs t r a c t a c c e l e r a t e dl i f et e s t i n g ( a l t ) i sac o m m o n l yu s e dm e t h o di nh i g h r e l i a b i l i t ya n dl o n g l i f e e v a l u a t i o n ，a n d i ti s a d o p t e dw i d e l y i n l i f e d e t e r m i n a t i o na n dl i f e - e x t e n s i o no fs y s t e m sa n dp r o d u c t i o n s b a s e d o nt h ed i f f e r e n c e sa m o n gp r o d u c t i o n si nl i f ea n dc h a r a c t e r i s t i c ，w e c o n s i d e rs i m p l es t r e s sm o d e la n dm u l t i - - s t r e s sl e v e l sm o d e lw i t ht y p e - i i c e n s o r e dd a t a t h ee x a c tc o n f i d e n c ei n t e r v a l so ft h em l e sf o rp a r a m e t e r s a r eo b t a i n e di ns i m p l es t r e s sm o d e l ，a n dt h i r d o r d e rc o n f i d e n c ei n t e r v a l s i n f e r e n c ea r eo b t a i n e di nm u l t i s t r e s sl e v e l sf o r t h e e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t i o n s m e a n w h i l e ，m a k ec o m p a r i s o n so fc o v e r a g ep r o b a b i l i t i e s b e t w e e nn o r m a l - a p p r o x i m a t i o ni n t e r v a l sa n dt h i r d - - o r d e ri n t e r v a l st h r o u g h am o n t ec a r l os i m u l a t i o ns t u d y f i n a l l y , w ep r o p o s eat e s ts t a t i s t i cgt o t e s tv a l i d i t yo ft h ee x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t i o n sa s s u m p t i o n a n du s i n g m o n t ec a r l om e t h o d ，w es t u d yt h ep o w e ro ft h ep r o p o s e dt e s tp r o c e d u r e k e y w o r d s ：a c c e l e r a t e dl i f et e s t i n g ；t y p e i ic e n s o r e d ；e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n ；b l u e ；c o n f i d e n c ei n t e r v a l se s t i m a t e ；t h i r d o r d e ra c c u r a c y ； c o r n i s h f i s h e re x p a n s i o n 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得浙江工商大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 签名：墼查 日期：易僻乡月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解浙江工商大学有关保留、使用学位论文 的规定：浙江工商大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：盈堇 导师签名： 日期：切驴年夕月日 5 2 - 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 1 1 背景介绍 第1 章引言 加速寿命试验方法研究已有近5 0 年的历史，1 9 5 7 年l e v e n b a c h 发表的“电容 器的加速寿命试验 论文被认为是关于加速寿命试验方法的第一篇论文。1 9 6 7 年，美国罗姆航空研发中心( r o m e a i rd e v e l o p m e n tc e n t e r ：r a d c ) 提出了加 速寿命试验( a c c e l e r a t e dl i f et e s t i n g ：a l t ) 方法：基于合理的工程及统计假设， 利用与失效物理规律相关的统计模型对在超出正常应力水平的加速环境应力下 获得的寿命( 或可靠性) 信息进行转换，得到产品在额定应力水平下寿命( 或可 靠性) 特征可以复现的数值估计的一种试验方法。也可以定义为：用加大应力的 试验方法加速产品失效，缩短试验时间，选用相应的加速模型估计出产品在正常 应力下的寿命( 或可靠性) 特征值( 陈循，2 0 0 2 ) 。加速寿命试验采用加速应力 进行产品的寿命试验，从而缩短了试验时间，提高了试验效率，降低了试验成本， 使产品寿命与可靠性评估成为可能。同时，通过加速寿命试验较快地暴露产品薄 弱环节，为改进设计、提高质量提供了依据。简洁地说，加速寿命试验是一种可 在短时间内获得产品失效率数据的方法，它要求了解在正常应力下的主要失效机 理与失效模式、环境应力水平与产品寿命特征的关系，一旦求得这种关系，即可 确定有关应用环境的失效率估计值。加速寿命试验可以有效获得零件、部件或系 统的失效率，可以减少测定低失效率产品寿命试验时间，是一种十分有效的寿命 试验方法( 茆诗松，1 9 9 7 ) 和( n e l s o n ，1 9 9 0 ) 同时也具有寿命试验作为一种分析 技术所具有的用途： ( 1 ) 探索产品在使用环境条件下可靠性的变化规律，通过产品的寿命试验 可以确定产品的寿命分布，给出产品的各种可靠性数量指标，如平均寿命、可靠 寿命等。 ( 2 ) 通过产品的寿命试验，可以确认产品是否符合可靠性定理要求，以作 为产品接收或拒收，合格或不合格等结论。 ( 3 ) 通过产品的寿命试验可以弄清产品的失效机理，发现产品在设计、材 料和工艺方面的各种缺陷，为产品的改进提供依据。 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 对于许多领域的工作者，尤其是对工程界和生物医学界，各种各样的与寿命、 存活时间、或者失效时间有关的数据统计分析都已发展成一个重要的专题。寿命 分布方法，从产品的耐用性研究到涉及人类各种疾病的研究，都有广泛的应用。 1 2 加速寿命试验的意义、特点及种类 1 2 1 加速寿命试验的意义和特点 加速寿命数据的统计分析是对系统或部件的寿命特性作定量了解的一种重 要手段。对许多领域的工作者，尤其对工程界和生物医学界，各种各样的与寿命、 存活时间或失效时间有关的数据的统计分析都已发展成一个重要的专题。 加速寿命试验是常用可靠性寿命试验方法，它是将系统或部件放在加大的试 验应力下来缩短试验周期，考察其失效随时间变化的规律，从而外推系统或部件 在正常应力水平下的各种可靠性特征的一种寿命试验方法。由于应力水平的改变 方式不同，加速寿命试验又可分为不同类型。 1 2 2 加速寿命试验的种类 加速寿命模型试验主要有3 种类型：恒定应力加速寿命试验、步进应力加速 寿命试验和序进应力加速寿命试验。 ( 1 ) 恒加寿命试验 假设s ，为加速应力，它可以是一维的，也可以是多维的。恒加试验是选择一 组加速应力水平，如s is ：，s k ，它们都高于正常应力水平氐( 具体定义见张志 华，2 0 0 2 ，2 2 节) ，并且假定s o s ， s t 。将一定数量的样品分为k 组， 分别放置于每一个加速应力水平下进行寿命试验，直到有定数量的样品失效为 止，本文主要研究步恒加试验的统计分析。 ( 2 ) 步加寿命试验 步加试验是先选定一组加速应力水平，如s 。，s ：，s k ，并且满足 s o s 。 l ，时第i 个样品在，后失去观察，即只观察到 = m i n ( t _ f ，l ，) 。 ( 1 - 3 ) ( 4 ) 混合截尾 这是一种定数与定时相结合的截尾方式，即在应力水平s 下，试验做到 m i n ( t ，f ) 终止，其中广与r 是事先规定的失效数与定时截尾时间。 1 3 指数分布情况下加速寿命数据分析的研究现状 1 3 1 指数分布情况下恒加寿命试验模型 通常指数分布场合恒加寿命试验的统计分析基于以下两个假定： 假定1 ：在正常应力水平& 和加速应力水平s 1s 2 ，s 。下产品寿命均服从 指数分布，其分布函数为 踯，= 卜e x p ( 一音 小p 哪例；凡，后 4 ， 假定2 ：产品的平均寿命只与所施加的加速应力水平s ，之间有如下加速模 型，l l p l n o , = a + 6 伊( s ，) i = 0 , 1 ，k ( 1 5 ) 式中啊b 为待估参数；伊( s ，) 是s ，的已知函数。 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 假定1 的合理性通常用w 宅i b u l l 概率纸或统计假设检验来验证，本文的第4 章将该假设进行拟合优度检验。对于常用的加速应力，假定2 的成立一般利用专 业知识和工程经验来判断，也可以利用相关性检验方法进行判断。在上述两个假 定下，就可以研究指数分布场合恒加试验数据的各种统计推断方法。 1 3 2 加速寿命试验的研究现状 加速寿命试验主要研究以下几个问题：( 1 ) 模型中参数估计；( 2 ) 加速寿命 试验的最优设计；( 3 ) 对模型的假设进行检验。 在加速寿命试验模型的参数估计中，p i e g p o r s c h ( 1 9 8 7 ) 对定时截尾的双参 数指数分布样本采用了似然比方法进行了估计，研究表明，对于指数分布中的尺 度参数而言，当样本容量达到2 5 时，估计出来的双侧区间覆盖率效果就十分理 想了。张志华和茆诗松( 1 9 9 5 ，1 9 9 8 ) 研究指数分布场合下竞争失效产品恒定应 力加速寿命试验的统计分析和b a y e s 估计。t a n g 等( 1 9 9 6 ) 在多重截尾的加速 寿命试验下研究参数的极大似然估计。x i o n g ( 1 9 9 8 ) 研究定数截尾步加寿命试 验下指数分布参数的极大似然估计。x i o n g 和m i l i k e n ( 1 9 9 9 ) 对随机截尾步加 寿命试验下指数分布参数的极大似然估计。王炳兴( 2 0 0 2 ) 讨论了指数分布场合 下具有竞争失效产品在j 下常应力水平下平均寿命的近似无偏估计。w a n g ( 2 0 0 6 ) 导出了指数分布场合下定数截尾步加试验情形正常应力水平平均寿命的无偏估 计。b a l a k r i s h n a n 和x i e ( 2 0 0 7 ) 分别对定时和定数截尾在简单步加试验下提出 了精确区间估计的方法，但该方法只能获得在加速寿命试验下产品的平均寿命精 确区间估计，却无法得到在正常应力水平下的产品的平均寿命区间估计。 b h a t t a c h a r r y a 和s o e jo e t i ( 19 8 9 ) ，k h a m i s 和h i g g i n s ( 19 9 8 ) ，b a g d o n a v i c i u s 等人( 2 0 0 2 ) 对步加寿命试验提出了一些新的模型。x u 和t a n g ( 2 0 0 3 ) 在文中 指出k h a m i s 和h i g g i n s ( 1 9 9 8 ) 提出的模型在多应力步加试验下对于w e i b u l l 分布来说，是个特殊的情况。t e n g 和y e o ( 2 0 0 2 ) 在步加寿命试验下用最小二 乘法对平均寿命和应力水平之间的关系。d o r p 和m a z z u c h i ( 2 0 0 4 ) 在加速寿命 试验下，提出了一般b a y e s 指数统计模型。 在加速寿命试验的优化设计方面，b a i 等( 1 9 8 9 ) 研究得到最优简单步加寿 命试验下方案。程依明( 1 9 9 4 ) 研究多步步进应力加速寿命试验的最优设计。 k h a m i s 和h i g g i n s ( 1 9 9 6 ) 在三应力水平下步加试验的优化方案。t a n g 等( 1 9 9 9 ) 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 研究了双参数的指数分布的最优加速寿命试验。刘立喜和葛广平( 1 9 9 9 ) 研究竞 争失效产品步进应力加速寿命试验的最优设计。x i o n g 和j i ( 2 0 0 4 ) 研究步加寿命 试验下分组数据和截尾数据的极大似然估计和试验的最优设计。g o u n o 等( 2 0 0 4 ) 讨论定时截尾步加寿命试验的最优设计。w a n ga n dy u ( 2 0 0 7 ) 讨论了指数分布场合 逐次定数截尾步加寿命试验的最优设计。茆诗松和王玲玲( 1 9 9 7 ) 系统介绍了加 速寿命试验及其统计分析方法。 1 4 本文研究的主要内容及可能创新点 本文研究了指数分布场合定数截尾恒加试验和定数截尾步加试验数据的统 计分析方法。在通常假定下，导出了基于简单定数截尾恒加试验和简单定数截尾 步加试验数据指数分布有关参数的精确置信区间。同时，对多应力水平下的加速 寿命模型，利用对数g a m m a 分布高阶累积量和c o r n i s h f i s h e r 的展开式导出了 基于定数截尾恒加试验和定数截尾恒加试验和定数截尾步加试验数据指数分布 有关参数的近似置信区间，利用模拟方法研究了所给置信区间的精度。我们也研 究了基于定数截尾恒加试验和定数截尾恒加试验和定数截尾步加试验数据指数 分布的拟合检验，利用模拟方法研究了所给拟合检验统计量的功效。在模拟研究 时，将w e i b u l l 分布和对数正态分布作为备择假设。模拟结果表明该检验方法对 w e i b u l l 分布和指数分布，对数正态分布和指数分布具有很好的区分度。 本文研究的可能创新点有以下几点： ( 1 )导出了简单恒加试验和步加试验下指数分布有关参数的精确区间估 计； ( 2 ) 利用c o r n i s h f i s h e r 的展开式获得有关枢轴量的高精度分位数。 ( 3 ) 讨论了基于加速寿命试验数据指数分布的拟合检验。 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 第2 章简单加速寿命试验下指数分布的参数精确区间估计 由于在指数分布场合定数截尾步加寿命试验等价于某种恒加寿命试验，所以 下面我们仅讨论恒加寿命试验( 张志华，2 0 0 2 ) 。有关结果可以很自然推广到定 数截尾步加寿命试验场合。 2 1 简单恒加试验的极大似然估计 在产品寿命服从指数分布的情况下，简单定数截尾恒加试验的实施如下： ( 1 ) 确定正常应力水平s o 和二个加速应力水平s ，s ：，这些应力水平满足 s o s i s 2 ； ( 2 ) 从该批产品中随机选出力个样品，并分为二组，其样本容量分别为 ，2 ，n ：，( 胛。+ n ：= n ) ，将第j 组样品安排在应力水平墨下进行寿命试验。 ( 3 ) 在加速应力水平s 下进行定数截尾寿命试验，设在应力水平s ，下个 样品试验到有_ 个失效时停止试验，观察到的失效数据为： t 订t i 2 ，肛 i = 1 , 2 ( 2 一1 ) 假如恒加试验如上所述，并且满足两个基本假定，即假定1 和假定2 在应力 水平s i 下的试验数据为式( 2 1 ) ，此时在应力水平s ，下定数截尾寿命试验的似然 函数为 式中 l ，= ( 1 谚ye x p - ( t ，+ + ，嘶+ ( 即，- r j ) t 棚) 谚】= ( 1 幺ye x p ( - t j o ，) ( 2 2 ) 互= 0 + ( 月，- r ，) t 哪 j = i ( 2 - 3 ) 为总试验时间，由于各应力水平之间的试验是相互独立的，则恒加试验的似然函 数为 l = 0 o , ) he x p ( 一互b ) ( 1 幺) “e x p ( 一r 2 0 2 ) = ( 1 岛) n 0 0 2 ) “e x p 一( 正+ r 2 ) 0 2 其对数似然函数 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 ，= 一1 - n 0 1 - r 2i n 吼一吾一鲁 在无约束条件下，幺，幺的极大似然估计( m l e ) 为 反一，幺：墨， n屹 由假定2 可知 三：萋三兰：宝象，推导整理可得 a 2 b = 伊ll n 0 2 一矽2l n o , c o l 一缈2 l n o i i n 0 2 l 仍一伊2 由估计量参可以求得参数珥6 的m l e 岔占为 由( 2 - 5 ) ，( 2 - 6 ) 可推得 仁 仍l n 0 2 一汐2l n o l 9 i 一伊2 l n 0 1 一l n 幺 纯一伊2 口一a =纳爰刮噜 b b = 由于百r , o ，服从参数为的g a 姗a 分布， ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 约一仍( 2 - 8 )、， l n 鱼一l n 鱼 q幺 仍一仍 则l n 鲁服从参数为l 的对数g a m m a 分布。从而，a 一口、占一b 是关于对数g a m m a 分布的线性组合。 1 0 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区问估计 2 2 简单加速寿命试验下精确的区间估计 2 2 1 参数a 的精确区间估计 由( 2 - 8 ) 可知， 口一a2咖鲁训噜 整理得 ( c p l - ( 殄2 ) ( h 一口) = ( p ii n 虿0 2 嘞t n 鲁 令 则 仍一仍 刮n 警刮n2 岛f i 0 1 训n 2 吃训咄 、 】，：f1 堕协一口) + 1 n2 吃一丝1 n 2 _ ， ( 2 9 ) l妒l 仍 】，：ln一2,202一丝ln了2rlol：lnz2(2吃)一丝lnz2(2-)(2-10)o2 鲲q“仍 、 从而y 的分布函数为 肌y ) 叫l n 警一鲁l n 等驯叫l n z 2 ( 2 咖伊_ 仍_ l 2 l n z 2 钏 ：p l n z 2 ( 2 吃) y + 丝l n z 2 ( 2 _ ) ) 纯 = n l n z 2 ( 2 班y + 署m m 以z ) ( 舳 = r p z 2 ( 2 吒) e x p ( c 仂p 21 n x + y ) ) 木p z ：( 2 ) ( x ) 出 “ 仞l “”1 讫 = r 。p z 2 ( 2 r 2 ) - x 百宰e x p ( y ) ) 宰p z 2 ( 2 r o ) d r 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 = 1 - f 。箩 与智r 1 。- 2 2 _ 叶三x 0 丽- * e x p ( y ) 一x r t - ! * 啦 2 n 宰r ( n ) ；。一r。而xr,-1,exp(-2)宰exp一丢x丽讫*exp(y)j“,=一o：单 令e x p ( y ) = s ， 贝j jf ( y y ) = 1 - 鬈。 ? 粤二六 2 1 木r ( r 1 )e 卅扣木窆t f f i o 毕 1 堕 小丽1p “唧b 牛喜卑 因此，对于给定显著性水平为1 一口，分别让 p r l 一州2 y y 州2 ) = 1 一口， ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 将( 2 一1 1 ) 式代入( 2 1 2 ) 式可分别求得儿、y 。一。，于是在显著性水平l 一口下， y 的区间估计为 即 由( 2 - 1 6 ) 知， j ，l 一口一( 纪l n 2 r 2 一矽2l n 2 r i 2 i n ) j ，l 一口。【纪一矽2 j 。伊：) y l a 2 y y a 2 ( 占一口) _ y a 2 y l 一口2 - ( c o li n 2 r 2 一伊2i n 2 1 ) a 一j 厂一 切l - 伊2 ) 一( 纯l n 2 r 2 一伊2l n 2 r 1 ) 口a 一y a 2 1 2 渤伊：) - ( 妒li n 2 r 2 一缈2i n 2 1 ) ；妒：) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 2 2 2 参数b 的精确区间估计 对于参数b ，由于占一b ： l n 鱼一1 n 0 2 鼠0 2 令z = e x p ( 伊t 一仍) ( 占一6 ) 】，贝0 显然，随机变量z 服从f ( 2 r 。，2 1 2 ) 分布。 即 ，可得 弘 鲁卢吃 因此，对于给定显著性水平1 一口，就可得 整理得： 互刮2 ( 2 ，2 r 2 ) z 只，2 ( 2 _ ，2 r 2 ) ， 一口，2 ( 2 厂l ，2 吃) e x p ( 伊l 一伊2 ) ( 6 6 ) 】 凡2 ( 2 5 ，2 ，2 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ! 堕刍= 业堕：圣业 占一 ( 仍一缈2 ) 2 2 3 参数皖的精确区间估计 则 对于参数岛，由( 卜5 ) 式，可知 j i n o o = 舀+ 6 【l n o o = a + 6 1 3 l n ( _ f a 2 ( 2 r l , _ 2 r 2 ) ) ( 2 19 ) l 仍一矽2 j ( 2 - 2 0 ) 岛一吼 n一 bb n = 仍 ” 一 一 研 缈 一 仍 弘一巩 盟讹 z 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 将( 2 - 1 1 ) 式代入可得 则 l n o o l n o o = ( a - - a ) + ( b b ) c p o l n 或一l n e o = 妒t - n 0 2 i n o 鲁 仍一伊2 = 瓴一纯) - n 万0 2 一z 一) l n 鲁 h 仍一r p 2 i 汐o ( 2 2 1 ) j = 渤一) l n 警一z 一) n 等一一) i n 2 r 2 + ：一) l n 2 1 令s ：堕丑( 1 n 反一l n o o ) + 1 n 2 吃一堕边l n 2 1 ( 2 2 2 ) 妒l 一缈o 、伊l 一 s ：i n2 2 0 2 c , 0 2 - q o1 n 盟 岛伊l c p ob ：l n z 2 ( 2 r 2 ) 一堕丑l n z 2 ( 2 - ) 矽l 一 从而s 的分布函数为 耶陋 = 十以2 矿篙- n 胞脚 = p k 砌e 哪+ 而( 0 2 一( p o n 以2 删) 斗m 啾矿厣，) = j c o 2 ( 2 r 2 ) 宰( x ) 仍一缅) 宰x z ( 2 r j ) p z ( 2 r 2 e x p ( s ) p ( x ) d x= 【 2 宰( x ) ”伽) 宰 1 4 ( 2 - 2 3 ) 包一幺 n一 研一研 nl 得 u 郦 嘞 瓴 一 v i 绵 砩 n n 一 一 岛 岛 n n ，c1【 一 锦 晶 ，j、【 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区问估计 第3 章多应力水平下指数分布参数的三阶精度区间估计 本章在参数的三阶精度区间估计采用了c o r n i s h f i s h e r 展开式来求解一般分 布的分位数。由于c o m i s h f i s h e r 展开式涉及到函数分布的高阶累积量，所以本 文在3 1 节中先介绍恒加试验的线性估计方法；3 2 节中介绍高阶累积量的定义、 性质以及c o m i s h f i s h e r 展开式的具体内容。在3 3 节中分别对各参数进行参数 估计及区间估计。 3 1恒加试验的线性估计 在产品寿命服从指数分布的情况下，定数截尾恒加试验的实施如下： ( 1 ) 确定正常应力水平s 。和七个加速应力水平s 。，s 2 ，s 。，这些应力水平 一般满足氐 s l o ，使 6 时，( ，) 0 ，故函数l o g f ( t ) 对 艿有意义而且单值( 只考虑对数函数的主值) 。由于特征函数具有如下性 质：随机变量善的n 阶矩存在，则特征函数可微分k ( k ，z ) 次，而且满足( 3 1 ) 式。l o g f ( t ) 的前n 级导数在0 点存在，令 舻弗蛔加) f ；o 邮玎， p 称舭为随机变量善( 或卺的分布) 的k 阶累积量。显然有 l o g 饨) = 喜酱 n 砸”) ( 3 _ 1 4 ) 七= l 几； 为了求出累积量与矩之间的关系，形式地在( 3 1 2 ) 、( 3 1 4 ) 0 0 令n o o 并利用 l o g f ( t ) = l o g ( 1 + 喜挚n = 善争一( 3 - 1 5 ) 加) _ 1 + 荟c o 卜p 静， ( 3 - 1 6 ) 比较最后一式中( f r ) 的系数，可见尻是聊l ，一，m 。的多项式，肌。也是z 。，厄的 名项式例如 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区问估计 反之 z l = m 1 = e 孝， z 2 = m 2 一沏1 ) 2 = d f ， z 3 = m 3 3 m l m 2 + 2 朋? ， z 4 = m 4 3 m ；一4 m l m 3 + 1 2 m 2 m 2 - 6 m 4 ， m l2z l ， m 2 = z 2 + z ? ， m 3 = z 3 + 3 z l z 2 + z ? ， m 4 = z 4 + 3 z ；+ 4 z l z 3 + 6 z jz 2 七z ：， ( 3 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) 函数分布累积量具有下列简单性质： 性质1 ：如随机变量点，孝：独立，它们的k 阶累积量z n ，z 1 2 存在，则孝= 点+ 岛 的k 阶累积量舭为屁= z l l + z 2 性质2 ：在变换r = 善+ 6 下，累积量( 除一阶外) 不变，b 为常数。 3 2 2 对数g a m m a 分布的累积量 令w j 服从参数为对数g a m m a 分布，则其密度函数为 忑1 e x p ( w f - - w 1 ) ，一 而 棚 1 n o o 1 n o o 一肠s2 x v a r ( 1 n o o ) ( 3 - 5 8 ) 由此可得参数岛的置信水平为1 一口的置信区间，即 o oe x p ( 一z s 州：厩磊r ( 1 n 丽 岛皖e x p ( 一z 参2x v a r ( i no o ) ) ( 3 - 5 9 ) 对平均寿命的区间估计方法中，传统的可采用正态近似方法。为了对传统 的正态近似方法和本文求平均寿命的估计区间的方法进行比较，首先介绍正态 近似方法，具体见( 张志华，2 0 0 1 ) 。 在正态近似方法下， l n 鼠a n ( 1 n 8 0 ，仃；) ( 3 6 0 ) 式中， 盯；= 肋( 1 n 反) = 砌，( 舀+ 占) = g + 丽0 0 2 e 了- 2 r ( o o i ( 3 6 1 ) 其中e ，g ，i 同式( 3 9 ) 。对于给定的置信水平1 一口，l n o o 的区间估计为 l n o o + c “酬2 l n o o l n 8 0 o r o u 口2 ( 3 6 2 ) 即 岛e x p ( o o u a 2 ) l no o e x p ( 一1 3 o u 酬2 ) ( 3 - 6 3 ) 注：由于指数分布场合下定数截尾步加试验等价于某种形式下的定数截尾 恒加寿命试验，所以上述结果也可以应用于定数截尾步加试验情形。 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 3 3 模拟研究 取参数剃，6 = 1 ，s 。= 1 ，加速应力水平为乒 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，则产品在正常 应力水平下的平均寿命钆= e x p ( 3 ) = 2 0 0 8 5 5 ，对于不同的应力水平数量七，样本 容量n ，和截尾数吒取不同的值，随机模拟的主要步骤如下： ( 1 ) 产生服从均值为谚指数分布的次序随机数x ”薯：，获得定数截尾寿 命数据f n ，f 加，m ； ( 2 ) 计算参数a 、b 、岛的线性估计值； ( 3 ) 计算a 、b 、o o 的三阶置信区间和近似正态置信区间； ( 4 ) 重复前面步骤1 0 0 0 0 次，分别求出两种方法在不同加速寿命试验方案下近 似区间估计的覆盖率； 具体模拟结果列表如下，其中表3 一l 参数a 、b 的近似下侧置信域的平均值， 表3 - 2 参数鼠的近似下侧置信域的平均值及置信区间覆盖率，表3 - 3 列出了三 阶精度与近似正态估计的钆置信区间的覆盖率比较表，具体a 、b ，o o 的比较表 见附录。模拟结果显示，二个近似方法的覆盖率相差不多，而参数钝的平均下 限表明本章所给近似方法优于直接用正态近似方法。 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 表3 - 1 参数a 、b 的近似下侧置信域的平均值 3 1 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 表3 - 2 平均寿命近似下侧置信域的平均值及置信区间覆盖率 三阶近似方法近似正态方法 k 0 1 ，一，) “，) 鬻覆盖率鬻覆盖率 ( 1 0 ，1 0 ) ( 1 0 ，1 0 ) ( 2 0 ，1 0 ) ( 2 0 ，1 0 ) ( 3 0 ，2 0 ) ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ) ( 2 0 ，2 0 ，1 0 ) ( 2 0 ，2 0 ，1 0 ) ( 4 ，6 ) ( 6 ，8 ) ( 1 0 ，5 ) ( 1 5 ，8 ) ( 2 0 ，1 5 ) ( 4 ，6 ，8 ) ( 1 0 ，1 0 ，8 ) 0 5 ，1 5 ，1 0 ) 3 ( 3 0 ，2 0 ，l o ) ( 1 0 ，1 0 ，8 ) ( 3 0 ，2 0 ，1 0 ) ( 2 0 ，15 ，1 0 ) ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) ( 4 ，6 ，8 ，1 0 ) ( 2 0 ，2 0 ，1 0 ，1 0 ) ( 1 0 ，1 0 ，8 ，8 ) 4 4 3 0 9 6 0 5 3 3 6 8 7 8 3 7 8 6 9 6 5 9 9 6 7 6 3 9 9 6 1 3 7 1 0 8 4 6 1 1 0 6 5 3 8 1 1 5 4 7 3 8 2 7 4 6 1 0 9 6 0 8 ( 2 0 ，2 0 ，1 0 ，1 0 ) ( 1 5 ，1 5 ，1 0 ，1 0 ) 1 2 1 5 9 9 ( 3 0 ，3 0 ，2 0 ，2 0 ) ( 1 5 ，1 5 ，1 0 ，1 0 ) 1 2 1 7 5 3 0 9 7 6 6 0 9 6 6 2 0 9 6 0 2 0 9 5 5 6 0 9 5 4 0 9 7 1 6 0 9 6 2 l 0 9 5 7 0 9 6 2 8 0 9 5 7 4 0 9 7 4 1 0 9 6 0 7 0 9 5 6 2 0 9 5 5 9 3 9 9 4 9 5 6 3 4 7 6 7 5 5 5 8 2 6 2 9 9 5 6 4 4 0 3 9 3 7 8 2 1 0 6 7 0 2 1 0 4 7 3 4 1 1 4 0 5 8 0 2 6 3 1 0 7 5 9 4 1 2 0 1 1 3 1 2 0 2 6 5 0 9 8 2 l 0 9 7 2 5 0 9 6 2 0 9 5 7 8 0 9 5 7 1 0 9 7 6 9 0 9 6 6 2 o 9 6 l 0 9 6 4 8 0 9 6 0 8 0 9 7 7 5 0 9 6 5 0 9 6 0 5 0 9 5 9 5 ( 3 0 ，3 0 ，2 0 ，2 0 ) ( 2 0 ，2 0 ，15 ，15 ) 13 0 7 70 9 5 6 3 12 9 5 4 90 9 5 9 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 表3 - 3 平均寿命近似区间估计的覆盖率比较表 3 3 - 定数截尾加速寿命试验下指数分布模型的区间估计 3 4 举例说明 我们仍采用茆诗松和王玲玲( 1 9 9 7 ) 中的例子，试验所采用的样本如2 2 节中 的产品一致，只是这次的恒加试验的加速应力水平是4 个加速电压水平下进行定 数截尾试验，具体的加速电压水平、样本容量和失效数列于表3 4 。 表3 4 多应力水平下恒加试验数据 试验条件 失效时间h s l = 1 5 v ，确= 3 0 ，_ = 1 0 2 4 3 ，5 4 7 ，6 2 8 ，6 9 7 ，9 1 7 ，2 2 4 5 , 2 9 9 7 ，3 0 0 1 ，3 1 2 3 , 3 8 2 0 s 2 = 1 8 v ，z 2 = 3 0 ，吃= 1 0 5 0 ，2 5 4 ，3 4 2 ，5 3 5 ，8 1 8 ，1 0 4 4 ，1 3 1 8 ，1 5 3 1 ，1 6 7 1 , 2 0 2 5 s 3 = 2 5 v ，聆3 = 2 0 ，3 = 1 5 5 6 ，8 5 ，1 4 5 ，1 7 6 ，4 2 3 ，4 3 9 ，4 9 8 ，7 3 5 ，7 6 3 ，8 3 3 ，8 9 0 ，9 8 7 ， l1 0 5 ，1 3 9 1 ，1 5 4 7 s 4 = 3 5 v ，挖4 = 2 0 ，_ = 2 0 1 1 ，3 5 ，4 2 ，4 9 ，5 1 ，5 5 ，6 5 ，8 9 ，9 8 ，1 0 0 ，1 1 3 ，1 2 0 ，1 2 3 , 1 3 3 , 1 3 3 ，1 5 8 ，1 7 1 ，2 0 8 ，2 1 9 ，7 3 4 ，i c 数据来源：茆诗松，工玲玲( 1 9 9 9 7 ) 为了便于计算，首先求出各应力水平下的总试验时间( 单位为h ) ，即 正= 9 4 6 1 8 ，疋= 5 0 0 8 8 ，五= 1 7 8 0 8 ，瓦= 2 7 0 7 ， 于是由式( 1 - 1 3 ) 可求得 4 = 9 2 0 5 9 ，龟= 8 5 6 9 8 ，也= 7 11 3 1 ，瓯= 4 9 3 3 1 1 由式( 卜1 8 ) 可求得 从而得到a 、b 的线性估计值，它们分别为 a = 2 3 4 2 7 8 ，b = 一5 1 6 2 7 在正常工作电压s 。= i o v 下，l n