（应用数学专业论文）用magnus级数方法求解时间相关的schrodinger方程.pdf

摘要 本论文致力于研究用m a g n u s 级数方法求解时间相关的s c h r 6 d i n g e r 力程时的一些 特点和应用m a g n u s 级数方法是李群方法的一种，它构造了流形i ：的常微分方程的 数值解，特点足数值解仍在同一流形上m a g n u s 级数方法是用交换子的迭代积分的 方法在李群求解t o 的非线性微分力程，进而得到线性微分方程，( f ) = n ( 咖的解形式 ( ) = e o ( 。) 的近似本方法的一个最有吸引力的特征是如果精确解在某一流形上那么数 值解电在此流形上 论文给出了由m a g n u s 级数方法和不同求积公式结合得到的三个公式，分析给出 了它们的阶，并把方法用于求解时间相关的s c h r i i d i n g e r 方程，给出m a g n u s 级数方法 和其它方法的比较通过数值试验给出了m a g n u s 级数方法求解含时s c t n ) d i n g e i 方程 时能够很好的保持模方守恒，这是物理学家们极为关注的一个物理量，从数值结果中叮 以看出m a g n u s 级数方法可以很好的保持辛积守恒 关键词；m a g t m s 级数方法s c h r s d i u g e r 方程李群李代数流形上的微分方程 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w em a i n l yd i s c u s s e ds o n l ef c a t u r e sa n da p p l i c a t i o n so t t h em e t h o do f m a g n u ss e i i e s t h em e t h o do fm a g n u ss e r i e sh a sr e c e n t l yb e e na n a l y s e db yi s e r l e sa n dn o r s e t ti ta l s o i so n eo fl i eg i o u pa l g o l i t h m st h em e t h o di su s e dt oc o n s t r u c tt h en u m e r i c a ls o l u t i o no f d i f f c r e n t i a ie q u a t i o ne v o l v i n go nt h es a r l em a n i f o l da st h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n t i l em e t h o do fm a g n u ss e r i e sa p p r o x i m a t e st h es o l u t i o no ft h el i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y l ( ) = a ( o vi nt h er o ii l l ( f ) = e “( “s o l v i n gan o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt b r 口h yn e a n 8 o fa ne x p a n s i o ni ni t e r a t e di n t e g r a l so fc o i i i l e ul a t o r sa na p p e a l i n gf e a t u r eo ft h em e t h o di s t h a t ，w h e n e v e rt h ee x a c ts o l u t i o ne v o l v e si l l at i eg lo u p ) s od o e st h en u m e r i c a ls o l u t i o n t h r e ef o r m u l a sa t _ eg i v e nb yc o m h i n i n gt h em e t h o do fm a g n u ss e r i e sa n ds o l n ed i l i e ln l q u a d i a t t l l ei nt h i sp a p e r m o r e o v e r 1a n a l y e da n dg a v et i l eo t d m o ti h r e et o r m u l a sa n du s e d t h e t nt os o l v es e h r 6 d i n g e re q u a t i o n k e y w o r d s ：t h em e t h o do fm a g u ss e li e s s e h r 6 d i n g e re q u a t i o n l i eg r o u pl i e a l g e b r a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同 ：作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：笨硷日期：乏蟹筻 ，2 l学位论文作者签名：互秘脚日期：乏蟹妄f ，2 l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全_ r 解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位沦文的复印仆和磁慌，允许论文 被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盏墨n 一指导教师签名： ，圣l 垒丛鱼 日期；q 笺21 日 期；一! ! ! ! 墨一纠 电话：f 羔邀孑。； 邮编：角勉 勋，形心髻步_ 町，h 给 秣嵇 ：鹑缕 一瞥怖 川 ，| 止 止一僦舭 艾 碇 沦应挚 引言 以往在求解微分方程时人们关心的是数值方法的相容性、收敛性、稳定性、截断误 差等，没有考虑系统本身所具有的几何性质 冯康先生指出“当代汁算方法的一条不成文的基本法则是：问题原型的基本特征在 离散后应该尽可能的保持而为了达到这一效果则离散应进可能在问题原型的同一形 式框架中进行”微分方程足一个连续的动力系统，一个数值方法对这个动力系统的近 似可以看作是一个具有固定时间步长的离散的动力系统去模拟连续动力系统，在这个 意义一k ，我门很自然的要求数倩模拟应废在同一几何框架巾进行，尽可能多的保持原来 连续系统的性质 凶为量予系统是一个无穷维的哈密顿系统，哈密顿系统的解流的j a c o b i 矩阵在辛 群却( ”) j ：而时间相关的s c h r s d i n g e r 方程是哈密顿系统，所以s c h r s d i n g e r 方程的 精确解在流形上它的解( 波函数) 的时间演化保持酉积守恒，这等价予模方守恒和辛 积守恒因此我们希望能在数值解在流形i 二且能保持模方守恒和辛积守恒 用流形而不用r “的一个重要原因是：恰当的构形空间常常可以表达微分系统所隐 含着的几何性质，如守恒律、对称性或对称结构，由此可以带来数值上的一些益处李 群是微分方程的解流上的变换群，f n - 是它是一个非线性空间，这就使得在一般流形上的 线性运算不封闭，即运算结果不在李群上，而李群所在的李代数却是线性空间，对线性 运算封闭，李群g 上的微分方程在任意邻域内局部结构能够在李代数g 上描述，而且 如果李群g 有一个李子群h ，那么一定存在李代数g 上的一个李子代数”来描述李子 群i i 的内部结构网此在李代数上可以构造各种解流形上的算法 m a g n u s 方法的基本思想尾找出在y 处的切空间中的元素，然后找出所对应的在原 点处的切空间中的元素，即该李群所对应的李代数的元素，从而计算从李代数到李群的 指数映射，求出所对应的李群巾的元素，从而用本方法作用最终求出原微分方程的解 人们很就已经知道了y = a ( t ) y ，y ( 0 ) = y n ( a ( t ) 可能是矩阵或线性算子) 的解可以局部 表示成( ) = e 。，c ) 。的形式，其中一满足某个非线性微分方程若g 是李群，g 是g 的 李代数，这个表示的一个重要优点是：当y g ，a ( t ) ：r t _ g 时，若口( t ) g ( f o ) 则 g ( t ) ( t 0 ) 在6 f 卜这是解的一个非常重要的特征，我们希埋在离散时能够保持它 由于集合g 是线性窄问，所以更适合离散所以求解o - g 提供r 一个恢复李群结构的 很好的方法 本文的结构如下：引言介绍m a g n u s 方法的主要思想及背景第一章介绍r 有关流 形、切空间、李群及其对应的李代数和流彤f ：的微分方程的慨：念及相关的引理与定理， i 第二章讨论了辛代数的性质和哈密顿系统的一些概念第三章对m a g n u s 级数方法的基 本概念和理论进行厂讨沦，给出了方法的一些推导最后一章是m a g n u s 方法用于求解 线性含时s c h r 6 d i n g e r 方程的数值算例，并对不同的算法进行了比较 ， 第一章流形及其上的微分方程 1 1 流形和切空间 定义11 拓扑流形设m 是一个h a u s d o r f f 空问，若对任意 个邻域u 同胚于- 维r ”中的一个开集，称它为i l 维拓扑流形 定义12 微分流形设m 是一个拓扑流形，若在m 上给定r 称m 是一个c 7 。微分流形 n r n 的邻域 ，的局部流形的两种表示方法： ( 1 ) 由约束 点z m ，都有x 的一 - 个f r 微分结构，则 其中口：f ，斗r m 尾可微的，满足9 ( o ) = 0 和9 1 ( 。) 是满秩( 即秩为”一) ，给出了。r ”的 邻域u 的局部流形的种表示方法 ( 2 ) 局部参数给出了表示流形的乃一种方法殴妒：v 一 r ”是可微的( vc ， 是0 的邻域) ，妒( o ) = n ，假定咖7 ( o ) 是满秩的( 即秩为，zm ) 则流形可以出卜 面的表示 局部给出 m = g = 妒( 。) ：z v ( 1 2 ) 因为v 足充分小的，所以妒：v _ 妒( v ) 足双射，它有连续的逆变鞋z 称为流形的参 数或局部坐标 曲线的切线( 或曲面的切乎面) 是通过点n m 的仿射空间把n 点设为原点可 以得到一个向量空间对一个流形m 我们定义一个n m 点的切空问为m = w 朋l 存在条微分路径 r ：( 一，e ) 斗r ”，对所有t 和1 ( ) m ，有了( o 卜n ，( o ) = u ) 定义13 李群设g 足一个微分流形，同时g 也是一个群，如果群运算，即乘法运 算 g g 一 g 和逆运算 | _ j 一、f g 足光滑映射，那么我们称g 是一个李群 3 定义14 李代数设g 是一个向量空间，如果g 上存在一个双线性映射h 】g x g _ g 满足 【n ，b 】= b ，a ， k b ，( 1 + b ， c ，。 】十 c ， a 州= 0 v a ，b ，c g 那么，g 就是一个李代数，h 】称为李括号其中李括号的定义如下 h 加羔| l = = 。g ( t 咖。 9 ( f ) ， ( s ) g ，g ( 0 ) = h ( 0 ) = e ，g 。( o ) = “，h ( f ) ) = n 常见的李群及其对应的李代数： ( 1 ) 一般线性群g l ( n ) 一 y d e t y 0 ) ，对应的李代数为目【( n ) = al4 是任意 n 矩阵) ( 2 ) 特殊线性群s l ( n ) = y | d e t y = 1 、对应的李代数为s t ( n ) = a | t r a c e ( a ) = o ( 3 ) 正交群o ( n ) = yiy y = ) ，对应的李代数为$ 。( n ) = aja 4 - a = 0 ) ( 4 ) 特殊正交群s o ( n ) = y d ( n ) ld e f y = l ，对应的李代数为5 0 ( n ) = a 4 丁+ a = 0 ，t r f u ：e ( a ) = 0 1 ( 5 ) 辛群s p ( n ) = = = y | y 7 j y = t ，) ，对应的李代数为s p ( ) = 4l j 4 + 4 j = o j 下而结合李群来讨论李代数，设g 是一个李群，它的李代数就是“在单位处的切 空间g = 瓦g ，v 为切向量 = ；d o h ( ) ，z ( f ) g ，f ( 。) 。e 引理1 1 如果微分流形m 由( 1 】) 给出，其巾g ：ujr 是可微的，9 ( n ) = o 和 g ( n ) 是满秩的( 即秩为m ) ，则我们有 死m = k c r 9 7 ( n ) = t j r ”l9 ，( n ) = o 如果m 由( 1 2 ) 式给山，其中妒v _ 咒“是可微的，妒( o ) = 。，咖，( o ) 足满秩的( 即秩为 ”一m ) ，则有 ? i a ，= 7 n 妒( o ) = 妒7 ( o ) t uj u 3 r ”) 证明：( 1 ) 由于路径7 ( t ) 满足，y ( o ) = o 9 ( 7 ( t ) ) = o ，所以进行微分可得g l ( n ) ( u ) = 0 因此有1 j m k e r 9 7 现在考虑函数f ( t ，“) = 9 ( n + “，+ + g7 ( ) 7 “) 有f ( o ，o ) = 0 和可逆的d i 0 7 4 0 ，0 ) = _ m z ) g7 ( o ) 网此由隐函数定理只对”二- “( t ) 可以局部求解f ( t ，u ) = o 如果t ，k ”9 ( r ，) 则“( o ) 一0 ，日路径? ( t ) = 。+ “，+ + 目m 力7 ”在满足切空间定义中微分路径的条件，网此 y ：，m ) k e r g ，( f ) ( 2 ) 假设m 由( 1 2 ) 给出，对任意满足q ( o ) = 0 的”( 一，e ) _ r “”，路径7 ( z ) = 妒( ”( t ) ) 在m 上，满足( o ) = 妒，( 0 ) i ( o ) 这就证明了m 妒，( 0 ) ct a m 由妒，( o ) 的阶的假 设可知经过元素重排后，有砂( 。) = ( 妒- ( = ) ，妒。( 。) ) f ，其中妒- ( z ) 是局部同胚( 由逆函数定 理) 证明了存在某个光滑的”( ) 使得m 上的每个光滑路径7 ( t ) 可以写成7 ( t ) = 妒( q ( t ) ) 形式因此l mc m ( 0 ) 为了证明这- 点，根据妒的分块把7 ( t ) 分裂为( t ) ，7 2 ( t ) ) 的形式，定义q ( t ) 一妒i 1 ( ，y l ( t ) ) 因为对7 ( t ) m 第二个部分7 2 ( t ) 由吖l ( t ) 唯确定， 这就证明了，y ( ) = 妒( q ( t ) ) 51 2 流形上的微分方程 定义1 5 流形上的微分方程假设y o m 如果i = f ( y ) 的解满足对任意的t 都有 y ( t ) m 则称口= f ( y ) 为流形m 上的微分方程 定理1 2 设m 是r ”的子流形，方程0 = f 【) 是流形m 二的微分方程当且仅当 ，( ) 死g y m( 13 ) 证明：因为微分方程和f ( y ) 的精确解在流形m 已所以由j m 的定义可以推出 ( 1 3 ) 的必要性 为了证明充分傩，假设( 1 3 ) 成立，并设m 由( 11 ) 巾的参数化y ：= 妒( z ) 在y o 附近 给出我们试着写出j = ，( ) ，v ( o ) = y o = 咖( z o ) ，其中y ( t ) = 妒( z ( ) ) ，的解如果这是可 能的，则z ( t ) 必定满足 妒( z ) 三= ，( 妒( z ) ) 内假设( 1 3 ) 和引理1 1 的第二部分知 未= 币( z ) + ，( 妒( z ) ) ，( 14 ) 其中( z ) + = ( 妒( z ) 7 1 妒协) ) 1 妒沁) 了1 表示满秩矩阵妒协) 的伪逆相反，定义z ( 为 z ( o ) = z 0 时( 1 4 ) 的解，由r “中常微分方程的标准存在唯一j 生定理可知解局部存在 则g ( ) = 妒( z ( ) ) 足d = f ( y ) 的解，其中y ( ) 妒( z ( ) ) 因此( ) 的解在m 上 李群是一个微分流形，记为g 我们只考虑矩阵李群，即可逆n n 矩阵群g l ( , n ) 的子群，群运算为矩阵乘积 引理1 3 ( 李括号和李代数) 设g 是一个矩阵李群，设o = 毋g 屉单位处的切空间 李括号( 交换子) ab 卜a b b a 定义j ，一个g 。g _ g 运算，这个运算是双线性的和反对称的( 口 _ 【日，a i ) 且满足 稚各比( 3 a c o b i ) 等式 l ，f b c + f g ， 1 、口 j + 仃，f a0j = o 5 证明：由切空间的定义知，对a ，b g ，在g 上存在微分路径n ( ) ，z ( t ) ( i t l e ) 满足 。( t ) = f + t a ( t ) ，其中连续函数a ( t ) 满足 ( 【) ) = 4 ；类似p ( t ) = ，+ t b ( t ) ，b ( o ) = b 现在 考虑gl 由 1 ( ) = c v ( 以) 卢( 以) “( 以) 一1 卢( 以) ，t 0 定义的路径7 ( ) 计算可得 ，y ( ) = j 十t a ，b 1 + o ( t ) 对负t 令7 ( ) = ，y ( ) 。则7 ( ) 是g 上的可微路径，满足7 ( 0 ) = ，y ) ( o ) = i a ，b 】因此 由切空问的定义知【a ，口 g 李括号的性质可以很容易证明 引理l3 表明矩阵李群g 在单位处的切空间g = t j g 在它7 i 素的交换下足闭的， 因此g 就足李群g 的李代数 引理1 4 ( 指数映射) 考虑一个矩阵李群g 和它的李代数g 矩阵指数是映射 趴对a g 我们有e z p ( a ) g 而且，e x p 是a = = 0 的某个邻域的局部微分同胚 证明：对于a g 由切空间g = 乃g 的定义可知g 上存在一个可微路径o ( t ) 满 足n ( o ) = 和r j ( o ) = a 对固定的y ( ? 路径- r ( t ) ：= a ( t ) y 在g 上，满足7 ( o ) = y 和 ( o ) = a y 因此a y ? v g 和y = 以y 定义厂流形g 上的一个微分方程所以对所有 t 解y ( t ) 一= e x p ( t a ) 在流形g 上 冈为e p ( 盯) 一- e ：c p ( 0 ) = h + o ( t t 2 ) ，所以在a = ( 1 处的指数映射的导数是单位矩 阵，由反函数定理知e x p 是a = 0 的某个邻域的局部微分同胚 引理14 表明指数映射生成单位附近李群的一个局部参数化，李代数( 线性空间) 作 为参数空间引理14 的证明表明对于矩阵李群g 而言，y g 处的切空间的形式为 由定理11 知矩阵李群( 看作是流形) f ：的微分方程可以写作 y = a ( y ) y 其中对所有y g 有a ( y ) g ， 定理1 5 设( ? 是矩阵李群，g 足它的李代数 g ，则对任意t 微分方程( 1 5 ) 的解满足y ( f ) g 6 ( 15 ) 如果对所有y g 有，4 ( y ) - cg 和 第= 章辛代数与哈密顿系统 52 1 辛代数简述 设y 2 ”是2 n 维实线性空间，标准辛矩阵为 ，= ， 其中，和0 分别足n 阶单位矩阵和零矩阵j 具有性质。， 定义2 j 令( 是v 2 ”中的元，则辛集定义为 匠c = 7 l ，( = ( “。( ：) 线性空间v 具有辛积后称为辛空间在线性空间v 上取定 个2 n 阶矩阵，每个2 n 阶矩阵x , j 应一个线性算符因此 矩阵不加区分， 组举，每个线性算符对应 在下面对线性算符和它的 定义2 2 设s 是vf ：的线性变换，如果s 保持辛积守恒，即对f 、v ，有f 鞋， 熙( 则称s 为事变换 定理21 辛空间 二的一个线性变换s 是辛的充分必要条件为s t i s = 。， 定义2 3 如果2 7 1 阶矩阵b 满足 j b + b t j = o 则称b 为无穷小辛矩阵 定义24 所有2 n 阶辛矩阵在矩阵乘法f 构成群，称为辛群，记作却( 2 n ) ；所有无穷 小辛矩阵在交换子运算f a ，口】= a 3 一b a 之下组成一个李代数，记作s p ( 2 n ) ，它是李群 跏( 2 n ) 的李代数 下面是辛群的一些简单性质 性质1 若s 却( 2 y z ) ，则d e t ( s ) = 1 性质2 若s 却( 2 ) ，则s 一= 一j s 丁j = 广1 s j 性质3 菥s s p ( 27 0 ，则s 。i s 7 1 = j 性质d la 。，b 0l 却c 。州， 当上土仅当爿- ( b 7 ) 性质5 s = ，1 n ( 却( 2 ) ，当且仅当m 7 ， ，= n 7 j 性质6 若仃5 p ( 2 n ) ，则e x p ( b ) 却( 2 n ) 性质7b s p ( 2 n ) ，1 j + b 1 0 ，则1 ：( ，4 - b ) 1 ( j 一 ) s p ( 2 r 0 ，将j 1 称为b 的 c a y l e y 变换 2 2 哈密顿系统 牛顿力学研究质点组在二维欧氏空间中的运动，它满足牛顿运动方程；拉格朗日 力学用广义坐标和广义速度描述运动，它满足拉格朗日方程；哈密顿力学用广义坐标 q ( t ) = ( q l ( ) ，q 2 ( t ) ，q 。( ) ) 和广义动量p ( t ) = ( p 1 ( t ) p 2 ( t ) ，p 。( t ) ) 描述运动，系统的 能量是它们的可微函数h ( p ，q ) ，称为哈密顿函数，系统的运动满足哈密顿正则方程 面d p i 筹，警= 豢z = t ，z ，n ， c z - ， d t i ! ，f n d 扫p 。 “ 。 、 或 塑：一塑 塑：! 坚 d 出 却 其中 o h 臼ha h 1 0 v o i l0 h 1 1 勘一【幽l = j o p 【却1 却。 令z = ( 轧m 洲”胁) t ， o 丽i i = 【而0 1 f ，鬻，鬻，鬻) 。则正则方程( 2 1 ) 町 写成 石d z = j - 1 筹 1 2 1 ) d t a z j 定理2 2 正则方程在辛变换下形式不变，即如果s 是辛变换， z = s ( 1 ) ，u ( z ) = 日( s ( ) ) = 自( 2 ) ， 那么正则方程变为 i = j - i 瓦o l l = j 一1 也 ( 2 2 ) 定理2 3 ( 哈密顿力学基本定理) 正则方程的解由一个单参数辛群9 ，卜6 f 6 生 成，g k 是辛变换， g o = i d ，9 努+ 2 = 口备9 留， l d 是恒等变换，如果z ( o ) 是初始条件，则正则方程( 2 j ) 7 的解为 2 ( t ) = 口 ，( z ( o ) )( 23 ) 9 ；，称为正则方程( 21 ) 的相流 哈密顿系统称为可分的，如果哈密顿函数可表成 这时正则方程( 2 1 ) u 1 以写成 塞= 叫，五d q 刮) ( 2 4 ) 哈密顿系统称为是线性的，如果哈密顿函数是z 的二次形 h ( z ) = ：z 丁g 。， g 7 = g 这时方程( 2 1 ) 7 可写成 鬈= b = 一g ，( 2 5 ) 容易验证，矩阵b 是无穷小辛矩阵，方程( 2 5 ) 的解为 z ( t ) = 9 t ( z ( o ) ) 9 。= e x p ( t b ) 即相流足无穷小辛矩阵的指数变换，据性质6 它是辛矩阵。 对线性叮分哈密顿系统，哈密顿函数为 h c p ，q ，= ：( p r ，q 7 ) g ： = i c r u p + q f 矿q ， 其中i ，c 功是动能， q 了1 v q 是势能， g = u 。斗 u = u r 且正定，v = v 1 ，g = g t ，则方程( 2 4 ) 可写成如下更简清的形式 塞= - v q , 面d q = u p ( 2 6 ) 考虑一维含时s ( ：h r s d i n g e r 方程的初边值问题 i 糍生= 州) ，灯= 一；是圳卜c w 0 、 7 级数( 3 4 ) 对所有矩阵1 2 都收敛。 证明；( 3 3 ) 两边同乘以( k 1 ) 1 并相加，然后交换求和，让= k t l 得 ( 知一q ) h 一赢i 1k - l ( 。：，) a d 圳一1 2 萎萎高。! ( 峨( 归 由线性算子a d a 有界( 忙d n | ，s2 1 1 a 1 1 ) 可以得到级数的收敛性 引理3 2 ( b a k e r l 9 0 5 ) 如果线性算子n d f 2 的特征值不等于2 l n i ，1 ( 土l ，土2 ，) ，则 d c x p a 是可逆的而且对忡| | 0 。 其中b 是贝努力( b e r n o u l l i ) 数，由k 0 ( 3 k k ! ) z 。= z ( e 。一l ) 得到 汪明；d c x p f i 的特征值为p = k oa ( + 1 ) j _ ( 一一1 ) a ，其中 是n d n 的特征 值由假设知，不为0 ，冈此d e x p n 是可逆的由贝努力( b e r n o u l l i ) 数的定义结合( 3 5 ) 和( 3 4 ) 得到等式对忡 ”由i l a d x l l l 2 1 1 n 1 i 和级数z ( c 。1 ) 的收敛半径为2 ”可以 得到收敛性 5 3 2 m a g n u s 展开 流形上的线性矩阵微分方程可以写成如下形式 y 一：a ( ) k0 ，y ( 0 ) = g o g( 3 6 ) 其中a ( t ) ：r g _ g 荚于时间t 连续的反对称矩阵，a g 和y g 当a ( t ) 为一元 丽数时( 3 6 ) 的解为 即) = e z p ( ：t ) 打) ( 37 ) 当矩阵a ( t ) 和詹a ( r ) d v 可交换时解同上，即( 37 ) 是( 3 6 ) 的解在通常的a ( ) 和 厝a ( r ) d r 不可交换情形，我们用m a g n u s ( 1 9 5 4 ) 展开方法来求解，寻找满足 y ( t ) = c x p ( n ( t ) ) 的矩阵函数，主要问题是矩阵指数逆的导数在引理32 中已经给出 咖烈卟赢鲁n d ( 砚 ( 3 8 ) k ) u 其中仇是贝努力( b e r n o u l l i ) 数，a d f 2 ( a ) = 阻a 卜f t aa f t 是伴随算子 定理3 3 ( m a g n u s l 9 5 4 ) 微分方程( 舶) 的解可以写成y ( t ) = c x p ( n ( f ) ) y o ，尽中f t ( t ) 山r 式定义 n = d c x p i l ( a ( t ) ) ，q ( 【j ) = 0 ( 39 ) j 要忡( t ) | | 0 ，当x 时( ，。) 可以看 作0 在含时s c h r 6 d i n g e z 方程( 41 ) 中用财称差商业上l 豢出一代替偏导数乐( ，z ) ) ， 原子势v ( t ，z ) 是局域的或速降的，所以町以假设皿( t ，z n ) = ( ，z ) = ( 】设( t ，z ) = p ( t ，。) + z q ( ，) ，并假设。( ) 是4 n 一2 维向量，z = ( q ( t ，z + 1 ) ，q 。v 一1 ) ，p ( t ，。1 1 ) ， p ( t ，z n 一。化则方程( 41 ) 的离散化形式是 - - 7 ：z = k z( 4 2 ) 其中 酊= j ：； = j ，j = 二： ，h = s 。s 0 n0 l i 0 12l 0l一2 蠹，1 其中n r + 1 = v ( t ，”_ 1 ) ，一，一l = v ( t ，。一1 ) ，这里，和0 分别是2 n1 阶单位矩 阵和零矩阵，2 n l 阶矩阵s = u + i ，容易看出，s 是实对称矩阵，k 是无穷小辛 矩阵，方程( 4 劭是一个正则方程令a ( ) = ( t ) 则呵以用( 3l ( ) ) - ( ；l i ) 和哆1 2 ) 解线 性s ( 、h r 6 d i n g ( j r 方程 3 2 模方守恒和辛积守恒 1 6 d 矿 1 = y ， 之00 议s 是一个对称矩阵，f 面k 足一个反对称矩阵， k ：l o 栖l 卜h s 0 j k 的不同乘积分别为 k 4 n = “詈4 ”。昌。 ，r 4 n + l = 一。 毒。+ 。( s ：”+ 1 e 4 ”+ 2 = = ( “暑4 n | _ 2 一。，。三。+ ： ，c 4 13 = = 。，；。+ 。( ，。管4 f l j 3 r ，一( k ) 的展开e m p ( ) = lc 。o i , s 。( h ( 。s ，) ) ：；：；l ，设v 。+ t = e 、r ”( v ) r 。，皿“ ；? j 1 。、l。曙、( e z p ( ) ) 7e z p ( ，f ) k 。 = 埒c o , s ( h s ) 删圳雠瓣- s i n m ( h 雾s 卜 = 碟k 令k 一一( 。+ ，。2 ) 可以推h 隐巾点一m a g n u s 方法保持模方守恒在本 仑文中我们对 e 叫( ，f ) 做了截断，所以若e z p ( ) 截断的阶越高则隐中点m a g n u s 方法越能更高阶地 保持模方守恒，类似地得到可以证明高斯m a g n u s 方法和辛普森一m a g l m s 方法也都 可以尽可能高阶地保持模方守恒 由于 c e z c ，7 1 j e z c ，= c o s ( h s ) ，s i n ( h s ) j , c s 。i n s ( ( h s s ) ) ：- s 。i 。n 。，( 。h s s ， = t ， 所以令= | 4 ( z ，。+ 2 ) 可以推出隐中点一m a g n u s 方法保持辛守恒因为本论文对 e z p ( k ) 做了截断，所以隐中点一m a g n u s 方法不保持辛守恒，但是c z p ( ) 的截断阶越 高则方法越能更高阶地保持辛积守恒，同样可以得到高斯一m a g n u s 方法和辛普森 m a g n u s 方法也都可以尽可能高阶地保持辛积守恒以下的数值结果验汪了我们所得到 的结论把m a g n u s 方法与经典4 阶r u n g e k u t t a 方法和4 阶g a u s s l e g e n d r e 方法进 行比较经典4 阶r u n g e k u t t a 方法和4 阶g a u s s t 。e g e n d r e 方法的b u t c h e r 表分别为： 攀 对比图l ，2 ，3 和图4 ，5 可以很明显看出三个m a g n u s 方法和4 阶g a u s s l e g e n d r c 方法的模方守恒尾同一个数量级，而4 阶r u n g e k u t t a 方法不能长时间保持模方守恒 我们已经知道4 阶g a u s s l e g e n d r e 方法是 守恒方面可以与辛算法媲美因为；! o 个辛方法，所以m a g n u s 方法在保持模方 1 ，所以i y 丁xy l l 可以看作解流偏离精确 解所在流形的距离，从图可以看出m a g n u s 级数方法能够使解流偏离精确解所在流形的 距离非常小，近似地看作数值解在精确解流形卜观察图6 ，7 ，8 可以看出三个m a g n u s 方法都很好的保持辛积守恒我们可以把i b 7 。，b j i 看作是偏离辛群的距离，所 以从上面个图可以看出m a g m l s 级数方法能够使矩阵偏离辛群的距离非常小三个 m a g n u s 方法的时问步长h = o 0 1s ，4 阶g a u s s l e g e n d r e 方法和4 阶p 。u n g e k u t t a 方法 的时间步长为h = o 0 0 1 s 1 8 0 9 8 7 6 5 4 i p i x 1 0 - 1 h2g a u s s m a g n u s 方法 图3s i l n p s o n m a g n u s 方法 图4 4 阶r u n g ek n t t a 方法 8 r 6 l 。1 4 3 2 【l 上x ， x 1d 一1 图54 阶g a u s s l e g e n d r e 方法 图6m i d p o i n t m a g n u s 方法 ；x n1 02 0 3 0 4 0 5 05 07 0 b o9 0 1 d 0 01 02 03 04 05 0 6 0 7 08 09 01 0 0 圈8s i m p s o n m a g n u s 方法 进行每步计算时4 阶r u n g e l u b t a 方法需要进行矩阵加法和乘法运算，4 阶g a u s s l e g e n d r e 方法需要进行矩阵加法、乘法运算和求解线性方程组，m a g n u s 方法不仅需 要矩阵加法和乘法运算，还需要一个矩阵指数计算所以m a g n u s 方法进行计算时每步 需要的计算量最大 如何在李群内逼近c 矩阵指数仍是一个开放性问题，本论文中用t a y l o l 、逼近代替 t 、矩阵指数的计算，但是在f 2 2 中已经证明了把s 【( n ) 映射到s l ( n ) 的唯一映射是指数 映射因此7 l t 3 - i o i 展开代替e 矩阵指数不能使数值解流保持在解析解流的流形上，但 是从l ：面的图可以看出解数值解流偏离精确解所在流形的距离非常小，近似地看作数 值解一；精确解流形上 1 。 瞄 。 孙 o i暑x 参考文献 【1 l s e r l e s ，a n o r s e t t s ，p 、o nt h es o l u t i o no fl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o r m i nl i eg l o u p s ， t e c h n i c a lr e p o r t1 9 9 7 n a 3 ，d e p a r t m e n to fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dt h e o r e t i c a lp h y s i c s ， u n i v e r s i t yo f lc a m b r i d g e ，e n g l a n d 【2 m a g n u s ，w ：o nt h ee x p o n e n t i a l s o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o ral i n e a ro p e r a t o r l c o l i l l np u r ea n da p p l m a t h 7 ，6 4 9 6 7 3 ( 1 9 5 4 ) 3 i l ih o i l g - w e i q i nm e n g - z h a o ，v o l u m ep r e s e r v i n gr - k m e t h o df o rl i n e a rs y s t e m ，a c t , a m a t h a p p ls i n i c a ，2 3 ( 1 ) ，7 5 9 7 ，( 2 0 0 1 ) 【4 i s ml e s ，a z a n n a ，a q u a l i t a t i v en u n l e r i c aa n a l y s i so fo r d i i l a lyd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， i n i ，r e n e g a t ，m s h u b s s n l a l e ，e d s ，7 l e c t u r e si na p p l i e dm a t h e m a t i c s ：a m s ，p r o v i d e n c e 1 2 ii ) a m t pt e c h n i c a lr e p o r t1 9 9 5 na 0 5 5 f e n g ，k s h a n g z - j ，v o l u m e p r e s e r v i n ga l g o r i t h m si b rs o u r c e l t e ed y n a m i c a ls y s t e l n s ， n u m e rm a t h 7 14 5 1 4 6 3 ( 1 9 9 5 ) 6 c o o l s ，r c o n s t r u c t i n gc u b a t u r e 如l m u l a e ：t h es c i e n c eb e h i n dt h ea r t l ，a e t , an u m e r i c a 6 ，1 - 5 4 ( 1 9 9 7 ) 7 c r o u c h ，pe c r o s s m a n ，r n u m e r i c a li n t e g r a t i o no fo r d i i l a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o i l s o i lm a n i b l d s 、jn o n l i n e a rs c i 3 ，1 - 3 3 【1 9 9 3 ) 8 d a v i s ，p ，r a b i n o w i l z ，p ，m e l h o d s o fn u m e r i c a li n t e g i a l , i o i l ，a c a ( 1 e m i cp i e s s ，n e w y o r k ( 19 8 4 ) 【9 c e l l e d o n i ，el s e r l e s ，a ，a p p r o x i m a t i n g t ee x p o n e n t i a lf r o mal i ea l g e b r at ol i eg t o l l p ， d a m t p ，u n i v e r s i t yo fc a m b r i d g e ( 1 9 9 8 ) 1 0 z a n n a ，a ，t h em e t h o do fi t e r a t e d e o m l n u t a t o r sf o ro i d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o nl i eg r o u p s ，t e c h n i c a lr e p o t l _ 1 9 9 6 ，d e p a r t m e n to fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n df h e o r e t i c a l p h y s i c s ，1j n i v e r s i t yo fc a m b , i d g e ，e n g l a n d f 11 w s e l o v ，a ，p ，i n t e g r a h i ed i s c r e t e i i m es y s t e m sa n d d i