油管铺设问题.doc

1 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米9.4万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）313628请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米10.2万元，输送B厂成品油的每千米12.0万元，共用管线费用为每千米15.7万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。2 问题分析问题一：因为两炼油厂见的距离及到铁路线的距离不确定，假设两炼油厂的位置，又因为可能存在共用管线，所以模型的建立分为管线共线和非共线。在共线情况下，又分为共用管线和非共用管线的价格相同与不同两种情况。最后通过相似三角形、导数、偏导数方法求极值解答出动点P在什么位置时所需要的费用最低。问题二：炼油厂位置确定，A、B炼油厂分在不同的区域，输油管的铺设情况不同。铺设城区管线时需要增加拆迁和工厂补偿等附加费用，根据题目信息分析三家咨询公司，哪家公司价格估算权重大和本工程应该有的技术要求的考虑，选出符合要求的一家咨询公司。因为共用管线和非共用管线价格相同，即P1=P2时，代入问题一的三种不同情况，根据已知条件列出方程式，利用偏导得出管线费用最少时的设计。问题三：A、B两炼油厂分别采用不同费用的管线，根据光的折射定理，及问题一、问题二的模型结果，列出方程式，利用偏导得出管线费用最少时的设计。3 问题假设1、 所有铁路均为一条直线，不考虑曲线等其他地形情况。2、 加入车站正好落在郊区和城区线上，按郊区计算。3、 不考虑施工工艺对管道铺设的影响。4、 相同资质的工程咨询公司在估价中权重相等，且忽略聘请公司等费用。5、 车站和炼油厂均视为质点，两炼油厂分别为点A、点B，车站为点C，共用管线和非共用管线的节点为点E。4 符号说明符号名称单位含义akmA炼油厂到铁路线的垂直距离bkmB炼油厂到铁路线的垂直距离ckmA炼油厂到城郊交界线的水平距离lkmA、B炼油厂的水平距离M万元/km管线建设总费用m万元/km城区铺设管线所需得拆迁附加费用P1万元/km非共用管线的单价P2万元/km共用管线的单价PA万元/kmA管线铺设价格PB万元/kmB管线铺设价格xkm坐标系中车站C距原点的距离ykm坐标系中共用管线和非共用管线的交汇点E到铁路线的垂直距离zkm城郊交界线上管线的转折点到铁道线得垂直距离5 模型的建立与求解模型一：不考虑城郊区域划分的管道铺设的最省费用：先考虑管线非共线的情况：以铁路线为x轴，A炼油厂到铁路线的垂直方向为y轴，交点为原点，建立直角坐标系。A到原点的距离为a，B到x轴和y轴的距离分别为b和 l。设车站点C的坐标为（x，0）A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0AC=x2+a2 ，BC=b2+l-x2管道建设总费用为 M=P1AC+BC=P1x2+a2+b2+l-x2求偏导数得Mx=P1xx2+a2+P1(x-l)b2+l-x2当偏导数等于0时，x=ala+b再考虑管线共线的情况：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YXE（x，y）0AE=x2+（y-a）2，BE=（l-x）2+（b-y）2，CE=y若非共用管线和共用管线的价格相同，即P1=P2时：管线建设总费用M=P1AE+BE+P2CE=P1（AE+BE+CE）=P1x2+（y-a）2+（l-x）2+（b-y）2+y （图像见附件1.2）求偏导数得Mx=P1xx2+（y-a）2+P1(x-c)（l-x）2+（b-y）2 My=P1(y-a)x2+（y-a）2+P1(y-b)（l-x）2+（b-y）2+P1当偏导数等于0时，x=l2+3(a-b)2y=a+b2-3l6若非共用管线和共用管线得价格不相同时：管线建设总费用M=P1AE+BE+P2CE =P1x2+（y-a）2+（l-x）2+（b-y）2+P2y （图像见附件1.3）求偏导数得Mx=P1xx2+（y-a)2+P1(x-l)(l-x)2+(b-y)2 My=P1(a-y)x2+(y-a)2+P1(b-y)(l-x)2+(b-y)2+P2当偏导数等于0时，x=l2+a-b24P12-P22P2y=a+b2-l2P24P12-P22模型二：划分郊区和城区时的管道铺设最省费用A、B两炼油厂位置确定，分别在郊区和城区，由于铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，应对附加费用进行评估，根据甲级和乙级资质公司特点和准确率（见参考文献），选用加权平均的算法计算这个工程需要的附加费用：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）313628m=m1+m2+m3+=0.8*31+0.2*36+0.2*280.8+0.2+0.2=31.3(万元/千米）根据题目要求，PA=PB=P1=P2=9.4万元/千米，设管线在城区和郊区的结点为点D（c，z）。当车站和管线结点在郊区的时候：先考虑只有非共线管道的情况：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）M=PAAC+PBCD+PB+mBD=P1a2+x2+c-x2+z2+l-c2+b-z2+ ml-c2+b-z2 =9.425+x2+15-x2+z2+25+8-z2+31.325+8-z2 求偏导数得Mx=P1a2+x2+P1（x-c)(c-x)2+z2 Mz=P1c-x2+z2+P1(z-b)(l-c)2+(b-z)2+m(z-b)(l-c)2+(b-z)2当偏导数等于0时，再考虑存在共线管道的情况：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）E（x，y）M=PAAE+PBDE+PB+mBD+P2CE=P1a-y2+x2+c-x2+z-y2+l-c2+b-z2+y+ ml-c2+b-z2 （图像见附件1.4）=9.45-y2+x2+15-x2+z-y2+25+8-z2+y+ 31.325+8-z2 求偏导数得Mx=P1x(a-y)2+x2+P1（x-c)(c-x)2+(z-y)2 My=P1(y-a)a-y2+x2+P1（y-z)(c-x)2+(z-y)2+1Mz=P1(z-y)(c-x)2+(z-y)2+(P1+m)(z-b)(l-c)2+(b-z)2当偏导数等于0时，当车站和管线结点在城区的时候：存在只有非共线管道的情况：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）和存在共线管线的情况：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）E（x，y）因为要考虑城区管线的附加费用，车站和管线结点在城区时的总费用M显然比在郊区时要多，所以对以上两种情况不做详细分析。模型三：实际情况下A、B管线的费用不同，求最省费用由于生产能力的不同，A、B两炼油厂所选择的油管种类也不同，A厂选择的管线单价为PA=10.2万元/km，B厂选择的管线单价为PB=12.0万元/km，共用管线单价为P2=15.7万元/km，城区附加费用不变，为m=31.3万元/km。先考虑非共用管线的情况：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）M=PAAC+PBCD+PB+mBD=PAa2+x2+PBc-x2+z2+l-c2+b-z2+ ml-c2+b-z2 =10.225+x2+1215-x2+z2+25+8-z2+ 31.325+8-z2 求偏导数得Mx=PAxa2+x2+PB(x-c)c-x2+z2 Mz=PBc-x2+z2+PB(z-b)l-c2+b-z2+ m(z-b)l-c2+b-z2 当偏导数等于0时，再考虑共用管线的情况：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）E（x，y）M=PAAE+PBDE+PB+mBD+P2CE=PAa-y2+x2+PBc-x2+z-y2+l-c2+b-z2+ ml-c2+b-z2+P2y =10.25-y2+x2+1215-x2+z-y2+25+8-z2+ 31.325+8-z2+15.7y 求偏导数得Mx=PAx(a-y)2+x2+PB(x-c)(c-x)2+(z-y)2 My=PA(y-a)(a-y)2+x2+PB(y-z)c-x2+z-y2+P2Mz=PB(z-y)c-x2+z-y2+(PB+m)(z-b)l-c2+b-z2当偏导数等于0时，6 模型的评价和优化对于模型二在存在共用管线得情况下，可对模型进行优化：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YXE（x，y）0A（0，2y-a）相当于每有一个y，都有一个最