（基础数学专业论文）k曲面上hcmu度量的存在性问题.pdf

摘要 e c a l a b i 引入的e x t r e m a l 度量是近年来复几何中的一个重要对象陈 秀雄在推广经典的单值化定理的过程中，将它的研究推广到k 曲面上，也 就是带有奇点的黎曼面。我们这里所研究的k 曲面上的h c m u 度量，是 e x t r e m a l 度量的一种非常重要的特殊情形，它有许多重要的几何性质。陈和 吴在 6 】中从内部结构着手，研究h c m u 度量的组成单元，并由此得到在球 面情形下的存在定理。本文继续研究h c m u 度量在一般k 曲面上的存在 性问题，我们将从两方面论述这个问题第一章介绍h c m u 度量的定义及 基本性质，并主要研究了它的基本组成单元f o o t b a l l 的的方程，我们显示的 写出了它的解第二章中我们采取构造性方法，给出高亏格k 曲面上的一个 存在性定理。第三章则是通过研究奇点周围奇性的性质，详细阐述了在球面 和环面上任意h c m u 度量的存在性的一个充要条件，我们将显示的给出这 个条件 关键词：k 曲面，奇点，h c m u 度量，f o o t b a l l l l l 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：盔量姿 2 咖7 年岁月z g 冒 致谢 本文是在陈卿和陈秀雄两位教授悉心指导下完成的陈秀雄教授和陈卿 教授给予我在几何分析方向的最初启蒙。两位教授始终以认真严谨的治学态 度影响着我三年的硕士研究生学习生涯，并在此期间给予我无私的关怀和学 术建议及指导，并在我情绪低落时给我很大嚣鼓励，这里我要衷心的感谢两 位教授对我的帮助。 同时，我要感谢我的师兄吴英毅，在我困难时，他给了我很多学术上的帮 助感谢我的两学孙陶牛，魏靖和筛弟严亚军，孙嵩，和他们一起的数学讨论， 给了我很多帮助，弥李 、了我的许多不足我还要感谢我的同学贾晓红，吴志 伟，樊砾，阎璐以及数学系的黄稚新老师，张韵华老师，张伟老师，他们在我 研究生三年生活期闻，给予过我许多帮助稻支持 最后，我要感谢我的父母和家人这些年对我的支持和鼓励! 谨以此文，感谢所有曾经帮助和关怀过我的人 第一章前言 令m 为一个光滑黎曼曲面，踟是耐上的一个稳e r 武t e 度量。我们考 虑在与鳓共型等价的所有度量维成的空间中，对c a l a b i 能壁泛薅e ) 作 变分，它的一阶变分的驻点就称为e x t 糟m a l 度量。e a l a b i 的个缀典结果告 诉我髑，娄嫠是无边黎曼趣蟊时，e x 毫糟m 越度爨就是常夔率度鲎，秀了研究 有边瀛形，陈秀雄隧矮在f 4 】嘲的工作中将e x t r e m a l 度量的研究推广到k 曲面上，也就是带有奇点的黎曼曲面 首先我们介绍k 翘蟊的定义+ 绘定一个紧致秃边、可定向靛巍滑黎曼魏 西掰，坂啦鳓，椭， ( 镪 ，= 王，2 ，嚣) 表示襁应予掰熬k 叠蠡嚣。黎曼 度量岔在k 曲面蚴m 上光滑，是指它满足如下两个条件： 1 p 在除奇点妇l ，纯，。， 以外的地方光滑； 2 ，对于任意的i 租，2 ，砖，度量譬在裁处有奇角度豁蕊。 注记1 1 这里奇角度的定义是指，在鼽的一个领域内，存在复坐坐标系 致名) ( 2 蕊) = o ) ，使得 夕l c ，= ( 嚣，虿) i _ 三_ 豪j 焉i d 搿1 2 - ( 1 1 ) 其中， 是矿上是威的连续函数，且在扩 o 上光滑。 类儆逸，绘定k 鼗瑟磊垂& ；撒，罐。 上面鹣一个光滑度蠹驹，我稍可以 x 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第7 页 第一章前言 然后我翻将，上 翔和霹；，护上的张粘合在= 警，簧， 上譬 船和霹l ， 上的p ；芦合在一起，以夏蹄，上的p l 和簧， 上的p l 粘 合起来。最后就得到了一个只有一个鞍点且角度为6 7 r 的灯c m u 度量，并 且它还有s 个角度为耳的奇点 2 7 霉中国科学技术大学硕士肇韭论文 第l q 凝 第二章关于高亏格k 曲面上的h c m u 度量 图2 。2 ：再一次操作 最后我们依次把艰。，弘，上的弧鼽+ 1 与兕叭，挑+ 。，上的弧鼽+ 1 粘在 一起，g = l ，y ? 同时，依次把躁；，弘 上的弧岱+ l 与；，蜘 上的弧 舔+ l 粘在一起，一王，惫+ 王；褥到了一个只有一个鞍点q ( q l = q 2 一 矾一马= = 鼎+ 1 ) 的日伽矿度量，且在鞍点处的角度为2 7 r 口。这个 日洲u 度量有一个角度为2 丌执极小值点j 以及2 7 n 个角度分别为 2 耳魏，2 弼鸯+ 2 ，2 霄瓢的极大值点。 步骤2 ，洽好有碧个鞍点的胃锄彳扩度量的构造， 我们将要构造恰好有两个鞍点的嬲m u 度量，且在鞍点处的角度为 2 霄& l 和22 万2 ，陋l 和嘞都是偶数，并且这个翡面的亏格为监# 王一王， 首先，选詈+ 1 个如d 阮玛路。，影， ，搬 ，躁斗+ l 翟挈+ ：) 他们阀 样满足 詈一l ， 怒= 考 ( 2 5 ) 鞔 弩la 媳j )z l 。 对任意的l ，歹 i ，2 ，警+ 王。 注记2 3 以后步骤和过程中选用的，d d 幻甜；都满足命题名的条件，即都满 足( 髦5 ) 式 我们按照步骤j 的方法，把这警王令知p 痨8 露粘合在一起( 这里取 d = 敬l ，7 = 警+ 1 ) 得到了第一个鞍点q ( q 1 一= q 盘，十1 = 最= 一 只。) ，且角度为2 7 r 暾1 ，同时我们得到2 个极大值点b ，b 掣+ 1j 一个极小值 点a 见图2 雪 八 一陌状w 一一q 鹭 八抄腌陌w 0 一 胁划如瓢貅厩籼 2 ? 霉 中匿辩学技术大学颈士毕韭论文第i i 贾 第二窜关于高亏格k 曲面上的h g m u 度量 b i ；睁一一= d e n o i e i t b 、 a ：螋竺二：夕渊 a = a 2 = ；a o 【2 + i ( d e n o t ena ) 图2 。3 ：前警十1 个f o o t b a l i 的粘合 剪 从 到 同时，再选出警一1 个如d 沈握警+ ，“譬嚣+ ，+ ； ，i = 王，2 ，警一王；把 躁鼯+ ，十，驴等+ 。+ ； 从君等+ l + i 剪到反，得到两射瑶同的弧? 簦“l ，锃弹2 i 接着 隶从以器+ 1 二剪到g ，也得到两制目同的弧：地，仇+ 1 j 庇e 化i 一1 ，2 ，警一 1 向警+ 3 = 让1 ；口警+ l 。u 1 ) 最后我们把这些知移k 露按照之前的方法依次全部粘合在一起。记r 一 鼍产见图2 4 这样我们用壁峙救个如d 拍位f f 得到了一个有2 个鞍点的肠彳矾且角 度分别为2 霄l 和2 霄& 2 ；并且有j 个角度为2 霄- 轨的极小值点；一个 角度为2 霄f 尹觏的极大值点 步骤3 侑歹。个鞍点的日伽u 度量的构造， 假设q l ，q 2 ，a n 满足条件 偿矽n 砌偿纠我们要构造有如个鞍点的日伽度量，且底流形的亏格 刚、；101f， 八斟w 呤 舡 一 将刖。嘴 煞触蚋浯 ；=：；：弧耕融黧螂撕膨懈扪删慨删 九得如琳耽一一 2 7 笨中国辩学技术大学颈壬毕盐论文第1 4 页 第二章关于高亏格k 曲面上的珏g m u 度量 登( 饿一王) 个如z k 嚣粘合得到了最后两一嚣。一1 个鞍点，同时又产生了 1 0 2 角 ，( q t 一1 ) 一夕+ 1 ) 1 最终，我们一共用了口= ( 抛一1 ) 一窖十王) 个如口确岱秘来构造了一 l 燃1 t = = ，o 个黎曼面m 上具有如个鞍点的删度量。它有口+ ( 啦一1 ) 一2 局部极值点，角度分别为2 万q l ，2 霄，和一个局部极小缢点，角度为 2 7 r & l ，2 7 ，2 7 r 鲰。代入( 王4 ) 知，它的欧拉示性数x ( m ) = 2 2 箩 步骤4 阿格为夕的曲面呐，q 。) 的尉叫u 度量的构造， t = 矗 令= ( 戳一王) 一匆+ 王。由步骤冀我锅已经土掬遗了一仓具有个 鞍点的日c 掰矿度量，且底流形的欧拉示性数为。这个度量有j o 个鞍点，且 角度分别为2 丌q 1 ，2 7 r 0 2 ，2 7 r i 一个极小值点，角度为2 7 r 玑j 以及 知= l 岔+ l 个极大值点，熊发分舅为2 霄名是，争2 露戤，l = 窖2 ，箩3 ，r i 这些角度满足， 里：墅 l ，一= 一) 1 醵 骆怒= 考川l ，2 ，娜 ( 2 7 ) 下面我们要调整，龇使得度量符合要求。 不失一般性，我们设口竹= m i 咒奄 8 角) 并令s = 一一两一1 ) 。由例 式，：冬= 一弦手2 2 窖， = l 我们令 +一一 瓯 时。 i l 0 鼠 丌 为剐分鹿角个 ，占o 仇啦火靠副做 2 7 霉咚满辩学技术大学硕壬华监论文第王5 贾 第二章关于高亏格k 褊面上的h c m u 度量 庇29 + 2 ，夕+ 3 ，佗一歹。一l ( 2 8 ) 惫= 豫一两，2 ，t 这表示恰好存在s 个光滑的k 的极大值点盘o ，对应的角度为纨 琵= 魏一 b ，t ) 。 未确定角度戤，t = l ，2 ，2 夕i 以及娠，惫一1 ，2 ，r 要满足 z 。哟o + l = 0 容易地地，方程矗移有一个解 仁 国+ 1 ) ； 孟= l ，2 ，夕+ 1 j k 一茹蠢；是= 圭，2 ，r 8 i o j o + l ( 2 。9 ) ( 2 1 0 ) 显然，上述的解不是唯一的：任意满足z 七一+ l 的数戤，i l ，2 ，2 碧 都是上述线性方程的解。 至此，我们已经在一个亏格为夕的黎曼曲面上构造出了个符合题意 的h c m u 度量。 _ 注记2 4 给定满足要求的角度后，如果任意给定一个黎曼曲萄( 膨，了) ，了是 篮上酌复结镌。根据定理2 。j ，存在一个黎曼溺薅n ，歹) ，及满足角度条件 的侧纱度量9 ，使得) ( ( m ) = x ( ) ，其中j 是的复结构。根据微分 拓扑的知识，存在一个微分同胚，：m _ ，容易知道它的诱导度量，+ 夕是 ( m ，厂了) 上满足角度条件的嚣似桫度量但由于微分同胚不保复结构，所 缈 ； i i m 锄 k = 誉嚣f 弘 罄脯 三p 崦x b ?r厶。，iiiiill，lilli【 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕监论文第1 6 页 第二章关于高亏格k 曲面上的h c m u 度量 以广了不一定与歹捆同。因此定理霪。j 的存在性定理，并不是对任意不圈 复结构的黎曼曲面都成立。但特别的，当m 是球面的时候，由于球面上只 有一个复结构，因此我们有对任意球面情形的存橙 生定理。 注记2 5 定理2 。至鞠样不能对任意的点都成立。黎曼曲萄上的点只是在微 分同胚的意义下是等价的，同样不能保复结构，因此也会有注记2 。名中同样 的问题。实际上，甚至在最简单的球面情形，也不能对任意的点成立点的 位置争复结构都要满足一定的的关系，露黝驴度量才会存在下一章申，我 们将看到在球面和环面上的它们所必须满足的显式的关系 第三章球蟊和环面上珏c m u 的存在性和显式构遗 本节将对h i 。m u 度量奇点弼围奇性散研究研究，我们可以对球面和环 面上的存在性得弱一个h c m u 度蠹存在豹充要条件。 3 1 黎曼曲面上h c m u 的局部性质 设膨是一个定向的。紧致茏边的光滑黎曼曲弼，而丝断，m 表示 它的k 睡面， p l ，热， 是所寄的奇点， 8 l ，嘞， 是奇点所对应 盼羯度 协m 铷l ，地， ，假设( 以名) 是p ( 爿白) = o ) 附近的一个复坐 标，我们可以将雪写成： 擘嚣一也曲l 剜2 ， 此时嵩新曲率蜀= 等 我们已经知道，k 。的梯度向量场是全纯向量场其梯度向量场v k 为： v ：衄地羞= 佩一砷等毫：o zo zo z 因此潜令f ( z ) 皇e 2 妒量岛，则f ( 岩) 是一个全纯函数同时，由方程( 1 ，2 ) 可 知，咒毒一( c 一2 ) e 孙，代入就有 墨掌。竺- 互) 篁 ( 3 1 ) 则我们育 这里e 辩且 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 注记3 。l 实际上，由担印，我棚有琏：兰擎十，名) ，其中，扛是一个 全纯函数于是带八有e 却：精。帮+ 薷由于e 和为蜜数，即知 ，( z ) 一焉e 17 莘 g 7 颦中霆辩学技零大学 囊壬华韭论文第1 8 贾 第三章球面和环面上h c m u 的存在性和显式构造驺1 黎曼曲面上飘c m u 的局部性质 类似地，当p 点是度量奇点的时候，我们也可以在p ( z ) = o ) 附近取 复坐标( 西名) ，让岔在醪 0 上表示成擘= e 2 妒| 如| 2 ，且知道罗= e - 2 妒恐 仍是秒 o ) 上的全纯函数实际上，此时的f ( 名) 是汐上的一个亚纯函数， 我们有 命题3 。l 御令g e 2 妒| 出1 2 是圆盘f o 上的日似度量，并且在原 点的氟赛是2 霄貔。则f 扛) 在原点盼近有如下的局部展开 盼沁量聂翥嚣艄一扼 4 ， 这里c 是不为o 的常数，夕( 名) 是扩土的全纯函数。 林一朱两人证明的这个命题是一个局部性的结论。丽如果考虑在壬( 越 面上的嚣c 麓u 度量，我们能够对f ( 名) 得到更进一步的结果。 命题3 2 假设9 是曲面上的一个日嘶度量，p 是矿的一个奇点并设 ( 阢z ) ，z ( p ) = o 是p 附近的一个复坐标。在u o ) 上我们可令9 = e 2 p i 如1 2 ， 如果萝在原点处有一个奇角度2 霄，删f ( z ) 在原点附近有如下展开 一髀， 篡主兰裟篡 5 ， 其中毳0 ) 是黟上的全纯函数，且是( o ) o 证明? 首先，我们考虑z = o 处是k 的局部极值点的情形：此时根据h c m u 度量在k 曲面上的性质【4 】，度量口在p 附近是旋转对称的，因此9 可以局 部的写成 夕= 破产十厂2 始2 ( o “e ( c 充分小) ，o 拶2 7 r )( 3 6 ) 且， o o ) ，厂( 0 ) = o ，7 ( o ) 一位。而且7 = 吖，c 是个负常数。因 此我们可以令 则l i m 口= 一。o u 0 fd s ”一。了 2 0 0 7 筇 审嚣辩学技术大学硕士肇鲎论文第2 l 贾 第三章球面和环面 王薹c m u 的存在性和显式构造 3 2 球面上的h c m u 度量 令z 嘶风，一寻专e 鳗+ 一o ，致还是一百e 足+ = o 的根。 口。 五，3 类似地，可以证明娲也是一；+ c k 十：o 的一个根 _ 因此我们可以设 再靠= 志+ 点十再惫蕊。 秘1 3 ) 叠丽2 蕊+ 蕊十万琢再瓦悸- 善) 由( 3 3 ) 和( 3 1 0 ) ，有 。 e 志+ 赢+ 志，致出一知娄。毫+ 毫熹 ( 3 1 4 ) 两边阕除一个鑫l ，德到 c 志+ 怠+ 南脚吲知妻，兰+ 塞亳渺 ( 3 王5 ) 更| l ( 志+ 最+ 再嚣隔) d ( 茏面+ 泛面+ 灭f 瓦_ 丽) d k = d i ( 致嵫( z 一魂夏夏吾i 习 舡= j + l ( 酝l 赠p 一风) 霸面碉) 】 m = l ( 3 1 6 ) 在c ( 一些射线) u 钇，风，反) ) 上 我们记魂= 呶+ 屈奄，= 嚷+ 趸8 幺，并置知道l o g ( z 一磁) 一 l n | 名一施| + ，二j a r g ( 名一魂) ，l o g ( 岩一风) = l n | 名一风| + 饵8 r g ( z 一风) 因此由( 3 1 6 ) ，就有 ( 越一聊( 蜀一玛) 扣1 ( + 甄+ 鲍) 吨 ( 3 1 7 ) 鳓 卜 反 射 e 。瞄 风 一 z 。一 铅 扣 颤 黼 墙 e 拜_： 觚 讯 一 z 狂咐 a = 猫7 年 枣禽辩掌技术太学硕士毕监论文 筹2 3 页 第三章球面和环萄 薹配m u 的存在蜮和显式构遣晒2 球面上的鹳m u 度量 这里a ) 是这个h c m u 度量的面积，理m 醒是惫的极大值点处的角度之和， 嚣q 瓣髓是蟊熬辍小值点处翳兔度之窝。焉我们的记号，其串 穰玎瑚c2 哟+ 1 十+ 哟+ j 十t ，q l i n = “十l 十+ n 恺十s t 岱此 一一毒手筹 洚2 5 ) & f 十l 十十0 机十s 一吝 把( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 糊( 3 2 5 ) 式带入( 3 1 8 ) 式，我们就得到一个球丽上h c m u 度量存在性的必要条件。 另一方蟊，懿粟给定豹点截，恐，巍帮对应艴舞度8 l ，q 2 ，赶满 足等式 萎，去蠢喜，訾塞去薹：篇= 蠢笨lz 一菇蠢氡lz 一钦差耋毒一风毒篆lz 一风 曰藤器编篆雨( 3 2 6 ) 我 j 可以考虑方程 f】 恐；型竺塑燮， l ) = 蕊，匏c 掘。，露焉袖，巍 ，恐 o ，著置在c 藏。，风，磁。，上光滑。容易验证，雾是 c 岛，风，恐， 上的薹薹g m u 度量 接下来我们要证明，这样定义的口在 伪，忍，岛) 处也是光滑的取 建，g 一王，2 。，t 的一块邻域，记做q 。 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士毕业论文 第3 0 页 第三章球面和环面上h c m u 的存在性和显式构造 3 3 环面上的h c m u 度量 注记3 7 对于高亏格的黎曼曲面( 夕 1 ) 的情形，我们知道任意黎曼面m ( 夕 1 ) 可以表示成驯r ，廖刃其中日是复上半平面，r 是全模群s 三2 ( z ) 的 一个子群我们知道f ( z ) 是m 的曲面上的亚纯函数，令7 r ：日一日r ， 类似地，f o7 r 可以自然诱导为日上的模函数。对于模函数来说，是否存在 一个类似球面或环面情形下的分解，是个未知的问题。 【l o 】 f n 】 f 王2 l i 王翻 【1 4 】 f 王翻 参考文献 e g a i a 毯，薹滚t r e 撒越k 荔麓e rm e t r i e ，s e m d i 最g e o 礅+ ，醯s t y - 氇t 王，a 投n o f m a t h ，s t u d i e s ，1 2 0 ( 1 9 8 2 ) ，p 2 5 吼2 9 0 e c a l a b i ，e x t r e m a lk h l e rm e t r i ci i ，d i f f 宅r e n t i a lg e o m e t r ya n dc o m p l 既 a n 稳匆s i s ，s p r i n 弦r ，王9 8 5 ，p 9 6 一王王4 。 x x c h e n ，e x t r e m a lm e t r i c so nr i e m a n ns u r f a c e s ，c a l c v 打p a r t i 越d i f _ 凳r e 贰i a l 嚣q u a 蕊o n s8 ( 1 9 9 9 ) ，1 9 l 一2 3 2 x x c h e n o b 8 t r u e t i o nt ot h ee x i 8 乞e n c eo fm e t r i cw h e r ec u r v a t u r eh a 8u m b i l i c a lh e s s i a ni nas u r f 如ew i t hc o n i c a ls i n g u l 毅i t 论s ，c o m m i na n a l y s i sa n d g 擞，8 ( 2 0 0 0 ) ，2 6 7 - 2 9 9 。 x x c h e n ，、确! a 1 c1 i i i l i t so fr i e m a n n i a nm e t r i c si ns u r f a c e sw i t hi n t e g r 址 e 毪r v 鑫t u r eb o 毽n d ，g a i e 。、磊毯p a r 专i 蕊d i f 强r e l 选i 藏e ( 撵a i o 珏86 ( i 9 9 8 ) ，1 8 辫2 2 6 q i n gc h e n ，x i u x i o n gc h e na n dy i n g y iw h ，t h es t r u c t u r eo fh c m um e t r i c i nak s u r f 屺e ，r e v i s i o nr e c e i v e db yi n t e r n 龇i o n a lm a t h e m a i c s 沁s e a r c h n o e i c e s ，2 0 0 5 ：1 6 ( 2 0 0 5 ) ，p 。9 4 王- 9 5 8 。 q i n gc h e n ，y i n g y iw u ，e x i 8 t e n c ea n de 傲p l i c i tc o n s t r u c t i o n so fh c m u o n s 2a n dj 哆。2 0 0 6 g u o f a n g r a n ga n dx i a o h u az h u ，e x t r e m a lh e r m i t i a nm e t r i c so nr i e m a n n s u r 巍l c e sw i t hs i n g u l a r i t i e 8 ，d u k em a t h j ，v o l1 0 4 ，n o 2 ，p 1 8 i 一2 l o ( 2 o x c h a n g s h o t ll i na n dx i a o h u az h u ，e x p l i e i tc o n s r u c 七i o no fe x 乞r e m a lh e r m i t i a nm e t r i c 8w i t h 蠡n i t ec o n i c a ls i n g u l a r i t i e 8o ns 2 ，e o m m i na n a l y s i s 8 珏dg e o 毪1 ，、 醴。1 0 ，n o 王，p 。圭7 7 二2 王6 ( 2 0 0 2 ) 。 r b o t ta n dl w t u ，d i & r e n t i a lf o r m si na 1 9 e b r a i ct 0 p o l o g y ，g t m8 2 ， s p r i n g e r v 毫r l a g ，1 9 8 2 。 f l u o8 i l dg 。t i a n ，l i o u v i l l ee q u a t i o n sa n ds p h e r i c a lc o n v 馘p o l 舛o p e s ，p r 0 a m s ，1 1 6 ( 1 9 9 2 ) ，p 1 1 9 1 2 9 p g r 溉t 如a n dj 珏嚣娃文n i 珏e i p l e so fa l g e b r a 量eg e o 嫩e r y ，j o h 娃w i l e ya 珏d s o n s ，i n c ，1 9 9 4 d 鲥避g 秘越g 勰dn e i ls 噩u 纛i n g e r ，e l l i p t i ep 甜t i 羹i & r e 斌i a l 嚣q u a t i o n 8o fs e c o n do r d e r ( r e p r i n to ft h e1 9 8 8e d i t i o n ) ，c l a s s i c 8i nm a t h