（基础数学专业论文）序列空间中的y收敛.pdf

摘要 本文首先分析了赋范线性空间的( y ) 收敛问题，它是一种类似于弱收敛的收敛 性接下来，证明了( y ) 收敛是介于依范数收敛和弱收敛之间的由于( y ) 收敛性 与赋范线性空间y 本身关系密切，文中引入了赋范线性空间k 强于赋范线性空间 蚝的定义，并将赋范线性空间y 具体到赋范线性空间0 中进行研究 然后，文中对某种确定的( y ) 收敛下的局部凸拓扑空间进行了研究，并对序列 的( y ) 致密性，( y ) c a u c h y 列进行了探讨 最后，对( y ) 囿变函数问题进行了陈述某种确定的( y ) 收敛下的局部凸拓扑 空间以及凸拓扑下的紧性，完备性问题，在文章的最后给与了阐述 关键词：强收敛，弱收敛，( y ) 收敛，( y ) 拓扑，( y ) 致密，( y ) c a u c h y 列 a b s t r a c t t h e ( y ) c o n v e r g e n c ep r o b l e mi nn o r m e ds p a c eh a sb e e na n a l y s i s e df i r s t l yi nt h i s t e x t i ti ss i m i l a rt ow e a kc o n v e r g e n c ep r o p e r t y t h e n ( y ) c o n v e r g e n c eh a sb e e n p r o v e db e t w e e nn o r m e dc o n v e r g e n c ea n d w e a kc o n v e r g e n c e s i n c e ( y ) c o n v e r g e n c e h a sac l o s er e l a t i o n s h i pw i t hn o r m e ds p a c e ( y ) i t s e l f ，t h ed e f i n i t i o nw h i c hi sn o r m e d s p a c e ( m ) s t r o n g e rt h a nn o r m e ds p a c e ( y 2 ) ，a n dn o r m e ds p a c e ( y ) i sp r e s e n t e di n n o r m e ds p a c e ( f p ) f o rf u r t h e rr e s e a r c h t h i st e x tg i v e sar e s e a r c ho ns o m ec e r t a i n ( y ) c o n v e r g e n c ei nl o c a l l yc o n v e x t o p o l o g i c a ls p a c e ，a n dad i s c u s s i o no n ( y ) c o m p a c t n e s so ft h es e q u e n c ea n d ( y ) c a u c h ys e q u e n c e f i n a l l y , as t a t e m e n ta b o u t ( y ) b o u n d e dv a r i a t i o nf u n c t i o np r o b l e mh a sb e e n m a k e n i nt h ee n do ft h i st e x tg i v e sad e s c r i p t i o na b o u tt h ec o m p a c t n e s so fs o m e c e r t a i nl o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a ls p a c ew i t h ( y ) c o n v e r g e n c ea n dt h ec o m p l e t e n e s s p r o b l e m k e yw o r d s ：s t r o n gc o n v e r g e n c e ，w e a kc o n v e r g e n c e ，( y ) c o n v e r g e n c e ，( y ) t o p o l o g y , ( y + ) c o n v e r g e n c e ，( 噩) c o n v e r g e n c e i i 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中 除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研 究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明 确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 夏毙 学位论文版权使用授权书 日期：妒零j 口 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅 本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的论文 在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：蔓芜指导教师签 日 旷z 1 | 飞1矽州 名 期 1 引言 设( x ，”0 ) 是一个赋范线性空间， z n ) 是x 中的一个序列一般地， z 。) 依 范收敛以及弱收敛是经常被考虑的两种收敛性而对x 的对偶空间x + ，又有依范 收敛、弱收敛、弱收敛，这三种收敛性也是经常被研究的 注意到对任意f x + ，f 是x 到数域k 上的一个有界线性泛函，而有界线性 泛函是有界线性算子的特例由此出发，前苏联数学家柳斯铁尔尼克在1 9 3 6 年提 出用有界线性算予代替有界线性泛函，从而得到类似于弱收敛的一种收敛性，称为 ( y ) 收敛性( 为行文一致起见，这里均使用( y ) 收敛) 设x 及y 均为赋范线性空间，y o ) ，b ( x ，y ) 是由x 到y 的有界线性算 子全体，依算子范数构成赋范线性空间， z n ) 为x 中的序列，如果存在z x ，使 对任意t b ( x ，y ) 有 l i mi t x n t x 1 = 0 竹十 则称 z 竹) ( y ) 收敛于z 于是就有了下面的问题： 问题：是否存在介于依范数收敛与弱收敛之间的( y ) 收敛呢? 对于这个问题，1 9 4 6 年，前苏联数学家齐多夫举出了一个例子( 9 】) ，给出了肯 定回答取x = c 圆f 2 ，y = z 2 ，则x 中的序列( y ) 收敛就是介于依范数收敛与弱 收敛之间的一种收敛性，它不同于弱收敛，也不同于依范数收敛 许风教授在中国数学会1 9 7 8 年年会的报告中提出了x 中的序列( y ) 收敛与 弱收敛等价的条件，即b ( x ，e 1 ) = k ( x ，e 1 ) ( 全连续算子空间) 游若云教授进一步讨论了( e 1 ) 收敛、依范收敛、弱收敛三者等价的条件，并 给出了( ) 收敛性概念1 9 8 6 年，游若云、张文耀在第四届全国泛函分析会议( 西 安) 空间理论组上作题为b a n a c h 空间中的( e 1 ) 拓扑与空间的同胚问题的报告 中，引入了( 毋) 拓扑概念这使得对( 日) 收敛性的研究向前推进了一步 本文继续上面的研究工作首先分析赋范空间( x ，i i i i ) 中的( y ) 收敛，依范数 收敛，弱收敛的概念及它们之间的关系 进一步，对赋范线性空间中序列的( y ) 致密性，( y ) c a u c h y 列，( y ) 完备性问 题进行了讨论与研究 1 最后我们指出：取具体的ycz ，如y = 2 p ，探讨x 的( y ) 收敛性的特征及应 用也是非常有意义的工作，这些都有待今后进一步完成 一2 一 2 赋范空间的( y ) 收敛 2 1 赋范空间( x ，| i 1 i ) 的收敛性 定义2 1 1 设( x ，”i i ) 与( v | i 1 1 ) 都是数域k ( 实或复) 上的非零的赋范线性空 间，b ( x ，y ) 为由x 到y 的有界线性算子全体，依算子范数构成赋范空间， z n ) 为x 中的序列 ( 1 ) 如果存在z x ，使得 i l z n z i i 一0 ( n _ 。o ) 则称【z n 依范数收敛于z ，记为z n 必z ( 佗_ o 。) ( 2 ) 如果存在x x ，使对于每一个f x + ，有 i f ( x n ) 一厂( z ) l _ 0 ( 竹_ o 。) 则称 z n ) 弱收敛于z ，记为二z ( 佗_ o 。) ( 3 ) 如果存在x x ，使对任意t b ( x ，y ) ，有 1 t x n t x l i 一0 ( 佗_ o 。) 则称 z 竹 ( y ) 收敛于z ，记为z 馆叫xm 一) 假设y = x ，则( y ) 收敛转化为通常的依范数收敛；假设y = r ( 实数空间) ， 则( y ) 收敛转化为通常的弱收敛 定理2 1 1 设( x ，1 1 1 1 ) 与( ”1 1 ) 都是数域k 上的赋范线性空间，则x 中的 序列【z n ) 依范数收敛强于( y ) 收敛，( y ) 收敛强于弱收敛 证明( 1 ) 设序列【z 竹) 依范收敛于z ，即l i z n z 0 _ 0 ( n _ o 。) 则任取 t b ( x ，y ) ，有 乳n b i j = i i t ( x n z ) l i i t i 川z n z 0 _ 0 ( n _ 。) 3 故知 z n ) ( y ) 收敛于x ( 2 ) 取定y o y ，i l y o l i = 1 ，对任意，x 。，令 乃：zhf ( x ) y o ，x x 则乃b ( x ，y ) ，i j 乃0 = l i f l i 若序列 z n ) ( y ) 收敛于z ，则应有 i i t s ( z n ) 一乃( z ) 0 _ 0 ( n _ o 。) 即 从而 而y o 0 ，故有 f ( x n ) y o f ( x ) y o i _ 0 ( 扎_ o 。) l f ( x n ) 一， ) | i l y o l i _ 0 ( n o 。) i f ( x n ) 一，( z ) l _ 0 ( 礼_ o 。) 证毕 那么，是否对每个赋范线性空间x ，都存在一个y ，使之依范数收敛、( y ) 收 敛、弱收敛均不相同呢? 答案是否定的 定理2 1 2 ( s c h u r ) ( 4 】) 空间z 1 中，序列的强收敛与弱收敛等价 由定理2 1 1 和s c h u r 定理，立即得到下面的定理 定理2 1 3 对任意非零赋范线性空间y ，f 1 中的序列的依范数收敛、( y ) 收 敛、弱收敛三者等价 对于赋范线性空间中的序列的收敛性，下面几个问题都是非常重要的： 问题1 哪些空间x 其序列的依范数收敛与弱收敛等价? 问题2 哪些空间x 及y ，x 中的序列的依范数收敛与( y ) 收敛等价，但( y ) 收敛不与弱收敛等价? 一4 一 问题3 哪些空间x 及y 其序列的依范数收敛与( 】，) 不收敛等价，但( y ) 收敛 与弱收敛等价? 问题4 设x ，m ，蚝都是非零赋范线性空间，蚝cm ，x 中的序列( m ) 收敛 与( k ) 收敛之间的关系如何? 问题5 空间x 与y 取自序列空间c o ，l p ( 1 p + ) ，x 中的三种收敛性 如何? 这些问题的回答都不是容易的 2 2 ( y ) 收敛的特征 注意到序列的( y ) 收敛性与赋范线性空间y 关系密切，因此，有必要引入下面 的概念 定义2 2 1 设m 与m 都是数域k 上的非零赋范线性空间，如果m 与m 的某 个线性子空间线性同胚，则称蚝强于m 记为：k 一 蚝 由此定义可以得知数域k 】厂对任意赋范线性空间成立 定理2 2 1 【z n ) 为x 中的序列，如果m 蚝，z n 掣z ( 扎_ o 。) ，则必有 z n 掣z _ 。o ) 证明：因为y 1 一 k ，故必存在蚝的一个线性子空间，使k 与线性同 胚设矸就是m 与k 间的线性同构映射，则矸1 存在 对任意的t b ( x ，m ) ，作算子t 2 ：xhm 如下： t 2 = 五( t x ) ，z x 则由于 j j 死z l j = i l 乃( t x ) l i = i i 乃j j i i t x l l | i 丑i | i i t i l ij x l i 知t 2 b ( x ，蚝) ，从而应有 t 2 x n t 2 x _ 0 0 ) 一5 一 故有 即 t f l ( 易z n ) 一t ；- 1 ( t 2 x ) ( 礼_ 0 0 ) t x n t x ( 佗一0 0 ) 这说明z n 掣z ( 佗_ o o ) ，证毕 我们考察f p 空间可知：当1 p 1 p 2 + o 。时，护z 必与z p ，的某个线性子空 间线性同胚，故有下面的定理 定理2 2 2 设x 是数域k ( 实或复) 上的非零的赋范线性空间， z n ) 为x 中的 序列 ( 1 ) 若1 p 1 沈 + 。，z n 2 z ( n _ o o ) ，则必有茁竹9 一o o ) ( 2 ) 对任意1 p + o 。，若z n9z ( n _ o 。) ，则必有z n9z ( n _ o o ) ( 3 ) 对任意1 p + o o ，若z n 盟z ( 礼_ o o ) ，必有z 竹二z ( 佗_ o 。) 定理2 2 3 设x 是数域k ( 实或复) 上的非零的赋范线性空间，k 蚝， z ncx 】，z x ，则z n - - 1 , z ( 佗_ o o ) 当且仅当对任意的t b ( x ，蚝) ， 乳n 掣t x ( 钆_ o o ) 证明：( 必要性) 设z 。掣z ( n _ ) ，则对任意的乃b ( m ，y 1 ) ，乃t s ( x ，y 1 ) ，从而有 噩t ( z n ) 峥7 1 t ( x ) m 0 0 ) 即丁叫t z ( n o 。) ( 充分性) 设对任意t b ( x ，蚝) ，t x n t x _ o o ) ，则对任意的 a b ( x ，m ) ，有死a b ( x ，蚝) ，从而应有 故 t o a x n 掣蜀a z _ o 。) t o l ( t o a x n ) 掣t o l ( t o a z ) 叶o 。) 一6 一 即 a z n 掣a x ( 佗_ o 。) 这说明z 。掣z ( 礼_ o o ) 推论2 2 1 z ncx ，z x z n 二。( 礼一o 。) 当且仅当对任意的 t b ( x ，y ) ，t x 仃二t x ( n _ o o ) 定理2 2 4 设x ，m ，蚝都是数域k 上的赋范线性空间，m 一 y 2 ， z n ) cx ， z x ，z n z _ o 。) ，则 z n ) ( 蚝) 致密当且仅当 z n ) ( 蚝) 收敛于z 证明：( 必要性) 设z n 掣z ( 礼一o o ) ，且【z n ) ( k ) 致密，则 z n ) 有( 蚝) 收敛 子列，设为【z n 。) 由前面的定理2 2 1 知| z 礼；) 必( m ) 收敛，而z n z _ o 。) ，故 z 佗；掣z ( n _ o 。) 从而知 z 啦掣z _ 。)z 啦_ z 【佗_ 。) 对任意的t b ( x ，y ) ， 死礼；) 是柯西序列， 死n ) 收敛于死故 死竹。) 也收敛于t x 这说明 z n ) ( 蚝) 收敛于z ( 充分性) 是显然的，证毕 推论2 2 2 设x ，y 都是数域k 上的非零赋范线性空间，_ 【z n ) cx ，z x ( 1 ) 若z n 二z ( 礼_ o 。) 则 z n 掣z ( 佗_ ) 当且仅当_ z n ) ( y ) 致密 ( 2 ) 若z n 掣z ( 佗_ o 。) 则 z n 必z ( n _ o 。) 当且仅当 z n ) 是依范数致密的 ( 3 ) 若d i m y = n + 。o ，则 z n 二z ( 死_ 。) z n z 【死_ 。) 当且仅当 z n ) ( y ) 收敛于z 一7 一 3 赋范线性空间的( y ) 完备性 设( x ，i i ) 是数域k 上的非零的赋范线性空间，若对任意 z n ) cx ，都有 i i z 如一z m i i _ 0 ( k ，仇_ o o ) ，则称 z n ) 为x 中( 依范数) c a u c h y 列 若x 中的c a u c h y 列都收敛，则称( x ，i i 0 ) 为完备的赋范线性空间，或称为 b a n a c h 空间 在这一部分，我们考察与赋范线性空间的完备性相类似的问题，x 的( y ) 完备 性 定y 3 1 设( x ，| i i i ) 和( y ，i i i j ) 都是非零赋范线性空间， z n ) 为x 中的序列 ( 1 ) 若对任意t b ( x ，y ) ， t x 竹) 都是y 中的c a u c h y 列，则称 ) 为x 中的( y ) c a u c h y 列 ( 2 ) 若x 中的任意( y ) c a u c h y 列，都存在x x ，使 z n ) ( y ) 收敛于x ，则 称x 在( y ) 收敛意义下是完备的，即x 是( y ) 完备的 设m 和蚝都是数域k 上的非零赋范线性空间，m k ，x 的h 完备与x 的蚝完备有什么样的关系? 我们注意到这样一个事实： 若_ z n ) 是x 中的( 依范数) c a u c h y 列，则对任意f x + ，有 i f ( z k ) 一f ( x 仇) l l i s i l l i z 七一z 仇i l _ 0 ( k ，m _ o 。) 故知 z n ) 必为c a u c h y 列于是可以猜测：在m 蚝的条件下，若 z n ) 是x 中 的( k ) c a u c h y 列，则 z 。) 亦必是( m ) c a u c h y 列，即有下面的定理 定理3 1 设m 和k 都是数域k 上的非零赋范线性空间，m 蚝，若 z 佗) 是 x 中的( y 2 ) c a u c h y 列，则 z n ) 必为( m ) c a u c h y 列 证明：因为h 一 是k 中的c a u c h y 列，故对上述e 0 0 ，应存在n o a ，使得 当竹n o 时，对任意的f + ，有 死蠡+ 厂乳七i i n o ，则i i o 时， t x 啦一t x l i o l i 乳n ；一t x h 尹1 9 一 由h a h n - b a n a c h 定理知，取，s ( w ) ，使，( 死加一t x ) = i i 吼伽一t x l l e o 但是 i f ( t x 佻) 一f ( t x ) i = i f ( t x ) 一f ( t x n 件。) + i ( t x n 件。) 一i ( t x ) i i i ( t x 啦+ ，) 一，( t z ) i l f ( t x m ) 一f ( t x n i + 1 ) l 9 0 一i f ( t x m ) 一f ( t x n i + 1 ) l c o ( i _ o o ) 此与乳n 弱收敛于x 矛盾，故必有l i t x 佗一t x l i _ 0 ( 佗_ o 。) 由此可推知x 必为( k ) 完备的，证毕 推论3 2 设( x ，0 ) 和( y ：l i i i ) 都是非零赋范线性空间， z n ) 为x 中的序列 ( 1 ) 若义为( y ) 完备空间，则x 必为b a n a c h 空间 ( 2 ) 若x 为完备空间，则x 必为( y ) 完备空间 这样，若一个赋范空间x 是( m ) 完备的，m _ ( x ，仃( y ) ) ( x ，w ) 他们从空间的同胚问题入手，讨论了( y ) 拓扑与范数拓扑等价的条件，得到了 如下性质 定理4 2x 的范数拓扑与盯( y ) 等价，当且仅当存在自然数n ，使得x 与 z = z 1o ，o 磊的一个子空间线性同胚，其中z 1 = z 2 = = 磊= y ，y 上的范数定义为 ( y i ，y ) l l2 川m a x ni l y , i i ，( 犰k ，i = 1 ，n ) 定理4 3 如果y 与yo y 线性同胚，则o - ( y ) 与x 的范数拓扑等价，当且仅 当x 与y 的一个线性子空间线性同胚 那么，什么时候x 与y 的一个线性子空间线性同胚呢? 下面给出一个b a n a c h 空间与另一个b a n a c h 空间的子空间线性同胚的条件 定理4 4 设x ，y 都是b a n a c h 空间，y 非零且与yoy 线性同胚，则x 与 y 的一个子空间线性同胚，当且仅当存在有限个有界线性算子正b ( x ，y ) ( i = 1 ，佗) 及s 0 ，使得对任意z x ，有 1 m i a _ ) ( n lj 正z 0 l l x l 下面，我们从空间本身的性质入手，总结( y ) 拓扑与范数拓扑，弱拓扑等价性 问题 1 设x ，y 都是b a n a c h 空间，那么o ( y ) 与弱拓扑等价的充要条件是x 和y 至少有一是有限维的 2 若x 是无穷维的b a n a c h 空间，则有b a n a c h 空间y ，使得o ( y ) 介于强、 弱拓扑之间 3 仃( y ) 与范数拓扑等价的充要条件是盯( y ) 可度量 一1 2 在泛函分析中，我们接触过拓扑空间，距离空间，赋范空间的紧性与完备性，下 面我们看一下在空间x 上的局部凸拓扑a ( y ) 下的紧性与完备性 1 a 是空间x 的子空间，a 是盯( y ) 紧的充要条件是a 弱紧，且对每一 t b ( x ，y ) ，t ( a ) 在y 中紧 2 若b ( x ，y ) 是自反的，则x 中每一有界集都是a ( y ) 相对紧的 3 a ( y 1 是x 上的可允许拓扑 4 若a 是x 的弱紧集，则a 是o ( y ) 完备的 5 若x 是自反空间，则盯( y ) 有界完备 由此可以看出，( y ) 拓扑问题要比序列的( y ) 收敛问题复杂得多关于这方面， 郑喜印教授的文章中都给出了分析讨论 最后我们指出o 取具体的ycf ，如y =