（基础数学专业论文）关于abel和幂零表代数的一些结果.pdf

摘要 a r a d 和b l a u 在1 9 9 1 年从有限群的不可约特征标和共轭类的积的分解中抽 象出表代数的概念，它是一类满足特定条件的定义在复数域上的有限维交换结合代 数表代数为研究上述两者的关系提供了一种统一的方法，并已成为个相对独立 的研究课题 本论文从表代数的子结构和商结构的关系出发，对a b e l 表代数和幂零表代数 的结构进行了深入的探讨，并且得到一些有意义的结果 a r a d 和b l a u 证明了a b e l 表代数( a ，b ) 等价于某个有限生成a b e l 群g 的群 代数，受此启发本文第3 节通过定义表基的一个群结构给出了a b e l 表代数的结构 定理，并从合成列数目的角度对初等a b e l 表代数进行了细致刻画 本文第4 节对表代数的幂零性问题做了深入研究我们知道满足中心扩张的群 是幂零群在给出幂零表代数基本性质的基础上，利用表代数的j o r d a n h o l d e r 型 定理我们证明了满足幂零扩张条件的表代数是幂零的，表代数的幂零性可以由表子 集和商子集决定。同时会发现该条件在表代数幂零性的判别方面并不完全对应于幂 零群的中一5 - 扩张另外我们还将通过一例子说明该判别条件对a b e l 表代数是不成 立的 关键词；表代数；表子集；a b e l 表代数；幂零表代数 a b s t r a c t a r a da n db l a ua b s t r a c t e dt h ec o n c e p to ft a b l ea l g e b r a s ，w h i c ha r eac l a s so f f i n i t ed i m e n s i o n a l ，a s s o c i a t i v ea n dc o m m u t a t i v ea l g e b r a so v e rt h ec o m p l e xn u m b e r s w i t hc e r t a i ns p e c i f i e dp r o p e r t i e s ，f r o mt h ed e c o m p o s i t i o n so fp r o d u c t so fe i t h e r i r r e d u c i b l ec h a r a c t e r so rc o n j u g a c yc l a s s e so ff i n i t eg r o u p s t h e yp r o v i d eam e t h o di n au n i f o r mw a yt or e s e a r c ht h et w oc a s e sm e n t i o n e da b o v ea n dh a v eb e e nar e l a t i x r e l y i n d e p e n d e n tr e s e a r c h i n gs u 5 5 e e t t h ep r e s e n tp a p e r ，f r o mt h ep o i n to fv i e wo f 。t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns u b s t r u c t u r ea n dq u o t i e n ts t r u c t u r e ，m a i n l yc h a r a c t e r i z e ss t r u c t u r e so fa b e l i a na n d n i l p o t e n t t a b l ea l g e b r a sa n dg a i n ss o m em e a n i n g f u lr e s u l t s a r a da n db l a up r o v e dt h a ta na b e l i a nt a b l ea l g e b r a ( a ，b ) c a nb ev i e w e d a sag r o u pa l g e b r ao fs o m ea b e l i a ng r o u pg ，c h a p t e r3o ft h i sp a p e rg i v e st h e s t r u c t u r a lt h e o r e mo fa b e l i a nt a b l ea l g e b r a sb yd e f i n i n gag r o u ps t r u c t u r ei nt a b l e b a s i s f u r t h e r m o r e ，t h es t r u c t u r eo fe l e m e n t a r ya b e l i a nt a b l ea l g e b r a si sd i s c u s s e d u s i n gt h en u n l b e ro fc o m p o s i t i o ns e r i e so ft a b l ea l g e b r a s c h a p t e r4m a i n l yd e a l sw i t ht h en i l p o t e n c yo ft a b l ea l g e b r a s a si sk n o w n ， g r o u p ss a t i s f y i n gc e n t r a le x t e n s i o nc o n d i t i o n sa r en i l p o t e n t w e ，f i r s t l y ，o b t a i ns o m e b a s i cp r o p e r t i e so nn i l p o t e n tt a b i ea l g e b r a s ，a n dt h e np r o v et h a tt a b l ea l g e b r a s w h i c hs a t i s f yn i l p o t e n te x t e n s i o na r en i l p o t e n tb yu s i n gj o r d a n - - h o l d e rt y p et h e o r e mo ft a b l ea l g e b r a s ，i e n i l p o t e n c yo fat a b l ea l g e b r ad e p e n d so i lt h a to ft h e i rt a b l e s u b s e t sa n dq u o t i e n ts u b s e t s ，w h i c hi sn o tf u l l yc o r r e s p o n d i n gt oe x t e n s i o np r o b l e m s o fn i l p o t e n tg r o u p s f u r t h e r m o r e ，w ew i l lf i n dt h a tc o n d i t i o n si nt h ea b o v et h e o r e m a r en o tv a l i df o ra b e l i a nt a b l ea l g e b r a s k e y w o r d s ：t a b l ea l g e b r a ；t a b l es u b s e t ；a b e l i a nt a b l ea l g e b r a ；n i l p o t e n t t a b l ea l g e b r a 1引言 令g 是一个有限群，g 是复数域，中心群代数z ( c g ) 和类函数环c h ( g ) 在 有限群表示理论中已经得到深入研究我们知道g 的共轭类和c l a ( g ) 和所有的不 可约特征标i r r ( g ) 分别是z ( c g ) 和c h ( a ) 的一组特殊的基，它们是常表示理论 两个重要的研究对象表代数理论是从这两个对象中抽象出来的，以一种统一的方 式对其进行研究的理论 有限群的特征标表和类函数的代数推广已经有很长的历史首先应该提到的当 数结合概型和b r a u e r 关于p s e u d o 群的工作然后k a w a d a 在其6 0 年前的一篇文章 中提出了d 代数的概念，它是交换结合概型的推广形式a r a d 和b l a u 在文献 2 l 中从一个有限群的不可约特征标或共轭类的积的分解出发提炼出表代数的概念，并 描述了表代数的一些基本性质，证明了表代数等价于一类具有非负结构常数的d 代数目前表代数的研究进展迅速，它大致围绕以下3 个方向展开首先是关于某 些特殊表代数的分类工作比如文献 2 和 8 分别对具有对闭子集，极小拟闭子集 的表代数进行了细致分类另一方向则是涉及表代数的结构问题在这方面b l a u 和 z i e s c h a n g 做了大量的工作b l a u 首先阐明了一个g - 代数( a ，b ) 中子结构和商结 构的关系，证明了当( a ，b ) 是表代数时任意的一个子结构可以产生一个商结构，并 且反之亦成立；之后他又给出了表代数的j o r d a n h o l d e r 型定理和k r u l l s c h i m i d t 型定理；2 0 0 4 年，b l a u 和z i e s e h a n g 又将有限群的s y l o w 定理推广到包含结合 概型的b o s e - m e s n e r 代数在内的一类表代数上在此引用的b l a u 和z i e s c h a n g 结 果见文献【1 】和 6 】最后一个研究方向是由a r m ，f i s m a n 和m u z y c l m k 首先提出 的广义表代数理论广义表代数是一类将基域扩充到整环上的非交换代数在文献 1 3 1 中，作者对广义表代数理论进行了深入研究，这其中包括广义表代数的表示理 论和闭子集理论 】 本文第2 节，我们主要给出了一些与表代数有关的定义、符号以及主要结果证 明中所要用到的性质、引理和定理，其中不加证明的可参考相关文献此外还列举 了几个关于表代数的例子以便于理解 本文第三节主要在表代数的结构理论方面进行了一些探讨，得到了表代数的一 些结构性质，从子结构和商结构关系角度证明了a b e l 表代数和幂零表代数的一些 判别条件，它们细化或推广了b l a u 关于表代数结构的部分结果设( a ，b ) 是一个 表代数，f 2 ，t h e o r e ma 证明了如果，b ) 是a b c l 的，则存在一个有限群g 使得 a 就是群代数c g 并且b 中元素是由g 中元素的非负实数倍组成我们对有限生 成a b e l 群的结构已经非常清楚，那么a b e l 表代数的结构又是怎样的呢? 本文定理 3 4 对该问题作出了解答，另外我们还从合成列的观点给出了初等a b e i 表代数的充 要条件( 见定理3 6 和3 7 ) 有限群g 是幂零的当且仅当g 满足中心扩张条件自然的，我们希望能够找 到某种扩张条件使得一个表代数也是幂零的本文第4 节定理4 4 证明了满足幂零 扩张的表代数是幂零表代数该定理告诉我们幂零表代数并不完全对应于幂零群， 幂零表代数有其独特的结构，它可以由表子集和商子集的幂零性完全决定当然幂 零表代数与幂零群在结构上也有一致之处定理4 。7 证明了当中心群代数z ( c g ) 作为表代数时，其幂零表子集对应于群g 的竹次中心另外我们还通过一个例子 说明满足a b e l 扩张的表代数并不一定是a b e l 表代数 2 2 预备知识 2 1表代数的定义及基本性质 以下我们总假设a 是定义在复数域( = | 上具有单位元1 的有限维交换、结合代 数令b = b l ，b 2 ，b k 表示a 的一组基对于二元组，b ) ，我们考虑以下假设： ( j ) 对所有的i ，j ，m ，6 。b = 助。6 。，其中助。是一个非负实数； ( i i ) 存在a 的一个2 阶代数自i 可构( 我们记为一) ，使得b i b 号瓦e - b ( 这样 i 可以定义为培= b i ) ； ( i i i ) 当假设( i i ) 成立时，对所以的i ，j ，屈，l 0 佛j = i 定义2 1 如果假设条件( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 同时成立，我们称( a ，b ) 是一个表代 数，b q 做( a ，口) 的组表基 现在我们考虑在引言中提到的2 个典型例子 按照上面假设，一个有限群g 可以产生两个表代数： 以g 的共轭类和c l a ( g ) 作为表基的中心群代数( z ( c g ) ，g f n ( g ) ) 是一个表 代数事实上，假设条件( i ) 对中心群代数( z ( c c ) 自然成立；如果我们将映射 d ：g 一g ，9 卜g _ 1 线性扩张到中心群代数z ( c g ) 上，则它是z ( c g ) 的一个代 数自同构且满足假设条件( i i ) ；而由【1 4 ，c h a p 3 ，t h e o r e m2 2 3 】知，假设条件( i i i ) 也是成立的因此( z ( c c ) ，c l a ( g ) ) 是一个表代数 以g 的所有定义在g 上的不可约特征标为表基的类函数环( c h ( c ) ，l r r ( g ) ) 也是一个表代数因为2 个特征标的乘积仍然是一个特征标，所以条件假设( i ) 是成 立的；条件假设( i i ) 中的代数自同构可以由不可约特征标的复共轭线性扩张得到； 而由表示理论的知识知( i i i ) 也是成立的 【1 ，p r o p o s i t i o n2 6 】证明了任意一个表代数a 是半单的，因此a 有一个不可 约分解a = 0 坠10 凳1e i i a ，其中e q p i ( a ) 且e l , x a 型e j p a 当且仅当i = j 设集 合k a l lsi 女) 是不可约a 一模同构类的代表集因为a 是可交换的，所以由 e i a 提供的a 的表示 是线性的我们知道 a l lsi 七) 给出了a 的所有不可 约代数表示，它也是所有的从a 到c 的代数同态这样存在一个 ) 和 e f ) 之 3 间的双射： he ； 2 ，l e m m a2 9 证明了 ， 中存在一个不可约代数表示，比 如说，= f l ，使得f ( b i ) = ，( 玩) 兄+ 对所有的i 成立，并且这样的一个不可约代 数表示是被唯一确定的因此在必要时我们将会用( a ，b ，) 来代替( a ，曰) 此时， 如果我们记上面两个典型例子中唯一确定的取正实值的代数表示分别为，和g ，则 ，( g ) = i c i ，g ( x i ) = 地( 1 ) ，其中c i c r y ( a ) ，r r ( g ) 另外，我们可以将e 重新调整次序使得可= 留注意到 e ，) 是a 的另外一组基，所以存在唯一确定的 b i 。c 使得6 i = 垒16 ：。岛，其中1 i 这时我们称xk 矩阵e = ( b 。) 为 ( a ，b ) 的特征矩阵 定义2 2 设，b ) 是一个表代数对1 isk ，取a ： 0 且满足条件：a 1 = 1 及砖= 凡令= a i b 。，b = 饯1 1 is ，显然( a ，b ) 也是一个表代数，此时 我们称b 是b 的一个r e s c a l i n g 【l ，p r o p o s i t i o n2 1 】证明了存在唯一的一个b 的r e s c a l i n gb 使得对所以的i 有，( 6 ：) = 危i l 成立，这样的b 我们称为是口的一个s t a n d a r dr e s c a l i n g ；同时还 存在唯一的一个b 的r e s c a l i n gb ”使得对所以的i 有f ( b 7 ) = 1 ，这样的口”我们 称为是b 的一个t r a n s i t i o n a lr e s c a l i n g 定义2 3 设( a ，b ) 是一个表代数对任意的a a ，s u p p b ( a ) ：= b i b l 一( 6 ，a ) o ) ，其中尤( 以，a ) 是b i 在a 中的系数 s u p p b ( a ) 中的元素称为a 的不可约分支； 如果k = 瓦= b ；，则我们称b i 是实的； 设日，如果n 西并且对所有的b i ，b n 我们有s u p p s ( b i b i ) n ，则 称j v 是b 的一个表子集； 由b 的某个表子集生成的a 的子代数叫做( a ，b ) 的表子代数如果b 中除 了 l 和日本身外没有别的表子集，我们称，日) 是单的 注： ( i ) 1 a 和b 本身都是日的表子集； ( i i ) 设m ，1 ，巩b 是b 的表子集，如果我们定义 m n ：= u k m ，b i s u p p b ( b i b j ) ， 4 则定理2 1 7 证明了m 和m n 都是曰的表子集对l 眠，我们也可以归纳 地定义，并且它也是b 的表子集 定义2 4 设( a ，b ) 是一个表代数对b f 1 3 ，如果存在某个正整数n 使得 s u p p b ( b ? ) = 1 ) ，则称b i 是线性的如果对任意的阢b ，b l 是线性的，我们称 ，b ) 是a b e l 表代数如果对任意的b i b ，存在一个素数p 使得s u p p b ( 舅) = 1 a ) ，则称( a ，b ) 是初等a b e l 表代数 性质2 5 2 ，p r o p o s i t i o n3 2 ( i b i b 是线性的骨s u p p b ( b i b i ) = f l ； ( i i ) 如果b i ，幻b 且6 是线性的，则l s u p p b ( b l b j ) l = 1 ； ( i i i ) b 中所有线性元组成的集合构成口的一个表子集 性质2 5 ( i i i ) 中的表子集称为b 的线性表子集 性质2 6 设( a ，b ) 是一个表代数如果b i b 是线性的，b j b 是非线性 的，则s u p p b ( b i b i ) 是非线性的 证明；由性质2 5 ( i i ) 知存在b 中的一个元素c 使得c = s u p p b ( b i b j ) 假设c 是线性的令s u p p b ( b 矿) = 1 = s u p p b ( c “) ，s = f c m n ，m ) ，则 s 卿b ( 衅) = s t z 巾b ( ( 玩6 i b j 5 ) = s 让即b ( ( k c ) 8 ) = 1 a ， 所以b 是线性的，这与题意假设矛盾因此，s u p p b ( b i 白) 是非线性的 性质2 7 设( a ，b ) 是一个表代数b i ，略b 是b 中的非线性元如果 l s 唧占( 6 i b ) 【= i ，则s u p p b ( b i b j ) 是非线性的 证明；假设c = s u p p b ( b i b j ) 是线性的令d = s u p p b ( b j o ) ，则由性质2 6 知 d 是非线性的由s u p p b ( b i d ) = s u p p b ( b t 6 j i ) = 1 a ) 知s u p p ( 厢) = 1 a ) ，因 此s u p p s ( b i 爵d d ) = 1 a ) 因为b i 是非线性的，所以存在某个i a e b 满足 e s u p p 口( b i 砑又因为1 s u p p 口( d _ ) ，所以我们有e s u p p b ( 6 一b d d ) = 1 ， 因此e = i a ，矛盾所以s u p p b ( b i b j ) 是非线性的 定义2 8 设似，b ) 是一个表代数给定b l b ，由b 生成的集合我们定义为 玩。：= u 器l s u p p b ( b ? ) 可从验证岛。是丑的表子集如果b b 。= b ，则称巩是忠 实的如果b i 是线性的并且风= b ，则称( a ，b ) 是循环表代数 5 2 2 表代数同态和同构 定义2 9 设( a ，b ，) 和( 配v g ) 是表代数我们称映射妒是( a ，口，) 到 ( 以vg ) 的表代数同态当且仅当同时满足下列3 个条件： ( i ) 妒：a _ u 是一个代数同态； ( i i ) 妒( b ) ：= 妒( ) j 1 i 意) 是由y 中一些元素的正实数倍组成； ( i i i ) go 妒= ， 这样一个映射妒称为表代数满同态当且仅当吵：a 一，是满射，这等价于说 矿中所有元素的某个正实数倍均在妒( b ) 中出现；妒称为表代数单同态当且仅当 砂：a - - u 是单射；妒称为表代数同构当且仅当砂：a - u 既是单射又是满射， 此时我们记为( a ，b ，f ) 竺( u k g ) 特别的，如果妒：( a ，b ，) 寸( u kg ) 是一个 表代数同构而且妒( b ) = v ，那么我们就说( a ，日，) 和( 以k f ) 是e x a c t 表代数同 构的，记为：，b ，f ) 掣。( 以v 9 ) ， 表代数同态区别于一般代数同态之处在于它将表基中元素映到表基中元素的非 负实数倍，因此b 在妒下的同态像不一定是y 的表子集；但是我们可以证明，如 果是b 的表子集，则s = 地v i 存在肌r + 及b i n 使得= 肪妒( ) ) 是y 的表子集事实上，对任意的地，q s ，s u p p v ( v i v j ) = s u p p v ( p w j 妒( b l b j ) ) = s u p p v ( 妒( b i b ) ) ) = s u p p v ( z b 。n 岛。母( b 。) ) s 鉴于此，我们可以得到表代数同 态的一些基本性质： 性质2 1 0 设妒：( a ，b ) - 4 ( 以v ) 是一个表代数同态，那么 ( i ) 若似，b ) 是循环表代数，则( a ，b ) 的同态象是( y ) 的循环子表代数； ( i i ) 若( a ，b ) 是a b e l 表代数，则( a ，b ) 的同态象是( 以y ) 的a b e l 子表代数 证明令s = 和v 存在j ，r + 及b b 使得= 妒( 6 ) ) ，则，且) 的同态 像显然是以s 为表基的( 矿) 子表代数 ( i ) 设b o b 是线性的且b b 。= b 存在p o r + 及咖v 使得妒) = p o v o 如果设s u p p b ( 6 n o o ) = 1 a ，则s u p p v ( v ：。) = s 钍即v ( ( ) ) ”o ) = l v ，所以v 0 是矿的 线性元。对任意的u s ，存在p r + 及。b b 使得妒( 6 ) = p 口因为( a ，丑) 是循 环的，所以存在正整数n 及正实数r 使得r 始= b ，故p v = 妒( 鸠 ) = r 蹯 0 ，所以 6 和，= s u p p u ( v 目) ( i i ) 对任意的u s ，存在p r + 及b b 使得 = 鲫( 6 ) ) 因为b 是线性的， 所以s u p p b ( b “) = 1 a ，其中凡是某个正整数这样s u p p v ( v ”) = s u p p v ( ( 鲫( 6 ) ) “) = s u p p v ( 妒( b ”) ) = 1 y ，所以u 是线性的，因此( a ，b ) 的同态象是( y ) 的a b e l 子表 代数 定义2 1 1 设妒：( a ，b ，f ) 寸( k g ) 是一个表代数同态那么妒_ 1 ( 1 u ) ：= 他b l 存在某个正实数p i 使得妒( 6 f ) = 见l u 显然， 1 a 妒q ( 1 u ) 并且妒- i ( 1 u ) 在一下是稳定的【1 】举出了一例说明 当妒是g 一代数同态时妒_ 1 ( 1 u ) 不一定是b 的c 子集；但是我们可以证明当 ( a ，b ) ，( 以y ) 是表代数，妒是表代数同态时，妒- 1 ( 1 ) 是b 的表子集事实上， 对玩，6 j 妒- 1 ( 1 u ) ，设k 幻= 坠l 屈j 。b m ，妒( 吼) = p i l u ，妒( b ) = p i l v ，贝4p l p j l = 妒( 6 南) = 肇1 。咖( 6 。) 因为。20 ，故k 妒1 ( 1 u ) ，即s u p p b ( b i b j ) 妒_ 1 ( 1 u ) 下面的引理证明是基本的，但是它将会在第4 节中多次用到 引理2 1 2 设( a ，b ，) 和( 配k g ) 是表代数，妒是( a ，b ，) 到( u v g ) 的一 个表代数同构那么 ( i ) 似，b ) 是单的当且仅当( 配矿) 是单的； ( i i ) ( a ，b ) 是a b e l 的当且仅当( 以y ) 是a b e l 的 证明： ( i ) 假设( 以矿) 是单的设是b 的任意一个非平凡表子集我们考虑集合 s = s - p p v ( 妒( b d ) l b , v 首先声明s 是y 的表子集事实上，对任意的 仇，s ，令妒( 玩) = 胁，妒( 如) = 丹叼，其中b i ，b n ，p i ，n r + ，贝0 s u p p y ( v i v j ) = s u p p v ( 妒( p ： 1 玩) 妒( 丐1 吩) ) = s 唧v ( 妒( 万1 百1 b e j ) ) = s u p p v ( 妒( p ：i 1 百1 e 6 e l v 卢i j a b k ) ) cs 7 因为( 阢y ) 是单的，所以s = v 又因为币是表代数同构，所以n = b ，故，b ) 是单的 假设( a ，日) 是单的设t 是y 的任意一个非平凡表子集令 m = k bj 存在见r + 使得p i 妒( b i ) t ) ， 我们说m 是b 的表子集事实上，对任意的b i ，b j m ，如果b s u p p b ( b t b j ) ，那 么 s “即v ( 妒( 6 ) ) s u p p v ( 妒( b i b j ) ) t ， 故b m ，m 是口的表子集+ 因为( a ，b ) 是单的，所以m = b 又因为妒是表代 数同构，所以t = v ，( 以v ) 是单的 ( i i ) 如果( a ，日) 是a b e l 的，结论可以由性质2 1 0 直接得到反之，设( 配y ) 是a b e l 的对任意的b b ，存在p r + 及u v 使得 = p - i 妒( 6 ) 因为v 是线 性的，所以存在正整数礼使得s u p p y ( v “) = l v ) ，即 s u 即v ( 妒( 1 6 ) ”) ) = s u p p y ( ( o ( p 。6 ) ) “) = l v 由于妒是表代数同构，故s u p p s ( b “) = l a l ，b 是线性的，所以( a ，b ) 是a b e l 的 定义2 1 3 设( a ，b ) 是一个表代数b 的一个非空子集称为一个商子集当 且仅当存在表代数( 以y ) 和表代数满同态妒：( a ，b ) _ ( 以v ) 使得n = 妒_ 1 ( 1 v ) 为了引用【1 中t h e o r e m1 ，我们定义一些记号令e = ( b i 。) 是( 4 ，b ) 的特 征矩阵，蜃= o 。1 1 s ) ，其中a 。= 坠。( 6 妇魄。e t 对于每个b ， k e rb ：= a 。b i 。= b j l ； 对于每个子集圣n b ， k e r n ：= n 淮nk e r 吗 定理2 1 4 【1 ，t h e o r e m1 】设( a ，b ) 是一个表代数，b 是t r a n s i t i o n a l 的 令圣n c b i ( a ) 下面的结论是等价的t ( i ) 是b 的商子集； ( i i ) k e r 是蜃的表子集，并且满足k e r ( k e r n ) = n ； 8 ( i i i ) 存在a 中幂等元e 满足n = s u p p , ( e ) ，( e ) = l ，而且对于所有b i ，幻b ， b i s u p p b ( e b j ) 甘e 幻= e b i 进一步，如果条件( i ) 一( i i i ) 成立，妒：( a ，b ) _ ( u ，v ) 是一个满足妒_ 1 ( 1 u ) = n 条 件的代数满同态，那么( 阢v ) 在表代数同构意义下是唯一的 事实上，对于( i i i ) 中e ，如果令b e ：= ( 6 ；e 陬口) ，则 ( 以v ) 型( a e ，b e ) 型。( ，k e r n ) 1 ( s ) 下面的结论是等价的： ( i ) n 是b 的表子集； ( i i ) k e rn 是口的商子集，并且满足k c r ( k e r n ) = n 注 ( i ) 我们可称上述定理为表代数的同态基本定理，它刻画了一个表代数的表子 集和商子集之问的关系 ( i i ) 1 ，c o r o l l a r y3 1 3 】证明了e = e n 是与f l 对应的 的本原幂等 元，它是由上述定理中的所决定的如果我们令 女 e n ：= , i b i ， = l ( e n ，e n ) ：= 隐m w ， i = 1 则 e = ( e n ，e n ) 6 。n ( b , i 氏1 ) b i 因为一个在b 中取正值的表代数同态是唯一的，我们可以将定理2 1 4 陈述的 更简洁一些，即 定理2 1 5 1 ，t h e o r e m2 】设( a ，b ) 是一个表代数，是b 的子集那么n 是b 的表子集当且仅当是b 的商子集 从定理定理2 1 4 和2 1 5 我们可以看出，在允许r e s c a l i n g 的情况下存在一个由 所确定的商表代数( 也就是一个同态像) ，因此如果我们重新定义一个特殊的商 代数和它的表基这样对问题的处理往往来的更简单令e = e n 是定理2 1 4 中由 所确定的本原幂等元从定理2 1 4 中可以发现：即使( a ，日) 不一定是t r a n s i t i o n a l ， 对于所有的b l ，幻b ，我们依然有 9 b i s u p p b ( e b j l 甘e b 因此 s u p p b ( e b i ) i b i b ) 是曰的一个分划 定义2 1 6 设( a ，b ，) 是一个表代数， 所述，那么 是口的一个表子集，e = e n 如上 b i n ：= e ) u e b , l b t s u p p b ( e b i ) 且对于任意的b s u p p b ( e b i ) ，f ( b t ) 墨f ( b j ) ，对 所有的b i b 一) ( 2 ) 显然，b n 和上述b 分划 s u p p 日( e b 。) f b i b 之间存在一个双射当b t = 1 a 或者b t 隹n 且f ( b i ) 在它所在的类中取最小值时，e 玩恰好属于b n 从( 4 ) 式 我们可以看出，对任意一个e 畸，存在唯一的一个e 岵u n 使得e 幻是e b t # 的一 个倍数定理2 1 4 和2 1 5 说明( a e ，b n ，f h 。) 是一个表代数，它是由n 产生的 ，日，) 的一个同态像任意一个这样的( a ，b ，) 的同态像都与1 3 n 同构 与群的第二、第三同构定理类似的，我们有： 定理2 1 7 【1 ，t h e o r e m4 设( a ，b ) 是一个表代数，m ，是b 的表子集 那么m 是b 中同时包含m 和的最小的表子集；而n m 则是b 中同时包 含在m 和中的最大的表子集并且我们有：m r m 竺w n n m 定理2 1 8 【l ，t h e o r e m3 】设( a ，日) 是一个表代数， m ，是b 的表子集且 m 那么w m 是w m 的表子集并且满足( b m ) ( m ) 竺。b i n 另外， 对任意一个b m 的表子集都具有n m 的形式，其中是唯一确定的一个b 的 表子集 因为表代数是有限维的，那么根据定理2 1 8 ，任意一个表代数都有一个表子集 链 b = b 0 ) b 1 ) d 日= 1 a ) 使得对0si r ，鼠且+ 1 是单的这样的一个链我们称为b 的合成列，每个 b i 8 i + 1 称为合成因子 定义2 1 9 设( a ，b ) 是一个表代数如果b 的每个合成因子都是a b e l 的，我 们称，b ) 是幂零的 下面的定理我们可以看作是表代数的j o r d a n h o l d e r 型定理，它将会在第四章 1 0 中定理4 4 的证明中用到 定理2 2 0 1 ，t h e o r e m5 】设( 且，b ) 是一个表代数， b = b odb 1d d 研= 1 a 和b = d odd 1d dd 。= 1 a ) 是b 的任意两个合成列那么r = s 并且存在一个 0 ，1 ，r 1 ) 的置换o - 使得 b t b i 1 竺d i 。d i 一札 3a b e l 表代数 本节给出了一些关于a b e l 表代数的结果，特别是定理3 a 详细刻画了a b e l 表 代数的结构，它将有助于以后深入研究a b e l 表代数另外，我们还从合成列数目 的角度给出了初等a b e l 表代数( 一类特殊的a b e l 表代数) 的判别条件 3 1a b e l 表代数的基本性质 性质3 1 设( 以，b ) 是表代数，l b f 3 若对任意非单位元a ，b b ，口b ，存 在正整数扎及线性元c b 使得s u p p b ( a b “) = c ，则( a ，b ) 是a b e l 表代数 证明：假设a 是日中的非线性元，对任意异于a 的非单位元b b 存在n n 及线性元c b 使得s u p p 日( a b n ) = c 如果e s u p p b ( b n ) ，则s u p p b ( a e ) = c 假 设e 是线性的，则由性质2 6 知c 是非线性的，矛盾；如果e 是非线性的，性质2 7 表明c 也是非线性的，矛盾所以a 是线性的由a 的任意性知( a ，b ) 是a b e l 的 性质3 2 设( a ，b ) 是表代数，i b 3 若对任意非单位元o ，b b ，a b ，存 在正整数i ，j 及线性元c b 使得s u p p b ( 。) = c ，则( a ，b ) 是a b e l 表代数 证明：假设a 是b 中的非线性元对任意异于。的非单位元b b 存在i ，jen 及线性元c b 使得s u p p b ( a 4 驴) = c 如果ees u p p b ( a 卜1 护) ，则s u p p s ( a e ) = c 与定理3 1 讨论类似的，我们总可以推出矛盾所以a 是线性的由a 的任意性知 ，b ) 是a b e l 的 根据性质3 2 及a b e l 表代数的性质，以下结果是显然的 推论3 3 设( a ，b ) 是一个表代数则( a ，b ) 是a b e l 的当且仅当对任意的 o ，b b ，存在正整数t ，j 使得s u p p b ( a b j ) = l ) 3 2a b e l 表代数的结构定理 为了刻画a b e l 表代数的结构，我们首先给出表基b 的一个群的结构，即在b 中重新定义一个二元运算使之成为一个群 设( a ，b ) 是一个a b e l 表代数对任意的6 i ，b j b ，定义： 6 io 如= s u p p b ( b d , ，) 因为( a ，b ) 是a b e l 的，日中每个元素都是线性的，所以由性质2 5 知二元运 1 2 算。是有意义的对赴，b ，b k b ( i ) ( 玩。如) 。b k = s t 卿，口( s t p p 自( ( 以b ) 6 女) ) = 8 u p p b ( ( b i b j ) b k ) = s u p p 口( b i ( b j b k ) ) = s t z p 7 ) 口( 6 ；s 扎p p 且( b 6 ) ) = 玩。( b j06 r ) ； ( i i ) l aob i = s u p p b ( i a b i ) = b l = s u p p b ( b i l a ) = b l o 1 a ； ( i i i ) b iob i = s u p p b ( b i b i ) = 1 a = s u p p b ( 瓦b 1 ) = b loh i ； ( i v ) h iob = s u p p 口( b i b j ) = s u p p n ( b ，b i ) = b 。b i 所以b 在该运算下构成一个a b e l 群，我们将其记为( b ，。) 可以看出如果 是b 的一个子集，那么ns ( b ，o ) 当且仅当b lo 巧= s u p p b ( b i b j ) n ，轧，b n 当且仅当是b 的表子集这样在b 的表子集和( b ，o ) 的子群之间存在一个双 射如果m ，是b 的表子集，那么m 既可以表示( b ，。) 的一个子群又可以表 示b 的一个表子集特别的，是( b ，o ) 的一个循环子群当且仅当是b 的循 环表子集由此我们从有限生成a b e l 群的结构定理不难得到： 定理3 4 设，b ) 是非平凡有限维a b e l 表代数则存在口中非平凡元素 o l ，x 2 ，研使得： ( i ) b = 鼠。b ：展，； ( i i ) 对任意的1 i r ，b ；n ( 玩，毋。玩。玩，) = 1 j 4 ) ； ( i i i ) b ；岛。| 而且这种同时满足条件( i ) 一( i i i ) 的b 的表示是唯一的 推论3 5 设，b ) 是一个初等a b e l 表代数则存在一个素数p 和一个正整数 使得l b i = p 证明t 由定理3 4 知存在b 中非平凡元素x l ，2 ：2 ，岛使得b = 岛。玩：b ， 根据初等a b e l 表代数的定义，存在一个素数p 使得对所有的b b 都满足 1 3 s u p p b ( b p ) = ( 1 ) ，所以我们有i 玩，= p ，1 茎i5r 再由定理3 4 的( i i ) i b i = i b x 。玩r | = p 7 3 3 初等a b e l 表代数的几个判别条件 为了能够从合成列数目的角度去刻画初等a b e l 表代数，本节以下部分我们总 假设b 是t r a n s i t i o n a l ，s t a n d a r d 令是b 的一个表子集因为中元素个数等 于的阶( 见 1 ，d e f i n i t i o n1 1 7 ) ，所以根据 1 ，c o r o l l a r y4 5 】我们有 bj = j n | f b n i 令 p ( b ) 表示b 的合成列的数目，妒0 ”) = ( p 7 一1 ) 一1 ) 一1 ) 定理3 6 设( a ，b ) 是一个a b e l 表代数，l b i = p 那么( a ，口) 是初等a b e l 表 代数当且仅当b 有( p 一1 ) ( p 一1 ) 个p 阶表子集 证明假设，曰) 是初等a b e l 的因为任意两个p 阶表子集的交为f 1 ) ，所 以b 中每个非平凡元素属于并且只属于一个p 阶表子集如果假设b 中p 阶表 子集的个数为x ，那么通过计算b 中元素个数我们有：x p 一。+ 1 = p 7 ，所以 盘= ( p 一i ) 0 1 ) 反之，假设 m l isi 一1 ) ( p 一1 ) 是日中所有的p 阶表子集，则 l u t m l = p ( 矿一1 ) ( p 一1 ) 一( p 7 1 ) ( p 一1 ) + 1 = p ， 所以u # 眦= b ，即对任意一个阮b ，存在某个i 使得b i m ，这样s u p p 日( 醒) = 1 a ) ，因此( a ，b )