（应用数学专业论文）几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究.pdf

硬士学位论文 摘要 本学位论文对个离散时滞方程的分岔及稳定性进行了分析，并对几个倍周期分岔 模型的混沌进行控制，全文共分三章 第一章简单的介绍了混沌理论的发展史和该领域的研究现状，并列出分岔的基本 理论 在第二章中，我们讨论了一个离散时滞方程的分岔及稳定性，首先研究了该模型的 线性稳定性，并发现当参数经过一系列临界值时n e i m a r k o s a c k e r 分岔将会出现，接着 我们使用正规型方法和中心流形定理详细讨论出了n e i m a r k - s a c k e r 分岔方向及分岔的 周期解的稳定性最后。用数值模拟说明我们分析的结果 在第三章中，我们讨论了两个倍周期分岔模型的混合控制结果，首先介绍了出现倍 周期分岔的模型的混合控制方法，然后将此方法分别用于两个将出现倍周期分岔的模型 中，分析它们的控制结果，并用数值模拟说明控制结果 关键词：n e i m a r k o s a c k e r 分岔，稳定性，倍周期分岔，混沌控制 i i 几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ea n a l y st h es t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fad i s c r e t ed e l a ym o d e l ，a n d c o n t r o l l i n gc h a 0 6o fs e v e r a lm o d e lw h i c hw i l lu n d e r g op e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n s i t c o n s i s t so ft h r e ec h a p e r s i nc h a p t e r1 ，t h ed e v e l o p m e n ta n dt h ep r e s e n ts i t u a t i o n so f c h a 0 6a n dt h e o r yo fb i f u r c a t i o na l e g i v e n i nc h a p t e r2 ，ak i n do fad i s c r e t ed e l a y m o d e l o b t a i n e db ye u l e rm e t h o di si n v e s t i g a t e d f i r s t l y , t h el i n e a rs t a b i l i t yo ft h em o d e l i ss t u d i e d i ti sf o u n dt h a tt h e r ee x i s tn e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n sw h e nt h ed e l a y p a s s e sas e q u e n c eo fc r i t i c a lv a l u e s t h e nt h ee x p l i c i ta l g o r i t h mf o rd e t e r m i n i n gt h e d i r e c t i o no ft h en e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i c s o l u t i o n sa r ed e r i v e db yu s i n gt h en o r m a lf o r mm e t h o da n dc e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ep e r f o r m e dt oi l l u s t r a t et h ea n a l y t i c a lr e s u l t sf o u n d i n c h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eh y b r i dc o n t r o l o fp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o na n dc h a o si nt w o d i s c r e t en o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h em e t h o do f h y b r i dc o n t r o l o fp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o na n dc h a 0 6 ，a n dt h e nu t i l i z et h i sm e t h o dt od i s c u s st w o d i s c r e t en o n l i n e a rd y n a 蒯s y s t e m sw h i c hw i l lu n d e r g oap e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ， a n a l y s et h e i rr e s u l to fc o n t r o l l i n g ，a n dc o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ep e r f o r m e dt oi l l u s t r a t e t h ea n a l y t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：n e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n ，s t a b i l i t y , p e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ，c h a o s c o n t r o l l i n g m 中南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 专 日期：托占年1 1 月二日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权中 南大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印，缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打。、。) 礤士学位论文 1 1 前言 第1 章绪论 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用 的基础上发展起来的新兴交叉学科 i ，q 早在1 9 世纪中期，在热力学方面就有自然科 学家开始讨论混沌，直到1 9 世纪末2 0 世纪初，p o i n c a r d 在研究三体问题的时遇到了混 沌问题，并在1 9 0 3 年提出p o i n c a r d 猜想，将动力学系统与拓扑学有机结合，成为世界 上最先了解混沌存在的可能性的第一人2 0 世纪以来，l o r e n z s ，a r n o l d 4 ，m o s e r n ， r u e l l e ，m a y 7 1 ，h 6 n o n i s ，f e i g e n b u a m n ，l it i a n y a n 和y o r k e 1 0 】等科学家都为混沌理 论的发展做出了巨大的贡献从最著名的l o g i s t i c 模型开始，我们了解到即使是很简单 的确定性的模型，当参数在一定范围内变化时，它会具有及其复杂的动力学行为，其中 就包括分岔和混沌n l ，捌实际上，分岔现象出现在很多依赖参数的系统中当参数变 化的时候，对于一定的参数值，解的定性结构将发生变化而分岔理论则是研究非线性 方程解的定性行为的数学理论l l s - t s 近二十年来，国内外有很多数学研究者运用各种 差分方法对一些时滞微分方程进行离散化，再利用有限维离散动力系统来逼近无限维动 力系统的方法，分析出模型的多重分岔，稳定的极限环及复杂的动力学性质运用数值 模拟描绘出l y a p u n o v 指数和相空间重构等图形，并观察出一条从复杂周期拟周期振 荡通向混沌的途径【1 6 一碉 随着混沌理论的发展，如何应用混沌研究成果成为人们越来越关注的问题，由于混 沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制就成为混沌应用的 关键环节1 9 8 9 年h u b l e r 2 e l 发表了第篇混沌控制的文章，1 9 9 0 年o g y 方法的提 出产生广泛响应i 矧同年，p e c o r a 和c a r r o l l 提出混沌同步的思想【龉】，接着d i t t o 和 r o y 等完成了控制混沌的实验【赞删以后十年，混沌控制与混沌同步的研究得到蓬勃 的发展，这一方向迅速成了混沌研究领域的重要热点其间。人们提出了各种控制混沌 的方法，并在光学、等离子体，化学反应，流体，电子回路、人工神经网络生物系统 等大量实验和应用中得到验证p “删目前，人们对混沌控制的广义的认识是人为并 有效地影响混沌系统，使之发展到实践需要的状态这包括( 1 ) 混沌运动有害时，成 功地抑制混沌；( 2 ) 在混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至 产生出特定的混沌轨道；( 3 ) 在系统处于混沌状态时。通过控制，产生出人们需要的各 种输出总之，尽可能的利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的，是所有混沌控 制的共同特点即一删 几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究 1 2 分岔理论 1 2 1 最简单的分岔条件 考虑包含个参数的离散时间动力系统 z h ，( z ，z 甜，q r 1 其中映射，是关于z 和n 光滑的有时候我们将系统写成 至= ( x ，口) ，z ，z ，a r 1 (皿x2、j-(懈1-i-a+)话sinoc o 雏s o x 2 ) ( ：) ，n a ， + ( 毋+ 遁) ll ii l l ， 硕士学位论文 的为了分析对应的分岔，我们引进复变量z = x l + 锄，乏= z l i x 2 ，l z l 2 = 露= 研+ 通， 且设d = a + i b 将( 1 4 ) 改写为 。he 阳z ( 1 + o + d l z l 2 ) = 肜- i - c z l z l 2 ， 其中p = p ( n ) = ( 1 + a ) e 硼( a 】和c = c ( a ) = ( 口) d ( 口) 为关于参数。的复函数 由z = 矽，有 p ”p i l + a + d ( o ) p 2 l ，p = i z l 因为 1 1 + q + d ( a ) 矿i = ( 1 + 口) ( 1 + 坐l + a 、t - 嚣鳟矿) 班 = 1 + a + o ( n ) 矿十d ( 矿) 我们得到( 1 4 ) 的极坐标形式 三二：蒜；芝苌觎 阻s ， 函数r 和q 都是关于( nn ) 的光滑函数此时，当口通过零点的时候系统分岔的相 图很容易分析出来。因为关于p 的映射依赖于妒( 1 5 ) 中的第个式子定义了个一 维动力系统，且对于所有。有不动点p = 0 当口 0 时此不动点为线性不稳定的；不动点在a = 0 处的稳定性由系数a ( o ) 决定假 设a ( o ) 0po 2 一丽刈【口j ( 1 5 ) 中p 映射描述了个依赖于p 和。的角度的旋转变换，且它是近似于口( o ) 的 因此，将( 1 5 ) 描述的映射叠加后我们可以得到二维系统( 1 4 ) 在原点处的分岔图像 可以看出系统( 1 5 ) 在原点处总是有一个不动点。此不动点当n 0 时不稳定当n 0 时像不稳定焦点附近的轨道当临界参数值口= 0 时，该 不动点为非线性稳定的当a 0 时，不动点被个唯一且稳定的孤立的闭的不变曲线 包围，这条闭雠线是半径为伽( a ) 的圆所有在此闭的不变曲线内或外出发的轨道，除 了原点之外，经过( 1 5 ) 的迭代之后都会趋向于该不变闭曲线，这就是n e i m a r k - s a c k e r 分岔 。 这种分岔也可以在0 l ，貌，n ) - 空问上表示，出现的含有参数n 的闭的不变曲线族 将形成个抛物面 一3 一 几类离散动力系统的分岔和琨沌控制的研究 ：三二三，暮sine乏cos8：11乇雩)_：)(：)+o(1lxll气。， + ( 嗣+ 遽) li lll 1 l + 4 ) z 卜+ a ( n ) z + f ( x ，o ) ，( 1 8 ) 此时f 为一个光滑向量函数，且它的分量f 1 2 具有最低次项为z 的二次的泰勒展开 式，对于所有充分小的i o i ，f ( o ，q ) = 0 矩阵a ( q ) 有两个乘子 p 1 2 ( 口) = r ( a ) e 士和( 剖， 其中r ( o ) ；1 ，妒( 0 ) = e o 则，对于某光滑函数卢( a ) ，r ( a ) = 1 + 卢( q ) ，卢( o ) = 0 假 设卢，( o ) 0 ，视p 为一个新的参数并且将乘子表示成关于p 的形式。p l ( 卢) = p ( 卢) ， 顿士学位论文 助( 卢) = 再( 卢) ，其中 p ( 卢) = ( 1 + 所e 谛( 毋 口( 仂为光滑函数且有o ( o ) = e o 引理1 2 b , i 若引入一个复变量和个新的变量，系统( 1 8 ) 对于任意足够小的j 口i 可以化成下列形式t z p ( 卢) z + g ( z ，- 所，( 1 9 ) 其中p r 1 ，z c 1 ，p ( 卢) = ( 1 十p ) e 蚴，而9 是关于z ，i 和卢的复变量光滑函数且 它关于z ，乏的泰勒展开式包含二次和高次项， “毛硼2 量而1 蜘p 哼， i + l 兰2 。 其中，z = 0 1 引理1 3 【1 4 ( n e i m a r k - s a c k e r 分岔的标准形式) 映射 z ”p z + 警户+ m l 虏+ 警字 + 警+ 警户虿+ 警劳+ 警尹 + o ( i z l 4 ) ， 其中t = p ( 卢) = ( 1 + p ) e 。，= 趵( 国，且e o = 日( 0 ) 使得e “l o 1 ，女= 1 ，2 ，3 ，4 ，经 过下列可逆的光滑依赖于参数的复坐标变换之后 。= u + 譬1 2 + 1 1 面十譬铲 + 譬1 3 + 譬舻+ 警萨， 对于任意足够小的，可以转化成为只含个共振三次项的映射： ，”，m + c l “，纫+ o ( i u i ) ，c l = c 1 ( p ) 计算后q ( n ) 的表达式为 q = 面q 2 0 9 n 丽( p - - 3 + 2 t ) + 筹+ 搞+ 等，( 1 1 0 ) 其中脚= 挣 定理1 1 【1 日假设个二维离散时间动力系统 z h f ( w ，n ) ，z r 2 ，q r 1 ，( 1 1 1 ) 一5 一 几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究 地摊黧引蝙( 扣酽k 埘嘲p 烈国叫圳1f “2 叫f 玑1 + o ( 1 l 硼。) ， s i n 口( p ) o o s 口( 所，b ( p )口( 卢) 抛 z h ，口) ， 当a = 0 时有不动点翱= 0 ，且有复乘子p i , 2 = e 士矾，贝l i 存在蜘的个邻域，使得在 此邻域内当a 经过零点时有一条闭的不变曲线从翱处开始分岔 硕士学位论文 第2 章一个离散时滞模型的稳定性与分岔 2 1 引言 分岔现象出现在很多依赖参数的系统中当参数变化的时候，对于一定的参数值， 解的定性结构将发生变化将平衡点与周期解联系在起的这种分岔对于连续动力系统 我们称之为h o p f 分岔，对于离散动力系统我们称之n e i m a r k - s a c k e r 分岔关于常微分 方程或时滞微分方程的h o p f 分岔的讨论，已有非常丰富的结果o - 5 明对于离散动力 系统的n e i m a x k - s a c k e r 分岔的i , - j 论，见1 1 6 - 2 5 本章，我们利用e u l e r 方法离散化以下 时滞微分方程( 2 1 ) 一( ) = 一p z ( t ) + 日【q o , z ( t 一曲】z ( t r ) ，( 2 1 ) 研究所对应的离散系统的n e i m a r k - s a e k e r 分岔其中o t ，反口，7 为正常数，且芦 1 的零点的阶数的和只有在有一个零点出现在单位圆或越过单位 圆时才发生变化 引理2 2 存在于 0 ，使得当0 r 0 ，有l a ( r ) i 1 所以对于足够小的正数l 方程( 2 7 ) 的所有的根都位于 1 内，从而存在最大值f 引理2 3 假设步长h 足够小若譬 卢 0 没有模为 1 的根 证明假设为方程( 2 7 ) 当7 = ，时的一个根，则有 ( m + 1 ) “，一( 1 一p r + ) e “矿一下。h ( 2 3 一n 日) = 0 一8 一 硬士学位论文 由上式得 io ( ，n + 1 ) ，一( 1 一矿h ) c o s i u = r ( 2 p a 旧) ， l 咖( m + 1 ) ，一( 1 一p r h ) s i n m ，+ = 0 因此 趔聚蹁掣 由假设譬 0 ，有 c o s f , z ，* 1 ，矛盾 由引理2 3 ，若卢 譬，则方程( 2 7 ) 的根e 蛳模为1 且满足 显然，存在无穷多个时滞参数亿) ；岛使得匍 n 勺 o i t = 。r 目 定理2 1 ( 1 ) 假设譬 卢 0 ，( 2 5 ) 的零解是渐近稳定 ( 2 ) 假设卢 譬，则存在一个关于时滞参数的无穷数列而 n 吁 而时，( 2 5 ) 的零解不稳定当 r = 乃o = 0 ，1 ，2 ，) 时，方程( 2 5 ) 在原点处产生n e i m a r k - s a c k e r 分岔，其中r = 勺 o = 0 ，1 2 ) 满足( 2 8 ) 一9 精氅 舡 忙喾矛 证明( 1 ) 假设譬 0 ，方程( 2 7 ) 的所有根的模小于i ( 2 ) 由引理2 4 ，当7 ( 0 ， r e ) 时，方程( 2 7 ) 的所有根的模小于1 而当r r e 时， 方程( 2 7 ) 至少有一对根的模大于1 因此，定理2 1 的结论( 2 ) 成立 2 3 n e i m a r k - s a c k e r 分岔的方向和稳定性 不失一般性，记r 为临界值勺0 = 0 ，l ，2 ，) ，且在( o ，0 ，o ) 处方程( 2 5 ) 出现 n e i m a r k - s a c k e r 分岔 对于映射( 2 5 ) ，我们有 k + - = a k + ；b ( k ，k ) + ：g ( k ，k ，y ) + o ( i w i i t ) ， 其中 b ( k ，k ) = ( m o ( y ，碥) ，0 ，0 ) t ， c ( 碥，碥，k ) = ( g ( k ，k ，k ) ，0 ，o ) 7 ， 且 b o ( ，) = 一2 钾r 饥， 岛( ，) = 0 假设g c ”+ 1 是对应于沙的一个复的特征向量 a q = e “叽a 4 = e 1 。亘 我们还引进个伴随特征向量矿c - ，件1 使得 q = e - “ q ，a r 矿= 矿 且满足正规化 = 1 ， 其中 = 瓦如 j - - - o 引理2 5 假设q = ，q l ，q m ) t 为 对应于e “的特征向量，且矿= ( q 鑫，q ：，嚷) 7 为a 7 对应于特征值e “+ 的特征向量，则 q = e “毋+ l ，j = 0 ，1 ，2 ，m 一1 ， 硕士学位论文 矿= 卜塞r 矿= 卜壹r 假设p 表示对应于e 士矿的个实的特征空间，它是由 r e ( 口) ，i m ( g ) 张成的一 个二维空间，而p 表示对应于p 除e - 1 - 之外所有特征值的( m 一1 ) 维实特征空间 对于任意尼1 ，有分解 其中z c ，z q + 萄p ，f p 复变量：可以被认为是p 上的个新的坐标且 名= ， 暑，= x - - q - 丞 在此坐标上，映射在7 = r 处有以下形式 fz h 一。z + ， l ，h 4 - f ( z q4 - 面+ y ) - q - - 正 ( 2 9 ) ! ：! ! ，：墨童堡堡呈垡堑塑塑! ! ：篁塑堡鎏! 型塑互壅 对( 2 9 ) 进行泰勒展开，则有 f 2 h e 如z + 蜘z 2 + g n z 牙, + 9 0 2 5 2 + g o , z 2 牙+ z + 孑， 【剪h a ，+ 互1 - 如。2 + h n z 5 + ；月如字+ o ( i z l 3 ) ， ( 2 1 0 ) 其中g g l o ，g 0 1 c ”“，且 9 2 0 = ， g l l = ， 9 0 2 = ， g 2 1 = ， = ， = ， = b ( q ，曲一 q - 岳 玩1 = b ( q ，动一 q - - 幸 i 1 0 2 = b ( 最动一 q - - 口 计算具有如下表达式的中心祈e 形 暑，= y ( z ，动= 互1 户+ l l 石牙+ 互1 毗尹+ 9 ( 净1 3 ) ， ( 2 1 1 ) 其中 = 0 将( 2 1 1 ) 代入( 2 1 0 ) 中，则有 i 锄= ( 沙，一a ) h 2 0 ， i 咖w u ：2 。( 。i 一- - 射a ) ，- 一i h a l ，l 一, ，乏 ( 2 1 0 ) 中的泰勒系数可以用下列一组公式表示 蜘= ， g l l = ， 9 0 2 = 且 9 2 1 = 一2 + + = 炉 一r 矽2i 1 2 一尝i 1 2 1 2 顼士学位论文 时) = 雨9 2 0 9 n 丽( 2 z + y - 3 ) + 拦+ 捣+ 警( 2 1 2 ) 将z = e 扩代入式( 2 1 2 ) ，我们可以得出c l ( r ) 定理2 2 映射( 2 5 ) 的n e i m a ；k - s a c k e r 分岔的方向和稳定性由l = 一到曼二号；旦坳 的符号决定t 若l o ( r 分岔的周期解存在而r e 陋岫c i ( t + ) 】的符号决定分岔的周期解的稳定性若 r e e - “c 1 ( ，) 】 o ) 则分岔的周期解为轨道稳定( 不稳定) 2 4 数值模拟 为了说明分析结果，我们考虑方程( 2 3 ) 在以下的特殊情况 假设n = 4 ，卢= 口= 3 5 ，7 = 2 则 t o = o 3 2 7 为n e i m a r k - s a c k e r 分岔值 图2 1 2 4 为方程( 2 3 ) 当h = o 0 5 时的模拟结果 在图2 1 中，当r = 0 3 而= 0 3 2 7 时，方程( 2 3 ) 的平衡点u = 1 3 1 2 5 渐近稳 定的图2 2 是当下= 0 3 = o 3 2 7 时，方程( 2 3 ) 在0 ( n ) ，x ( n 一2 0 ) ) 平面上的相 图 图2 1 ：当f = 0 3 r o = 0 3 2 7 也就是说，当步长h 足够小，( 2 3 ) 在r o 处出现n e i m a r k - s a c k e r 分岔图2 4 是当r = 0 3 5 r o = 0 3 2 7 时，方程( 2 3 ) 在( z ( n ) ，z m 一2 0 ) ) 平面上出 现稳定的不变的闭曲线 硬士学位论文 ol o o o2 0 3 0 0 0 4 0 0 05 0 0 06 0 0 0 图2 3 ：当r = 0 3 5 - r 0 = o 3 2 7 时，在平衡点附近分岔出周期解 图2 4 ：当r = 0 3 5 - r 0 = 0 3 2 7 时，在( z ( 呐，x ( n 一2 0 ) ) 平面上出现稳定的不变的闭曲 线 ：2 ” 他 几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究 第3 章离散非线性动力系统中倍周期分岔和混 沌的混合控制方法的应用 3 1 引言 上个世纪，混沌控制在物理、数学工程等领域都被仔细的研究过目前，人们对 混沌控制的广义的认识是t 认为并有效地影响混沌系统，使之发展到实践需要的状态 其中包括当混沌运动有害时，成功的抑制混沌自1 9 9 0 年o g y 混沌控制方法【2 7 】提 出以后，人们提出了各种控制混沌的方法，总的来说，可以分为反馈控制和非反馈控制 两大类阮3 8 , ”“本章的主要思路基于罗晓曙将参数扰动和状态反馈结合用于控 制倍周期分岔的混合控制策略的方法应用到两个将出现倍周期分岔的系统，理论分析 和数值模拟均显示出此混合控制方法超过其他方法的优势。第一、离散非线性动力系统 中的倍周期分岔可以延迟甚至完全消失。因此被控制的系统的参数能在很大范围内变 化但系统仍然保持稳定第二、嵌入在混沌吸引子当中预期的不稳定周期轨道，可以稳 定化 3 2 预备知识 考虑非线性离散动力系统 j + l = f ( x k ，p ) ，( 3 1 ) 其中孤p ，女z ，p r 为系统( 3 1 ) 的分岔参数，假设系统( 3 1 ) 当参数p 在一定 范围内发生变化时会出现倍周期分岔现象 我们的目的是最大可能的扩大参数p 的范围，使系统( 3 1 ) 在此范围内能保持稳定 的动力行为，这样倍周期分岔将会被延迟甚至完全消去，或者将稳定化隐藏在混沌吸引 子当中预期的不稳定周期轨道为了达到这个目的，我们对系统( 3 1 ) 同时应用参数扰 动和状态反馈如下z z k + m = q ，仇( 瓢，p ) + ( 1 一a ) x k ，( 3 2 ) 其中0 1 时的细节分析和数值模拟 系统( 3 1 ) 在不动点矿处的j a c o b i a n 矩阵为 j 1 ：氅掣i ( 3 3 ) i l - 其特征方程为 i a ，一 i = 0 ( 3 4 ) 若有l 九i 1 ，i = 1 ，n 则不动点矿稳定，并且由此条件可以确定参数p 的最大范 围使得不动点矿保持稳定 类似的，控制方程( 3 2 ) 不动点矿处的j a c o b i a a 矩阵为 也= a 掣”叫l ( 3 5 ) 由上式可知，对于如我们只要控制参数n ，就可以找得到一定的口值使得也所有的 特征值满足i 沁i 0 ，l o g i s t i c 方程是个很经典的倍周期分岔实倒，关 于指数型l o g i s t i c 方程( 3 6 ) 出现倍周期分岔的讨论见1 5 嘲方程( 3 6 ) 有两个不动点t 矿= 1 a 矿= 0 对于矿= 0 ，有i ，( 矿) i = i i 若要使得l ，( 矿) i 1 ，则a 必须满足a 0 ，不成立因 此当a 1 0 ，3 】时，不动点矿= 0 不稳定对于矿= 1 a ，要使l f ( z ) i = 1 1 一刈 1 ， 则a 必须满足0 a 2 ，即当0 a 2 时，随 着参数a 不断增大，不动点不稳定而出现二倍周期分叉，接着是4 周期、孓周期 2 ，1 周期轨道相继出现直到出现混沌但是当n 不断增大时，2 ，i 一周期轨道的参数范匿 越来越小 几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究 根据( 3 2 ) 给出的控制策略，当m = l 时，我们可以得到被控制的指数型l o g i s t i c 方 程如下 x n + 1 = n 口n e l ( 1 一“+ ( 1 一o ) ( 3 7 ) 由( 3 5 ) 式可知，方程( 3 7 ) 的不动点即稳定的条件如下 j 叫( 1 一a a x l ) e 1 ( 1 一a z ! ) 一1 】+ 1 i 1 ( 3 8 ) 由定理3 1 可知，控制的指数型l o g i s t i c 方程( 3 7 ) 的不动点与初始的指数型l o g i s t i c 方程( 3 6 ) 的相同，即$ ，= 矿将矿= 1 a 代入方程( 3 8 ) 得 0 a k l + 2 a 一2 ， ( 3 9 ) 其中h = 2 为系统( 3 6 ) 第次出现倍周期分岔的临界值不等式( 3 9 ) 即给出了方程 ( 3 7 ) 的不动点稳定的条件 结论一t若血= 1 ，则0 a 2 这很显然，因为控制的指数型l o g i s t i c 方程 ( 3 7 ) 将变成初始的指数型l o g i s t i c 方程( 3 6 ) 结论二若0 2 ，此时控制的指数 型l o g i s t i c 方程( 3 7 ) 第一次出现倍周期分岔控制结果由图( 3 1 ) 给出由0 a 3 和不等式( 3 9 ) ，我们可以得到下面的结论t 若0 d 2 3 ，则不动点矿= 1 a 在 f 0 ，3 】时，都保持稳定控制结果如图( 3 2 ) 所示 下面的目标是将某些嵌入在所给系统的混沌吸引子中的不稳定周期轨道稳定化 对于指数型l o g i s t i c 方程( 3 6 ) ，当a = 2 8 时，它的解是混沌的，且有不稳定的 不动点矿= 1 a ，根据不等式( 3 8 ) 所给出的稳定条件，当0 a 0 7 1 4 2 时，此不动 点可以被稳定化当o = 0 6 时，控制结果如图( 3 3 ) 所示 第二个方程由如下式子给出 + 1 = 一( 1 + 6 ) + 磊 ( 3 1 0 ) 其中b - 2 ，2 为分岔参数，此方程有三个不动点t矿= 0 ，萄2 = 士再- 当 霹2 = 士r 干百时，由稳定条件得参数b 必须满足- 3 b - 2 ，与假设条件矛盾， 因此在参数b - 2 ，2 1 中，不动点萄。= 士再j 不稳定当矿= o 时，可由稳定 条件得，当一2 b 0 时，此系统第一次出现倍周期 分岔，此时不动点不稳定而出现稳定的二倍周期轨道前2 = 士怕并且由稳定的条件 硬士学位论文 图3 1 ：当n = 0 8 ，n = 1 时，方程( 3 7 ) 第一次出现倍周期分岔的控制结果 图3 2 ：当a = 2 3 ，n = 1 时，方程( 3 7 ) 第一次出现倍周期分岔的控制结果 几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究 图3 3 ：当a = 2 8 ，n = 0 6 ，口= 1 时，不稳定的不动点矿= l a 被稳定化 i ，( z ：，2 ) ，( ，( z ：，2 ) ) i 1 可得，当0 b 1 时， 二倍周期失去稳定性，值得注意的是，此时系统再次出现的不是倍周期分岔，而是鞍结 分岔【1 司 参照由( 3 2 ) 给出的控制策略，当m = l 时，我们可以得到被控制的方程( 3 1 0 ) 如 下 2 7 刑- 1 = n l 一( 1 + b ) z n + 】+ ( 1 一a ) ( 3 1 1 ) 由( 3 5 ) 式可知，方程( 3 1 1 ) 的不动点研稳定的条件如下 i - a ( 1 + 6 ) + 3 a 弓+ ( 1 一a ) l 1 ( 3 1 2 ) 由定理3 1 可知，控制方程( 3 1 1 ) 的不动点与初始方程( 3 1 0 ) 的相同，即= 矿现 在，将矿= 0 代入方程( 3 1 2 ) 得 一2 b b c l + 2 o 一2 ( 3 1 3 ) 其中6 c l = 0 为系统( 3 加) 第一次出现倍周期分岔的临界值不等式( 3 1 3 ) 即给出了方 程( 3 1 1 ) 的不动点稳定的条件同样可以得到下面的结论 结论一， 若o = 1 ，则- 2 b 0 这很显然，因为控制方程( 3 1 1 ) 将变成初始 的程( 3 1 0 ) 结论二t 若0 0 ，此时控制方程 ( 3 1 1 ) 第一次出现倍周期分岔控制结果由图( 3 4 ) 给出参照一2 b 2 和不等式 ( 3 1 3 ) ，我们可以得到下面的结论t 着0 口 o 5 ，则不动点矿= 0 在b 【一2 ，2 】时， 都保持稳定控制结果如图( 3 5 ) 所示 图3 4 ：当a = 0 8 时，控制方程( 3 1 1 ) 第一次出现倍周期分岔的控制结果 类似的，假设m = 2 ，我们可以计算得出当o 2 1 4 3 a 0 7 8 1 1 时，控制方程( 3 1 1 ) 二倍周期稳定的参数范围将大于初始方程( 3 1 0 ) 二倍周期稳定的参数范围b 【o l 】当 n = 0 3 时，数值模拟的结果如图( 3 6 ) 所示 类似的，我们可以将某些嵌入在所给系统的混沌吸引子中的不稳定周期轨道稳定 化对于方程( 3 1 0 ) ，当b = 1 8 时，它的解是混沌的。且有不稳定的不动点矿= 0 ，参 照不等式( 3 1 2 ) 所给出的稳定条件，当0 口 0 5 2 6 3 时，此不动点可以被稳定化 当a = 0 5 时控制结果如图( 3 7 ) 所示同样，嵌入在混沌吸引子当中的二周期轨道 也可以被稳定化，经过计算可得到当o 5 2 6 3 口 0 8 0 0 3 时，可以被控翻当口= 0 6 时，控制结果如图( 3 8 ) 所示 几类离散动力系统的分岔和混沌控制的研究 k 图3 5 ：当口= 0 5 时，控制方程( 3 1 1 ) 第一次出现倍周期分岔的控制结果 图3 6 ：当n = 0 3 时，第二次控制方程( 3 1 0 ) 的结果 硬士学位论文 图3 7 当n = 0 5 时，不稳定的不动点矿= 0 被稳定化 图3 & 当口= 0 6 时，方程( 3 1 0 ) 的二周期轨道也可以被稳定化 一嚣 几类离散动力系统的分岔和掘沌控制的研宛 【1 l 2 | 【3 | 【4 】 参考文献 h a o b l ，c h a o s ，s i n g s p o r e ：w o r l ds d e n t i f i c ，1 9 8 4 h a o b l ，c h a o s ，s i n g a p o r e w o r l ds c i e n t 进c ，1 9 9 0 b n l o r e n z ，t h ee s 蝴o fc h 8 ，u n i v e r s i t yo fw a s h i n g t o np r e m ，1 9 v i a r n o l d ，m a t h e m a t i c a lm e t h o d so fc l a s s i c a lm e c h a n i c s ，s p r i n g e r - v e d s g ：h d d d - b e r g , b e r l m , 1 9 7 8 【5 】j m e s e r ，s t a b l ea n dr a n d o mm o t i o n si nd y n a m i c a ls y s t e m s ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t y p r e s s ：p r i n c e t o n ，1 9 7 3 【6 】d r u e l l ea n df t a k e - ，o nt h en a t u r eo ft u r b u l e n c e ，c o m m m a t h p h y s 2 0 ( 1 9 7 1 ) ， 1 6 7 - 1 9 2 阴1 1 - m 蛳s i m p l em a t h e m a t i c a l m o d e l sw i t hv e r yc o m p l i c a t e dd y n a m i c s ，n a t u r e 2 6 1 ( 1 9 7 6 ) ，4 5 9 - 4 6 7 【8 】m h 缸，at w o - d i m e n s i n n a lm a p p i n gw i t has t r a n g e ra t t r a c t o r ，c o nm a t h p h y s 5 0 ( 1 9 7 6 ) ，6 9 - 7 6 1 9 】m f e i g e n b a u m ，q u a n t i t a t i v eu m v 砑s a l i t yf o rac l a s so fn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s ，j s t a r p h y s 1 9 ( 1 9 7 8 ) ，2 5 - 5 2 1 1 0 l i ta n dj y o r k ，p e r i o d i ct h r e ei m p l i e sc h a o s ，a i r i e r m a t h m o n t h l y8 2 ( 1 9 7 5 ) ，9 8 5 - 9 9 2 【1 l 】郝柏林从抛物线谈起一混沌动力学引论上海，上海科技教育出版社，1 9 9 3 【1 2 陈式刚映象与混沌北京国防工业出版社，1 9 9 2 【1 3 b d h a s s a r d ，n d ，k a z a r i n o f fa n dy h w a n ，t h e o r ya n da p p l i c a t i o n so fh o p f b i f l l r c a f i o n , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ：c a m b r i d g e1 9 8 1 【1 4 】a k y i l r i e l e m e n t so f8 p p l i e db i f u r c a t i o nt h e o r y , s p r i n g - v e r l a g ：n e wy o r k1 9 9 5 1 1 5 】i lc r o b i n s o n ，a ni n t r o d u c t i o nt od y n a m i c a ls y s t e m s ：c o n t i n u o u