（概率论与数理统计专业论文）随机微分方程中的参数估计与假设检验问题.pdf

摘要 在二十一世纪，有关金融数学和生物数学的研究显得越发重要，金融数学和生 物数学与其它学科的交叉领域将成为主要的研究对象，为此，本文以统计学方法和 随机微分方程理论为工具，探讨由连续随机微分方程表示的一些随机生物数学模型 中的参数估计与假设检验问题首先，理论研究探讨由连续随机微分方程表示的一 些随机生物数学模型的动力学行为；其次，研究模型中的参数估计问题，给出了传 统n z l e r 方法离散化随机模型所得到的参数估计；最后，探索模型中参数估计的统 计推断，研究了随机化l o g i s t k 方程中的参数的极大似然估计的渐近性，相合性， 并对参数作了假设检验这些问题的讨论乃至解决将对认识和理解统计学在随机微 分方程中参数估计与假设检验的作用机理提供数学基础 本文由四章构成，第一章给出了本文中主要涉及的定义和定理 第二章研究了随机化l o g i s t i c 方程d ( t ) = ( ) l l g 粤j ( r d f + a d b ( t ) ) 和 l j d ( t ) = n h ) 一b n t ) ) d t + o d b ( ) 具有初值( o ) = 0 o ，o 是随机变量， 曰( ) ( t o ) 是一维标准b r o w n 运动给出了正解的存在性唯一性以及参数的极大 似然估计，另外得到了参数的极大似然估计的渐近性，相合性。最后，利用鞅大数 定律和中心极限定理对参数作了假设检验参数的极大似然估计值的模拟表明估计 值与真实值比较符合；另外参数置信区间的模拟表明随着样本量的增大，置信区间 长度越来越小 第三章研究了具有随机扰动的l o t k a - v o l t e r r a 型的竞争系统，互惠系统和捕食 被捕食系统正解的的存在性，唯一性，全局渐近稳定性以及参数的极大似然估计 依次分三节研究了竞争系统，互惠系统和捕食被捕食系统，给出了正解的全局 存在性，唯一性，又考虑到相对应生物系统的确定性模型在一定条件下存在全局渐 进稳定的平衡点，本章亦研究了随机扰动系统的解在时间均值意义下的全局渐近稳 定性又由于模型中的参数一般是未知的，鉴于此给出了参数的极大似然估计，并 给出了模拟，模拟结果表明估计值与真实值比较符合 第四章，考虑了p ( n ，嚷) 空间中具无限时滞的随机偏泛函微分方程温和解的 存在性，唯一性及渐近性质( p 2 ) ： d x ( t ) = 一a x ( t ) + ，( ，而) 出+ g ( ，x t ) d p 矿( ) 其中，假设一a 是一个闭的，稠密定义的线性算子，它是某一个解析半群的无穷小生 成元，( ) 是一个给定的一值维纳过程首先研究巴拿赫空间嘴和胪( n ，醒) ，其 次，利用半群方法给出了具无限时滞的随机偏泛函微分方程解的存在性，唯一性 再次，致力研究温和解的p - 阶矩和几乎必然李雅普诺夫指数稳定性最后，给出具 无限时滞的v o i t e r r a 随机积分一微分方程的一些应用，并给出个v o l t e r r a 随机积 分- 微分反应一扩散方程的例子说明主要的定理 关键词：随机微分方程；随机偏泛函微分方程；存在性；唯一性；全局渐近稳 定性；无限时滞；参数极大似然估计；相合性；假设检验 a b s t r a c t i i l2 1c e n t u r y ，t h es t u d yo f6 n a n c i a im a t h e i n a l i c 8a n db i o l o g i c a lm a t h e m a t i ( si s 、e r yi m p o r t a n t ，a n a n c i a li n a t h e i n a t i c sa n db i 0 1 0 9 i c a lm a t h e m a t i c sa n dt h er e i a t e d r e g i o n a r et h ei i l a l na i l n t ob ed e a i tw i t h t h e r e f o r e ，t 1 1 i sp a p e rd e a l sw i t ht h e p r o b l c i nf o rt h ee s t j m a t i o na n dh y p o t h e s i st e s t i n go fp a r a m e t e r so fac o n c i n u o u s t j n l e s t o c h a s t i cp r o c e s s8 u c ha sb i o l o g i c a lm a t h e m a c i c si n o d e i s ，a p p l y i n gt h es t a t i s t i c a l i i l e t h o da n dt h et h e o i yo fs t o c h a s t i cd i h b r e n t i a le q u a t i o n f i r s t ，w es t u d yt h el h e o r y r e s u l t so ft h ep r o p e r t yo fd y n a i i l i c sf o rac o n t i n u o l l s t i i n es t o c h a s t i cp r o c e s ss u c ha s b i o l o g i c a ln l a t h e n l a t i c s l o d e i s n e x c ，t h ee s t i l n a t i o i lo fp a r a m e t e r si nt 1 1 en l o d e l s i ss t u d i e da n dt h ed a s s i c a le u l e rm e t h o dt oe s t i m a t eac o n t l n u o u s 一“m es t o c l 】a s t i c m o d e lf r o md i s c r e t e 一“m ed a t ei sp r o p o s e d a tl a s t ，s t a t i s t i c a ld e c i s i o np r ( ) b l e i n so f t h ee s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e r sw i l lb ee x p l o r e df o rr a n d o m i z e dl o g i s t i ce q u a tj o i l s ， a s y m p t o t i cp r o p e r t i e s ，c o n s i s t e l l c ya n dh y p o t h e s i st e s l i n go fm l e so fp a r a n l e l e r s a r es t u d i e d t h ed i s c u s s i o na n ds o l v a b i l l t yo ft h ea b o v ep r o b l e m sw i l ls u p p l yt h e b a s i cc h e o r yo fm a t h e m a t i c st or e c o g n i z ea n du n d e r s t a n dl h ea c t i o no f s t a t i s t i c s t ot h ee s t i m a t i o na n dh y p o h e s i st e s t i n go fp a r a m e t e r sf b rs t o c h a s t i cd i h 色r e n t i a l e q u a t i o l l t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff b u rp a r t si nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es ( ) m e d e 矗n i t i o n sa n ds t a t es o m ep r e m i n a r yr e s u i t sw h i c hw i l lb eu s e di no u rp a p e r 一 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yr a n d o m i z e dl o g i s t i ce q u a t i o n sd ( ) = ( f ) l 一 掣i ( r 出+ n d b ( ) ) a n dd ( t ) = ( ) l ( o 6 ( t ) ) 毗+ o d b ( ) w i t hi n i t i a l v a l u e ( o ) = 0a n d v oi sar a n d o mv a r i a b l e ，w h e r eb ( t ) i st h el d i m e l l s i o n a ls t a n d a r d b r o w n i a nm o t i o n t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s0 王p o s i t i v es o l u t i o n sa n dm a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t e s ( m l e s ) o ft h ep a r a m e t e r so ft h ee q u a t i o n sa r es t u d i e d i n a ( 1 d i t i o n w eo b t a i na s y m p t o “cp r o p e r t i e sa n dc o n s i s t e n c yo fm l e so fp a r a m e t e r s a tl a s t ，i ) ym a r t i n g a l e1 a r g en u m b c rt h e o r e ma n dc e n t r a ll i m i tt l l e o r e m ，w es t u d y fh el l y p o t h e s i st e s t i i l go fp a r a m e t e r s s j m u l a t j ( ，nr e s u l t ss h o wt h a tt h e1 ) e r f b r h l a n c e ( f m l e s i s f l t w e l l i nt h et h i r d ( ：h a p l e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e ，u n i q l l e n e s s ，g l o b a ls t a b i j i t y ( ) i p o s i 订v es o l u t i o na n dm l e so fp a r a r r l e t e r so fl o t k a v 0 1 t e r r ac o m p e t i t i o ns y s t e n l ， 1 u t u a l i s ms y s t e ma n dp r e d a t o r p ie ys y s t e mw i 恤r a n d o mp e r t u r b a t i o n w 色s t l l d 、- “l et h r e es y s t e mo l l eb yo n ei no r d e r f i r s t ，w es h o wt h ep o s i t i v es o l u “o ne x i t si n g l o b a l n e x t ，s i n c et h e r ei sa s y m i ) t o t i c5 t a b i l i t ye q u i i i b r u i ms t a t ef o rt h ed e t e r m i n i s i i t t i cs y s t e h lu r l d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，w ea l s oc o n s i d e rt h eg l o b a ja s y m p t o t i cs t a b i l i t y o fa v e r a g ei nt i n l eo ft h es o l u t i o nt 。t h ep c i f l l r b a t i o ns y s f e m a tl a s t ，s i n c et h e p a r a n l e t e r sa r eu s u a l j yu n k n o w i l ，s ow eg l v pth em l e so fp a r a m e t c r s s i l n u l a l i o n r e s u l t ss h o wt h a tt 1 1 ep e r f o r m a n c e ( ) fm l e si s6 tw e l l i nt h ef b r t hc h a p t e r ，w es h a nc o i l s i d e rt h ce x j s t e n c ea n du n i q u e n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fm i l ds o l u t i o n st os t o c h a s t i cp a i a lf u n c t i o n a ld i n b r e n t i a le q i l a t i o n s w i t hm a n i t ed e l a yi n 驴( q ，凭) s p a c e 扫 2 ) ： d 义( t ) = 一4 x ( ) + ，( ，x ) 】d f + 9 ( ，x ) d w ( ) w h e r e ai sac l o s e d ，d e n s e l yd e 矗n e dl i n e a ro p e r a t o ra n dt h ee e n e r a t o ro fac e r t a i n a i l a l y t i cs e i n i g r o u pa n dw 7 ( ) i sag i v e n 一v a l u ew i e n e rp r o c e s s f i r s t ，t h eb a n a c h s p a c e sc a n d z 7 ( n ，c 嚣) a r es t u d i e dw h i c hi sf l l n d a m e n t a lf b rc h es u b s e q u e n td e v e l o p m e n t s s e c o n d ，w es h a ud i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n s t os t o c h a s t i cp a r t i a lf u n c t i o n a le q u a t i o n sw i 如i i l 矗n i t ed e l a yb ) ，s e m 谵r o u pm e t h o d i i ls e c t i o n4 3 ，w ed e v o t et ot h es t u d yo fp t hh l ( ) m e n ta n da l m o s ts u r el y a d u n o v e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yp r o p e r t i e so fm i l ds o l u t i o n sb yu s i n ga ne s l i m a t ef b rs t o c h a s t i cc o n v 0 1 u t i o n f i n a ny ，w es h a l lp r e s e n ti ns e c t i o n4 4s o m ea p p l i c a t i o n sa b o u t v b l t e r r as t o c h a s t i ci n t e g r o _ d i h 色r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n n n i t ed e l a y i na d d i t i o n ，w e s h a l lp r e s e n ta ne x a m p l ef o rv o l t e r r as t o c h a s t i ci n t e g r o d i 珏曲e n t i a lr e a c t i o i l d i f h s i o n e q u a t i o nw h i c hi l l u s t r a t e so u rm a i nt h e o r e m s k e yw o r d s ： s t o c h a s t i cd i h 色r e n t i a le q u a t i o n ；s t o c h a s t i cp a r t i a lf h n c t i o n a ld i 矗毡r e n t i a le q u a t i o s ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s ；g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；i n 6 n i t ed e l a y p a r a m e t e rm a x i m u ml i k e l i l l o o de s t i m a t e ( m l e ) ；c o n s i s t e n c y ；1 1 y p o 曲e s i st e s t i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 a 静占6 华 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全丁解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名越 指导教师签名 日期：丝! ! ：生：! 日 期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 矽6 6 绪言 随机微分方程是近几年兴起的热门的数学学科，它是常微分方程、动力系统和 随机分析相结合的交叉学科它对认识统计物理学、管理科学、信息与控制以及时 间序列的一些随机现象，将产生一定的推动作用确定性微分方程的模型常用微分 方程或差分方程表示，系统的将来状态完全由现在状态确定然而对于随机微分方 程，系统包含许多不确定因素，随机微分方程较为复杂，研究起来相对困难在实 际应用中，随机微分方程中的参数一般是未知的 随机微分方程起始于k c - 1 m 。g o r o v 的分析方法与f e l l e r 的半群方法自2 】世纪 4 0 年代日本数学家伊藤清( ki t o ) ( 文献f 4 5 1 ) 创立随机微分和随机微分方程的理论 后，随机微分方程有了迅速的发展，并在许多领域有着广泛的应用例如，在随机系 统控制和滤波理论中，随机微分方程是不l ：i _ r 缺少的t 具，著名的k 刚m b u c y 滤波 公式就是一个典型的例子；工程结构分析中常常要考虑随机荷载；风力，海浪，地 震力等等因而其模型归结为随机微分方程；京融经济学是随机分析应用最成功的 领域之一，7 0 年代诺贝尔经济学奖获得者rcm e r t o n 和ms s 曲o l e s ，从证券价格 的随机模型出发，得出它的衍生物一期权的价格适合的是一个偏微分方程的定解问 韪，因此把偏微分方程作为工具，利用偏微分方程的理论和方法，导出了期权定价 公式，成为金融经济领域的一个重大突破 在二十一世纪，有关金融数学和生物数学的研究显得越发重要，金融数学和生 物数学与其它学科的交叉领域将成为主要的研究对象金融模型中的参数估计问题 是近几年来经济、金融计萤学领域中引起人们广泛兴趣的课题，许多金融模型是在 连续时间框架下建立的随机微分方程，饲如g b m 、m e r t o n 、d o - a i i 、v a s - c k 、 c i r s r c i r 、嘬、c e v 等金融模型( 文献8 2 ，】2 3 ，1 2 4 1 ) 最近，已有一些学者利用 随机微分方程离散化的方法估计出所建立方程的参数系数，与传统方法比较更接近 实际，这是由它是从实际问题出发服务于实际问题所决定的另外，极大似然比、 广义矩等方法亦用来估计参数当金融模型中的漂移项具有非线性型时，利用传统 e u l e r 方法离散化随机微分方程可能会带来数据计算不稳定性，新的离散化方法即 局部线性化方法可克服此问题最近，jf a 【l ，c z 蛔塔( 文献【2 8 1 0 0 】) 利用高阶 多项式逼近法研究了自治随机微分方程漂移函数及扩散函数估计问题，并应爿j 于常 见的几个金融模型 2 0 0 3 年度诺贝尔经济学奖获奖者e i l g l e 将a r c h 模型( b i l g k ，1 9 8 2 ) ( 文献 1 u 1 1 ) 及其各种变形引入经济、金融学，提出1 广根据时间变化的易变性进行经济时间序列 分析的形式，可以用传统方法对a r c h 模型的参数进行估计瑞典皇家科学院称赞 e n g l e 的分析方式对经济学研究具有”重大的突破性意义”，而且他的a r c h 理论 e n g l e 的分析方式对经济学研究具有”重大的突破性意义”，而且他的a r c h 理论 模式已成为经济界，金融市场分析人士用来评估价格和风险的必不可少的工具在 现代金融学中，一般可假设某一金融资产的价格和它的收益的波动程度服从连续的 随机过程，并可由连续随机微分方程表示的a r c h 模型( 文献f 1 0 2 1 ) 近几年来，已 有一些学者研究利用随机微分方程表示a r e h 模型，a r c h 模型和连续的随机微 分方程之间的互为近似的性质，使得研究工作有了更大的灵活性，前者便于处理实 际的金融数据，后者便与理论上的研究 经过一个世纪的发展，生物数学模型的研究得到了广泛的应用，大大的推动了 生物数学学科的发展，生物数学模型的构成和分析越来越精细，考虑了生物行为细 节，稳定性( 包括多样性、持久性、分歧现象、混沌学等) ，出现了更为深刻的种群 群落的数学模型，参见 3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，4 9 ，5 8 ，5 9 ，6 0 ，9 6 ，1 0 5 ，1 0 6 ，1 0 7 、 1 0 8 ，1 0 9 ，1l o ，1 25 】跟确定性生物数学模型相比较，对随机生物数学模型的研究虽然 有二十多年的历史，得到了一些好的结果，然而这方面的结果还是很少( 参见文献 3 ，1 4 8 j ，【6 4 】及相关参考文献) 考虑到种群生态系统经常会遇到环境自噪声的 干扰( 参见文献 3 9 4 1 】) ，那么研究白噪声的存在对种群生态系统会产生怎样的影响 是非常有意义的在控制论中我们知道白噪声既有有利的影响又有不利的影响( 参 见，m a o 67 ) 考虑到环境白噪声对增长率及死亡率的扰动，a n o l d 等( 文献 建立了随机l o t k a - v o l t e r r a 捕食一被捕食系统模型，并证明了在i t o 意义下系统不 存在平稳的分布 r z k h a 8 m i n s k i i 和fck k b a n e r 4 8 揭示了具有小的随机扰动 l o t h - v o l t e r r a 捕食被捕食系统在s t r a t o n o v i c h 意义下解的长久性质最近，m a o 等( 文献【6 4 67 】) 研究了一类特殊l o t h v o l t e r r a 系统，并揭示了环境白噪声消除解 的爆破这一现象在实际应用中，随机l o t h - v 0 1 t e r r a 系统中的增长率、死亡率及白 噪声的强度等参数一般是未知的而我们观测到的又是一些离散的数据，怎么用这 些数据给出参数的估计，及估计的好坏就是一个关键的问题 利用统计学方法( 文献 6 ) 研究有限离散观测数据对随机生物数学模型中的参 数进行估计与假设检验也是一个新的研究课题另外随机生物数学模型的参数估计 与假设检验问题跟金融模型参数估计与假设检验问题是两个完全不同的体系我们 要研究增长率在环境白噪声的干扰下随机l o g i s t i c 模型及其参数的极大似然估计与 假设检验，求解i t o 意义下离散化方程中参数的极大似然估计的相合性，并给出了 理论证明对于检验问题，利用鞅大数定律和中心极限定理给出了基于极大似然估 计所构造的检验统计量的渐进分布另外，我们要研究增长率( 死亡率) 在环境白噪 声的干扰下随机l o t h - v o l t e r r a 系统正解的存在唯一性，全局渐近稳定性以及参数 的极大似然估计这是一类问题，随机l 0 t h v o l 瀹r a 系统涉及典型的生物数学模 型，例如，随机l o t k a - v 0 1 t e ”a 竞争系统、捕食被捕食系统、互惠系统 利用离散观测数据研究随机生物数学模型的参数估计，当用极大似然方法估计 参数时，一种方法就是首先通过离散化方法从连续随机过程中得到离散数据一个 由随机微分方程确定的连续随机过程很容易通过传统的离散化方法得到离散随机过 程而且，一旦一个连续随机过程离散化，就很容易得到离散随机过程的转移概率 2 分布，例如：当利用传统e u l e r 方法把随机微分方程离散化，则离散随机过程的转 移概率是正态的因此利用离散随机过程的正态性及m ”k o v 性，很容易得到似然 函数随机生物数学模型一般是非线性的，经过对数、l o g i s t i c 等变量替换，把原 随机生物数学模型转化为扩散函数为常数的随机微分方程并使其离散化 近几十年来，定性理论中随机微分方程解的存在唯一性已有许多结果，稳定性 理论中利用l y a p l l n o v 第二方法处理随机微分方程的稳定性亦得到一些结果( 例如， 参见吼 1 3 ， 5 2 ：【5 3 ， 6 2 - 6 9 1f 8 6 ，8 7 ，8 8 ，随机微分方程的不变流形存在性结果亦 有一些结果( 例如，参见m 【1 6 】，【5 5 ，【5 6 】) 许多作者研究了随机微分方程初值问 题解的存在性和唯一性( 参见，a r n o l dmn i e d l l l a n 2 6 i ，m a of 6 l ，6 3 】m o h a m m e d f 7 4 ，t a n i g u c h i ，l i u 和n u m a n n 8 5 以及t s o k o s 和p a d g e “f 9 l 】) 这类问题通常有两 种解决方法：一种是迭代法，另一种是应用b a n a c h 不动点定理，c h a n d r a l a d d c 和l a k s h m i k a n t h a n l 1 8 】以及d e i i n i i n g ，l a d d e 和l a k s h n l i k a n t h a l n 2 1 1 研究了二阶 随机边值问题样本解的存在性，相关的常微分方程边值问题的一些结果参见文献 1 7 ，1 9 ，2 5 ，3 1 ，3 5 ，5 7 ，7 6 ，7 7 ，8 0 ，9 2 ，9 7 ，9 8 1 近些年来，随机偏泛函微分方程解的存在性，唯一性，稳定性，不变测度以及 其它的性质已经被许多作者广泛的研究过对于确定性的具无限时滞的泛函微分方 程，由于无限时滞所引起的难度较大，为了克服这些困难，h a l e 和k a t o 引进了l1 8 模，并建立了b 空间的理论，其后s a w a n o 对b 空间进行了简化在这基础上，近年 来已有一些较好的结果，例如在【8 9 】中，作者提出的j 】 模是一种具体的i i e 模， 它对研究无限时滞方程，尤其是v o l t e ”a 积分微分方程极为有效文献f 1l ，1 2 ，4 2 ， 5 l ，9 3 ，9 4 ，9 5 已研究了具无限时滞的泛函微分方程其解的有界性，周期解，稳定性 等性质对于具有限时滞的随机常泛函微分方程，其解的存在性，唯一性，稳定性 已被许多作者研究过见文献【1 ，2 6 ，4 4 ，4 6 ，4 7 ，5 1 ，5 3 ，6 3 ，7 0 ，7 31 在文献 8 9 1 中， l i u 等人利用半群方法研究了具有限时滞的随机偏泛函微分方程解的存在性，唯一 性及稳定性在文献【2 9 】中，m c of u h r m a n 等人研究了无穷维空间中k 0 1 m 0 9 0 r o v 方程滞后型随机微分方程解的存在性，唯一性，依赖于参数的正则性和m a l l i a v i n 可 微性及其在最优控制上的应用我们要探讨运用半群方法研究具无限时滞的随机偏 泛函微分方程温和解的存在性，唯一性，p 阶矩和几乎必然李雅普诺夫指数问题 最后，将给出具无限时滞的v o l t e r r a 随机积分一微分方程的一些应用。另外，将给 出一个v 0 】t e r r a 随机积分一微分反应扩散方程的例子来说明主要定理 3 第一章预备知识 设( n ，f 五) t ! 。，p ) 是完备的概率空间，具有流( 五) 。满足通常条件，即单调 递增右连续，且蜀包含所有的零测集设b ( ) = ( b 1 ( f ) ，日。( t ) ) 7 ，o 是定义 在这个概率空间上m 维标准布朗运动设。o 是 知) 可测的r n 值的随机变量满足 e 啸】 。设，：r “r + _ r “和9 ：r n r + - r n m 都是b o r e l 可测的考虑伊 藤形式的m 维随机微分方程 d z ( t ) = ，( 。0 ) ，) d + 9 ( z ( t ) ，t ) d b ( t ) ，o 。，( 1 1 ) 具有初值z ( o ) = 弧这个方程等价于如下的随机积分方程 性质 z ( ) = z 。+ z 。，( z ( s ) s ) 幽+ z 。g ( z ( s ) ) s ) d b ( 巩。茎t 。， ( 1 2 ) 定义1 1 f 7 0 】称r 叫直的随机过程 z ( t ) ) o 。 o ( = 1 ，2 ，一) ，使得v z ，舻鼠v 川兰有不等式 i ，( z ，) 一，( 掣，t ) iv 1 9 ( z ，)9 ( ”，z ) l 。k i z 可l 成立同时存在c o ，使得 f ，扛，) ivi g 扛，) lsc ( 1 + i ) ，v ( z f ) r “xr 斗 则具有初始条件z ( o ) = z o 形的随机微分方程 如( f ) = ，( z ( ) ，) 出+ 9 ( ( t ) ，t ) d b ( ) ， 存在唯一连续的全局解( ) 0 o ，。o ) ) 而且，对于每个p o ，有 e 【s u pi 。( 5 ；。o ) l ) o ( k = 1 ，2 ，) ，使得 如，”兄“且vm 女有不等式 i ，( z ，t ) 一，( 玑t ) jv f g ( z ，t ) 9 ( 可，) j 兰“f z 一 成立则具有初始条件z ( o ) = z o r “的随机微分方程 出( ，) = ，( $ ( t ) ，) d + 9 ( z ( ) ，) d 日( t ) ， 存在唯一连续的局部解z ( ) ( o ) ) 凡是爆破时间 定理1 3 m 6 ，70 ( 伊藤公式) 设z ( ) ( 2o ) 是方程( 11 ) 的解，v c 2 ，1 ( _ r ，t 皿；r ) 则p ( 。( ) ，t ) 仍是一伊藤过程，具有随机微分： d y ( z ( t ) ，z ) = 【k ( 。( ) ，t ) + 圪( z ( ) ，) ，( z ( ) 、) + r n c e ( 9 7 ( z ( ) ，) k 。( z ( f ) ，) g ( z ( t ) t ) ) j d 十( z ( ) ，t ) 9 ( z ( t ) ，t ) d b ( ) o s 5 此式称为伊藤公式 定理l4 m i l 5 ，1 1 8 】( h j l de i 不等式) 设，q 是概率空间( n ，p ) 上的可测函数 实数p ，q 满足1 p ，q o o 和1 p + 1 q = l ，则 e f 刊曼( e 1 加i f i p ) ( e 1 加i 叼1 4 ) f 1 3 1 如果f 9 1 有 n s 怄击懈n 其中峙为范数 定理1 7 m l “】b u r k h o l d e r d a v i g u n d y 不等式对一切p o 存在只依赖于 p 的常数q o 和西 o 使得 己；e f f 矗j 】e 【( n 蛘) 9 】c ；e 1 矗 】 对一切m m f 0 。及一切停时r 成立( 若其中一项为无穷，则其他项为无穷) 其中 q = ( 赫) 5 ，巧= ( 劬) 号，m ；= 愁毫i l ，o - 定理1 8 【7 0 】设 地= ( 删，一，m ，) ) ! o 关于流五是d 维连续局部鞅，且蛳= 0a s 如果 产6 ，1 i ，jsd ， 则 舰= ( m ，删) ) c o 关于流乃是d 维布朗运动 定理1 9 m l o4 】假设一维的随机过程x ( ) o ) 满足条件 f j x ( ) 一x 0 ) f 。c 沁一s 1 1 十卢， o s ，t 。 6 + 眈 + o o ，p o ，以及x 妒，则 p “：l x ( 叫) i c ) sc 一9 e 【j x i ”】 定理1 1 1 ( b a n a c h 不动点定理) 设x 是完备的度量空间，丁：- x 是压缩 映射，则t 有唯一的不动点，即存在唯一的z x ，使得? z = z 定理1 1 2 o 】( b r o w n i a n 运动的重对数定律) 设b ( # ) ，0 三o ) 是标准布朗运动 则有 t 鬻p 器= h s 。 定理l 1 3 ( 重对数定律) 设x ：，i = l ，2 ，是同分布独立随机变量，记s n ： x 。，凡21 若e | x l j o 。，剞r x l = 盯2 。则 l = 1 鲁一p 叫历丽， 其中1 嬲p ( ( n ) = l 。 ，1 鹳穗e ( n ) = 1 一 定理1 1 4 m 1 1 4 ，1 1 8 j ( 强大数定律) 设置，扛l ，2 ，是同分布独立随机变量，记 岛= e 坠1 托，n 1 若聊i x l 口 。则 喜马p ( 。- 。) 百p ( “- 。) 定理1 1 5 【1 1 6 1 ( 鞅大数定律) 设x n = d 托，矗，n o ) 为零均值鞅 ；= 0 o p 2 ，若 霎器 o 。， 则 熹= 击娄a 噩_ s 7 定理1 1 6 f 9 9 ( 中心极限定理) 设置 s 。= ：、n 1 若e ( i 工l n o 是环境 容纳量m a y 在文献f 6 0 1 中对系统( 2 o 1 ) 做了很详细的讨论我们知道系统( 2 o 1 ) 有一个稳定的平衡点k 对于系统( 2o 1 ) 的更一般情形，已经获得了一些关于正解 稳定性的有意义的结果，例如，参见g 叩“8 a m y ( 3 2 ，h a l e 4 2 】_ 由于生态系统稳定的 正平衡点的存在性意味着物种之间的长时期共存，因此研究生态系统稳定的正平衡 点的存在性具有广泛而重要的生物学意义，已成为微分方程定性理论研究的重要组 成部分 然而，种群生态系统经常会遇到环境白噪声的干扰( 参考m a 0 ，m a r i o n 和r e n s h a w 的文献f 6 4 】) ，那么研究自噪声的存在是否影响种群生态系统以及是否会使已有 的结果发生变化已受到广泛的关注这里r 是观测不到的，并且种群生态系统经常 会受到环境白噪声的干扰，而我们观测到的又是一些离散的数据，怎么用这些数据 给出r 的估计，及估计的好坏就是一个关键的问题 近些年来，已有学者研究金融模型的参数估计问题与假设检验，参看文献f 2 8 ， 8 2 ，l o o ，1 2 3 ，1 2 4 1 ，但还没有见到研究随机人口动力系统中的参数估计与检验问题的 文献很显然，这两个体系的参数估计与假设检验问题是完全不同的 假设系统( 2 0 1 ) 中参数r 受到如下形式的随机扰动 7 _ r + a b f ) 其中口( ) 是白噪声，舻表示白噪声强度那么，受环境白噪声干扰的系统可以用 如下的随机化l o g i s t i c 方程描述 对却十a 古( 6 ) 州卜掣卜k 0 ) 1 ( 20 2 ) 其中b ( ) ( f o ) 是一维标准b r o w n 运动，b ( o ) = o ，初值( o ) = 0 ，且o o 多么小，解都不会在有限时间爆破，揭示了环境白噪声抑制解的爆破这一重要性质 通常一个随机微分方程对于任何初值存在唯一全局解，方程中的系数需要满足 线性增长和局部l 1 p s c h i t z 条件，参考a 1 1 1 0 1 d 文献【1 】和n e e d m a n 文献【2 6 然而，方 程( 2 o 2 ) 的系数满足局部l i p s c h j t z 条件却并不满足线性增长条件，因此方程( 2o2 ) 的解有可能在有限时间发生爆破 l o g i s t i c 方程也通常表示为： ( ) = ( ) f n 一6 ( ) j o ： ( 2 | 0 4 ) 具有初值( o ) = 0 o ，是种群的人口密度，o 是种群的出生率，是环境的 最大容纳量