（物理电子学专业论文）相对论返波管用模式转换器的研究.pdf

电子科技大掌硕士论文 摘要 f 模式转换器通常是高功率微波系统中不可或缺的组成部分。列模式转换 器的研究有比较成熟的理论，一般用的是耦合波理论对它进行分析。 由俄罗斯人首先提出的低磁场相对论返波管方案巧妙地利用了一段正弦 波纹圆波导作为反射器，而非通常的截止波导，它同时还完成模式转换的任 务。采用这样的设计最明显的优点就是它不妨碍相对论电子注的通过。本文 将它作为一种特殊的布拉格反射器分析，研究结果从理论上证实了这种设计 是切实可行的。尹一矿 由我室设计的3 c m 相对论返波管需要用到一段外接弯曲圆波导模式转换 器，本文对它进行了数值计算，结果表明它有超过了9 7 的转换效率，带宽 约为8 3 7 51 0 7 5 0 g h z 。本文还对这种模式转换器中的高阶模式以及反射波 的筛选进行了讨论，给出了作为一般考虑的建议。 本文最后对弯曲波导模式转换器进行了测试，获取了它的方向图，证实 了模式转换的存在。实验还获取了用于3 c m 相对论返波管上的发射喇叭的方 向图。 关键词：相对论返波管；圆波导模式转换器；耦合波理论；近似周期性边 界：方向图 电子科技大掌硕士论文 a b s t r a c t m o d ec o n v e r t e ri su s u a l l yt h en e c e s s a r y p a r to f ah i g hp o w e rm i c r o w a v e s y s t e m f o rm o d ec o n v e r t e r , t h et h e o r yi s r i p e m o s t l yi t sa n a l y z e dw i t hc o u p l e dw a v e t h e o r y t h e 】o wm a g n e t i cf i e l dr e l a t i v i s t i cb a c k w a r dw a v eo s c i l l a t o rp r o j e c tw h i c hw a s p u tf o r w a r df i r s tb yr u s s i a ni n g e n i o u s l yu s e sac i r c u l a rw a v e g u i d ew i t hr i p p l ew a l l a sar e f l e c t o r , b u tn o tac u t o f f w a v e g u i d e i ta c t sa sam o d ec o n v e r t e ra tt h es a n l e t i m e t h eo b v i o u s l y a d v a n t a g eo ft h i sd e s i g ni s t h er e f l e c t o rd o n to b s t r u c tt h e r e l a t i v i s t i ce l e c t r o nb e a mt og oa c r o s s i nt h i sp a p e r , i t st r e a t e da sas p e c i a lb r a g g r e f l e c t o r t h er e s u l ts h o w st h i sd e s i g ni sw o r k a b l e t h e3 c mr e l a t i v i s t i cb a c k w a r dw a v eo s c i l l a t o rt h a tw a s d e s i g n e db y o u rl a b o r a t o r y n e e d sac u r v ec i r c u l a rw a v e g u i d em o d ec o n v e r t e r i t sn u m e r i c a lc a l c u l a t e di nt h i s p a p e r t h er e s u l ts h o w s i t sm o d e sc o n v e r s i o ne f f i c i e n c yi sa b o v e9 7p e r c e n t ，a n d b a n d w i d t hi sa b o u t8 3 7 5 - 1 0 7 5 0 g h z a l s o i t st a l k e da b o u ti nt h i sp a p e rt h a tt h e s e l e c t i o no ft h e s p u r i o u sm o d e sa n db a c k w a r dw a v e ，t h ea u t h o rp r o v i d e ss o m e a d v i c e a tl a s t ，w em e a s u r et h ep a t t e r no ft h ec u r v em o d ec o n v e r t e r t h er e s u l tc o n f i r m s t h em o d ec o n v e r s i o n se x i s t e n c e w ea l s oa c q u i r et h ee m i s s i o nh o r n sp a t t e r ni nt h e e x p e r i m e n t k e yw o r d s ：r e l a t i v i s t i cb a c k w a r dw a v eo s c i l l a t o r ；c i r c u l a rw a v e g u i d em o d e c o n v e r t e r ；c o u p l e dw a v et h e o r y ；a p p r o x i m a t ep e r i o d i cb o u n d a r y ；p a t t e m 电 n - 科技大学硕士论文 第一章绪论 在二次世界大战期间，主要是对雷达的研究促进了微波技术的飞速发展， 各种微波器件相继问世。对高功率微波的研究可以追溯到2 0 世纪5 0 年代， 由于它在军事上和民用上广阔的应用前景，世界上许多国家都对它高度重视。 它们无论是在雷达、通讯、导航还是在科学研究、工农业生产中都获得了广 泛的应用。在2 0 世纪7 0 年代以后，军事和科学研究对更高峰值功率、更高 能量、更高频率的微波源的需求使得高功率微波得到了长足的发展。对高功 率微波的研究，不仅包含了探讨微波产生的新机理、新器件的研制工作，还 包含了对高功率微波应用的研究。 高功率微波系统中，为了对高能量的微波进行有效的传输，包括利用天 线进行有效的辐射输出，常常需要用到波导模式转换器。它通常是高功率微 波系统中不可或缺的一部分。例如圆波导中进行长距离、低损耗传输时，通 常利用r e o ，模式。利用圆锥喇叭天线辐射微波，常常需要极化方向较好的珏。 模或者近似高斯分布的h e ，模，而通常的微波源，例如回旋管一般工作于 t e 。模( n 1 ) ：普通的相对论返波管，一般工作于t m 。模。它们都不是合适 的长距离传输模式，也不适于直接辐射输出，而总是需要这样或那样的模式 转换器进行模式转换。 对模式转换的研究，大体分为波导模式转换器和准光模式转换器，后者 是近年来发展起来的模式转换器。前者的研究则可以追溯到2 0 世纪5 0 年代 或更早。 1 1 高功率微波用模式转换器的研究和发展 在早期的研究中，1 9 5 4 年m i l l e r 发表了颇具影响的文章 t l l 。在这篇文章中，他总结了前人的研究 结果，也结合了自己多年的研究结果，利用传输线理论对规则波导间( 常规 的定向耦合器) 的模式耦合进行了详细的研究，也就是将波导中传输的耦合 第一章绪论 模式视为传输线进行研究。文中除了理论分析，还给出了详尽的实验结果。 他的研究结果可以用于分析设计多模波导中高效的纯模式传输、滤波器。这 种定向耦合器可以视为一种波导模式转换器，不过，它的频带较窄。 f i g 1at e l o t or m o c 。u p l e dw u v et r a n s d u c e r 后来，针对这种定向耦合器，又有学者提出了提高带宽的方法【2 】。而由 于波导的不规则或者突变引起的模式耦合，在这个时期得到了大量的研究。 例如u n g e r 在1 9 5 7 发表的文章 3 1 对不同半径的圆波导过渡段进行了研究，给出了优化设计。e r n a g e l b e r g 和j s h e f e r 在文献 4 j 中首 次对圆波导中的t e i 。一t m 。模式转换器进行了研究，分析了三种突变结构。 在理论分析方面，1 9 5 5 年，s a s c h e l k u n o f f 在他的论文 归1 中首次将麦克 思韦方程( 场的概念) 和常规电报方程( 路的概念) 结合起来，为分析波导 中的电磁波提供了一个有力和便利的工具。a l v i nw e x l e r 则提出了一种分析 波导不连续的方法【6 】，他利用模式叠加的办法分析波导的连接段和波导中的 感性膜片。 幺笙 d 五 一z 一o 一 三一 坠i 晷 j 一2：豁、l 一t f i g 2c o r r u g a t e d - c i r c u l a r - w a v e g u i d e 电子科技大学硕士论灭 对图2 所示的波纹圆波导的研究，主要是为了获得适合于天线发射的混 杂模脚在文献 7 1 中可以获 得这种结构的详细的理论和实验研究结果，包括了对波纹形状( 槽形状) 的 讨论。c d r a g o n e 的文献 8 】则讨论了在这种波纹喇叭中的反射、传输以及模 式转换。 从2 0 世纪7 0 年代以来，伴随着高功率微波源的长足发展，对微波的应 用一无论是军用还是民用的研究也变得活跃。由于电子回旋谐振加热的需求 以及回旋管的成功应用于等离子体加热，对丁e 。寸h e ，。模式转换器的研究 有许多文献报道。 等离子体加热的最合适候选是线极化的、近似高斯波束的h e 。模波束， 实现t e 至t j h e 。的变换通常有以下两种序列别： ( 1 ) 砜。( 回旋管产生) 一t e 。( 低损耗传输) 。您“斗爿e t ，( 天 线输出) ( 2 ) 砜。( 回旋管产生) 呻t e 。，( 低损耗传输) 斗t m 。斗施”( 天 线输出) 前一种模式转换序列首先利用波导半径周期微扰的半径渐变模式转换器 将回旋管输出的t e o 。模式转换成弛。，模，第二段利用波导轴线周期微扰的 弯益模式转换器将丁e 。模式转换成线极化的z e ，模，最后利用齿深从2 , 2 渐 变到 4 的横向周期性开槽波纹波导将弼。模转换成线极化的近似高斯模 h e l ，模。前者的优点是由于整个变换序列没有大的弯曲，所以极化方向的改 变很简单、迅速【l o 】。第二种变换序列与第种相比所不同的是采用的中介模 式是t m ，模，需要用到一段弯曲的波导变换段，实现丁玩，到t m 。，的模式转换。 t m ，到h e i ，的模式转换段需要用齿深从0 渐变到, v 4 的横向开槽波纹波导 。 一h e “ i i - s l i fo i r e t y i n g f f m0 i 一i ， f i g 3g e n e r a t i o no fh e l lf r o mt e o l 第一章i f v e t h u m m 等人还对1 4 0 g h z 输出的回旋管强。模变换到7 玩模的不同种模 式转换器进行了对比研究i j “。j l d o a n e 则在文献 中对波导中的极化做了专门的讨论。 h o n g f u l i 和m a n f r e d t h u r n m 合作，在1 9 9 1 年先后发表了两篇文章【“】， 分别讨论了图4 所示的两种结构，除了给出了耦合波方程，还导出了耦合系 数，这些结果是普遍适用的，解决了一系列的波导模式转换问题。利用这些 结果，杨仕文博士对以往很少研究的t m 。模式转换器进行了研究i l6 】【1 7 】。对 弯曲波导的研究，还可以参看h o n g f ul i 发表的其他文献1 1 8 1 9 。 f i g 4 ( a ) g e o m e t r yo fc i r c u m f o r e n t i o l l yc o r r u g a t e dw a v e g u i d ew i t hv a r y i n gw a l li m p e d a n c ez ( z ) a n dw a v e g u i d er a d i u so ( z ) ( b ( z ) - a ( z 户d ( z ) ) ( b ) c o o r d i n a t es y s t e mf o rt h ed e s c r i p t i o no faw a v e g u i d e w i t he u w a t u r e 近十多年来，布拉格谐振腔作为一种分布反馈器件在半导体激光、自由 电子激光和回旋自谐振脉塞中得到了广泛应用。它不仅提供很好的单模选择 性，而且不影响相对论电子注的通过。对布拉格谐振腔的研究，已经发展了 一些理论方法1 2 。如果将布拉格谐振胶的波纹反射段利用光滑渐变波导中模 式耦合的理论进行分析，理论上说比采用单模近似或者近似周期性边界条件 ( 忽略波导半径波动对传播常数及耦合系数的影响) 有更科学的结果。有人 已经尝试进行了这个工作【2 ”。a j a yp a l m e r 也用耦合波理论研究了过模圆金 属布拉格谐振腔b ”，c k c h o n g 则用近似周期性边界条件详细讨论了单模及 多模时的情况，指出布拉格谐振腔有一个特点就是当它满足一定的条件时， 也能够进行模式转换【2 3 】。 - 4 俄罗斯人首先提出的低磁场相对论返波管方案中用了如图5 所示的模式 转换器兼反射器，它集模式转换和反射于一身。实际上它是一种特殊的布拉 格谐振腔。作者的论文分析了采用这种模式转换器的相对论返波管；运用耦 合波分析的方法，对这种特殊的模式转换器进行了详细的讨论。 广一l ： a ：芦、：；芦、：盘刈 f 一_ _ 矾 2 a o - - 一一一二一- - - 碣， l ：= ：卜：产、：o 、：a ：z = = = = 一 j 以l 拍 f i g 5m o d ec o n v e r t e rf o rr b w o 波导模式转换器的研究方法，现在普遍采用的是模式耦合理论求解耦合 波方程组，利用这种方法可以求解出各阶模式的传输波与反射波的幅值。发 展的新方法包括采用模式分析概念( m o d u l a r a n a l y s i sc o n c e p t ，m a c ) ，即用散 射矩阵的方法，利用这种方法得到了很好的理论与实验吻合结果【2 4 1 。而采用 s c a t t e r i n go p t i m i z a t i o n m e t h o d ( s o m ) 的方法设计的模式转换器( 见图6 ) ，根 据文献报道f 2 5 1 ，它有非常高的转换效率而变换器的长度较之传统的圆波导模 式转换器短。 雪 5 圣 暑 专 f i g 6am o d ec o n v e r t e rd e s i g n e dw i t hs o m 长距离高功率微波传输的另一种方法是通过高斯柬波导直接开放地传输 准光t e m 。模。这种方法特别适合功率更高、波长更短的高功率毫米波传输， 第一章绪论 因为波长越短，准光高斯波束的绕射效应就越弱，并且因为采用了开敞波导， 这种传输可以承受很高的功率2 6 1 。但作者的论文没有对这种模式转换器进行 研究。 1 2 学位论文的工作 本学位论文结合我室引进的低磁场相对论返波管，对它的模式转换兼反 射器部分进行了详细的研究，从理论上验证了这种模式转换器的可行性。所 编写的数值模拟程序能够对这样的模式转换器进行分析和设计。 3 c m 相对论返波管是我室自行设计的返波管，它利用喇叭天线输出微波 时，需要用到一段弯曲的波导模式转换器将工作模式t m 。，转换成利于发射的 t e 。模式，在本论文的第二部分，对这个模式转换器进行了数值计算并利用 经过严格定标的测试仪器在微波暗室进行了实验测试，获得了一些冷测数据。 这些工作为实验室的后续研究打下了基础。 电子科技大掌硕士论文 第二章低磁场相对论返波管模式转换器 兼反射器的研究 普通的相对论返波管一般工作在m f 。模式，由俄罗斯人首先提出的低磁 场相对论返波管工作于z m 。模式，采用了内置式的模式转换器兼反射器，它 集模式转换和反射于一身。本章对这种模式转换器兼反射器进行探讨。 o l 相对论返波管简介 低磁场相对论返波管的示意图见图2 1 。和普通的相对论返波管最显著的 差别是它的截止波导段，它没有采用通常的截止波导对返波进行反射，而是 在截止波导前采用了一段波纹波导进行反射。 圈2 1 低磁场相对论运玻臂不熏围 从结构图上可以看出，低磁场相对论返波管大致也分成三段，中间的是 互作用段，作用段左端安放的是模式转换器兼反射器。右端是输出喇叭。根 据设计，在互作用段，返波管的工作模式是删。而不是通常的晰。对称模 式。在这些结构之间是连接段，或者称过渡段。过渡段考虑的主要是不同的 圳期波纹段之间尽量匹配，以减少微波在传输时产生的反射波。 第二章低磁场相对论返波蕾模式转换器兼反囊r 器的研冤 在工作段产生的t m 返波在低磁场相对论返波管中自右向左传播，经过 过渡段后进入反射段，反射段的工作原理类似布拉格反射器，完全由周期波 纹构成。不过，反射段除了完成反射任务以外，还要完成模式转换的功能， 将t m 。模式转换成丁e 。反射回来的舾。经过互作用段时，基本不存在和电 子注互作用的危险，t e ，波最后通过金属喇叭辐射出去。这是整个低磁场相 对论返波管的大致工作过程。 2 2 模式转换器兼反射器的工作原理及分析 根据要求，在低磁场相对论返波管中要完成聊。到t e l 。的模式转换，这 可以利用简单的波导半径渐变实现。图2 2 的剖面图所示的模式转换器就是 常规的半径渐变的模式转换器( 一段波纹圆波导) ，除了波导壁在做周期性的 改变以外，波导的轴线并不弯曲，同时是轴对称的。 i n p u to u t p u t m o d e l _ m o d e 2m o d e lm o d _ 、厂、厂、厂、，一_ 、厂、一，一 图1 2 常规半径渐变横式转换嚣，忽略了反射波的影响 这种结构的模式转换器有一个特点：它能够将圆波导中的肼，。模式或者 他。模式转换成m ，。模式或者z 已。模式，也就是它转换的模式保持角向下 标不变，而径向下标变化。对于输入的模式1 和输出的模式2 ，如果要实现 模式1 持续向模式2 转换，模式转换器半径变化的几何周期旯。和它们的相位 常数口还必须满足下面的谐振条件。 = 慨一层_ 2 x 厶= 2 n 2 ， ( 2 1 ) 其中，以称为模式1 和模式2 之间的拍波波长。总的模式转换器长度l 应该满足： 三= n 3 。( 2 2 ) 电子科技大掌砸女? x 由于这种模式转换器中没有突变结构，通常可以忽略反射波的影响。同 其他结构的模式转换器相比，这种模式转换器的优点是整个模式转换器没有 弯曲结构，所以只要绕轴线转动即可方便地实现输出极化方向的改变。其缺 点是模式转换器较长，频带很窄。例如公开发表的文献报道【2 6 】的 t m 0 3 - + t m 0 2 和t m 0 2 _ t m o l 模式转换器参数如表2 1 。 表2 1 t m 0 3 一t m 0 2 、t m 0 2 斗t m 0 l 波导模式转换器参数 ( f o = 3 5 g h z ，口o = 1 3 6 r a m ) 丝蛆2 型9 2丝q 22 丝q ! 拍频波长厶m m 2 55 3 76 2 2 7 5 几何瑚期五。m m 3 01 2 1 7 40 1 8 周期数n3 4 转换器总长度l m m9 03 6 2 9 00 7 功率传输效率只。0 9 9 7 2 0 9 9 3 7 频带宽度( r 9 0 ) 5 1 4 6 1 5 低磁场相对论返波管的模式转换器工作原理和上面讨论的常规模式转换 器相同，不过，它要求将入射的能量反射回去，在普通波导半径渐变模式转 换器中忽略的反射波恰恰是低磁场相对论返波管模式转换器必须考虑的，见 图2 _ 3 。分析它们的耦合波理论在下节给出。 ，、八八八八，、八一 _ 一r m + 陋 1 、八、八、r 图2 3 低磁场相对论返波瞥模式转换器兼反射嚣 由于低磁场返波管设计的工作频率仅为1 0 g h z ，在设计模式转换器时， 可以用波导半径a 。限制高次模式的产生。在平均半径为口。= 1 9 2 m m 、工作频 率f o = i o g h z 时，通过简单的计算可以确定在这样的模式转换w e e ，只有 t m 0 l 、t m ”t e 、t e ”t e 0 l 以及阿3 l 能够传输。更高的模式由于被截 第二章低磁场相对论返波管模式转换器兼反射器的研冤 止而不能传播。根据模式耦合原则，输入的模式丁m 。，在这个模式转换器中实 际上只会激励起z e ，模式，其他的几种模式并不满足耦合的条件。由于每个 模式都要考虑正向波和反向波，在后面的数值计算中，总共需要考虑四个波， 即肼i 、z m i 、丁磁和晒i 四个波。 2 3 耦合波方程和耦合系数 2 。3 1 光滑圆波导耦合波方程以及耦合系数 光滑圆波导半径渐变时，由于其对称性，波导中第m h 模仅能与第m n 。模 式耦合，它的角向下标并不改变。这时候，相应的耦合波方程1 1 5 为： ! 墨盖：一三塑坚d 乞一以。吒+ 如c 乙+ c 品聊) (23dz2 d z ” ”：”“”：= 。”“” 监d：一三蚴乞+以。z2 d z 棚m h 删+ z a ：c , - 。+ t 舯) ( 2 4 ) + a t一柚 其中，爿二和4 二分别为第m n 模的前向( + z 方向) 与反向( 一z 方向) 复数波幅度值，y 。= 口。+ 0 为第m 玎模的传播常数，c t m n 为圆波导相应模 式的衰减常数，p 0 为相位常数，表示为： 尾= 露一( 以。l a ) 2 ( 2 5 ) 在上式中，k 。为自由空间波数，口为波导的平均半径。z 。为b e s s e l 函数，。 ( 对于肼模式) 或者其导数l ( 对于疆模式) 的第r 1 个非零的根，) b - j - 方便起见，在下表列出( 一般的教科书可以查到，这里给出了8 位精度) 。 壅! ：! 厶l 墨2 三! 塑堡! 兰罂! ：型堡查 竺 ! ：!坚 竺! 兰一 o2 4 0 4 8 2 5 5 6 5 5 2 0 0 7 8 1 1 8 6 5 3 7 2 7 9 11 1 7 9 1 5 3 4 4 4 13 8 3 1 7 0 5 9 7 7 0 1 5 5 8 6 6 71 0 4 7 3 4 6 8 1 4 1 3 3 2 3 6 9 1 9 4 2 5 1 3 5 6 2 2 3 08 4 1 7 2 4 4 1 4 1 1 6 1 9 8 4 1 1 7 1 47 9 5 9 5 1 7 8 ! ：! ! ! ! ! ! 竺 ! ：! ! 竺! ! ! ! ：! ! ：! 竺! ! ! ：! ：! ! 竺! ! _ _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ - - - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - 。1 一一 1 n 电子科技大掌硕士论文 方程( 2 3 ) 、( 2 4 ) e e o c ：。一x 。) 和c 孟- x 。) 分别表示第，l n 模向同向传播和反 向传播的第肌”模耦合的耦合系数，其详细的推导和具体的形式已经由文献 【1 5 】给出，这里给予归纳整理。 ( 1 ) 咂。与t e 。的耦合： r 。 ，1 2 ( r r a n x ：。矗。z 二n t ) 千( r 。r 黼) z ：。z ：。- 1d a r1 、 。 m n l i m n ( r 。r m n , ) 啦( x 舢2 - - m 2 ) i 2 ( z 二- - 7 2 ) 1 2 ( x ：。一疋) 口d z 、叫 ( 2 6 ) ( 2 ) t m 。与t m 耐的耦合： = 嚣等象芒 1 d a 川 亿， ( 3 ) t e 。与t m “的耦合： c 赢训：i i 可黧 丽土一d a ( 一1 ) 一“ ( 2 8 ) l c m 恻2 瓦忑7 碗研a d z ( 4 ) t m 。与t e m n 的耦合： ，t ：i1高争丽土da。mnl(rnn) ( 一1 ) 。+ - (29)rd ( r 舢“) v 2 ( e 。一m 2 ) 啦口 z 。叫 卜j 其中，r ：口k 。 第二章低磁场相对论返波蕾模式转换嗣 薰反射器的研究 由公式( 2 6 ) ( 2 9 ) 求出耦合系数，利用数值计算的方法求解耦合波 方程组( 2 3 ) 、( 2 4 ) ，理论上可以解出半径渐变的光滑圆波导中任何模式的 复数波幅度值。而实际上，如果有某一模式在波导中接近截止频率，在纵轴 z 上出现了相位常数口为零甚至复数时，求解耦合波方程组将会遇到极大的 困难二d e n i s o v 教授认为，这时候应该用二阶的耦合波方程。 2 3 2 近似周期性边界条件下的耦合波方程和耦合系数 对于光滑轴对称圆波导，上面已经给出了它的耦合波方程和耦合系数。 在分析低磁场相对论返波管的模式转换器时，可以利用上节的理论，由于在 耦合系数c 中存在波导半径口的导数项d a d z ，在本文中，称之为变系数耦 合波方程组。而在下面的分析中，将这个模式转换器兼反射器当作一种特殊 的布拉格反射器分析，利用了近似周期性边界条件。 典型的布拉格谐振腔结构示意如图2 4 所示，假设左端是全反射，右端 有一定的透射作为输出，中间是光滑段波导。 围2 4 布拉格谐振腔示意圈 研究布拉格谐振腔的文献国内外都有不少 2 0 - 2 3 1 ，通常布拉格谐振腔工作 在圆波导最低模式z e ，模式，在研究布拉格谐振腔时，有些文献已经将模式 转换的影响考虑了进去，主要是t m i 模式。工作于t e l 模的布拉格谐振腔当 然希望t m 。模成份越少越好。但是文献1 2 1 1 、 2 2 1 明确指出考虑了多模耦合 时，反射率r 随反射段长度三和波纹幅度a 。的变化不再是单调变化的曲线 了，而是存在极值。文献 2 3 1 分析了多模耦合的条件。对布拉格谐振腔中t m ，、 模与t e l 。模之间的耦合做了详细的研究，给出了耦合波方程和近似周期性边 电子料技大学硕士论，0 界条件下的耦合系数。可以看出，图2 5 所示的低磁场相对论返波管的模式 转换器兼反射器实际上就是一种特殊的布拉格谐振腔，一端有很高的反射率， 另一端几乎是零反射，能量全部从这里输出。本章利用分析布拉格谐振腔的 方法分析这一特殊的模式转换器兼反射器。参数见图2 5 。 圈2 5 模式转换磊兼反射矗参数示熏围 假设圆波导的半径变化遵循下式描述的正弦波动： a ( z ) = a o + h c o s ( k z ) ( 2 1 0 ) 波纹幅度h 满足h 口。多模时，如果两列波满足以下的布拉格条件： k + k ，= k 。 ( 2 1 1 ) 那么就会发生两列波之间的相互耦合，其中，k = ( ( 彩c ) 2 - ( x 。a 。) 2 ) 1 2 是纵向 波数，对于本文的模式转换器，k ，是t m ，波的纵向波数，k ：是弛。波的纵向 波数。x 。，代表b e s s e l 函数以( 对于肼模) 或它的导数以( 对于弛模) 的第1 1 个非零根。在多模时，耦合方程可以表示为： 誓- - ( 咿f j f g j ，a 7 云一( 口，埘j ， 誓：( 口，+ i a j ) 巧+ f 嘭彳? 云2 ( 口，+ ) 巧“军嘭彳? ( 2 1 2 ) 其中，d 指衰减常数，通常可以不予考虑。下标f ，j 指t m 或者珏波 g 。是耦合系数。 2 第二 | 低磁场相对论返波蕾模式转换器熏反童d - i h 的研冗 在本文研究的模式转换器中，t m 。与t e 。是我们感兴趣的模式，由前面 的分析和计算知道，在这样的圆波导中，入射的t m ，波激励起的t e l 。波没有 被截止，而更高阶的t m 。和t e l 。由于被截止而不能传播。由于波导结构的轴 对称性，根据模式耦合的原则，只有相同的角向模式标号m = 肌+ 才能互相耦 合。所以t m 。或者您。模并不会被激励起，我们仅仅需要考虑两个模式孙毛 与t e ”这样具体的耦合波方程表示如下： 警_ - ( 口f + 诅h ) 靠一i g n a ；一t g x , 4 ； 龙 警= ( 口。+ n ；+ f g 揣+ f g “ 警一( 咿铲f g e 廓- i g x a ； 警= ( a e + i a 墟+ f g “十f g “ r 2 1 3 ) 其中，= k - k , 2 是布拉格失配量，和a 。分别为t e l ，和t m 。，的布拉格 失配量，g 。，g e 以及g ，分别为碣l 码。，t m l l - t m l l 和珥，一t m l l 的耦合 系数。对于正弦周期波纹，耦合系数由下面的式子给出； ( 1 ) t e 。和t e m 。之间的耦合： 卟刍溉菪辫， ( 2 ) t m 。和肼。之间的耦合： g ：当垡攀 ：( 2 1 5 ) 2 瓦蕊甲广 ：u 。 ( 3 ) 强。与肼n 之间的互耦系数为： g 。：上考黑尝 ：(216)2 一 a o ( x 二一m 2 ) 啦( 触) ”2 ”7 如果实际工作频率远高于截止频率，例如表2 5 的( a ) 组参数，耦合系 数还可以简化成以下式子： 电子科技大掌司e 士论文 对阿。模式： g 。= 0 4 2 一h 竺； ( 2 1 7 ) 0 c 对脚。模式： 呸= 旦竺； ( 2 1 8 ) a 0 c 互耦系数： g x = 0 6 5 一h 竺； ( 2 1 9 ) a 0 c 如果给定了边界条件，就可以对( 2 1 3 ) 式进行数值求解。对于本文的 模式转换器，边界条件为： 爿：( o ) = 0 ；爿；( 工) = 0 4 ；( 0 ) = 1 ；爿；( l ) 。0 ( 2 2 0 ) 对于这样的边界条件耦合波微分方程组，本文运用了简单打靶法求解。 2 4 算法介绍 由于必须考虑反射波的影响，所以需要求解边界条件的耦合波微分方程 组。比起初始条件的耦合波方程组，前者的算法复杂性大大增加，所耗的计 算机运算时间也长的多。 简单打靶法的算法在许多教科书中都可以找到，但是具体应用时可能会 遇到困难，尤其是求解大一些的耦合波方程组，要解决许多实际的细节问题。 文献 2 3 1 对初值问题和边界问题的常微分方程组的求解有详细的介绍，是 本微分方程数值解法的专著，对具体问题可能有帮助。求解边界条件的耦合 波方程组时，由于模式的幅度值随z 是连续可微的，简单打靶法解决这类问 题特别有效，为此，这里将简单打靶法的算法详细整理归纳，在本文的附录 部份，还给出了核心程序，其中包括了简单打靶法算法的m a t l a b 实现程序， 参照程序可以很快地理解掌握这种算法。 假设求解的是给定带有分离边界条件的边值问题 第二章低磁场相对论返波蕾模式转换器兼反射器的研霓 ”= 厂( x ，) ( 2 2 1 ) ( 口) = 口，o j ( b ) = ， 为了数值求解，构造初值问题 ”= f ( x ，0 9 ，) ，( ) = 口，( 口) = s ， ( 2 2 2 ) 该初值问题通常有唯一解( x ) = o j ( x ；j ) ，这个解显然依赖于具体的s ，不同 的s 值对应不同的解o j ( s ) 。假定找到了一个解，在j = j 时，有 c o ( b ) = c o ( b ；) = ，也就是，这个解恰好使第二个边界得到了满足。显然， 这个解就是边值f l 题( 2 2 1 ) 的解。也就是说，如果构造一个函数 f ( s ) = c o ( b ；s ) 一，需要求得它的一个零点s ，如果找到这个零点s ，那么初 值问题珊”= f ( x ，c o ，) ，c o ( a ) = 口，( 口) = s 的解就是边界问题( 2 2 1 ) 的解， 也是要求的解。问题就被归结为求解函数f ( s ) 的一个零点s 。 对函数f ( s ) 的计算可以归结为求解初值问题( 2 2 2 ) ，对于每一个具体的 s 值，总有一个解( x ) ，当x = b 时，c o ( b ) = c o ( b ；s ) ，从而求得f ( s ) 的一个 具体的值。显然，数值求解边界问题的思想就是将边界条件转换成初值问题 求解。 原则上，各种求解零点的方法都可以用来确定f ( j ) 的零点j 。比如二分 法。由于无论c o ( b ；s ) 还是f ( s ) ，一般都是s 的连续可微函数，从而可以利用 牛顿( n e w t o n ) 法来确定s 。也就是由一个初始值s ( o 出发，按照格式 1 = 一f ( s ) f ( 一)( 2 2 3 ) 迭代计算s ( 值。要确定f ( s ) 的值，必须获得国( j ) 的值，这只需要求解 初值问题 ”= f ( x ，0 9 ，) ，c o ( a ) = 口，( - 0 ( 口) = s ( 2 2 4 ) s = j 时，f ( s ) 的导数值 f ( j ) = 0 c o ( b ；s ) a s 通常用差商来代替，即 f 2 2 5 ) f ( 占。) ，( j ) = ( f ( 5 + a s ) 一f ( s ) ) s ( 2 2 6 ) 其中，a s o 需选得足够小。需要注意的是，对，( j ) 的计算，应该尽量精确( 要 电子科技大掌硕士论文 高精度) 。 因为如果血( 选得太大，那么a f ( s ) 只是尸( j 。) 的一个很差的近似， 迭代过程 s ) = 一f ( s 。) ，f ( )( 2 2 7 ) 即使是收敛的，收敛性也比牛顿迭代要差的多。 如果缸( 选得太小，那么由于f ( s ( + a s ) f ( s j ) ) ，减法 f ( s 十a s ) 一f ( sc ) 时将出现大数相减的，计算f ( s ) ，f ( s + a s f ) ) 时的 微小误差，也会使结果a f ( s ) 很不精确。所以对初值问题( 2 2 2 ) 的解，即f ( s ) 的计算，要尽量精确进行。f ( s ) ，f ( s 。+ a s ) 的相对精度应该达到计算 机数值精度e p s 的量级( 所用的计算机语言计算浮点数的误差限) 。 推广到n 个待求函数儿( x ) ( f - 1 ，2 ，肝) ，即y = 【m ，y 。 t 的一般 边值问题 y = f ( x ，y ) r ( y ( 日) ，y ( 6 ) ) = 0( 2 2 8 ) 其中，f ( x ，y ) 和r ( u ，v ) 都是n 个函数构成的向量。为了求解这个边值问题， 引入向量j r “，求解以下初值问题 y = f ( x ，y ) ，y ( 口) = j( 2 2 9 ) 如果能够找到一个s = s ，使y ( x ) = y ( x ；s ) 满足( 2 2 8 ) 中的边界条件 r ( y ( a ；j ) ，y ( b ；s ) ) = r ( s ，y ( b ；s ) ) = o( 2 1 3 0 ) 则这个y ( x ) 就是我们要求的解。为此构造函数 f ( s ) = r ( s ，y ( b ；j ) ) = o( 2 3 1 ) 需要求它的一个解s = ( q ，盯。) 7 。假设借助牛顿法迭代 1 = 一d f ( s ( 0 ) f ( s )( 2 3 2 ) 进行。这样，在每一个迭代步骤中都需要计算f ( s ( ) 和函数矩阵 d f ( s o ) ) ：l 旦l( 2 3 3 ) l o a kj j = s 0 ) 的值以及线性方程组d f ( s ( 。) d ) = f ( s ) 的解d = j ( “一s o + i ) 。为了计算 f ( s j ) ) = r ( s ”，y ( b ；s ( o ) ) ，需要求解初值问题 第二章低磁场相对论返波蕾模式转换器j e 反射器的研究 y = f ( x ，y ) ，y ( a ) = s ( 2 3 4 ) 为了计算d f ( s 。) ，可以用矩阵a v ( s ) 近似。即 d f ( s ) “t l v ( s ) = ( a l f ( s ) ，2 f ( s ) ，。f ( s ) )( 2 3 5 ) 其中 a j f ( 沪坐眨盟兰尘车止丝立型( 2 3 6 ) 盯 ( 1 ) 主框图 电子科技大掌硕士论文 ( 2 ) 求解d f ( s 1 ) 步骤 图2 6 简单打靶法框图 因为f ( s ) = r ( s ，y ( 6 ；5 ) ) ，为了计算，f ( s ) ，显然需要求解相应的初值问 题来确定y ( 6 ；s ) = y ( 6 ；q ，吒) 。简单打靶法求解边值问题的过程归纳为图 2 6 的流程图。 由以上可以看出，在打靶法的每一次迭代中，若用差商代替d f ( s ( ”) ， 则需要求解疗+ 1 个”阶常微分方程组初值问题和一个疗阶线性方程组。 从算法上来讲，计算所耗的时间实际上主要在于求解”+ 1 个”阶常微分 方程组。本文的程序编制用的是m a t l a b 语言，作为一种工程语言，m a t l a b 语 言有f o n r a i l 、c 语言所不能比拟的优点。m a t l a b 用矩阵作为基本的运算单元， 第二章低磁场相对论返波管模式转换器兼反射器的研究 使得涉及数组运算的书写特别简练、方便；m a t l a b 内置了数百种函数，加上 不断推出的工具箱，使得诸如矩阵乘除、求解初值问题的微分方程组、求解, 阶线性方程组这样的运算只要几个语句就能完成；m a t l a b 强大的图形显示功 能使得计算结果能够很直观地表达出来。对f o r t r a n 、c 语言而言，如果涉及 矩阵运算，编程将会很麻烦，而真正的问题在于，编制诸如求解初值问题的 微分方程组、求解, 阶线性方程组这样的程序不但调试困难，还不能保证稳 定性，即使有现成的程序源代码，也往往要修改以后才能用；许多情况下， 这些编程还是重复劳动。在耦合波方程组中，往往求解的还是复数的方程组， 对f o r t r a n 、c 语言而言，显然又增加了难度，而对m a r l a b 而言，绝大多数时 候根本就不用考虑要处理的数据是不是复数。绘图是f o r t r a n 、c 语言的弱项， 往往要借助于o r i g i n 之类的软件实现，对m a u a b 而言，有非常丰富的绘图语 句供选择，绘出的曲线还可以修改、加标注等。不过由于它的解释执行特点， 它有执行速度较慢的缺点，但是随着计算机硬件的飞速发展，这个缺点与它 强大的功能相比显得越来越微不足道。解决同样的问题，m a t l a b 编写的程序 一般只有f o r t r a n 编写的1 3 1 1 0 的代码长度，这大大降低了调试难度。m a t l a b 也简单易学，语句表达接近人的自然思维。鉴于此，m a t l a b 应该是工程人员 的首选，无论作教学还是科研，它都能很好胜任。 2 5 计算结果和结果分析 圈2 7 模式转换器薰反射嚣参数示意图 电子科技大掌硕士论文 表2 4 模式转换器兼反射器的参数 上表2 4 给出了计算用的模式转换器兼反射器的参数，模式转换器工作 于x 波段，波纹幅度较小，计算了7 个周期，耦合系数用的是近似周期性边 界条件下的耦合系数。如前面分析，在这个波导模式转换器中，考虑了两个 模式共四个波。计算结果如图2 8 、2 9 所示。 图2 9 中的细实线，是能量传输曲线。耦合波方程中，由于忽略了欧姆 损耗，假设a l ( z ) 、a 2 ( z ) 、a 3 ( z ) 和爿。( z ) 分别代表肼i 、肼i 、z 玩和硒i 在波导中的幅度分布，那么能量传输曲线的表达式为 】，( z ) = i a t ( z ) 1 2 + 以( z ) 1 2 一旧：( z ) 1 2 一l 以( z ) i 。( 以下均同) 。可以证明，这条曲 线应该等于一个常数。在这里绘出这根曲线的目的是验