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初中函数教学中图像表征的实效研究 摘要 摘要 在初中数学教学内容中，函数是结合了代数的运算与几何的论证等基本知识所形成的 综合概念。学生关于函数的学习，是从原先对常量的研究，发展到对变量之间关系的探索， 是认识客观事物的一个飞跃。但是由于有些教师在函数教学方法中存在的诸多问题，严重 地影响了学生对函数的正确认识和有效运用。为了改进函数教学的实效，笔者通过深入研 究图像表征的意义，在教学中借助多媒体手段辅助教学，深入开展了函数图像表征对于培 养学生学习函数的兴趣、提高学生对函数的概念、性质的正确认识以及函数综合运用能力 的实效研究，有效地培养了学生利用“形的直观性、“数 的规范性，通过对“形”、 “数的相互转化和有机结合，探究和揭示函数的规律，从而提高了学生运用辩证唯物主 义观点观察事物、分析问题、解决问题的能力。 关键词图像表征；兴趣培养；数形结合；概念教学；二次函数；实际应用 初中函数教学中图像表征的实效研究摘要 a b s t r a c t i nt h ec o n t e n to fc o u r s e so fm a t h e m a t i c si n t h ej u n i o rm i d d l es c h o o l ，f u n c t i o ni sa s y n t h e s i z e dc o n c e p tw h i c hi sc o m b i n e dt h ea l g e b r aa n dp e r f o r mo p e r a t i o nw i t ht h eg e o m e t r y e x p o u n da n dp r o v ew a i t i n gf o rt h eb a s i ck i l o w l e 姑e t h ep r o c e s so fs t u d y i n gf u n c t i o na m o n g s t u d e n t sc a nb er e g a r d e da sao v e r sh o o to fk n o w i n go b j e c t i v eo b j e c t t h i sk i n do fs t u d y i n gi s f r o mt h er e s e a r c ho fc o n s t a n to r i g i n a l l yt ot h ed i s c o v e r yo fp r o b i n gt h ev a r i a b l ea f f e c t e d h o w e v e r , m a n ys t u d e n t sr a i s e dal o to fp r o b l e m sd u r i n gt h es t u d yb e c a u s eo ft h ed i f f e r e n tw a y s o ft e a c h i n go ft h e i rt e a c h e r s t h u s t h e r ec o m et h es e r i o u sp r o b l e m si nu s i n gf u n c t i o n sc o r r e c t l y a n da p p l y i n gt h ek n o w l e d g ee f f e c t i v e l ya m o n gt h es t u d e n t s i no r d e rt oa c t u a l l yi m p r o v et h e e f f e c to ft e a c h i n go ff u n c t i o n ，t h ea u t h o ro ft h i st h e s i sh a sb e e nc a r r i e do nar e s e a r c hi na t h o r o u g h g o i n gw a y t h ea u t h o rs t u d i e dt h es e n s eo fs y m p t o mo fi m a g et oa r o u s et h ei n t e r e s t so f s t u d e n t si nl e a r n i n gt h ek n o w l e d g ea n dt h e nf o r mt h ec o r r e c tc o n c e p to ff u n c t i o na n dp r o p e r t yo f f u n c t i o ni nt h e i rm i n d w i t ht h ea i do ft h em u l t i m e d i a a f i e rt h a t ，t h es t u d e n t sc a nb er a i s e dt h e a b i l i t yo fu s i n gt h ef u n c t i o n a n ds y n t h e s i s t h r o u g ht h i ss t u d y i n g ，t e a c h e r sc a nb r i n gu pt h e s t a n d a r dn a t u r eo fn u m b e ra n da u d i o v i s u a ln a t u r eo fu s i n gs h a p ea m o n gs t u d e n t s 1 1 l ea u t h o r p r o b e da n db o u g h tt h el i g h tt h el a wo ff u n c t i o nt h r o u g ht r a n s f o m lt ot h eo r g a n i cm u t u a l l yt o s h a p ea n dn u m b e rw i t ht h ec o m b i n a t i o no ft h et w oi t e m si no r d e rt or a i s et h ea b i l i t yo ft h e s t u d e n t sa n da p p l yt h e mt h ev i e wo fd i a l e c t i c a lm a t e r i a l i s mo b s e r v et h eo b j e e t ，a n a l y z et h e p r o b l e m sa n ds o l v et h ea b i l i t yo fp r o b l e m s k e yw o r d s ：s y m p t o mo fi m a g e ；r a i s ei n t e r e s t s ；t h ec o m b i n a t i o no fs h a p ea n dn u m b e r ；t e a c h i n g o nc o n c e p t ；f u n c t i o no f t w i c e ；u s i n gi nr e a l i t y i i 初中函数教学中图像表征的实效研究引言 引言 函数作为数学的重要内容之一，其理论和应用几乎涉及数学的每一分支。在中学数学 教学中，函数是贯穿始终的一条主线。2 0 0 4 年颁布的c i r 海市中小学数学课程标准作为 指导上海二次课改实施的纲领性文件，它就“课程理念 、“课程目标、“课程结构 等方面进行了详细而准确的界定，比如“数学是研究数量关系和空间形式的科学川；“上 海市中小学数学课程标准把所有学生共同需要的数学基础知识，按其所属的知识领域， 分为数与运算、方程与代数、图形与几何、函数与分析、数据整理与概率统计 等五个部分。 u 1 。其中对“函数与分析 所提出的教学要求是：“理解函数的意义：理解 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，会画这些函数的图像并掌握从图 像中得到的一些基本性质。 n 1 “函数思想 作为一种现代数学思想，可以有效地、方便 地解决一些数学问题，在学生的数学学习过程中有着极其重要的意义和作用。正如张奠宙 先生说的：“函数是数集之间的一种对应，表面好像没有什么文化意义。但是，为什么要 研究函数? 函数为什么重要? 0 0 0 10 0 ，牛顿创立微积分，哲学上对物质运动的学说，宏观的 变量说，微观的对应说、形式的关系说等等，函数的文化底蕴就在其中。 2 3 由于函数内容是有效地结合代数的相关运算与几何的推理论证等基本知识所形成的 综合概念，所以初中对函数研究的重点，主要是注重函数解析式的确定( 即符号表征的确 定) 、函数图像的研究( 即图像表征的规律探索) 及其性质的归纳( 即文字表征的表述) 。 在日常教与学中，运用函数图像表征所蕴含的富有特色的函数性质及其规律，发挥图像表 征的直观性、形象性、便于识记等特点，帮助学生正确理解题意，学会灵活运用已掌握的 函数性质和规律正确解题。因此在函数的教与学过程中，加强对函数图像表征教学方式的 研究，是每一位初中数学教师在日常教学中应该认真研究和探索的课题。 初中函数教学中图像表征的实效研究 第一章研究的意义 第一章研究的意义 1 1 研究的背景 1 1 1基于当前数学二期课改的需要 函数作为研究变量与变量之间相互关系的数学基本概念，是学生在掌握了代数的基本 运算法则、几何演绎推理方法后，首次接触到的第一个表述变量之间关系的数学基本概念。 它作为学生今后能更容易、更深层次了解、研究更为复杂的函数概念、性质的重要基础， 在初中数学教学中一直占有相当重要的地位。上海在实施二期课改以后，函数内容的考核 始终在上海市初中升学考中占有相当大的比重。( 见表1 ) 表1历届上海市初中毕业生统一学业考试函数考核内容统计表( 2 0 0 3 2 0 11 ) 直角坐标系函数值 函数正比例反比例 一次函数二次函数 y 与x 的 年份 定义域函数函数函数关系式 题璎分值题璎分值题掣分值题犁分值题犁分值题型分值题型分值题型分值 解答 1 0 填空 2 2 0 0 3 填空 2 填空 2 解答 l o 解答l o综合 4 解答1 0 2 0 0 4填空2填空2 选择 3 综合 5 综合 1 2 填空 3 2 a d 5 填空 3 填空 3 填空 3 综合 4 解答 1 0 选择 4 2 0 0 6填空3填空3解答5解答 7 解答1 2 填空 3 选择 4 2 0 0 7 解答l o填空3填空3填空3解答 4 解答1 2综合 5 解答 4 解答 4 选择 4 2 0 0 8 填空 4填空4填空4填空4综合7 解答1 2 选择 4 2 0 0 9 填空 4 填空 4 解答 8 综合 5 填空 4 填空 4 2 0 1 0 填空 4 选择 4填空4 解答 1 2 综合4 填空 4 选择4 2 0 l l 填空 4 综合 5 解答 4 解符8 从表l 的统计中我们发现，近几年，虽然上海考试院考虑到中考数学考核内容的均衡 性以及适当降低考核难度需要，所以函数内容的考核与前几年相比较，所占的比重略有下 降。但是在中考中，函数部分的考核内容却从原先注重考核函数解析式的确定和变式、函 数性质的应用，逐渐向注重函数图像表征的解读、与几何内容( 比如三角形相似、锐角三 角比等) 的结合方向转变( 见表2 ) ，这就提醒我们教师不能只关注对函数符号表征的确 定，而应培养学生对函数图像表征、文字表征的解读，教会学生认识、研究函数的方法， 从而适应二期课改的要求以及今后能更好地理解、研究更为复杂的函数。 2 初中函数教学中图像表征的实效研究第一章研究的意义 表2 历届上海市初中毕业生统一学业考试函数“数”与“形”的考核内容统计表( 2 0 0 3 2 0 1 1 ) 函数( 包括数形)数与式图像与性质 年份试卷总分 占总分占函数占函数 总分总分总分 百分比百分比百分比 2 0 0 31 2 04 03 3 3 82 0 3 28 0 2 0 0 41 2 03 42 8 3 1 23 5 3 2 26 4 7 2 0 0 51 2 02 62 1 7 1 35 0 1 35 0 2 0 0 61 5 03 42 2 7 7 2 0 6 2 77 9 4 2 0 0 71 5 05 53 6 7 3 05 4 5 2 54 5 5 2 0 0 81 5 03 9 2 6 1 1 2 8 2 2 87 1 8 2 0 0 91 5 02 91 9 3 1 24 1 4 1 75 8 6 2 0 1 01 5 02 81 8 7 4 1 4 3 2 48 5 7 2 0 l l1 5 02 91 9 3 82 7 6 2 l7 2 4 1 1 2 基于学生的学、教师的教需改进的需要 由于函数思想是解决许多实际问题的重要手段和方法，所以在初中阶段，函数知识的 教学，作为数学基础知识、基本思想的教学，应占有非常重要的地位。其原因是：一方面， 在数学发展中，由研究常量到研究变量，是人类认识客观事物的一次飞跃，用运动、变化 的观点去研究变量之间的相互关系，对培养学生的辩证唯物主义观点，以及运用这一观点 去观察和分析问题都有十分重要的意义。另一方面，它在整个中学函数教学的这条主线上， 起着承前启后的关键作用。学习了函数之后，又能在认识上提高一步，同时还能为今后进 一步学习函数奠定基础。b 1 但是，在如今的函数教学中，由于教师和学生对函数的知识内容以及函数在数学中所 处地位的理解上出现了偏差，从而导致在函数的教与学中出现以下一些问题，从而影响了 学生对函数的深刻理解和进一步的认识。 一、重“数 轻“形”，淡化了对“形 的理解 数学思想是指人们在研究数学过程中，对其内容、方法、结构思维方式及其意义的基 本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。在初中阶段的数学教学要求中， 需要培养学生具备一些基本的数学思想方法，比如方程思想、类比思想、化归思想、分类 讨论思想、函数思想、数形结合思想、归纳推理思想等。其中数形结合思想作为理解、掌 握函数特征的重要方法，一直是函数教学的重中之重。 函数中的“数 反映的是函数变量之间的数量关系，“形 体现了函数图像的形状、 大小、位置。著名数学家、数学教育家华罗庚说：“数与形，本是相倚依，焉能分做两边 飞；数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。因此充 分利用“数 、“形 结合，将原先抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维 和形象思维巧妙结合，从而实现抽象概念与具体形象的联系和转化，使所要研究的问题化 难为易、化繁为简。 但在现今的函数教学中，往往很多教师还是过多地倾向于对函数的“数的研究和考 初中函数教学中图像表征的实效研究 第一章研究的意义 核，比较轻视“形 的重要作用。他们认为画函数图像，尤其是画二次函数图像要求太高， 比较麻烦。而学生在利用函数概念解决问题时，首先想到的也是函数解析式，如自己熟悉 的一次函数、二次函数或正比例函数、反比例函数等，图像很少被学生使用。学生常常把 函数图像与函数解析式相互孤立对待，在进行函数相关内容的代数运算时，很少联想起将 函数的图像性质与代数运算结合使用。当学生被问起为什么要画函数图像以及函数图像对 于研究函数有什么作用时，很多学生很茫然，很难把图像表征与解析式所反映的性质结合 起来。3 因此在研究函数时，较少绘制相应的函数图像；而在介绍函数图像的绘制方法时， 教师也只是简单地介绍描点绘图的方法，然后让学生绘制几个特殊的函数图像后了事，紧 接着就又回归到研究函数的“数 的内容上去了。长此以往，就非常容易造成学生也一味 注重对函数解析式的代数变化的研究，而忽视了结合图像能更好地研究、解决函数问题的 好方法。其实，在利用图像表征理解题意时，绘制的图形只需是草图即可( 当然草图必须 要符合已知的条件) ，无需花很多时间，但对于正确解题却往往有很大的作用。 比如在某次测验中有这样一道填空题“如图1 ，已知直线经过( ，0 ) 、( 0 ，一1 ) 两 点，当x 0 时，y 值的范围是。 很多学生在阅读了此题的已知条件后，会直 接利用已知直线经过的两点坐标，先确定直线的解析式：y = 3 x i ，紧接着利用代数式的变 换，将直线y = 3 x 一1 转化为：x = 丁y + l ，然后再根据x 0 ，解不等式丁y + l 0 ，得到y 一l 的答 案。虽然此种方法运用了函数的解析式与不等式的关系来求解，也能较准确地求出y 值的 范围。但是如果对一次函数图像比较熟悉的学生来说，可以根据 图像直接读出以下信息：所谓x 0 时，直线l 。经过第一、二、三象限， y n x 的增大而增大；当k 0 ，b 0 时，直线l ：，经过第一、三、四象限， i y 随x 的增大而增大；当k 0 时，直线1 。经过第一、二、四象限，y 随x 的增大而减小；当k o 时，反比例函数y 随x 的增大而减小； 是相违背的，其原因就是点a 与 点c 不在同一个象限内。由此，让学生初步认识到了反比例函数在讨论函数性质时，“在 各自象限内”这一限定条件的作用，并且感受到图像表征对于识记此性质的重要性。 但是，由于这一条性质与正比例函数的性质非常相似，所以学生有时还是无法很好地 理解和应用。在九年义务教育课本数学练习部分八年级第一学期( 试用本) 第5 0 页的第6 题：“问题：已知反比例函数j ，= 三( k o ) 图像上三点的坐标分别是( x by 1 ) 、 ( x ：，y 2 ) 、( x 。，y 。) ，且x 。= - 2 ，x 2 = - 1 ，x 3 = 1 ，试判断y 。、y 。、y 。的大小关系。 解：因为这个反比例函数的比例系数k o ，所以在每一个象限内y 的值随着x 的值的增大而减小。由一2 一1 1 ，a p x 。 y 。 试判断以上解法是否正确。如果不正确，请加以改正。一 在批阅学生的作业时，发现此题的正确率不够高。4 9 名学生，只 有5 个学生正确，正确率仅有1 0 2 。为了能让学生正确理解此题的解 k y ，5i k l ，y 1 ) 2 1，i ( - 2 锹 i7 1 ( - i ，婶 l 图l o 4 法，在订正此题时，引导学生运用反比例函数的图像表征进行解题：首先让每一位学生按 题意先画出函数图像( 图1 0 - 4 ) ，然后根据x 。= - 2 ，x 2 = 一1 ，x 3 = 1 ，在图像上分别找到( x t ，y t ) 、 ( x 。，y 2 ) 、( x 。，y 。) ，最后让学生观察这三个点的位置，学生很快发现：由于( x 。，y ，) 、( x z ，y z ) 、 ( x 。，y 。) 分别在双曲线的两条曲线上，也就是在第一、三两个象限内，因此根据象限中各点 的坐标特点，就能很容易地得到结论：y l y 。 y ：，所以原结论是错误的。 通过此题的订正，学生们更深层次地理解了反比例函数图像的性质以及图像对于研究 反比例函数的重要作用，这也为今后培养学生在研究函数的性质时，充分运用图像表征的 直观性揭示函数本质打下坚实的基础。这在其后的函数测验中得到了验证，学生在解填空 初中函数教学中图像表征的实效研究第四章图像表征对解读函数性质的效用 题“若三个点( 一l ，y 。) 、( - 2 ，y 2 ) 、( 2 ，y 。) 都在反比例函数l ，：一皇的图像上，则y 。、y 。、 y a 的大小关系是。”时，巧用图像表征，得到了正确答案：“y t y z y 。 。此题做 的正确的学生由3 5 人，正确率达! u t l 4 。 二、正比例函数与一次函数性质的类比研究 正比例函数y = k x ( k 0 ) 与一次函数y = k x + b ( k o ) ，无论从函数解析式还是函数性质 上，都非常相似，而它们之间也确实存在着密切的关系。 在教学中，首先引导学生从符号表征上发现规律。学生通过观察两个解析式，很快回 答出以下规律： 1 、当一次函数y = k x + b 中的b = o 时，一次函数就化为了正比例函数； 2 、正比例函数是一次函数的特殊形式。 分了两组学生分别在同一个直角坐标系中画出： l 、函数y = 2 x + 2 、y = 2 x 、y = 2 x 一4 的图像； 2 、函数y = 一妻工+ 2 、y = 一x 、y = 一i ，x - 4 的图像； 学生在根据给出的函数解析式分别画出了如图1 l l 、图1 1 - 2 后， 通过观察和类比，在老师的启发引导下或多或少地找出了以下一些规 律： 1 、一次函数y = k x + b ( k 0 ) 的图像是一条经过( 0 ，b ) 的直线，当b = o 时，一次函数y = k x + b ( k ：o ) 的图像是一条经过原点0 的直线，就是正 比例函数y = k x ( k 0 ) 的图像，由此再次验证了原先由函数解析式得到 的同样的性质：正比例函数是一次函数的特殊形式； 2 、无论是正比例函数还是一次函数，当k o 时，都是y 随着x 的增大 乡 0 f r _ 4 图1 i - i ，= 一：2 ， 、0 4 冬 - 8 、0 而增大，图像的形态是：从左至右，直线为斜上；当k o 时，直 线与y 轴交于正半轴；当b = o 时，直线与y 轴交于原点；当b o ，b o 时，直线经过第一、二、三象限；当k o ，b o ，b o 时，直线经过第二、 三、四象限； 5 、直线1 。：y = k 。x + b 。、直线l 。：y = k ：x + b 。，当k l _ k 2 ，b 。v e b 。时，直线l 。l 。；反之，若直线l 。l 。， 则k l - k 2 ，b ，b 2 。 以上正比例函数、一次函数性质的推导，虽然需要教师的引导和启发。但是学生在通 过观察两个函数的图像后，还是能较顺利地发现并掌握。而且更为重要的是，学生通过对 函数图像表征的观察与研究，再一次感受到了图像表征对研究函数的重要性，从而为培养 学生的数形结合思想奠定了基础。 初中函数教学中图像表征的实效研究 第四章图像表征对解读函数性质的效用 三、巧用图像表征简化解题过程 在本文第一章中所提及的填空题：“如图3 ，已知直线经过( j 1 ，0 ) 、( 0 ，一1 ) 两点， 当x o ； ( 2 ) 如图1 4 - 2 ，抛物线与x 轴有且只有一个交点时，交点坐标为( x ，o ) ，从图形移动来 看，原先与x 轴的两个交点在移动过程中，逐渐靠近，最后重合成一点，也就是x 。= x 。，那 么对于一元二次方程来说，就是有两个相等的实数根，最p b 2 - 4 a c = o ； ( 3 ) 如图1 4 3 ，抛物线与x 轴没有交点，也就是当y = o 时，没有一个x 值与其对应，那么对 于一元二次方程来说，就是无实数根，即b 2 4 a c o -、 a 兰 - 图1 5 y j、 a j 厂、 ， a o 图1 6 0 ，m o 时，由于图像是开口向上的，所以在对称轴直线x m 的左侧， 图像是下降的( 也就是函数值y 随着x 的增大而减小) ，在对称轴直线x = - m 的右侧，图像是 上升的( 也就是函数值y 随着x 的增大而增大) ：而当a 一2 时，y 随着x 的增大而增大；当x - 2 时，y 随着x 的增大而增大；当x - 2 时，y 随着x 的增大而增大；当x 0 a ，所以此种情况符合题意。 所以点c 的坐标为( 1 0 ，0 ) 。 0 、 。c 、 ? 渤i j b 0 、 c 、 0 y 气 3 j 、 c 、 o3 i a 3 ；影 图2 0 1图2 0 2图2 0 - 3 4 2 2 二次函数与平行 “平行线截线段成比例 作为平面几何中，利用线段之问的比例关系求未知线段长度 的一个重要方法，在二次函数综合题的运算时起到很大的作用。 例如，如图2 l 所示，在平面直角坐标系中，矩形0 a b c 的顶点a ( 3 ，0 ) 、c ( 0 ，1 ) ，将矩 形0 a b c 绕原点逆时针旋转9 0 。得到矩形o a b c 。设直线 b b 与x 轴交于点m ，与y 轴交于点n ，抛物线y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图像经c 、m 、n 。求：该抛物线的解析式。 此题依据图像及矩形o a b c 绕原点逆时针旋转9 0 。的特点， 可以由a ( 3 ，0 ) 、c ( o ，1 ) ，能很容易得到b ( 3 ，1 ) 、a ( 0 ，3 ) 、 b ( 一l ，3 ) 、c ( 一1 ，o ) 。而如何确定m 与n 的坐标就成为求该 抛物线的解析式的关键。 v b 霄畚。 l c ，0i a 7 - 图2 l 学生在分析了已知条件后，结合图2 1 ，往往采用解析法进 行求解，因为点m 、n 分别是直线b b 与x 轴、y 轴的交点，所以只需求出直线阴的解 析式即可：设直线b b 的解析式：y = k x + b ( k ：0 ) ，将b ( 3 ，1 ) 、b ( - 1 ，3 ) 代入解析式， 得：k _ 一三 b = 三，所以y = 一圭x + 主，nm ( 5 ，o ) 、n ( 0 ，三) 。 初中函数教学中图像表征的实效研究 第四章图像表征对解读函数性质的效用 但是，如果学生仔细观察图像后，根据图2 1 所示，由于a b 上x 轴、b c 上x 轴，所 以b a b c ，从而利用“平行线截线段成比例 得到：等= 嚣；如果设m ( x ，o ) ，由 b ( 一1 ，3 ) 、b ( 3 ，1 ) 、c ( 一1 ，o ) ，得到：a m = x 一3 ，c m = x + l ，b a = i ，b c = 3 ，则等= ， 解得x = 5 ，所以m ( 5 ，0 ) 。同理可求得：n ( o ，昙) 。这样进行运算，更有利于正确答案的 得到。 然后由c ( 一l ，0 ) 、m ( 5 ，0 ) 两点均在x 轴上，所以可设二次函数解析式为： y = a ( x + 1 ) ( x 一5 ) ( a 0 ) ，将n ( 0 ，号) 代入解析式，可求得a _ 一i 1 ，则该抛物线的解析式 - 二 为y = 一( x + 1 ) ( x - 5 ) 。 4 3 二次函数与其它函数 在函数综合题中，两种不同的函数相结合的题目经常出现。尤其是最近几年的中考中， 此类题目出现的几率越来越高。遇到此类题目，如果要正确理解题意，解出答案，结合图 像表征是关键，即巧妙利用两函数图像的交点坐标解决函数解析式的求解。 例如、如图2 2 ，二次函数y = x 2 + b x + c 的图像与x 轴只有一个公共点p ，与y 轴的交点 为q ，过点q 的直线y = 2 x + m 与x 轴交于点a ，与这个二次函数的图像交 于另一点b ，若器： ，求这个二次函数的解析式。 在教学中，首先要求学生结合图像表征，仔细解读题意，寻求解题 思路。学生在认真审题、集体讨论后，认为要确定二次函数的解析式， 必须要求出b 、c 的值，而如何利用二次函数与一次函数的交点b 、q 来 解决问题，就成为此题的关键。根据题意、结合图像，可以推出以下一 些重要结论： 浙 kop hx 图2 2 ( 1 ) 由于“二次函数y = x 2 + b x + c 的图像与x 轴只有一个公共点p ，所以b 2 - 4 c = o ； ( 2 ) 直线y = 2 x + m 与二次函数y = x b x + c 的图像均经过点q ，且点q 是y 轴上的一点，所 以点q 的坐标既可以根据直线y = 2 x + m 表示为( 0 ，m ) ，也可以根据二次函数y - - x 2 + b x + c 表 示为( 0 ，c ) ，即m = c ，o q = c ，从而将原先要确定题目中的三个未知量转化为确定两个未知 量即可； ( 3 ) 由于祭： ，所以依据图像，学生想到了过点b 作b h a _ x 轴，垂足为h ，则o q b h ， 根据平行螽羲线段成比例，等= o 瑚q = 1 4 ，从而推出：h b = 4 c ，即点b 的纵坐标为4 c ； ( 4 ) 因为直线y = 2 x + m 与这个二次函数的图像交于点b ，所以将y = 4 c 代入y = 2 x + m ，求得 点b 的坐标为( 詈，4 c ) ，然后将点b 的坐标再代入y = x 2 + b x + c ，可以得到：3 c 2 + 2 b c 一4 c = 0 ， 由于c = ：o ，则3 c + 2 b 一4 = 0 。 综合以上的结论，即可以得到关于b 、c 的方程组：厂b z 一4 c = 0 ，解方程组得：f - b = 一4 l 3 c + 2 b 一4 = 0lc = 4 1 4 ( 小时) ， 所以按原速行驶无法顺利通过桥面。为了能顺利通过桥面，必须提速，也就是在水位从c d 上涨到桥的最高处所需的4 个小时之内，开过桥面即可，所以车速必定要大于：2 4 0 4 = 6 0 ( 千米d , 时) ，从而最终解决此题。 学生在经历了解决函数应用题，从依据题意建立恰当的直角坐标系，将实际问题创建 为相应的数学模型，然后通过函数图像上的点的坐标确定解析式，最后再利用函数的性质 3 7 初中函数教学中图像表征的实垫婴窒箜婴童堕堡耋笙型笙连堕鍪丝里塑整旦 一一。 解决实际问题的整个求解过程，从而感悟出函数图像表征的作用，这为学生理解函数、应 用函数能力的提高奠定了基础。 3 8 初中函数教学中图像表征的实效研究第五章借助多媒体动画演示，深化函数思想的理解 第五章借助多媒体动画演示，深化函数思想的理解 5 1多媒体的运用在数学教学中的重要性 我国著名数学家陈省身教授曾赠言广大学生：“数学好玩 。但在日常数学教学中， 一本书、一支粉笔、一把三角板或一个圆规”往往就是数学老师的全部，这又如何能适应 现代数学教育的发展昵! 于是，这样的数学教学在学生面前展示的便是抽象的理论、平面 的图像以及千篇一律的授课方式：“教师一言堂 ，数学的特性在学生的脑海中就是难学、 难懂、单调、枯燥，远离生活，脱离实用，长此以往将极大的挫伤学生学习数学的兴趣和 积极性。 夸美纽斯在大教学论中指出：“教学是一门艺术，是不让教师和学生感到厌烦 的艺术。 啪1 前苏联著名教育家尤康巴班斯基曾说：“教学过程最优化是在全面考 虑教学规律、原则、现代教学的形式和方法、该教学系统的特征以及内外部条件的基础上， 为了使过程从既定标准看来发挥最有效的( 即最优的) 作用而组织的控制。” 3 9 1 斯托利 亚尔曾说“数学教学是数学活动( 思维活动) 的教学，而不仅是教学活动的结果数学 知识的教学。”m 3 而同本著名的数学教育家米山国藏曾指出：“我搞了多年数学教育发 现学生在初、高中阶段学习的数学知识，离校后不到一、二年，便会很快遗忘掉了。然而 无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法， 却随时随地发生作用，使他们受益终身。 4 妇因此，学生在学习时，正如苏霍姆林斯基 说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是发现者、研究者、 探索者。而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈。 良好的教学情境，能使学生迅 速地进入最佳学习状态。h 扣 那么教师采取何种的教学方式，才能让学生充分感受到数学精华之所在、形成良好的 数学思维方式呢? 巴班斯基说过：“现代教学的鲜明特色乃是教学方法的丰富多彩，乃是 有目的地选择每一个课题的主要教学方法，所选的方法要能很好地完成相应的教学和教育 任务。”h 3 3 心理学研究成果认为，学生在接受知识时，通过“听 可以接受1 5 ，“看 可以增加到2 5 ；如果“听 “看”相结合就能达到6 5 。钔而在如今的课堂中，多媒体 辅助教学，作为现代数学教学的一个重要手段，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是 计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足， 利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直 观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代 化的教学手段。副 信息技术在数学教学中的巧妙运用，能够再现数学家的思维活动的全过程。把“发现 过程的数学 返璞归真的交还给学生，让学生的思维进入规律再发现、再归纳的过程。借 助信息技术手段，可以把抽象的数学定律直观形象的表现出来，从而有效地突破了教学的 3 9 初中函数教学中图像表征的实效研究 第五章借助多媒体动画演示，深化函数思想的理解 难点、解决教学的重点，满足了学生成为“发现者、研究者、探索者”的精神需要。“信 息融合技术本质上是一种数学技术”，在信息融合课程的教学中，加强基础理论教学，自 觉培养学生的数学素养( 包括数学基础知识与技能、数学能力、数学思想方法、数学观与 数学的人文和工程应用精神) ，不仅直接影响到信息融合课程的教学水平和教学深度，更 影响到学生长远的持续发展。 5 2 多媒体教学凸显函数图像表征的实效 上数学课总是少不了要画图，作图有时是机械的、重复的，有些还相当繁复，并且有 时作图本身对达到该节课的教学目标的意义并不大。用计算机绘图功能代替教师、学生做 这些工作，既彻底减轻了负担，让教师、学生把精力和注意力用到更高层次的教学和学习 环节中去，使教学效果显著提高。n 7 1 在函数教学中，如果巧妙运用几何画板的绘图功能， 定义某一个函数的对应法则，就可以在平面直角坐标系中绘制出相应的函数图像，然后只 需改变一些常量的值，就可以较容易地控制图像的变形和运动，从而帮助学生认识、理解 函数。 5 2 1 对一次函数性质的深刻认识 在研究一次函数y - - k x + b ( k 0 ) 的图像性质时，大多数教师所采取的教学方式是： 教师先给定一些研究问题( 或实例引入) 一学生依据要求画图( 参数k 、b 取不同值) 一学 生小组交流讨论( 同质或异质分组) 一学生( 或教师协助) 归纳总结一通过习题训练巩固 反馈。在整个教学过程中，虽然让学生通过自己动手绘图和观察图形，亲自感受了函数图 像性质的得到过程，但由于绘出的函数图像的有限性，学生在理解过程中得到的结论是抽 象的、粗线条的，对学生今后独立研究和探索能力的形成还是有些影响的。如果改变一下 教学方式，可以如本文“5 1 函数基本性质的应用和解读中所提到的与“正比例函数进 行类比的方法加以理解。为了达到更好的教学效果，还可以充分利用几何画板( 课前可 以由教师先做好课件) ，让学生( 或教师) 亲自动手进行操作，探索参数改变对于函数图 像的影响或图像变化所引起的参数的变化的影响，进而通过图像表征所呈现的规律来理解 一次函数的性质与关系。如图2 5 1 图2 5 6 所示，利用几何画板的绘图以及图形变换功能， 在直角坐标平面内绘出一次函数y = k x + b ( k o ) 的图像，让学生通过变换k 、b 的值，直观地 认识到一次函数的图像性质与k 、b 的值的密切关系，从而得到本文“5 1 函数基本性质的 解读与应用，一、正比例函数、反比例函数、一次函数性质的解读 中所提到的规律。通 过这种直观、动态的效果对一次函数性质的掌握，不仅省时、易懂，而且培养了学生运用 图像表征研究函数的方法。 初中函数教学中图像表征的实效研究第五章借助多媒体动画演示，深化函数思想的理解 - - 0 乒一 。u _ | “ l 、 - 4 , 1 1- r - 0 - “ _ r o j z 啊m 、： l ”“| | 。 r 、 一、二 。“j|” | v 一一 图2 5 1图2 5 - 2图2 5 3图2 5 4 4 1 1 。 o i | l ?b ， 一 一。_ | 1 _ b 二 f1 j 。f i j i” 。弋 。 一；l 产| 图2 5 5 图2 5 - 6 5 2 2 关于二次函数图像平移( 旋转、翻折) 问题的认识 图像平移( 或旋转、翻折) 作为二次函数的重要性质，一直是研究二次函数的重点。 以往在教学过程中，往往图省事或过于注重应试教育，直接将平移的规律“将二次函数的 解析式化为顶点式y = a ( x + m ) 2 + k ( a 0 ) 后，利用左加右减，上加下减的规律求解平移 问题 告知学生，然后通过大量的训练让学生牢记规律。此种方法虽然对应试非常有好处， 能够较好地提高学生解题的正确率。但学生由于是机械性的识记，不仅有可能造成学生在 识记过程中与坐标平移的规律产生冲突，出现混乱或长期闲置不用而遗忘的现象( 见表 8 - 1 ，为笔者前两年所任教的两个教学班学生对二次函数平移问题的理解情况记录) ，而 且会让学生进入“知其然，而不知其所以然”或“重应用，轻思想的学习误区，从而使 他们丧失了通过自己的探究掌握事物变化规律的机会，这对于培养学生掌握科学的研究方 法是相当不利的。 表8 - 1 利用左加右减，上加下减的规律探究二次函数图像平移问题的对比 班级特色班普通班 练习时间当天作业半月后的测验当天作业半月后的测验 j 下确人数 1 91 61 61 l 班级人数 2 22 22 12 1 正确率 8 6 4 7 2 7 7 6 2 7 5 2 4 遗忘率 1 5 8 3 1 3 为了改变学生通过简单识记掌握二次函数的平移( 或旋转) 问题，笔者在教学中尝试 利用图像表征让学生进行探索和研究。虽然这样的教学方式，相比较直接利用“左加右减， 上加下减”的规律来解题要相对麻烦一些，但是巧用几何画板，不仅能轻而易举地解决二 4 l 初中函数教学中图像表征的实效研究第五章借助多媒体动画演示，深化疃塑昼塑箜堡堡 次函数绘图的繁琐，而且能使学生直观地感受图像平移( 或旋转) 的规律，这对于学生理 解函数的实质是有很大帮助的。以下就是笔者在教学中的尝试。 教学课例2 6 3 ( 1 ) 二次函数y = a ( x + m ) 2 + k ( a o ) 的图像平移( 旋转) 问题 一、教学目标： ( 1 ) 经历探讨抛物线y = a x 2 ( a o ) 、) ，= a x 2 + c ( a 0 ) 、严a ( x + m ) 2 ( a o ) 与产“x + m ) 2 + k ( a 0 ) 之间的平移的关系，进一步掌握二次函数) ，：a ( x m ) 2 + k 的图像的直观性质。 ( 2 ) 经历探讨y = a ( x + m ) 2 + k ( a o ) 的图像旋转、翻折的过程，知道二次函数的图像旋转、 翻折的规律。 ( 3 ) 经历研究二次函数图像表征与性质的关系过程，从中感受从特殊到一般、分解与组 合的策略，进而感悟类比、转化、图形运动、数形结合的数学思想。 二、教学重点和难点 1 、教学重点：研究形如y = x + m ) 2 + k ( a 0 ) 的图像平移、旋转、翻折的规律。 2 、教学难点：掌