（系统理论专业论文）非线性动力系统的分岔与控制.pdf

一 i l ll li ii ii ll iii ll ii il y 18 2 5 9 0 2 n a n j i n gu n i v e r s i t yo f a e r o n a u t i c sa n d a s t r o n a u t i c s t h eg r a d u a t es c h o o l c o l l e g eo fs c i e n c e b i f u r c a t i o na n dc o n t r o lo fn o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s a t h e s i si n s y s t e m st h e o r y b y x i ew e n a d v i s e db y p r o f z h a oh o n g y o n g s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n t o ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e j a n u a r y , 2 01 0 承诺书 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，是本人在导师指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论 文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许 论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：通受 e l 期：迦f 里：。逆 南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 分岔及其控制作为非线性科学中的前沿研究课题，极具挑战性分岔控制的目的是对给定 的非线性动力系统设计一个控制器，用来改变系统的分岔特性，从而去掉系统中有害的动力学 行为，使之产生人们需要的动力学行为本文在分析和总结非线性动力系统分岔与控制研究现 状的基础上，基于非线性动力学、非线性控制理论、分岔理论等非线性科学的现代分析方法， 对非线性动力系统的分岔与控制进行了研究，全文组织如下： 第一章概述了非线性动力系统，特别是时滞动力系统的分岔与控制的研究现状，并且介绍 了本文的主要内容和创新点 第二章研究了一类含有三个时滞的h o p f i e l d 神经网络的多参数分岔问题，选取系数的组合 作为分岔参数，讨论了该网络的局部稳定性以及叉形分岔和h o p f 分岔发生的充分条件 第三章分析了一类r 6 s s l c r 混沌系统的分岔与控制，提出一种双反馈控制器，不仅可以有效 地控制分岔的提前或延迟，而且可以有效控制混沌的发生 第四章讨论了时滞反馈v a nd e rp 0 1 d u f f m g 方程的局部稳定性和h o p f 分岔的存在性，并分 析了分岔方向和周期解的稳定性问题 第五章考虑一维小世界网络的h o p f 分岔控制，提出参数与时滞有关的时滞反馈控制策略， 并以时滞作为分岔参数，研究受控的系数与时滞相关的小世界网络的h o p f 分岔问题通过在 时滞系统中给分岔参数加上周期性慢变部分，可以提高系统的稳定性 第六章对论文工作进行了总结，并对今后的研究方向进行了展望 关键词：非线性动力系统，h o p f 分岔，分岔控制，时滞，时滞反馈，双反馈 非线性动力系统的分岔与控制 a b s t r a c t a sa l e a d i n gr e s e a r c hf i e l di nn o n l i n e a rs c i e n c e , b i f u r c a t i o na n dc o n t r o lh a s b e c o m em o r ea n dm o r e c h a l l e n g i n g b i f u r c a t i o nc o n t r o la i m sa td e s i g n i n gac o n t r o l l e rt om o d i f yt h eb i f u r c a t i o np r o p e r t i e so f ag i v e nn o n l i n e a rs y s t e m , w h i c hc o u l da c h i e v es o m ed e s i r a b l eb e h a v i o r s i nt h i st h e s i s ，b a s e do na c o m p l e t es u m m a r yo ft h eh i s t o r ya n da c t u a l i t yo ft h eb i f u r c a t i o na n dc o n t r o l ，t h ea u t h o ri n v e s t i g a t e s f u r t h e rb i f u r c a t i o na n dc o n t r o lo fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sb ye m p l o y i n gt h en o n l i n e a rd y n a m i c s t h e o r y , t h en o n l i n e a rc o n t r o lt h e o r ya n dt h eb i f u r c a t i o nt h e o r y 1 1 舱o r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri s f o l l o w s ： i nt h ef u s tc h a p t e ro ft h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ec u r r e n ts t a t u sa b o u tb i f u r c a t i o na n dc o n t r o lo fn o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s ，e s p e c i a l l yd e l a y e dd y n a m i c a ls y s t e m s f u r t h e r m o r e ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h e m a i nc o n t e n t sa n do r i g i n a l i t i e so ft h i sp a p e r t h es e c o n dc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h em u l t i p a r a m e t e rh o p f b i f u r c a t i o nf o rac l a s so fh o p f i e l dn e u r a l n e t w o r k sw i t ht h r e ed e l a y s m o r e o v e r , t h ea u t h o rc h o o s e st h ec o m b i n a t i o no fm u l t i p l ec o e f f i c i e n t sa s b i f u r c a t i o np a r a m e t e r , a n dd e r i v e st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fl o c a ls t a b i l i t y , p i t c h f o r kb i f u r c a t i o na n d h o p fb i f u r c a t i o n t h et h i r dc h a p t e rs t u d i e sb i f u r c a t i o na n dc o n t r o lo fac l a s so fr 6 s s l e rc h a o t i cs y s t e m 1 1 1 ea u t h o r p r o p o s e sad o u b l ef e e d b a c kc o n t r o l l e r , w h i c hc a nn o to n l ya d v a n c eo rd e l a yb i f u r c a t i o ne f f e c t i v e l y , b u ta l s oc o n t r o lc h a o s n ef o u r t hc h a p t e rd i s c u s s e sl o c a ls t a b i l i t ya n dh o p fb i f u r c a t i o no fv a nd e rp o l - d u f f m ge q u a t i o n w i t hd e l a y e df e e d b a c kc o n t r 0 1 a l s o 。b i f u r c a t i o nd i r e c t i o na n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa r e a n a l y z e d 硼1 ef i f i l lc h a p t e rc o n s i d e r sh o p fb i f u r c a t i o nc o n t r o lo fo n ed i m e n s i o ns m a l l - w o r l dn e t w o r k s 。a n d p r o p o s e dp a r a m e t r i cd e l a yf e e d b a c kc o n t r o l l e r c h o o s i n gd e l a ya sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r , t h ea u t h o r s t u d i e sh o p fb i f u r c a t i o no fc o n t r o l l e ds m a l l - w o r l dn e t w o r k s 谢吐ld e l a yd e p e n d e n tc o e f f i c i e n t s b y i n t r o d u c i n gs o m ep r o p e rs l o w l yv a r y i n gp a r t si n t ot h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ，t h es t a b i l i t yc a nb e i m p r o v e d 1 1 1 es i x t hc h a p t e rs u m m a r i z e st h er e s e a r c hw o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h ef u t u r e r e s e a r c hd i r e c t i o ni sm a d e k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s ，h o p fb i f u r c a t i o n ，b i f u r c a t i o nc o n t r o l ，d e l a y s ，d e l a y e d f e e d b a c k ，d o u b l ef e e 曲a c k 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 目录 1 1 1 研究背景及研究意义。1 1 2 分岔及其控制的研究现状及进展1 1 2 1 分岔研究的现状及进展。l 1 2 2 分岔控制的研究现状及进展3 1 3 本文的主要内容和创新点5 1 3 1 主要研究内容。5 1 3 2 主要创新点。6 第二章具有多时滞的h o p f i e l d 神经网络的多参数分岔分析 2 1 模型描述：8 2 2 局部稳定性和分岔的存在性。8 2 3 举例1 3 2 4 本章小结1 6 第三章一类r o s s l e r 混沌系统的分岔与控制1 7 3 1 系统描述。1 7 3 2 受控系统的稳定性与分岔分析1 7 3 2 1 平衡点o ，y ，z ) = ( o ，0 ，0 ) 的情况1 8 3 2 2 平衡点( ，y ，z ) ：( o ，1 + 鱼，一1 一鱼) 的情况1 9 口口 3 3 举例2 0 3 4 本章小结2 4 第四章时滞反馈v a nd e rp o l - d u f f i n g 受控系统的分岔问题 4 1 系统描述2 5 4 2 局部稳定性和h o p f 分岔的存在性2 5 4 3 分岔方向及稳定性2 6 非线性动力系统的分岔与控制 4 4 举例。! 3 2 4 5 本章小结3 7 第五章一维小世界网络的h o p f 分岔控制 3 8 5 i 系统描述3 8 峨 5 2 局部稳定性和h o p f 分岔的存在性3 9 5 3 举例4 l 5 4 本章小结4 8 第六章总结与展望。 6 1 总结4 9 6 2 展望4 9 参考文献5 l j l i 谢 在学期间的研究成果及发表的学术论文 5 6 5 7 南京航空航天大学硕士学位论文 图表清单 图2 1 当b = 1 ，f = 1 时系统( 2 1 1 ) 的参数空间( r ，d ) 的划分区域图1 2 图2 2 当b = l ，f = 1 时系统( 2 1 1 ) 的参数空间( r ，d ) 的稳定区域图1 3 图2 3 当6 2 l = - 8 ，= 3 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图1 4 图2 4 当i = 0 9 3 1 6 ，b 2 2 = - 3 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图1 4 图2 5 当如l = o 9 7 ，晚2 = - 3 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图1 4 图2 6 当如l = 0 ，b 2 2 = 一3 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图。1 5 图2 7 当玩，= - 2 5 2 3 2 ，如2 = - 0 2 6 1 6 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图1 5 图2 8 当b 2 2 = - 0 2 6 1 6 ，如l = 0 2 6 1 6 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图1 5 图2 9 当6 2 l = 0 9 7 ，6 2 2 = 一3 ，f = 0 9 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图1 6 图2 1 0 当如i = o 9 7 ，6 2 2 - - 3 ，f = 1 1 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图。1 6 图2 1 1 当包= 0 9 7 ，如2 = - 3 ，f = 1 2 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图一1 6 图3 1a = 一1 ，毛= 0 ，红= 0 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为o ( o ，0 ，o ) 时的轨线图2 0 图3 2a = 0 ，毛= 0 ，如= 0 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为o ( o ，0 ，o ) 时的轨线图2 0 图3 3a = 0 ，毛= 0 ，乞= 1 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为o ( o ，0 ，o ) 时的轨线图。2 1 图3 4a = 7 ，毛= o ，如= 1 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为o ( o ，0 ，0 ) 时的轨线图。2 1 图3 5 口= 7 ，毛= ，红= 1 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为o ( o ，0 ，0 ) 时的轨线图一2 1 ， o1 图3 6 口= 等，毛= ，如= 1 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为o ( o ，0 ，o ) 时的轨线图2 1 图3 7 口= - 3 ，毛= 0 ，也= 0 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为e ( o ，1 + 二，- 1 - 三) 时的轨线图2 2 图3 8 口= - 4 ，毛= o 包= 0 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为e ( o ，1 + = ，- 1 - 二) 时的轨线图2 2 图3 9 。= - 4 ，k i5o ，心= l 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为e ( o ，1 + 云，一l 一云) 时的轨线图2 2 图3 1 0 口= 一1 1 ，岛= o ，乞= 1 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为e ( o ，1 + 三a ，一1 一二a ) 时的轨线图2 3 图3 1 1 口= - 1 1 ，毛= ，哎= 1 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为e ( o ，1 + ，- 1 - 号) 时的轨线图 2 3 图3 1 2 4 = 一詈，毛= i 1 ，红= 1 时系统( 3 3 1 ) 在平衡点为e ( o ，1 + 三a ，一1 一呈a ) 时的轨线图 2 3 图3 1 3a = 0 3 8 6 ，b = 0 2 时，无控和受控系统( 3 3 1 ) 分别在初始状态为( o 7 ，一o 6 ，一o 7 ) 非线性动力系统的分岔与控制 的相图2 4 图4 1 系统( 4 1 3 ) 的平衡点在b = b o = 0 2 4 4 5 处发生h o p f 分岔3 2 图4 2 系统( 4 1 3 ) 的平衡点在b = 0 1 b o 处分岔出周期解3 3 图4 4 系统( 4 1 1 ) 的平衡点在b = 0 1 时不稳定。3 3 图4 5 系统( 4 1 3 ) 的平衡点在f = 0 ，b = 0 1 时不稳定3 4 图4 6 系统( 4 1 3 ) 的平衡点在b = 0 1 ，f = 0 1 时不稳定3 4 图4 7 当b = 0 3 ，j 已变化时系统( 4 1 3 ) 在平衡点附近的轨线图3 5 图4 8 系统( 4 1 3 ) 的平衡点在f = 0 3 r e 时渐近稳定3 6 图4 1 0 时滞r 随参数b 变化所取的分岔值3 7 图5 1 当f = o = 0 9 2 8 6 时系统( 5 3 1 ) 在平衡点v = 7 7 8 6 8 附近的轨线图4 2 图5 2 当f = 0 9 t 时系统( 5 3 1 ) 在平衡点矿。= 7 7 8 6 8 附近的轨线图4 2 图5 4 当f = 0 9 时系统( 5 3 2 ) 在平衡点v = 7 7 8 6 8 附近的轨线图。4 3 图5 5 当f = 0 8 ，f = 0 8 5 ，f = 0 9 时系统( 5 3 1 ) 在平衡点v = 7 7 8 6 8 附近的轨线图 z i ：； 图5 6 当f = 1 1 ，墨变化时系统( 5 3 1 ) 在平衡点v = 7 7 8 6 8 附近的轨线图4 4 图5 7 当瓦= 0 9 2 5 7 时系统( 5 3 3 ) 在平衡点v = 7 7 8 6 8 附近的轨线图。4 5 图5 8 当r = 0 9 乏时系统( 5 3 3 ) 在平衡点v = 7 7 8 6 8 附近的轨线图4 5 图5 1 0 当瓦 f = 0 9 2 6 。 ( 2 2 1 1 ) s 枷( r e ( 等) i 加) = j 初( 一( 1 + 打) ) b s e e ( c o t ) 时，有 s 劫( 鼬( 就 = j 咖( ( 1 + 断) c o s ( 国f ) 一国f s i n ( 国f ) ) = s 咖( 所s e c ( 功f ) + c o s ( 国f ) ) 如果t 。 不难发现横截性条件是满足的证毕 2 、当t 2 b ( 2 2 1 5 ) 引理2 2 横截性条件r e 嗌) l 。成立，其中矿满肌2 成 证明显然，国的符号改变不会影响( 2 2 1 4 ) q p 第- 个方程的解所以接下来我们仅需要考 虑( 2 2 4 ) 中+ ”的情况，由( 2 2 4 ) - t 失i i 等矿m 删矿等= 丽面i 叫6 ) d 允f 1 一= 一7 # = t 2_丁2-f7-一-dddip 打+ ( 允+ b ) v e 加 由此可知 j 初( & ( 乱矿 却乱) - 1 = s t g n 2 s i g n = s 秽 c 2 j 7 ) 撇i 需黜妒陋) ) ( 切艄酬)( 1 + 撕) sn ( 国f ) + 缈f c o s ( 缈r ) ) “ s i n ( a o r ) + r 4 d - t 21 这里，d 沿着h 0 p f 分岔线增大，国在0 到之间取值，其中是国= - b t a n ( w r ) 的第一个 正根显然，吼f 0 故有 黜( 筑；矿地 8 ， 证毕 非线性动力系统的分岔与控制 接下来为了表述的方便，我们把参数空间( r ，d ) 分成如下几组( 见图2 1 ) ： 五= ( r ，d ) r 2 , dt 2 , d 2 b t - b 2 , r 6 ； 置= ( r ，d ) r 2 , d 丁2 ，d 2 b t s e c ( ( o r ) - b 2s c c 2 ( 国f ) ，t b s e e ( c o f ) ； 五= ( 丁，d ) r 2 ，d 2 b t s e c ( w r ) - b 2s e e 2 ( 国f ) ，丁 6 s e c ( 国r ) ； 五= ( 丁，d ) r 2 , d 丁2 ，d = 2 b t s e c ( a ) r ) 一b 2s p a 3 2 ( 缈彳) ； 墨= ( 丁，d ) r 2 , d 丁2 ，d 2 b t s e c ( c o r ) - b 2s e c 2 ( 国r ) ，t 丁2 , b 2 d 6 2s c c 2 ( o j r ) ，b s e c ( c o r ) r 6 ， r 丁2 ，b 2 d 6 2s c c 2 ( c o t ) ，b s e e ( c o t ) t r 2 ) ( 五。u 墨：) 1 2 o 图2 1 当6 = l ，f = 1 时系统( 2 1 1 ) 的参数空间( l d ) 的划分区域图 南京航空航天大学硕士学位论文 结合引理2 1 ，引理2 2 以及以上的分析，直接可得如下定理 定理2 1 如果系统( 2 1 1 ) 的系数满足( r ，d ) ( ( 五u 五) n ( 也u 玛) u 五。) 时，则系统 的平衡点( 0 o ) 是局部渐近稳定的；如果( r ，d ) ( 五u 五u 骂u 五ou 五3 ) 时，则系统的 平衡点( o ，o ) 是不稳定的，且有 ( i ) 当系数满足( 丁，d ) 五时，系统( 2 1 1 ) 发生叉形分岔； ( i i ) 当系数满足( l d ) ( 五u 五2 ) 时，系统( 2 1 1 ) 发生h o p f 分岔； ( i i i ) 当系数满足( 丁，d ) ( 五n 五) 时，系统( 2 1 1 ) 同时发生叉形分岔和h o p f 分岔 备注2 1 毛【7 2 1 讨论了系统( 2 1 1 ) 考虑时滞f 作为分岔参数的h o p f 分岔情况，而目前为止， 很少有作者针对系数作为分岔参数讨论系统( 2 1 1 ) 的h o p f 分岔问题本章我们所考虑的即是系 统( 2 1 1 ) 考虑系数的组合d 作为分岔参数，讨论其h o p f 分岔情况 备注2 2 当b = 1 ，f = 1 时，根据定理2 1 ，系统( 2 1 1 ) 的渐近稳定区域可以划分如图2 2 所示，图中的阴影部分所示区域i ，m ，均为渐近稳定的 图2 2 当6 = 1 ，f = 1 时系统( 2 1 1 ) 的参数空间( r ，d ) 的稳定区域图 2 3 举例 例2 1 考虑如下的h o p f i e l d 神经网络模型 三端盖t a n h “( 五o ( t 端2 州t a n h 碘( x z ( t 焉 ， 【岛o ) = 一恐o ) + 也。 一r ) ) + 如：一f ) ) ， 、7 其中，6 l l = 一1 ，岛2 = 一1 ，f = 1 显然，( o ，0 ) 是系统( 2 3 1 ) 的平衡点根据定理2 1 ，若取 如2 = - 3 ，经计算可知，当6 2 l = 一8 时系统( 2 3 1 ) 发生叉形分岔( 图2 3 ) ；当包l = 0 9 3 1 6 时，系 统( 2 3 1 ) 发生h o p f 分岔( 图2 4 ) 而当6 2 l = o 9 7 ，6 2 ：= 一3 时，不难验证其位于稳定域中，此 时( o ，0 ) 是渐近稳定的( 图2 5 ) ；当也。= 0 ，如：= - 3 时，不难发现此时( o ，0 ) 是不稳定的( 图 2 6 ) 若取b 2 2 = - 0 2 6 1 6 ，根据定理2 1 ，经计算可得t = - 0 6 3 0 8 ，因此此时分岔值为 非线性动力系统的分岔与控制 d = - 2 2 6 1 6 ，即6 2 l = 2 5 2 3 2 ，我们发现此时系统( 2 3 1 ) 同时发生叉形分岔和h 0 p f 分岔( 图 2 7 ) 不难验证，当吃l = 0 2 6 1 6 时，系统( 2 3 1 ) 是渐近稳定的( 图2 8 ) 1 4 o o 毫 p x 图2 3 当6 2 l = 一8 ，= - 3 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图 图2 4 当如l = 0 9 3 1 6 ，6 2 2 = 一31 懒( 2 3 1 ) 的轨线图 图2 5 当6 2 l = o 9 7 ，6 b = 一3 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图 南京航空航天大学硕士学位论文 o 2 1 蓍o 1 - 2 05 01 0 01 5 0 o2 5 03 t 图2 6 当也l = 0 ，6 2 2 = - 3 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图 图2 7 当6 2 l = - 2 5 2 3 2 ，6 2 2 = - 0 2 6 1 6 时系统( 2 3 1 ) 的轨线图 0 1 5 o - 1 0 0 5 x 0 由毛【7 2 1 可知，时滞f 的变化将对系统(