2024-2025学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.是虚数单位，复数(

)A. B. C. D.2.已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则(

)A. B. C. D.3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为(

)A. B. C. D.4.在中，，，，则(

)A. B. C. D.5.为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校名学生的体育达标情况，抽取名学生作为样本，第个学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为(

)A.全校学生体育达标的人数 B.样本学生体育达标的人数

C.全校学生体育达标率 D.全校学生体育达标率的估计值6.已知中，是的中点，且，，则(

)A. B. C. D.7.如图，等边与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是(

)A.

B.

C.

D.8.已知，，则的最小值为(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数，则(

)A.的虚部为 B.

C. D.在复平面内对应的点位于第二象限10.佛山公里徒步自年首次推出条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到年，现场参与人数为万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示下面分别为年佛山公里徒步参与人数的扇形统计图图、年佛山公里徒步参与人数的条形统计图图，单位：万人，已知年高明线的参与人数是年的倍，则(

)

A.年佛山公里徒步总的参与人数是万

B.年顺德线的参与人数超过了年南海线与顺德线的参与人数总和

C.五条线的参与人数年与年相比增加人数最少的是三水线

D.五条线的参与人数年与年相比增长率最高的是南海线11.已知在中，，，，点为所在平面内一点，则(

)A.若为的垂心，则B.若为的重心，则

C.若为的外心，则D.若为的内心，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若，则______．13.若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为______．14.已知正四面体内部有一个半径为的小球，则正四面体棱长的最小值为______若小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体所有接触点的轨迹形成的图形面积为，则正四面体的棱长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题分

如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为中点．

求证：平面；

若，证明：底面为菱形．16.本小题分

某商场停车收费标准如下：停车时间在小时内含小时免费，超过小时的部分，每小时收费元不足小时的部分按小时算，如停车时长为小时，则按小时计算，收费元，一天之内封顶元为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了辆车一天内的停车时长单位：小时，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．

估计停车费为元的频率；

估计停车时长的第百分位数；

假设这个商场节假日一天有辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入．17.本小题分

已知向量，，函数．

求的解析式；

求的最小正周期及单调递增区间；

若在区间上的值域为，求实数的取值范围．18.本小题分

如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点．

当平面平面时，

求证：；

求点到平面的距离；

求直线与平面所成角的正弦值的最大值．19.本小题分

已知的面积为，内角，，所对的边分别为，，，点在内，且满足．

证明：；

证明：；

若，，，求及的长度．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)5=2−i．2.【答案】A

【解析】解：已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a=e1−2e2，b=λe1+4e2，且a/​/3.【答案】B

【解析】解：将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到y=sin2(x+π6)=sin(2x+π3)4.【答案】C

【解析】解：由题意在△ABC中，AB=15，AC=9，cos∠BAC=35，

则由余弦定理可得BC=AB2+AC5.【答案】D

【解析】解：由题意，i=1100xi表示样本中体育达标的人数，

∴1100i=1100xi表示全校学生体育达标率的估计值．

6.【答案】B

【解析】解：∵D是AC的中点，∴AD=DC，又∠ADB+∠BDC=180°，∴sin∠ADB=sin∠BDC，

在△ABD中，ADsin45∘=ABsin∠ADB，∴AB=ADsin∠ADBsin45∘，

在△BCD中，DCsin30∘=7.【答案】C

【解析】解：∵直线l过A且与AC垂直，

将△ABC绕直线l旋转一周所得到的几何体如下图所示：

所得几何体的表面积由圆台的下底面积，侧面积，圆锥的侧面积组成，

由圆台的下底半径为2，可得圆台的下底面积为4π，

由圆台的上底(圆锥的底面)半径为1，圆台的母线长为2，可得圆台的侧面积为(π×1+π×2)×2=6π，

由圆锥的母线长为2，可得圆锥的侧面积为π×1×2=2π，

综上几何体的表面积为：4π+6π+2π=12π．

故选：C．

画出△ABC绕直线l旋转一周所得到的几何体的直观图，结合圆台和圆锥的侧面积及底面积公式，可得答案．

本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台和圆锥的侧面积及底面积公式是关键，是中档题．8.【答案】C

【解析】解：由|OA|=2，不妨设O为坐标原点，A(2,0)，

设B(x,y)，C(m,n)，

由OA⋅OB=2，可得2x=2，则x=1，

由OA⋅OC=6，可得2m=6，则m=3，

故B(1,y)，C(3,n)，则BC=(2,n−y)，

故|BC|=4+(n−y)2≥2，当且仅当n=y时等号成立，

则|BC|的最小值为9.【答案】BC

【解析】解：复数z=3−4i，则z的虚部为−4，故A错误；

|z|=32+(−4)2=5，故B正确；

z−=3+4i，故C正确；

z在复平面内对应的点(3,−4)位于第四象限，故D10.【答案】ABD

【解析】解：∵2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，

则2016年的高明线的参与人数是1.5万人，

对于A，根据扇形图得到1.50.075=20万，

∴2016年佛山50公里徙步总的参与人数是20万，故A正确；

2016年佛山50公里徒步高明线、三水线、禅城线、顺得线、南海线参与人数分别为：

1.5万，3万，4.5万，5万，6万，

2025年佛山50公里徒步高明线、三水线、禅城线、顺得线、南海线参与人数分别为：

3万，5万，10万，12万，15万，

对于B，∵12>5+6=11，

2025年顺得线的参与人超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和，故B正确；

对于C，五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是高明线，故C错误；

对于D，南海线的参与人数2025年与2016年相比增长率为15−66=96=32，

顺德线的参与人数2025年与2016年相比增长率为12−55=75，

禅城线的参与人数2025年与2016年相比增长率为10−4545=119，

三水线的参与人数2025年与2016年相比增长率为5−33=23，

高明线的参与人数2025年与2016年相比增长率为11.【答案】ACD

【解析】解：选项A，由垂心定义可知，AO为BC边上的高线，

故AO⋅BC=0，故A正确；

选项B，由O为△ABC的重心，可得AO=13(AB+AC)，

则AO⋅BC=13(AB+AC)⋅(AC−AB)

=13(AC2−AB2)=13×(52−33)=163，故B错误；

选项C，由O为△ABC的外心，

可得AO⋅AB=12|AB|2，12.【答案】13【解析】解：∵sinα=33，∴cos2α=1−2sin2α=1−2×13=1313.【答案】13

【解析】解：已知共点力F1=(2,−1)，F2=(4,2)，则合力为F=F1+F2=(2,−1)+(4,2)=(6,1)，

又已知位移为3=(2,1)，所以合力对物体所做的功W=F⋅14.【答案】12

20

【解析】解：为使正四面体棱长最小，则半径为6的小球与正四面体的所有面均相切(为内切球)，

设此时的正四面体棱长为a，其高ℎ=a2−(33a)2=63a，

该正四面体的体积V=34a2⋅ℎ=4⋅34a2⋅6，

即63a=46，

解得a=12，

所以正四面体棱长的最小值为12；

小球可以在正四面体ABCD内任意滚动，小球与正四面体ABCD每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形，

该正三角形可视为小球球心在正四面体ABCD对应面上的投影，

因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，

该小正四面体的面与正四面体ABCD的对应面平行，距离为6，

设其棱长为d，

则34d2=643，

解得d=8，高为63d=863，

令小球与共点A的正四面体ABCD的3个面都相切时的球心为O1，点A在平面BCD上的投影为O，

则O1在线段AO上，令O1在平面ACD上的投影为E，连接AE并延长交CD于F，连接OF，

显然O是正△BCD中心，15.【答案】证明过程见详解；

证明过程见详解．

【解析】证明：(1)连接BD，设AC∩BD=O，连接OM，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以O为AC的中点，

又因为M为AA1的中点，

所以OM//A1C，

因为OM⊂平面MBD，A1C⊄平面MBD，

所以A1C/​/平面MBD；

(2)在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，可得AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以AA1⊥BD，

又因为BD⊥A1C，AA1∩A1C=A1，

所以BD⊥平面AA1C，

AC⊂平面AA16.【答案】0.1；

5.5；

8480(元)．

【解析】(1)根据题意得，停车时长落在区间(6,9]的车辆停车费为24元，频率为1−(0.1+0.2+0.25+0.15+0.1+0.1)=0.1；

(2)根据题意得：停车时长在[0,5]的频率为：0.1+0.2+0.25+0.15+0.1=0.8，

停车时长在[0,6]的频率为：0.1+0.2+0.25+0.15+0.1+0.1=0.9，

设停车时长的第85百分位数为m，由题知m∈(5,6]，

所以0.1+0.2+0.25+0.15+0.1+(m−5)×0.1=0.85，解得m=5.5，

所以停车时长的第85百分位数为5.5；

(3)依题意得一台车的停车费用的频率分布表如下：停车时长[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6](6,9]停车费用04812162024频率0.10.20.250.150.10.10.1每一台车的停车费用的平均值的估计值为：0×0.1+4×0.2+8×0.25+12×0.15+16×0.1+20×0.1+24×0.1=10.6(元)，

所以该商场节假日一天的停车费收入的估计值为10.6×800=8480(元)．

(1)根据题意即可求解；

(2)根据频率分布图即可求解；

(3)根据频率分布表即可求解．

本题考查了频率分布表，属于中档题．17.【答案】f(x)=sin(2x−π3)−32；

π，【解析】(1)因为m=(sinx,cosx)，n=(cosx,−3cosx)，

所以f(x)=m⋅n=sinxcosx−3cos2x

=12sin2x−32(1+cos2x)

=sin(2x−π3)−32；

(2)由(1)知，f(x)的最小正周期为T=2π2=π，

令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，

所以f(x)18.【答案】(i)证明见解答；(ii)2；

10−【解析】(1)(i)证明：∵梯形ABCD中，AB/​/CD，BC⊥AB，∴BC⊥CD，

∵BC=CD=2，∴BD=22，

取AB的中点Q，连接DQ，易知四边形BCDQ为正方形，

∵AB=4，可知AD=BD=22，

∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD.，

∵平面ABD⊥平面BPD，平面ABD∩平面BPD=BD，AD⊂平面ABD，

∴AD⊥平面BPD，∵BP⊂平面BPD，

∴AD⊥BP；

(ii)∵AD⊥BP，PD⊥BP，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面APD，

∴BP⊥平面APD，

∴点B到平面APD的距离为BP=2；

(2)取BD的中点M，AB的中点E，连接EM，PM，

可知PM=2，

由(1)知EM⊥BD，PM⊥BD，

设P点在平面ABD上的射影为O，则由PB=PD，PO=PO，

可得Rt△POB≌Rt△POD，从而OB=OD，

∴O在直线EM上，

设直线AP由平面ABD所成的角为θ，

则sinθ=OPAP，

可知O分别在BD左右对称位置时，OP长度相同，

而当O在BD右侧时，AP较长，此时sinθ=OPAP较小，

因此只需考虑O在BD上或在左侧的情况，

过O作OF⊥AD，则OF=DM=2，

设OM=x∈[0,2)，则DF=x，AF=AD−DF=22−x，

∴AO=AF2+OF2=x2−42x+10，OP=PM2−OM2=2−x2，

∴AP=AO2+OP2=12−42x，

∴sinθ=OPAP=2−x212−4