（发展与教育心理学专业论文）辅助线对高中生解决空间几何问题的影响.pdfVIP

摘要 在目前的数学学习中，高中空间几何问题是一个难题，在几何问题解决中， 添加正确的辅助线和进行正确的表征是问题解决的关键，辅助线和问题表征质量 的高低将会直接影响到问题解决，几何教学的主要目的是教会学生在解决几何问 题时使用辅助线和进行表征，能够正确地对空间几何问题添加辅助线和进行表征， 随着心理学实验技术的发展，采用眼动与几何问题解决相结合的方法，为不同类 型辅助线对问题解决的影响提供了客观的生理指标，并由此引出了认知疲倦这一 指标，对衡量学生的学习效率和教师的教学效果有重要的意义。 本研究选取开封市某高中二年级4 8 名学生为被试，有效被试为3 6 名( 1 8 名 数学优生，1 8 名数学差生) ，优生和差生分别进行分组实验。研究一主要探讨数 学优差生解决不同类型辅助线空间几何问题的眼动特点，研究二主要探讨高中生 解决不同类型辅助线空间几何问题的表征特点和认知疲倦。本文在以往研究的基 础上，采用眼动实验的方法，探讨了不同类型辅助线、不同性别的被试和数学优 差生对高中生解决空间几何问题的差异，深入分析了不同类型辅助线、不同性别 的被试和数学优差生对高中生在空间几何问题的问题表征的影响。研究结论如下： 第一，优差生在解决具有不同类型辅助线空间几何问题时的眼动指标存在显 著差异，具体表现为优生在平均解题时间，平均注视次数，平均回视次数，平均 注视点持续时间等指标上显著少于差生。 第二，被试解答不同类型辅助线空间几何问题时的眼动指标存在差异，具体 表现为被试在解答核心辅助线空间几何问题时的平均解题时间，平均注视次数， 平均回视次数，平均注视点持续时间显著少于被试在解答干扰辅助线空间几何问 题时的平均解题时间，平均注视次数，平均回视次数，平均注视点持续时间。 第三，男女性别差异不显著，即不同性别的被试，眼动指标无显著差异；在 表征策略的选择上也无显著差异。 第四，优差生在解决不同类型辅助线空间几何问题时的表征策略存在差异： 优生倾向于使用形象策略，差生倾向于使用复述内容策略；使用不同表征策略的 被试在解决具有不同类型辅助线的空间几何问题时，表征策略没有显著差异： 第五，被试在解答完具有不同类型辅助线空间几何问题时，无认知疲倦组的 被试在兴趣区的回视次数上显著少于高认知疲倦组：低认知疲倦组的被试在兴趣 区的回视次数上显著少于高认知疲倦组；无认知疲倦组的被试的瞳孔直径大小显 著大于高认知疲倦组；低认知疲倦组的被试的瞳孔直径大小显著大于高认知疲倦 组。 关键词：空间几何问题，眼动，辅助线，表征策略，认知疲倦 a b s t r a c t i nc u r r e n tm a t h e m a t i c a ll e a r n i n g , t h es p a t i a lg e o m e t r i cp r o b l e m si nh i g l l s c h o o la 陀a c o n u n d r u m p r o v i d i n gc o t c c c ta u x i l i a r yl i n e sa n dp r o b l e mr e p r e s e n t a t i o n si s v i t a li ng e o m e t r y p r o b l e ms o l v i n g t h u s ，t h eq u a l i t yo fa u x i l i a r yl i n e sa n dp r o b l e mr e p r e s e n t a t i o n sw i l ld i r e c t l ya f f e c t t h ep r o b l e ms o l v i n g t h em a i np u r p o s eo fg e o m e t r yt e a c h i n gi st ot e a c hs t u d e n t sh o wt ou s ea u x i l i a r y l i n e sa n dr e p r e s e n t a t i o n st os o l v et h eg e o m e t r i cp r o b l e mc o r r e c t l y , a d da u x i l i a r yl i n e sa n de s t a b l i s h r e p r e s e n t a t i o n s t ot h e s p a t i a lg e o m e t r i cp r o b l e m s w i t h t h ed e v e l o p m e n to fap s y c h o l o g y e x p e r i m e n t , w ea r ea b l et ou s eam e t h o dw h i c hc o m b i n e se y em o v e m e n tw i t hg e o m e t r i cp r o b l e m s s o l v i n ga n dp r o v i d eo b j e c t i v ep h y s i o l o g i c a li n d i c a t o r sf o rt h ee f f e c to fv a r i o u sa u x i l i a r yl i n e so i l p r o b l e ms o l v i n g t h u s ，i tl e a d st oa ni n d i c a t o ro fc o g n i t i v ef a t i g u ew h i c h h a sap r o f o u n ds i g n i f i c a n c e o nm e a s u r i n gs t u d e n t s l e a r n i n ge f f i c i e n c ya n dt e a c h e r s t e a c h i n ge f f e c t i v e n e s s t h i ss t u d ys e l e c t e d4 8s o p h o m o r eh i g hs c h o o ls t u d e n t si nk a i f e n g t h e n 3 6e f f e c t i v e p a r t i c i p a n t s w e r eg a i n e d a c c o r d i n gt og o o do rb a ds c o r e sp e r f o r m a n c e ，w em a k eg r o u p i n g e x p e r i m e n tr e s p e c t i v e l y t h er e s e a r c ho n ef o c u s e so i ld i s c u s s i n gt h ef i g u r eo fe y e m o v e m e n to fh i g h s c h o o ls t u d e n t si ns o l v i n gd i f f e r e n tt y p e so fa u x i l i a r yl i n e so ns p a t i a lg e o m e t r i cp r o b l e m s t h e r e s e a r c ht w oe x p l o r e st h ef i g u r eo ft h er e p r e s e n t a t i o no fh i g hs c h o o ls t u d e n t si ns o l v i n gd i f f e r e n t t y p e so fa u x i l i a r yl i n e so ns p a t i a lg e o m e t r i cp r o b l e m s b a s e d 0 np r e v i o u ss t u d i e sa n de y e m o v e m e n t s ，w ed i s c u s s e st h ee f f e c to fd i f f e r e n tt y p e so fa u x i l i a r yl i n e s ，d i f f e r e n tg e n d e rp a r t i c i p a n t s i i i a n dg o o do rp o o rs t u d e n t so nt h ed i s c r e p a n c yo fh i g hs c h o o ls t u d e n t st os o l v et h es p a t i a lg e o m e t r i c p r o b l e m s a l s ow ed e 印a n a l y z et h ee f f e c to fd i f f e r e n tt y p e so fa u x i l i a r yl i n e s ，g e n d e rs u b j e c t sa n d g o o do rp o o rs t u d e n t so nt h er e p r e s e n t a t i o no fs p a t i a lg e o m e t r i cp r o b l e m sa m o n gh i g hs c h o o l s t u d e n t s t h ec o n c l u s i o n sa 他a sf o l l o w s ： f i r s t , t h e9 0 0 do rp o o rs t u d e n t sd i f f e r e de v i d e n t l yi nt e r m so fe y em o v e m e n ti n d i c a t o r si n s o l v i n gt h ed i f f e r e n tt y p e sh i g hs c h o o ls p a c eg e o m e t r i e sw h i c hs h a r ed i f f e r e n ta u x i l i a r yl i n e s t h e s p e c i f i cp e r f o r m a n c ei st h a tt h ee x c e l l e n ts t u d e n t su s em u c hl e s st i m ea n df r e q u e n c yt h a nt h ep o o r s t u d e n t ss i g n i f i c a n t l yi nt h ea v e r a g es o l v i n gt i m e ，a v e r a g ef i x a t i o nc o u n t , a v e r a g eb a c k s i g h tt i m e ， a v e r a g ef i x a t i o nd u r a t i o n s e c o n d , t h e r ed i de x i s ts o m ed i s c r e p a n c i e si nt h ei n d i c a t o r so fe y em o v e m e n t sw h e nt h es u b j e c t s w e r es o l v i n gp r o b l e m sc o n t a i n i n gd i f f e r e n ta u x i l i a r yl i n e s t h es p e c i f i cp e r f o r m a n c ei sw h e n s u b j e c t ss o l v e st h eh i 【g hs c h o o lg e o m e t r yp r o b l e m s ，t h es t u d e n t sw h ou s ec o r ea u x i l i a r yl i n eu s i g n i f i c a n t l ym u c hl e s st i m ea n df r e q u e n c yt h a nt h es t u d e n t sw h ou s ei n t e r f e r e n c ea u x i l i a r yl i n ei n t h ea v e r a g es o l v i n gt i m e ，a v e r a g ef i x a t i o nc o u n t , a v e r a g eb a c k s i g h tt i m e ，a v e r a g ef i x a t i o nd u r a t i o n t h i r d ，t h ed i s t i n c t i o no fg e n d e ri sn o ts i g n i f i c a n t , n a m e l y , t h ed i f f e r e n tg e n d e rs u b j e c t sd i dn o t d e m o n s t r a t et h es i g n i f i c a n td i s t i n c t i o ni nt h ee y em o v e m e mi n d i c a t o r s f o r t h , t h e r ee x i s t e dad i s t i n c t i o no fr e p r e s e n t a t i o ns t r a t e g i e sb e l 【、】i 啪g o o da n dp o o rs t u d e n t si n t h e i rs o l v i n gt h es p a t i a lg e o m e t r i cp r o b l e m ss h a r i n gd i f f e r e n tt y p e so fa u x i l i a r yl i n e s t h eg o o d s t u d e n t sa l ea p tt ou s ev i s u a l i z es t r d t e g i e sw h i l et h eb a ds t u d e n t sa r ea p tt ou s ec o n t e n tr e p e a t i n g s w a t e g i e s t h e r ew a sn os i g n i f i c a n td i s t i n c t i o na m o n gr e p r e s e n t a t i o ns t r a t e g i e sw h e ns u b j e c t s i v u t i l i z i n gd i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o ns t r a t e g i e ss o l v e dt h ev a r i o u sk i n d so fa u x i l i a r yl i n e so fs p a t i a l g e o m e t r i cp r o b l e m sa n dt h ec h a n g e so ft y p eo fa u x i l i a r yl i n e sd on o tg i v er i s et ot h ec h a n g e si nt h e c o i n c i d i n gr e p r e s e n t a t i o ns t r a t e g i e s a f t e rs u b j e c t ss o l v e dt h eh i g hs c h o o lg e o m e t r yp r o b l e m sw i t hd i f f e r e n tt y p e so fa u x i l i a r yl i n e ， t h es u b j e c t sw i t h i nc o g n i t i v et i r e l e s s l yt e a mu s es i g n i f i c a n t l ym u c hl e s sf r e q u e n c yw a nh i g h c o g n i t i v et i r e dt e a m ；t h es u b j e c t sw i t h i nl o wc o g n i t i v et i r e dt e a mu s es i g n i f i c a n t l ym u c hl e s s f r e q u e n c yt h a nh i i g hc o g n i t i v et i r e dt e a m ；t h ep a p i l l a r yd i a m e t e ro fs u b j e c t s w i t h i nc o g n i t i v e t i r e l e s s l yt e a mi ss i g n i f i c a n t l yb i g g e rt h a nh i g hc o g n i t i v et i r e dt e a m ；t h ep a p i l l a r yd i a m e t e ro f 。j _ s u b j e c t sw i t h i nl o wc o g n i t i v et i r e dt e a mi ss i g n i f i c a n t l yb i g g e rt h a nh i g hc o g n i t i v et i r e dt e a m k e yw o r d s ：s p a t i a lg e o m e t r i cp r o b l e m s ，e y e m o v e m e n t s ，r e p r e s e n t a t i o n ，c o g n i t i v ef a t i g u e v v i 引言 引言 在几何问题解决中，高中空间几何问题是比较难以解决的，特别是对一些空 间能力较差的学生来说，抽象的文字、繁杂的图形更是让人头疼，而给图形添加 恰当的辅助线和进行正确的表征是问题解决的关键。如果学生能够学会给图形添 加正确的辅助线和对问题进行正确的表征，那么将大大减少问题解决的时间和困 难，而如果教师也能够给学生这方面的指导，那么教师的工作量也大大减少，学 生也能减少学业的压力，正所谓：授之以鱼，不如授之以渔。 在高中空间几何问题解决中，大多需要借助助线来解决。作好空间几何图形 的辅助线，对解决高中空间几何问题至关重要。很多高中空间几何问题，如果没 有辅助线的话很难解决，甚至根本无法解决。辅助线是为了解决几何问题的需要， 在原图形上添加的线，它是将已知条件和未知条件紧密联系在一起，为实现解题 思路而架设的桥梁，在几何问题解决中起着桥梁作用和化难为易的作用，是解决 几何问题强有力的工具。但是并非所有的辅助线都会对解决空间几何问题有帮 助，不同类型的辅助线对解决空间几何问题有不同的作用，如果学生不能很恰当 地地添加辅助线，很可能辅助线不再对问题解决起辅助作用，而是起干扰作用。 为此，如何作好辅助线成为解决高中空间几何问题的关键。 对问题正确的表征同时也是问题解决的关键，学生在解答高中空间几何问题 时，往往无从下手，这时候，就需要学生对文字内容和图形内容进行正确的表征， 构建出正确的问题模型，将文字、图形、符号结合起来，从整体出发探讨，在问 题空间中找出正确的解决途径。 本研究将辅助线划分为两类：核心辅助线和干扰辅助线，探讨高二学生( 数 学优、差生) 在解决不同类型辅助线高中空间几何题目时的眼动特点，并从这些 角度分析了优生和差生成绩差异的原因，即他们在解题中使用的表征策略的差 异：另外对被试解完题后的认知疲倦进行了相关研究，从眼动角度揭示了认知疲 倦的生理机制，为认知疲倦的测量提供了观的生理指标。 辅助线对高中生解决空间几何问题的影响 2 第一部分文献综述 第一部分文献综述 1 数学问题表征的研究 表征是指通过一系列算子对外界信息进行记录、储存和描述进而改进信息的 结构方式，它是问题解决的开始，错误的表征常常导致错误的结果。问题表征是 指根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构、构建自己的 问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转变成内部的心理符号的过程( 董妍， 2 0 0 3 ) 。 问题表征既是一种过程，即对问题的理解和内化，是问题理解的一种结果， 即问题在头脑中的呈现方式。问题表征是问题解决的中心环节( s i m o n ，1 9 8 6 ) 。 对问题情境的表征或者对问题的理解在解题过程中起关键作用( 刘凡，1 9 9 0 ) 。正 确的表征是正确解决问题的必要前提，在错误的或者不完整的问题空间中进行搜 索，不可能求得问题的正确理解( 傅小兰，何海东，1 9 9 5 ) ：学生的数学表征能力， 尤其是空间表象能力与数学成绩之间呈正相关( 纪桂萍，焦书兰，何海东，1 9 9 6 ) 。 n o v i c k 和h u r l e y ( 1 9 9 9 ) 也发现，问题的适当表征与问题解决的成功之间存在正相 关。这些研究都清楚地表明了问题表征在数学问题解决中的重要作用。 g o l d i n ( 2 0 0 1 ) 认为：表征是一个映射，但它不同于原象，也不同于映射后的 象。表征既与客观事物相匹配，同时也保留了其原有的本质结构。 喻平( 2 0 0 5 ) 认为：问题表征是指个体通过明确问题的给定条件、目标和允许 的操作而将外部信息转化为内部符号，形成问题空间的过程。 目前的研究中，问题的表征形式一般分为两种：一是外在表征，即将问题以 图表、文字、数式、模型和实验等具体的东西表示出来；一是内在表征，即问题 在人脑中的思考。两者相互联系，外在表征是内在表征的具体化和外显化，内在 表征是外在表征的基础。由于人们的工作记忆容量是有限的，而良好的外在表征 可以大大减轻工作记忆的负担，有利于问题的解决。所以，在问题解决中，良好 的表征是非常重要的。 辅助线对高中生解决空间几何问题的影响 1 1 算术应用题表征的研究 在目前的算术应用题的表征研究中，研究者们基本上采用了问题解决研究中 行为实验的一些范式，如事后提问、回忆与再认、眼动实验等，并取得了一些成 果。 a n a n d 和r o s s ( i9 8 7 ) 的研究发现，学生在解答数学应用题时发生错误的原因 主要是学生建构了错误的问题表征。 s i m o n ( 1 9 9 0 ) 的研究发现，通常情况下，有些问题我们按照常规表征方式难 以解决，但若换了一个角度来进行表征，问题就迎刃而解了。这说明正确的问题 表征在数学问题解决中起着至关重要的作用。 m o n t a g u e 等人( 1 9 9 3 ，2 0 0 0 ) 的研究中，以数学学业不良儿童和一般儿童 及优秀儿童为被试，探讨他们在数学问题解决及数学知识的应用中的差异，结果 发现，数学学业不良儿童之所以数学成绩比较落后，是因为他们难以正确理解和 表征问题，依赖于一种试误法而不是其他更好的策略来解决问题。尽管他们可能 有着良好的基本计算技能和对数学的积极态度，但他们仍是很差的问题解决者。 路海东等人( 2 0 0 3 ) 以小学五年级学生为被试，对他们解决和差应用题的表 征策略进行了研究，发现小学生在解决和差应用题时，存在着两种表征策略，即 直译策略和问题模型策略，解题失败组在表征和差应用题时大多倾向于使用直译 策略，而解题成功组则更倾向于使用问题模型策略。 陈英和等人( 2 0 0 4 ) 在研究中发现，2 4 年级儿童解答一致性和不一致性 数学应用题时，学优生较多地使用问题模型策略对问题进行表征，学差生较多地 使用直接转换策略对问题进行表征。 董妍等人( 2 0 0 4 ) 在研究中发现，成功的解题者能够很好地判断问题的一致 性，他们在运用直译策略表征数学比较应用题时也能获得较高的正确率，但是对 不成功者的解题者来说，他们运用直译策略解题时正确率很低。 胥兴春，刘电芝( 2 0 0 5 ) 以数学困难儿童为被试，让他们进行数学问题解决， 研究结果表明，数学困难儿童不能成功解决数学应用题的关键在于缺乏正确的问 题表征，不能准确反映数学应用题的本质数量关系。 喻平( 2 0 0 5 ) 在其研究中选用可在不同数学结构中进行表征的数学开放性问 题为实验材料，以不同年级的中学生为被试，分析被试问题表征的环节和问题解 4 第一部分文献综述 决的结果，结果发现：中学生对数学问题的表征由一维向二维、三维情形逐步 发展；问题表征受个体数学知识背景和c p f s 结构的影响；问题表征受个体 思维水平的影响；问题表征是一个循环深入的过程，其中伴有顿悟的因素。 冯虹、阴国恩、安蓉( 2 0 0 7 ) 的研究中对不同年级学生解决数学比较应用题 过程中的各种指标进行了分析，结果表明：学生解比较应用题时的问题表征形式、 问题表征层次存在显著的年龄特征；数学成绩优生和数学成绩差生之间存在显著 不同的问题表征形式和问题表征层次：题目的呈现方式对学生解比较应用题时的 问题表征形式和问题表征层次有显著影响。 郑琳娜、张奇( 2 0 0 7 ) 考察了数学困难儿童在不同类型应用题上的表征类型 及其对应用题解决的影响，结果表明数学困难儿童的表征类型多是不适宜表征， 不利于应用题解决。 于素红等人( 2 0 0 7 ) 以小学三年级聋生和听力正常的学生为被试，研究他们 在表征和解决加减文字题时的差异，结果发现在解决加减文字题时，聋生与听力 正常学生在阅读方式、注视关键信息上有显著差异，很多聋生阅读没有规律，漏 看文字的关键信息，而且聋生解决加减文字题的困难与不能正确表征文字题的文 本有关。由此可见，能否注意到关键信息对解题非常关键，对关键信息的正确表 征有助于应用题的解决。 综上所述，表征在数学问题解决中起着关键性作用。良好的问题表征能促进 个体对问题的正确理解，选择适当的策略组织信息以解决问题正确的问题表征是 解决问题的必要前提，在错误的问题表征中是不可能求得问题的解决。 1 2 几何图形表征的研究 在数学问题解决中，几何图形的作用是不容忽视的，做出恰当正确的图形， 对问题表征起着至关重要的作用，图形可以清楚地呈现信息间的联系，缩短审题 时间，进而很快地找出问题解决的方向。 冯美玲( 2 0 0 3 ) 在总结前人的研究的基础上，提出了初中生解决平面几何问 题要经历四个表征层次：文字表征：与问题的文字描述有关，是对问题文字陈 述的表面理解，表现为阅读题目：图形表征：根据题意画出相应的图形，识别 其中的基本图形及定理图形( 反映定理内容的有关图形) ，必要时添加辅助线， 并在图形上标出已知量、未知量和与之有关的量：符号表征：利用公式、函数 s 辅助线对高中生解决空间几何问题的影响 等数学符号进行表达或计算；原理表征：在识别出图形中的有关模式后，以此 来激活长时记忆中的相关知识及原理，寻找解题依据，进而把问题提供的信息进 行整合，形成问题空间。 图形表征包括平面几何图形、空间立体图形、建立在坐标系下的函数图像以 及各种统计图( 如条形图，饼状图等) 。图形表征具有以下特点：直观性、整体 性与共识性、可操作性。 1 2 1 直观性 图形表征比较显著的直观性，是数式表征不可比拟的。在日常的数学教学中， 如果教师在课堂上能借助图形表征的直观性这一优势，将抽象的公式、定理形象 化，从而将代数层面的符号操作转化为几何层面的图形操作，将会产生更为简洁、 直观的解题思路。 1 2 2 整体性与共识性 图形表征的整体性和共识性，可以让解题者从整体的角度把握问题的全部， 使解题者从宏观上考虑问题，而不仅仅局限于问题某一个小方面，从而便于解题 者尽快地找出解题思路。在常规代数问题中，解题思路往往比较冗长繁琐，而一 个恰当的图形表征可以让解题者从繁冗纷杂的思路中找出简洁的解题方法。罗增 儒( 2 0 0 4 ) 在其研究中也指出，图形的整体性与共识性这些特征，使我们既可以 不受时间顺序的束缚，又可以不受逻辑顺序的束缚，可以一览无遗地把握图形的 各个要素和联系。 1 2 3 可操作性 图形的直观性可以让解题者对图形进行直观操作，即图形表征也具有可操作 性，例如，对一个几何图形，可以进行翻转、标注、添加辅助线、平移、增补、 拓扑变形等操作。图形表征的可操作性与解题者的形象思维能力和视觉空间维度 的人格风格相关。 1 3 数学问题的表征策略 数学心理表征指为了便于解题者更好地理解题意，而将数学问题从文字形式 转换成有意义的图形的过程和能力，包括符号的建构、数学概念的确立、视觉图 式的构建、空间图式的构建和策略的生成等过程，这些表征形式虽然具有高度的 结构性，但有时是在解题者无意识状态下完成的。数学心理表征还包括一些非智 6 第一部分文献综述 力因素，即与数学相联系的情绪情感因素，如学生对数学学习的态度、信仰和价 值观等，情绪情感因素可促进或阻碍学生对数学的理解。 在数学解题过程中，大部分的解题者都会建立数学心理表征，不同的是所采 取的解题策略各有不同，因此解题的结果也就产生了差异。一些学生在数学运算 上没有问题，但在需要相同计算能力的应用题中却常常出现错误，因为在错误的 心理表征中进行运算是无法得出正确结果的，这些学生即使在数学运算上没有困 难，但是在数学表征上即理解问题上存在困难，出现了错误，同样无法得出正确 的结果。 数学是关于数量关系与空间形式的学科，数学问题外部表征包括由各种数学 符号组成的数式表征和由几何图形组成的图形表征。数式表征与图形表征被认为 是最富数学特点的问题表征，几乎所有数学问题的解答都要涉及到这两种表征。 而这两种表征方式分别对应了逻辑思维和形象思维，它们所涉及的心理加工方式 又恰恰对应了言语表象维度。另一方面，两种表征的相互转化数形结合 在我国一向被视为一种行之有效的解题策略。 l e w i s 等人( 1 9 8 9 ) 在研究中把学生解应用题的过程分为问题转换、问题整 合、构思方法和执行过程4 个阶段。结果表明，被试在解不一致应用题时容易出 现相反计算方法的错误，出现这种错误的原因是被试不能正确地理解题目的正确 意义，即他们对题目内容中的关系句进行了错误的表征，这种错误的表征导致了 被试选择了错误的算法，并不是被试在计算过程的错误。 h e g a r t y 等人( 1 9 9 2 ，1 9 9 5 ) 为更精确地探讨数学差生在解答数学应用题时不 能很好地理解题意的原因所在，以大学生为被试，探讨分析他们在解二步式比较 应用题中在读题和列式时的眼动指标，发现他们在表征数学应用题时存在两种策 略，即直译策略和问题模型策略。直译策略事指首先从题中选取数字，然后对数 字和关系词进行加工，注重运算过程；问题模型策略实指首先试图理解问题情境 ( 关注应用题中的变量名) ，然后根据情境表征制定计划，注重理解问题中条件之 间的关系。实验证明，解题失败者大部分选择的是直译策略，而解题成功者往往 采用的是问题模型策略。 澳大利亚学者l o w r i e 和k a y ( 2 0 0 1 ) 以采用视觉化和非视觉化进行问题表 征的小学生为被试进行研究，结果发现，问题的任务难度对于他们采用何种表征 7 辅助线对高中生解决空间几何问题的影响 方式解决应用题有重要的影响：对于比较困难和新颖的数学应用题通常倾向于采 用视觉化的表征方式，而对于较容易和普通的的数学应用题则倾向于采用非视觉 化的方式来进行表征。 s t e p h e n ( 2 0 0 3 ) 把在实验中观察到的不同解题者的不同行为归结为两种不 同的问题表征策略，即问题模型策略和直接转换策略。 俞国良等人( 2 0 0 3 ) 以我国数学学习不良儿童为被试，研究了他们的视觉空 间表征类型，发现在小学高年级阶段，即五、六年级学生数学问题解决的正确率 和使用图式表征的程度显著高于四年级学生。 骆劲华( 2 0 0 5 ) 在其硕士论文中研究了不同年级被试添加辅助线的眼动研究， 选取了不同年级的优差生被试，通过分析被试在解决平面几何问题解决时的眼动 特征发现，在审题阶段，低年级以及差生在问题表征时多采用复述内容策略，表 现为他们的注视轨迹是从文字部份开始逐句逐行地进行审题，按顺序看完一遍后 如果没有找到关键信息就采取再从头到尾看一遍的复述方式，反复多次直到能够 对问题进行正确表征。而高年级以及优生则多采取最有利于元认知监控和正确解 题的结构表征、形象表征以及抽象表征的策略，即审题时将文字部分的内容与图 形部分的相关内容结合起来，把文字、概念、符号等抽象成一个完整的命题表征 系统，这种表征方式有助于减少记忆负荷、提高储存能力，以更具操作性和简化 复杂关系的形势对信息进行编码和处理。 张锦坤等人( 2 0 0 6 ) 以2 1 名大学生为被试，探讨了大学生解决三步比较应 用题时所使用的表征策略，得出以下结论：大学生被试解三步式比较应用题时 往往采用直译策略和问题模型策略；解题成功者倾向于对应用题情境进行加 工，即采用问题模型策略，解题失败者往往采用直译策略。 2 数学问题的眼动研究 随着心理学实验室技术的快速发展，研究者对于数学问题的表征开始逐步偏 向寻求客观指标，即可以将数学问题表征的行为实验和电生理研究相结合，一方 面，客观的电生理研究可以为数学问题表征的行为实验的研究结论提供更客观的 证据；另一方面，也可以通过电生理研究来更深一步地了解问题表征的生理机制， 从而能够在教学实践中更好地指导教学工作。 8 第一部分文献综述 在数学问题表征研究中，出声思维法是最常用的研究方法，但在运用这种方 法时，需要不停地打断解题者的思维活动，所以难以获得客观真实的结果。k i r k 和a s h c r a f t ( 2 0 0 1 ) 在其研究中指出，出声报告不总是准确的，它能改变正常的 心理加工过程，并最终将被试的注意力吸引到实验者的假设中来。而实验室眼动 技术的发展弥补了这一方面的不足( v a nd e rs c h o o t ，a r k e m a ，h o r s l e y ，v a i ll i e s h o u t ，2 0 0 9 ) ，眼动技术用客观的眼动指标来深层次客观地了解被试如何从具 体的题目线索中建构其心理表征，并认为注视时间长的内容得到了更深的加工。 2 1 国外有关数学问题的眼动研究 2 0 世纪6 0 年代，心理学家开始将眼动实验运用于数学解题过程中的研究， 数学问题解决过程的眼动研究涉及三个方面：数字运算过程的眼动研究、数学应 用题解题过程的眼动研究和几何题解题过程的眼动研究。 2 1 1 数字运算的眼动研究 关于数学问题的眼动研究，首先是对数字运算的眼动研究，心理学家们通过 观察被试在数字运算过程中的眼动指标及眼动轨迹，进而探讨被试在数字运算过 程中的认知加工特点。 w i n i k o f f ( 1 9 6 7 ) 选取了问题解决中常见的字母密码算术题为实验材料，记 录被试在问题解决中的眼动指标和眼动轨迹，借此考察被试的眼动模式与其出声 思维之间的关系。结果表明，被试在问题解决过程中，倾向于注视正在计算或试 图回忆其数值的字母。 s u p p e s ( 1 9 8 3 ) 通过记录被试在数字运算过程中的眼动情况，以注视、眼跳、 回视等眼动指标为基础提出了眼动的程序性理论，这一理论可以解释被试在做数 字加减过程中对某个数字的注视持续时间和眼跳方向等指标的意义。他们发现， 之所以被试对不同数字的注视点持续时间变化较少，原因可能在于加减法的某种 结构性特征影响题目的难度，由于题目的难度导致了被试需要对这种结构性变量 进行回视。 由此可见，前人对数字运算过程的眼动研究取得了一定的成果，在不同研究 任务中研究者们采用了不同的任务材料，有简单的加法运算，也有复杂的密码算 术题，任务材料比较丰富。但是在这些实验中使用的眼动指标较少，不能充分探 讨和分析被试在解题过程中的认知加工过程，需要我们后来者进一步补充和完 o 辅助线对高中生解决空间几衄题瞧堂响 善。 2 1 2 应用题解题的眼动研究 数学应用题在数学学科教学中是一个比较重要的环节，涉及到学生对语言和 数字的加工，是一个较抽象的过程，2 0 世纪5 0 年代，心理学家们对数学应用题 的研究主要采用出声思维或边思考边写出解题思路的方法，但是这种方法是不客 观的，带有一定的主观性，甚至以打断被试的思路为代价，得出的结果不一定真 实而可靠，而眼动技术的发展给数学应用题的研究带来了一个崭新的未来，它以 科学的手段记录了被试客观的思维活动，解决了问题解决研究中的一大难题。 早在2 0 世纪6 0 年代，国外就有心理学家开始采用眼动技术来对数学应用题 解题过程进行眼动研究，但由于各种原因，到目前为止，采用眼动技术进行数学 应用题解题过程的研究并不是很多。 r i l e y 等人( 1 9 8 8 ) 在其对数学应用题解题过程的研究中，认为数学一步应 用题具有不同的语意结构，并且语意加工在解题过程占据着很重要的地位，数学 差生在解题过程中，虽然也对问题的内容进行语意加工，但是由于没有成功地构 建完备的语意图式，导致这些数学差生在遇到一些语意结构颇为复杂和困难的数 学应用题时，就无法构建出合理的语义图式，自然也就无法正确地解答。 v e r s c h a f f e l 等人( 1 9 9 2 ) 用眼动实验法验证了l e w i s 等人关于被试解不一致 应用题时容易出现相反算法错误的理论。他们设计了3 个眼动实验，第一个实验 选取了一部分大学生为被试，让他们解答数学一步应用题，但实验结果并没有验 证l e w i s 等人理论的正确性，研究者的解释是这些实验材料过于简单，出现了天 花板效应；第二个实验选取了小学三年级的学生为被试，实验任务仍然是解答数 学一步应用题，第二个实验的结果验证了l e w i s 等人的理论；第三个实验依旧选 取大学生为被试，但实验材料变成了数学两步应用题，这次的结果也较好地验证 了l e w i s 等人的理论，同时也可以说明第一个实验没有很好地验证l e w i s 等人的 理论的原因，即数学一步应用题对这些大学生被试来说过于简单，出现了天花板 效应。据此可以得出结论，l e w i s 等人的理论是建立在被试对解答实验任务感觉 较困难并需要复杂的认知加工的基础上。 h e g a r t y 等人( 1 9 9 5 ) 根据数学应用题解题失败者的眼动模式和眼动轨迹， 探讨了解题者解题失败的原因所在，他们在一些信息的注视上往往花费了较多的 1 0 第一部分文献综述 时间，而没有抓住问题解决的关键所在，即良好的问题表征。 2 1 3 几何题解题过程的眼动研究 几何题目是数学中较难的一种题目，尤其是空间几何题目更是一个极为复杂 的认知过程，解题者要经历：读题、构建图形( 若题目未提供图形) 、在已有图式 中搜索、从记忆中提取相关内容、推理并最终使问题得以解决，其中包括数值计 算等过程。 最初在几何解题过程的眼动研究中，研究者选择的是带有图形的平面几何题 目，因为带图形的平面几何题目对解题者的认知要求较高，因此，深入研究这一 阶段对了解解题者解平面几何解题的认知过程将具有重要意义。该阶段的研究内 容也不仅局限于对眼动模式的研究，还扩展到了对视觉工作记忆容量的估计，并 提出了o g r e 模型( 动眼几何推理引擎模型) ，形成了视觉工作记忆容量研究的 一个新思路。 o g r e 模型把被试在几何解题过程中的注视序列描述为一个普阿松过程，并 认为被试的注视持续时间服从r 分布。此外，还定义了被试解几何题过程中的扫 视路径，并认为被试的扫视路径具有近似独立性。在之前的一项研究中，研究者 选取了具有不同解题能力的被试，以1 0 道难度程度不同附带图形的和对初始条 件简要说明的平面几何题目为实验材料，通过注视持续时间、眼跳、扫视路径、 回视等眼动指标分析了被试的解题过程。研究者根据实验数据，用o g r e 模型 估计被试的视觉工作记忆容量，结果发现，此次实验得出的短时记忆容量比以往 研究更小一些。研究者们还认为，视觉工作记忆容量大小的变化与实验材料的复 杂程度有关。 o g r e 模型的提出不仅可以解释几何解题过程，而且还可以解释算术中的竖 式计算、代数应用题的解题过程等。但也存在一些缺点，如o g r e 模型在解释 被试解题过程的眼动模式和估计视觉工作记忆容量时，其步骤相当繁琐，所以， o g r e 模型只适用于解释被试解答较容易的几何题的解题过程，而不适用于解释 被试解答复杂的几何题( 如平面几何证明题、立体几何题等) 的解题过程。 随着眼动技术的不断进步和实验材料的丰富，国外在数学问题眼动研究这方 面也在不断地取得进步，为迸一步的研究打下了坚实的基础。 辅助线对高中生解决空间几何问题的影响 2 2 国内有关数学问题的眼动研究 2 0 世纪3 0 年代，我国学者沈有乾率先利用眼动技术对汉语阅读进行研究， 这为我国数学问题解题过程的眼动研究打下了夯实的基础。并且近些年来由于我 国的心理学实验室技术的快速发展和一批致力于心理学的学者的不懈努力，国内 关于数学解题过程的眼动研究正在不断地进步和发展。 杨东等人( 2 0 0 3 ) 以专家儿童和新手儿童为被试，通过眼动仪来记录他们在 在解决数学应用题时的眼动指标和眼动轨迹，结果发现，专家儿童和新手儿童在 眨眼次数、注视频率等眼动指标上有显著差异，专家儿童和新手儿童在阅读效率 上差异显著，即专家儿童的阅读效率明显高于新手儿童：但在有图数学应用题和 无图数学应用题的解决过程中，专家儿童和新手儿童虽然也有差异，但差异并不 显著。 自学军等人( 2 0 0 4 ) 在实验中采用眼动记录法，探讨了被试的工作记忆、两 个前提间的关系以及表达方式对线性三段论推理的影响。通过分析被试的总注视 时间、第一次注视时间、第二次注视时间和回视等眼动指标，发现