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第二章 静力学基本概念 2 1力的概念 2 2静力学公理 2 3力矩与力偶 2 4力在坐标轴上的投影 2 5力的平移定理 刚体是一种理想化的力学模型 一个物体能否视为刚体 不仅取决于变形的大小 而且和问题本身的要求有关 2 刚体 在外界的任何作用下形状和大小都始终保持不变的物体 或者在力的作用下 任意两点间的距离保持不变的物体 1 平衡 平衡是物体机械运动的特殊形式 是指物体相对地球处于静止或匀速直线运动状态 3 力 力是物体相互间的机械作用 其作用结果使物体的形状和运动状态发生改变 2 1力的概念 力的表示法 力是一矢量 用数学上的矢量记号来表示 如图 F 力的单位 在国际单位制中 力的单位是牛顿 N 1N 1公斤 米 秒2 kg m s2 2 1力的概念 四 力系 合力与分力 力系 作用于同一物体或物体系上的一群力 等效力系 对物体的作用效果相同的两个力系 平衡力系 能使物体维持平衡的力系 合力 在特殊情况下 能和一个力系等效的一个力 2 1力的概念 分力 力系中各个力 公理一 二力平衡公理 要使刚体在两个力作用下维持平衡状态 必须也只须这两个力大小相等 方向相反 沿同一直线作用 公理二 加减平衡力系公理 可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力 而不改变原力系对刚体的作用 2 2静力学公理 推论 力在刚体上的可传性 作用于刚体的力 其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动 而不改变它对该刚体的作用 2 2静力学公理 公理三 力平行四边形公理 作用于物体上任一点的两个力可合成为作用于同一点的一个力 即合力 合力的矢由原两力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢来表示 F1 F2 R 矢量表达式 R F1 F2 即 合力为原两力的矢量和 2 2静力学公理 推论 三力汇交定理 当刚体在三个力作用下平衡时 设其中两力的作用线相交于某点 则第三力的作用线必定也通过这个点 F1 F3 R1 F2 证明 A3 2 2静力学公理 公理四 作用和反作用公理 任何两个物体间的相互作用的力 总是大小相等 作用线相同 但指向相反 并同时分别作用于这两个物体上 2 2静力学公理 一 力矩的定义 力F的大小乘以该力作用线到某点O间距离d 并加上适当正负号 称为力F对O点的矩 简称力矩 2 3力矩与力偶 二 力矩的表达式 三 力矩的正负号规定 当有逆时针转动的趋向时 力F对O点的矩取正值 四 力矩的单位 与力偶矩单位相同 为N m 五 力矩的性质 1 力沿作用线移动时 对某点的矩不变 2 力作用过矩心时 此力对矩心之矩等于零 3 力矩的值与矩心位置有关 同一力对不同的矩心 其力矩不同 2 3力矩与力偶 4 力矩的解析表达式 2 3力矩与力偶 力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和 2 3力矩与力偶 六 力偶和力偶矩 1 力偶 大小相等的二反向平行力 作用效果 只引起物体的转动 力和力偶是静力学的二基本要素 力偶特性二 力偶无合力 即力偶不能与一个力等效 也不能与一个力平衡 力偶只能与另一力偶平衡 力偶特性一 力偶在任何坐标轴上的投影等于零 力偶对物体只产生转动效应 不产生移动效应 工程实例 2 3力矩与力偶 2 力偶臂 力偶中两个力的作用线之间的距离 3 力偶矩 力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积 加上适当的正负号 力偶矩正负规定 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势 力偶矩取正号 反之 取负号 量纲 力 长度 牛顿 米 N m 2 3力矩与力偶 八 力偶的等效条件 同一平面上力偶的等效条件 2 3力矩与力偶 因此 以后可用力偶的转向箭头来代替力偶 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩大小值相等 转向相同 2 3力矩与力偶 推论1力偶可在其作用面内任意移动 而不改变它对刚体的效应 推论2只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变 可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短 而不改变力偶对刚体的作用 九 力偶系 平面力偶系1定义 2平面力偶系可合成一个合力偶 其合力偶矩等于各分力偶矩之和 十 力对点的矩与力偶矩的区别 相同处 力矩的量纲与力偶矩的相同 不同处 力对点的矩可随矩心的位置改变而改变 但一个力偶的矩是常量 联系 力偶中的两个力对任一点的之和是常量 等于力偶矩 2 3力矩与力偶 反之 当投影X Y已知时 则可求出力F的大小和方向 2 4力在坐标轴的投影 一 力在坐标轴上的投影 正负规定 投影起点至终点的指向与坐标轴正向一致 规定为正 反之为负 A 注意 投影与分力不是同一概念 力的投影X Y是代数量 分力是矢量 2 4力在坐标轴的投影 合力在任一轴上的投影 等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和 证明 以三个力组成的共点力系为例 设有三个共点力F1 F2 F3如图 二 合力投影定理 2 4力在坐标轴上的投影 合力R在x轴上投影 F1 F2 R F3 x A B C D b 推广到任意多个力F1 F2 Fn组成的平面共点力系 可得 各力在x轴上投影 2 4力在坐标轴上的投影 3 2 作用于刚体上某点力F 可以平行移动到刚体上任意一点 但须同时附加一个力偶 此附加力偶的矩等于原力F对新作用点的矩 证明 一 力的平移定理 2 5力的平移定理 二 几个性质 1 当力平移时 力的大小 方向都不改变 但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同 2 力平移的过程是可逆的 即作用在同一平面内的一个力和一个力偶 总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力 3 力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据 2 5力的平移定理 物体的受力分析结构的计算简图 第三章 3 1约束与约束反力 3 2物体的受力分析及受力图 3 3结构的计算简图 3 1约束与约束反力 自由体 位移不受限制的物体 非自由体 位移受到限制的物体 约束 限制非自由体运动的其他物体 约束反力 约束对被约束体的反作用力主动力 约束力以外的力 3 1约束与约束反力 3 1约束与约束反力 柔索约束柔绳 链条 胶带构成的约束 3 1约束与约束反力 柔索只能受拉力 又称张力 用表示 柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体 胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向 为拉力 3 1约束与约束反力 3 1约束与约束反力 光滑接触面约束 3 1约束与约束反力 光滑支承接触对非自由体的约束力 作用在接触处 方向沿接触处的公法线并指向受力物体 故称为法向约束力 用表示 3 1约束与约束反力 光滑铰链约束此类约束简称铰链或铰径向轴承 圆柱铰链 固定铰链支座等 1 径向轴承 向心轴承 3 1约束与约束反力 3 1约束与约束反力 约束特点 轴在轴承孔内 轴为非自由体 轴承孔为约束 约束力 当不计摩擦时 轴与孔在接触为光滑接触约束 法向约束力 约束力作用在接触处 沿径向指向轴心 当外界载荷不同时 接触点会变 则约束力的大小与方向均有改变 3 1约束与约束反力 可用二个通过轴心的正交分力表示 2 光滑圆柱铰链约束特点 由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成 如剪刀 3 1约束与约束反力 3 1约束与约束反力 光滑圆柱铰链 亦为孔与轴的配合问题 与轴承一样 可用两个正交分力表示 其中有作用反作用关系一般不必分析销钉受力 当要分析时 必须把销钉单独取出 3 1约束与约束反力 支座约束 1 固定铰支座 FN FNY FNX 3 1约束与约束反力 约束特点 由上面构件1或2之一与地面或机架固定而成 约束力 与圆柱铰链相同 3 1约束与约束反力 2 活动铰支座 FN FN 3 1约束与约束反力 约束特点 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成 约束力 构件受到 光滑面的约束力 3 1约束与约束反力 3 固定端支座端嵌固在墙内 墙壁对梁的约束是既限制它沿任何方向移动 又限制它的转动 这样的约束称为固定端支座 简称固定支座 3 1约束与约束反力 3 1约束与约束反力 4 定向支座 滑动铰支座 3 1约束与约束反力 链杆约束链杆是两端用铰与其他构件相连 不计自重且中间不受力的杆件 3 1约束与约束反力 由于链杆只在两个铰处受力 因此为二力构件 3 2物体的受力分析及受力图 确定构件受了几个力 每个力的作用位置和力的作用方向 这种分析过程称为物体的受力分析 在受力图上应画出所有力 主动力和约束力 被动力 画受力图步骤 1 取所要研究物体为研究对象 隔离体 画出其简图2 画出所有主动力3 按约束性质画出所有约束 被动 力 3 2物体的受力分析及受力图 例1 1 3 2物体的受力分析及受力图 碾子重为P 拉力为F A B处光滑接触 画出碾子的受力图 解 画出简图 画出主动力 画出约束力 例1 3水平均质梁AB重为 电动机重为 不计杆CD的自重 画出杆CD和梁AB的受力图 图 a 3 2物体的受力分析及受力图 解 取CD杆 其为二力构件 简称二力杆 其受力图如图 b 3 2物体的受力分析及受力图 取AB梁 其受力图如图 c 杆的受力图能否画为图 d 所示 若这样画 梁AB的受力图又如何改动 例1 4 3 2物体的受力分析及受力图 不计三铰拱桥的自重与摩擦 画出左 右拱AC CB的受力图与系统整体受力图 解 右拱CB为二力构件 其受力图如图 b 所示 3 2物体的受力分析及受力图 取左拱AC 其受力图如图 c 所示 系统整体受力图如图 d 所示 3 2物体的受力分析及受力图 考虑到左拱AC在三个力作用下平衡 也可按三力平衡汇交定理画出左拱AC的受力图 如图 e 所示 此时整体受力图如图 f 所示 例1 5 3 2物体的受力分析及受力图 不计自重的梯子放在光滑水平地面上 画出绳子 梯子左右两部分与整个系统受力图 图 a 解 绳子受力图如图 b 所示 3 2物体的受力分析及受力图 梯子左边部分受力图如图 c 所示 梯子右边部分受力图如图 d 所示 3 2物体的受力分析及受力图 整体受力图如图 e 所示 第四章 力系的平衡方程及应用 4 1平面一般力系向一点简化主矢主矩 4 2平面一般力系的平衡方程 4 3平面汇交力系的平衡方程 4 4平面平行力系的平衡方程 4 5物体系统的平衡 4 1 1概念平面力系 凡各力的作用线都在同一平面内的力系平面汇交力系 在平面力系中 各力作用线交于一点的力系平面平行力系 各力作用线互相平行的力系平面一般力系 各力作用线任意分布的力系 4 1平面一般力系向一点简化 4 1 2平面一般力系向作用面内任一点的简化 问题 力的作用线本身是否可以平移 如果平移 会改变其对刚体的作用效应吗 P O 假设点P作用力F 今在同一刚体上某点O 沿与力F平行方向施加一对大小相等 等于F 方向相反的力 主矢和主矩 显然 这一对力并不改变力F对刚体的作用效果 为什麽 4 1平面一般力系向一点简化 我们可以将这3个力构成的力系视为一对力偶 和1个作用于点O的力 结论 一个刚体受到复杂力系作用时 可以将它们向某一点简化 从而得到一个合力和一个合力矩 该点称为简化中心设力系对O点的简化结果为 4 1平面一般力系向一点简化 4 1 3平面力系简化结果讨论 已经分析 平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩 可能有以下几种情况 称该力系平衡 该力系等效一个合力偶 该力系等效一个合力 仍然可以继续简化为一个合力 4 1平面一般力系向一点简化 4 1 2平面力系简化结果讨论 仍然可以继续简化为一个合力 O O O O O 只要满足 4 1平面一般力系向一点简化 4 2 1平面一般力系的平衡方程条件及基本形式 已经分析 平面一般力系向任一点简化可以得到一个主矢和一个主矩如果主矢和主矩都等于零表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平衡 则原力系一定平衡主矢和主矩都等于零是平衡面一般力系平衡的充分条件反之 如果主矢中有一个力或两个力不为零时 原力系中成为一个合力或一个力偶 力系就不平衡 所以 主矢和主矩都等于零也是力系平衡的必要条件 4 2平面一般力系的平衡方程 平面一般力系平衡的必要和充分条件是 主矢和主矩都等于零 即 平面一般力系的平衡方程 1 一般形式 4 2平面一般力系的平衡方程 平面一般力系平衡的必要和充分条件可称述为 力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零 力系中所有各力对于任一点的力矩的代数和等于零 4 2平面一般力系的平衡方程 4 2 2平面方程的其他形式 二力矩形式的平衡方程 三力矩形式的平衡方程 条件是 AB两点的连线不能与x轴或y轴垂直 条件是 ABC三点不能共线 4 2平面一般力系的平衡方程 4 3 1平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的解析条件是 力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零 平面汇交力系是平面一般力系的一种特殊情况 由平面一般力系的平衡条件可知 平面汇交力系的平衡条件是 合力为零 即 4 3平面汇交力系的平衡方程 4 4 1平面平行力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的解析条件是 力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零 4 4平面平行力系的平衡方程 4 5 1举例说明物体系平衡问题的解法 例5 1图示两根梁由铰B连接 它们置于O A C三个支承上 梁上有一集度为q的均布载荷 一集中力F和一力偶矩M 求各个支承处的约束力 受力分析主动力 分布载荷 集中力F 主动力矩M 4 5物体系统的平衡 第五章 平面体系的几何组成分析 5 1刚片自由度和约束的概念 5 2几何不变体系的简单组成规则 5 3瞬变体系 5 4几何组成分析示例 5 5结构的几何组成与静定性的关系 5 1刚片自由度和约束的概念 在土木或水利工程中 结构是用来支撑和传递荷载的 因此它的几何形状和位置必须是稳固的 具有稳固几何形状和位置的体系称为几何不变体系 反之 如体系的几何形状或位置可以或可能发生改变的 则称为几何可变体系 只有几何不变体系才能用于工程 基本假定 不考虑材料的变形 5 1刚片自由度和约束的概念 5 1刚片自由度和约束的概念 刚片是指平面体系中几何形状不变的平面体 在几何组成分析中 由于不考虑材料的变形 所以 每根梁 每一杆件或已知的几何不变部分均可视为刚片 支承结构的地基也可以看作是一个刚片 n 2 平面内一点 5 1刚片自由度和约束的概念 体系的自由度是指该体系运动时 确定其位置所需的独立坐标的数目 n 3 平面刚体 刚片 地基是一个不动刚片 它的自由度为0 5 1刚片自由度和约束的概念 能够减少体系自由度的装置称为约束或联系 能减少几个自由度就叫做几个约束 常用的约束有链杆 铰 单铰 复铰 和刚结点 一根链杆为一个联系 n 3 n 2 5 1刚片自由度和约束的概念 链杆是一根两端铰接于两个刚片的刚性杆件 1个单铰 2个联系 单铰联后n 4 每一自由刚片3个自由度两个自由刚片共有6个自由度 1连接n个刚片的复铰 n 1 个单铰 n 5 复铰等于多少个单铰 5 1刚片自由度和约束的概念 两个刚片和刚片在C连接为一个整体 结点称为一个刚结点 单刚结点 复刚结点 单链杆 复链杆 连接n个杆的复刚结点等于多少个单刚结点 连接n个铰的复链杆等于多少个单链杆 n 1个 2n 3个 一 杆件体系的计算自由度 W 各部件的自由度总和 全部约束数 2 1 1 一般平面体系 2 2 m 体系刚片的个数 不包括地基 g 单刚结点个数 h 单铰结点个数 刚片之间的单铰结点个数 b 包括支座链杆数 平面杆件体系的计算自由度 刚片 自由度 联系的概念 连四刚片h 3 连三刚片h 2 连两刚片h 1 3 铰支座 定向支座相当于两个支承链杆 固定端相三于个支承链杆 注意 1 复连接要换算成单连接 2 刚接在一起的各刚片作为一大刚片 如带有a个无铰封闭框 约束数应加3a个 2 平面铰结链杆体系 j 结构所有铰结点个数 包括支座铰接点 b 代表单链杆数 包括支座链杆数 3 内部可变度 当体系与基础不相连 只计算体系内各部分之间的相对运动自由度 不计入体系整体运动的3个自由度 一般平面体系 平面铰接体系 例1 求图所示体系的计算自由度W 方法1 此体系属于平面一般体系 m 7g 0h 9b 3 注意 连接n个刚片的铰相当于 n 1 个单铰 采用 2 2 式计算时 复刚结点与复铰结点应转换为单刚结点和单铰结点来计算 注意 连接n个点的链杆相当于 2n 3 个单链杆 方法二 此体系属于铰结体系 j 7 b 14 代入 得 例1 求图所示体系的计算自由度W 采用 2 3 式计算时 1 复链杆应转换为单链杆来计算 2 支座铰接点应计入j 即体系本身链杆的端点铰都应算作结点 解 此体系属于铰结体系 例2 求图所示体系的计算自由度W 思考 按平面一般体系的公式 2 2 应该如何计算 方法1 此体系属于一般体系 m 6g 4h 1b 4 方法2 此体系属于一般体系 只将ABCD AEFG视为刚片m 2g 0h 1b 4 练习 计算W 二 计算自由度与几何组成的关系 了解 1 实际自由度S S 各部件的自由度总和 必要约束 2 4 2 多余约束数n S W n 3 W与几何组成性质的关系 P 17 S n W W 0 表明体系缺少足够的联系 是几何可变的 W 0 表明体系具有成为几何不变所需的最少联系数目 W 0 表明体系在联系数目上还有多余 体系具有多余联系 W 0 是平面体系几何不变的必要条件 而不是充分条件 练习 计算W 解 此体系属于铰结体系 j 6 b 12 代入 得 W 2 6 12 0 解 此体系属于铰结体系 j 8 b 16 代入 得 W 2 8 16 0 方法1 此体系属于一般体系 m 7g 3h 4b 4 方法2 此体系属于一般体系 只将123 345 267 4789视为刚片m 4g 0h 4b 4 练习 计算W 5 1刚片自由度和约束的概念 如果在一个体系中增加一个约束 并不能减少体系的自由度 则此约束称为多余约束 5 1刚片自由度和约束的概念 两刚片用两根链杆连接 两杆延长线交于一点 这时 两刚片的运动为绕点的相对转动 点称为刚片和刚片的相对转动瞬心 连接刚片的两根连杆的延长线交于一点 成为虚铰 两平行杆形成的虚铰在无穷远处 两刚片用两链杆连接 两相交链杆构成一虚铰 n 4 三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连 组成无多余联系的几何不变体系 5 2几何不变体系的简单组成规则 例如三铰拱 大地 AC BC为刚片 A B C为单铰 几何不变无多余约束 二元体 不在一直线上的两根链杆连结一个新结点的装置 二元体规则 在一个体系上增加或拆除二元体 不改变原体系的几何构造性质 减二元体简化分析 加二元体组成结构 如何减二元体 二刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联 组成无多余联系的几何不变体系 二刚片规则 两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联 组成无多余联系的几何不变体系 微小位移后 不能继续位移 不能平衡 5 3瞬变体系 瞬变体系 原为几何可变 经微小位移后即转化为几何不变的体系 瞬变体系的其它几种情况 平行 平行等长 四杆不全平行 b 两铰无穷远情况 四杆全平行 四杆平行等长 5 4几何组成分析示例 5 4几何组成分析示例 5 4几何组成分析示例 5 4几何组成分析示例 5 4几何组成分析示例 5 4几何组成分析示例 5 4几何组成分析示例 5 5结构的几何组成与静定性的关系 无多余联系几何不变 如何求支座反力 有多余联系几何不变 能否求全部反力 5 5结构的几何组成与静定性的关系 体系 不可作结构 小结 杆件与结构的内力计算 第六章 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 6 2单跨静定梁的内力 6 3多跨静定梁的内力 6 4静定平面刚架的内力 6 5静定平面桁架的内力 6 6组合结构的内力 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 工程中有很多构件 除连接部分外都是等直杆 作用于杆上的外力 或合外力 的作用线重合 等直杆在这种受力情况下 其主要变形是纵向伸长或缩短 这种变形形式就是轴向拉伸或压缩 这类构件称为拉 压 杆 拉杆 压杆 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 物体在受到外力作用而变形时 其内部各质点间的相对位置将有变化 与此同时 各质点间相互作用的力也发生了改变 相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量 就是附加内力 简称内力 内力分析是解决构件强度 刚度与稳定性问题的基础 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 轴向拉压杆的内力称为轴力 其作用线与杆的轴线重合 用符号 表示 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 轴力的箭头背离截面为拉力 对应杆段伸长 轴力的箭头指向截面为压力 对应杆段缩短 拉力为正 压力为负 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 注意 1 在采用截面法之前不允许使用力的可传性原理 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 2 在采用截面法之前不允许预先将杆上荷载用一个静力等效的相当力系代替 一直杆受力如图示 试求1 1和2 2截面上的轴力 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 当杆受到多个轴向外力作用时 在杆的不同横截面上的轴力将各不相同 为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况 可用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力的数值 从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线 称为轴力图 6 1轴向拉压杆的内力轴力图 轴力图表示轴力与截面位置关系的图形 习惯上将正值的轴力画在上侧 负值画在下侧 轴力只与外力有关 截面形状变化不会改变轴力大小 4KN 5KN 2KN F 2F 例题2作图示杆件的轴力图 并指出 FN max FN max 100kN FN2 100kN FN1 50kN 弯曲内力 杆件承受垂直于其轴线方向的外力 或在其轴线平面内作用有外力偶时 杆的轴线变为曲线 以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲 弯曲内力 以弯曲为主要变形的杆件 通常称为梁 梁是一类常用的构件几乎在工程中都占有重要地位 静定梁 支座反力可以由静力平衡方程来求解的梁 超静定梁 支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁 梁按支承方法的分类 悬臂梁 简支梁 外伸梁 固定梁 连续梁 半固定梁 FA Fs M 弯曲内力 剪力 平行于横截面的内力 符号 FS 正负号规定 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正 反之为负 左截面上的剪力向上为正 右截面上的剪力向下为正 弯矩 绕截面转动的内力 符号 M 正负号规定 使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正 反之为负 梁上压下拉的弯矩为正 剪力为正 剪力为负 弯矩为正 弯矩为负 试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩 1 剪力 弯矩方程 2 剪力 弯矩图 剪力 弯矩方程的图形 横轴沿轴线方向表示截面的位置 纵轴为内力的大小 例题作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图 例题图示简支梁受均布荷载q的作用 作该梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 建立剪力方程和弯矩方程 例题在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F 作该梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 建立剪力方程和弯矩方程 例五在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M 作该梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 建立剪力方程和弯矩方程 弯曲内力 由剪力 弯矩图知 在集中力作用点 弯矩图发生转折 剪力图发生突变 其突变值等于集中力的大小 从左向右作图 突变方向沿集中力作用的方向 由剪力 弯矩图知 在集中力偶作用点 弯矩图发生突变 其突变值为集中力偶的大小 绘制内力图的一般步骤是 1 求反力 悬臂梁可不必求反力 2 分段凡外力不连续处均应作为分段点 如集中力及力偶作用点两侧的截面 均布荷载起讫点及中间若干点等 用截面法求出这些截面的内力值 并将它们在内力图的基线上用竖标绘出 这样就定出了内力图的各控制点 3 联线根据各段梁内力图的形状 分别用直线或曲线将各控制点依次相联 即得所求内力图 用叠加法作弯矩图 当变形为微小时 可采用变形前尺寸进行计算 叠加原理 当所求参数与梁上荷载为线性关系时 由几项荷载共同作用时所引起的某一参数 就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加 弯矩可叠加 则弯矩图也可叠加 例题 例题 6 3多跨静定梁的内力 多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而成 并用来跨越几个相连跨度的静定梁 附属部分 不能独立承载的部分 基本部分 能独立承载的部分 基 附关系层叠图 拆成单个杆计算 先算附属部分 后算基本部分 例 作内力图 例 作内力图 刚架是由直杆组成的具有刚性节点的结构具有刚性节点是刚架的主要特点在刚结点处 各汇交杆端连成一个整体 彼此不发生相对移动和相对转动 即荷载作用后 刚节点处各汇交杆件之间的夹角仍保持不变 6 5静定平面刚架的内力 静定刚架的分类 6 5静定平面刚架的内力 6 5静定平面刚架的内力 平面刚架的杆件截面上一般有弯矩 剪力和轴力三种内力 然而 在线性弹性范围内 它们比较而言 弯矩影响起主要作用 由于刚结点能承受负弯矩作用 从而削减了结构中最大正弯矩值 因此刚架的受力情况较简支梁合理 6 5静定平面刚架的内力 弯矩分布均匀可利用空间大 6 5静定平面刚架的内力 静定平面刚架内力分析的步骤是 先计算支座反力和铰结点处的约束力 然后以外力变化点和刚架杆件的弯折点为分段点 截取各段为隔离体 根据静力平衡方程计算各分段点处的内力 最后根据前述梁中内力图的绘制规律逐杆绘出该刚架的内力图 弯矩规定以刚架的内侧纤维受拉为正 反之为负 弯矩一律画在杆件的纤维受拉侧 图中无须标明正负号 解 例 求图示刚架的支座反力 解 例3 求图示刚架的支座反力 解 例 求图示刚架的支座反力 解 1 取整体为隔离体 2 取右部分为隔离体 方法 先算附属部分 后算基本部分 计算顺序与几何组成顺序相反 解 1 取附属部分 2 取基本部分 刚架指定截面内力计算 与梁的指定截面内力计算方法相同 例 求图示刚架1 2截面的弯矩 解 连接两个杆端的刚结点 若结点上无外力偶作用 则两个杆端的弯矩值相等 方向相反 例题1 作图示结构弯矩图 练习 作弯矩图 例题1 作图示结构弯矩图 练习 作图示结构弯矩图 练习 作图示结构弯矩图 例题2 作图示结构弯矩图 练习 作图示结构弯矩图 例题3 作图示结构弯矩图 练习 作图示结构弯矩图 6 5静定平面刚架的内力 剪力图做法 逐个杆作剪力图 利用杆的平衡条件 由已知的杆端弯矩和杆上的荷载求杆端剪力 再由杆端剪力画剪力图 注意 剪力图画在杆件那一侧均可 必须注明符号和控制点竖标 五 由做出的弯矩图作剪力图 M Q 练习 作剪力图 Q M 例 作剪力图 M Q 6 5静定平面刚架的内力 轴力图做法 逐个杆作轴力图 利用结点的平衡条件 由已知的杆端剪力和求杆端轴力 再由杆端轴力画轴力图 注意 轴力图画在杆件那一侧均可 必须注明符号和控制点竖标 6 6静定平面桁架的内力 简图与实际的偏差 并非理想铰接 并非理想直杆 并非只有结点荷载 一 概述 桁架 直杆铰接体系 荷载只在结点作用 所有杆均为只有轴力的二力杆 1 桁架的计算简图 2 桁架的分类 按几何组成分类 简单桁架 在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成的联合桁架 由简单桁架按基本组成规则构成复杂桁架 非上述两种方式组成的静定桁架 简单桁架 简单桁架 联合桁架 复杂桁架 二 结点法 取隔离体时 每个隔离体只包含一个结点的方法 隔离体上的力是平面汇交力系 只有两个独立的平衡方程可以利用 固一般应先截取只包含两个未知轴力杆件的结点 1 求支座反力 其它杆件轴力求法类似 求出所有轴力后 应把轴力标在杆件旁 2 取结点A 3 取结点C 4 取结点D 结点单杆 利用结点的一个平衡方程可求出内力的杆件 单杆 零杆 轴力为零的杆 例 试指出零杆 练习 试指出零杆 受力分析时可以去掉零杆 是否说该杆在结构中是可有可无的 二 截面法 有些情况下 用结点法求解不方便 如 截面法 隔离体包含不少于两个结点 隔离体上的力是一个平面任意力系 可列出三个独立的平衡方程 取隔离体时一般切断的未知轴力的杆件不多余三根 二 截面法 解 1 求支座反力 2 作1 1截面 取右部作隔离体 3 作2 2截面 取左部作隔离体 截面法计算步骤 1 求反力 2 判断零杆 3 合理选择截面 使待求内力的杆为单杆 4 列方程求内力 三 结点法与截面法的联合应用 四 对称性的利用 对称结构 几何形状和支座对某轴对称的结构 对称荷载 作用在对称结构对称轴两侧 大小相等 方向和作用点对称的荷载 反对称荷载 作用在对称结构对称轴两侧 大小相等 作用点对称 方向反对称的荷载 四 对称性的利用 对称结构的受力特点 在对称荷载作用下内力是对称的 在反对称荷载作用下内力是反对称的 四 对称性的利用 例 试求图示桁架A支座反力 C 0 四 对称性的利用 例 试求图示桁架各杆内力 第七章 重心及截面的几何性质 7 1物体的重心和形心 7 2惯性矩与惯性积 7 3主惯性轴和主惯性矩 7 4组合截面的惯性矩计算 7 1物体的重心和形心 重力的作用点称为物体的重心 无论物体怎样放置 重心相对于物体的位置是固定不变的 均质物体重心的坐标公式 重心的坐标公式 均质物体重心的位置与物体的重量无关 完全取决于物体的几何形状 由物体的几何形状和尺寸所决定的物体几何中心 称为形心 7 1物体的重心和形心 截面的静矩 当截面由若干简单图形组成 2 截面对形心轴的静矩为零 3 若截面对某轴的静矩为零 则该轴必为形心轴 1 截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的 固静矩与坐标轴有关 试计算矩形截面对于轴的面积矩和对于形心轴的面积矩 1 计算截面对轴的面积矩 根据公式取平行于轴的窄条面积为微面积 即 2 计算截面对形心轴的面积矩 试确定图示形截面的形心位置 解图示形截面为对称截面 截面形心必在对称轴上 取坐标系如图所示 则只需确定形心位置的坐标值 将形截面分为和两个矩形 其形心分别为和 按公式 6 8 计算形心坐标 形心的坐标为 0 162 50 7 2极惯性矩 惯性矩 惯性积 性质 1 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的 而极惯矩 是对点定义的 2 惯性矩和极惯矩永远为正 惯性积可能为正 为负 为零 3 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零 4 对于面积相等的截面 截面相对于坐标轴分布的越远 其惯性矩越大 5 组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩 惯性积 惯性半径 任意形状的截面图形的面积为A 则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为 惯性半径的特征 1 惯性半径是对某一坐标轴定义的 2 惯性半径的单位为m 3 惯性半径的数值恒取正值 三 惯性矩 惯性积的平行移轴公式 dA 在所有相互平行的坐标轴中 图形对形心轴的惯性矩为最小 但图形对形心轴的惯性积不一定是最小 试求图示三角形 1 对x轴静矩 2 对x轴的惯性矩 3 对x1轴的惯性矩 xc 试计算图示的T形截面对于对称轴z轴的惯性矩和对于垂直于z轴的形心轴y轴的惯性矩 解T形截面可视为由两个矩形 和 所组成的组合截面 1 确定组合截面的形心位置 取轴为参考轴 和分别为矩形和的形心 根据式 6 8 有 得形心点的坐标为 0 75 2 计算惯性矩 3 计算惯性矩 主惯性轴 图形对某对坐标轴惯性积为零 这对坐标轴称为该图形的主惯性轴 主惯性矩 图形对主轴的惯性矩 称主惯性矩 7 3截面的主惯性轴和主惯性矩 在下列关于平面图形的结论中 是错误的 A 图形的对称轴必定通过形心 B 图形两个对称轴的交点必为形心 D 使静矩为零的轴必为对称轴 C 图形对对称轴的静矩为零 D 在平面图形的几何性质中 的值可正 可负 也可为零 A 静矩和惯性矩 B 极惯性矩和惯性矩 C 惯性矩和惯性积 D 静矩和惯性积 D 图示任意形状截面 它的一个形心轴zc把截面分成 和 两部分 在以下各式中 一定成立 C 图a b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积 设它们对对称轴x的惯性矩分别为对对称轴y的惯性矩分别为 则 C 图示半圆形 若圆心位于坐标原点 则 D 任意图形的面积为A x0轴通过形心C x1轴和x0轴平行 并相距a 已知图形对x1轴的惯性矩是I1 则对x0轴的惯性矩为 B 设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy Ix 则二者的大小关系是 B 图示任意形状截面 若Oxy轴为一对主形心轴 则 不是一对主轴 C A 形心轴 B 主轴C 主形心轴D 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中 当 时 y z轴始终保持为一对主轴 任意图形 若对某一对正交坐标轴的惯性积为零 则这一对坐标轴一定是该图形的 B A y轴不动 x轴平移 D y x同时平移 B x轴不动 y轴平移 C x轴不动 y轴任意移动 B 杆件横截面上的应力 第八章 8 1基本概念 8 2轴向拉压杆的应力 8 3梁纯弯曲时的正应力 8 4梁剪切弯曲时的切应力 8 5梁的主应力计算 8 6应力集中的概念 应力 应变 胡克定律 应力 杆件截面上的分布内力集度 平均应力 一点处的总应力 正应力 切应力 应力特征 1 必须明确截面及点的位置 2 是矢量 1 正应力 拉为正 2 切应力顺时针为正 3 单位 Pa 帕 和MPa 兆帕 1MPa 106Pa 杆原长为l 直径为d 受一对轴向拉力F的作用 发生变形 变形后杆长为l1 直径为d1 其中 拉应变为正 压应变为负 轴向 纵向 应变 研究一点的线应变 取单元体积为 x y z 该点沿x轴方向的线应变为 x方向原长为 x 变形后其长度改变量为 x 应变 横向应变 胡克定律实验表明 在比例极限内 杆的轴向变形 l与外力F及杆长l成正比 与横截面积A成反比 即 引入比例常数E 有 胡克定律 其中 E 弹性模量 单位为Pa EA 杆的抗拉 压 刚度 G 切变模量 胡克定律的另一形式 实验表明 横向应变与纵向应变之比为一常数 称为横向变形系数 泊松比 假设 平面假设 横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布 拉应力为正 压应力为负 对于等直杆当有多段轴力时 最大轴力所对应的截面 危险截面 危险截面上的正应力 最大工作应力 8 2拉压杆横截面上的应力 横截面 是指垂直杆轴线方向的截面 斜截面 是指任意方位的截面 全应力 正应力 切应力 1 00时 max 2 450时 max 2 拉压杆斜截面上的应力 试计算图示杆件1 1 2 2 和3 3截面上正应力 已知横截面面积A 2 103mm2 例题8 1 20kN 40kN 试求图示结构AB杆横截面上的正应力 已知F 30KN A 400mm2 例题8 2 FNAB 图示直杆 其抗拉刚度为EA 试求杆件的轴向变形 L B点的位移 B和C点的位移 C 例题8 3 F 图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成 已知 300 杆长L 2m 杆的直径d 25mm 材料的弹性模量E 2 1 105MPa 设在结点A处悬挂一重物F 100kN 试求结点A的位移 A 例题8 4 FNAC FNAB 8 4纯弯曲时梁横截面上的正应力 梁弯曲时横截面上的正应力与切应力 分别称为弯曲正应力与弯曲切应力 I 试验与假设 假设 平截面假设 单向受力假设 中性层 构件内部既不伸长也不收缩的纤维层 中性轴 横截面与中性层的交线 II 弯曲正应力一般公式 1 几何条件 2 物理条件 虎克定律 3 力学条件 中性轴通过截面形心 梁的上下边缘处 弯曲正应力取得最大值 分别为 抗弯截面模量 4 纯弯曲梁横截面上的应力 弯曲正应力 距中性层y处的应力 5 横截面上正应力的画法 线弹性范围 正应力小于比例极限sp 精确适用于纯弯曲梁 对于横力弯曲的细长梁 跨度与截面高度比L h 5 上述公式的误差不大 但公式中的M应为所研究截面上的弯矩 即为截面位置的函数 6 公式适用范围 1 矩形截面 III 三种典型截面对中性轴的惯性矩 2 实心圆截面 3 截面为外径D 内径d a d D 的空心圆 长为l的矩形截面悬臂梁 在自由端作用一集中力F 已知b 120mm h 180mm l 2m F 1 6kN 试求B截面上a b c各点的正应力 压 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F 32kN 梁的长度L 2m T形截面的形心坐标yc 96 4mm 横截面对于z轴的惯性矩Iz 1 02 108mm4 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力 如图所示悬臂梁 自由端承受集中载荷F 15kN作用 试计算截面B B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力 解 1 确定截面形心位置选参考坐标系z oy如图示 将截面分解为I和II两部分 形心C的纵坐标为 2 计算截面惯性矩 3计算最大弯曲正应力截面B B的弯矩为 在截面B的上 下边缘 分别作用有最大拉应力和最大压应力 其值分别为 8 5梁横截面上的切应力切应力强度条件 一 矩形梁横截面上的切应力 1 公式推导 弯曲应力 例6 3求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布 代入切应力公式 解 将 切应力t呈图示的抛物线分布 在最边缘处为零 在中性轴上最大 其值为 平均切应力 弯曲应力 247 可编辑 二 工字形截面梁上的切应力 腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出 式中 d为腹板厚度 三 薄壁环形截面梁上的切应力 假设 1 切应力沿壁厚无变化 2 切应力方向与圆周相切 式中 A为圆环截面面积 四 圆截面梁上的切应力 式中 A为圆截面面积 对于等直杆 最大切应力的统一表达式为 弯曲应力 五 梁的切应力强度条件 与正应力强度条件相似 也可以进行三方面的工作 1 强度校核 2 截面设计 3 确定梁的许可荷载但通常用于校核 特殊的 1 梁的最大弯矩小 而最大剪力大 2 焊接组合截面 腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值 3 木梁因其顺纹方向的抗剪强度差 需进行切应力强度计算 弯曲应力 例5 4T形梁尺寸及所受荷载如图所示 已知 s y 100MPa s L 50MPa t 40MPa yc 17 5mm Iz 18 2 104mm4 求 1 C左侧截面E点的正应力 切应力 2 校核梁的正应力 切应力强度条件 弯曲应力 该梁满足强度要求 一 合理配置梁的荷载和支座 1 将荷载分散 2 合理设置支座位置 梁的合理设计 弯曲应力 二 合理选取截面形状 从弯曲强度考虑 比较合理的截面形状 是使用较小的截面面积 却能获得较大抗弯截面系数的截面 在一般截面中 抗弯截面系数与截面高度的平方成正比 因此 当截面面积一定时 宜将较多材料放置在远离中性轴的部位 面积相同时 工字形优于矩形 矩形优于正方形 环形优于圆形 同时应尽量使拉 压应力同时达到最大值 弯曲应力 三 合理设计梁的外形 等强度梁 梁内不同横截面的弯矩不同 按最大弯矩所设计的等截面梁中 除最大弯矩所在截面外 其余截面的材料强度均末得到充分利用 因此 在工程实际中 常根据弯矩沿梁轴的变化情况 将梁也相应设计成变截面的 横截面沿梁轴变化的梁 称为变截面梁 各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁 等强度梁是一种理想的变截面梁 但是 考虑到加工制造以及构造上的需要等 实际构件往往设计成近似等强的 弯曲应力 8 5梁横截面上的切应力 一 矩形截面梁的切应力 假设 1 横截面上的 方向与FS平行 2 沿截面宽度是均匀分布的 Fs Fs 横截面上的剪力 IZ 截面对中性轴的惯性矩 b 截面的宽度 SZ 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩 矩形截面简支梁 加载于梁中点C 如图示 求 max max 细长等值梁 二 工字形截面梁的切应力 横截面上的切应力 95 97 由腹板承担 而翼缘仅承担了 3 5 且翼缘上的切应力情况又比较复杂 为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力 三 圆形和圆环形截面梁的最大切应力 A为圆环形截面面积 图示矩形截面简支梁受均布荷载作用 分别求最大剪力所在的截面上a b c三点处的切应力 解 1 作出剪力图 最大剪力在A B处的截面上 2 各点处的切应力 图示外伸梁 荷载 T形截面对中性轴的惯性矩及形心位置已标在图上 试求梁的最大切应力 解 1 作剪力图 可知危险截面在BC梁段上 2 梁的最大切应力发生在梁段任意截面的中性轴处 T形梁尺寸及所受荷载如图所示 已知 s y 100MPa yc 17 5mm Iz 18 2 104mm4 求 1 C左侧截面E点的正应力 切应力 8 5平面应力状态的应力分析主应力 一 公式推导 二 符号规定 角 由x正向逆时针转到n正向者为正 反之为负 正应力 切应力 使单元体或其局部顺时针方向转动为正 反之为负 某单元体应力如图所示 其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知 互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和 600角 试求此二斜面ab和bc上的应力 在二向应力状态下 任意两个垂直面上 其 的和为一常数 主应力及最大切应力 由主平面定义 令t 0 得 可求出两个相差90o的a0值 对应两个互相垂直主平面 即主平面上的正应力取得所有方向上的极值 主应力大小 由s s 0按代数值大小排序得出 s1 s2 s3 极值切应力 令 可求出两个相差90o的a1 代表两个相互垂直的极值切应力方位 极值切应力 8 6应力集中的概念 应力集中程度与外形的骤变程度直接相关 骤变越剧烈 应力集中程度越剧烈 静载下 塑性材料可不考虑 脆性材料 除特殊的 如铸铁 应考虑 动载下 塑性和脆性材料均需考虑 理想应力集中系数 其中 最大局部应力 名义应力 平均应力 几种对应关系 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力 转向对应 半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致 二倍角对应 半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍 点面对应 转向对应 二倍角对应 2 b 试用应力圆法计算图示单元体e f截面上的应力 图中应力的单位为MPa 对于图中所示之平面应力状态 若要求面内最大切应力 max 85MPa 试求 x的取值范围 图中应力的单位为MPa 主应力和主平面 切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力 已知矩形截面梁 某截面上的剪力Fs 120kN及弯矩M 10kNm 绘出表示1 2 3 4点应力状态的单元体 并求出各点的主应力 b 60mm h 100mm 1 画各点应力状态图 2 计算各点主应力 1点 2点 处于纯剪状态 3点 一般平面状态 4点 自受力构件内取一单元体 其上承受应力如图示 试求此点的主应力及主平面 ad面 db面是该点的主平面 构件中某点为平面应力状态 两斜截面上的应力如图所示 试用应力圆求主应力和最大切应力 在应力圆上量取 平面应力状态的几种特殊情况 轴向拉伸压缩 平面应力状态的几种特殊情况 扭转 弯曲 平面应力状态的几种特殊情况 强度分析与计算 第八章 8 1容许应力与强度理论 8 2轴向拉压杆的强度计算 8 3连接件的强度计算 8 4梁的正应力和切应力强度计算 8 5梁的主应力强度计算 8 6扭转杆的强度计算 8 7组合变形杆的强度计算 8 8提高构件弯曲强度的途径 8 1容许应力与强度理论 一 容许应力与安全系数 材料丧失工作能力称为失效 材料失效时的应力称为极限应力 记为 构件在何在作用下产生的应力称为工作应力 最大工作应力所在的截面称为危险截面 容许应力 塑性材料 脆性材料 工程中各类构件的安全系数均在相关设计规范中有所规定 强度理论 第一强度理论 第二强度理论 第三强度理论 第四强度理论 第一强度理论 最大拉应力理论 使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉应力 1 只要 1达到单向拉伸时材料的强度极限 b材料将要断裂破坏 破坏条件 强度条件 该理论与均质的脆性材料的实验结果吻合较好 第二强度理论 最大伸长线应变理论 当材料的最大伸长线应变 1达到材料单向受拉破