（电路与系统专业论文）基于反对称双正交小波的多尺度边缘提取的图像压缩[电路与系统专业优秀论文].pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 图像压缩编码是图像存储、处理和传输的基础。图像压缩技术在通信、介质存储、 数据传输等领域发挥了重要作用。本文着重对基于不作下采样的反对称双正交小波算 法及基于人眼视觉特性的第二代图像编码及其计算机实现进行了研究。 根据人眼对图像边缘较为敏感的视觉特性，着重研究如何有效地提取图像边缘， 并且在仅仅保留边缘信息的条件下，如何利用它重构图像。首先，阐述了双正交小波 的基本特性及反对称双正交小波的近似微分特性。在此基础上，提出了利用反对称双 正交小波对输入信号作无下采样的小波变换，获得多尺度边缘的方法。它既发挥了二 进小波变换平移不变性的优点，又发挥了双正交小波的分解基与重构基相互正交、具 有线性相位的特性。接着提出了两种利用边缘信息直接拟合小波系数的算法。最后总 结了基于反对称双正交小波的图像压缩的基本框架，给出了在仅仅保留边缘信息的条 件下重构图像的实验结果。 本论文得到陕西省教育厅专项基金项目“反对称双正交小波微分特性的应用研 究”( 编号：0 4 j k 2 5 8 ) 的资助。 关键词反对称双正交小波，多尺度边缘提取，人眼视觉特性，拟合，信号重构，图像 压缩 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t l m a g ec o m p r e s s i o ni st h eb a s eo fm ei m a g es t o r a g e ，p r o c e s s i n ga i l dt r a n s m i s s i o n n p l a y sa i li m p o r t a i l tp a ni nm a i l yf i e l d s ，f o re x 锄p l e ，c o m m l u l i c a t i o n ，m e d i as t 0 】麓g ea i l dd a t a t r a n s m i s s i o n ，e t c t h ep 印e rf o c u s e so nr e s e a r c h i n g1 l l eu n - d e c i m a t e da n t i s y m m e t r i c a l b i o 抽o g o n a lw h v e l e t ( a s b w ) t r a n s f o r n la l l d t 1 1 es e c o n dg e n e r a t i o nc o d i n gb a s e do n h 1 瑚a l l s u a ls y s t e i n ( h v s ) a l l di t sr e a l i z a t i o nb yp r o g r a m m i n g b a s e do nt h ep r o p e r t y 血a tp e o p l e se y e sa r es u s c e p t i v et ot 1 1 e i m a g ee d g e ，i t 锄p h a s i z e dt or e s e 搬c hh o w t o 出嚏e c te d g ed f e c t i v e l y 甜l dl l o wt or e c o n s t m c ts i 印a l 矗啪 m ci n f o m a t i o no fm ee d g co n l y f i 硎y ，i tc l a r i f i e dm eb a s i cp m p e r t i e so f b i o 吡o g o n a l w a v e l e ta n d 也ea s b w s 印p r o x i m a t ed 嘶v a t i v ep r 叩e n y b a s c do nt h e s e ，i tp r 叩o s e dt h e n l e m o dt l l a ts i 驴a li sd o n el l l l - d e c i m a t e dw a v e l e tt m s f o mu s m ga s b w ，w h i c hn o to n l y h 船t h e 缸a n s l a t i o ni l w a r i a n c ep r o p c r 哆a ft b ed y a d i cw a v e l e t ，b u ta l s oh a sm el i n e 甜p h a s e p r o p e r t ya i l d t l l eb i o r t h o g o n a l i t yb e t w e e nt h ca n a l y s i sa i l ds y m h e s i sf i l c e r so ft 1 1 e b i o 曲o g o n a lw a v e l 吼，也a n 也e 删】l t i s c a l ee d g ec a nb co b t a i n e d s e c o n d l y i tp r o p o s e dt w o a l 鲥m m st h a tu s e d t h em u l t i s c a l e e d g ct omt h ew a v e l c tc o e 壤c i e n t s f i n a l l y ，i t s u m m a r i z e d 龇b a s i c 矗a r n eo ft h ei m a g ec o m p i e 踮i o nb a s e do nt h ea s b 、姐dg a v e 也e e x d e r i m 曲t a lr e s u h s k e y w o r d s ：a a n t i - s y m m e t r i c a lb i o r t h o g o n a l k ，e l e t s ( a s b w ) ， m u l t i s c a l ee d g e d e t e c t i o n ，h 啪a n s l l a ls y s t e m ( h v s ) ， f 黼n g ，s i 讧a lr c c o n s t n ) c t i o n ，i m a g e c o m p r e s s i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 y 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学 位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。 学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保 证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北 大学。 保密论文待解 学位论文作者 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本 论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：况，硇嘶 少彩年护6 月侈日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 人类传递信息的主要媒体是语音和图像，据统计，人类接受的所有信息中听觉信 息占2 0 ，视觉信息占6 0 ，其他仅占2 0 。所以作为信息传递的重要手段图像 信息是十分重要的，而随着多媒体信息技术的发展，日益增长的图像信息的数据量与 有限存储空间，网络带宽的矛盾越来越尖锐。因此，研究更为有效的图像压缩算法， 具有重要的意义。本章介绍课题的背景及意义、图像编码评价标准，综述图像编码以 及简介本文的主要工作。 1 1 背景及意义 随着多媒体系统和i m e m e t 的迅速发展，人们对多媒体业务的需求在不断增加， 对服务质量的要求也越来越高，而其中的图像信息数据量庞大，如果不进行有效的编 码，就无法满足现有存储和传输的条件和要求。计算机图像处理中的数字图像其灰度 多数用8 b i t 来量化，而医学图像处理和其他科研应用的图像的灰度量化可用到1 2 b “ 以上，因而数据量非常大。以1 0 2 4 1 0 2 4 的图像为例，用8 b i t 量化的图像则需l m b 以上。遥感图像虽然用7 b i t 量化，但其空间分辨率为2 3 4 0 3 2 4 0 且为多频谱图像，最 早的卫星l a n d s p m i 就有4 个频道。这样一个地区的图像需2 5 m b 以上。若使量化 比特减少，又必然带来图像量化噪声增大的缺点且丢失灰度细节的信息。数字图像的 庞大数据无疑对图像的存储、处理、传送带来很大的困难。由此可见图像编码是十分 必要的，它可以节省存储空间、传输带宽和时间。 图像信息数字化的关键是编码，图像编码就是在保证一定重构质量的前提下，以 尽量少的比特数来表示图像信息。对于图像压缩来说，为了获取高压缩比必然要丢掉 较多的图像信息而要获取好的图像质量则要求更多地保持图像信息，它们始终作为一 对矛盾存在着。正因为如此，研究最佳的压缩编码方法一直是人们追求的目标。 1 2 图像编码综述 图像压缩的基本理论起源于2 0 世纪4 0 年代末香农( s h a i l n o n ) 的信息论。1 。图像 西北大学硕l 学位论文 压缩编码技术可以追溯到1 9 4 8 年提出的电视信号数字化。5 0 年代和6 0 年代的图像压 缩技术由于受到电路技术等的制约，仅仅停留在预测编码、亚采样以及内插复原等技 术的研究，还很不成熟。1 9 6 9 年在美国召开的第一届“图像编码会议”标志着图像编 码作为一门独立的学科诞生了。到了7 0 年代和8 0 年代，图像压缩技术的主要成果体 现在变换编码技术上，矢量量化编码技术也有较大发展，有关于图像编码技术的成果 和论文与日俱增，图像编码技术开始走向繁荣。自8 0 年代后期以后，由于小波变换理 论，分形理论，人工神经网络理论，视觉仿真理论的建立，人们开始突破传统的信源 编码理论，例如不再假设图像是平稳的随机场。图像压缩编码向着更高的压缩比和更 好的压缩质量的道路前进，进入了一个崭新的、欣欣向荣的大发展时期。1 。 虽然表示图像需要大量的数据，但这些数据往往都是高度相关的，这些相关性会 引起信息的冗余，因此可以通过去除冗余信息来实现对图像数据的压缩。图像数据的 冗余信息主要有以下几种“”。 1 、统计冗余 从图像数据的统计特性来看，通常有空间冗余( 像素点之间的相关性) 、时间冗 余( 活动图像的两个连续帧之间的冗余) 和信息熵冗余等类型，它们统称为统计冗余。 其中信息熵冗余也称编码冗余，由信息论的有关原理可知，要表示图像数据的一个像 素点，只要按其信息熵的大小分配相应的比特数即可。然而对于实际图像数据的每个 像素，很难得到它的信息熵，在数字化一幅图像时，对每个像素是用相同的比特数表 示的，这样必然存在冗余。 2 、结构冗余 在有些图像的部分区域存在非常强的纹理结构，或是图像的各个部分之间存在有 某种关系，例如自相似性就是结构冗余的表现。 3 、知识冗余 在有些图像中包含的信息与某些先验的知识有关，例如视频会议系统中的头肩图 像，头、眼和嘴的相对位置等信息就是一些常识。这种冗余称为知识冗余。 4 、视觉冗余 在大多数情况下，重构图像的最终接收者是人的眼睛。为了达到较高的压缩比， 可以利用人类视觉系统的特点。因为人类的视觉系统对于图像的注意是非均匀的和非 线性的，并不是对于图像中的任何变化都能感知的。例如图像系数的量化误差引起的 西北大学硕士学位论文 图像变化在一定范围内是不能为人眼所觉察的。因此，如果图像编码方案能利用人类 视觉系统的一些特点，是可以得到高压缩比的。 上述各种形式的冗余，是压缩图像数据的出发点，图像编码方法就是要尽可能的 消除这些冗余信息，以降低表示图像所需的数据量。本节主要对图像编码进行概述， 主要介绍目前广泛应用的第一代图像编码技术和新兴的第二代图像编码技术，以及讨 论图像编码的性能评价方法。 1 2 1 第一代图像编码 第一代图像编码技术是以香农信息论为出发点，用统计概率模型来描述信源，编 码实体是像素或像素块，以消除图像数据相关冗余为目的。静止图像压缩标准j p e g 的制定及其对多媒体产业的巨大影响有力的证明了第一代图像编码技术的巨大成功。 以下简单介绍第一代图像编码的主要技术“1 。 1 _ 2 1 1 熵编码 常用的熵编码( e n 仃o p yc o d i n g ) 有霍夫曼编码( h u m n a j lc o d i n g ) 、算术编码 ( 觚t h i n c t i cc o d i n g ) 和行程编码( r l c ， r l 】i ll e n g t l lc o d i n g ) 三类”。霍夫曼编码是由 霍夫曼1 9 5 2 年提出的一种编码方法。它的基本原理是根据数据源各信号发生的概率进 行编码。在数据源中出现概率越大的信号，分配的码字越短；出现概率越小的信号， 其码字越长，从而达到用尽可能少的码表示源数据。霍夫曼编码是一种最佳变长编码 方法。算术编码是2 0 世纪8 0 年代发展起来的一种熵编码方法。算术编码跳出了分组 编码的范畴：从全序列出发，采用递推形式的连续编码。它是基于区域划分来表示信 源的输出的思想将整个输入符号序列映射为实数轴上【0 ，1 ) 区间内的一个小区间，其长 度等于该序列的概率；再在该小区间内选择一个代表性的二进制小数，作为实际的编 码输出，从而达到了高效编码的目的。行程编码是指由字符构成的数据流中各字符重 复出现而形成的字符串的长度。如果给出了形成串的字符、串的长度及串的位置，就 能恢复出原来的数据流。它的压缩效能取决于整个数据流中的重复字符出现的次数、 平均行程长度及所采用的编码结构。实际经验表明，算术编码与霍夫曼编码方法的平 均压缩效果是十分相似的，只是霍夫曼编码更快一些，但在未知信源概率分布的大部 西北大学硕士学位论文 分情况下，算术编码优于霍夫曼编码。应该指出的是，熵编码是通过无损压缩来消除 冗余信息，以达到数据压缩的目的。 1 - 2 1 2 变换编码 变换编码。“”( t r a i l s f o mc o d i n g ) 是目前应用最广泛的图像压缩编码方法，几乎 所有的图像和视频压缩标准都以变换编码为主要工具。通过正交变换把图像从空域转 换为能量比较集中的变换域系数，然后对变换系数进行编码，从而达到压缩的目的。 它是一种消除图像数据空间相关性的有效方法。尽管图像变换本身不能对数据进行压 缩，但由于变换后系数之间的相关性明显降低，图像的大部分能量只集中在少数变换 系数上，采用适当的量化和熵编码方法就可以有效地压缩图像的数据量。 k l ( k a r h u n e n l o e v e ) 变换虽然是均方误差准则下的最佳变换，但其算法复杂 度较高，所以在实际编码工作中，人们常用离散余弦变换( d c t ， d i s c r e t ec o s i n e t r 趾s f o m ) 。对大多数图像信源来说，d c t 变换是现行编码方法中最接近k l 变换的 方法。但在低比特率条件下，基于d c t 变换的编码方法出现明显的方块效应，所以很 难实现图像编码的高压缩比。小波分析由于在时域和频域同时具有良好的局部化特性， 符合人眼的视觉特性，近年来受到广泛的关注，己经被采纳入新的图像编码国际标准 中。 对变换后系数的编码，一般采用区域编码和阈值编码两种方法。经阈值编码和区 域编码后，变换图像的系数大部分为零，如何采用有效的方法将非零系数和零系数组 织起来，在带有最少冗余的同时保证最大概率地出现连零系数，是变换图像编码中的 又一关键问题。在d c t 图像编码中，对变换系数采用z 形扫描( z i g z a gs c a n ) 非常巧妙 的解决了这一问题。应该强调的是，d c t 变换的优势在于能够减少大范围数据的冗余， 这也是变换编码的思想所在。 1 2 1 3 预测编码 预测编码“( p r e d i c t i v ec o d i n g ) 实际上是基于图像数据的空间冗余特性的，不是 直接对信号编码，而是对预测误差编码，以消除相邻像素的相关性。在图像中，相邻 像素问存在很强的相关性，用相邻的己知像素( 或像素块) 来预测当前像素( 或像素块) 西北大学硕士学位论文 的值，然后再对预测误差进行量化和编码，这些相邻像素或像素块可以是同行的，也 可以是前几行的，相应的预测编码分别称为一维和二维预测。强相关性使得预测值比 较接近实际值，因此预测误差序列是均值为零和具有更小方差的序列。一般预测误差 的一阶熵远小于原像素值的一阶熵。对预测误差直接进行单符号的熵编码或对预测误 差进行量化再进行熵编码，比直接对单像素值编码有更高的效率。 预测编码的关键在于预测算法的选取，这与图像信号的概率分布很有关系。实际 中常根据大量的统计结果来设计最佳的预测器，有时还使用自适应预测器以刻画图像 信号的局部特性，从而提高编码效率。预测编码有线性预测和非线性预测两大类。 1 2 1 4 矢量量化 矢量量化“1 2 1 ( v q ， v e c t o rq u a n t i z a t i o n ) 是新发展起来的一种数据压缩技术，按 照香农的率失真理论可知，若把离散信息分成组看作是一个向量，用它编码总是优于 用每个离散像元编码，即图像矢量量化的性能要优于标量量化的性能。矢量量化性能 有可能任意接近率失真函数的理论极限。矢量量化是用k 个样本形成一个k 维空间r 中的一个矢量，然后对此矢量进行量化，只传输或存储矢量地址，因而可以大大提高 压缩效率。矢量量化总是优于标量量化，因为矢量量化时有效利用了矢量中各分量间 的各种相关性来去除冗余度。矢量量化是标量量化的多维扩展。 显然矢量量化是一种信息有损的压缩编码方法，但它可以获得较高的压缩比其解 码方法比较简单。而且矢量量化是定长码，对于通信尤为可贵，它容易处理也有利于 减少传输误码的影响。 1 2 2 第二代图像编码 虽然以信息论和数字信号处理技术为理论基础的第一代图像编码技术取得了重 大成就，其出发点是消除图像数据的线性相关性等统计冗余信息，其编码压缩图像数 据的能力己接近极限，压缩比难以提高，而且它没有考虑到信息接收者的主观特性、 图像信息的具体含义和重要程度等，只是力图去除数据冗余。第二代图像编码方法是 针对传统编码方法中人们没有考虑人眼对轮廓、边缘的特殊敏感性和方向感知特性而 提出的，它不局限于s h a l l l l o n 信息论的框架，以去除图像内容冗余为目的，要求充分 西北大学硕士学位论文 利用人类视觉系统的生理和心理特性以及信源的各种性质，从最大限度地去除人类视 觉所无法感知的信息，以期获得更高更理想的压缩效果，是目前一个比较活跃的研究 领域m 1 。 相关研究表明，人的视觉感知特点与统计意义上的信息分布并不一致，即有些视 觉信息在通常的视觉过程中相对来说不那么重要，从感知的角度来讲可以认为是心理 视觉的冗余，传统的编码技术局限于图像自身的统计特性和结构及对信源本身的压缩， 而较少考虑压缩信源中对于观察者而言的心理冗余，也就是忽略了主观对象人类 视觉系统( h v s ) 在观察图像时所表现出的特性及其内在的处理图像的机制。因此在新 的图像压缩技术中，有学者提出了人类视觉系统的概念1 ”1 。 视觉是人类最奇妙同时也是最难以描述的功能之一，人类视觉系统从数学模型的 角度模拟了视觉感知的三大特性：幅度非线性衰减、对比度敏感函数( c s f ) 和视觉多通 道及掩盖效应，它们是与图像质量相关的主要特性。根据对h v s 的研究可知，人类视 觉系统对不同时空分布特征的响应是不同的，通常人眼对高于一定频率的高频信息敏 感程度低于相对较低频率的信息：而且方向不同，敏感程度也不一样，尤其对倾斜方 向的刺激不太敏感。同时人眼在不同背景亮度和不同边缘变化程度的情况下对误差的 敏感程度也不相同。对比度敏感函数描述了h v s 中不同频率下的对比敏感度。总而言 之：( d 人眼对图像边缘区信息的失真很敏感；( 2 ) 人眼对图像平滑区信息的失真比较敏 感；( 3 ) 人眼对图像纹理区信息的失真不敏感。 基于以上的分析，如果一种编码技术能保证图像边缘信息损失很小而纹理信息有 较大损失，那么这种技术就可能在取得高压缩率的同时保证重构图像有很好的视觉质 量。尽管在严格的意义上边缘信息不能完全特征化一幅图像，但m a l l a t 等在文献 1 3 ， 2 7 中还是提出了一种可仅仅依据边缘信息重构视觉效果良好的近似图像的方法。这是 第二代图像编码的一个重要进展。小波变换图像编码技术是一种新兴的图像处理技术， 具有与人的视觉特性相结合的潜力，从而可在同样的码率下，获得主观质量更好的重 建图像，或者在同样的主观评价条件下，得到更高的图像压缩率。我们将在第三章中 详细讨论该方法。 6 西北大学硕士学位论文 1 3 图像编码的评价标准 对于失真编码，应该有一个对重构图像质量进行评价的标准，对压缩后的图像质 量给予评判，希望在传输码率尽量低的前提下能尽量保证重构的图像具有较高的图像 质量，这对图像编码方法的发展具有很好的指导意义。图像质量的含义主要包含了两 层意义：一是重构图像的失真度，即重构图像与原图像的偏离程度；二是图像的可读 性，即人们能从图像中获得的信息。常用的评价标准有两种：主观评价标准和客观评 价标准n 。“。 客观评价标准，就是定义一个数学公式，然后对待评价的图像进行运算，得到一 个唯一的数字量作为测度结果，通常用于评价图像的失真度。常用的有均方误差( m s e ) 和峰值信噪比( p s n r ) 。均方误差的定义为： 脚2 亩姜丢护m 朋2 n d 式中，m ，n 为图像的宽和高：，( f ，) 为原始图像的灰度值；，( f ，) 为重构图像的灰 度值。 一圳喝。等 z ， 应该注意的是，m s e 和p s n r 是从总体上反映原始图像和重构图像的差别，并不 能反映局部。有时候同样的信噪比，视觉效果还是会有一定的差异，这主要是由于误 差的均匀程度造成的。一般来讲，误差均匀时视觉效果好，反之视觉效果不好。大多 数情况下，都可以用p s n r 对图像质量进行评价，但有时其结果可能与主观评价结果 不相符。 表1 1 对图像质量的主观评价标准 级别第一种评价标准 第二种评价标准 5非常好感觉不到失真 4 好感觉到失真，但没有不舒服感觉 3一般稍有感觉到不舒服 2较差不舒服 1差非常不舒服的感觉 主观评价标准是由评价者直接对一幅图像进行观察，从感觉上去度量其失真程 西北大学硕士学位论文 度，给出质量评价分数，对所有评价者给出的分数进行加权平均，所得结果即为主观 评价结果，表1 1 所示是两种典型的评价标准。 这种评价结果必然符合人的视觉感受，相对于客观评价方法是可靠的，但它使用 起来不方便，一方面不能用数学模型对其进行描述，不能直接用于图像编码过程中的 质量评价和控制；另一方面，主观评价容易受到评价者的主观因素影响，如年龄、教 育程度和性格等，所以大多数情况下还是以客观评价方法对图像质量进行评价。对此 方法的进一步的研究可参考 1 4 ，1 5 ，1 6 。 1 4 论文主要内容及其组织 本文的工作主要是在小波变换基本理论的基础上，研究基于反对称双正交小波的 多尺度边缘提取，并以边缘信息重构图像的第二代图像编码技术。具体组织如下： 第一章：绪论，主要介绍课题的背景及意义、图像编码综述以及图像编码评价标 准。 第二章：主要回顾了小波分析的基本理论，介绍了m a l l a t 提出的信号的塔式多分 辨分解与重构算法。 第三章：m a l l a t 提出的信号的多尺度边缘特征理论体系和交替投影算法。 第四章：在第二、三章的理论分析的基础上，对双正交小波的特性进行深入分析， 基于反对称双正交小波近似微分特性、紧支撑、双正交性和线性相位特性，研究了反 对称双正交小波的多尺度边缘提取的图像压缩的方法。首先，提出了不作下采样的离 散小波变换变换；其次，由于反对称双正交小波具有近似微分算子功能，因此如果利 用反对称双正交小波对输入信号作无下采样的小波变换，便可获得多尺度边缘图像； 最后，提出了两种利用边缘信息直接拟合小波系数的算法。对m a l l a t 提出的第二代编 码方法进行了改进。 第五章：总结和展望，对全文进行总结并指出不足之处和今后的研究方向。 西北大学硕1 ：学位论文 第二章小波变换 在信号分析中，对信号的刻画一般采用两种基本形式：时域形式和频域形式。傅 立叶变换能很好的刻画信号的频域特性，但它几乎不提供信号在时域上的任何局部信 息，存在着时域和频域局部化的基本矛盾。即如果想在时域上得到信号足够精确的信 息，就得不到信号在频域上的信息，反之亦然。 在很多非平稳信号分析和实时信号处理的应用中，人们所关心的却是信号在局部 范围内的特征，为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名 的g a b o r 变换，之后又迸一步发展为短时傅里叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o n n ，简 记为s t f t ，又称为加窗傅里叶变换) 。但由于s t f t 的定义决定了其窗函数的大小和 形状均与时间和频率无关而保持固定不变，是一种恒定分辨率分析，这对于分析时变 信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长。因此， 我们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号则采用大时间窗进行分析。小波 变换不仅继承和发展了s t f t 的局部化思想，而且克服了窗口大小不随频率变换，缺 乏离散正交基的缺点，是一种比较理想的进行信号处理的数学工具“。 在本章中，我们首先回顾了小波分析理论，从连续小波变换到二进小波变换最后 到离散小波变换，介绍了m a l l a t 提出的信号的塔式多分辨分解与重构算法，这是本文 后续章节的基础。 2 1 连续小波变换 c ，：晔如c m 则称 ( 似a ，6 ) = ip ( 功叭等协，厂r ( r ) 为厂以y 为基的小波变换。引入符号： 嘣加一p ( 等) 9 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 西北大学硕士学位论文 则( 2 2 ) 式可改写为： ( 睨，x 口，6 ) = ( 2 4 ) 此式表明( 睨厂) ( 日，6 ) 是厂( x ) 在基矢量虬。( x ) 上的投影。基矢量舢( x ) 有两个参数， 其中a 是对y ( x ) 的尺度伸缩，而6 是平移量。 2 2 二进小波变换 为了将小波变换应用于信号分析的实践，我们必须对变换参数进行散离化，本节 先讨论尺度因子a 的离散化问题。在小波变换中，令口取离散值 口，= 2 一，e z ( 2 5 ) 则称为二进y a d i c ) 离散化。这时( 2 1 3 ) 式可改写为： 1 吩6 ( x ) = 吁( x 一6 ) = 2 7 7 2 y ( 2 ( x 一6 ” ( 2 6 ) 其中_ ，称为分辨率级别，这一术语的含义将在第四节讨论。这时，根据连续小波变换 的定义，表达式( 2 2 ) 式可改写为： 厂( 6 ) = 少( x ) 瓦( x ) 出= ( ，缈”) = 厂( 2 ，6 ) ( 2 7 ) 称之为二进小波变换。这时逆变换公式为： ，( x ) = 2 j j ，( j ，6 ) 痧，( x 一6 ) 如 ( 2 8 ) 引入平滑函数妒( x ) ，级二进小波变换可以改写为“”： 搿：；：黑 眨。， d ，( x ) = ，( x ) 对应的逆变换为： 州以) ：丢h + ( n ) + 嘭+ ( ) 】 ( 2 1 0 ) 为了将二进小波变换应用于图像处理，我们需要二维的二进平滑函数和小波函 数，我们可采用分离变量方法利用一维平滑函数和一维小波函数来构造二维平滑函数 和二维小波函数。在二维二进小波变换的情况下，我们只需要构造两个小波函数，即 甲1 ( x ，y ) 和甲( 工，y ) ，具体构造方法如下式所示： 中( x ，y ) = p ( x ) 妒( y )l 、一。( _ 】c ，y ) = 2 y ( x ) 妒( 2 y ) ( 2 1 1 ) 甲7 ( x ，y ) = 2 妒( 2 石) 缈( y ) l 1 0 西北大学硕士学位论文 基于( 2 n ) 式这一组函数的二进伸缩，可定义，级二维二进小波变换： q ( z ，y ) = 厂+ 中( x ，y ) 巧( z ，y ) = 厂t 甲尹( l y ) 巧 ( x ，) ，) = 厂+ 甲妒( x ，y ) ( 2 1 2 ) 式中厂( x ，y ) 为输入图像，这时有二维二进小波逆变换公式： 几棚。砉4 忡札够伉加妒币力 ( 2 1 3 ) 式中i 曲( 五_ y ) 和晕( 工y ) 分别是、壬，( x ，y ) 和甲( ，( x ，j ，) 的对偶二维二进小波。 2 2 1 二进小波变换快速算法 根据定义和二尺关系，由( 2 9 ) 式司得： 2 器嚣算葛 旺 d ，( 以) = d ，+ l 聿g u + 1 ( 押) 、 滤波器h 一 ) 和g 气脚) 的脉冲响应函数为： 帆加卜 剀 整数 ! o 其他 ( 2 1 5 ) 叫黧瑾数 即此脉冲响应序列可由原来的序列 h 。 和 岛 分别在每一对数据之间补己= 2 一1 个 零得到。于是二进小波的分解算法可用图2 3 表示。 图2 3 二进小波分解算法 a d j 类似可以证明重构过程也可以通过数字卷积来近似实现，即 巳。( ”) = 三【巳4 石“( 以) + 嘭+ ；“( n ) ( 2 1 6 ) 式中滤波器百( 多) 和6 嗲) 对应的脉冲响应也可分别由序列 万一) 和蹶) 补零得到于是 我们有如图2 4 所示的二进小波重构算法。 西北大学硕士学位论文 图2 4 二进小波重构算法 如果有必要，将一级分解后的序列臼，( n ) ，”= o ，) 与数字滤波器 厅一( 珂) ) 和 d ”( ”) ) 分别作数字卷积得到 。( 一) ) 和f 。( ) ，重复这一过程直到达到预定分解级 别。对于个n 长序列而言有意义的分解级数最多是l o g ：。可见利用数字卷积实现 二进小波的分解和重构算法是一个d ( 1 0 9 ：) 算法故也称为二进小波变换的快速算法 n 7 】 图2 5 二维二进小波分解算法 d ， 妒 对二维情况有类似的结论： a ，( 吱，y ) = a 川( q ，q ) h 川( q ) h 川( q ) 、 彬。( q ，q ) = q + ，( q ，q ) g “+ 1 ( 鸭) ( 2 1 7 ) 町( q ，q ) = 口川( 败，q ) g “( q ) 一j 于是二维二进小波分解算法司以用图2 5 表不。 如果令l ( ) ：! 二i ! 坠坚重构过程可表示为： z 口川( q ，q ) = 去陋，( q ，哆) 百“( q 瘴“( q ) + d ( x ( n k ，) g + 1 ( 丘1 ) 0 。+ 1 ( ，) ( 2 1 8 ) + d ；7 ( d ，彩，) g ( 棚，) u 。( 。) 此式表明通过对 口，m ，一) ， 巧( 棚， ) 和 彰2 ( m ，甩) 进行相应的滤波处理再将输出叠 加起来就可得到j + 1 级的平滑数组 口，+ l ( 聊，行) ，而这三个二维滤波器都是分离变量的， 西北大学硕士学位论文 因而可用行和列的一维滤波处理来实现。图2 6 示出这一重构过程。 r a w c 0 11 图2 6 二维二进小波重构算法 2 3 离散小波变换 本节我们讨论对平移量6 的离散化问题。假定对一个具有j = o 的分辨率的信号， 采用时域半宽度为血的小波函数y ( x ) ，我们每隔6 0 计算一个变换系数值就足以掌握 它的全部信息，即= 肠o ，那么在j 级分辨率上，由于y ，( x ) 的时域半宽度变为血，2 ， 所以只要每隔“2 ，计算一个变换系数值就足够了，即取 屯，l = 音6 0 ；，t z ( 2 1 9 ) 这样一来，( 2 3 ) 式可进一步改写为： 。( x ) ；2 朋吵( 2 x 一肋o ) ， ，七z ( 2 2 0 ) 特别是当6 n = 1 时，有 。( x ) 兰2 爿2 y ( 2 x 一尼) ， 七z ( 2 2 1 ) 这样a 按( 2 5 ) 式作二进离散化，b 按( 2 1 9 ) 式作等间离散化，形成的小波函数族缈。( x ) ) 称为离散小波。 在此情况下，小波变换( 2 6 ) 式可进一步改写为： 嘭， = ，( 2 ，j | 2 1 ) = ( 厂，y ”) ，七z ( 2 2 2 ) 称之为离散小波变换。由此可见，一维信号厂( x ) 经离散小波变换得到的是一个二维数 组。显然，离散小波变换的计算工作量较之二进小波变换又大大减少了。 现在我们所关心的问题是：能否利用这一二维数组 d ，。) 完全重构，( x ) 呢? 对可分 以下几种情况加以讨论“”： 西北大学硕士学位论文 l 、如果 y “( x ) ；七，磨z 2 ) 是r ( r ) 的一个框架，即满足框架条件 彳j ) 卜b 2 ( 2 2 3 ) 则称y ( x ) 框架小波。这种情况下，至少在理论上完全重构是可能的，但没有构造 对偶框架的具体方法“”。还可以进一步指出的是，如果y m ( x ) 满足框架条件，则它一 定满足“稳定性”条件。 2 、如果 少m ( x ) ) 满足r 括犯条件 一l l t ，1 1 2 8 丢勺。乃，8 2s 口i | 勺。，1 1 2 c z 2 。， 则称y ( 工) 为一个r - 小波。这时存在唯一对偶小波妒( x ) ，使重构公式： 厂( x ) = ( 厂( 石) ，。) 弧( x ) = 以( x ) ( 2 2 5 ) 成立。 3 、如果 妒似( x ) 满足芷交规范化条件 ( 卅，竹 ) = 4 氏女 ( 2 2 6 ) 则称y ( x ) 为正交小波。这时，重构公式为： ，( x ) = ( ，( x ) ，鼽，。( x ) = ( 2 2 7 ) 从以上讨论可以看出：从容许小波，二进小波，框架小波，r 小波( 双正交小波) ， 到正交小波，条件是逐步严格化的。也就是说，后一类小波可以看成是前一类小波的 特例。 2 4 多分辨分析m r a 和m a l i a t 算法 2 4 1 多分辨分析心 通过上一节的讨论，我们知道，如果有一个正交小波，就可经二进尺度伸缩平移 生成函数族 y m ( x ) 兰2 7 2 ( 2 。r 一七) _ ，七z ( 2 2 8 ) 它是上2 ( r ) 中的规范正交基，那么任何函数，( x ) r ( r ) 可以表达为二重求和小波级 数： ，( x ) = d 卅 ( 2 2 9 ) 西北大学硕士学位论文 式中 d 似= ( ，) ( 2 3 0 ) 现在将( 2 2 9 ) 式改写为 ，( x ) = 巩( x ) ( 2 3 1 ) 式中 g ，( x ) = d j ( 2 3 2 ) 它是妒似( x ) 的线性组合，因而可看成是，( x ) 中具有，级分辨率的信号分量。于是( 2 3 1 ) 式可解释为将各级分辨率的信号分量作迭加就得到原始信号。 如果定义一个函数子空间缈： ；c z f ( r ) l ；f ，陋z ) ( 2 3 3 ) 称之为_ ，级小波空间，那么根据以上分析可知，全部r ( r ) 空间可以看成是所有子空 间的直接和 r ( 月) = 意哆= 阜虻阜彬+ ( 2 3 4 ) 但是从信号分析的观点来看，仅采用小波空间分解是不方便的，因为为了获得，( x ) 中 的低频信息，我们要包括很多，取很小值的项。这是由于随着_ ，的减小，每一级的带 宽愈来愈小。如果我们定义一个新的子空间( 尺度空间) 。 巧兰阜一i ( 2 3 5 ) 并将信号，( x ) 重新表达为 ，( x ) = a j ( x ) + g ，( x ) ( 2 3 6 ) i = j 式中 q ( x ) = g ，( x ) ( 2 3 7 ) j 2 一 它是所有低于j 级分辨率的信号分量之和，因而( 2 3 5 ) 式，它是厂( z ) 在巧子空间中的 分量。空间序列 z ) 称为由尺度函数妒 ) 生成的r ( r ) 空间中的一个多分辨率 分析( m u l t j r e s o l u t i o ma i l a l y s i s ，m r a ) 。显然，为了生成一个m r a ，在小波函数y ( z ) 已经确定的情况下，需要构造与之对应的尺度函数妒( x ) 。反之，如果已知妒( x ) ，则需 要构造与之对应的小波函数y ( x ) 。 这样一来，厂( x ) 中所有j 级以下的低频成分就可归结为一项。而j 级以及高于， 西北大学硕士学位论文 级的频率成分则分别表示为幻，幻。由于实际信号总可认为是带限的，因而，的最 大值将是有限的，从而( 2 3 6 ) 式对于实际信号而言将成为有限项的和。 2 4 2 二尺度关系 如果妒( 工) 是一个m r a 的生成函数，妒( x ) k ，那么，根据尺度空间的嵌套性质， k3 ，因而妒( x ) e k ，故妒( 工) 一定可以表达为k 的基蛾。的线性叠加： 伊( 疹= 妒。 ：五坼( 2 x q 3 8 式中 ，七z ) 是一个绝对可和序列。即 以) ，1 。再由是在k 中的补空间可知， i c ，( 力k ，于是也有 y ( 石) = 2 g l 伊( 2 x t ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 式分别称之为关于妒( x ) 和y ( x ) 的二尺度关系。 2 4 3 m a l l a t 算法 在图像分解与重构的著名的塔式算法( p y r 锄i d a la l g o r i t h m ) 的启发下，结合多 分辨率分析，m a l l a t 提出了信号的塔式多分辨率分解与重构算法，习惯上称为m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位类似于f f t 在经典傅立叶分析中的地位。 m a l l a t 算法的基本思想如下：假定已经计算出一函数厂( x ) r ( r ) 在分辨率2 一，下 的离散逼近4 ，( x ) ，则，( x ) 在分辨率2 哪“的离散逼近4 + 。，( x ) 可用离散低通滤波器 对彳，厂( x ) 滤波获得。 1 、分解算法 如果已知信号厂( x ) 在+ l 级分辨率y 。中的分量为 + 1 ( x ) = 口川，i 蛐( x ) ( 2 4 0 ) 将它分解为_ 和空间的两个分量之和的问题就是希望由 口川。) 求出系数 口”) 和 f m ) 以使 一+ ，( x ) = ( z ) + ( x ) ( 2 4 1 ) 成立。 西北大学硕士学位论文 在正交和分解的条件下，系数口。为 q ， = = a ，+ l + 矗( 2 宓) ( 2 4 2 ) 式中 ：= 矗一女 ( 2 4 3 ) 同理可得 嘭女= 巳+ l + g ( 2 ) ( 2 4 4 ) 式中 g ：= 虿一t ( 2 4 5 ) 由( 2 4 3 ) 和( 2 4 5 ) 式，我们看到系数序列 口p ) 和 如 可分别由序列 口川；) 通过数字滤 波器h 和g 的输出作偶数点抽样得到。这一过程可用图2 7 表达。图中的分解低通滤 波器和分解高通滤波器分别是由序列舰) 和 ) 作镜向反射并取共轭得到。 一 d 卜l d 3 4 幽2 7 分解算祛 2 、重构算法 当序列 口儿 和 t 。t ) 为已知时，重构信号，( 力在_ + 。空间中的分量+ 。( 功的问题 就是利用这两个序列计算序列扣f + 1 。) 的问题。由( 2 7 ) 式可得： 吩+ 1 1 。= 吩，魄划+ 嘭，划 ( 2 4 6 ) 为了更清楚的了解这一重构算法，我们可引入两个新的序列 口：，。 和 彰，。) ，它们 分别定义为： 叱= 伊胆：! 害 。= 归：! 鲁 这就是说序列 彰，。 和 彰，。 分别是由 q ，) 和 t ，) 每两点之间补一个零所形成的。利 用 口：。) 和 彰。) ，( 2 1 3 ) 式可改写为 口j 扎。= 咄魄一。+ 彰，。颤一。= 口7 + 联七) + s g ( 七) ( 2 4 7 ) 于是重构过程可用图2 8 所示的滤波器完成，图中h 和g 分别称为重构低通滤波器和 西北大学硕士学位论文 重构高通滤波器，它们的脉冲响应分别由序列 坑) 和 g 。) 确定。 图2 8 重构算法 采用滤波器级连的方法可以实现多级小波分解和重构。这样如果从，= o 级开始经 过，级分解，最后得到的是 口吐。) ， d _ 。) ， d 。 ，共，+ 1 个序列，其中每一级 “细节”( d e t a i l ) 序列较之比它低一级“细节”长一倍，而所有序列的长度总和仍与 原始数据的长度相同，因而m a l l a t 算法也常被称为塔式算法( p y r a m i d a l g 嘶t l l m ) 。 2 4 4 二维m a l l a t 算法 为了将小波变换应用于图像处理，我们需要有二维的小波函数和尺度函数。采用 可分离变量方法可以由一维小波函数和尺度函数构造所需要的二维函数，它们是 中(