（石油与天然气工程专业论文）随机模拟反演方法及在油气开发中的应用研究.pdf

随机模拟反演方法及在油气开发中应用研究 孙振涛( 石油与天然气工程) 指导教师：杜殿发副教授 孟宪军高级工程师 摘要 系统阐述了随机模拟反演的基本原理和方法，主要对多种克里金 方法、随机波阻抗反演和随机高斯模拟技术进行了研究，分析了直方、 变差分析中关键参数的数理基础及其对应的地质意义。随机地震反演 方法是一项用于油田开发区块，提高储层描述精度及油气识别的重要 技术。利用随机模拟与地震反演紧密结合完成的反演处理，可以得到 多种地下目的储层的岩石物性参数分布特征，其分辨能力具有同时兼 顾薄储层及厚储层的优点。在此基础上，总结了随机模拟反演方法的 六项关键技术，对地震地质标定、子波精细估算、精细模型建立和三 维随机模拟分析等进行了重点研究。应用随机模拟反演方法在垦7 l 地区进行了实际应用，反演得到了波阻抗、岩性和孔隙度结果，对储 层的识别取得了良好的应用效果，为该区的储层描述提供了一套行之 有效的方法有效的将多种地球物理信息应用到油藏建模中，取得了 较好的效果。 关键词：随机模拟反演，克里金，变差分析 t h es t u d yo fs t o c h a s t i ci n v e r s i o nm e t h o d s a n di t sa p p l i c a t i o ni no i l & g a sd e v e l o p m e m s u nz h e n - t a o ( o i l & g a se n g i n e e f i n g ) d i r e c t e db ya s s o c i a t ep r o f e s s o rd ud i a n - f a s e n i o re n g i n e e rm e n gx i a n - j u n a b s t r a c t t h i sp a p e rs y s t e me x p a t i a t et h eb a s i cp r i n c i p l eo fs t o c h a s t i ci n v e r s i o n ， m a i n l ys t u d ym u l i t y - k r i g i n gm e t h o d s 、s t o c h a s t i ci m p e n d a n c ei n v e r s i o na n d g a u s ss i m u l a t i o n s t u d yt h ek e yp a r a m e t e r so fh i s t o g r a m sa n dv a r i o g r a m s a n a l y f i sa n d i t sg e o l o g y m e a n i n g s t o c h a s t i cs e i s m i ci n v e r s i o ni sa ni m p o r t a n t t e c h n o l o g yi nt h ee x p l o i t i n gz o n eo fo i lf i e l dt or a i s ep r e c i s i o no fr e s e r v o i r c h a r a c t e r i z a t i o na n dd i s t i n g u i s ho i la n dg a s t h i si n v e r s i o nc o m b i n i n g s t a t i s t i c ss i m u l a t i o nw i t hs e i s m i ci n v e r s i o nc a ng a i nm a n yk i n d so fd i s t r i b u t i o n c h a r a c t e ro fr o c kp h y s i c sp a r a m e t e ri nt a r g e tr c s e r v o i r ，w h i c hc a l ld i s t i n g u i s h t h i nr e s e r v o i ra sw e l la st l l i c kr e s e r v o i r o nt h i sb a s e 。c o n c l u d es i xk e y t e c h n o l o g i e s o fs t a t i s t i c s n v e r s i o n ，m a i n l y s t u d i e d m a k i n gs y n t h e t i c s e i s m o g r a m 、a c c u r a t ee s t i m a t i o no f w a v e l e t 、a c c u r a t em o d e lb u i l d i n ga n d3 d s t a t i s t i c s a p p l ys t a t i s t i c si n v e r s i o nt ok e n t la r e a a c c e s s e di m p e n d a n c e ， l i t h o l o g y a n d p o r o s i t y ，i n d e n t i f i e d t h er e s e r v o i r e f f i c i e n t l y a p p l y m u l t i g e o p h y s i c a li n f o r m a t i o ni nm s e r v o i rm o d e l i n g k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cl n v e 璐i o n ，k r i g i n g ，v a r i o g r a ma n a i y s i s l i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得石油大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：一年，月必日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： ) 一，年 f 月2 萝日一 莎“名手j 月d 7 日一 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第1 章前言 第1 章前言 1 1 课题研究的意义 随着我国东部油田开发过程的深入，开采难度逐渐增加，各种提高 采收率技术的应用，对油藏基础数据的要求更加精细，所以油气田开发 工作人员越来越重视油气储层综合描述的研究。约束地震反演处理技术 是储层综合描述过程中一项重要的技术手段。该方法可以根据油气田开 发的不同阶段所具有的不同资料特点，采用灵活多样的技术手段，充分 挖掘已有各种勘探、开发所获得的地震、地质、测井等多方面资料的潜 力，为油藏建模提供准确的数据来源，最大限度地提高油气开采的精度。 本文研究随机模拟反演方法可以精确描述地下目的地层的各种岩石 物性分布及油藏属性特征，有效解决储层的精细描述问题，大大提高油 藏工程人员对地下各种构造、储层乃至油气分布特征的认识精度，为油 气田的开发方案及调整方案的设计和实现提供坚实的数据基础，降低投 资风险。是实现勘探与开发相结合的一个有效的结合点。 1 2 波阻抗反演技术的分类 地震波阻抗反演通常分为叠前和叠后反演两大类，按测井资料在其 中所起的作用大小又可分成四类：地震直接反演、测井控制下的地震反 演、测井一地震联合反演、地震控制下的测井内插外推；从反演实现方 法上可分为三大类：基于地层反褶积的直接反演方法、基于地层反褶积 的递归反演方法、基于模型修正的地震反演方法；从数学算法上可分为 两大类：线性反演、非线性反演“1 。 三种反演基本实现方法 ( 1 ) 基于地层反褶积的直接反演方法 基于这类方法的软件有道积分、v l o g 、s e i s l o g 和v e r il o g 等反演软 件，其中道积分是利用叠后地震资料计算地层相对波阻抗( 速度) 的直接 反演方法。它是在地层波阻抗随深度连续可微条件下推导出来的，因而 又称连续反演。将地震道经过积分处理，就把反映岩层问速度差异的反 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第l 章前言 射系数转换成了反映地层本身特征变化的波阻抗，可直接以岩层为单元 进行地质解释无须钻井控制，在勘探初期即可推广应用由于这种方 法受地震固有频率的限制，分辨率低，无法适应薄层解释的需要。无法 求得地层的绝对波阻抗和绝对速度，不能用于定量计算储层参数。 ( 2 ) 基于地层反褶积的递归反演方法 递归反演方法是基于反射系数递推计算地层波阻抗( 速度) 的地震反 演方法递归反演的关键在于从地震记录估算地层反系数，得到能与已 知钻井最佳吻合的波阻抗信息。递归反演比较典型的实现方法有：基于 地层反褶积方法、稀疏脉冲反演和测井控制地震反演等 递归反演是对地震资料的转换处理过程，其结果的分辨率、信噪比 以及可靠程度完全依赖于地震资料本身的品质，因此用于反演的地震资 料应具有较宽的频带、较低的噪声、相对振幅保持和准确成像。测井资 料，尤其是声波测并和密度测井资料，是地震横向预测的对比标准和解 释依据，在反演处理之前应进行仔细的编辑和校正，使其能够正确反映 岩层的物理特征。 ( 3 ) 基于模型修正的地震反演方法 基于模型地震反演方法就是从地质模型出发，采用模型优选迭代挠 动算法，通过不断修改更新模型，使模型正演合成地震资料与实际地震 数据最佳吻合，最终的模型数据便是反演结果基于模型地震反演又称 测井约束地震反演。 在薄储层地质条件下，由于地震频带宽度的限制，基于普通地震分 辨率的直接反演方法，其精度和分辨率都不能满足油田开发的要求。基 于模型地震反演技术以测井资料丰富的高频信息和完整的低频成份补充 地震有限带宽的不足，可获得高分辨率的地层波阻抗资料，为薄层油( 气) 藏精细描述创造了有得条件 随机模拟反演能综合各种定量地质信息。井下测量值通常很少，且 需要与统计地质信息一起应用，这些信息包括各种沉积特征的纵向和横 向连续性。用地球物理资料约束随机模型显然是一个较难的课题。地震 资料是潜在的主要信息源，特别在3 d 采集越来越频繁的地区更是如此。 2 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第l 章前言 它们的突出优点在于能提供连续的3 d 图像。已有实例证明，在适当的环 境下，采用传统的随机模拟技术，如外加漂移的k r i g i n g 或c o k r i g i n g 技术，以便在k r i g i n g 过程中综合应用地震资料。随机模拟是以地层反 演算法导出的声阻抗作为输入，并建立了这些阻抗与岩石物性间转换的 线性关系。随机模拟反演方法是目前分辨率较高的一种方法，能够将多 种地球物理信息综合利用，实现勘探开发的有效结合。 目前，国内外针对随机模拟反演的研究较多，应用该反演结果为油 藏建模服务的研究很少，面向开发目标的随机模拟反演的应用也较少。 1 3 主要研究内容及思路 本课题从随机模拟反演方法的基本特点及原理入手，深入研究该方 法的各种数学基础，总结这种方法的基本处理技术环节，并通过实例描 述其油藏特征，建立油藏开发地质模型，验证随机模拟反演方法的处理 效果，为油田开发方案设计及提高采收率技术的应用提供坚实的基础。 主要技术路线如( 图卜1 ) 所示 亟囹 玉堕至 认识与结论l i _ j 图卜1 研究技术路线 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 第2 章随机模拟反演基本原理 2 1 随机储层建模和随机地震反演问题的提出 在石油工业中，首次应用的随机模拟反演法是k r i g i n g 技术，用于 得到层位深度、地震速度、地层厚度、孔隙度或渗透率等岩石物理特性。 再将所得成像作为输入，在合理的位置计算油藏体积，或用于油藏模拟 程序 随着计算技术的发展，2 d 成像过渡到3 d 多相模拟已成为可能。就体 积计算而言，k r i g i n g 技术和其它基于加权平均的标准成像技术仍然是令 人满意的。不过，要建成多相模型用作流体模拟的输入，这些技术就不 适宜了。主要原因是在井间体积范围内标准映射技术获得的多相模型太 规则或太“光滑”了这些模型不能提供一个如大多数油藏所期望的那 样反映地下地质变化情况的真实图像。因此，用这样的模型做流体模拟 将出现偏差随机模拟提供了一组可能的多相模型或两井间的“模拟”， 该方法能提供一个比k r i g i n g 或标准内插技术更实际的地下地质成像。 随机模拟的优点在于能综合各种定量地质信息。井下测量值通常很 少，且需要与统计地质信息一起应用，这些信息包括各种沉积特征的纵 向和横向连续性。用间接资料，特别是用地球物理资料约束随机模型显 然是一个较难的课题。地震资料是潜在的主要信息源，特别在3 d 采集越 来越频繁的地区更是如此它们的突出优点在于能提供连续的3 d 图像 已有实例证明，在适当的环境下，我们可以采用传统的随机模拟技 术，如外加漂移的k r i g i n g 或c o k r i g i n g 技术，以便在k r i g i n g 过程中 综合应用地震资料。在随机模拟的设计中，人们提出了许多技术，这些 技术采用地震资料进行约束，这种模拟是以地层反演算法导出的声阻抗 作为输入，并建立了这些阻抗与岩石物性间转换的线性关系。不过，这 些技术只部分地考虑反演过程的不确定性为此，一些学者又提出了一 些更高级的技术，这些技术考虑了地震与油藏特征间的非线性关系，提 供了一种量化影响反演的不确定性的方法 4 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 假定仅用井中测量值通过随机模拟能勾给出声阻抗曲线。在理论上 我们可通过对比模型的地震响应和声阻抗反演结果来验证模拟结果与3 d 地震数据的一致性。如果理论记录跟实际地震数据相抵触，就不做反演。 实际上，这一技术难以应用。主要原因在于声阻抗反演计算的网格数目 太大( 通常达几十万) 。在整个油藏区域要找到一个与地震数据相容的反 演算法将花费何等巨大的机时，较现实的办法是选择建立一个局部模型， 将地震模型模拟模块与随机模拟程序结合起来 2 2 克里金方法基本原理 在确定性的储层参数建模中，往往应用插值方法对空间上每个网格 赋以储层参数值( 孔隙度、渗透率或含油饱和度) 。插值方法很多，大致 可分为传统的统计学估值方法和随机模拟学克里金估值方法，并且后者 方法插值精度相对较高。 克里金方法( k r i g i n g ) ，亦称克里金技术，或克里金( 有的学者称 克里克) ，是以南非矿业工程师d g k r i g e ( 克里金) 名字命名的一项实用 空间估计技术，是随机模拟学的重要组成部分。由予克里金技术能对变 量的空间相关性进行分析，计算出局部的最优估计，并能提供出估计误 差，因此，在石油勘探开发领域得到了广泛的应用，成为储层和油藏参 数( 如层厚、孔隙度、渗透率、饱和度和泥质含量等) 的空间估计、建模 及非均质性分析的有力工具。 克里金方法主要应用变差函数或协方差函数来研究在空间上既有随 机性又有相关性的变量( 即区域化变量) 的分布。从井剖面中获取的储层 参数如孔隙度、渗透率、流体饱和度、泥质含量均为区域化变量。克里 金估值，是根据待估点周围的若干已知信息，应用变差函数所特有的性 质，确定待估点周围的已知数据点的参数对待估点的贡献( 即加权值) ， 然后对待估点的未知值作出最优( 即估计方差最小) 、无偏( 即估计误差的 数学期望为0 ) 的估计，即最佳线性无偏估计圆。 2 2 1 区域化变量理论 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 能用其空间分布来表征一个自然现象的变量叫区域化变量。区域化 变量是克里金技术应用的理论基础它的内容在于利用随机函数理论来 解决有关的问题：分析和处理观测数据，建立统计关系，求取估计方差 在应用过程中，通过区域化变量理论在观测数据和随机函数之间建 立起联系，从而，对观测数据的分析和处理可转化为对相应随机函数的 研究，观测数据的性质及其所表征的变量空间分布特征则可用随机函数 的统计量表达出来。 一些常规的取样手段( 如钻井、测井或地震) 的处理结果可作为区 域化变量的观测值。这些观测值及其所显示的各个局部异常的特点，在 一定程度上可以表示出区域化变量在区域上的变化特征和趋势，再加上 所表征的自然现象所具有的某种连续性，因此，区域化变量具有空间结 构特征。另一方面，由于观测数据本身的特性各异以及观测过程中的误 差和随机因素，区域化变量具有随机性的特点。因此，区域化变量是结 构性和随机性的有机结合 在统计模式的建立过程中。需要把空间一点毛处的观测值z ( x ) 解释 为在空间该点处的一个随机变i z ( x ，) 的一个随机实现，这样，在空间各 点处定义的随机变量的集合就可以构成一个随机函数z ( x ) 。因此，表征 z ( x ) 的空间变异性的问题就转化为研究随机函数z ( x j ) 在各点处的各个 随机变量z ( x ，) 和z ( x ，) 之间的相关关系的i n - j 题。 ( 1 ) 如果随机函数z ( x ) 的分布函数有个期望值，这个期望是x 的 函数，则为z ( x ) 的一阶矩，记为 研z ( x ) 】- 朋( 功 f 2 - 1 、 ( 2 ) 如果z ( x ) 的方差存在，就将随机变量z ( x ) 对于其期望值m ( x ) 的中心二阶矩定义为方差，即 陆【z ( x ) 】- 昧z - r e ( x ) ) 2 】 ( 2 - 21 ( 3 ) 如果随机变量z ( x 1 ) 和z ( 如) 都有方差，那么其协方差函数也 存在，它作为z ( x ) 的混合二阶矩是两个位置毛和 的函数，可记为 6 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 c ( x t ，x 2 ) = e ( z ( x 3 一所( 墨) ) ( z 2 ) 一m ( 工2 ) ) 】 ( 2 - 3 ) ( 4 ) 当随机函数z ( x ) 满足如下条件时，称之为是二阶平稳，即 它的数学期望存在且与x 无关： 研z ( x ) 】= m ( 2 4 ) 式中，m 为一个与z 无关的常数。 对每一个随机变量z ( z ) 和z ( z 十a ) ，其协方差存在且平稳，仅依赖 于两点间的距离a ，而与z 无关： c ( x + ，x ) = c ( 功= 研z ( x + 1 1 ) z ( x ) 卜m 2 ( 2 5 ) 式中，a 为三维空间的一个向量。 ( 2 - 5 ) 如果随机函数不满足- - 骱r 平稳假设，在实际应用中可适 当放宽条件。若随机函数满足以下条件，称之为满足内蕴假设或称本征 假设( i n t r i n s i ch y p o t h e s e s ) ： a 在整个研究区内满足 e z ( x + ) 一z ( x ) 】= 0 ( 2 6 ) b 三维空间的向量_ i ，增量【z o + | 1 1 ) 一z ( x ) j 具有一个与z 无关的有 限方差 v a r z ( x + h ) 一z ( x ) 】= 研( z ( 工+ 一z ( 工) ) 2 】= 2 7 ( h ) ( 2 - 7 ) 2 2 2 变差函数 ( 1 ) 基本概念 7 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 变差函数是区域化变量空间变异性的一种度量，反映了空间变异程 图2 - 1 变差函数图 度随距离而变化的特征。变差函数强调三维空间上的数据构形，从而可 定量地描述区域化变量的空间相关性，即地质规律所造成的储层参数在 空间上的相关性。它是克里金技术以及随机模拟中的一个重要工具。 设z ( 力是一个随机函数，如果差函数【z + _ 1 1 ) 一z ) 】的一阶矩和二 阶矩仅依赖于点善+ h 和点j 之差入( 即z ( 功为二阶平稳或满足内蕴假 设) ，那么定义这一差函数的方差之半为变差函数，( ) ，或称半变差函数 ( 3 0 简明起见，后文均称变差函数) ，即 ，( 而) = l 2 v a r z ( x + 一z ( x ) 】 ( 2 8 ) ，( ) = 1 2 e z ( x + 一z ( 瑚一研z o + 一z 0 ) 】 2 ) ( 2 9 ) 式中x 为空间中的一个点：j l 为其中的一个向量 当z ( 曲是一阶乎稳时，变差函数可写成 ，( 矗) = l 2 e z ( x + 彬- z ( 瑚2 ( 2 1 0 ) 变差函数r ( h ) 随滞后距( l a g ) h 变化的各项特征，表达了区域化变量 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 的各种空间变异性质，这些特征包括影响区域的大小，空间各向异性的 程度，以及变量在空间的连续性这些特征可通过变差图( 变差函数，( ) 随h 的变化图) 的各项参数，即变程( r a n g e ) 、块金值n u g g e t ) 、基台值 ( s m ) 来表示( 图2 - 1 ) 。 各项参数的物理意义如下： 变程：指区域化变量在空间上具有相关性的范围。在变程范围之 内，数据具有相关性；而在变程之外，数据之间互不相关，即在变程以 外的观测值不对估计结果产生影响具体来说，假如某种属性在空间上 憎 饥 o j o 嘣 m 图2 - 2 具有不同变程的克里金插值图像( 变程越大，变量的空间相关性越大) 是各向同性的，也就是说，在各个方向上的变化二致，那么，以某一观 测点为球心，以变程为半径画一个球体，该观测点和球体内的所有其它 数据相关；反之，超出这个范围的数据与这点无关。因此，变程的大小 反映了变量空间相关性的大小，变程相对较大意味着该方向的观测数据 在较大范围内相关，反之，则相关性较小( 图z 一2 ) 。图中三幅图像的变程 不同，则图像的空间相关性也不同，如图像( 2 2 a ) 变程最小，其空间相 关性也最小，图像( 2 - 2 c ) 变程最大，其空间相关性也最大。在对区域化 9 管_- 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 变量进行克里金估计时，变程把所有的观测值分为两类：观察点与待估 点距离小于变程的观测值能对估计提供信息，变程之外的观测值不为估 计提供信息，即和待估点是不相关的。因此可见，变程是随机模拟学中 一个十分重要的参数。 块金值：变差函数如果在原点间断，这在随机模拟学中被称为“块 金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性，它可以由测量误 差引起，也可以来自矿化现象的微观变异性在取得有效数据的尺度上， 这种微观变异性是不可得到的。在数学上块金值相当于变量纯随机性的 部分。如果无论 多么小，两个随机变量都不相关，这种情况称为纯块金 效应。 基台值：代表变量在空间上的总变异性大小，即为变差函数在久大 于变程的值，其为块金值和拱高之和。所谓拱高，为在取得有效数据的 尺度上，可观测得到的变异性幅度大小当块金值等于0 时，基台值即 为拱高。 ( 2 ) 变差函数在近原点的形状 变差函数在近原点的形状，提供了区域化变量的空间连续性和规律性 的度量。按变差函数在原点处的形状可分为四种类型，每种类型反映了 变量的不同程度的空间连续性。 抛物线型：亦称连续性。变差函数在原点处趋向为一条抛物线( 图 2 - 3 a ) ，反映变量具有高度的连续性，如地层厚度。 线性型：变差函数在原点处趋向为一条直线，或者说在原点处有 斜向的切线存在( 图2 - 3 b ) ，反映变量具有平均的连续性，表现了一种较 连续的空间变异性的特点； 间断型：变差函数在原点间断，不连续，具有块金常数( 图2 - 3 c ) ， 表现为在很短的距离内具有较大的空间变异性当滞后距变大时，变差 函数又可变得慢慢连续了。 随机型或称“纯块金效应型”。无论而多么小， 总大予0 ，即无 论h 多么小，z ( 曲与z o + 总不相关( 图2 - 3 d ) 这种纯块金效应型反 映了变量在空间上完全不相关，或者说反映了变量是经典的随机变量。 1 0 中国石油大学( 华东) 工稃硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 图2 - 3 变差函数在原点处的形状 a 一抛物线型；b 线性型：c 一间断型；d 一随机型 ( 3 ) 变量的各向异性 不同方向的变差函数可反映变量的各向异性特征，包括有无各向异性 及各向异性的类型。如果各个方向的变差图基本相同，则为各向同性， 否则为各向异性各向异性的特征主要通过交程和基台值来反映。如 图2 - 4 所示，由于两个图像在垂向和水平方向上的变程均有差异，导致 图像形态有很大的差别，其中图像a 的水平变程小于图像b ，其垂向变程 又大于图像b ，导致两个图像的目标物体的几何形态截然不同。 一一 图2 - 4 各向异性的实例 各向异性又分可为几何各向异性和带状各向异性。如果变差函数在空 i 曩囊 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 间各个方向上的变程不同，但基台值不变( 即变化程度相等) ，则称其为 几何各向异性图2 5 ，这种情况能用一个简单的几何坐标变换将各向异性 结构变换为各向同性结构。如果不同方向的变差函数具有不同的基台值， 则称为带状各向异性图2 - 6 ，其中变程可以不同，也可以相同。这种情况 不能通过坐标的线性变换转化为各向同性，因而结构套合是比较复杂的。 7 l 崎 图2 5 几何各向异性 a 几何各向异性交程图；卜二维几何各向异性的变程椭圆图( 方向变程图) f l t 图2 - 6 两个方向带状各向异性图 a 一不同变程不同基台值；b 相同变程不同基台值 ( 4 ) 理论变差函数模型 下面列出五种最常用的理论变差函数模型： 1 1 b 中国石油大学( 华东) t 程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 球状模型：由一个真实变程“和正的方差贡献或基台值c 来确定。 朋) ：c 5 p h ( h ) ：p 5 圳沪o ：5 伪，口) 1 加如 ( 2 _ 1 1 ) a ic ，矗 口 式中c 一基台值； 碱程； 滞后距。 接近原点处，变差函数呈线性形状，在变程处达到基台值。原点处变 差函数的切线在变程的2 3 处与基台值相交( 图2 7 ) 。 置一 图2 - 7 三种有基台值的理论变差函数模型 指数模型：由一个真实变程0 ( 有效变程a 3 ) 和正的方差贡献c 来确定。 ，( ) = c e x p ( h a ) = c 【1 一e x p ( 3 h a ) 】 ( 2 - 1 2 ) 变差函数渐近地逼近基台值。在实际变程“处，变差函数为0 9 5 c 。 模型在原点处为直线( 图2 7 ) 。 高斯模型：由一个真实变程。和正的方差贡献c 来确定。 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 ，( 矗) = c t l e x p ( 弋3 ，2 ) 】 ( 2 一1 3 ) 变差函数惭近地逼近基台值在实际变程a 处，变差函数为0 9 5 c 。 模型在原点处为抛物线( 图2 - 7 ) 。为一种连续性较好但稳定性较差的模型。 幂模型：由一个幂值0 2 和正的斜率e 来确定。 r ( h 1 = c h 。 ( 2 - 1 4 ) 幂模型为一种无基台值的变差函数模型这是一种特殊的模型。当 参数i f 改变时，它可以表示原点附近的各种形状( 图2 - 8 ) 图2 8 幂函数模型 当r = 1 时，变差函数为一直线，即为线性模型，这一模型即为著名 的布朗运动( 其随机函数的理论模型为随机行走过程) 的变差函数模型 r ( h ) = c h ；当 ，l 时，变差函数为抛物线形状，为分数布朗运动( f b m ) 的变差函数模型 空洞效应模型( h o l ee f f e c t ) ：由到首项的距离8 ( 旋回特征的大 小) 和正的方差贡献c 值来确定 y ( 功= c 【1 o - c o s ( 2 n h a ) 】 ( 2 1 5 ) ，( = c 1 一懿p ( _ 3 _ l l ，c o s ( 2 刀h a ) 】 ( 2 1 6 ) 变差函数并非单调增加，而显示出于定周期性的波动( 图2 - 9 ) 。模 型可以有基台值，也可以无基台值；可以有块金值，也可以无块金值。 空洞效应( h o l ee f f e c t ) 在地质上多沿垂向上出现，如砂岩与泥岩频繁薄 互层等 “ 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 口 图2 - 9 空洞效应模型 ( 5 ) 结构分析 通过区域化变量有限的空间观测值来构建相应的理论变差函数模型， 以表征该变量的主要结构特征，即为区域化变量的“结构分析”。结构分 析是随机模拟学研究的第一步，也是非常重要的一步。在结构分析的基 础上，才能作进一步的随机模拟学研究，如克里金估值、条件模拟等。 结构分析不仅需要对所研究的区域化变量的地质特征有基本的认识，而 且要求在选用各种随机模拟学工具方面有一定的技巧和经验。这一方面 增加了工作的复杂性，另一方面也使地质家能加入自己的认识和经验。 这也正是克里金技术区别于其他方法的特点所在。结构分析一般包括以 下几个方面： 数据准备：包括区域化变量的选取、数据质量检查及校正、数据 的变换( 如对渗透率进行对数变换) 、数据的统计( 如分相对储层参数计算 平均值、方差，作直方图、相关散点图等) 等。 实验变差函数的计算：实验变差函数，o ( 而) 是指应用观测值计算的 变差函数。对于不同的滞后距h ，可算出相应的，+ ( ) 。在h 一厂( ) 坐 标图上标出各点( h ，y ( ) ，再将相邻各点用线段连接起来，便可得到 实验变差函数图。在，( ) 的计算中，可利用的数据对越多，则算出的变 差函数的代表性越强，可靠性也越大；如果可利用的数据对太少，则算 出的变差函数值不太可靠，也没有多大实际意义。一般规定，沿某一个 方向的滞后距最小为点问的平均最小距离，最大不能超过列线长度的一 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论支第2 章随机模拟反演基本原理 半，以保证计算时有足够的数据对 理论变差函数的最优拟合：在实验变差函数图中，+ ( 点相对较 离散，因而需要拟合出一条最优的理论变差函数曲线。在最优拟台时， 应选择合适的理论变差函数模型，同时还需进行结构套合，从而得到一 条反映不同层次( 或不同空间规模) 结构的、统一的、最优的理论变差函 数曲线。 变差函数参数的最优性检验：变差函数是否符合实际，应该进行 检验。一种实用的校验方法为“交叉验证法”，检验标准是在各实测点根 据周围点计算的克里金估计值与该实测值的误差平方平均最小。估计误 差的平方与克里金估计方差之比越接近于l ，则说明变差函数与实际的符 合程度越高。实际上，这种方法在检验变差函数的同时，也在检验所使 用的克里金估计方法的适用性。 在结构分析过程中，应充分考虑研究区的地质特征。在计算实验变 差函数之前，应首先了解地质情况；在构建出理论变差函数之后，应对 其进行初步的地质解释。一般地，对于同一区域化变量来说，相似的变 差函数表明相似的地质成因，而完全不同的变差函数则说明其地质成因 截然不同。较长的变程和较小的基台值意味着地质变量具有较大的空间 连续性，而且变化平缓。 2 2 3 克里金估计 克里金估计是一种进行局部估计的方法它所提供的是区域化变量在 一个局部区域的平均值的最佳估计量，即最优( 估计方差最小) 、无偏( 估 计误差的数学期望为0 ) 的估计克里金估计所利用的信息，通常为一组 实测数据及其相应的空间结构信息应用变差函数模型所提供的空间结 构信息，通过求解克里金方程组计算局部估计的加权因子即克里金系数， 然后进行加权线性估计这样，采用克里金系数进行的局部估计就充分 考虑了空间数据的结构性和随机性，从而使克里金方法优越于其它的一 些传统的统计方法如距离平方反比加权和三次样条等插值方法。下面以 普通克里金为例说明克里金的估值方法 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 设x 。，而为区域上的一系列观测点，z ( x 。) ，z ( x a 为相 应观测点处的随机变量。区域化变量z ( 曲在处的随机变量z ( x 。) 可采 用一个线性组合来估计： z ( x o ) = 旯z ( 一) ( 2 1 7 ) 式中，五为权系数。 从上式可知，求取的关键是利用统计模型确定z ( ) 的值。无偏性 和估计方差最小被作为选取元的标准，即 e z ( x o ) - z ( x o ) 】= 0 e ( t z 。( 粕) 一z ( x o ) ) 一e ( z ( 茸o ) - z ( x o ) ) 】2 ) = e 【( e + ( ) - z ( x o ) ) 2 】= m i n ( 2 1 8 ) 从这两个关系式可推导出求取元的克里金方程组。首先，从二阶平 稳假设出发，可知e z ( 曲 为常数，有 e z ) - z ( x o ) l f f i 砭丑z “) 一z ) 】- ( ) 掰一埘= 0 可得到关系式： 丑= l 从估计方差最小出发，可利用拉格朗日乘数法得到： - h 导- zb e ( z ) 一z ( ) ) 2 卜和杰以】= 0 1百。 进一步推导可得到一+ 1 阶的线性方程组，即克里金方程组： 当随机函数不满足二阶平稳，而满足内蕴假设时，可用变差函数，( ( 来表示克里金方程组如下； 1 7 9 2 鼻 窜 ，、， 一 c = = 叫。 丑 一 t c 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 f 一) 丑一= y ( x o x j ) ，= l ，。j l 。 ( 2 2 0 ) 丑= l j - l 通过求解上述方程组，可得到一系列五( i = l ，疗) 据此可求解估计 点的克里金估计值。最小的估计方差，即克里金方差可用以下公式求解： 霹= c ( x t - x o ) + z - c - x o ) ( 2 2 1 ) 或用变差函数表示： 鄙= ，( t - x o ) + u - r ( x , 一x o ) ( 2 2 2 ) 2 3 克里金基本方法 常用的克里金方法包括简单克里金( s k ) 、普通克里金( 0 k ) 、协同克里 金( c k ) 下面就对上述几种克里金方法进行简单的介绍。 2 3 1 简单克里金( s i m p l ek r i g i r i g ) 在实际应用中，简单克里金是一切克里金方法的基础，在此主要介绍 其数学原理如果研z o ) 】= m 为已知常数，令：】， ) = z ( x ) 一r f ，则 e l y ( x ) 】- 0 ，其协方差研r ( x ) m ) 】= c ( x ，y ) ，所以，求对互的估计值 现已转化为对e 的估计，且有： 昂= i 1f y ( x ) d x = 古f z ) 出一m = 乙一所 ( 2 2 3 ) 其估计量为： 彬= 五z 其中 z = z ：一r f l 因此，只要求得e 的估计值巧，就能得到互的估计值z ：、f 各是 1 8 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 的无偏估计量，且小需要任何条件，这是因为： e ( 巧) = 丑e ( r ) = 五e ( 互- m ) = 0 因此，e ( 巧) = e ( y ) ，巧是e 的无偏估计量。 为了求出使估计方差口。2 = 研一f 】2 为最小时的权系数 o = 1 ，疗) ， 首先要求出估计方差的表达式： 篚= e y v 一形】2 = 研彤卜2 e y v 形】+ 研昂2 】 = 吉f f 研y ( x ) 】，( y ) e x d y 一2 喜 专f e 【y ) y ( 列出 + 乃e 陬t ) r q ) 】 = 矿1 ff c ，) 出方一2 喜 吉f c ( x ) 出+ 善n 蕃n 丑t c ( _ ) 酲= 石( 矿，矿) 一2 己( 而，矿) + 乃c “，_ ) ( 2 2 4 ) 其中虿= ( 矿，功表示协方差函数在待估域矿上的平均值。 为了使盯；达到最小，按照求极值的方法，对( 2 2 3 ) 式的各个 求 偏导数，并令其为0 ，则有： 等“酝肼2 喜懈咿。 ，卅) 于是得到简单克里金方程组： 芝：丑c ( t ，工，) = c ( 一，y ) ( f = l ，一) ( 2 - 2 5 ) 从这个方程组中解出名，u = l ，刀) ，即为所求的简单克里金权系数， 它必定满足最小方差无偏估计的要求。 将式( 2 2 4 ) 两端均乘以 ，并对i 从i 到疗求和，则有； 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 窆窆五乃a ，_ ) ：窆五否( 而，n ( 2 2 6 ) i l j i j - i 将方程( 2 2 5 ) 代入方程( 2 2 6 ) ，则得到简单克里金方差的计算公 式： 0 1 2 = 弓( 矿，矿) 一 否o ，功 ( 2 2 7 ) # - 1 在方程( 2 2 4 ) 与方程( 2 2 7 ) 中，估计方差的记号不一样方程( 2 - 2 4 ) 表示偏估计量的估计方差，不能保证估计方差最小；故用记号盯；方程 ( 2 - 2 7 ) 是在确保估计方差最小的前提下推导出来的，它是克里金方差， 故用记号盯；同时方程( 2 2 4 ) 与方程( 2 2 7 ) 中的a ，( _ ，= l ，厅) 的意 义也不一样。方程( 2 2 4 ) 的 是未确定的，而( 2 2 7 ) 中的丑是确定 的。 从方程( 2 2 5 ) 解出丑后，即得到的简单克里】：金估计值： 巧= 乃巧 ( 2 2 8 ) - i 此时z ，的简单克里金估计量为： h z = 胂+ 巧= 埘+ 乃弓= 肘+ 乃( 乙- m ) j - ij - i 故有： z ：= 乃乙+ m ( 1 - 乃) ( 2 2 9 ) j - ij - i 上式就是简单克里金法的基本数学原理，在这个基础上，为了适应 不同的问题，根据不同的假设，逐渐发展起来多种克里金方法。 2 3 2 普通克里金( 0 r d i n a r yk r i g i n g ) 普通克里金是简单克里金( s k ) 的最常用的变化形式与简单克里金不 同的是，普通克里金的研z ( 瑚= 肘为未知常数。通过限制所有的权值 之和为1 ，它将均值从sk 估计值中过滤掉了，因而无需考虑平稳均值的 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 先验知识。普通克里金随机函数z ( 功服从二阶平稳假设。由此可推导其 中所有的权值之和为： = 1 l - i 根据克里金估计方差最小的原则，利用拉格朗日乘数法可推导得到 以下o k 克里金方程组： c c x f 一) 一p = c ( x o x j ) 。 ( 2 3 0 ) 丑= l 1 = 1 区域化变量z ( x ) 的普通克里金估计值为： z ) = 丑z ( 而) f - t 在实际的应用中，对一阶平稳假设的理解是正确使用好0 k 方法的一 个重要方面。由于一阶平稳假设要求空间随机变量在任何一点的期望值 为一个常数，而实际上无法得到某一点的期望值，因此，在o k 系统中， 仅仅是使用了一个可计算误差和误差方差概率模型，并通过平稳假设来 建立求取克里金加权系数的方程组来保证其平均估计误差为0 以及误差 方差最小。 2 3 3 协同克里金( c o - k r i g i n g ) 在前面所讨论的两种克里金方法中，所有的估计方法都是对单变量的 估计。事实上，一个数据集往往包括多个变量，即不仅有研究人员感兴 趣的初始变量，还有一个或多个二级变量( 如测井声波时差或地震波阻 抗) ，这些二级变量和韧始变量往往在空间上是交互相关的，它们包含了 初始变量的有用信息，因此在估计中需要加以考虑，协同克里金的方法 由此产生。 协同克里金的估计方法利用几个变量之间的空间相关性，对其中的一 个或几个变量进行空间估计，可以提高估计的精度。采样点的数目不足 2 1 中国石油大学( 华东) 工程硕士学位论文第2 章随机模拟反演基本原理 的情况在油藏描述中是经常遇到的，井比较少，资料不全不准都是造成 这种情况的原因在被估计变量的观察数据较少的情况下，可利用协同 克里金的方法用其相关变量的信息进行弥补，以保证其估计精度。下面 讨论一个初始变量和一个二级变量的协同克里金的估计形式。 协同克里金估计的初始变量和二级变量的线性组合形式如下： 五= 口，而+ 岛乃 ( 2 3 1 ) # - i j - i 式中 五为随机变量z 在位置0 处的估计值；而，分别为初始变量 的n 个样本数据；y t ，分别为二级变量的四个样本数据；嘶，和 届，以为需要确定的协同克里金加权系数 对于估计误差可表示为： 震= 乏一乙= 而+ 岛乃一z o 式中，石为随机变量z 在位置。处的估计值；z o 为随机变量z 在位 置0 处的取样值。 协同克里金估计系统的建立和其它克里金系统的建立方法是大同小 异的。利用克里